湖北省襄阳市四校2014-2015学年高二12月联考数学(理)试题 Word版含答案

2014～2015学年度下学期期中联考高 二 数 学（理）命题人：荆州中学 陈静 王俊审题人：龙泉中学 陈信金本试题卷共4页，三大题22小题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．非选择题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1．命题“0200(0,),2x x x ∃∈+∞<”的否定为A ．2(0,),2x x x ∀∈+∞< B ．2(0,),2x x x ∀∈+∞> C ．2(0,),2xx x ∀∈+∞≥D ．2(0,),2xx x ∃∈+∞≥2．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-<≤= A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.9773．已知平面α的法向量为(2,2,4),(3,1,2)n AB =-=-，点A 不在α内，则直线AB 与平面的位置关系为湖北省四校襄阳四中 荆州中学宜昌一中龙泉中学A ．AB α⊥B ． AB α⊂C ．AB 与α相交不垂直D ．//AB α4．为防止某种疾病，今研制一种新的预防药．任选取100只小白鼠作试验，得到如下的列联表： 经计算得23.2079K 的观测值为,则在犯错误的概率不超过( )的前提下认为“药物对防止某种疾病有效”。

A ．0.025 B ．0.10C ． 0.01D ． 0.05参考数据：5．某咖啡厂为了了解热饮的销售量y （个）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程为y ^＝2-x a +，，当气温为－4℃时，预测销售量约为 A ．68B ．66C ．72D ．706．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说试验成功，则在30次独立重复试验中成功的次数X 的数学期望是 A ．403B ．503C ．10D ．207．下列选项中，说法正确的是A ．若命题“p q ∨”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题B ．22am bm <是a b <的必要不充分条件 C ．2()4x k k Z ππ=+∈是(sin )(cos )x x ''-=的充要条件 D ．命题“若{,,}a b b c c a +++构成空间的一个基底，则{,,}a b c 构成空间的一个基底”的否命题．．．为真命题8．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与圆2217x y +=有公共点(1,4)A -，且圆在A 点的气温（℃） 18 13 10 －1 销售量个）24343864切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的离心率为 A ．174B ．17C ．174或17 D ．以上都不对 9．某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选物理，现物理选修课开有三个班，若每个班至多可再接收2名同学，那么不同的接收方案共有 A ．72种B ．54种C ．36种D ．18种10．已知函数3axy e x =+有平行于x 轴的切线且切点在y 轴右侧，则a 的范围为 A ．(),3-∞-B ．(),3-∞C ．()3,+∞D ．()3,-+∞11．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足32π=∠AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 A ．3B ．23 C ．33D ．4312．在棱长为1的正方体1111CD C D AB -A B 中，M 是11D A 的中点，点P 在侧面11CC B B 上运动．现有下列命题：①若点P 总保持1D PA ⊥B ，则动点P 的轨迹所在的曲线是直线； ②若点P 到点A 的距离为233，则动点P 的轨迹所在的曲线是圆；③若P 满足1C ∠MAP =∠MA ，则动点P 的轨迹所在的曲线是椭圆；④若P 到直线C B 与直线11C D 的距离比为2:1，则动点P 的轨迹所在的曲线是双曲线； ⑤若P 到直线D A 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线． 其中真命题的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省襄阳市2014届高三上学期12月调研统一测试数学理试题2013年12月襄阳市高中调研统一测试高三数学(理科)参考答案及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。

当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

一．选择题：BAADB CCABA二．填空题：11．10 12．32 13．(1)13(2){2}14．(1)1 (2)195(填196也可以，主要是对循环报数的理解) 1516三．解答题：17．(1)解：由题意得：()sin 222sin(2)3f x x x πωωω==-2分 由函数的最小正周期为π，得1ω= ∴()2sin(2)3f x x π=-4分 由22232k x πππππ--≤≤2k +，得：51212k x k ππππ-+≤≤，k ∈Z 所以函数f (x )的单调增区间是5[]1212k k ππππ-+，，k ∈Z 6分 (2)解：将函数f (x )的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位， 得到2sin[2()}163y x ππ=+-+，即2sin 21y x =+的图象 所以()2sin 21g x x =+ 8分 令g (x ) = 0得：712x k ππ=+ 或 1112x k ππ=+，k ∈Z 10分所以在每个周期上恰好有两个零点，若y = g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为115941212πππ+= 12分 18．(1)解：根据题意，由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件． 2分 ∴样本中一等品的频率为60.230=，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2， 4分二等品的频率为90.330=，故估计该厂产品的二等品率为0.3， 6分 三等品的频率为150.530=，故估计该厂产品的三等品率为0.5． 8分(2)解：根据题意，由样本数据知，样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，记等级系数为7的3件产品分别为C 1、C 2、C 3，等级系数为8的3件产品分别为P 1、P 2、P 3， 则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：(C 1，C 2)，(C 1，C 3)，(C 1，P 1)，(C 1，P 2)，(C 1，P 3)，(C 2，C 3)，(C 2，P 1)，(C 2，P 2)，(C 2，P 3)，(C 3，P 1)，(C 3，P 2)，(C 3，P 3)，(P 1，P 2)，(P 1，P 3)，(P 2，P 3)，共15种10分记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A则A 包含的基本事件有 (P 1，P 2)，(P 1，P 3)，(P 2，P 3)共3种 故所求的概率31()155P A ==．12分19．(1)解：设等比数列{b n }的公比为q ，由S 4 = 4a 3﹣2，得：114344(2)212a d a d d ⨯+⨯=+-⇒=．2分 (2)解：由公差d = 1 > 0知数列{a n }是递增数列由S n ≥S 5最小知S 5是S n 的最小值∴45565600S S a S S a ⎧⎧⇒⎨⎨⎩⎩≥≤≥≥4分 即114050a a +⎧⎨+⎩≤≥，解得：－5≤a 1≤－4∴a 1的取值范围是[－5，－4]．6分 另解：由S n ≥S 5最小知S 5是S n 的最小值211(1)11()222n n n S na n a n -=+=+- 当112n a =-时，S n 有最小值4分 又S n 的最小值是S 5，∴111145222a +-+≤≤故－5≤a 1≤－4∴a 1的取值范围是[－5，－4]．6分 (3)解：a 1 =1时，a n = 1 + (n ﹣1) = n当n = 1时，b 1 = T 1 = 2b 1﹣2，解得b 1 = 2当n ≥2时，b n = T n ﹣T n ﹣1 = 2b n ﹣2﹣(2b n ﹣1﹣2) = 2b n ﹣2b n ﹣1，化为b n = 2b n ﹣1．∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴1222n n n b -=⋅=∴2n n c n =⋅8分 记数列{c n }的前n 项和为V n ，则∴231222322n n V n =⨯+⨯+⨯++⨯…2312222(1)22n n n V n n +=+⨯++-⨯+⨯10分两式相减得：23122222n n n V n +-=++++-⨯…112(21)2(1)2221n n n n n ++-=-⨯=--⨯-- ∴1(1)22n n V n +=-⨯+． 12分20．(1)解：由题意知,公司对奖励方案的函数模型f (x )的基本要求是：当x ∈[10，1000]时，①f (x )是增函数；②f (x )≥1恒成立；③)5x fx ≤恒成立． 2分(2)解：①对于函数模型()2150x f x =+ 当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则f (x )≥1显然恒成立4分 而若使函数()21505x x f x =+≤在[10，1000]上恒成立，即29x ≥300恒成立 而(29x )min = 290，∴)5x fx ≤不恒成立 故该函数模型不符合公司要求．6分 ②对于函数模型()4lg 2f x x =- 当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，min ()(10)4lg10221f x f ==-=>.∴f (x )≥1恒成立 8分 设()4lg 25x g x x =--，则4lg 1()5e g x x '=- 当x ≥10时，24lg 2lg 1lg 11()0555e e e g x x --'=-=<≤ 所以g (x )在[10，1000]上是减函数10分从而g (x )≤g (10) = 4lg10－2－2 = 0 ∴4lg 25x x --≤0，即4lg 25x x -≤ ∴()5x f x ≤恒成立. 故该函数模型符合公司要求．12分 21．(1) 解：根据“创新数列”的定义，可得创新数列为3，5，5，5，5的数列{c n }有： 3，5，1，2，43，5，1，4，23，5，2，1，43，5，2，4，13，5，4，1，23，5，4，2，1 2分(2)解：存在数列{c n }的创新数列为等比数列设数列{c n }的创新数列为{e n }，因为e m 为前m 个自然数中最大的一个，所以e m = m 4分 若{e n }为等比数列，设公比为q因为 e k +1≥e k (k = 1，2，3，…，m ﹣1)，所以q ≥1当q = 1时，{e n }为常数列满足条件，即为数列为常数数列，每一项都等于m 6分 当q ＞1时，{e n }为增数列，符合条件的数列只能是1，2，3，…，m又1，2，3，…，m 不是等比数列，综上符合条件的创新数列只有一个． 8分(3)解：设存在数列{c n }，使它的创新数列为等差数列设数列{c n }的创新数列为{e n }，因为e m 为前m 个自然数中最大的一个，所以e m = m若{e n }为等差数列，设公差为d因为e k +1≥e k (k = 1，2，3，…，m ﹣1)，所以 d ≥0，且d ∈N 当d = 0时，{e n }为常数列，满足条件，即为数列e m = m 此时数列{c n }是首项为m 的任意一个排列，共有11m m A --个10分当d = 1时，符合条件的数列{e n }只能是1，2，3，…，m 此时数列{c n }是1，2，3，…，m ，有1个； 12分当d ≥2时，∵e m = e 1 + (m ﹣1)d ≥e 1 + 2(m ﹣1) = e 1 + m + m ﹣2 又m > 3，∴m ﹣2 > 0∴e m > m ，这与e m = m 矛盾，所以此时{e n } 不存在 综上满足条件的数列{c n }的个数为(m ﹣1)! + 1个． 13分22．(1)解：当a = 1时，2(1)(21)1231()23x x x x f x x x x x---+'=-+== 2分 当102x <<时，()0f x '> 当112x <<时，()0f x '<当x > 1时，()0f x '>所以当x = 1时，f (x )取到极小值－2．2分 (2)解：1()21(0)f x x x x '=--> 所以切线的斜率21ln 210n m m mk m m m m ---=--==-整理得2ln 10m m +-=4分 显然m = 1是这个方程的解,又因为2ln 1y x x =+-在(0，+∞)上是增函数所以方程2ln 10x x +-=有唯一实数解，故m = 1．6分 (3)解：当a = 8时，2()108ln f x x x x =-+，8()210f x x x x '=-+函数y = f (x )在其图象上一点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为 2000008()(210)()108ln h x x x x x x x k =+--+-+8分 设()()()F x f x h x =-，则0()0F x =0'''0042()()88()()()(210)(210)x x x x F x f x h x x x x k x --=-=+--+-=若0 < x 0 < 2，F (x )在(x 0，04x )上单调递减所以当x ∈(x 0，04x )时，F (x ) > F (x 0) = 0，此时0()0F x x x <-10分若x 0 > 2，F (x )在(04x ，x 0)上单调递减所以当x ∈(04x ，x 0)时，F (x ) > F (x 0) = 0，此时0()0F x x x <- 所以y = f (x )在(0，+∞)上不存在“转点”12分若x 0 = 2，22(2)()0x F x x-'=>，∴即F (x )在(0，+∞)上是增函数, 当x > x 0时，F (x ) > F (x 0) = 0，当x < x 0时，F (x ) < F (x 0) = 0 即点P (x 0，f (x 0))为“转点”故函数y = f (x )存在“转点”，且2是“转点”的横坐标． 14分。

湖北省襄阳市四校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）把1010（4）化为十进制数为（）A．60 B．68 C．70 D．742．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=﹣2x+9.5 B．=2x﹣2.4 C．=0.4x+2.3 D．=﹣0.3x+4.43．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为4，点A1到截面AB1D1的距离为（）A．B．C．D．4．（5分）直线L1：ax+（1﹣a）y=3，L2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a的值是（）A．0或﹣B．1或﹣3 C．﹣3 D．15．（5分）在面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+127．（5分）下列正确的个数是（）（1）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．（2）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变．（3）一个样本的方差是S2=[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x n﹣3）2]，则这组数据等总和等于60．（4）数据a1，a2，a3，…，a n的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2a n的方差为4σ2．A．4B．3C．2D．18．（5分）如图，三棱锥P﹣ABC的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M、N分别在BC 和PO上，且CM=x，PN=2CM，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥N﹣AMC的体积V 与x变化关系（x∈（0，3]）（）A．B．C．D．9．（5分）集合A={（x，y）|y≥|x﹣1|}，集合B={（x，y）|y＜﹣|x|+6}，先后掷两颗骰子，掷第一颗骰子得点数为a，掷第二颗骰子得点数为b，则（a，b）∈A∩B的概率等于（）A．B．C．D．10．（5分）函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是（）A．B．C．2D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置）11．（5分）设x1=18，x2=19，x3=20，x4=21，x5=22，将这五个数据依次输入下面程序框进行计算，则输出的S值．12．（5分）已知x，y满足约束条件，若目标函数z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为．13．（5分）把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为．14．（5分）在平面直角坐标系x0y中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是．15．（5分）u，v是实数，则的最小值是．三、解答题：（大题共6小题，共75分）16．（12分）某校从参加2014-2015学年高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．17．（12分）如图，在棱长均为4的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．（1）求证：A1D1∥平面AB1D；（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．18．（12分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点．（1）点A（1，0）到直线l的距离为1，求l的方程；（2）求点A（1，0）到直线l的距离的最大值．19．（12分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，已知从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记“a+b=2”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．20．（13分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．21．（14分）已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx﹣2．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=时，求k的值．（2）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点；（3）若EF、GH为圆O：x2+y2=2的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形EGFH的面积的最大值．湖北省襄阳市四校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）把1010（4）化为十进制数为（）A．60 B．68 C．70 D．74考点：进位制．专题：计算题．分析：用所给的四进制的数字从最后一个数字开始乘以4的0次方，1次方，2次方，3次方，最后求和得到结果．解答：解：“四进制”数为1010（4）转化为“十进制”数为1×43+0×42+1×41+0=68故选：B．点评：本题考查进位制，本题解题的关键是理解进位制之间的转化原则，注意数字的运算不要出错，属于基础题．2．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=﹣2x+9.5 B．=2x﹣2.4 C．=0.4x+2.3 D．=﹣0.3x+4.4考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：变量x与y正相关，可以排除A，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．解答：解：∵变量x与y正相关，∴可以排除A，D；样本平均数=3，=3.5，代入C符合，B不符合，故选：C．点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．3．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为4，点A1到截面AB1D1的距离为（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A1到截面AB1D1的距离．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（4，0，0），B1（4，4，4），D1（0，0，4），A1（4，0，4），=（﹣4，0，4），=（0，4，4），=（0，0，4），设平面AB1D1的法向量=（x，y，z），∴，取x=1，得=（1，﹣1，1），∴点A1到截面AB1D1的距离：d===．故选：B．点评：本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．4．（5分）直线L1：ax+（1﹣a）y=3，L2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a的值是（）A．0或﹣B．1或﹣3 C．﹣3 D．1考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：分类讨论．分析：首先考虑两条直线斜率都不存在时，是否满足两直线垂直，再看两直线斜率都存在时，依据斜率之积等于﹣1，求出a的值．解答：解：当a=1时，直线L1的斜率不存在，L2的斜率等于0，两直线互相垂直，故a=1满足条件．当a=﹣时，直线L1的斜率不等于0，L2的斜率不存在，两直线不互相垂直，故a=﹣不满足条件．当a≠1且a≠﹣时，由两直线垂直，斜率之积等于﹣1得：×=﹣1，解得a=1或a=﹣3．综上，a的值是1或﹣3，故选B．点评：本题考查两条直线垂直的条件，要特别注意直线斜率不存在的情况，体现了分类讨论的数学思想．5．（5分）在面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积超过的概率，即可考虑画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．解答：解：记事件A={△PBC的面积超过}，基本事件空间是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的，所以P（A）=1﹣=．故选D．点评：本题主要考查了几何概型．由这个题目可以看出，解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，同学们需要注意．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．解答：解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．7．（5分）下列正确的个数是（）（1）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．（2）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变．（3）一个样本的方差是S2=[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x n﹣3）2]，则这组数据等总和等于60．（4）数据a1，a2，a3，…，a n的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2a n的方差为4σ2．A．4B．3C．2D．1考点：众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：根据频率分步直方图中中位数的求法知（1）正确，根据平均数和方差的特点知（2）正确．根据方差的公式知（3）正确，根据方差的性质知（4）正确．解答：解：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故（1）正确，如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变，故（2）正确，一个样本的方差是S2=[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x n﹣3）2]，则这组数据等总和等于20×3=60，故（3）正确，数据a1，a2，a3，…，a n的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2a n的方差为4σ2．故（4）正确．综上可知4个命题都正确，故选A．点评：本题考查众数，中位数，平均数和方差，本题解题的关键是理解这几个特征数的特点与求法，本题是一个基础题．8．（5分）如图，三棱锥P﹣ABC的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M、N分别在BC 和PO上，且CM=x，PN=2CM，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥N﹣AMC的体积V 与x变化关系（x∈（0，3]）（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；函数的图象．专题：计算题；压轴题；函数思想．分析：由题意直接求出三棱锥N﹣AMC的体积V与x变化关系，通过函数表达式，确定函数的图象即可．解答：解：底面三角形ABC的边AC=3，所以△ACM的面积为：=，所以三棱锥N﹣AMC的体积V==，当x=2时取得最大值，开口向下的二次函数，故选A点评：本题是基础题，考查几何体的体积与函数之间的关系，求出底面三角形的面积，是本题的一个关键步骤，通过二次函数研究几何体的体积的变化趋势是本题的特点，是好题，新颖题目．9．（5分）集合A={（x，y）|y≥|x﹣1|}，集合B={（x，y）|y＜﹣|x|+6}，先后掷两颗骰子，掷第一颗骰子得点数为a，掷第二颗骰子得点数为b，则（a，b）∈A∩B的概率等于（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：先给出所有的基本事件的总数：6×6=36种，记为坐标（a，b），再将其中（a，b）的坐标满足既符合集合A，又符合集合B的情况总数找出来，将所得结果除以36即可．解答：解：所有事件：先后掷两颗骰子两个的点数结果有6×6=36种，∵集合A={（x，y）|y≥|x﹣1|}，集合B={（x，y）|y≤﹣|x|+6}，∴A∩B={（x，y）|y≥|x﹣1|且y≤﹣|x|+6}，把所有的点数代入交集合进行检验，有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，3），共有8种情况符号要求，∴P==，故答案为：．点评：本题考查了等可能性事件的概率，属于中档题．采用列举法来做，是这一类题常用的方法．10．（5分）函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是（）A．B．C．2D．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意可知，函数图象为上半圆，可得圆上点到原点的最短距离为4，最大距离为16．根据等比数列的性质建立方程，可计算出公比的范围，从而判断出结论．解答：解：函数y=的图象表示圆心在（10，0），半径为6的上半圆圆上点到原点的最短距离为4，最大距离为16，若存在三点成等比数列，则最大的公比q应有16=4q2，即q2=4，q=2，最小的公比应满足4=16q2，所以q=，所以公比的取值范围为≤q≤2．故选D．点评：本题的考点是等比关系的确定，主要考查等比数列的定义，等比中项，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置）11．（5分）设x1=18，x2=19，x3=20，x4=21，x5=22，将这五个数据依次输入下面程序框进行计算，则输出的S值2．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出得到的S，i的值，当i=5时，S=10，满足条件i≥5，S=2，输出S的值为2．解答：解：执行程序框图，有S=0，i=1x1=18，S=4，不满足条件i≥5，有i=2x2=19，S=5，不满足条件i≥5，有i=3x3=20，S=5，不满足条件i≥5，有i=4x4=21，S=6，不满足条件i≥5，有i=5x5=22，S=10，满足条件i≥5，S=2，输出S的值为2．故答案为：2．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．12．（5分）已知x，y满足约束条件，若目标函数z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为2或﹣1．考点：简单线性规划．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故答案为：2或﹣1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论．13．（5分）把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，由此能求出结果．解答：解：如图，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBEcos∠DBE==，∴∠DBE=．故答案为：．点评：本题考查直线与平面所成角的最大值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．14．（5分）在平面直角坐标系x0y中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是[0，]．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；直线与圆．分析：将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，根据直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，得到以C为圆心，2为半径的圆与直线y=kx﹣2有公共点，即圆心到直线y=kx﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．解答：解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x﹣4）2+y2=1，∴圆心C（4，0），半径r=1，∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与y=kx﹣2有公共点，∵圆心（4，0）到直线y=kx﹣2的距离d=≤2，解得：0≤k≤．故答案为：[0，]．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，其中当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．15．（5分）u，v是实数，则的最小值是﹣1．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：直线与圆．分析：从数式的形与构来看与两点间的距离公式的平方同构，可视为两点间的距离的平方即可找到解题入口．解答：解：可视为点P（u，）与点Q （v，2v+5 ）之间的距离，P的轨迹为上半圆x2+y2=1（y≥0），Q的轨迹为曲线C：y=2x+5，圆心（0，0）到直线y=2x+5的距离为，圆的半径为1，所以的最小值是﹣1．点评：本题考查了数式的最值问题，通常可通过对其结构与形式特征进行观察，类比，联想与已知的定理、定义、性质等形式类似，实现转化，构建解题思路，属于中档题．三、解答题：（大题共6小题，共75分）16．（12分）某校从参加2014-2015学年高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．考点：频率分布直方图．专题：计算题；图表型．分析：（1）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，根据频率的和等于1建立等式解之即可；（2）60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，从而求出抽样学生成绩的合格率，再利用组中值估算抽样学生的平均分即可．解答：解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1﹣（0.025+0.015*2+0.01+0.005）*10=0.3（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）*10=0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75%利用组中值估算抽样学生的平均分45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71估计这次考试的平均分是71．点评：本题主要考查了频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．17．（12分）如图，在棱长均为4的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．（1）求证：A1D1∥平面AB1D；（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证A1D1∥平面AB1D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D内一直线平行，连接DD1，根据中位线定理可知B1D1∥BD，且B1D1=BD，则四边形B1BDD1为平行四边形，同理可证四边形AA1D1D为平行四边形，则A1D1∥AD 又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A﹣B1BC的高，求出三棱锥A﹣B1BC的体积，从而求出三棱锥B1﹣ABC的体积．解答：解：（1）证明：连接DD1，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵D、D1分别是BC和B1C1的中点．∴B1D1∥BD，且B1D1=BD∴四边形B1BDD1为平行四边形∴BB1∥DD1，且BB1=DD1又因AA1∥BB1，AA1=BB1所以AA1∥DD1，AA1=DD1所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以A1D1∥AD又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D故A1D1∥平面AB1D；（2）在△ABC中，棱长均为4，则AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD⊂平面ABC所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A﹣B1BC的高在△ABC中，AB=AC=BC=4得AD=2在△B1BC中，B1B=BC=4，∠B1BC=60°所以△B1BC的面积为4∴三棱锥B1﹣ABC的体积即为三棱锥A﹣B1BC的体积V=××=8点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了推理论证的能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题．18．（12分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点．（1）点A（1，0）到直线l的距离为1，求l的方程；（2）求点A（1，0）到直线l的距离的最大值．考点：点到直线的距离公式；直线的一般式方程．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）联立方程组求得交点坐标，分直线l不存在斜率，存在斜率两种情况讨论，不存在斜率时易检验；存在斜率时设l的点斜式方程，由点A到直线l的距离可求得斜率；（2）用斜率k表示出点A（1，0）到直线的距离d，恰当变形后利用基本不等式可求得其最大值；解答：（1）联立，解得交点B（2，1），若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=2，此时点A到直线l的距离为1，满足；若直线l的斜率存在，设方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k=0，∴，解得k=0，直线方程为y=1；综上得：直线l的方程为x=2或y=1．（2）由（1）可得点A到直线l的距离为，显然k＜0时，d有最大值，且当且仅当k=﹣1取等号，∴点A到直线l的距离的最大值为．点评：本题考查直线方程的求解、点到直线的距离公式及基本不等式，考查函数思想，考查学生解决问题的能力．19．（12分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，已知从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记“a+b=2”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．考点：几何概型；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：（1）根据从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是，可求n的值；（2）①从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，故可求概率；②记“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，确定全部结果所构成的区域，事件B构成的区域，即可求得结论．解答：解：（1）由题意，根据从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是，可得∴n=2（2）①从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个∴②记“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域B={（x，y）|x2+y2＞4，（x，y）∈Ω}∴点评：本题考查等可能事件的概率，考查几何概型，解题的关键是确定其测度，属于中档题．20．（13分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：计算题．分析：（1）取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连MO、PM，则∠PMO为二面角的平面角，设AB=a，则可利用tan∠PAO表示出AO和PO，进而根据求得tan∠PMO的值，则∠PMO可知．（2）连OE，OE∥PD，∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．根据AO⊥BO，AO⊥PO 判断出AO⊥平面PBD，进而可推断AO⊥OE，进而可知进而可知∠AEO为直线PD与AE 所成角，根据勾股定理求得PD，进而求得OE，则tan∠AEO可求得．（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．先证出平面PMN和平面PBC垂直，再通过已知条件证出MG⊥平面PBC，取AM中点F，利用EG∥MF，推断出，可知EF∥MG．最后可推断出EF⊥平面PBC．即F为四等分点．解答：解：（1）取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连MO、PM，则∠PMO为二面角的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，，设，PO=AOtan∠PAO=，∴∠PMO=60°．（2）连OE，OE∥PD，∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．．∵∴（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．．又取AM中点F，∵EG∥MF∴∴EF∥MG．∴EF⊥平面PBC．即F为四等分点点评：本题主要考查了二面角及其度量，解题的关键是通过巧妙设置辅助线找到二面角．21．（14分）已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx﹣2．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=时，求k的值．（2）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点；（3）若EF、GH为圆O：x2+y2=2的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形EGFH的面积的最大值．考点：直线与圆的位置关系；两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：（1）利用点到直线的距离公式，结合点O到l的距离，可求k的值；（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，C、D在圆O：x2+y2=2上可得直线C，D的方程，即可求得直线CD是否过定点；（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2．则，表示出四边形EGFH的面积，利用基本不等式，可求四边形EGFH的面积最大值．解答：解：（1）∵∠AOB=，∴点O到l的距离…（2分）∴=•，∴…（4分）（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设，其方程为：，即，又C、D在圆O：x2+y2=2上∴，即…（7分）由，得，∴直线CD过定点…（9分）（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2．则…（11分）∴|EF|=2，∴当且仅当即时，取“=”∴四边形EGFH的面积的最大值为．…（14分）点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查四边形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．。

2014-2015学年湖北省襄阳市四校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a、b、c是两两不等的实数，点P（b，b+c），点Q（a，c+a），则直线PQ的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°2．（5分）第三赛季甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则下列说法中正确的是（）A．甲、乙两人单场得分的最高分都是9分B．甲、乙两人单场得分的中位数相同C．甲运动员的得分更集中，发挥更稳定D．乙运动员的得分更集中，发挥更稳定．3．（5分）用“除k取余法”将十进制数259转化为五进制数是（）A．2012（5） B．2013（5） C．2014（5）D．2015（5）4．（5分）已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则下列说法中不正确的是（）A．圆M的圆心为（4，﹣3）B．圆M被x轴截得的弦长为8C．圆M的半径为25 D．圆M被y轴截得的弦长为65．（5分）如图所示是四棱锥的三视图，则该几何的体积等于（）A．16 B．34+6C．6 D．17+66．（5分）已知变量x与y呈相关关系，且由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，则由该观测数据算得的回归方程可能是（）A．B．C．D．7．（5分）下列说法中正确的是（）A．若事件A与事件B是互斥事件，则P（A）+P（B）=1B．若事件A与事件B满足条件：P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B是对立事件C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件8．（5分）如果直线m、n与平面α、β、γ满足：n=β∩γ，n∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（）A．α∥β且α⊥γB．α⊥γ且m⊥n C．m∥β且m⊥n D．α⊥γ且m∥β9．（5分）将一个棱长为4cm的立方体表面涂上红色后，再均匀分割成棱长为1cm的小正方体．从涂有红色面的小正方体中随机取出一个小正方体，则这个小正方体表面的红色面积不少于2cm2的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（）A．B．C．[2，5]D．（2，5）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）已知高一年级有学生450人，高二年级有学生750人，高三年级有学生600人．用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为n的样本，且每个学生被抽到的概率为0.02，则应从高二年级抽取的学生人数为．12．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，y轴上有一点M到已知点A（4，3，2）和点B（2，5，4）的距离相等，则点M的坐标是．13．（5分）点（a，1）在直线x﹣2y+4=0的右下方，则a的取值范围是．14．（5分）某学生5天的生活费（单位：元）分别为：x，y，8，9，6．已知这组数据的平均数为8，方差为2，则|x﹣y|=．15．（5分）某校1000名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为175人，则a的估计值是．16．（5分）如图所示的算法中，a=e3，b=3π，c=eπ，其中π是圆周率，e=2.71828…是自然对数的底数，则输出的结果是．17．（5分）已知圆C1：（x+cosα）2+（y+sinα）2=4，圆C2：（x﹣5sinβ）2+（y﹣5cosβ）2=1，α，β∈[0，2π），过圆C上任意一点M作圆C2的一条切线MN，切点为N，1则|MN|的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共计65分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知直线l经过两条直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点．（1）若直线l平行于直线3x﹣2y+4=0，求直线l的方程；（2）若直线l垂直于直线4x﹣3y﹣7=0，求直线l的方程．19．（13分）如图是学校从走读生中随机调查200名走读生早上上学所需时间（单位：分钟）样本的频率分布直方图．（1）学校所有走读生早上上学所需要的平均时间约是多少分钟？（2）根据调查，距离学校500米以内的走读生上学时间不超过10分钟，距离学校1000米以内的走读生上学时间不超过20分钟．那么，距离学校500米以内的走读生和距离学校1000米以上的走读生所占全校走读生的百分率各是多少？20．（13分）图2中的实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是．（1）从正方形ABCD的四条边及两条对角线共6条线段中任取2条线段（每条线段被取到的可能性相等），求其中一条线段长度是另一条线段长度的倍的概率；（2）求此长方体的体积．21．（13分）已知平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是矩形，AD=AE=BE=2，M、H分别是DE、AB的中点，主（正）视图方向垂直平面ABCD时，左（侧）视图的面积为．（1）求证：MH∥平面BCE；（2）求证：平面ADE⊥平面BCE．22．（14分）已知圆M经过第一象限，与y轴相切于点O（0，0），且圆M上的点到x轴的最大距离为2，过点P（0，﹣1）作直线l．（1）求圆M的标准方程；（2）当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；（3）当直线l与圆M相交于A、B两点，且满足向量，λ∈[2，+∞）时，求|AB|的取值范围．2014-2015学年湖北省襄阳市四校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a、b、c是两两不等的实数，点P（b，b+c），点Q（a，c+a），则直线PQ的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【解答】解：∵点P（b，b+c），点Q（a，c+a），∴直线PQ的斜率为k==1设直线的倾斜角为α，则tanα=1∵α∈[0，π），∴α=故选：B．2．（5分）第三赛季甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则下列说法中正确的是（）A．甲、乙两人单场得分的最高分都是9分B．甲、乙两人单场得分的中位数相同C．甲运动员的得分更集中，发挥更稳定D．乙运动员的得分更集中，发挥更稳定．【解答】解：根据茎叶图所给的数据可以看出甲的中位数是27，乙的中位数是36，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，整体水平也比较高，∴技术水平较好的是乙，故选：D．3．（5分）用“除k取余法”将十进制数259转化为五进制数是（）A．2012（5） B．2013（5） C．2014（5）D．2015（5）【解答】解：∵259÷5=51 (4)51÷5=10…1，10÷5=2…0，2÷5=0…2，∴将十进制，259化为五进制数是2014，故选：C．4．（5分）已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则下列说法中不正确的是（）A．圆M的圆心为（4，﹣3）B．圆M被x轴截得的弦长为8C．圆M的半径为25 D．圆M被y轴截得的弦长为6【解答】解：圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则（x﹣4）2+（y+3）2=25．圆的圆心坐标（4，﹣3），半径为5．显然选项C不正确．故选：C．5．（5分）如图所示是四棱锥的三视图，则该几何的体积等于（）A．16 B．34+6C．6 D．17+6【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，∴四棱锥的体积为：=16．故选：A．6．（5分）已知变量x与y呈相关关系，且由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，则由该观测数据算得的回归方程可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由观测数据得到的样本数据散点图，可得方程的系数均为正，只有B满足．故选：B．7．（5分）下列说法中正确的是（）A．若事件A与事件B是互斥事件，则P（A）+P（B）=1B．若事件A与事件B满足条件：P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B是对立事件C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件【解答】解：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，8．（5分）如果直线m、n与平面α、β、γ满足：n=β∩γ，n∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（）A．α∥β且α⊥γB．α⊥γ且m⊥n C．m∥β且m⊥n D．α⊥γ且m∥β【解答】解：∵直线m、n与平面α、β、γ满足：n=β∩γ，n∥α，m⊂α和m⊥γ，∴平面α与β平行或相交，α，γ一定垂直，m，n一定垂直，m∥β或m⊂β，∴α⊥γ且m⊥n．故选：B．9．（5分）将一个棱长为4cm的立方体表面涂上红色后，再均匀分割成棱长为1cm的小正方体．从涂有红色面的小正方体中随机取出一个小正方体，则这个小正方体表面的红色面积不少于2cm2的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵正方体的棱长等于4cm，∴将正方体分割成棱长为1cm的小正方体，总共有43=64个其中位于大正方体的8个顶点处的小正方体，有3面涂有红色，共8个；位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红色，总共有2×12=24个；位于大正方体内部，没有任何一个面与外界接触的小正方体总共有2×2×2=8个，还有只有1个面有红色的个数为64﹣8﹣24﹣8=24个，∴涂有红色面的小正方体共8+24+24=56个其中有2面或3面是红色的小正方体（即红色面积不少于2cm2的）个数为8+24=32个，∴所求概率为=10．（5分）已知二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（）A．B．C．[2，5]D．（2，5）【解答】解：由于二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则即有，在平面直角坐标系中，作出不等式组表示的区域，而（m+1）2+（n﹣2）2表示的几何意义是点（﹣1，2）到区域内的点的距离的平方，求得点（﹣1，2）到直线m+n+1=0的距离为=，点（﹣1，2）到点（﹣2，0）的距离为，故（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（2，5）．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）已知高一年级有学生450人，高二年级有学生750人，高三年级有学生600人．用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为n的样本，且每个学生被抽到的概率为0.02，则应从高二年级抽取的学生人数为15．【解答】解：该校共有学生450+750+600=1800，∵每个学生被抽到的概率为0.02，∴抽取的样本容量n=1800×0.02=36人，则应从高二年级抽取的学生人数为=15人，故答案为：1512．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，y轴上有一点M到已知点A（4，3，2）和点B（2，5，4）的距离相等，则点M的坐标是（0，4，0）．【解答】解：设M（0，y，0）由题意得42+（3﹣y）2+4=4+（5﹣y）2+42解得得y=4故M（0，4，0）故答案为：（0，4，0）．13．（5分）点（a，1）在直线x﹣2y+4=0的右下方，则a的取值范围是（﹣2，+∞）．【解答】解：点（a，1）在直线x﹣2y+4=0的右下方区域，则a﹣2+4＞0，解得：a＞﹣2．故答案为：（﹣2，+∞）．14．（5分）某学生5天的生活费（单位：元）分别为：x，y，8，9，6．已知这组数据的平均数为8，方差为2，则|x﹣y|=3．【解答】解：∵某学生5天的生活费（单位：元）分别为：x，y，8，9，6，这组数据的平均数为8，方差为2，∴，解得x=10，y=7或x=7，y=10，∴|x﹣y|=3．故答案为：3．15．（5分）某校1000名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为175人，则a的估计值是135．【解答】解：根据频率分布直方图，得；分数在140～150的人数是1000×0.010×10=100，分数在130～140的人数是1000×0.015×10=150，∴分数在135～150的人数是150÷2+100=175；∴当优秀的人数为175人时，a的估计值是135．故答案为：135．16．（5分）如图所示的算法中，a=e3，b=3π，c=eπ，其中π是圆周率，e=2.71828…是自然对数的底数，则输出的结果是3π．【解答】解：∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，从而有ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是，根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得e3＜eπ＜3π，即有a＜c＜b执行程序框图，则a＜b条件满足，有a=3π而此时条件a＜c不成立，故输出a的值为3π故答案为：3π17．（5分）已知圆C1：（x+cosα）2+（y+sinα）2=4，圆C2：（x﹣5sinβ）2+（y﹣5cosβ）2=1，α，β∈[0，2π），过圆C上任意一点M作圆C2的一条切线MN，切点为N，1则|MN|的取值范围是．【解答】解：∵圆C1：（x+cosα）2+（y+sinα）2=4，圆C2：（x﹣5sinβ）2+（y﹣5cosβ）2=1，α，β∈[0，2π），∴圆C1的圆心在以原点为圆心，1为半径的圆上动，圆C2的圆心在以原点为圆心，5为半径的圆上动，∴圆心关于原点对称的时候|MN|取最大值为3，在同一侧的时候|MN|取最小值，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共计65分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知直线l经过两条直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点．（1）若直线l平行于直线3x﹣2y+4=0，求直线l的方程；（2）若直线l垂直于直线4x﹣3y﹣7=0，求直线l的方程．【解答】解：（1）由得即直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交于点（3，2），所以直线l经过点（3，2），…（4分）因为直线l平行于直线3x﹣2y+4=0，可设直线l的方程为3x﹣2y+m=0，则有3×3﹣2×2+m=0得m=﹣5，所以直线l的方程为3x﹣2y﹣5=0．…（8分）（2）因为直线l垂直于直线4x﹣3y﹣7=0，可设直线l的方程为3x+4y+n=0，则有3×3+4×2+n=0得n=﹣17，所以直线l的方程为3x+4y﹣17=0．…（12分）19．（13分）如图是学校从走读生中随机调查200名走读生早上上学所需时间（单位：分钟）样本的频率分布直方图．（1）学校所有走读生早上上学所需要的平均时间约是多少分钟？（2）根据调查，距离学校500米以内的走读生上学时间不超过10分钟，距离学校1000米以内的走读生上学时间不超过20分钟．那么，距离学校500米以内的走读生和距离学校1000米以上的走读生所占全校走读生的百分率各是多少？【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；，∴走读生早上上学所需要的平均时间约为11.52分钟；…（6分）（2）根据频率分布直方图，得；P1=0.02×4+0.08×4=0.40=40%，P2=0.03×4÷2=0.06=6%，…（12分）∴距离学校500米以内的走读生占全校走读生的40%，距离学校1000米以上的走读生占全校走读生的6%．…（13分）20．（13分）图2中的实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是．（1）从正方形ABCD的四条边及两条对角线共6条线段中任取2条线段（每条线段被取到的可能性相等），求其中一条线段长度是另一条线段长度的倍的概率；（2）求此长方体的体积．【解答】解：（1）记事件M：从6条线段中任取2条线段，其中一条线段长度是另一条线段长度的倍．从6条线段中任取2条线段，有15种等可能的取法：AB和BC，AB和AC，AB和CD，AB和AD，AB和BD，BC和CD，BC和BD，BC 和AC，BC和AD，CD和AC，CD和AD，CD和BD，AD和AC，AD和BD，AC和BD…（3分）其中事件M包含8种结果：AB和AC，AB和BD，BC和AC，BC和BD，CD和AC，CD和BD，AD和AC，AD和BD…（4分），因此，所求事件的概率为…（6分）（2）记事件N：向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内．设长方体的高为h，则图2中虚线围成的矩形长为2+2h，宽为1+2h，面积为（2+2h）（1+2h）…（9分）长方体的平面展开图的面积为2+4h；…（10分）由几何概型的概率公式知，得h=3，…（12分）所以长方体的体积是V=1×1×3=3．…（13分）21．（13分）已知平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是矩形，AD=AE=BE=2，M、H分别是DE、AB的中点，主（正）视图方向垂直平面ABCD时，左（侧）视图的面积为．（1）求证：MH∥平面BCE；（2）求证：平面ADE⊥平面BCE．【解答】证明：（1）方法一：取CE的中点N，连接BN，如图1所示．∵△CDE中，M、N分别是DE、CE的中点，∴MN∥CD且MN=CD．在矩形ABCD中，∵H是AB的中点，∴BH∥CD且BH=CD，∴MN∥BH且MN=BH，从而四边形BHMN为平行四边形，∴MH∥BN．又∵MH⊄平面BCE，BN⊂平面BCE，∴MH∥平面BCE．方法二：取AE的中点P，连接MP、HP，在△ABE中，∵P、H分别是AE、AB的中点，∴HP∥BE，∵HP⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴HP∥平面BCE；同理有MP∥平面BCE，又∵MP∩HP=P，∴平面MPH∥平面BCE，∵MH⊂平面MPH，∴MH∥平面BCE．（2）取CD中点F，连接EH、EF、FH，如图2所示，则在矩形ABCD中，FH⊥AB，FH=AD=2．在△ABE中，AE=BE=2，∴EH⊥AB，∵FH∩EH=H，∴AB⊥平面EFH，∵平面ABCD⊥平面ABE，∴∠EHF=90°，∴Rt△EFH的面积等于几何体E﹣ABCD左（侧）视图的面积，得，即，∴在ABE中，有AH2+EH2=BH2+EH2=AE2=DE2=22，得，从而．由AE2+BE2=AB2=8知，AE⊥BE．∵平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是矩形，∴AD⊥平面ABE，又∵BE⊂平面ABE，∴AD⊥BE，而AD∩AE=A，∴BE⊥平面ADE，∵BE⊂平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE．22．（14分）已知圆M经过第一象限，与y轴相切于点O（0，0），且圆M上的点到x轴的最大距离为2，过点P（0，﹣1）作直线l．（1）求圆M的标准方程；（2）当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；（3）当直线l与圆M相交于A、B两点，且满足向量，λ∈[2，+∞）时，求|AB|的取值范围．【解答】解：（1）因为圆M经过第一象限，与y轴相切于点O（0，0），得知圆M的圆心在x的正半轴上；由圆M上的点到x轴的最大距离为2，得知圆M的圆心为（2，0），半径为2．所以圆M的标准方程为（x﹣2）2+y2=4．（2）若直线l的斜率存在，设l的斜率为k，则直线l的方程为kx﹣y﹣1=0，因为直线l与圆M相切，所以圆心M到直线l的距离等于半径得，解得，直线l的方程：3x+4y+4=0；若直线l的斜率不存在，由直线l与圆M相切得直线l的方程：x=0，所以，直线l的方程为x=0或3x+4y+4=0．（3）由直线l与圆M相交于A、B两点知，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，点A（x1，y1）、B（x2，y2），则直线l的方程为kx﹣y﹣1=0，由得（k2+1）x2﹣（2k+4）x+1=0，△=16k+12＞0，即，，，由向量，得x1=λx2，由，，x1=λx2消去x1、x2得，即，λ∈[2，+∞），化简得．且|AB|≤2R=4，即．所以|AB|的取值范围是．。

襄阳市2013-2014学年普通高中调研统一测试高三数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．设集合A ={x |1<x <4}，集合B ={x |x 2-2x -3≤0}，则A ∩（СR B ）= A ．（1，4） B ．（3，4） C ．（1，3） D ．（1，2）∪（3，4） 2．设a 、b 为实数，若复数12ia bi++=1+i 则 A ．a =32，b =12 B ．a =3，b =1 C ．a =12，b =32D ．a =1，b =33．已知幂函数y =f （x ）的图象过点（12，2），则log 4f （2）的值为A ．14B ．-14C ．2D ．-24．已知向量a =（cos α，sin α），向量b =-1），则|2a -b |的最大值，最小值分别是A ．，0B ．4，．16，0 D ．4，05．命题甲：p 是q 的充分条件，命题乙：p 是q 的充分必要条件，则命题甲是命题乙的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知f （x ），g （x ）是定义为R 的函数，在有穷数列中，任意取正整数k （1≤k ≤10），则前k 项和大于的概率是7．执行如右图所示的程序框图，若输出的值为-105，则输入的n 值可能为A ．5B ．7C ．8D ．108．已知正数x 、y 满足x +2y -xy =0，则x +2y 的最小值为 A ．8 B ．4 C ．2 D ．0 9．给出下面结论：①命题p ：“0x R ∃∈，20032x x -+≥0”的否定为p ⌝：“x R ∀∈，200320x x -+<”．②若，则实数m 的值为③函数在内没有零点；④设函数则f （x ）为周期函数，最小正周期为其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 10．已知函数有两个极值点，若，则关于x 的方程的不同实根个数为 A ．4 B ．4 C ．5 D ．6二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分。

襄阳 高二联考试题数学（理科）王必挺 周雪丽 学校：襄阳市第一中学注意事项：1、 答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卡和答题卷上填写清楚。

2、 选择题答案用2B 铅笔直接填涂在答题卡上，非选择题用0.5mm 的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．） 1．在下列各数中，最大的数是（ ）A ．)9(85 B.(5)210 C.(8)68 D.)2(111112.已知直线1l ：02)1(=-+-ay x a ,2l ：03)12(=+++y a ax ,若21l l ⊥,则a 的值为（ ） A ．0或2 B ．0或2- C ．2 D ．-23.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为( )A ．11B ．02C ． 05D ．044．如图给出的是计算1＋13＋15＋17＋19的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是( )A ．2,5?n n i =+>B ． 2,5?n n i =+=C ．1,5?n n i =+=D ．1,5?n n i =+>5.将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为004，这600名学生分住在三个营区．从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为( )A ． 24,17,9B ．25,16,9C ． 25,17,8D ． 26,16,8南漳一中 襄州一中枣阳二中 襄阳一中6.根据如下样本数据：得到的回归方程为ˆˆˆybx a =+,则( ) A ． ˆˆ0,0ab >< B ． ˆˆ0,0a b >> C ． ˆˆ0,0ab <> D ．ˆˆ0,0a b << 7.某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过两次而接通电话的概率为A.109 B.103 C.15 D.1018．已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则8a ＝( )A ． 180-B ．45C ．45-D ． 1809．若圆2221:()()1C x a y b b -+-=+始终平分圆222:(1)(1)4C x y +++=的周长,则实数b a ,应满足的关系是( )A ．03222=---b a a B ． 0122222=++++b a b a C ．05222=+++b a a D ． 01222322=++++b a b a10.圆C 的方程为224x y +=，圆M 的方程为22(5cos )(5sin )1()x y R θθθ-+-=∈，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PA PB 、，切点分别是A 、B ，则PA PB ⋅的最小值是( )A.12B.10C.6D.5第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．) 11.在空间直角坐标系中，点(2,1,4)-关于y 轴的对称点的坐标为 _______．12.已知532()31f x x x x x =-+-+，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为________．13.设随机变量(2,)X B p ，(3,)Y B P ，若7(1)16P X ≥=，则(1)P Y == ________. 14.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午(前4节)，体育排在下午（后2节），不同的排法种数是______. 15．设有一组圆m C ：2224)1()12(m m y m x =--+--(m 为正整数．．．)，下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相交 ②存在一条定直线与所有的圆均不．相交 ③所有的圆均不．经过原点④存在一条定直线与所有的圆均相切 其中真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16. （本小题满分12分）已知ABC ∆的顶点(5,1),A AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=.求（1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程.17.(本小题满分12分）已知：4540,n n A C =设()(nf x x = . (1) 求n 的值；(2) ()x f 的展开式中的哪几项是有理项（回答项数即可．．．．．．）； （3）求()x f 的展开式中系数最大的项和系数最小的项.18．（本小题满分12分）某班级共有60名学生，先用抽签法抽取10名学生调查他们的学习情况。

2015年7月襄阳市普通高中调研统一测试高二数学(理工类)参考答案及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。

当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

一．选择题：AABDB DCDCC BA二．填空题：13．49 14．75 15．1[1)2， 16．②③④ 三．解答题：17．解：若p ：方程2210x mx ++=有两个不相等的正根为真，则21244020m x x m ⎧=->⎨+=->⎩ 2分 解得1m <-3分 若q ：方程22(2)3100x m x m +--+=无实根为真5分 则24(2)12400m m =-+-<解得23m -<<6分 ∵p ∨q 为真，∴命题p 与命题q 至少有一个为真7分 ∵p ∧q 为假，∴命题p 与命题q 至少有一个为假8分 因此，命题p 与命题q 必一真一假9分 若p 真q 假，则2m -≤10分若p 假q 真，则13-<≤11分综上，实数m 的取值范围为{|2m m -≤或13}m -<≤12分18．(Ⅰ)解：2()(2)1(1)(1)f x x a x a x x a '=+-+-=++-当a = 0时，2()(1)0f x x '=+≥恒成立当且仅当1x =-时取“=”号，f (x )在R 上单调递增2分 当a > 0时，由()0f x '=，得1211x x a =-=-，且x 1 < x 23分 当x 变化时，()()f x f x '、的变化如下表：f (x )在(1]-∞-，单调递增，在[11]a --，单调增减，在[1)a -+∞，单调递增． 6分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知 当a = 0时，f (x )在[0，1]上单调递增 7分当a > 0时，∵f (x )在[0，1]上单调递增，∴[01][1)a ⊆-+∞，， 9分因此，1a -≤0，a ≤1 11分 综上，a 的取值范围是[0，1]．12分19．方法一5分 AE(Ⅰ)解：如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF ∥AB 2分 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF∴AB ∥平面DEF ． 4分(Ⅱ)解：∵AP ⊥CP ，AP ⊥BP ，CP 、AP 在平面PBC 内∴AP ⊥平面PBC取PC 的中点M ，连结EM ，则EM ∥P A∴EM ⊥平面PBC ，故EM ⊥PF过M 作MN ⊥PF 于点N ，连结EN则PF ⊥平面EMN ，∴则EN ⊥PF因此∠MNE 是二面角E －DF －C 的平面角在Rt △EMN 中，EM = 1，MN =，∴EN =故cos MNE ∠= 即二面角E －DF －C8分 (Ⅲ)解：在线段BC 上存在点Q ，使AQ ⊥PE证明如下：在线段BC 上取点Q ．使13BQ BC =，过Q 作QR ⊥PC 于点R 则QR ⊥平面P AC∵13PR PC ==Rt △P AR 中，∠P AR = 30°，∴AR ⊥PE ∴PE ⊥平面AQR ，因此AQ ⊥PE12分方法二(Ⅰ)同方法一(Ⅱ)解：以直线PB PC PA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，，0)∴E (01)，F (1，3，0) 4分平面PCF 的法向量(002)DA =，，设平面PEF 的法向量为n = (x ，y ，z )则0000PF x z PE ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨+=⋅=⎪⎩n n取n = (3，3)6分cos ||||DA DA DA ⋅<⋅>==⋅n n n 二面角E －PF －C． 8分(Ⅲ)解：设Q (x ，y ，0)，则(20)(20)BQ x y BC=-=-，，，，由B 、Q 、C 共线得：2)2x y x -=⇒=--(2)AQ x =--，，10分由AQ ⊥PE得：0()2)(01)0AQ PE x x ⋅=⇒--⋅=， 解得：43x =，∴在线段BC 上存在点Q ，使AQ ⊥PE ．12分20．(Ⅰ)解：由已知A (0，b )，设F 1(c -，0)，F 2(c ，0) 由1222F F F Q +=0得：Q (3c -，0)1分 ∴2(3)()AQ c b AF c b =--=-，，，2分 由AQ ⊥AF 2得：22230AQ AF c b ⋅=-+=，∴222302c a c a c-+-=⇒=3分 过A 、Q 、F 2三点的圆的圆心为斜边QF的中点(c -，0)，半径r = 2c 4分∵过A 、Q 、F 2三点的圆恰好与直线30x -=相切 ∴圆心到直线30x -=的距离 = r ，即|3|212c c c --=⇒=5分 ∴a = 2c = 2，b =故所求的椭圆的方程为22143x y +=6分 (Ⅱ)解：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由题意y 1、y 2异号 12121211||||||2F MN S F F y y y y =⨯-=-由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x = my + 1 由221431x y x my ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 得：22(34)690m y my ++-=8分 ∴121222693434m y y y y m m --+==++，故22221212122222636144(1)()()4()3434(34)m my y y y y y m m m -+-=+-=+=+++ ∴121||F MN S y y =-=10分令t =，则211212(1)1313F MN tS t t t t==++≥当t = 1时，△F 1MN 有最大值3．此时，m = 0故△F 1MN 的面积的最大值为3，此时直线l 的方程为x = 1． 12分21．(Ⅰ)解：22221(1)()10x f x x x x -'=--=-<∴f (x )在(0，+∞)上单调递减．2分 (Ⅱ) 解：原不等式可化为1ln(1)x +<=4分令1)t t => 原不等式等价于12ln t t t <- 令1()2ln g t t t t =-+，由(Ⅰ)知，函数g (t )在(0，+∞)上单调递减6分 ∴()(1)0g t g <= 故12ln t t t <-，故原不等式成立．8分 (Ⅲ)证：由(Ⅱ)1ln(1)ln(1)ln n n n >+=+-9分(n n ++++(ln 2ln1)(ln 3ln 2)[ln(1)ln ]ln(1)n n n >-+-+++-=+ 10分令()ln(1)(0)1xh x x x x =+->+则2211()01(1)(1)xh x x x x '=-=>+++∴h (x )在(0，+∞)是增函数，故h (x ) > h (0) = 0 11分因此ln(1)0ln(1)11xx x x x x +->⇒+>++ ln(1)(1nn n n n +>+>++12分22．(Ⅰ) 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)，则126y y += 2分 又21122288y x y x ⎧=⎨=⎩， 两式相减得：2212128()y y x x -=-∴121212843AB y y k x x y y -===-+4分 故AB 的方程为43(2)3y x -=-，即4310x y -+=5分 (Ⅱ)解：设AB 方程为y x b =+由28y x y x b ⎧=⎨=+⎩得：2880y y b -+=6分 ∵64320b ∆=->，∴2b <，1242y y +=7分弦AB 的中点(44)b -，，故线段垂直平分线方程为4(4)y x b -=--+8分 令0y =，得8x b =-+∵2b <，∴6x >即线段AB 的垂直平分线在x 轴上的截距范围(6，+∞)． 10分。

2014-2015学年度湖北省部分高中12月调考高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合1{|(),1},{|2xA x y xB x y ==>-==，则A B =（ ）A ．{|02}x x <<B ．{|0x x <C ．{|0x x <≤D ．{|0x x ≤≤ 2、复数221z i i=++，其中i 是虚数单丝，则复数z 的模为（ ）A ．2 3、已知,sin cos 22a ππθθθ-<<+=，其中01a <<，则tan θ可能是（ ） A ．2- B ．12-C ．2或12-D ．-1或13- 4、等比数列{}n a 的前n 项和为330,6,nn S a S xdx ==⎰，则公比q 为（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．-1或125、函数()f x 是R 上的偶函数，且()(1)1f x f x ++=，当[]1,2x ∈时，()2f x x =-， 则()2005.5f -=（ ）A ．0.5B ．1C ．1.5D ． 1.5-6、等差数列{}n a 中，120032004200320040,0,0,n a a a a a S >+>⋅<为数列{}n a 的前n 项和，若0n S >，则n 的最大值为（ ）A ．2003B ．400C ．4006D ．4007 7、一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．408、从1,2,3,,20这20个数中任取2个不同的数，则这两个数之和为3,的倍数的概率为（ ） A ．3295 B ．338C ．119D ．571909、设,x y 满足约束条件13400x y a a x y ⎧+≤⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩，若231x y z x ++=-的最小值为32，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．210、设曲线(1)xy ax e =-在点00(,)A x y 处的切线为1l ，曲线(1)xy x e -=-在点01(,)B x y 处的切线为2l ，若存在03[0,]2x ∈，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3(1,)2D ．3[1,]2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

2015年襄阳市初中毕业生学业水平考试数 学 试 题一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．的绝对值是（ ▲ ）.A ．2B ．C ．12D ．2．中国人口众多，地大物博，仅领水面积就约为370 000km 2，将“370 000”这个数用科学记数法表示为（ ▲ ）. A ．3.7×106 B ．3.7×105 C ．37×104 D ．3.7×104 3．在数轴上表示不等式2（1－x ）＜4的解集，正确的是（ ▲ ）.A ．B ．C ．D ．4．如图，是一台自动测温仪记录的图象，它反映了我市冬季某天气温T 随时间t 变化而变 化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ▲ ）. A ．凌晨4时气温最低为－3°C B ．14时气温最高为8°CC ．从0时至14时，气温随时间增长而上升D ．从14时至24时，气温随时间增长而下降5．下列运算中正确的是（ ▲ ）. A ．a 3－a 2＝a B ．a 3·a 4＝a 12 C ．a 6÷a 2＝a 3 D ．(－a 2)3＝－a 6 6．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为（ ▲ ）. A ．60° B ．50° C ．40° D ．30° 7．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB ，若BE ＝2，则AE 的长为（ ▲ ）. A ．3 B ．1 C ．2 D ．28．下列说法中正确的是（ ▲ ）.A ．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件B ．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件C ．“概率为0.0001的事件”是不可能事件D ．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 9．点O 是△ABC 的外心，若∠BOC ＝80°，则∠BAC 的度数为（ ▲ ）. A ．40°B ．100°C ．40°或140°D ．40°或100°10．由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ▲ ）.A ．4B ．5C ．6D ．9第10题图 主视图俯视图左视图第7题图第6题图 0T /°C t /时24144-38第4题图11．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ▲ ）.12．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是（ ▲ ）. A ．AF ＝AE B ．△ABE ≌△AGF C ．EF ＝2 5 D ．AF ＝EF二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)把答案填在答题卡的相应位置上. 13．计算： ▲ .14．分式方程的解是 ▲ .15．若一组数据1，2，x ，4的众数是1，则这组数据的方差为 ▲ .16．如图，P 为⊙O 外一点，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，P A ＝3，∠P ＝60°，则图中阴影部分的面积为 ▲ .17．在□ ABCD 中，AD ＝BD ，BE 是AD 边上的高，∠EBD ＝20°，则∠A 的度数为 ▲ .三、解答题(本大题共9个小题，共69分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内. 18．(本小题满分6分)先化简，再求值：，其中x ＝3＋2，y ＝3－ 2.第16题图GF E DCB A第12题图xyO第11题图OyxxyOA ． B. C. D.xx x xx19．(本小题满分6分)如图，已知反比例函数的图象与一次函数y ＝ax ＋b 的图象相交于点A (1，4)和点B (n ，－2).（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x 的取值范围.20．(本小题满分6分)为配合全市“禁止焚烧秸秆”工作，某学校举行了“禁止焚烧秸秆，保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛. 赛后组委会整理参赛同学的成绩，并制作了如下不完整的频数分布分数段（分数为x 分）频数 百分比 60≤x ＜70 8 20% 70≤x ＜80 a 30% 80≤x ＜90 16 b % 90≤x ＜100410%请根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）表中的a ＝ ▲ ，b ＝ ▲ ；请补全频数分布直方图；（2）若用扇形统计图来描述成绩分布情况，则分数段70≤x ＜80对应扇形的圆心角的度数是 ▲ ；（3）竞赛成绩不低于90分的4名同学中正好有2名男同学，2名女同学. 学校从这4名同学中随机抽2名同学接受电视台记者采访，则正好抽到一名男同学和一名女同学的概率为 ▲ .第19题图yA (1,4)OxB (n ,-2)第20题图21．(本小题满分6分)如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门. 所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m 2？22．(本小题满分6分)如图，AD 是△ABC 的中线，，，AC＝ 2. 求：(1)BC 的长；(2)sin ∠ADC 的值.23．(本小题满分7分)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D . （1）求证：BE ＝CF ；（2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长.45°FED CBA第21题图1m住房墙24．(本小题满分10分)为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元. 根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒.（1）试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元. 如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？25．(本小题满分10分)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB∶PC＝1∶2.（1）求证：AC平分∠BAD；（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）若AD＝3，求△ABC的面积.第25题图26．(本小题满分12分)边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点 E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC. 以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒.过点P作PF⊥CD于点F. 当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD 相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.第26题图11 /11。