5.2不等式和绝对值不等式(一)课件(人教A版选修4-5)

注：一正、二定、三等。
例 3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方 --------------形的面积最大;
(2)在所有面积相同的矩形中,正方 ---------------形的周长最短.
例3答案
例4
例 3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方 --------------形的面积最大; (2)在所有面积相同的矩形中,正方 ---------------形的周长最短. 设矩形周长为L,面积为S,一边长为x,一边长为y, 周长L=2x+2y
3 3⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2 2 x2 ⑵求函数 y ( x 3) 的最小值. x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. 2 x 2 解: ⑵∵ x 3 ,∴ x 3 0 2 x 2 2( x 2 9) 18 18 2x 6 ∴y x 3 x 3 x 3 18 12 ≥24 = 2( x 3) x 3 18 当且仅当 2( x 3) 即 x 6 时取等号. x3 2 x2 ( x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. ∴函数 y x 3
3 3⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2 2 x2 ⑵求函数 y ( x 3) 的最小值. x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. x2 2
解: ⑶∵ y
2
x2 3 x2 2

x2 2 1 x2 2
x 2
算术平均数
C
几何平均数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
几何解释
ab
A a O D b B
可以用来求最值(积定和小，和定积大)
定理：设 x , y , z 都是正数，则有 ⑴若 xy S （定值） ，则当 x y 时， x y 有最小值 2 s .
p2 ⑵若 x y p （定值） ，则当 x y 时， xy 有最大值 . 4
8
k≥4
作业:课本 P 第1、2题 , P 11第11、12、14 题 10
x
解：依 题 意有 v (a 2 x) 2 x a （0 x ) 2
a
求证: ( x y z) ≥ 27 xyz 例3：已知x, y, z R ，
3

试证明:已知a、b、c∈R+,
abc 3 ab abc ) ≥ 2( ab ) 求证 3( 3 2
课外思考: 1.已知 a 0, b 0 , 2a 3b 10 ,
2答案 3答案
基础练习: 2．设 A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小.
提示:比较大小,最简单、最有效的方法 是作差→变形→定符号. 变形方法有二种: 一、是分解因式； 二是配方.
解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)= (2x4 2x3 ) (1 x2 ) = 2x3 ( x 1) (1 x)(1 x) = ( x 1)(2x3 x 1) = ( x 1)( x 1)(2x2 2x 1) 1 2 1 2 = ( x 1) 2( x ) 0 2 2 ∴A>B
基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a 2 + b2 ≥ 2ab， 当且仅当a = b时等号成立。
几何解释
b
a b
a
b
算术平均数不小于几何平均数
当 a、b 为正数时,
ab ≥ ab 则 2
（当且仅当 a = b 时取“=”号）
算术平均数 (a 、b 的)
几何平均数
(a
、b 的)
定理2：（基本不等式） a+b 如果a，b 0，那么 ≥ ab， 2 当且仅当a = b时等号成立。
定理：设 x , y , z 都是正数，则有 ⑴若 xyz S （定值） ， 则当 x y z 时， x y z 有最小值 3 3 s . ⑵若 x y z p （定值） ，
p 则当 x y z 时， xyz 有最大值 . 27
3
注：一正、二定、三等。
2
1 例1 求函数 y x (1 3 x)在 [0, ]上的最大值. 3
第一讲不等式和绝对值不等式(一)
对于不等式大家并不陌生，我们已经会解 一些简单的不等式和证明一些不等式， 如 1.求解下列不等式： x2 2 ① x 3 x 10 0 ② >0 x5 3 2 2.设 n 1 ,且 n 1, 求证: n 1 > n n .
下面我们来系统且更进一步地认识不等式，从 而进一步提高分析问题、处理问题的能力。
问题 求证:在表面积一定的长方体中,以正 方体的体积最大. 解：设长方体的三边长 度分别为x、y、z,则长 方体的体积为 而 S 2 xy 2 xz 2 yz
v xyz
x z y
略
例2: 如图，把一块边长是a 的正方形铁 片的各角切 去大小相同的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖 方底的盒子，问切去的正方形边长是多 小时？才能使盒子的容积最大？
x
S
y
例4: 某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体
造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的 面积为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上 建一座花坛,造价为每平方米4300元,在四个相同的矩形 上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米210元,再 在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,每平方米造价80 元. (1)设总造价为S元,AD长 x 为米,试建立S关于x的函数 H G 关系式; (2)当为何值时S最小, 并求出这个最小值.
2
1 x2 2
1 又∵ x 2 ≥ 2 ,又∵函数 y t 在 t 1, 时是减函数. t 3 2 1 2 ∴当 x 0 时,函数 y x 2 取得最小值 . 2 2 x 2
3⑶求函数 y
x2 3
x2 2 x2 3 x2 2 1 1 2 解: ⑶∵ y ≥2 x 2 x2 2 x2 2 x2 2 x2 3 ∴函数 y 的最小值为 2. x2 2 上面解法错在哪?
3 3．⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2 2 x2 ⑵求函数 y ( x 3) 的最小值. x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. x2 2 3 解⑴(重要不等式法)∵ 0 x ,∴ x 0且3 2 x 0 , 2 1 1 2x 3 2x 3 2 ∴ x(3 2x) = = 2 x(3 2 x) ≤ 4 2 2 2 3 当且仅当 x 时取等号. 4 3 3 2 ∴函数 y x(3 2x) 的最大值为 ,当且仅当 x 取得. 4 4
两个实数大小比较:
⑴a b a b 0 ; ⑵a b a b 0 ; ⑶a b a b 0
这一结论虽很简单,却是我们推导或证明不等式的基础.
思考 1.试解不等式: x 2 x x .
2
解不等式的过程就是对不等式进行一系列同解 变形的过程，同解变形的依据是什么？
的最小值.
均值不等式可以用来求最值(积定和小，和 定积大),但特别要注意条件的满足： 一正、 二定、 三相等.
四：三个正数的算术—几何平均不等式
类比基本不等式得
abc 3 ≥ abc ， 定理 3：如果 a、b、c R ，那么 3 当且仅当 a b c 时，等号成立.

推广： 对于 n 个正数 a1 , a2 , a3 ,an， 它们的算术平均值 不小于它们的几何平均值， a1 a2 a3 an ≥ n a1 a2 a3 an 即 n (当且仅当 a1 a2 a3 an 时取等号.)
2 则 3b 2a 的最大值是____.5 2.已知 x 0 ， y 0 ，且 x 2 y 1 ， 1 1 3 2 2 则 u 的最小值是______________。 x y x2 8 ( x 1) 的最小值为______. 3.函数 y x 1 4. 现有两个定值电阻，串联后等效电阻值为 R，并 联后等效电阻值为 r，若 R k r ,则实数 k 的取值 范围是_____.
解:设AM=y米
200 - x 2 因而 4 xy x 2 200 y 4x
D
A
Q
P
C
B M N
于是S 4200x2 210 4xy 80 2 y 2 0 x 10 2
E
F
课堂练习: 1.判断下列命题是否正确: (1) a b, c b a c ( ×) (2) a b c a c b ( ) √ (3) a b ac2 bc2 ( × (4) a b, c d ac bd × ) ) ( a b √ (5) 2 2 a b ( ) (6) a 2 b 2 a b × ) ( c c √ (7) a b a 2 b 2 × ) ( (8) a b a 2 b 2 ( ) a b (9) a b 0, c d 0 (× ) c d 2．设 A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小. 3 3．⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2 2 x2 x2 3 ( x 3) 的最小值.⑶求函数 y ⑵求函数 y 的最小值. x 3 x2 2
思考 2.已知 a 0, b 0, a b 时,
2ab ab 求证: ab
证明不等式的最基本的思考是分析法——很多 时候就是对要证的不等式进行变形转化。
不等式的基本性质 基本不等式