浙江省绍兴市分校高三数学上学期期中试题 理 新人教A版

2013学年浙江省第一次五校联考数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

选择题部分（共50分） 参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么棱柱的体积公式P （A +B ）=P （A ）+ P （B ）V =Sh如果事件A , B 相互独立,那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高P （A ·B ）=P （A ）· P （B ） 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高P n （k ）=C k n p k （1－p ）n -k（k = 0,1,2,…, n ） 球的表面积公式 棱台的体积公式S = 4πR 2)2211(31S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积, V =34πR 3h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}21(),0,1(2),2x P y y x Q x y g x x ⎧⎫==>==-⎨⎬⎩⎭则()R C P Q 为（ ）A ．[1,2)B ．),1(+∞C ．),2[+∞D ．),1[+∞2. “2a <”是“对任意实数x ，11x x a ++-≥成立”的( )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3． 函数( )A ．x π= D 4. 在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2Ab c 22ccos＝＋， 则ΔABC 的形状是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15915a a a =，且15599111135a a a a a a ++=，则9S =（ ）A.27B.24C.21D.18 6. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，并且两个奇数数字之间恰有一个偶数数字，这样的五位数有( )A.12个B.28个C.36个D.48个7. 已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x ，且2x y +的取值范围是[1,7]，则=++a c b a （ ） A ．1 B ．2 C ．-1 D ． -2 8. 已知A B 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且AOB ∠=0120，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足(1)OC OA OB λλ=+-(01)λ<<，则CM CN ⋅的取值范围是（ ） A ．1[,1)-B ．[1,1)-C ．3[,0)4- D ．[1,0)-9的两个极值点分别为12,x x ，且1201x x <<<，点(,)P m n 表示的平面区域内存在点00(,)x y 满足00log (4)a y x =+，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1(0,)(1,3)2 B. (0,1)(1,3) C. 1(,1)(1,3]2D. (0,1)[3,)+∞10. 对任意实数1x >，12y >，不等式222241(21)(1)x y a y ax +≥--恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A.2B.4C.2D.非选择题部分 （共100分）二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。

2011学年第一学期期中考试高三数学（理）试卷一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为 （ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 2．下列命题中的真命题是 （ ▲ ）A ．若d c b a >>,，则bd ac >B ．若,b a >则22b a >C ．若,b a >则22b a >D ．若,b a >则22b a >3．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 （ ▲ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 4．“1-=a ”是“函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的（ ▲ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分必要条件5．已知向量(2,1),10,||52,||a a b a b b =⋅=+=则= （ ▲）A B ．5 D ．256．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，若20=++c b a ，三角形面积为310，60=A ，则=a （ ▲ ）A ．7B ．8C ．5D ．67．不等式2|3||1|3x x a a ++-≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ▲ ） A ．[]4,1- B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．(,1][4,)-∞-+∞D ．[]5,2-8．已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则14()2xy z -=⋅的最小值为（ ▲ ）A ．1 B161D. 1329．已知函数()f x 在R 上满足2(1)2(1)31f x f x x x +=--++，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 （ ▲ ）A ．20x y --=B ． 0x y -=C ．320x y +-=D ．320x y --=10、已知函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛--=31)1lg()(有两个零点21,x x ，则有 （ ▲ ）A ．121x x < B ． 1212x x x x <+ C ．1212x x x x =+ D ． 1212x x x x >+二、填空题：共7小题，每小题4分，共计28分.请把答案填写在答卷相应的位置上．．．．．．．．. 11．计算：(cos75sin75)(cos75sin75)+-= ▲ .12．函数)43lg()(2x x x f --=，则)(x f 的单调递减区间是 ▲ ． 13．若对任意x ＞0，152++x x x≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ▲14．如右图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得15BCD ︒∠=.30BDC ︒∠=,30CD =米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB = ▲ 米. 15．已知12-=n n a ， 则=++++++1098321238910a a a a a a ▲16．设O 为ABC ∆的外心，且543=++，则ABC ∆的内角C 的值为 ▲ 17．设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：共5小题，共计72分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.18．（本题满分14分）已知sin 2().sin xf x x x=+（1）求()f x 的周期，并求()0,x π∈时的单调增区间. （2）在△ABC 中，c b a 、、分别是角A ，B ，C 所对的边，若3π=A ，且3=a ，求⋅的最大值. 19．（本题满分14分）集合{}2113x A x x -=≥+，{}ππsin ,,,062B y y a a a θθ⎡⎤==∈->⎢⎥⎣⎦且为常数.（1）求集合A 和B ；（2）若A B =∅，求a 的取值范围.20．（本题满分14分）已知函数14)(234-+-=ax x x x f 在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减。

绍兴一中期中考试试题纸高一数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合A=｛2,3｝，B=｛2,3,4｝,C=｛2,4,5｝则()A B C ⋂⋃=( )A ．｛2,3,4｝B ．｛2,3,5｝C ．｛3,4,5｝D ．｛2,3,4,5｝ 2.下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1与yB ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100D ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 23. 已知函数2log (0)()3(0)xx x f x x >⎧=⎨≤⎩， 那么)]41([f f 的值为( )A ．91 B ． 9 C ．91- D ．9- 4．下列函数中，是偶函数且在区间),0(+∞上是减函数的为( )A.1y x -=B. 2y x =C. 2y x -= D. xy )21(=5. 已知0.312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20.3b -=，12log 2c =，则,,a b c 的大小关系是 ( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>6. 知函数f （x ）=31323-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ＞31 B ．－12＜a ≤0 C ．－12＜a ＜0 D ．a ≤31 7. 设奇函数()x f 在()∝+,0上为增函数，且(),01=f 则不等式()()0<--xx f x f 的解集( )A.()()∝+⋃-,10,1B.()()1,01,⋃-∝-C. ()()∝+⋃-∝-,11,D.()()1,00,1⋃-8. 若关于x 的方程1|31|x k +-=有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 ( )A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ． (1,2)9. 设函数()f x =K ，定义函数(),()(),()K f x f x Kf x K f x K≤⎧=⎨>⎩若对于函数()f x =定义域内的任意 x ，恒有()()K f x f x =，则( )A ．K 的最大值为B ．K 的最小值为C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为110.给出定义：若1122m x m -<≤+ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x m =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论：①函数()y f x =的定义域为R ，值域为1[0,]2；②函数()y f x =的图象关于直线()2k x k Z =∈对称；③函数()y f x =是偶函数；④函数()y f x =在11[,]22-上是增函数． 其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）11．142()(0.25)lg 252lg 23+--= . (答案化到最简)12. 已知函数(21)32f x x +=+，且()4f a =，则a = . 13. 已知集合2{,1,3}P a a =+-，2{1,21,3}Q a a a =+--，若{3}PQ =-，则a 的值是 . 14. 函数log (23)8a y x =-+的图象恒过定点P ,P 在幂函数()f x 的图象上， 则(3)f = .15. 函数)65(log 221+-=x x y 的单调减区间为 .16.32R ()0()f x x f x x x ≥=+已知定义在上的奇函数，当时，，()f x =则 .17．已知函数212,1(),1ax a x f x x ax x +-<⎧=⎨-≥⎩，若存在12,x x ∈R ，12x x ≠，使12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共5小题，满分42分）18. 已知函数5y x -的定义域为集合Q,集合{|121},P x a x a =+≤≤+.，（1）若3a =，求()R C P Q ；（2）若P Q ⊆，求实数a 的取值范围．19. 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当t ∈[0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t ∈[14,40]时，曲线是函数log (5)83a y x =-+ (a >0且a ≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳． (1)试求p ＝f (t )的函数关系式；(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．20.已知函数33()(log )(log 3)27xf x x = (1)若11[,]279x ∈,求函数()f x 最大值和最小值; (2)若方程()0f x m +=有两根,αβ，试求αβ⋅的值.21.已知函数24()(01)2x x a a f x a a a a+-=>≠+且是定义在),(+∞-∞上的奇函数. （1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的值域；（3）当]1,0(∈x 时，()22x tf x ≥-恒成立，求实数t 的取值范围.22.设函数22()(21)3f x x a x a a =++++（1）若f(x)在[0,2]上的最大值为0，求实数a 的值；（2）若f(x)在区间[,]αβ上单调，且{}|(),[,]y y f x x αβαβ=≤≤=，求实数a 的取值范围。

人教版高一数学上学期期中考试数学试题（满分150分时间120分钟）一、单选题（12小题，每题5分）。

1.已知集合(){}{}0222>==-==x ,y x B ,x x lg y x A x,是实数集，则（）A.B.C.D.以上都不对2.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）A.2xy = B.xy -=2C.2-=x y D.3xy -=3.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.2xy =和()2x y =B.()12-=x lg y 和()()11-++=x lg x lg y C.2x log y a =和xlog y a 2= D.x y =和xa alog y =4.已知3110220230...c ,b ,.log a ===，则c ,b ,a 的大小关系是（）A.cb a << B.b ac << C.bc a << D.ac b <<5.在同一直角坐标系中，函数()()()x log x g ,x x x f a a=≥=0的图像可能是（）A. B. C. D.6.若132=log x ，则x x 93+的值为（）A.3B.C.6D.7.函数()x x x f 31+-=的单调递增区间是（）A.B.C.D.8.某同学求函数()62-+=x x ln x f 零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则方程062=-+x x ln 的近似解（精确度0.1）可取为（）A.2.52B.2.625C.2.66D.2.759.函数()xx lg x f 1-=的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,10)C.(10,100)D.(100，＋∞)10.已知函数()2211xxx f -+=，则有()A.()x f 是奇函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 B.()x f 是奇函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛1C.()x f 是偶函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 D.()x f 是偶函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛111.如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系，大致是（）A. B. C. D.12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=0621100x ,x x x ,x lg x f ，若a ，b ，c 均不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc的取值范围是A.（1，10）B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24)二、填空题（4小题，每题5分）13.若对数函数()x f 与幂函数()x g 的图象相交于一点（2，4）,则()()=+44g f ________.14.对于函数f (x )的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③()()02121>--x x x f x f .当f (x )＝e x 时，上述结论中正确结论的序号是______.15.已知3102==b,lg a ，用a,b 表示=306log _____________.16.设全集{}654321,,,,,U =,用U 的子集可表示由10,组成的6位字符串,如：{}42表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．（1）若，则M C U 表示6位字符串为_____________．（2）若,集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为____个．三、解答题。

某某省某某高中2015届高三上学期周测数学试卷（理科）（1.22）一．本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的．1．设复数z1=1﹣i，z2=+i，其中i为虚数单位，则的虚部为( )A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意结合复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵z1=1﹣i，z2=+i，∴=．∴的虚部为．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于( )A．﹣2 B．2 C．1 D．4考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：利用S n=2a n﹣2，n分别取1，2，则可求a2的值．解答：解：n=1时，S1=2a1﹣2，∴a1=2，n=2时，S2=2a2﹣2，∴a2=a1+2=4．故选D．点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题．3．“m＞0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义集合对数函数的性质分别判断其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：若“m＞0”，则函数f（x）=m+log2x＞0，（x≥1），故函数f（x）不存在零点，是充分条件，若函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点，则m＞0，是必要条件，故选：C．点评：本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为( )A．B．2 C．D．1考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P与A（1，0）重合时，P到直线3x﹣4y﹣13=0的距离最小为d=．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，则双曲线的离心率是( )A．B．C．4D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件求出双曲线方程中k的值，然后求解离心率即可．解答：解：双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，可得双曲线的渐近线的斜率为：，即，解得k=，双曲线kx2﹣y2=1为：y2=1，得a=2，b=1，c=，∴双曲线的离心率为：．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．6．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A．B．C．2D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．解答：解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．7．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈，若f（x）的值域是，则实数a的取值X围是( ) A．（0，] B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求得x+的取值X围，由x+∈时f（x）的值域是，可知≤a+≤，可解得实数a的取值X围．解答：解：∵x∈，∴x+∈，∵x+∈时f（x）的值域是，∴由函数的图象和性质可知≤a+≤，可解得a∈．故选：D．点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由函数的图象和性质得到不等式≤a+≤是解题的关键，属于基本知识的考查．8．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为( ) A．B．C．1 D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，再根据基本不等式，求得|AB|2的取值X围，代入化简即可得到答案．解答：解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，因为ab≤，则（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣=（a+b）2，即|AB|2≥（a+b）2，所以≥=3，则，即所求的最小值是，故选：D．点评：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f （x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值X围为( )A．（2﹣2，2﹣4）B．（+2，+）C．（2+2，2+4）D．（4，8）考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，再利用两个临界状态的研究，得到k的取值X围．解答：解：∵当0≤x≤1时，f（x）=x2，∴f（1）=1．∵当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），∴f（x+1）=f（x）+1，∴当x∈，n∈N*时，f（x+1）=f（x﹣1）+2=f（x﹣2）+3=…=f（x﹣n）+n+1=（x﹣n）2+n+1，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数图象经过原点，且关于原点对称．∵直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，∴当x＞0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，∴由x＞0时f（x）的图象可知：直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，∴直线y=kx与函数y=f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间．∵当x∈时，由得：x2﹣（k+2）x+2=0，令△=0，得：k=．由得：x2﹣（k+4）x+6=0，令△=0，得：k=2．∴k的取值X围为（）．点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数图象与性质及其应用，本题有一定的综合性，属于中档题．10．设函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则( )A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式判断单调性，运用f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，得出a＜1，b＞1，再运用单调性得出g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，即可选择答案．解答：解：∵函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，∴f（x）与g（x）在各自的定义域上为增函数，∵f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，∴若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，∴a＜1，b＞1，∵g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，故选：A点评：本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可．11．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值X 围为( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b﹣1）2，0≤b≤1，求出X围．解答：解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为：y=3﹣x，设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）•（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9=2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，∴b=1时有最小值4；当b=0，或b=2时有最大值6，∴的取值X围为故选：D点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．12．设函数f1（x）=x，f2（x）=log2015x，a i=（i=1，2，3，…，2015），记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2015）﹣f k（a2014）|，k=1，2，则( ) A．I1＜I2B．I1=I2C．I2＜I1D．无法确定考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于f1（a i+1）﹣f1（a i）==．可得I1=×2014．由于f i+1（a i+1）﹣f i（a i）==．即可得出I2==log20152015．解答：解：∵f1（a i+1）﹣f1（a i）==．∴I1=|f1（a2）﹣f1（a1）|+|f1（a3）﹣f1（a2）|+…+|f1（a2015）﹣f1（a2014）|=×2014=．∵f2（a i+1）﹣f2（a i）==．∴I2=|f2（a2）﹣f2（a1）|+|f2（a3）﹣f2（a2）|+…+|f2（a2015）﹣f2（a2014）|==log20152015=1，∴I1＜I2．故选：A．点评：本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于基础题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中横线上．13．已知等比数列{a n}，前n项和为S n，，则S6=．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由于，即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，两式相除，可得，q=2，a1=．则S6==．故答案为：点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f （x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 (82)考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，再利用倒序相加，即可得到结论解答：解：∵f（x）=x3+sinx+2，∴f'（x）=3x2+cosx，f''（x）=6x﹣sinx，∴f''（0）=0，而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，∴…=20×4+f（0）=82．故答案为：82．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，是解题的关键．15．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．解答：解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．16．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．若d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=1．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，…，a nn中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d n是首项d1，公差为d2﹣d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出d m的通项，令p1=2﹣m，p2=m﹣1，得证，求出p1+p2即可．解答：解：由题意知a mn=1+（n﹣1）d m．则a2n﹣a1n=﹣=（n﹣1）（d2﹣d1），同理，a3n﹣a2n=（n﹣1）（d3﹣d2），a4n﹣a3n=（n﹣1）（d4﹣d3），…，a nn﹣a（n﹣1）n=（n﹣1）（d n ﹣d n﹣1）．又因为a1n，a2n，a3n，a nn成等差数列，所以a2n﹣a1n=a3n﹣a2n=…=a nn﹣a（n﹣1）n．故d2﹣d1=d3﹣d2=…=d n﹣d n﹣1，即d n是公差为d2﹣d1的等差数列．所以，d m=d1+（m﹣1）（d2﹣d1）=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．令p1=2﹣m，p2=m﹣1，则d m=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．故答案为：1．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．三．解答题：本大题共5小题，共70分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．解答：解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB=60°，E为AB的中点．（1）证明：DC⊥平面PDE；（2）若PD=AD，求面DEP与面BCP所成二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）根据底面为含有60度的菱形，得△DAB为正三角形，从而得到AB⊥DE，结合PD⊥AB 利用线面垂直判定定理，即可证出DC⊥平面PDE；（2）分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面DEP与面BCP 的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解答：证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PD⊥AB连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB=60°∴△DAB为等边三角形…又∵E为AB的中点∴AB⊥DE又∵PD∩DE=D∴AB⊥底面PDE…∵AB∥CD∴CD⊥底面PDE…解：（2）如图，分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系∴…．∴∴…∴∴…点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，熟练掌握线面垂直的判定定理是解答（1）的关键，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．19．已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{a n}是递增数列”对求出的p的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n+1﹣a n|=p n”、不等式的可加性，求出和a2n+1﹣a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．解答：解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，则|a n+1﹣a n|=p n化为：a n+1﹣a n=p n，分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2﹣p=0，解得或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1﹣a n|=，则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n=当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m﹣1个等式相加可得，==，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…﹣…+=﹣=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，．点评：本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值X围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求出g（x）max，即可求得m的取值X围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞），∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=，∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e， g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=e﹣，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，e﹣）上单调递增，在（e﹣，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣，g（e）=2e2﹣3e，∵g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣＜2e﹣＜2e＜2e（e﹣）=g（e），∴g（e﹣）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分，答题时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．解答：（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴，又∵，∴，∴，根据切割线定理得，即AF=3（2）证明：过E作EH⊥BC于H，∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，∴△EDH∽△ADF，∴，又由题意知CH=，EB=2，∴EH=1，∴，∴AD=3ED．点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值X围；（2）解不等式f（x）≤3x．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）根据|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|，可得≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，由此求得x的X围．（2）不等式即|2x﹣1|≤3x，可得，由此求得不等式的解集．解答：解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣b+（b﹣c）|=|a﹣c|，故有≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，∴﹣1≤2x﹣1≤1，求得0≤x≤1．（2）不等式f（x）≤3x，即|2x﹣1|≤3x，∴，求得x≥，即不等式的解集为{x|x≥}．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

课时作业9 对数与对数函数1．(2019·某某某某统考)函数f (x )＝1ln3x ＋1的定义域是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞ D ．[0，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1＞0，ln 3x ＋1≠0，解得x ＞－13且x ≠0，故选B.2．(2019·某某某某模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( B )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析：∵a ＝60.4＞1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4＜0，∴a ＞b ＞c .故选B. 3．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则lg(ab )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝( B )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由已知，得lg a ＋lg b ＝2，即lg(ab )＝2. 又lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b2＝2(lg a －lg b )2＝2[(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ]＝2×⎝⎛⎭⎪⎫22－4×12＝2×2＝4，故选B.4．若函数y ＝a －a x(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 37＋log a 1123＝( D )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：若a ＞1，则y ＝a －a x在[0,1]上单调递减，则⎩⎨⎧a －a ＝0，a －1＝1，解得a ＝2，此时，log a 37＋log a 1123＝log 216＝4；若0＜a ＜1，则y ＝a －a x在[0,1]上单调递增，则⎩⎨⎧a －a ＝1，a －1＝0，无解，故选D.5．(2019·某某省际名校联考)已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≤0时，f (x )＝1ex ＋k (k 为常数)，则f (ln5)的值为( B )A ．4B ．－4C ．6D ．－6解析：易知函数f (x )是奇函数，故f (0)＝1e 0＋k ＝1＋k ＝0，即k ＝－1，所以f (ln5)＝－f (－ln5)＝－(e ln5－1)＝－4.6．(2019·某某某某南雄模拟)函数f (x )＝x a满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( C )解析：∵f (2)＝4，∴2a＝4，解得a ＝2，∴g (x )＝|log 2(x ＋1)|＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ≥0，－log 2x ＋1，－1＜x ＜0，∴当x ≥0时，函数g (x )单调递增，且g (0)＝0；当－1＜x ＜0时，函数g (x )单调递减，故选C.7．已知函数f (x )＝e x＋2(x ＜0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值X 围是( A )A ．(－∞，e)B ．(0，e)C ．(e ，＋∞)D ．(－∞，1)解析：由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解，即e －x－ln(x ＋a )＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，则ln a ＜1，即0＜a ＜e ，则a 的取值X 围是(0，e)，当a ≤0时，y ＝e －x与y ＝ln(x ＋a )的图象总有交点，故a 的取值X 围是(－∞，e)，故选A.8．(2019·某某省级名校模拟)已知函数f (x )＝(e x－e－x)x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值X 围是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：∵f (x )＝(e x－e －x)x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x)x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x)＞0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15 x )≤2f (1)， ∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.9．函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值为－14.解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.10．(2019·某某质检)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝9__.解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )， 可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以nm＝9. 11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.12．已知函数f (x )＝log a (a 2x＋t )，其中a ＞0且a ≠1. (1)当a ＝2时，若f (x )＜x 无解，求t 的取值X 围；(2)若存在实数m ，n (m ＜n )，使得x ∈[m ，n ]时，函数f (x )的值域也为[m ，n ]，求t 的取值X 围．解：(1)∵log 2(22x＋t )＜x ＝log 22x，∴22x＋t ＜2x 无解，等价于22x ＋t ≥2x恒成立， 即t ≥－22x＋2x＝g (x )恒成立， 即t ≥g (x )max ，∵g (x )＝－22x ＋2x＝－⎝⎛⎭⎪⎫2x －122＋14，∴当2x＝12，即x ＝－1时，g (x )取得最大值14，∴t ≥14，故t 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. (2)由题意知f (x )＝log a (a 2x＋t )在[m ，n ]上是单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝m ，f n ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2m ＋t ＝a m，a 2n ＋t ＝a n，问题等价于关于k 的方程a 2k－a k＋t ＝0有两个不相等的实根，令a k＝u ＞0，则问题等价于关于u 的二次方程u 2－u ＋t ＝0在u ∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即⎩⎪⎨⎪⎧ u 1＋u 2＞0，u 1·u 2＞0，Δ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＞0，t ＜14，得0＜t ＜14.∴t 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.13．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f x 1－x 1f x 2x 1－x 2＞0，记a ＝f 30.230.2，b ＝f 0.320.32，c ＝f log 25log 25，则( B ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数， 对任意两个不相等的正数x 1，x 2， 都有x 2f x 1－x 1f x 2x 1－x 2＞0，故x 1－x 2与x 2f (x 1)－x 1f (x 2)同号， 则x 1－x 2与x 2f x 1－x 1f x 2x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫即f x 1x 1－f x 2x 2同号， ∴函数y ＝f xx是(0，＋∞)上的增函数， ∵1＜30.2＜2,0＜0.32＜1，log 25＞2， ∴0.32＜30.2＜log 25，∴b ＜a ＜c ，故选B.14．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值X 围是( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1B ．(1,4)C ．(1,8)D ．(8，＋∞)解析：依题意得f (x ＋2)＝f (－(2－x ))＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2,6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知．要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 6＋2＜1，由此解得a ＞8，即a 的取值X 围是(8，＋∞)．15．(2019·某某某某模拟)已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，g (x )＝f (x )＋2 017，下列命题：①f (x )的定义域为(－∞，＋∞)； ②f (x )是奇函数；③f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；④若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b ＝1；⑤设函数g (x )在[－2 017,2 017]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝2 017. 其中真命题的序号是①②③④__.(写出所有真命题的序号) 解析：对于①，∵x 2＋1＞x 2＝|x |≥－x ， ∴x 2＋1＋x ＞0，∴f (x )的定义域为R ，∴①正确．对于②，f (x )＋f (－x )＝ln(x ＋x 2＋1)＋ln(－x ＋－x2＋1)＝ln[(x 2＋1)－x 2]＝ln1＝0.∴f (x )是奇函数，∴②正确． 对于③，令u (x )＝x ＋x 2＋1， 则u (x )在[0，＋∞)上单调递增． 当x ∈(－∞，0]时，u (x )＝x ＋x 2＋1＝1x 2＋1－x，而y ＝x 2＋1－x 在(－∞，0]上单调递减，且x 2＋1－x ＞0.∴u (x )＝1x 2＋1－x在(－∞，0]上单调递增，又u (0)＝1，∴u (x )在R 上单调递增，∴f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)在R 上单调递增，∴③正确． 对于④，∵f (x )是奇函数，而f (a )＋f (b －1)＝0，∴a ＋(b －1)＝0， ∴a ＋b ＝1，∴④正确．对于⑤，f (x )＝g (x )－2 017是奇函数，当x ∈[－2 017,2 017]时，f (x )max ＝M －2 017，f (x )min ＝m －2 017， ∴(M －2 017)＋(m －2 017)＝0， ∴M ＋m ＝4 034，∴⑤不正确． 16．已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝lnx ＋1x －1＞ln mx －17－x恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)由x ＋1x －1＞0，解得x ＜－1或x ＞1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )．∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数． (2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝lnx ＋1x －1＞ln mx －17－x恒成立， ∴x ＋1x －1＞mx －17－x＞0， ∵x ∈[2,6]，∴0＜m ＜(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减， 即x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0＜m ＜7.故实数m 的取值X 围为(0,7)．。

2022-2023学年人教A 版（2019）高一数学上学期期中达标测评卷（B 卷）满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设,{1,3,5,7,9},{1,2,3,4,5}U A B ===Z ，则图中阴影部分表示的集合是( )A.{1,3,5}B.{1,2,3,4,5}C.{7,9}D.{2,4}2.已知a ∈R ，则“a >1<”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知幂函数()(1)a f x b x =-的图象过点1)3，则a b +等于( ) A.32B.0C.12D.14.已知集合{}2320A x x x =--<∣，{0}B x x a =-<∣，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为( ) A.1a ≤B.12a <≤C.2a >D.2a ≤5.若函数的定义域是，则函数A.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. C. D.7.已知函数21,0,()21,0x x x f x x x ⎧++≥=⎨+<⎩若()2()2f m f m <-，则实数m 的取值范围是( )A.(,1)(2,)-∞-+∞B.(1,2)-C.(2,1)-D.(,2)(1,)-∞-+∞8.下列说法中，错误的是( ) A.若0,a b c d >><<b d>(1)y f x =+[1,1]-()g x 11,00,22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦[0,1)(1,4](0,1]>b > C.若0,b a m >>>ab> D.若,a b c d ><，则a c b d ->-二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.下列说法正确的是( )A.“对任意一个无理数x ，2x 也是无理数”是真命题B.“0xy >”是“0x y +>”的充要条件C.命题“x ∃∈R ，210x +=”的否定是“x ∀∈R ，210x +≠”D.若“13x <<”的一个必要不充分条件是“22m x m -<<+”，则实数m 的取值范围是[1,3]10.已知函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-.若a ，b ∈R ，且()()f a f b +的值为负值，则下列结论可能成立的是( ) A.0a b +>，0ab < B.0a b +<，0ab > C.0a b +<，0ab <D.以上都可能11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数()f x =1, 0,x x ⎧⎨⎩为有理数,为无理数称为狄利克雷函数，则下列关于函数()f x 的说法正确的是( ) A.函数()f x 的值域是[]0,1 B.,(())1x f f x ∀∈=RC.(2)()f x f x +=对任意x ∈R 恒成立D.存在三个点()()11,A x f x ，，，使得为等腰直角三角形12.已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3xx ≤-∣或4}x ≥，则下列说法中()()22,B x f x ()()33,C x f x ABC △正确的是( ) A.0a >B.不等式0bx c +>的解集为{12}xx <-∣ C.0a b c ++>D.不等式20cx bx a -+<的解集为{x∣14x <-或1}3x > 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知:|3|5,:123p x q a x a -<-<<-，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_________.14.若函数2()(24)1f x ax a x =--+在区间(1,5)上单调，则实数a 的取值范围是________.15.某企业制作一份宣传画册，要求纸张的形状为矩形，面积为2625cm ，如图所示，其中上边、下边和左边各留宽为2cm 的空白，右边留宽为7cm 的空白，中间阴影部分为文字宣传区域.设矩形画册的长为，宽为图，文字宣传区域的面积为，则当b 为_______cm 时，文字宣传区域面积S 最大，最大面积是_______.16.设集合{1,2,3,4,5}I =，若非空集合A 同时满足①A I ⊆，②||mi )n(A A ≤表示A 中元素的个数，表示集合A 中的最小元素)，则称集合A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为_________.四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知集合{3217}A x x =-<+<∣，集合{4B x x =<-∣或2},{321}x C x a x a >=-<<+∣.（1）求()AB R；c m a cm b 2cm S 2cm min()A（2）若()A B C ⊆R ，求实数a 的取值范围.18.（12分）已知关于x 的不等式的解集为或. （1）求a ，b 的值； （2）当，n >1bn+=时，有222m n k k +≥++恒成立，求实数k 的范围.19.（12分）某大型企业原来每天成本1y (单位：万元)与日产量x (单位：吨)之间的函数关系式为212(154)1208y x k x k =+-++，为了配合环境综合整治，该企业积极引进尾气净化装置，每吨产品尾气净化费用为k 万元，尾气净化装置安装后当日产量1x =时，总成本142y =. （1）求k 的值；（2）设每吨产品出厂价为48万元，试求尾气净化装置安装后日产量为多少时，日平均利润最大，其最大值为多少.(日平均利润就是日总利润÷日产量) 20.（12分）已知，.（1）当0是不等式22(1)(2)0x a x a a --+-<的一个解时，求实数a 的取值范围； （2）若p 是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 21.（12分）已知幂函数()2()294m f x m m x =+-在(,0)-∞上为减函数. （1）试求函数()f x 解析式；（2）判断函数()f x 的奇偶性并写出其单调区间. 22.（12分）已知函数. （1）求((1))f f 的值；（2）用定义证明函数在(2,2)-上为增函数； （3）若，求实数a 的取值范围.2320ax x -+>{1xx <∣}x b >0m >2:2320p x x --≥2:2(1)(2)0q x a x a a --+-<q ⌝2(),(2,2)4xf x x x =∈-+()f x (2)(21)f a f a +>-数学答案1.答案：D解析：根据题意分析，可得阴影部分为属于B 但不属于A 的元素，即阴影部分表示()U A B ，又{1,3,5,7,9}A =，{1,2,3,4,5}B =，则(){2,4}U A B =. 2.答案：A解析：由a ><1<时，推不出1a >一定成立.所以“1a >”是1<”的充分不必要条件. 3.答案：B解析：()(1)a f x b x =-是幂函数，11b ∴-=，即2b =，又其图象过点13⎫⎪⎭，13a f ∴==，解得2a =-，220ab ∴+=-+=.4.答案：A解析：{}22320{320}{2A x x x x x x x x =--<=-+>=>∣∣∣或1}x <，{0}{}B x x a x x a =-<=<∣∣，因为B A ⊆，所以1a ≤.5.答案：D解析：由函数(1)y f x =+的定义域是[1,1]-，得11x -≤≤，所以012x ≤+≤，所以函数()f x 的定义域为[]0,2.在函数()g x =022,0,x x ≤≤≠解得01x <≤，所以函数()g x 的定义域是(0,1]. 6.答案：B解析：因为x ，y 为正数，1818(2)x y y x y x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭16101018x y y x =++≥=，4y =时，取等号.. 7.答案：C解析：当0x ≥时，221()12f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭(0)1f =；当0x <时，()21f x x =+单调递增，且()1f x <.所以函数()f x 在R 上单调递增，由()2()2f m f m <-，得22m m <-，解得21m -<<.8.答案：Ab .故正确.0,0a m >>>，所以对于D ，因为c d <，所以c d ->-.又a b >，所以a c b d ->-.故正确. 9.答案：CD解析：x 22x =是有理数，故A 错；1x =-，2y =-时，0xy >，但，不是充要条件，故B 错；命题“x ∃∈R ，”的否定是“x ∀∈R ，”，故C 正确； 若“13x <<”的一个必要不充分条件是“”，则21,23,m m -≤⎧⎨+≥⎩且两个等号不同时取得，解得，故D 正确.故选CD. 10.答案：BC解析：由函数()f x 为幂函数可知，解得1m =-或2m =.当1m =-时，31()f x x=；当2m =时，3()f x x =.由题意得函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，因此3()f x x =，在R 上单调递增，且为奇函数.结合()()f x f x -=-以及()()0f a f b +<可知()()()f a f b f b <-=-，所以a b <-，即b a <-，所以0a b +<.当0a =时，0b <，0ab =；当0a >时，0b <，0ab <；当0a <时，0(0)ab b a <<<-，0(0)ab b ==，0(0)ab b ><均有可能成立.故选BC. 11.答案：BC解析：对于A 选项，函数的值域为{0,1}，故A 选项错误.对于B 选项，当x 为有理数时，()1,(())f x f f x =(1)1f ==；当x 为无理数时，()0,(())f x f f x ==(0)1f =.所30x y +=-<210x +=210x +≠22m x m -<<+13m ≤≤211m m --=以,(())1x f f x ∀∈=R ，故B 选项正确.对于C 选项，x 为有理数时，2x +为有理数，(2)()1f x f x +==；当x 为无理数时，2x +为无理数，(2)()0f x f x +==.所以(2)()f x f x +=恒成立，故C 选项正确.对于D 选项，若ABC △为等腰直角三角形，不妨设角B 为直角，则()()()123,,f x f x f x 的值的可能性只能为()()()1230,1,0f x f x f x ===或()()()1231,0,1f x f x f x ===，由等腰直角三角形的性质211x -=，所以()()12f x f x =，这与()()12f x f x ≠矛盾，故D 选项错误. 12.答案：ABD解析：由题意知，3-和4是方程20ax bx c ++=的两根，且0a >，即选项A 正确；所以34,(3)4,b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩即,12,b a c a =-⎧⎨=-⎩所以不等式0bx c +>可化为120ax a -->，即120x +<，解得12x <-，即选项B 正确；不等式20cx bx a -+<可化为2120ax ax a -++<，即21210x x -->，解得x <x {3xx ∉≤-∣或4}x ≥，所以当1x =时，有0a b c ++<，即选项C 错误.故选ABD.13.答案：112aa ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣ 解析：由|3|5x -<，得28x -<<，又p 是q 的充分不必要条件，所以21,823,(23)(1)8(2),a a a a -≥-⎧⎪≤-⎨⎪---≠--⎩解得a ≥112aa ⎫≥⎬⎭∣. 14.答案：1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭解析：①当0a =时，()41f x x =+，所以()f x 在(1,5)上单调递增，满足题意；②当0a ≠时，函数()f x 图象的对称轴为直线(24)22a a x a a---=-=，若()f x 在(1,5)上单≥1≤，解得1,0(0,)2a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.综上所述，1,2a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.解析：由题设可得625ab =，故(4)(9)661(94)S a b a b =--=-+，其中4,9a b >>.由基本不等式可得942625300a b +≥⨯⨯=，当且仅当50,3a b ==故当50,3a b ==max 661300361=-=. 16.答案：12解析：由题意可知，所有可能的取值为1，2，3，4，5.当时，，则；当时，，则符合条件的集合A 有，共4个； 当时，，则符合条件的集合A 有，共4个； 当时，||4A ≤，则符合条件的集合A 有{4},{4,5}，共2个； 当min()5A =时，||5A ≤， 则符合条件的集合A 有{5}.综上所述，I 的所有好子集的个数为1442112++++=. 17、答案：（1）（2）233aa ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣ 解析：（1）由题意知{23},{42}A xx B x x =-<<=-≤≤R ∣∣， 所以(){22}AB x x =-<≤R∣.（2）由(1)得{23}A xx =-<<∣，又{4B x x =<-∣或2}x >，所以{4A B x x =<-∣或2}x >-，所以(){42}A B x x =-≤≤-R∣.而{321}C x a x a =-<<+∣，要使()AB C ⊆R，只需324,12,a a -<-⎧⎨+>-⎩所以3a -<<233a a ⎫-<<-⎬⎭∣. 18、答案：（1）见解析 （2）32k -≤≤解析：（1）因为不等式2320ax x -+>的解集为{1xx <∣或}x b >， min()A min()1A =||1A ≤{1}A =min()2A =||2A ≤{2},{2,3},{2,4},{2,5}min()3A =||3A ≤{3},{3,4},{3,5},{3,4,5}min()4A ={22}x x -<≤∣所以关于x 的方程2320ax x -+=有两个实根，分别为1x =21,x b =，且有0a >，1,2.a b =⎧⇒⎨=⎩ 21n+=，因为不等式222m n k k +≥++恒成立，所以2min (2)2m n k k ≥+++.因为1242(2)4n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭48≥+=，当且仅当2n m =时，取等号，所以282k k ≥++，即260k k +-≤， 解得32k -≤≤. 19、答案：（1）1k =（2）尾气净化装置安装后日产量为8吨时，日平均利润最大，其最大值为4万元.解析：（1）由题意，尾气净化装置安装后总成本222(154)12082(153)1208y x k x k kx x k x k =+-+++=+-++，当日产量1x =时，总成本142y =，代入计算得1k =. （2）由(1)可得2212128y x x =++，总利润()2248212128236128(0)L x x x x x x =-++=-+->，∴尾气净化装置安装后日产量为8吨时，日平均利润最大，其最大值为4万元.20、答案：（1） （2） 解析：（1）由题意可知，202(1)0(2)0a a a --⨯+-<，{02}aa <<∣322aa ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭∣解得02a <<.故实数a 的取值范围为{02}aa <<∣. （2）由，解得. 由，解得. 故， 从而或.因为p 是的充分不必要条件，2x x a ≤-∣或}x a ≥， 322aa ⎫≤≤⎬⎭∣. 21.答案：（1）5()f x x -=（2）该幂函数为奇函数，其单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞ 解析：（1）由题意得，22941m m +-=，解得12m =或5m =-， 经检验当12m =时，函数()f x 在区间(,0)-∞上无意义， 所以，则5()f x x -=. （2），∴要使函数有意义，则， 即定义域为(,0)(0,)-∞+∞，其关于原点对称.5511()()()f x f x x x -==-=--， ∴该幂函数为奇函数.当0x >时，根据幂函数的性质可知5()f x x -=在(0,)+∞上为减函数，函数()f x 是奇函数，∴在(,0)-∞上也为减函数，故其单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞.22 （2）见解析（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭22320x x --≥x ≤2x ≥22(1)(2)0x a x a a --+-<2a x a -<<:p x ≤2,:2x q a x a ≥-<<:2q x a ⌝≤-x a ≥q ⌝5m =-551()f x x x -==0x ≠. （2）证明：任取，且， 则因为，所以， 所以，即. 所以函数在上为增函数.（3）由(2)知()f x 在(2,2)-上为增函数，又(2)(21)f a f a +>-，所以222,2212,221,a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩解得40,13,223,a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩即102a -<<. 所以实数a 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.1(1)14=+2155101145==⎛⎫+ ⎪⎝⎭12,(2,2)x x ∈-12x x <()()1212221244x x f x f x x x -=-++=1222x x -<<<21120,40x x x x ->-<()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x (2,2)-。

数学模拟试卷03第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）．A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=， ∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．50-B ．50C ．50-D ．50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选：A.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==， 又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤， 故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知， 函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）． A ．[]3,3- B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-， 由()2f x ≤， 解得：()22f x -≤≤， 由()f x 在R 上单调递增， 解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π； 【解析】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π， 则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==， 故答案为：π.12．（2020·浙江宁波市·高三期中）设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示）【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =，22394429log log a ∴===，4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+， 故答案为：9，1a +．13．（2020·深圳科学高中高一期中）某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________． 【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意，设月通话时间为t 分钟，有甲费用为300.1t +，乙费用为0.2t ， ∴每月手机费预算为50元，则：由300.150t +=知，甲的通话时间为200分钟， 由0.250t =知，乙的通话时间为250分钟， ∴用户每月手机费预算为50元，用乙种卡合算；要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲费用更低，即300.10.2t t +<， 解得300t >时，费用在(60,)+∞. 故答案为：乙，(60,)+∞14．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______． 【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时，由13x e -≤得1ln3x ≤+，所以1x <； 当1≥x 时，由213x ≤得9x ≤，所以19x ≤≤． 综上，符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞． 故答案为：(,9]-∞.15．（2020·辽宁本溪市·高二月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤. 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，游客甲位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-； 根据摩天轮转一周大约需要30min ， 可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ， 由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，030t ≤≤.当10t =时，π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：1852；π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤ 16．（2020·浙江建人专修学院高三三模）已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =，所以43a =，即2a =01a <<，所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17．（2020·上海虹口区·高三一模）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos α=.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末（文））函数()22xxaf x =-是奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()122xxf x =-；（2）5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数， ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-，故1a =， 故()122xx f x =-； ()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立，令()2(2)42x xh x =-⋅，(0)x >，显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-， 故14m +<-，解得：5m <-．19．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为2π；（2）()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（2019·河北师范大学附属中学高一期中）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21()2f x x x =-+；（2）存在；2m =-，0n =. 【解析】（1）由已知，设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-，所以()4442a -=-，解得12a =-， 即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+； （2）假设满足条件实数m ，n 的存在， 由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，因此122n ≤，即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程1x =，可知()f x 在区间[],m n 上递增，故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩，并注意到14m n <≤，解得2m =-，0n =. 综上可知，假设成立，即当2m =-，0n =时，()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值. 【答案】（1）37π；（2）14π. 【解析】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设函数()()21x x a t f x a--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2t =；经检验知符合题意.（2）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2132a a -=， ∴2a =（12a =-舍去）， 假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∵[]21,log 3x ∈，2[2,3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h t t mt =-+， ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0，∴（i ）若01m <<时，则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1， 由于对称轴122m t =<，∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意. （ii ）若1m 时，则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩， 而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 故()g x 在[]21,log 3无意义， 所以7324m =应舍去； ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解， 综上所述：故不存在正数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0．。

2014-2015学年某某省某某市龙河中学高三（上）模块数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数f（x）=+的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）2．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A． y=x，y= B． y=lgx2，y=2lgxC． y=|x|，y=（）2 D． y=1，y=x03．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={（x，y）|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（）A． {x|x＜1} B． {x|x＞1} C． {x|0＜x＜1} D．∅4．设，，，则（）A． a＜b＜c B． c＜b＜a C． c＜a＜b D． b＜a＜c5．已知偶函数f（x）在（﹣∞，﹣2]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A． B．C． D．6．函数f（x）=log（﹣3x+2）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，1） B．（2，+∞） C．（﹣∞，） D．（，+∞）7．f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上为增函数，g（x）为偶函数且在（﹣∞，0）上为增函数则在（0，+∞）上（）A．两个都是增函数 B．两个都是减函数C． f（x）为增函数g（x）为减函数 D． f（x）为减函数g（x）为增函数8．已知函数f（x）=a x在（O，2）内的值域是（a2，1），则函数y=f（x）的图象是（）A． B． C． D．9．设x＞y＞1，0＜a＜1，则下列关系正确的是（）A． x﹣a＞y﹣a B． ax＜ay C． a x＜a y D． log a x＞log a y10．函数y=x2与函数y=|lgx|图象的交点个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 311．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1对任意x∈（0，1]恒有f（x）≥0成立，则实数a的取值X围是（）A． [1，+∞） B． [﹣，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，﹣]12．函数y=ax2+bx与y=（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．幂函数的图象过点（2，），则它的解析式是．14．A={x|ax2﹣3x+2=0}至多有一个元素，则a的取值X围是．15．若定义在区间（1，2）内的函数f（x）=log3a（x﹣1）满足f（x）＞0，则a的取值X 围是．16．对于函数f（x）=x﹣2﹣lnx，我们知道f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4＞0，用二分法求函数f（x）在区间（3，4）内的零点的近似值，我们先求出函数值f（3.5），若已知ln3.5=1.25，则接下来我们要求的函数值是f （）．三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17．已知：函数f（x）=+lg（3x﹣9）的定义域为A，集合B={x|x﹣a＜0，a∈R}，（1）求：集合A；（2）求：A∩B≠∅，求a的取值X围．18．已知函数f（x）=log a（ax﹣）（a＞0，a≠1为常数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若a=2，x∈[1，9]，求函数f（x）的值域．19．某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1000万元．若市场对该产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收入近似满足函数R（m）=5000m﹣500m2（0≤m≤5，m∈N）（I）试写出第一年的销售利润y（万元）关于年产量x单位：百台，x≤5，x∈N*）的函数关系式；（说明：销售利润=实际销售收人一成本）（II ）因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用u （x）（万元）与年产量x（百台）的关系满足u（x）=500x+500（x≤3，x∈N*），问年产量x 为多少百台时，工厂所得纯利润最大？20．已知函数f（x）=a﹣（a∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．21．已知函数f（x）=2a•4x﹣2x﹣1．（1）当a=1时，求函数f（x）的零点；（2）若f（x）有零点，求a的取值X围．22．已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．（I）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）=x0，求函数f（x）的解析表达式．2014-2015学年某某省某某市龙河中学高三（上）模块数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数f（x）=+的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次根式的性质，以及分母不为0，得不等式组，解出即可．解答：解：由，得x＞﹣1且x≠1，故选C．点评：本题考查了二次根式的性质，求函数的定义域问题，是一道基础题．2．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A． y=x，y= B． y=lgx2，y=2lgxC． y=|x|，y=（）2 D． y=1，y=x0考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：证明题．分析：考查各个选项中的两个函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，否则，便不是同一个函数．解答：解：A中的两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．B中的两个函数定义域不同，故不是同一个函数．C中的两个函数定义域不同，故不是同一个函数．D中的两个函数定义域不同，故不是同一个函数．综上，只有A中的两个函数是同一个函数．故选 A．点评：本题考查函数的三要素，当且仅当两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系时，才是同一个函数．3．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={（x，y）|y=e x，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（）A． {x|x＜1} B． {x|x＞1} C． {x|0＜x＜1} D．∅考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：计算题．分析：由集合M={x|y=ln（1﹣x）}是数集，集合N={（x，y）|y=e x，x∈R}是点集，知M ∩N=Φ．解答：解：∵集合M={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}是数集，集合N={（x，y）|y=e x，x∈R}是点集，∴M∩N=Φ，故选D．点评：本题考查集合的交集的求法，解题时要注意对数函数的定义域的应用．4．设，，，则（）A． a＜b＜c B． c＜b＜a C． c＜a＜b D． b＜a＜c考点：不等关系与不等式；指数函数的单调性与特殊点．专题：不等式的解法及应用．分析：借助于中间量0，1，即可得出结论．解答：解：∵＜=0，＜=1且b＞0，=3，∴a＜b＜c，故选A．点评：本题考查大小比较，考查指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．5．已知偶函数f（x）在（﹣∞，﹣2]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A． B．C． D．考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得函数在[2，+∞）上是减函数，故自变量的绝对值越小，对应的函数值越大．再根据|4|＞|﹣|＞|﹣3|，可得f（﹣3）、f（﹣）、f（4）的大小关系．解答：解：由于偶函数f（x）在（﹣∞，﹣2]上是增函数，故函数在[2，+∞）上是减函数，故自变量的绝对值越小，对应的函数值越大．再根据|4|＞|﹣|＞|﹣3|，故有f（﹣3）＜f（﹣）＜f（4），故选：B．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．6．函数f（x）=log（﹣3x+2）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，1） B．（2，+∞） C．（﹣∞，） D．（，+∞）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：先确定函数的定义域，进而根据一次函数和对数函数的性质，分别判断内，外函数的单调性，进而根据复合函数“同增异减”的原则，得到答案．解答：解：∵函数的定义域为﹣3x+2＞0，∴x＜．令u=﹣3x+2，∵f（u）=log u是减函数，要求f（x）的单调增区间，只需求u=﹣3x+2的递减区间，即（﹣∞，）．故选：C点评：本题主要考查了对数函数的单调区间，复合函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”的原则，是解答本题的关键，解答时易忽略函数的定义域7．f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上为增函数，g（x）为偶函数且在（﹣∞，0）上为增函数则在（0，+∞）上（）A．两个都是增函数 B．两个都是减函数C． f（x）为增函数g（x）为减函数 D． f（x）为减函数g（x）为增函数考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：运用奇函数，偶函数的定义，单调性的概念，判断．解答：解：∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），设0＜x1＜x2，﹣x2＜﹣x1＜0∵f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，f（﹣x2）﹣f（﹣x1）＜0，﹣f（x2）+f（x1）＜0，f（x1）＜f（x2），g（﹣x2）﹣g（﹣x1）＜0，g（x2）＜g（x1）∴f（x）为增函数，g（x）为减函数故选：C点评：本题考查了函数的奇偶性的定义，单调性的定义，属于容易题．8．已知函数f（x）=a x在（O，2）内的值域是（a2，1），则函数y=f（x）的图象是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的值域确定a的取值X围，进而确定指数函数的单调性．解答：解：因为f（0）=1，f（2）=a2，所以由函数f（x）=a x在（O，2）内的值域是（a2，1），得函数单调递减，即0＜a＜1，所以函数对应的图象为A．故选A．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，利用函数的值域确定函数的单调性是解决本题的关键．9．设x＞y＞1，0＜a＜1，则下列关系正确的是（）A． x﹣a＞y﹣a B． ax＜ay C． a x＜a y D． log a x＞log a y考点：指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点．专题：转化思想．分析：由y=a x（0＜a＜1）减函数，结合x＞y＞1，根据减函数的定义可得结论．解答：解：∵y=a x（0＜a＜1）减函数又∵x＞y＞1∴a x＜a y故选C点评：本题主要考查指数函数，幂函数和对数函数的图象和性质，主涉及了利用其单调性来比较数的大小，还考查了转化思想．10．函数y=x2与函数y=|lgx|图象的交点个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：在同一坐标系内画出函数y=x2与y=|lgx|的图象，可以得出图象交点的个数．解答：解：在同一坐标系内画出函数y=x2与y=|lgx|的图象，如图所示：由图象知，函数y=x2与y=|lgx|图象在（0，1）内有一个交点，在[1，+∞）上无交点．故选：B．点评：本题考查了一元二次函数与对数函数的图象与性质的问题，是容易题．11．已知函数f（x）=x2﹣2ax+1对任意x∈（0，1]恒有f（x）≥0成立，则实数a的取值X围是（）A． [1，+∞） B． [﹣，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，﹣]考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：方法一、讨论判别式小于0，或判别式大于0，区间在对称轴的左边或右边，由单调性考虑最小值不大于0，解出不等式组即可；方法二、运用参数分离，得到2a≤x在x∈（0，1]恒成立，对右边运用基本不等式，求得最小值2，解2a≤2，即可得到．解答：解法一：依题意可得△=4a2﹣4≤0，或或，解得﹣1≤a≤1，或或，即有﹣1≤a≤1，或a＜﹣1或a∈∅，故实数a的取值X围是：（﹣∞，1]解法二：f（x）=x2﹣2ax+1对任意x∈（0，1]恒有f（x）≥0成立，即有2a≤x在x∈（0，1]恒成立，由于x≥2，当且仅当x=1取最小值2，则2a≤2，即有a≤1．故选C．点评：本题考查含参二次不等式恒成立问题可运用二次函数的性质和判别式，也可通过参数分离，运用基本不等式求最值，属于中档题．12．函数y=ax2+bx与y=（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．考点：二次函数的图象；对数函数的图像与性质．专题：压轴题；数形结合．分析：可采用反证法做题，假设A和B的对数函数图象正确，由二次函数的图象推出矛盾，所以得到A和B错误；同理假设C和D的对数函数图象正确，根据二次函数图象推出矛盾，得到C错误，D正确．解答：解：对于A、B两图，||＞1而ax2+bx=0的两根为0和﹣，且两根之和为﹣，由图知0＜﹣＜1得﹣1＜＜0，矛盾，对于C、D两图，0＜||＜1，在C图中两根之和﹣＜﹣1，即＞1矛盾，C错，D正确．故选：D．点评：考查学生会利用反证法的思想解决实际问题，要求学生掌握二次函数和对数函数的图象和性质．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．幂函数的图象过点（2，），则它的解析式是y=x﹣2．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．分析：已知函数为幂函数，求其解析式，假设解析式为y=x m，幂函数图象过点（2，），只需把点代入解析式中，求出m的值即可．解答：解：设幂函数的解析式为y=x m，已知幂函数的图象过点（2，），所以2m=，即m=﹣2，所以它的解析式为y=x﹣2．故答案为y=x﹣2点评：首先明白什么是幂函数，再利用待定系数法求幂函数的解析式，是函数的基本知识．14．A={x|ax2﹣3x+2=0}至多有一个元素，则a的取值X围是a≥或a=0 ．考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：分别讨论a的取值X围，利用方程根的个数即可得到结论．解答：解：若a=0，则ax2﹣3x+2=0等价为﹣3x+2=0，解得x=，此时A={}满足条件．若a≠0，当判别式△=9﹣8a=0时，即a=时，即集合A有一个元素满足条件．当判别式△=9﹣8a＜0时，即a＞时，即集合A有0个元素满足条件．综上：a≥或a=0，即a的取值X围是a≥或a=0，故答案为：a≥或a=0．点评：本题主要考查集合元素和集合关系的判断，利用方程根的个数是解决本题的关键．15．若定义在区间（1，2）内的函数f（x）=log3a（x﹣1）满足f（x）＞0，则a的取值X 围是（0，）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；数形结合．分析：由x∈（1，2），先确定x﹣1的X围（0，1），再结合对数函数的图象解决即可．解答：解：因为x∈（1，2），所以x﹣1∈（0，1），由f（x）＞0得0＜3a＜1，所以0＜a＜故答案为：（0，）点评：本题考查对数函数的图象和对数函数的单调性与特殊点，解答关键是数形结合，属基本题型的考查．16．对于函数f（x）=x﹣2﹣lnx，我们知道f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4＞0，用二分法求函数f（x）在区间（3，4）内的零点的近似值，我们先求出函数值f（3.5），若已知ln3.5=1.25，则接下来我们要求的函数值是f （ 3.25 ）．考点：二分法求方程的近似解．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x﹣2﹣lnx在区间（3，4）上连续且单调递增，f（3）=1﹣ln3＜0，f （4）=2﹣ln4＞0，f（3）f（4）＜0，由此可得函数的零点所在的初始区间，再计算函数值f（3.5），即可得出接下来我们要求的函数值．解答：解：函数f（x）=x﹣2﹣lnx在区间（3，4）上连续且单调递增，f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4＞0，f（3）f（4）＜0，故用二分法求函数f（x）=x﹣2﹣lnx的零点时，初始的区间大致可选在（3，4）上．又f（3.5）=3.5﹣2﹣ln3.5=0.25＞0，∴f（3）f（3.5）＜0，零点区间大致可选在（3，3.5）上，则接下来我们要求的函数值是区间（3，3.5）中点的函数值f （ 3.25）．故答案为：3.25．点评：本题主要考查函数的零点的定义，二分法求方程的近似解，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17．已知：函数f（x）=+lg（3x﹣9）的定义域为A，集合B={x|x﹣a＜0，a∈R}，（1）求：集合A；（2）求：A∩B≠∅，求a的取值X围．考点：对数函数的定义域；集合关系中的参数取值问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）被开方数大于等于0，对数的真数大于0，可求出集合A．（2）由A∩B≠∅，可知A与B有公共元素，可解出实数a的取值X围．解答：解（1）∵f（x）=+lg（3x﹣9）∴4﹣x≥0且3x﹣9＞0，即x≤4且x＞2，则A={x|2＜x≤4}（2）B={x|x﹣a＜0，a∈R}={x|x＜a}，由A∩B≠∅，因此a＞2，所以实数a的取值X围是（2，+∞）．点评：本题主要考查了函数的定义域及其求法，以及并集及运算和子集的概念，属于基础题．18．已知函数f（x）=log a（ax﹣）（a＞0，a≠1为常数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若a=2，x∈[1，9]，求函数f（x）的值域．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据对数函数成立的条件，即可求函数f（x）的定义域；（2）利用换元法，令2x﹣=t，再根据函数单调性得出不等式，解得即可．解答：解：（1）∵f（x）=log a（ax﹣）∴ax﹣＞0∴（a﹣1）＞0，∵＞0，∴a﹣1＞0，∵a＞0，∴＞．∴x＞，所以定义域为（，+∞）．（2）a=2时，f（x）=log2（2x﹣），令2x﹣=t，则t=2x﹣=2（﹣）2﹣因为x∈[1，9]，所以t∈[1，15]，所以log21≤log2（2x﹣）≤log215，即0≤f（x）≤log215所以函数f（x）的值域为[0，log215]．点评：本题主要考查复合函数的单调性以及函数的定义域和值域，考查学生的计算能力，属于基础题．19．某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1000万元．若市场对该产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收入近似满足函数R（m）=5000m﹣500m2（0≤m≤5，m∈N）（I）试写出第一年的销售利润y（万元）关于年产量x单位：百台，x≤5，x∈N*）的函数关系式；（说明：销售利润=实际销售收人一成本）（II ）因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用u （x）（万元）与年产量x（百台）的关系满足u（x）=500x+500（x≤3，x∈N*），问年产量x 为多少百台时，工厂所得纯利润最大？考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用销售利润=实际销售收人一成本，成本=固定成本+增加成本，即可得出；（Ⅱ）利用工厂所得纯利润=工厂销售利润﹣人员的年支出费用，及二次函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ），由题意可得，y=5000x﹣500x2﹣500﹣1000x，即y=﹣500x2+4000x﹣500，（x≤5，x∈N*）．（Ⅱ）设工厂所得纯利润为h（x），则h（x）=﹣500x2+4000x﹣500﹣u（x）=﹣500x2+3500x﹣1000=（x≤3，x∈N*）．∴当x=3时，函数h（x）取得最大值h（3）=5000．当年产量为3百台时，工厂所得纯利润最大，最大利润为5000万元．点评：正确理解销售利润=实际销售收人一成本、成本=固定成本+增加成本、工厂所得纯利润=工厂销售利润﹣人员的年支出费用、二次函数的单调性是解题的关键．20．已知函数f（x）=a﹣（a∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）首先判断函数的定义域是否关于原点对称，其次判断f（﹣x）±f（x）=0是否成立即可；（2）利用函数的单调性的定义即可判断证明．解答：解：（1）∵函数f（x）=a﹣（a∈R），定义域为实数集R．①∵f（﹣x）﹣f（x）==+==0，∴f（﹣x）=f （x）对于任意实数x都成立，∴函数f（x）是偶函数；②又f（﹣x）+f（x）=+a﹣=2a﹣×2，此式对于任意的实数x不满足f（﹣x）+f（x）=0，故此函数不是奇函数．（2）解：判断：函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．证明：任取0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==，由0＜x1＜x2，∴，，∴，，又，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．点评：熟练掌握函数的奇偶性的判断方法和证明函数的单调性是解题的关键．21．已知函数f（x）=2a•4x﹣2x﹣1．（1）当a=1时，求函数f（x）的零点；（2）若f（x）有零点，求a的取值X围．考点：函数的零点与方程根的关系；函数的零点．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）问题转化为a=1时解方程f（x）=0；（2）f（x）有零点，则方程2a•4x﹣2x﹣1=0有解，分离出a后转化为求函数的值域问题；解答：解：（1）当a=1时，f（x）=2•4x﹣2x﹣1．令f（x）=0，即2•（2x）2﹣2x﹣1=0，解得2x=1或（舍去）．∴x=0，函数f（x）的零点为x=0；（2）若f（x）有零点，则方程2a•4x﹣2x﹣1=0有解，于是2a===，∵＞0，2a=0，即a＞0．点评：本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查方程的思想，属中档题．22．已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．（I）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）=x0，求函数f（x）的解析表达式．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：压轴题．分析：（I）由题意知f（f（2）﹣22+2）=f（2）﹣22+2，f（1）=1，由上此可推出f（a）=a．（II）因为对任意x∈R，有f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．又因为有且只有一个实数x0，使得f（x0）=x0所以对任意x∈R，有f（x）﹣x2+x=x0，因为f（x0）=x0，所以x0﹣x02=0，故x0=0或x0=1．由此可推导出f（x）=x2﹣x+1（x∈R）．解答：解：（I）因为对任意x∈R，有f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x所以f（f（2）﹣22+2）=f（2）﹣22+2又由f（2）=3，得f（3﹣22+2）=3﹣22+2，即f（1）=1若f（0）=a，则f（a﹣02+0）=a﹣02+0，即f（a）=a．（II）因为对任意x∈R，有f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．又因为有且只有一个实数x0，使得f（x0）=x0所以对任意x∈R，有f（x）﹣x2+x=x0在上式中令x=x0，有f（x0）﹣x02+x0=x0又因为f（x0）=x0，所以x0﹣x02=0，故x0=0或x0=1若x0=0，则f（x）﹣x2+x=0，即f（x）=x2﹣x但方程x2﹣x=x有两个不相同实根，与题设条件矛盾．故x0≠0若x0=1，则有f（x）﹣x2+x=1，即f（x）=x2﹣x+1，此时f（x）=x有且仅有一个实数1．综上，所求函数为f（x）=x2﹣x+1（x∈R）点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．。

绍兴一中高三数学期中考试试题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集U=R ，集合A ＝}01{≤+xx x，则集合A C U 等于 （ ） A. }01{>-<x x 或 B. }01{>-≤x x 或 C. }01{≥-<x x 或 D. }01{≥-≤x x 或 2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，()2x f x =，则)2(-f 等于（ ）A ．14 B ．4- C ．41- D ．4 3．已知z =ii31+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．关于直线a 、b 、l 及平面α、β，下列命题中正确的是 （ ） A ．若a ∥α，b ∥β，则a ∥b B ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥α C ．若a ⊂α，b ⊂α，且l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥α D ．若a ⊥α，a ∥β，则α⊥β 5.已知xy d y x c y b x a y x =+===<<,21,,,0,则它们的大小关系为（ ） A.a c d b <<< B.b c d a <<< C.b d c a <<< D.a c b d <<<6．已知一个空间几何体的三视图如图1所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 (单位:cm )，可得这个几何体的体积是（ ） A ．πcm 3B ．34πcm 3C ．35πcm 3 D ．2π cm37. 在△ABC 中，角A 、 B 、 C 所对的边分别为,,a b c 若2cos a B c =，则-212cos sin 2AB ++的取值范围是 （ ）A．[ B．(1- C． D．8．有两盒写有数字的卡片，其中一个盒子装有数字1，2，3，4，5各一张，另一个盒子 装有数字2，3，6，8各一张，从两个盒子中各摸出一张卡片，则摸出两张数字为相邻整 数卡片的概率是 （ ）俯视图图190807060500.040.030.020.01图2A ．14 B ．15 C ．310D ．7209.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B C ．2 D 110．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）。

期末精选50题（提升版）一、单选题1．（2020·浙江杭州·高一期末）若a ，b ，c 均为正实数，则三个数1a b+，1b c +，1c a+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个不小于2【答案】D【分析】对于选项ABC 可以举反例判断，对于选项D, 可以利用反证法思想结合基本不等式，可以确定1a b+，1b c +，1c a+至少有一个不小于2，从而可以得结论． 【详解】解：A. 都不大于2，结论不一定成立，如2,3,4a b c ===时，三个数1a b +，1b c +，1c a+都大于2，所以选项A 错误；B. 都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如1,2,a b ==则12a b+<，所以选项B 错误；C.至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如2,3,4a b c ===时，三个数1a b +，1b c+，1c a+都大于2，所以选项C 错误. 由题意，∵a ，b ，c 均为正实数， ∴1111112226a b c a b c bca ab c+++++=+++++≥++=． 当且仅当a b c ==时，取“=”号， 若12 a b +<，12b a+<，12c c +<，则结论不成立， ∴1a b+，1b c +，1c a+至少有一个不小于2，所以选项D 正确； 故选：D ．2．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）在使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做22x x -+的上确界，若0,0a b >>，且1a b +=，则122a b--的上确界为（ ） A ．3-B ．4-C ．14-D ．92-【答案】D【分析】根据题意，结合均值不等式中“1”的妙用，即可求解. 【详解】根据题意，由1a b +=，得()1212252222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫--=--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0a >，0b >，所以222b a a b +≥=，当且仅当22b a a b =，即223b a ==时，等号成立， 因此255922222b a a b ⎛⎫-+-≤--=-⎪⎝⎭，根据定义知，122a b --的上确界为92-. 故选：D.3．（2020·上海市洋泾中学高一期末）若0a b <<，则下列不等式中不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．a b >D ．22a b >【答案】B【分析】对于A,C,D 利用不等式的性质分析即可，对于B 举反例即可 【详解】对于A ，因为0a b <<，所以0ab >，所以0a b ab ab <<，即11a b>，所以A 成立； 对于B ，若2,1a b =-=-，则11a b =--，112a =-，此时11a a b>-，所以B 不成立；对于C ，因为0a b <<，故0a b ->->，所以||||a b >，所以C 成立；对于D ，若0a b <<，故0a b ->->，即22()()0a b ->->，则22a b >，所以D 成立； 故选：B4．（2020·安徽·定远县育才学校高一期末）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(),0-∞上是增函数，()20f -=，则()0x f x ⋅<解集是（ ）A ．()()2,00,2-B ．()(),20,2-∞-C ．()(),22,-∞-+∞D ．()()2,02,-+∞【答案】A【分析】由奇函数性质可得()f x 在()0,∞+上是增函数，由此可确定()f x 在不同区间内的正负，结合x 的正负可得结果. 【详解】()f x 为R 上的奇函数，且在(),0-∞上是增函数，()f x ∴在()0,∞+上是增函数，又()()220f f =--=，∴当2x <-时，()0f x <；当20x -<<时，()0f x >；当0x =时，()00f =；当02x <<时，()0f x <；当2x >时，()0f x >；∴当20x -<<或02x <<时，()0x f x ⋅<，即()0x f x ⋅<的解集为()()2,00,2-.故选：A.5．（2021·广西南宁·高一期末）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值围是（ ） A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】根据题意得()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，进而得1213x -<，再解不等式即可.【详解】因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以不等式等价为()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即：1213x -<，所以112133x -<-<，解得：1233x <<，故x 的取值范围是1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故选：A6．（2021·湖南·长沙县第九中学高一期末）已知()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】利用分段函数在R 上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.【详解】因函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是定义在R 上的减函数，则有31001(31)40a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得1173a ≤<，所以a 的取值范围是11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D7．（2018·江西横峰·高一期末（理））函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，π2ϕ<）的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位后得到的函数为偶函数，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线π6x =对称 B ．关于直线π12x =对称 C ．关于点π(,0)6对称 D ．关于点π(,0)12对称 【答案】D【分析】先利用周期公式求出ω值，再利用图象平移和奇偶性求得ϕ值，再利用π6f ⎛⎫⎪⎝⎭、π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值判定是否具有对称性.【详解】因为()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为π， 所以2π=πT ω=，解得2ω=，即()()sin 2f x x ϕ=+，将()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移π3个单位后得到π2πsin 2sin 233y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，因为2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数，所以2ππ=π32k ϕ++，Z k ∈， 即ππ6k ϕ=-+，Z k ∈， 又因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，即()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为ππ1sin =662f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以选项A 、C 错误；因为πsin 0=012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，即选项D 正确.故选：D.8．（2020·广东揭东·高一期末）已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为P ⎝⎭，则()()3sin 2cos cos 2παπαπα--+⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1 B ．2-C ．1-D ．2【答案】D【分析】利用任意角三角函数定义可求得tan α，结合诱导公式可得关于正余弦的齐次式，由此求得结果.【详解】由题意得：tan 2α==-，()()3sin 2cos 3sin 2cos 3tan 22sin tan cos 2παπααααπααα--+++∴===⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：D.9．（2021·浙江·高一期末）“1a >且0b >”是“1b a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分充分性和必要性进行判断： 充分性：利用x y a =的单调性判断； 必要性：取特殊值进行否定.【详解】充分性：当1a >时，x y a =为增函数，所以当0b >时，有1b a >成立，故充分性满足；必要性：当1b a >时，取1==12a b -，,满足1b a >但是不符合1a >且0b >，故必要性不满足.所以“1a >且0b >”是“1b a >”的充分而不必要条件. 故选：A【点睛】判断充要条件的四种方法：（1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法.10．（2018·浙江诸暨·高一期末）已知定义在实数集上的函数()f x 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，(1)0f =，则不等式()0xf x >的解集为 （ ）A ．()(),11,-∞-+∞B ．()(1,01,)-+∞C ．()1,0(0,1)-⋃D ．(),1(0,1)-∞-⋃【答案】B【分析】根据函数()f x 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，可得函数在(),0-∞上单调递减，从而可得不等式()0xf x >等价于()00x f x >⎧⎨>⎩或()0x f x <⎧⎨<⎩，从而可得出答案.【详解】解：因为函数()f x 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增， 所以函数在(),0-∞上单调递减， 又因(1)0f =，所以(1)0f -=，不等式()0xf x >等价于()00x f x >⎧⎨>⎩或()00x f x <⎧⎨<⎩，即()()01x f x f >⎧⎨>⎩或()()01x f x f <⎧⎨<-⎩，所以10x -<<或1x >，即不等式()0xf x >的解集为()(1,01,)-+∞. 故选：B.11．（2021·全国·高一期末）如果在实数运算中定义新运算“⊗”：()ln e e x yx y ⊗=+．那么对于任意实数a 、b 、c ，以下结论中不一定成立的是（ ）A ．a b b a ⊗=⊗B ．()a b c a b a c ⊗+=⊗+⊗C ．()()a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗D ．()()()a b c a c b c ⊗+=+⊗+【答案】B【分析】计算出a b ⊗和b a ⊗可判断A ；利用0a b c ===可判断B ；计算出()⊗⊗a b c 、()⊗⊗a b c 可判断C ；计算出()⊗+a b c 、()()+⊗+a c b c 可判断出D ．【详解】A 中，()ln e e a b a b ⊗=+，()ln e e b ab a ⊗=+，得a b b a ⊗=⊗，所以A 一定成立；B 中，当0a b c ===时，()ln 2a b c ⊗+=，而2ln 2a b a c ⊗+⊗=，所以B 不一定成立；C 中，()()()ln e e ln ee ln e e e a bc a b c a b c +⎡⎤⊗⊗=+=++⎢⎥⎣⎦，()()()ln e e ln e e ln e e e b c a a b c a b c +⎡⎤⊗⊗=+=++⎢⎥⎣⎦，所以C 一定成立；D 中，()()ln e e a b a b c c ⊗+=++，()()()ln e e a c b ca cbc +++⊗+=+()()ln e e e ln e ln e e c a bc a b ⎡⎤=+=++⎣⎦()ln e e a b c =++，所以D 一定成立． 故选：B.12．（2021·甘肃张掖·高一期末（理））如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ，且射线OA 和射线OB 关于x 轴对称，射线OA 与单位圆的交点为34,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos()βα-的值是（ ）A ．2425-B ．2425C ．725D ．725-【答案】D【分析】由三角函数的定义可得cos α，sin α，cos β，sin β的值，再由差角的余弦公式计算即得. 【详解】由任意角的三角函数的定义可得，3cos 5α=-，4sin 5α， 因34,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且射线OA 和射线OB 关于x 轴对称，则射线OB 与单位圆的交点为34,55B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，于是得3cos 5β=-，4sin 5β=-，因此，33449167cos()cos cos sin sin 5555252525βαβαβα⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以cos()βα-的值是725-. 故选：D二、多选题13．（2020·广东·仲元中学高一期末）已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，c d >，则ac bd >B ．若221a b +=，则a b +≤C ．若a b >，c d >，则a d b c ->-D ．若0a >，则12a a+≥【答案】BCD【分析】取2a =，1b =，2c =-，4d =-可判断A ；由2212a b ab +≥=，以及222()22a b a b ab +=++≤可判断B ；利用不等式的性质可判断C ；利用均值不等式可判断D【详解】选项A ，取2a =，1b =，2c =-，4d =-，满足a b >，c d >，则ac bd =，错误； 选项B ，由于2()0a b -≥，故2212a b ab +≥=，故222()2112a b a b ab +=++≤+=故a b +≤选项C ，若c d >，则d c ->-，且a b >，则a d b c ->-，正确；选项D ，由0a >，利用均值不等式，12a a +≥，当且仅当1a a =，即1a =时等号成立，正确故选：BCD14．（2021·广东高州·高一期末）王老师往返两地的速度分别为m 和()n m n <，全程的平均速度为v ，则( )A ．v =B ．2mnv m n=+ C 2m nv +<D ．m v <<【答案】BD【分析】首先求出全程所需时间，即可求出全程平均速度，进而判断AB ；根据全程的平均速度并结合均值不等式和作差法比较大小即可判断CD.【详解】设两地路程为s ，则全程所需的时间为s s m n+， 则全程的平均速度22s mnv s s m n m n==++，A 错误，B 正确；又由0n m >>，由均值不等式可得，m n +>故2mn v m n =<+C 错误； 因为22220mn mn m m m v m m m n m n m n---=-=>=+++， 所以v m >，则m v <<D 正确． 故选：BD ．15．（2021·广东蓬江·高一期末）已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①x R ∀∈，()()f x f x -=；②1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=.则下列选项成立的是（ ） A ．()()34f f > B ．若()()12f m f -<，则(),3m ∈-∞ C ．若()0f x x>，则()()1,01,x ∈-⋃+∞ D ．x R ∀∈，m ∃∈R ，使得()f x m ≥【答案】CD【分析】根据题中的条件确定函数的奇偶性和单调性，再逐项验证即可得出答案. 【详解】根据题中条件①知，函数()f x 为R 上的偶函数； 根据题中条件②知，函数()f x 在()0,+∞上单调递增. 根据函数的单调性得，()()34f f <，选项A 错误； ()f x 是R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增()()12f m f ∴-<时， 12m -<，解得13m -<<，选项B 错误；()()()()001100f x f x f f xx ⎧>>-==∴⎨>⎩，或 ()00f x x ⎧<⎨<⎩解得1x >或10x -<<，即()0f x x>时，()()1,01,x ∈-⋃+∞，选项C 正确；根据偶函数的单调性可得，函数()f x 在(),0-∞上单调递减()f x ∴在R 上有最小值，故选项D 正确.故选：CD.16．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）函数())f x mx n =+，下列命题为真命题的是（ ）A ．,(2)()m R f x f x π∀∈+=B ．,(1)()m R f x f x ∃∈+=C ．,()?m R f x ∀∈都不是偶函数D ．,()m R f x ∃∈是奇函数【答案】BD【分析】取特殊值，利用正弦型函数的运算性质进行判断﹒【详解】A 选项，若命题()()()22f x m x n mx n ππ⎡⎤⎣⎦＋＋＋＋成立，则m 必须为整数，所以是假命题；B 选项，当2m π＝时，函数()()f x mx n ＋满足()()()()1222f x x n x n f x πππ＋＋＋＋＝，∴B是真命题；C 选项，当2n π＝时，()()()()f x mx f x mx mx f x --，＝，满足()()f x f x -＝，∴C是假命题；D 选项，当2n π＝时，()f x mx ，满足()()()f x mx mx f x ---＝＝，∴D是真命题． 故选：BD ．17．（2021·浙江浙江·高一期末）“22320x x --<”的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．1x >- B ．01x <<C ．1122x -<<D ．2x <【答案】BC【分析】化简22320x x --<得122x -<<，再利用集合的关系判断得解.【详解】22320x x --<，所以122x -<<.设1(,2)2M =-,设选项对应的集合为N ,因为选项是“22320x x --<”的一个充分不必要条件， 所以N 是M 的真子集. 故选：BC.【点睛】方法点睛：判断充分必要条件的常用方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法判断得解.18．（2021·广东·仲元中学高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则()f x 满足（ ）A ．()00f =B ．()y f x =是奇函数C ．()f x 在[],m n 上有最大值()f nD ．()10f x ->的解集为(),1-∞【答案】ABD【分析】利用赋值法可判断A 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B 选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C 选项的正误；利用函数()f x 的单调性解不等式()10f x ->，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，令0x y ==，可得()()020f f =，解得()00f =，A 对； 对于B 选项，函数()y f x =的定义域为R ，令y x =-，可得()()()00f x f x f +-==，则()()f x f x -=-， 故函数()y f x =是奇函数，B 对；对于C 选项，任取1x 、2x R ∈且12x x <，则()120f x x ->，即()()()()()1212120f x x f x f x f x f x -=+-=->，所以()()12f x f x >， 所以，函数()f x 为R 上的减函数，所以，()f x 在[],m n 上有最大值()f m ，C 错；对于D 选项，由于()f x 为R 上的减函数，由()()100f x f ->=，可得10x -<，解得1x <，D 对. 故选：ABD.19．（2021·河北张家口·高一期末）设函数()1,2,x x x af x x a -≤⎧=⎨>⎩，若()()120f f =，则实数a 可以为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】AB【分析】分0a <、01a ≤<、1a ≥三种情况讨论，验证()()120f f =是否成立，综合可得出实数a 的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】若0a <，则()01f =，()12f =，()()120f f =成立； 若01a ≤<，则()01f =，()12f =，()()120f f =成立； 若1a ≥，则()01f =，()10f =，()()120f f =不成立. 综上所述，实数a 的取值范围是(),1-∞. 故选：AB.20．（2021·重庆·高一期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[ 3.2]4-=-，[2.3]2=.已知函数21()122xxf x =-+，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 在R 上是减函数 C ．()g x 是偶函数 D ．()g x 的值域是{}1,0-【答案】AD【分析】利用奇偶性的定义判断选项A ，C ，由函数单调性的结论，判断选项B ，由函数单调性求出f （x ）的取值范围，结合定义可得g （x ）的值域，即可判断选项D ．【详解】解：因为函数11()112221122x x x f x =-=--=++＝11212x -+， 所以()121()1221221x x x f x f x ---=-=-=-++， 则函数f （x ）为奇函数， 故选项A 正确； 因为()11212xf x =-+所以f （x ）在R 上单调递增，故选项B 错误； 因为()11212xf x =-+，则()()11g f ==⎡⎤⎣⎦110212⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦， ()()11g f -=-=⎡⎤⎣⎦1111212⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦， 因为()()11g g -≠所以函数g （x ）不是偶函数， 故选项C 错误； 又121x +>， 所以11()22f x -<<，故g （x ）＝[f （x ）]的值域为{﹣1，0}， 故选项D 正确． 故选：AD ．21．（2021·河北张家口·高一期末）已知函数()21xf x =-，实数a 、b 满足()()()f a f b a b =<，则下列结论正确的有（ ） A ．222a b +> B ．a ∃、b ，使01a b <+< C ．222a b += D ．0a b +<【答案】CD【分析】作出函数()21xf x =-的图象，利用绝对值的性质可得出222a b +=，可判断AC 选项的正误，利用基本不等式可判断BD 选项的正误.【详解】画出函数()21xf x =-的图象如下图所示：当0x <时，21x <，则()()120,1xf x =-∈，设()()()f a f b t a b ==<，则01t <<，因为()()120,1af a =-∈，可得021a <<，可得0a <， 由()()210,1bf b =-∈，可得122b <<，可得01b <<，由()()f a f b =，可得1221a b -=-，则222a b +=，A 错，C 对；由基本不等式可得222a b =+>=21a b +<，则0a b +<，B 错，D 对. 故选：CD.22．（2021·河北迁安·高一期末）给定函数()221xf x x =+（ ） A ．()f x 的图像关于原点对称 B ．()f x 的值域是[]1,1- C ．()f x 在区间[)1,+∞上是增函数 D ．()f x 有三个零点【答案】AB【分析】对于A ：由函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=-，可判断； 对于B ：当0x =时，()0f x =，当0x ≠时，()21f x x x=+，由12x x +≥或12x x +≤-，可判断； 对于C ：由1t x x=+在[)1,+∞单调递增可判断； 对于D ：令()0f x =，解方程可判断.【详解】解：对于A ：因为函数()f x 的定义域为R ，且()()()()222211x xf x f x x x --==-=-+-+，所以函数()f x 是奇函数，所以()f x 的图像关于原点对称，故A 正确； 对于B ：当0x =时，()0f x =， 当0x ≠时，()21f x x x=+，又12x x +≥或12x x +≤-，所以()01f x <≤或()10f x -≤<， 综上得()f x 的值域为[]1,1-，故B 正确； 对于C ：因为1t x x=+在[)1,+∞单调递增，所以由B 选项解析得， ()f x 在区间[)1,+∞上是减函数，故C 不正确； 对于D ：令()0f x =，即2201xx =+，解得0x =，故D 不正确， 故选：AB.23．（2021·广东·仲元中学高一期末）已知函数()sin cos f x x x =+，()cos g x x x =⋅，则下列结论中正确的是（ ）A ．两函数的图象均关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称B ．两函数的图象均关于直线4x π=-成轴对称C ．两函数在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是单调增函数D ．两函数的最大值相同 【答案】CD【分析】根据题意，先化简两函数解析式，再结合正弦函数的图像性质，一一判断即可. 【详解】根据题意得，()4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()2g x x =. 对于选项AB，因0444f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，042g ππ⎛⎫⎛⎫-=-=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，而函数()y g x =的图象关于直线4x π=-成轴对称，故AB 都错；对于选项C ，当,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，因sin y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以两函数在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是单调增函数，故C 正确；对于选项D ，因()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2g x x =，所以()()max max f x g x ==D 正确. 故选：CD.三、填空题24．若正数x ，y 满足3xy x y =++，则x y +的取值范围是______． 【答案】[6,)+∞【分析】利用均值不等式以及换元求出答案. 【详解】因为0,0x y >>，由均值不等式得：232x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，令x y t +=，则232t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭．化简得24120t t --≥ 解得6t ≥或2t ≤-（舍去）， 所以x y +的取值范围为[6,)+∞. 故答案为：[6,)+∞.25．（2021·辽宁·抚顺市第六中学高一期末）设1x >-则231x x y x ++=+的最小值为________【答案】1【分析】利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】由1x >-，可得10x +>.可令()10t x t =+>，即1x t =-，则()()22113331111t t x x t x t t -+-+++==+-=+≥，当且仅当t =1x =时，等号成立.故答案为：1．26．（2020·天津河西·高一期末）已知函数()()2,0,1,0,x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若()0f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为______． 【答案】[]0,2【分析】利用定义可知1()f x x a x =++在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以当1x =时，1()f x x a x=++取得最小值为2a +，再根据(0)f 是()f x 的最小值，可知0a ≥且2(0)2a a -≤+，解得结果即可得解. 【详解】当0x >时，1()f x x a x=++，任设120x x <<，则12121211()()f x f x x a x a x x -=++---12121()(1)x x x x =--， 当120x x <<1<时，120x x -<，12110x x -<， 所以12121()(1)0x x x x -->，所以12()()f x f x >， 当121x x <<时，120x x -<，12110x x ->， 所以12121()(1)0x x x x --<，所以12()()f x f x <， 所以1()f x x a x=++在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增， 所以当1x =时，1()f x x a x=++取得最小值为2a +，又因为(0)f 是()f x 的最小值，所以0a ≥且2(0)2a a -≤+，解得02a ≤≤. 故答案为：[]0,2.27．（2021·上海徐汇·高一期末）若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰有三个实数根，则实数m的取值范围是________【答案】 【分析】题中有绝对值,故考虑分绝对值中的正负情况进行去绝对值讨论即可.【详解】设54()45f x x x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,()0,x ∈+∞.当450x x -≥时,有x ≥;当450x x -<时有0x <<故19,0()9,x x x f x x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩.当0x <<196y x x =+≥，当且仅当19x x=，即13x =时取等号根据对勾函数1y x x=+性质可知故19y xx=+在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在13⎛⎝⎭上单调递增.又9y xx=-+在⎫+∞⎪⎪⎣⎭为减函数,如图11()936 33f=⨯+=.f==故方程5445x x mx x⎛⎫+--=⎪⎝⎭在()0,∞+内恰有三个相异实根则m⎛∈⎝⎭.故答案为：⎛⎝⎭28．（2021·上海徐汇·高一期末）下列四个命题中正确的是________①已知定义在R上的偶函数(1)y f x=+，则(1)(1)f x f x+=-；②若函数()y f x=，x D∈，值域为A（A D≠），且存在反函数，则函数()y f x=，x D∈与函数1()x f y-=，y A 是两个不同的函数；③已知函数1()3.5f xx=-，*x∈N，既无最大值，也无最小值；④函数||2||()(21)5(21)6x xf x=---+的所有零点构成的集合共有4个子集；【答案】①②【分析】由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由()f x的单调性可判断③；由()0f x=的解的个数和集合的子集个数，可判断④．【详解】①已知定义在R上是偶函数(1)y f x=+，设()(1)F x f x=+，可得()()F x F x-=，则(1)(1)f x f x+=-，故①正确；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数， 则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A ，即1()y f x -=，x A ∈，由于A D ≠是两个不同的函数，故②正确； ③已知函数1() 3.5f x x =-，*x ∈N ，由()f x 在[)1,3.5递减，在()3.5,+∞递减， 当[)1,3.5x ∈时，()0f x <，当 ()3.5,x ∈+∞时，()0f x > 又*x ∈N ，所以()min 2()23f x f ==-，故③错误；④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+，由()0f x =，可得||212x -=或3，解得2log 3x =±或2x =±，()f x 的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为：①②．29．（2020·上海金山·高一期末）若43cos ,cos()55ααβ=+=，且,αβ均为锐角，则sin β=________． 【答案】725【分析】先求得()sin ,sin ααβ+的值，由()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦可求得sin β的值. 【详解】解：由于,αβ是锐角，所以0αβ<+<π，所以()34sin ,sin 55ααβ=+， 所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦44337555525=⨯-⨯=. 故答案为：725. 30．（2020·广东揭东·高一期末）已知函数()sin cos f x a x b x =+的单调递增区间为()22,233k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，则a b =________ 【分析】令0k =可得()f x 一个单调递增区间，根据对称性可知06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由此可构造方程求得结果.【详解】令0k =，则()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，23326πππ-+=-，06f π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，即102a -=，a b ∴=31．（2021·云南·昭通市昭阳区第二中学高一期末）在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)．（1）如图①所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的充要条件； （4）如图④所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件． 【答案】（1）（2）（3）【分析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结果必须有这一条件，但是有这一条件还不够；充要条件是条件和结果可以互推；条件和结果没有互推关系的是既不充分也不必要条件【详解】（1）开关A 闭合，灯泡B 亮；而灯泡B 亮时，开关A 不一定闭合，所以开关A 闭合是灯泡B 亮的充分不必要条件，选项（1）正确.（2）开关A 闭合，灯泡B 不一定亮；而灯泡B 亮时，开关A 必须闭合，所以开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件，选项（2）正确.（3）开关A 闭合，灯泡B 亮；而灯泡B 亮时，开关A 必须闭合，所以开关A 闭合是灯泡B 亮的充要条件，选项（3）正确.（4）开关A 闭合，灯泡B 不一定亮；而灯泡B 亮时，开关A 不一定闭合，所以开关A 闭合是灯泡B 亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误. 故答案为（1）（2）（3）.32．已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为___________.【答案】3【分析】由条件24xy x y ++=可得421xy x -=+且02x <<，利用基本不等式求解即可 【详解】由24xy x y ++=得421xy x -=+， 又x ，y 为正实数，所以4201xy x -=>+，得02x <<， 则()216421111x xx y x x x x -++-+=+=++-++，613331x x =++-≥=+，当且仅当611x x =++,即1x =时取等号，所以x y +的最小值为3，故答案为：333．（2020·广东·仲元中学高一期末）已知函数2()21,[0,2]f x x x x =-++∈，函数()1=-g x ax ，[]1,1x ∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x ≥成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(][),33,-∞-+∞【分析】根据题意得到()()max max g f x x ≥，从而只需求函数()f x 和函数()g x 的最大值即可. 【详解】因为对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x ≥成立， 所以只需()()max max g f x x ≥，因为()22()2112f x x x x =-++=--+，所以当[0,2]x ∈时，()max 2f x =；当0a >时，()1=-g x ax 在[]11-，上单调递增，所以()max 1g x a =-， 所以此时只需12a -≥，即3a ≥；当0a <时，()1=-g x ax 在[]11-，上单调递减，所以()max 1g x a =--， 所以此时只需12a --≥，即3a ≤-； 当0a =时，()1g x =-，此时不满足题意. 综上知：实数a 的取值范围为(][),33,-∞-+∞.故答案为：(][),33,-∞-+∞.34．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期末）十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”.如果把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示.在一个黄金三角形ABC 中，BC AC =cos144°=___________.【答案】【分析】由图形知，36A ∠=︒，求出sin18︒，利用二倍角公式以及诱导公式求解即可．【详解】解：由图形知，36A ∠=︒，则1182A ∠=︒，11sin1822BC AC ︒=⨯=，所以22cos3612sin 1812︒=-︒=-⨯=⎝⎭故cos144cos36︒=-︒=故答案为： 四、解答题35．（2020·浙江·高一期末）已知不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >. （1）求实数a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式()20cx ac b x ab -++>（其中c 为实数）.【答案】（1）1a =，2b =，（2）答案见解析【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的解，由此求出a 、b 的值；（2）不等式化为(1)(2)0x cx -->，然后分0c ，0c <和0c >讨论即可求出不等式的解集． （1）不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <，或}x b >， 所以1和b 是方程2320ax x -+=的解， 所以320a -+=，解得1a =；由根与系数的关系知21b a⨯=，解得2b =； 所以1a =，2b =；.（2）由（1）知，不等式()20cx ac b x ab -++>为()2220cx c x ++>-，即(1)(2)0x cx -->，当0c 时，不等式化为()210x -->，解得1x <； 当0c <时，解不等式得21x c<<；当0c >时，若21c>，即02c <<时，解不等式得1x <或2x c >，若21c =，即2c =时，解不等式得1x ≠，若21c<，即2>c ，解不等式得2x c<或1x >， 综上知，0c 时，不等式的解集为{|1}<x x ； 0c <时，不等式的解集为21x x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭02c <<时，不等式的解集为{|1x x <或2}x c>；2c =时，不等式的解集为{|1}x x ≠2>c 时，不等式的解集为{2|x x c<或1}x >． 36．（2021·山东济宁·高一期末）在①“x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件；②A B B ⋃=；③A B =∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合11{|}A x a x a =-≤≤+，{|13}B x x =-≤≤.（1）当a =2时，求A B ；（2）若选 ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|13}B x x A -≤≤⋃=；（2）答案见解析. 【分析】（1）当2a =时，求出集合A 再根据并集定义求A B ；（2）选择①有A ⊆B ，列不等式求解即可；选择②有A B ⊆同样列出不等式求解；选择③因为A B =∅，则13a ->或11a +<-，求解即可．【详解】（1）当2a =时，集合13{|}A x x =≤≤，{|13}B x x =-≤≤， 所以{|13}B x x A -≤≤⋃=；（2）选择①因为“x A ∈” 是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A ⊆B ， 因为11{|}A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅又因为{|13}B x x =-≤≤， 所以1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩等号不同时成立)，解得02a ≤≤，因此实数a 的取值范围是02a ≤≤. 选择②因为A B B ⋃=，所以A B ⊆. 因为11{|}A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅. 又因为{|13}B x x =-≤≤， 所以1113a a --⎧⎨+⎩，解得02a ≤≤，因此实数a 的取值范围是02a ≤≤. 选择③因为A B =∅，而11{|}A x a x a =-≤≤+，且不为空集，{|13}B x x =-≤≤， 所以13a ->或11a +<-， 解得4a >或2a <-，所以实数a 的取值范围是4a >或2a <-．37．（2021·甘肃·宁县第二中学高一期末）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当04x ≤≤时（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x <≤时，v 是x 的一次函数；当20x（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）.（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值. 【答案】（1）()2,040.125 2.5,420x v x x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩（2）10x =，鱼的年生长量可以达到最大值12.5 【分析】（1）根据题意得建立分段函数模型求解即可； （2）根据题意，结合（1）建立一元二次函数模型求解即可. （1）解：（1）依题意，当04x <≤时，()2v x =当420x <≤时，()v x 是x 的一次函数，假设()()0v x ax b a =+≠ 且()42v =，()200v =，代入得：42200a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得0.1252.5a b =-⎧⎨=⎩.所以()2,040.125 2.5,420x v x x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩（2）解：当04x <≤时，()()()228v x f x x v x x =⇒=⋅=≤，当420x <≤时， ()()20.125 2.50.125 2.5v x x f x x x =-+⇒=-+所以当()2.51020.125x =-=⨯-时，()f x 取得最大值()1012.5f =因为()1012.58f =>所以10x =时，鱼的年生长量可以达到最大值12.5.38．（2021·浙江·高一期末）已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每1万部的销售收入为()R x 万元，且()24006,040740040000,40x x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩．（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万部）的函数的解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大?并求出最大利润．【答案】（1）()2638440,04040000167360,40x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩（2）当年产量为32万部时，获得的利润最大，最大利润为6104万元【分析】（1）()()()1640W x xR x x =-+，考虑两种情况得到分段函数，计算得到答案。

2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞04．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣26．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．278．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．49．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．2011．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=__________．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是__________．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=__________．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】应用题；集合思想；定义法；集合．【分析】由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．【解答】解：由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩（C U M）M={x|y=ln（x2﹣2x） }∴x2﹣2x＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M={x|x＜0，或x＞2}，∴C U M={x|0≤x≤2}=[0，2]，N={y|y=}={y|y≥1}=[1，+∞），∴N∩（C U M）=[1，2]，故选：C【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识，属于基础题2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】利用命题的否定判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；充要条件判断C 的正误；命题的真假判断D的正误；【解答】解：对于A，命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠x0，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于B，命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5，不满足否命题的形式，所以不正确；对于C，若ω=1是函数f（x）=cosx在区间[0，π]上单调递减的，而函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的，ω≤1，所以ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件，正确．对于D，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则命题：a≥0，∀x∈R，x2+a≥0是真命题；所以，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0，不正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．4．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，一般组合体的体积要分部分来求．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣2【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过题意可推断出当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．进而可根据椭圆的方程求得焦点的坐标和P的坐标，进而求得和，则•的值可求得．【解答】解：根据题意可知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．这时，F1（﹣，0），F2（，0），P（0，1），∴=（﹣，﹣1），=（，﹣1），∴•=﹣2．故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生数形结合的思想和分析问题的能力．6．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别讨论a，b，c的取值X围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．27【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3．【解答】解：模拟执行程序，可得P=153，Q=63不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．4【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】先根据对数的运算性质求出tanθ，再化简代值计算即可．【解答】解：点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，∴tanθ=log216=4，∴====，故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式，函数值的求法，以及对数的运算性质，属于基础题．9．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的性质可知，f（x）=（）x﹣log3x在（0，+∞）上是减函数，且可得f（x0）=0，由0＜x0＜x1，可得f（x1）＜f（x0）=0，即可判断【解答】解：∵实数x0是方程f（x）=0的解，∴f（x0）=0．∵函数y（）x，y=log3x在（0，+∞）上分别具有单调递减、单调递增，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．又∵0＜x0＜x1，∴f（x1）＜f（x0）=0．∴f（x1）的值恒为负．故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性的简单应用，解题的关键是准确判断函数f（x）的单调性并能灵活应用．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．20【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】首先根据题中的已知条件已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，进一步求出数列的通项公式，然后根据通项公式求出各项的值，最后确定结果．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2则：∴a n=3n﹣5a2+a4+a5+a9=40故选：B【点评】本题考查的知识点：根据点的斜率求出数列的通项公式，由通项公式求数列的项．11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．【考点】对数的运算性质；函数的图象与图象变化．【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选D．【点评】本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的增函数．由不等式g（x）＜g（1﹣3x），∴x＜1﹣3x，解得．∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集为：．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可．【解答】解：（）+lg+lg70+=+lg（）+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=，故答案为：．【点评】本题考查了对数和幂的运算性质，关键是掌握性质，属于基础题．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是﹣8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将z=x﹣3y变形为，此式可看作是斜率为，纵截距为的一系列平行直线，当最大时，z最小．作出原不等式组表示的平面区域，让直线向此平面区域平移，可探求纵截距的最大值．【解答】解：由z=x﹣3y，得，此式可看作是斜率为，纵截距为的直线，当最大时，z最小．画出直线y=x，x+2y=2，x=﹣2，从而可标出不等式组表示的平面区域，如右图所示．由图知，当动直线经过点P时，z最小，此时由，得P（﹣2，2），从而z min=﹣2﹣3×2=﹣8，即z=x﹣3y的最小值是﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了线性规划的应用，为高考常考的题型，求解此类问题的一般步骤是：（1）作出已知不等式组表示的平面区域；（2）运用化归思想及数形结合思想，将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．【专题】数形结合．【分析】由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故答案为﹣8．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】是结合复合函数单调性的关系进行判断．②根据基本由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断；③利用对勾函数的单调性判断；④由对勾函数的最值及函数奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：①函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵=2，∴f（x）=lg≥2，即f（x）的最小值是lg2，故①正确，②∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故②正确；③当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，故③错误；④∵函数f（x）是偶函数，由③知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴在（﹣1，0）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上得到递减，故④正确，故答案为：①②④【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【专题】规律型．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q 是p的必要不充分条件是解决本题的关键．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由基本不等式可得g（x）=x+≥2=2e，从而求m的取值X围；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，求导F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值X围．【解答】解：（1）∵g（x）=x+≥2=2e；（当且仅当x=，即x=e时，等号成立）∴若使函数y=g（x）﹣m有零点，则m≥2e；故m的取值X围为[2e，+∞）；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，故只需使F（e）＜0，即e+e+e2﹣2e2﹣m+1＜0；故m＞2e﹣e2+1．【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．【考点】求对数函数解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q （﹣x，﹣y）在函数f（x）图象上，把Q（﹣x，﹣y）代入f（x），整理可得g（x）（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x），先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，进而求得函数的最小值h（x）min，使得m≤h（x）min【解答】解：（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（﹣x，﹣y）在函数f （x）的图象上，即﹣y=log a（﹣x+1），则∴（2）f（x）+g（x）≥m 即，也就是在[0，1）上恒成立．设，则由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．m的取值X围是（﹣∞，0]【点评】本题（1）主要考查了函数的中心对称问题：若函数y=f（x）与y=g（x）关于点M （a，b）对称，则y=f（x）上的任意一点（x，y）关于M（a，b）对称的点（2a﹣x，2b﹣y）在函数y=g（x）的图象上．（2）主要考查了函数的恒成立问题，往往转化为求最值问题：m≥h（x）恒成立，则m≥h（x）m≤h（x）恒成立，max则m≤h（x）min20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用，维修、保养的费用历年成等差数增长，，（2）由（1）的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利．（3）算出每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．【解答】解：（1）y=﹣2x2+40x﹣98，x∈N*．（2）由﹣2x2+40x﹣98＞0解得，，且x∈N*，所以x=3，4，，17，故从第三年开始盈利．（3）由，当且仅当x=7时“=”号成立，所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114（万元）．由y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2（x﹣10）2+102≤102，所以按第二方案处理总利润为102+12=114（万元）．∴由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理．【点评】考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力，其中第二问中考查了一元二次不等式的解法，第三问中考查到了基本不等式求最值，本题是一个函数基本不等式相结合的题．属应用题中盈利最大化的问题．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；（2）求出g（x）max=g（2）=1，当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx 恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上取得最大值，则实数a的取值X围可求．【解答】解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），x 2g′（x）0 ﹣0 +g（x）﹣递减极小值递增 13由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x 2lnx恒成立，记u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，所以a≥1，故实数a的取值X围是[1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用分离变量法求参数的取值X围，属于中档题．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】参数的意义；简单曲线的极坐标方程．【专题】选作题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点的坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标；（2）画出图象，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．【解答】解：（1）由（θ为参数），消去参数得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（2，）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|=2+4，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S=×（2+4）×=2+2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）求得f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=在区间[﹣4，2]内的值域，结合|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，求得a的X围．【解答】解：（1）当a=0时，不等式即|2x+2|﹣|x﹣1|＞0，可得①，或②，或③．解①求得 x＜﹣3，解②求得﹣＜x＜1，解③求得x≥1．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣3，或x＞﹣}．（2）当x∈[﹣4，2]，f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=的值域为[﹣2，3]，而不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，故有a≤3．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想；还考查了分段函数的应用，求函数的值域，属于中档题．。

学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若函数f (x )的导数为－2x 2＋1，则f (x )可以等于( ) A ．－2x 3＋1 B ．x ＋1 C ．－4x D ．－23x 3＋x答案 D解析 选项A 中函数的导数为f ′(x )＝－6x 2；选项B 中函数的导数为f ′(x )＝1；选项C 中函数的导数为f ′(x )＝－4；选项D 中函数的导数为f ′(x )＝－2x 2＋1.故选D.2．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题． 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x |＝| y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则P 是綈Q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， ∴P ⇒綈Q ，但綈Q ⇒/P ，∴P 是綈Q 的充分不必要条件，选A.4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 因为全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定綈p 是特称命题：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，所以綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，故选C.5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题 答案 C解析 对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg 10， 即8>1，故命题p 为真命题； 对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1， 此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题， 命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题， 故选C.6．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线C ：x 24－y 212＝1，则下列双曲线中与C 是“相近双曲线”的为( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1C ．y 2－2x 2＝1 D.y 29－x 272＝1 答案 B解析 双曲线C 的离心率为2，对于A ，其离心率为2，不符合题意；对于B ，其离心率为3，符合题意；对于C ，其离心率为62，不符合题意；对于D ，其离心率为3，不符合题意．故选B.7．从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T .延长F 1T交双曲线右支于P 点，若M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不确定 答案 B解析 ∵F 1T 是圆的切线， ∴OT ⊥TF 1，∵|OF 1|＝c ，|OT |＝a ，∴|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝c 2－a 2＝b . 设接双曲线的右焦点为F 2， 连接PF 2，则|OM |＝12|PF 2|，又∵|F 1M |＝|MP |，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴12|PF 1|－12|PF 2|＝a ， ∴|PM |－|OM |＝a ， ∴b ＋|TM |－|OM |＝a ， ∴|OM |－|TM |＝b －a ，故选B.8．函数y ＝x 2e x的单调递减区间是( ) A ．(－1,2)B ．(－∞，－1)与(1，＋∞)C ．(－∞，－2)与(0，＋∞)D ．(－2,0) 答案 D解析 y ′＝(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)．∵e x >0，∴x e x(x ＋2)<0，即－2<x <0，故函数y ＝x 2e x的单调递减区间是(－2,0)．故选D.9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析 因为f (x )在x ＝－2处取得极小值，所以在x ＝－2附近的左侧f ′(x )<0，当x <－2时，xf ′(x )>0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )>0，当－2<x <0时，xf ′(x )<0，故选C.10．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π答案 C解析 设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1，故选C.11．如图，F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A解析 延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，在等腰三角形APF 1中，|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝12|AF 2|＝a .12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 B解析 ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如右图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |， 又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“∃x ∈{正实数}，使x <x ”的否定为________，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∀x ∈{正实数}，使x ≥x 假解析 原命题的否定为“∀x ∈{正实数}，使x ≥x ”，是假命题．14．如图，椭圆的中心在坐标原点，当FB →⊥A B →时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.答案5－12解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝a ＋c ，∵B F →⊥B A →，∴|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2， ∴c 2＋ac －a 2＝0.∴e 2＋e －1＝0，又0<e <1， ∴e ＝5－12. 15．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1. 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a.又a >12，∴0<1a<2.当f ′(x )>0时，x <1a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增；当f ′(x )<0时，x >1a，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.16．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于________．答案223解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.∴x 1＋x 2＝42－k2k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2，代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴42－k2k 2＝5，∴k 2＝89，经检验Δ>0，又∵k >0，∴k ＝223.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，命题p ：A ∩B ＝∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，某某数a 的取值X 围； (2)若命题p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围． 解 ∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}． (1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3.(2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”， ∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值X 围为a ≤3.18．(本小题满分12分)已知命题p ：∃x 0∈[－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，命题q ：∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，若命题p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解 因为∃x 0∈ [－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，所以只需(x 20＋x 0－a ＋1)max ＞0，即3－a ＞0，所以命题p 真时，a ＜3.因为∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，所以t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＋1＞1，t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＞0，即(t －a )[t －(a ＋2)]＞0，对t ∈(0,1)恒成立，只需a ＋2≤0或a ≥1，得a ≤－2或a ≥1， 所以命题q 为真时，a ≤－2或a ≥1.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 两个命题一真一假． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，－2＜a ＜1，所以－2＜a ＜1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ≤－2或a ≥1，所以a ≥3.综上所述：a 的取值X 围是(－2,1)∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解 f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1. (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋23>0， ∴f (x )在R 上单调递增．(2)当k <0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴x ＝k3，且过点(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0， 即－3≤k <0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．∴m ＝f (x )min ＝f (k )＝k ，M ＝f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12>0，即k <－3时，令f ′(x )＝0 得x 1＝k ＋k 2－33，x 2＝k －k 2－33，且k <x 2<x 1<0.∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．又f (x 1)－f (k )＝x 31－kx 21＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 21＋1)>0， ∴m ＝f (k )＝k ，又f (x 2)－f (－k )＝x 32－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]<0， ∴M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上，当k <0时，f (x )的最小值m ＝k ， 最大值M ＝－2k 3－k .20．(本小题满分12分)设椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心及C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：(1)求曲线C 1，C 2(2)设直线l 过抛物线C 2的焦点F ，l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，当OM →·ON →＝0时，求直线l 的方程．解 (1)由题意，可知点(－2,0)是椭圆的左顶点，再根据椭圆上点的横、纵坐标的取值X 围，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22在椭圆上． 设椭圆C 1的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由此可得a ＝2，24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.由点(3，－23)，(4，－4)在抛物线C 2上，知抛物线开口向右． 设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴12＝6p ，∴p ＝2， ∴抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .(2)由(1)，知F (1,0)．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 2＝1，得l 与椭圆C 1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，∴OM →·ON →＝14≠0，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(1＋4k 2)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)·x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(1＋k 2)·4k 2－41＋4k 2－k 2·8k 21＋4k2＋k 2＝0，解得k ＝±2，∴直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值X 围．解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝0，即ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得1≤a ≤9，即a 的取值X 围是[1,9]．22．(本小题满分12分)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.word - 11 - / 11。

2019年数学高考真题剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是教育部按照普通高考考试大纲统一命题,适用于不同省份的考生．虽然难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本都是相同的．试题稳中求新、稳中求变．与往年相比，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等依然是考查的重点,注重基础知识，凸显主干知识.试卷结构、题型保持一致，各题型所占分值与分值分布没有变化,试题顺序有较大变化,考查方式有所改变，难度明显增加,客观题与去年的难度相当,主观题难易梯度明显增加,解决了区分度低的诟病.今年试题立足学科素养，落实关键能力，加强数学应用,渗透数学文化．以真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，注重能力考查，增强综合性、应用性，在各部分内容的布局和考查难度上都进行了调整和改变,这在一定程度上有助于考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力,有助于学生全面学习掌握重点知识和重点内容，同时有助于打破考试题的僵硬化，更好地提升学生的综合分析能力,打破了传统的应试教育.全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对选修2-２推理与证明、数系的扩充与复数的引入的考查,相对来说比较常规、难度不大、变化小、综合性低,属于基础类必得分试题;对导数及其应用的考查，难度大、综合性强、运算能力要求高、得分比较困难,主要考查导数的计算、几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点、不等式等.其他省市试题和全国卷类似,难度相当.要想学好这部分知识不仅要有扎实的基础知识、基本能力,还要注意一些数学思想的培养，比如分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想等!下面列出了２01９年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及各地区对选修2－2所考查的全部试题，请同学们根据所学知识,测试自己的能力,寻找自己的差距,把握高考的方向,认清命题的趋势！（说明:有些试题带有综合性,是与以后要学的内容的小综合试题,同学们可根据目前所学习的内容,有选择性地试做！)穿越自测一、选择题１．(2０1９·全国卷Ⅰ，理２）设复数z满足｜ｚ－i|＝1，z在复平面内对应的点为（ｘ,ｙ），则( )ﻬA.(x+1）2+y2＝1 Ｂ.（x－1）２+y2=1C．x2＋（ｙ-1)２=1ﻩＤ.x２+（ｙ+1)2＝1答案C解析由已知条件，可得z=ｘ+y i。

某某省某某市X家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（12）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分41分）1．设集合M={x|x2﹣x﹣2≤0}，N={y|y=x2，﹣1≤x≤2}，则M∩N=__________．2．函数的定义域是__________．3．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则=__________．4．已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b=__________．5．若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则实数a的取值X围是__________．6．设函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数为__________．7．若函数y=的定义域为R，则实数m的取值X围是__________．8．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（x+1）．若f（a）=﹣2，则实数a=__________．9．定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f（x）=min{2x+4，x2+1，5﹣3x}，则f （x）的最大值是__________．10．=__________．11．已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[﹣1，0]上的最小值为__________．12．已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值X围是__________．13．若实数a，b，c满足lg（10a+10b）=a+b，lg（10a+10b+10c）=a+b+c，则c的最大值是__________．14．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值X围是__________．二、解答题（共3小题，满分20分）15．已知集合A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}，y=lg的定义域为集合B．（1）若A=B，某某数a；（2）是否存在实数a使得A∩B=φ，若存在，则求出实数a的值，若不存在，说明理由．16．已知函数f（x）=，其中b∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设b＞0．若∃x∈[，]，使f（x）≥1，求b的取值X围．17．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．某某省某某市X家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（12）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分41分）1．设集合M={x|x2﹣x﹣2≤0}，N={y|y=x2，﹣1≤x≤2}，则M∩N=[0，2]．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求出x2﹣x﹣2≤0的解集M，由二次函数的性质求出集合N，再由交集的运算求出M∩N．解答：解：由x2﹣x﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，则集合M=[﹣1，2]，因为y=x2，﹣1≤x≤2，所以0≤y≤4，则N=[0，4]，所以M∩N=[0，2]，故答案为[0，2]．点评：本题考查交集及其运算，以及一元二次不等式、一元二次函数的性质，属于基础题．2．函数的定义域是{x|x＞﹣1且x≠1}．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：欲求此函数的定义域，可由x+1＞0，且1﹣x≠0，解出x的取值X围，最终得出答案．解答：解：∵x+1＞0，且1﹣x≠0，∴x＞﹣1且x≠1，故答案为：{x|x＞﹣1且x≠1}．点评：本题考查的是求定义域时要注意对数函数的真数大于0，并且分母不能是0的问题．3．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则=2．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：：设幂函数y=f（x）的解析式为 f（x）=xα，根据幂函数y=f（x）的图象过点求出α的值，可得函数的解析式，从而求得的值．解答：解：设幂函数y=f（x）的解析式为 f（x）=xα，由幂函数y=f（x）的图象过点可得=3α，∴α=﹣，∴f（x）=，∴==2，故答案为 2．点评：本题主要考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．4．已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b=2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x），由此即可求出a，b．解答：解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a﹣3+4﹣a=0，解得a=﹣1．由f（x）为偶函数，得f（﹣x）=f（x），即ax2﹣（b﹣3）x+3=ax2+（b﹣3）x+3，2（b﹣3）x=0，所以b=3．所以a+b=3﹣1=2．故答案为：2．点评：偶函数的定义域关于原点对称，f（﹣x）=f（x）恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑．5．若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则实数a的取值X围是（﹣∞，5）．考点：特称命题．专题：不等式的解法及应用．分析：构造函数f（x）=2x2﹣ax+2，若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0，进而可得实数a的取值X围解答：解：令f（x）=2x2﹣ax+2若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0即4﹣a＞0，或10﹣2a＞0，即a＜4，或a＜5故a＜5即实数a的取值X围是（﹣∞，5）故答案为：（﹣∞，5）点评：本题考查的知识点是特称命题，其中构造函数，将存在性问题（特称命题），转化为不等式问题是解答的关键．6．设函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数为2．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数即函数y=f（x）的图象与直线y=x的交点个数，数形结合可得答案．解答：解：函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数即函数y=f（x）的图象与直线y=x的交点个数，如图所示：由于函数y=f（x）的图象与直线y=x只有2个交点，故答案为 2．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，抽象函数的应用，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．7．若函数y=的定义域为R，则实数m的取值X围是[0，12）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，即可求出结论．解答：解：∵y=的定义域为R，∴不等式mx2+mx+3≠0，若m=0，则3≠0成立，若m≠0，则等价为判别式△=m2﹣12m＜0，解得0＜m＜12，综上0≤m＜12，故答案为：[0，12）点评：本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件以及一元二次不等式的求解．8．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（x+1）．若f（a）=﹣2，则实数a=﹣1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：由题设知，当x≥0时，f（x）不可能为负，故应求出x＜0时的解析式，代入f（a）=﹣2，求a的值．解答：解：令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）=﹣x（1﹣x），又f（x）为奇函数，所以当x＜0时有f（x）=x（1﹣x），令f（a）=a（1﹣a）=﹣2，得a2﹣a﹣2=0，解得a=﹣1或a=2（舍去）．故应埴﹣1点评：本题考点是函数奇偶性的运用，用奇偶性这一性质求对称区间上的解析式，这是函数奇偶性的一个重要应用．9．定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f（x）=min{2x+4，x2+1，5﹣3x}，则f （x）的最大值是2．考点：函数的值域．专题：新定义．分析：根据min{a，b，c}的意义，画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，可得答案．解答：解：画出y=2x+4，y=x2+1，y=5﹣3x的图象，观察图象可知，当x≤﹣1时，f（x）=2x+4，当﹣1≤x≤1时，f（x）=x2+1，当x＞1时，f（x）=5﹣3x，f（x）的最大值在x=±1时取得为2，故答案为：2点评：本题考查函数的图象函数的图象、函数最值问题，利用数形结合可以很容易的得到最大值．10．=．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的运算性质，直接化简表达式，求出它的值．解答：解：==﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查函数值的求法，以及对数的运算，11．已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[﹣1，0]上的最小值为﹣．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：由a，b为正实数，知函数f（x）=ax3+bx+2x是增函数，故f（x）在[0，1]上的最大值f（1）=a+b+2=4，所以a+b=2．由此能求出f（x）在[﹣1，0]上的最小值．解答：解：∵a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x，∴f（x）在R上是增函数，∴f（x）在[0，1]上的最大值f（1）=a+b+2=4，∴a+b=2．∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值f（﹣1）=﹣（a+b）+2﹣1=﹣2+=﹣．∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值是﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．12．已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值X围是（﹣2，1）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：先得到函数在定义域上是增函数，再由函数单调性定义求解．解答：解：易知函数在定义域上是增函数∴f（2﹣a2）＞f（a），可转化为：2﹣a2＞a解得：﹣2＜a＜1∴实数a的取值X围是（﹣2，1）故答案为：（﹣2，1）点评：本题主要考查函数的单调性定义在解不等式中的应用，一般来讲，抽象函数不等式，多数用单调性定义或数形结合法求解．13．若实数a，b，c满足lg（10a+10b）=a+b，lg（10a+10b+10c）=a+b+c，则c的最大值是lg．考点：其他不等式的解法；对数的运算性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：运用对数和指数的关系，及基本不等式，可得10a+b≥2，即10a+b≥4，当且仅当a=b，取等号．对第二个等式，求出10c，再化简代入，分子常数化，即可得到c的最大值．解答：解：lg（10a+10b）=a+b，即为10a+b=10a+10b，而10a+10b≥2=2，即有10a+b≥2，即10a+b≥4，当且仅当a=b，取等号．lg（10a+10b+10c）=a+b+c，即为10a+b+c=10a+10b+10c，即10c===1+≤1+=．则c≤lg．当且仅当a=b，c取得最大值lg．故答案为：．点评：本题考查对数与指数的互化，考查指数的运算性质，以及基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．14．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值X围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：通过t的X围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的X围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的X围即可．解答：解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，又函数，所以f（f（t）=，因为f（f（t））∈[0，1]，所以解得：，又t∈[0，1]，所以实数t的取值X围．故答案为：．点评：本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．二、解答题（共3小题，满分20分）15．已知集合A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}，y=lg的定义域为集合B．（1）若A=B，某某数a；（2）是否存在实数a使得A∩B=φ，若存在，则求出实数a的值，若不存在，说明理由．考点：函数的定义域及其求法；交集及其运算．专题：函数的性质及应用；集合．分析：（1）由集合B非空得出a≠1，对3a+1与2的大小比较，可分①当时，②当时，③当时3种情况，利用A=B求得a的值；（2）仍分第（1）问的三种情况，化简集合A，再由条件A∩B=φ求得a的X围．解答：解：（1）由于函数的定义域是非空数集，故a≠1．①当时，A=（2，3a+1），B=（2a，a2+1），由A=B可得：，方程组无解；②当时，A=φ，A=B不可能；③当时，A=（3a+1，2），B=（2a，a2+1），由A=B可得：，∴a=﹣1．（2）①当时，A=（2，3a+1），B=（2a，a2+1），由A∩B=φ可得3a+1≤2a或a2+1≤2，又，则；②当时，A=φ，则A∩B=φ，符合题意；③当时，A=（3a+1，2），B=（2a，a2+1），由A∩B=φ可得2≤2a或a2+1≤3a+1，又，则．∴当a∈[0，1）时，A∩B=φ．．点评：本题主要考查函数的定义域的求法，同时考查集合与集合之间的关系，对于含有字母的函数定义域的求法，通常要讨论．16．已知函数f（x）=，其中b∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设b＞0．若∃x∈[，]，使f（x）≥1，求b的取值X围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）分情况讨论：①当b=0时，②当b＞0时，③当b＜0时，然后利用导数即可求得单调区间；（Ⅱ）f（x）≥1等价于b≤﹣x2+x，g（x）=﹣x2+x，则“∃x∈[，]，使得b≤﹣x2+x”等价于b小于等于g（x）在区间[，]上的最大值．解答：解：（Ⅰ）①当b=0时，f（x）=．故f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）；无单调增区间．②当b＞0时，f′（x）=．令f′（x）=0，得x1=，x2=﹣．f（x）和f′（x）的情况如下：x （﹣∞，﹣）﹣（﹣，）（，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘↗↘故f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；单调增区间为（﹣，）．③当b＜0时，f（x）的定义域为D={x∈R|x≠±}．因为f′（x）=＜0在D上恒成立，故f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）；无单调增区间．（Ⅱ）解：因为b＞0，x∈[，]，所以f（x）≥1等价于b≤﹣x2+x，其中x∈[，]．设g（x）=﹣x2+x，g（x）在区间[，]上的最大值为g（）=．则“∃x∈[，]，使得b≤﹣x2+x”等价于b≤．所以b的取值X围是（0，]．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立及函数在区间上的最值问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力．17．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：（1）总面积为xy=3000，且2a+6=y，则y=，（其中6＜x＜500），从而运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．解答：解：（1）由已知xy=3000，∴，其定义域是（6，500）．S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a，∵2a+6=y，∴，∴，其定义域是（6，500）．（2），当且仅当，即x=50∈（6，500）时，上述不等式等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．。

直线及其方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素． (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．(3)掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．知识点一 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫作直线l 的倾斜角．(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫作这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.(2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.易误提醒 任意一条直线都有倾斜角，但只有与x 轴不垂直的直线才有斜率(当直线与x 轴垂直，即倾斜角为π2时，斜率不存在)[自测练习]1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析：由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2.∴y ＝－3.答案：B2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：由题图可知k 1<0，k 2>0，k 3>0，且k 2>k 3，∴k 1<k 3<k 2. 答案：D知识点二 直线方程易误提醒 (1)利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．(2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．(4)由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B.[自测练习]3．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为( ) A.3x －3y －6＋3＝0 B.3x －3y ＋6＋3＝0 C.3x ＋3y ＋6＋3＝0 D.3x ＋3y －6＋3＝0 解析：直线斜率k ＝tan 30°＝33，直线的点斜式方程为y －2＝33(x ＋1)， 整理得3x －3y ＋3＋6＝0，故选B. 答案：B4．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a.∴a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：D考点一 直线的倾斜角与斜率|1．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析：∵直线的斜率k ＝－33，∴tan α＝－33. 又0≤α<180°，∴α＝150°.故选C. 答案：C2．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________．解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求：当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，则有－a a ＋1>1或－aa ＋1<0，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(0，＋∞)3．(2016·太原模拟)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．解析：如图，k P A ＝1＋31－2＝－4，k PB ＝1＋21＋3＝34.要使直线l 与线段AB 有交点，则有k ≥34或k ≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞求倾斜角α的取值范围的一般步骤(1)求出tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． 注意已知倾斜角θ的范围，求斜率k 的范围时注意下列图象的应用： 当k ＝tan α，α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π时的图象如图：考点二 直线的方程|根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程．解：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意，当斜率存在时，设斜率为k ， 则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.考点三 直线方程的综合应用|直线方程的综合应用是高考常考内容之一，它经常与不等式、导数、平面向量、数列等有关知识进行交汇，考查学生综合运用直线知识解决问题的能力．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．与最值相结合问题．2．与导数的几何意义相结合问题． 3．与平面向量相结合问题． 4．与数列相结合问题． 探究一 与最值相结合问题1．(2015·高考福建卷)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：法一：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以1＝1a ＋1b≥21a ·1b＝2ab(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以ab ≥2.又a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以a ＋b ≥4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C.法二：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C. 答案：C探究二 与导数的几何意义相结合问题2．已知函数f (x )＝x －4ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为________．解析：由f ′(x )＝1－4x ，则k ＝f ′(1)＝－3，又f (1)＝1，故切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0.答案：3x ＋y －4＝0探究三 与平面向量相结合问题3．在平面直角坐标平面上，OA →＝(1,4)，OB →＝(－3,1)，且OA →与OB →在直线的方向向量上的投影的长度相等，则直线l 的斜率为( )A ．－14B.25 C.25或－43D.52解析：直线l 的一个方向向量可设为h ＝(1，k )，由题⎪⎪⎪⎪⎪⎪OA →·h |h |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪OB →·h |h |⇒|1＋4k |＝|－3＋k |，解得k ＝25或k ＝－43，故选C.答案：C探究四 与数列相结合问题4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n ＝1与坐标轴所围成三角形的面积为( )A ．36B ．45C ．50D ．55解析：由a n ＝1n (n ＋1)可知a n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，∴1－1n ＋1＝910，∴n ＝9.∴直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45，故选B.答案：B(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的某函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．17.忽视零截距致误【典例】 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a ≤－1.[易误点评] 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况．[防范措施] (1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用．[跟踪练习] 若直线过点P (2,1)且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线的条数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．以上都有可能解析：当截距均为零时，显然有一条；当截距不为零时，设直线方程为x ＋y ＝a ，则a ＝2＋1＝3，有一条．综上知，直线过点P (2,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线有两条，故选B.答案：BA 组 考点能力演练1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：A2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．答案：D3．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( )A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 解析：∵(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0恒成立，∴2x ＋1＝0，y ＋3＝0，∴x ＝－12，y ＝－3.∴定点为⎝⎛⎭⎫－12，－3. 答案：D4．(2016·海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( ) A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3 B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 解析：|AB |＝ (cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y＝－33x －33，选B. 答案：B5．(2016·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >15或k <1D ．k >12或k <－1解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得．也可以利用数形结合．选D. 答案：D6．(2016·温州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________. 解析：令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案：－247．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b过点A (－1,0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]． 答案：[－2,2]8．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________________________________________________________________．解析：设直线的斜率为k (k ≠0)， 则直线方程为y －2＝k (x ＋2)， 由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k.由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝09．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：法一：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，点P (3,2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab， 得ab ≥24，从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12.当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立，即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.B 组 高考题型专练1．(2014·高考安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3解析：法一：如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B .由题意知OP ＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.选D. 法二：设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：D2．(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：∵y ＝ax 2＋b x ，∴y ′＝2ax －bx2，由题意可得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴a ＋b ＝－3. 答案：－33．(2014·高考四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：易知A (0,0)，B (1,3)，且P A ⊥PB ，∴|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |时取“＝”)．答案：5。

专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30B ．45C ．60D ．902．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0B ．3πC ．2π D ．π3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ）A ．4πB ．34π C ．54π D ．2π 4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6B ．-7C ．-8D ．-95．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3）B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ） A ．-1B ．-2C ．2D ．18．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ）A ．0B ．2π C ．56π D ．π10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．⎡⎢⎣⎦D．,⎛-∞ ⎝⎦⎫+∞⎪⎪⎣⎭二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角； D ．坐标平面上所有的直线都有斜率．13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____．15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限.16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________.17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒． 19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α. （1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α. （1）写出α关于m 的函数解析式； （2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围.22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围； （2）直线l 倾斜角α的范围；23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】D 【解析】直线x ∴其倾斜角为90. 故选：D .2．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0 B ．3πC ．2π D ．π【答案】C 【解析】直线1x =与x 轴垂直，故倾斜角为2π. 故选：C.3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ） A ．4π B ．34π C ．54π D ．2π 【答案】B 【解析】由题意，直线10x y ++=的斜率为1k =- 故3tan 14k παα==-∴= 故选:B4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6 B ．-7C ．-8D ．-9【答案】D 【解析】(3,1)A 、(2,)B k -、(8,11)C 三点在同一条直线上，∴直线AB 和直线AC 的斜率相等， ∴11112383k --=---，解得9k =-．故选：D ．5．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【解析】由题意知，直线的斜率k =即直线的倾斜角α满足tan α=， 又0180α︒︒≤<，120α︒∴=，故选：C6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3） B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）【答案】B 【解析】由直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan 451k ==，则过点()2,3-与点（1，2）的直线的斜率为321213-=---，显然点()2,3-不满足题意；过点()0,1与点（1，2）的直线的斜率为12101-=-，显然点()0,1满足题意； 过点()3,3与点（1，2）的直线的斜率为321312-=-，显然点()3,3不满足题意； 过点()3,2与点（1，2）的直线的斜率为22031-=-，显然点()2,3-不满足题意； 即点()0,1在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上， 故选：B.7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ）A ．-1B ．-2C ．2D ．1【答案】D 【解析】由直线斜率的定义知,tan1351AB k ==-, 由直线的斜率公式可得,542AB k a -=-， 所以5412a -=--,解得1a =. 故选:D8．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃ 【答案】B 【解析】直线xsinα+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sinα， ∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k ≤1 ∴倾斜角的取值范围是[0，4π]∪[34π，π） 故选：B ．9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ） A ．0 B ．2π C ．56π D ．π【答案】A 【解析】tan 3πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭tan 0α=，0απ≤<，0α∴=.故选:A10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．,33⎡-⎢⎣⎦D．,3⎛-∞-⎝⎦3⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B 【解析】因为直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,又直线的斜率tan k α=,,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦.故tan tan3πα≥=2tan tan3πα≤=故(,k ∈-∞)+∞. 故选：B 二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【解析】A. 若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤<,是正确的；B. 若k 是直线l 的斜率，则tan k α=∈R ，是正确的；C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率，是正确的；D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90°的直线没有斜率. 故选：ABC12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角；D ．坐标平面上所有的直线都有斜率． 【答案】BD 【解析】任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率 当倾斜角为90︒时，斜率不存在 故选：BD13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．【答案】AC 【解析】逐一考查所给的选项：A .存在0k =，使得2l 的方程为0x =，其倾斜角为90°，故选项不正确．B 直线1:10l x y --=过定点()0,1-，直线()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=过定点()0,1-，故B 是正确的．C .当12x =-时，直线2l 的方程为1110222x y --=，即10x y --=，1l 与2l 都重合，选项C 错误；D .两直线重合，则：()()1110k k ⨯++-⨯=，方程无解，故对任意的k ，1l 与2l 都不垂直，选项D 正确． 故选：AC. 三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____． 【答案】(0，－2) 【解析】因为Q 在y 轴上，所以可设Q 点坐标为()0,y ，又因为tan120︒==2y =-，因此()0,2Q -，故答案为()0,2-.15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限. 【答案】0, 0，2，3【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为[)0,π，一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过0或2或3个象限． 故答案为：[)0,π，0或2或3．16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________. 【答案】[0°，45°)∪(135°，180°) 【解析】直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大由于斜率有正也有负，且直线的斜率为正时，斜率随着倾斜角的增大而增大，故α∈(0°，45°)；又直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大，故α∈(135°，180°)；斜率为0时，α＝0°.所以α∈[0°，45°)∪(135°，180°) 故答案为[0°，45°)∪(135°，180°) 17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 【答案】3[0,][,)44πππ 【解析】当直线l 过B 时，设直线l 的倾斜角为α，则3tan 14παα=-⇒=当直线l 过A 时，设直线l 的倾斜角为β，则tan 14πββ=⇒=综合：直线l 经过点()P 1,0且与以()A 2,1，()B 3,2-为端点的线段AB 有公共点时，直线l 的倾斜角的取值范围为][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒．【答案】(0,2P 【解析】设(0,)P y ，201PA y k -=-，tan120︒∴＝201y --，2y ∴=P ∴点坐标为(0,2.19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围. 【答案】15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】1(1)1(1)y y x x +--=+--的几何意义是过(,),(1,1)M x y N --两点的直线的斜率，点M 在线段28,[2,5]y x x =-+∈上运动，易知当2x =时，4y =，此时(2,4)M 与(1,1)N --两项连线的斜率最大，为53； 当5x =时，2y =-，此时(5,2)M -与(1,1)N --两点连线的斜率最小，为16-.115613y x +∴-+,即HF 的取值范围为15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α.（1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.【答案】（1）13-；（2）10；45 【解析】（1）因为直线320x y +-=的斜率为13-，且直线的倾斜角为角α， 所以1tan 3α=- （2）由（1）知1tan 3α=-， 22sin 1tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==-⎪∴⎨⎪+=⎩解得sin 10cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin 10cos αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩224cos 22cos 1215αα⎛∴=-=⨯-= ⎝⎭21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α.（1）写出α关于m 的函数解析式；（2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围. 【答案】（1）3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩；（2）3,3m .【解析】（1）直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α，当0m =时，2πα=当0m >时，则斜率3tan k m α==，3arctan m α=， 当0m <时，则斜率3tan k m α==，3arctan mαπ=+， 所以3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩； （2）当,32ππα时，33,,0,3k m m ，当2πα=时，0m =， 当3,24ππα时，3,1,3,0k m m ， 综上所述：3,3m .22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围；（2）直线l 倾斜角α的范围；【答案】（1）11k -≤≤（2）3044ππααπ≤≤≤<或 【解析】（1）2(1)110pA k --==-- 1(1)120pB k --==- l 与线段AB 相交pA pB k k k ∴≤≤11k ∴-≤≤（2）由（1）知0tan 11tan 0αα≤≤-≤<或由于tan 0,2y x π⎡⎫=⎪⎢⎣⎭在及(,0)2π-均为减函数3044ππααπ∴≤≤≤<或 23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.【答案】(1) 15t =；(2) k ∈(-∞.,-1]⋃[2,+∞]，3[arctan 2,]4πθ∈ 【解析】(1)由题意可得()42,30(6,3)AB =+-=，(6,3)AM t AB t t ==， ()12,30(3,3)AC =+--=-，所以(63,33)CM AM AC t t =-=-+， ∵CM AB ⊥，则CM AB ⊥，∴()()6633334590CM AB t t t ⋅=-++=-=， ∴解得15t =； (2)由01t ≤≤，AM t AB =，可得点M 在线段AB 上，由题中A 、B 、C 点坐标，可得经过A 、C 两点的直线的斜率11k =-，对应的倾斜角为34π，经过C 、B 两点的直线的斜率22k =，对应的倾斜角为2arctan ,则由图像可知(如图所示)，直线CM 的斜率k 的取值范围为：1k ≤-或2k ≥，倾斜角的范围为：3[arctan 2,]4πθ∈.。