2020-2021学年湖北省襄阳市四校高一下学期期中联考数学试卷 答案和解析

湖北省襄阳市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合，则（）A . (-1,1)B . (1,3)C . (0,1)D . (-1,0)2. （2分） (2016高一上·红桥期中) 已知A={x|x2=1}，B={x|x= }，若B⊆A，则a的值为（）A . 1或﹣1B . 0或1或﹣1C . ﹣1D . 13. （2分）若a<b<0，则下列不等式中成立的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二上·大连开学考) 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是（）A . y=2|sinx|B . y=cosxC . y=sin2xD . y=|cosx|5. （2分）(2018·海南模拟) 等差数列的前项和为，，且，则的公差（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2019高二上·沈阳月考) 已知是等差数列的前项和，为数列的公差，且，有下列四个命题：① ；② ；③ ；④数列中的最大项为，其中正确命题的序号是（）A . ②③B . ①②C . ③④D . ①④7. （2分） (2016高二上·临沂期中) 下列结论正确的是（）A . 当x＞0且x≠1时，lgx+ ≥2B . 当x＞0时， + ≥2C . 当x≥2时，x+ 的最小值为2D . 当0＜x≤2时，x﹣无最大值8. （2分）数列， 3，，，，…，则9是这个数列的第（）A . 12项B . 13项C . 14项D . 15项9. （2分） (2019高二上·城关期中) 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（）A .B .C .D .10. （2分）设变量满足约束条件：，则的最小值为（）A . -2B . -4C . -6D . -811. （2分）设函数，数列满足,且数列为递增数列,则实数A的取值范围为（）A . (2,3)B . (1,3)C . (1,+)D . (2, +)12. （2分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，f（x+2）=﹣f（x），且x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x+ ，则f（log220）=（）A . 1B .C . ﹣1D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2016·潍坊模拟) 已知函数f（x）= +mx是定义在R上的奇函数，则实数m=________．14. （2分）若tanα=2，则=________ ；sinα•cosα=________15. （1分）不等式x2﹣x+1＜0的解集为________．16. （1分）已知正数x、y、z满足x+y+z=1，则的最小值为________三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2017高一下·新余期末) 已知函数 +cos2x+a（a∈R，a为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数的单调递减区间；（Ⅲ）若时，f（x）的最小值为﹣2，求a的值．18. （10分） (2017高三上·綦江期末) 已知数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，S5=20，a1 ， a3 ， a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn+1=bn+an，且b1=1，求数列{ }的前n项和Tn．19. （10分） (2016高二下·揭阳期中) 已知．（1）求f（x）的周期及其图象的对称中心；（2）△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（B）的值．20. （10分） (2016高三上·江苏期中) 某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．21. （10分） (2019高一下·上海期末) 已知函数的图象与轴正半轴的交点为，．（1）求数列的通项公式；（2）令（为正整数），问是否存在非零整数，使得对任意正整数，都有？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．22. （10分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0（1）若a=﹣2，求上述不等式的解集；（2）若上述不等式的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）的值为（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）已知，，则2θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．（5分）在△ABC中，三边a，b，c满足a2=b2+c2+bc，则角A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了3个伙伴；第2天，4只蜜蜂飞出去，各自找回了3个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的总只数为（）A．243 B．729 C．1024 D．40965．（5分）等差数列{a n}中，a2+a5+a8=9，那么方程x2+（a4+a6）x+10=0的根的情况（）A．没有实根B．两个相等实根C．两个不等实根D．无法判断6．（5分）在△ABC中，若lna﹣lncosB=lnb﹣lncosA，其中角A，B的对边分别为a，b，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形7．（5分）函数f（x）=cos4x+sin4x（x∈R）的递减区间为（）A．B．（k∈ZC．（k∈Z）D．（k∈Z）8．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a n=1﹣（n＞1），则a2015=（）A．2 B．1 C．D．﹣19．（5分）一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（）A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里10．（5分）首项为正数的等差数列{a n}满足5a6=3a3，则前n项和S n中最大项为（）A．S9B．S10C．S11D．S12二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填在答题卷相应位置上.）11．（5分）在△ABC中，a=3，A=30°，B=60°，则△ABC的面积S=．12．（5分）在等比数列{a n}中，已知a3=6，S3=18，则公比q=．13．（5分）化简=．14．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．15．（5分）函数f（x）=sin（x+10°）+cos（x﹣20°）的最大值为．三.解答题（本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（12分）设公差不等于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=30，a1，a2，a4成等比数列（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求的值．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小；（2）如果a+b=6，，求边长c的值．18．（12分）已知，，，求cos（α+β）的值．19．（12分）马航MH370牵动全球人的心，世界各国积极投身到马航的搜救工作中，了解海底构造是救援工作要做的第一件事．某搜救队在某海域的海平面上的同一条直线上的A，B，C三点进行测量，得AB=50，BC=120，于A，B，C三处测得水深分别为AD=80，BE=200，CF=110，如图所示，试利用你所学知识求∠DEF的余弦值．20．（13分）已知向量，，函数f（x）=2（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期及上的最值；（2）若关于x的方程f（x）=m在区间上只有一个实根，求实数m的取值范围．21．（14分）已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}的通项为b n=f（n），且f（n）满足：①；②对任意正整数m，n都有f（m+n）=f（m）f（n）成立．（1）求a n与b n；（2）设数列{a n b n}的前n项和为T n，求证：（n∈N*）；（3）数列{b n}中是否存在三项，使得这三项按原有的顺序构成等差数列，若存在，求出这三项，若不存在，说明理由．湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）2014-2015学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）的值为（）A．B．﹣C．D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和的正弦公式求得sin=sin（+）的值．解答：解：sin=sin（+）=sin cos+cos sin=+×=，故选：A．点评：本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．2．（5分）已知，，则2θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角考点：二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：由题意sin2θ=2sinθcosθ=2××=﹣＜0，cos2θ=cos2θ﹣sin2θ=＜0，从而得解．解答：∵sinθ=，cosθ=﹣∴sin2θ=2sinθcosθ=2××=﹣＜0∴2θ在第三、四象限∵cos2θ=cos2θ﹣sin2θ=＜0∴2θ在第二、三象限综上，2θ在第三象限．故选：C．点评：本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．3．（5分）在△ABC中，三边a，b，c满足a2=b2+c2+bc，则角A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由已知可得：b2+c2﹣a2=﹣bc，从而根据余弦定理可得cosA==﹣，结合范围0＜A＜π，即可得解．解答：解：∵a2=b2+c2+bc，∴b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA===﹣，由于0＜A＜π，∴解得：A=120°，故选：C．点评：本题主要考查了余弦定理的应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．4．（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了3个伙伴；第2天，4只蜜蜂飞出去，各自找回了3个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的总只数为（）A．243 B．729 C．1024 D．4096考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，由题意可得数列{a n}成等比数列，它的首项为4，公比q=4，由通项公式易得答案．解答：解：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，由题意可得数列{a n}成等比数列，它的首项为4，公比q=4∴{a n}的通项公式：a n=4•4n﹣1=4n，∴到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6=46=4096只蜜蜂．故选：D点评：本题考查等比数列的通项公式，由实际问题抽象出数列是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）等差数列{a n}中，a2+a5+a8=9，那么方程x2+（a4+a6）x+10=0的根的情况（）A．没有实根B．两个相等实根C．两个不等实根D．无法判断考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：运用等差数列的性质，即有a2+a8=a4+a6=2a5=6，代入方程，求出判别式，即可判断根的情况．解答：解：等差数列{a n}中，a2+a5+a8=9，即有a2+a8=2a5，则3a5=9，即a5=3，即有a4+a6=2a5=6，方程x2+（a4+a6）x+10=0即为x2+6x+10=0，判别式为36﹣40=﹣4＜0，故方程没有实根．故选A．点评：本题考查等差数列的性质，同时考查二次方程的实根的分布，属于基础题．6．（5分）在△ABC中，若lna﹣lncosB=lnb﹣lncosA，其中角A，B的对边分别为a，b，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形考点：正弦定理；对数的运算性质．专题：解三角形．分析：由对数的运算性质化简，利用正弦定理化简acosA=bcosB，通过两角差的正弦函数，求出A与B的关系，得到三角形的形状．解答：解：若lna﹣lncosB=lnb﹣lncosA，可得：ln=ln，既有：acosA=bcosB，所以由正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，所以2A=2B或2A=π﹣2B，所以A=B或A+B=90°．所以三角形是等腰三角形或直角三角形．故选：D．点评：本题是基础题，考查正弦定理在三角形中的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．7．（5分）函数f（x）=cos4x+sin4x（x∈R）的递减区间为（）A．B．（k∈ZC．（k∈Z）D．（k∈Z）考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由两角和与差的正弦函数公式可得f（x）=2sin（4x+），由2kπ≤4x+≤2kπ+，k∈Z可解得递减区间．解答：解：∵f（x）=cos4x+sin4x=2sin（4x+），∴由2kπ≤4x+≤2kπ+，k∈Z可解得递减区间为：（k∈Z）故选：B．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．8．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a n=1﹣（n＞1），则a2015=（）A．2 B．1 C．D．﹣1考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由a1=﹣1，a n=1﹣（n＞1），可得a n+3=a n．利用周期性即可得出．解答：解：∵a1=﹣1，a n=1﹣（n＞1），∴a2=1﹣（﹣1）=2，a3=1﹣=，a4=1﹣2=﹣1，…，∴a n+3=a n．∴数列{a n}是周期数列，周期T=3．∴a2015=a3×671+2=a2=2．故选：A．点评：本题考查了递推式的应用、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时（）A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，由此能求出这艘船的速度．解答：解：如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是=10（海里/小时）．故选C．点评：本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用．10．（5分）首项为正数的等差数列{a n}满足5a6=3a3，则前n项和S n中最大项为（）A．S9B．S10C．S11D．S12考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意易得数列的公差d=﹣a1，进而可得通项公式，从而数列{a n}的前10项为正数，从第11项开始为负，即可可得结论．解答：解：∵等差数列{a n}中5a6=3a3，∴公差d=﹣a1，∴a n=a1+（n﹣1）×（﹣a1）=a1，令a1≥0可得n≤10，∴等差数列{a n}的前10项为正数，从第11项开始为负，∴S n达到最大值的n是10．故选：B．点评：本题考查等差数列的前n项和及其最值，得出数列的正负变化是解决问题的关键，属基础题．二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填在答题卷相应位置上.）11．（5分）在△ABC中，a=3，A=30°，B=60°，则△ABC的面积S=．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理可得b=，可求C=180°﹣30°﹣60°，由三角形面积公式即可得解．解答：解：∵由正弦定理可得：b===3．∴S△ABC=absinC==．故答案为：．点评：本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．12．（5分）在等比数列{a n}中，已知a3=6，S3=18，则公比q=1或．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得q=1满足题意，当q≠1时可得q的方程，解方程可得．解答：解：当q=1时，a1=a2=a3=6，满足S3=18，符合题意；当q≠1，S3=++6=18，解得q=，或q=1（舍去），综合可得q=1或故答案为：1或点评：本题考查等比数列的通项公，涉及分类思想易漏解，属基础题．13．（5分）化简=﹣4．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：对已知通分，逆用两角和与差的三角函数公式以及正弦的倍角公式化简．解答：解：===﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查了三角函数式的化简求值；利用了两角和与差的三角函数公式以及正弦的倍角公式；属于基础题．14．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．考点：余弦定理；等比数列的性质．专题：计算题．分析：利用等比数列以及余弦定理即可求出cosB的值．解答：解：由题意可知：b2=ac，c=2a（3分）由余弦定理可得（6分）=．（12分）点评：本题考查余弦定理的应用，等比数列的基本性质，考查计算能力．15．（5分）函数f（x）=sin（x+10°）+cos（x﹣20°）的最大值为．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式化简可得f（x）=sin（x+40°），可得最值．解答：解：化简可得f（x）=sin（x+10°）+cos（x+10°﹣30°）=sin（x+10°）+cos（x+10°）cos30°+sin（x+10°）sin30°=sin（x+10°）+cos（x+10°）+sin（x+10°）=sin（x+10°）+cos（x+10°）=sin（x+10°+30°）=sin（x+40°）∴函数的最大值为故答案为：．点评：本题考查三角函数的最值，属基础题．三.解答题（本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（12分）设公差不等于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=30，a1，a2，a4成等比数列（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求的值．考点：数列的求和；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）==，利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则d≠0，∵S5=30，a1，a2，a4成等比数列，∴，解得a1=d=2，（其中d=0舍去），∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（2）∵==，∴=…+==．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小；（2）如果a+b=6，，求边长c的值．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用三角形的边长得出由求解即可．（2）运用余弦定理得出c====．解答：（1）由得sinC=，故tanC=，又C∈（0，π），所以C=，（2）由CA•CB=|CA•|CB|cosC=bcos==4得ab=8，所以c====．点评：本题考查的知识点：正弦定理，余弦定理求解三角形的边长的情况，解三角形的问题，属于中档题．18．（12分）已知，，，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：结合角的范围可求cos（），sin（），利用两角和与差的余弦函数公式即可求cos（α+β）=﹣cos的值．解答：解：由，得（，π），故cos（）=﹣，…（3分）由，得∈（π，），故sin（）=﹣，…（6分）所以cos（α+β）=﹣cos…（8分）=﹣=﹣=﹣…（12分）点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用，解题时要注意分析角的范围，属于基本知识的考查．19．（12分）马航MH370牵动全球人的心，世界各国积极投身到马航的搜救工作中，了解海底构造是救援工作要做的第一件事．某搜救队在某海域的海平面上的同一条直线上的A，B，C三点进行测量，得AB=50，BC=120，于A，B，C三处测得水深分别为AD=80，BE=200，CF=110，如图所示，试利用你所学知识求∠DEF的余弦值．考点：解三角形．专题：应用题；解三角形．分析：先利用勾股定理分别求得DF，DE和EF，进而利用余弦定理求得cos∠DEF的值．解答：解：如图作DM∥AC交BE于N，交CF于M．DF==10（m），DE=130（m），EF=150（m）．在△DEF中，由余弦定理的变形公式，得cos∠DEF==．点评：本题主要考查了解三角形问题的实际应用．综合考查了三角形问题中勾股定理，余弦定理的灵活运用．20．（13分）已知向量，，函数f（x）=2（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期及上的最值；（2）若关于x的方程f（x）=m在区间上只有一个实根，求实数m的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）由平面向量数量积的运算化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+1，由周期公式可求周期，由时，可求2x﹣∈，从而由函数单调性可求最值．（2）由正弦函数的单调性知f（x）在上递增，在上递减，又f（0）=0，f（）=，f（）=2，结合图象可知实数m的取值范围．解答：解：（1）f（x）=2=2sinxcosx+2sin2x…（1分）=sin2x+1﹣cos2x…（2分）=sin（2x﹣）+1…（3分）所以最小正周期T=π…（4分）当时，2x﹣∈，…（5分）故当2x﹣=即x=时，f（x）取得最大值当2x﹣=﹣即x=0时，f（x）取得最小值所以函数f（x）的最大值为f（）=，最小值为f（0）=0…（8分）（少求一个最值扣一分，两个全错扣三分）（2）由正弦函数的单调性知f（x）在上递增，在上递减…（9分）又f（0）=0，f（）=，f（）=2…（10分）要想方程f（x）=m在区间上只有一个实根，结合图象可知只需满足m=或0≤m≤2…（13分）（若有分析过程，但无图象，不扣分，若只画出了函数的大致图象，但没有得出答案，则扣两分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．21．（14分）已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}的通项为b n=f（n），且f（n）满足：①；②对任意正整数m，n都有f（m+n）=f（m）f（n）成立．（1）求a n与b n；（2）设数列{a n b n}的前n项和为T n，求证：（n∈N*）；（3）数列{b n}中是否存在三项，使得这三项按原有的顺序构成等差数列，若存在，求出这三项，若不存在，说明理由．考点：抽象函数及其应用．专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据等差数列的通项公式，结合f（m+n）=f（m）f（n）求出首项、公差，代入通项公式；（2）代入a n b n及T n，利用错位相减法求出T n，（3）假设存在符合条件的三项b r，b s，b t，其中正整数r，s，t满足r＜s＜t，根据等差中项的性质可知2b s=b r+b t，2×2t﹣s=2×2t﹣r﹣1+1，左边为偶数，右边为奇数，判断出假设不成立．解答：解：（1）a n===n，由f（m+n）=f（m）f（n）令m=1得f（n+1）=f（n）f（1）=f（n），即b n+1=b n；b1=，所以数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列，所以b n=（）n，（2）a n b n=n•n＞0，所以T n单调递增，故T n≥T1=，又T n=1×+2×（）2+…+n•（）n，…①，T n=1×（）2+2×（）3+…+n•（）n+1，…②，①﹣②得T n=+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1=﹣n×（）n+1=1﹣（）n﹣n•（）n+1，所以T n=2﹣＜2，综上证：（n∈N*）；（3）假设存在符合条件的三项b r，b s，b t，其中正整数r，s，t满足r＜s＜t，则2b s=b r+b t，即2×（）s=（）r﹣（）t，两边同乘以2t得，2×2t﹣s=2×2t﹣r﹣1+1，左边为偶数，右边为奇数，故不存在．点评：本题主要考查了数列的求和问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．。

2014—2015学年下学期高一期中考试数学试题时间：120分钟 分值：150分学 校：曾都一中 枣阳一中 襄州一中 宜城一中★祝考试顺利★ 注意事项：答卷前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。

网评考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡密封线内，将考号最后两位填在登分栏的座位号内。

网评考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

第I 卷一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.127sinπ的值为（ ）A.426+B.426+-C.426-D.426--2.已知54sin =θ，53cos -=θ，则θ2是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.在ABC ∆中，三边a ，b ，c 满足bc c b a ++=222，则角A 等于（ ）A.30 B.60 C.120 D.1504.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了3个伙伴；第2天，4只蜜蜂飞出去，各自找回了3个伙伴......如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的总只数为（ ）A.243B.729C.1024D.40965.等差数列}{n a 中，9852=++a a a ，那么方程010)(642=+++x a a x 的根的情况（ ）A.没有实根B.两个相等实根C.两个不等实根D.无法判断6.在ABC ∆中，若A b B a cos ln ln cos ln ln -=-，其中角A ，B 的对边分别为a ，b ，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形7.函数)(4sin 4cos 3)(R x x x x f ∈+=的递减区间为（ ）A.)](2124,21245[Z k k k ∈++-ππππ B.)](21247,2124[Z k k k ∈++ππππC.)](2112,216[Z k k k ∈++-ππππD.)](213,2112[Z k k k ∈++ππππ8.已知数列}{n a 满足11-=a ，)1(111>-=-n a a n n ，则=2015a （ ）A.2B.1C.21D.1-9.一艘向正东航行的船，看见正北方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的北偏西30，另一灯塔在船的北偏西15，则这艘船的速度是每小时（ ）A.5海里B.35海里C.10海里D.310海里10.首项为正数的等差数列}{n a 满足3635a a =，则前n 项和n S 中最大项为（ ） A.9S B.10SC.11SD.12S第II 卷二.填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填在答题卷相应位置上.)11.在ABC ∆中，3=a ， 30=A ，60=B ，则ABC ∆的面积=S ▲ ．12.在等比数列}{n a 中，已知63=a ，183=S ，则公比=q ▲ ．13.化简=-20sin 320cos 1 ▲ ．14.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a c 2=，则=B cos ▲ ．15.函数)20cos()10sin()( -++=x x x f 的最大值为 ▲ ． 三.解答题(本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)16.（本小题满分12分）设公差不等于零的等差数列}{n a 的前n 项和为nS ，且305=S ，1a ，2a ，4a 成等比数列（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求212032211...11a a a a a a +++的值.17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且C cAa cos 3sin =（1）求角C 的大小；（2）如果6=+b a ，4=⋅，求边长c 的值.18.（本小题满分12分）已知55)4sin(=+πα，1010)43cos(-=+πβ，)43,4(,ππβα∈，求)cos(βα+的值.19.（本小题满分12分）马航370MH 牵动全球人的心，世界各国积极投身到马航的搜救工作中，了解海底构造是救援工作要做的第一件事.某搜救队在某海域的海平面上的同一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，得50=AB ，120=BC ，于A ，B ，C 三处测得水深分别为=CF，如图所示，试利用你所学知识求DEFBE，110==AD，20080∠的余弦值.20.（本小题满分13分）已知向量)sin ,(sin x x a =，)sin ,(cos x x b =，函数b a x f ⋅=2)()(R x ∈（1）求函数)(x f 的最小正周期及]2,0[π∈x 上的最值； （2）若关于x 的方程m x f =)(在区间]2,0[π上只有一个实根，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和22n n S n +=，数列}{n b 的通项为()n b f n =，且)(n f 满足： ①21)1(=f ；②对任意正整数n m ,都有)()()(n f m f n m f =+成立.（1）求n a 与nb ；（2）设数列}{n n b a 的前n 项和为n T ，求证：221<≤n T （*∈N n ）；（3）数列}{n b 中是否存在三项，使得这三项按原有的顺序构成等差数列，若存在，求出这三项，若不存在，说明理由.2014—2015学年下学期高一期中考试数学参考答案及评分细则一、选择题：ACCDA DBACB二、填空题：11、12、或13、14、15、三、解答题（若有不同解法，可以根据解答情况给出相应分数）16、（1）设数列的首项为，公差为，则，根据条件有.................................................2分解得（其中舍去）.................................4分所以.................................6分（2）.....................8分.....10分.........................12分17、（1）由得.......................2分故，又，所以.......................5分（2）由得.......7分所以.....................9分.....................12分18、由得，故.............3分由得，故...........6分所以.............8分.......................12分19、分别由与作的垂线，垂足为与，令，由已知条件可知...........4分故.....................6分所以....................9分所以.......................12分20、（1）........................1分........................2分...........................3分所以最小正周期.........................................4分当时，，.........5分故当即时，取得最大值当即时，取得最小值所以函数的最大值为，最小值为.........8分（少求一个最值扣一分，两个全错扣三分）（2）由正弦函数的单调性知在上递增，在上递减..............9分又.......................................10分要想方程在区间上只有一个实根，结合图像可知只需满足或.......................................13分(若有分析过程，但无图像，不扣分，若只画出了函数的大致图像，但没有得出答案，则扣两分）21、（1）...........................2分由令得，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以......5分（若无推导过程直接得，则得1分，后续问题不扣分（2），所以单调递增，故......6分又......................①..................②....................7分①-②得 (8)分所以，综上...................................10分（3）假设存在符合条件的三项，其中正整数满足则，即，两边同乘以得，左边为偶数，右边为奇数，故不存在...............14分。

2020-2021学年湖北省部分重点高中高一（下）联考数学试卷（4月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设z=3+i1−i+i，则z−在复平面对应的点位于第()象限A. 一B. 二C. 三D. 四2.在△ABC中，若acosC+ccosA=bsinB，则此三角形为()A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形3.已知直线l，m，平面α，m⊂α，那么“l//α”是“l//m”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为π8米，一只手臂长约为π4米，“弓”所在圆的半径约为1516米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为()A. 1516米B. 15√216米C. 15√316米D. 15√332米5.如图，已知底面边长为a的正四棱锥P−ABCD的侧棱长为2a，若截面PAC的面积为8√7，则正四棱锥P−ABCD 的体积等于()A. 12√14B. 32√143C. 32√73D. 10836. 在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于点E ，F ，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若1m +tn 的最小值为83，则正数t 的值为( )A. 1B. 2C. 83D. 1137. 如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱AD 、B 1C 1的中点．若点P 为侧面正方形ADD 1A 1内(含边界)动点，且B 1P//平面BEF ，则点P 的轨迹长度为( )A. 12 B. 1C. √52D. π28. 已知函数f(x)={|ln(−x)| , x <0x 2−6x +6, x ≥0，若关于x 的方程f 2(x)−bf(x)+1=0有8个不同根，则实数b 的取值范围是( )A. (2 , 174] B. (2 , 174]∪(−∞ , −2) C. (2 , 376]D. (−∞,−2)∪(2,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设i 为虚数单位，复数z =(a +i)(1+2i)，则下列命题正确的是( )A. 若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B. 若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(−12,2) C. 实数a =−12是z =z −(z −为z 的共轭复数)的充要条件 D. 若z +|z|=x +5i(x ∈R)，则实数a 的值为210. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E 、F 、G 分别为线段AB 、A 1B 1、AA 1的中点，下列说法正确的是( )A. 平面AC 1F//平面B 1CEB. 直线FG//平面B 1CEC. 直线CG 与BF 异面D. 直线C 1F 与平面CGE 相交11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c =√32b =3，B =2C ，则下列结论正确的是( )A. sinC =√63B. a =c3C. a =cD. S △ABC =2√212. 直角梯形ABCD 中，CB ⊥CD ，AD//BC ，△ABD 是边长为2的正三角形，P 是平面上的动点，|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则λ+μ的值可以为( )A. 0B. 1C. 2D. 3三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知点A(−1,1)，B(1,2)，C(−2,−1)，D(3,4)，与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向单位向量为e ⃗ ，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量为______． 14. 设定义在[−2,2]上的偶函数，f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1−m)<(m)，则实数m 的取值范围是______．15. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S =√14[c 2a 2−(c2+a 2−b 22)2](其中a ，b ，c ，S 为三角形的三边和面积)表示.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a =3，且bcosC −ccosB =2c 23，则△ABC 面积的最大值为______ ．16. 如图，在△ABC 中，AB =8，BC +AC =12分别取AB 、BC 、AC 边的中点D ，E ，F ，将△BDE ，△ADF ，△CEF 分别沿三条中位线折起，使得A ，B ，C 重合于点P ，则三棱锥P −DEF 的外接球体积的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4．(1)求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角；(2)若圆锥中内接一个高为√3的圆柱．求圆柱的表面积．18.已知向量a⃗=(3,1)，|b⃗ |=5，a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=15．(1)求向量a⃗与b⃗ 夹角的正切值；(2)若(λa⃗−b⃗ )⊥(a⃗+2b⃗ )，求λ的值．19.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosB+√3sinB=2，cosBb+cosC c =2sinA√3sinC．(1)求角B的大小和边长b的值；(2)求△ABC周长的取值范围．20.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=4，AC=AA1=2，M是AB中点，N 是A1B1中点，P是BC1与B1C的交点，点Q在线段C1N上．(Ⅰ)求证：PQ//平面A1CM；(Ⅱ)求点Q到平面A1CM的距离．21.从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱(简称“孔方兄”)是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形(边长比孔的边长小)，每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设∠OAB=θ，五个正方形的面积和为S．(1)求面积S关于θ的函数表达式，并求tanθ的范围；(2)求面积S最小值，并求出此时tanθ的值．+a)．22.已知a∈R，函数f(x)=log2(12x(Ⅰ)当a=1时，解不等式f(x)>1；(Ⅱ)若关于x的方程f(x)+2x=0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围；(Ⅲ)设a>0，若对任意t∈[−1,0]，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的和不大于log26，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：z=3+i1−i +i=(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)+i=2+4i2+i=1+2i+i=1+3i，对应点的坐标为(1,3)，位于第一象限，故选：A．根据复数的运算法则先进行化简，结合复数的几何意义进行判断即可．本题主要考查复数的几何意义，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，两角和与差的三角函数公式的知识点，考查两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．由已知以及正弦定理可知sinAcosC+sinCcosA=sin2B，化简可得sinB=sin2B，结合B的范围可求B=π2，从而得解．【解答】解：在△ABC中，由acosC+ccosA=bsinB以及正弦定理可知，sinAcosC+sinCcosA=sin2B，即sin(A+C)=sinB=sin2B.∵0<B<π，sinB≠0，∴sinB=1，B=π2．所以三角形为直角三角形，故选C．3.【答案】D【解析】解：m⊂α，则“l//α”与“l//m”相互推不出，∴“l//α”是“l//m”的既不充分也不必要条件．故选：D．利用线面平行的判定与性质定理即可判断出结论．本题考查了线面平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，涉及到弧长、圆心角等知识，属于中档题．画出图形，求出弓所在的弧长以及对应的圆心角，进而可以求解． 【解答】解：如图所示，弓所在弧长为AB ⏜=π4+π4+π8=5π8， 则其对应的圆心角∠AOB =α=5π81516=2π3，则两手之间的距离为AB =2rsin π3=2×1516×√32=15√316，故选C ．5.【答案】B【解析】解：作PO ⊥底面ABCD 于点O ，则O 是AC 中点， AC =√a 2+a 2=√2a ，PO =√PC 2−(AC2)2=√(2a)2−(√22a)2=√142a ， ∵截面PAC 的面积为8√7， ∴S △PAC =12×√2a ×√142a =8√7，解得a =4，∴正四棱锥P −ABCD 的体积为：V P−ABCD =13×S 正方形ABCD ×PO =13×a 2×√142a =√146a 3=√146×43 =32√143． 故选：B ．作PO ⊥底面ABCD 于点O ，则O 是AC 中点，求出AC =√2a ，PO =√PC 2−(AC2)2=√142a ，由截面PAC 的面积为8√7，求出a =4，由此能求出正四棱锥P −ABCD 的体积． 本题考查正四面体的体积的求法，涉及到正四面体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力、空间思维能力等核心素养，是中档题．6.【答案】B【解析】解：∵在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23m AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +13n AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵O ，E ，F 三点共线，∴23m +13n =1， ∴1m+t n=(1m+t n)(23m +13n)=23+n 3m+2mt 3n+t 3≥2√2t 9+t 3+23=23√2t +t 3+23， 当且仅当n3m =2mt3n ，即2m 2t =n 2 时取等号，∴1m +tn 的最小值为23√2t +t3+23， ∴23√2t +t3+23=83，∵t >0，∴t =2． 故选：B ．根据题意，由平面向量基本定理可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23m AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +13n AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而又由点E ，O ，F 三点共线，则23m +13n =1，根据“1”的作用由基本不等式的性质，可解得t 的值． 本题考查了平面向量的基本定理，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：设A 1D 1的中点为G ，连接FD 1，B 1G ，AG ，D 1E ，则B 1G//FD 1，AG//BF ，AG ∩B 1G =G ， ∴平面B 1GA//面BEF ，∵点P 为侧面正方形ADD 1A 1内(含边界)动点，且B 1P//平面BEF ， ∴点P 的轨迹为线段GA ，∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、G 分别是棱AD 、D 1A 1的中点， ∴GA =√12+(12)2=√52， 故选：C ．设A 1D 1的中点为G ，连接FD 1，B 1G ，AG ，D 1E ，作图如下，分析可得点P 的轨迹为线段GA ，计算可得答案．本题考查轨迹方程．考查棱柱的结构特征，考查作图与运算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：令t =f(x)，则t 2−bt +1=0.方程f 2(x)−bf(x)+1=0有8个不同根， 则方程t 2−bt +1=0的两根t 1，t 2∈(0,6]，且t 1≠t 2，令g(t)=t 2−bt +1，所以{△=b 2−4>00<b 2<6g(0)=1>0g(6)=36−6t +1≥0⇒2<b ≤376． 故选：C ．令t =f(x)，则t 2−bt +1=0.方程f 2(x)−bf(x)+1=0有8个不同根，则方程t 2−bt +1=0的两根t 1，t 2∈(0,6]，且t 1≠t 2，令g(t)=t 2−bt +1，画出函数的图象，列出不等式组求解即可．本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合以及转化思想的应用．9.【答案】ACD【解析】解：复数z =(a +i)(1+2i)=(a −2)+(2a +1)i ； 对于A ：当a =2时，z 为纯虚数，故A 正确；对于B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，可得{a −2<02a +1<0，解得a <−12；故B 不对；对于C ：共轭复数Z −，需满足2a +1=−2a −1，可得a =−12，故C 正确； 对于D ：由z +|z|=x +5i ，即2a +1=5，可得a =2，故D 正确； 故选：ACD ．根据复数的性质依次对各选项判断即可；本题考查复数的运算和性质，共轭复数，属于基础题和易错题．10.【答案】AC【解析】解：对于A ，∵在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E 、F 、G 分别为线段AB 、A 1B 1、AA 1的中点， ∴B 1E//AF ，CE//C 1F ，∵B 1E ∩CE =E ，AF ∩C 1F =F ， ∴平面AC 1F//平面B 1CE ，故A 正确；对于B ，∵F 、G 分别为线段A 1B 1、AA 1的中点， ∴FG//AB 1，AB 1∩B 1E =B 1，∴FG 与B 1E 相交， ∴直线FG 与平面B 1CE 相交，故B 错误；对于C ，∵E 、G 分别为线段AB 、AA 1的中点，∴EG//BF ， ∵EG ⊂平面CEG ，BF ⊄平面CEG ，∴BF//平面CEG ，∵EG∩CG=G，∴直线CG与BF异面，故C正确；对于D，∵CE//C1F，CE⊂平面CGE，C1F⊄平面CGE，∴直线C1F//平面CGE，故D错误．故选：AC．对于A，推导出B1E//AF，CE//C1F，从而平面AC1F//平面B1CE；对于B，推导出FG//AB1，从而FG与B1E相交，进而直线FG与平面B1CE相交；对于C，推导出EG//BF，从而BF//平面CEG，进而直线CG与BF异面；对于D，由CE//C1F，得直线C1F//平面CGE．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．11.【答案】AB【解析】解：∵B=2C，∴sinB=sin2C=2sinCcosC，由正弦定理知，bsinB =csinC，∵c=√32b，∴cosC=√33，sinC=√1−cos2C=√63，即选项A正确；由余弦定理知，c2=a2+b2−2ab⋅cosC，∴9=a2+(2√3)2−2a⋅(2√3)⋅√33，即a2−4a+3=0，解得a=3或a=1，若a=3，则A=C=π4，此时cosC=√22，与题意不符，∴a=1=c3，即选项B正确，选项C错误；△ABC的面积S△ABC=12ab⋅sinC=12×1×2√3×√63=√2，即选项D错误．故选：AB．结合二倍角公式和正弦定理可知cos C的值，再由同角三角函数的平方关系求出sin C的值；利用余弦定理可列得关于a的方程，解之即可；由S=12ab⋅sinC，可得△ABC的面积．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理、三角形面积公式和余弦定理是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，直角梯形ABCD 中，CB ⊥CD ，AD//BC ，△ABD 是边长为2的正三角形，解得：BC =1，CD =√3，AB =BD =AD =2， 所以A(−2,√3)，B(−1,0)，C(0,0)，D(0,√3)， P 是平面上的动点，|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，设P(cosθ,sinθ)， 由于AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ+2,sinθ−√3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0) 所以(cosθ+2,sinθ−√3)=λ(2,0)+μ(1,−√3)， 整理得cosθ+2=2λ+μ，sinθ−√3=−√3μ， 解得μ=−√33sinθ+1，则λ+μ=12cosθ−√36sinθ+32=√33sin(θ+α)+32，因为−1≤sin(θ+α)≤1，所以−√33+32≤λ+μ≤√33+32，结合选项可知λ+μ可以是1，2． 故选：BC ．首先根据梯形所在的位置，建立平面直角坐标系，进一步利用|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，建立单位圆的参数方程，再利用三角函数关系式，求出λ+μ的关系式，最后求出函数的关系式的取值范围即可求得结论．本题主要考查平面直角坐标系向量坐标运算中的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，考查坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】(32,32)【解析】解：CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,5)，则与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向单位向量为e ⃗ =CD⃗⃗⃗⃗⃗ |CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=(√22,√22)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅e ⃗ =10+55√2(√22,√22)=3√22(√22,√22)=(32,32)， 故答案为：(32,32).根据向量坐标运算以及向量投影的定义进行计算即可．本题主要考查向量的基本运算以及向量投影的求解，根据向量投影的定义是解决本题的关键，是中档题．14.【答案】−1≤m<12【解析】【试题解析】解：∵函数是偶函数，∴f(1−m)=f(|1−m|)，f(m)=f(|m|)，∵定义在[−2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，f(1−m)<f(m)，∴0≤|m|<|1−m|≤2，得−1≤m<12．故答案为：−1≤m<12．由题条件知函数在[0,2]上是减函数，在[−2,0]上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将f(1−m)<f(m)转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出m的取值范围本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为[−2,2]来限制参数的范围．做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．15.【答案】9√34【解析】【解答】解：因为bcosC−ccosB=2c23，由余弦定理可得b⋅a2+b2−c22ab −c⋅a2+c2−b22ac=2c23，因为a=3，整理可得b=√3c，所以S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]=√14[9c2−(c2+9−3c22)2]=√14(18c2−c4−814)，可得当c2=9，即c=3时，S取得最大值9√34．故答案为：9√34．【分析】利用余弦定理化简已知等式可得b=√3c，结合题意以及二次函数的性质即可求解．本题主要考查余弦定理以及二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，是中档题．16.【答案】83【解析】解：由题意可知三棱锥P−DEF的对棱分别相等，设BC=2a，则AC=12−2a，将三棱锥P−DEF补成长方体，则面对角线长度分别为：a，6−a，4，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的长宽高分别为：x，y，z，则x2+y2=a2，y2+z2=(6−a)2，x2+z2=16．所以x2+y2+z2=a2−6a+26，所以外接球的半径为：r=√x2+y2+z22=√a2−6a+262，当a=3时，外接球半径取得最小值，外接球的体积取得最小值，此时r=√172，解得x=z=2√2，y=1，所以三棱锥的体积为：2√2×2√2×1−4×13×12×2√2×2√2×1=83．故答案为：83．将三棱锥补成长方体，利用已知条件求解商量下的外接球的半径的最小值，然后求解三棱锥的体积即可．本题主要考查了棱锥的体积计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，解题的关键是利用等体积转化，是中档题．17.【答案】解：(1)圆锥的底面周长为2×2π=4π，设圆心角度度数为n°，则4nπ180=4π，n=180，故圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角是180°；(2)由圆锥的底面半径为2，母线长为4，得AO=√42−22=2√3，由△AEB∽△AOC，可得AEAO =EBOC，得EB=AEAO×OC=√32√3×2=1．则圆柱的表面积S=2×π×12+2π×1×√3=2(√3+1)π．【解析】(1)由圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长列式求解求解；(2)由三角形相似求得圆柱的半径，再由圆的面积公式及圆柱侧面积公式求解．本题考查圆锥的展开图、考查圆柱表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解(1)因为a⃗=(3,1)，所以|a⃗|=√32+12=√10．设向量a⃗与b⃗ 的夹角θ，则a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =|a⃗|2+|a⃗||b⃗ |cosθ=10+5√10cosθ=15，解得cosθ=√1010．又θ∈[0,π]，所以sinθ=√1−cos2θ=3√1010，故tanθ=sinθcosθ=3．(2)因为(λa⃗−b⃗ )⊥(a⃗+2b⃗ )，所以(λa⃗−b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )=λa⃗2+(2λ−1)a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2= 0，即10λ+5(2λ−1)−50=0，解得λ=114．【解析】(1)先代入数量积求出夹角的余弦，再根据同角三角函数基本关系式求解结论，(2)直接根据向量垂直的条件即可求得结论．本题主要考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念及范围，以及向量垂直的应用，属于中档题目．19.【答案】解：(1)∵cosB+√3sinB=2，∴12cosB+√32sinB=1，∴sin(B+π6)=1，∴B+π6=π2+2kπ，k∈Z，∵B为锐角，∴B=π3，∵cosBb +cosCc=√3sinC，由正余弦定理可得a 2+c2−b22abc+a2+b2−c22abc=√3c，整理可得2a 22abc =√3c，解得b=√32．(2)∵asinA =bsinB=csinC=√32√32=1，∴a=sinA，c=sinC=sin(A+B)=sin(π3+A)=√32cosA+12sinA，∴△ABC周长L=a+b+c=sinA+√32cosA+12sinA+√32=√32cosA+32sinA+√32=√3sin(A+π6)+√32，∵0<A<π2，0<C<π2，C=2π3−A，∴π6<A<π2，∴π3<A+π6<2π3，∴√32<sin(A+π6)≤1，∴△ABC周长L=√3sin(A+π6)+√32∈(3+√32,3√32].【解析】(1)利用两角和的正弦公式化简已知等式可得sin(B+π6)=1，结合B为锐角，可得B的值，由正余弦定理化简已知等式即可求解b的值．(2)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求△ABC周长L=√3sin(A+π6)+√32，由题意可求范围π3<A+π6<2π3，利用正弦函数的性质即可求解其范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．20.【答案】(Ⅰ)证明：连结BN，连结AC1，交A1C于点H，连结MH，因为AH=HC1，AM=MB，所以BC1//MH，又MH⊂平面A1CM，BC1⊄平面A1CM，所以BC1//平面A1CM，因为四边形A1NBM是平行四边形，所以BN//A1M，又BN⊄平面A1CM，A1M⊂平面A1CM，所以BN//平面A1CM，因为BC1∩BN=B，BC1，BN⊂平面BC1N，所以面A1CM//平面BC1N，又PQ⊂平面BC1N，所以PQ//平面A1CM；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知，面A1CM//平面BC1N，则点B到平面A1CM的距离h即为所求，由AA1⊥平面ABC，所以AA1为锥体A1−CMB的高，故V A1−BMC =13⋅AA1⋅S△BMC=13×2×12×2×2=43，在△A1MC中，MC=√AC2+AM2=2√2，A1C=√AA12+AC2=2√2，A1M=√AA12+AM2=2√2，所以S△A1MC =√34×8=2√3，由等体积法V B−A1MC =V A1−BMC可得，13×2√3⋅ℎ=43，解得ℎ=2√33，所以点Q到平面A1CM的距离为2√33．【解析】(Ⅰ)连结BN，连结AC1，交A1C于点H，连结MH，利用线面平行的判定定理证明BC1//平面A1CM，BN//平面A1CM，再由面面平行的判定定理和性质定理证明即可；(Ⅱ)将点Q到平面A1CM的距离转化为一个锥体的高，然后利用等体积法V B−A1MC=V A1−BMC，求解即可．本题考查了线面平行的判定以及点到面距离的求法，涉及了等体积法的应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，属于中档题．21.【答案】解：(1)过点O分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E，F，因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，所以点E，F分别为小正方形和大正方形边的中点，所以小正方形的边长为(12sinθ)×2=sinθ，大正方形的边长为(12cosθ−sinθ)×2=cosθ−2sinθ，所以五个正方形的面积和为S =4sin 2θ+(cosθ−2sinθ)2 =8sin 2θ+cos 2θ−4sinθcosθ，因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长， 所以sinθ<cosθ−2sinθ，tanθ<13，θ0∈(0,π2)， 所以θ的取值范围为(0,θ0)，tanθ0=13．(2)S =8sin 2θ+cos 2θ−4sinθcosθ=8⋅1−cos2θ2+1+cos2θ2−2sin2θ，=92−(2sin2θ+72cos2θ) =92−√652sin(2θ+φ)，其中tanφ=74，φ∈(0,π2)， 所以S min =9−√652，此时sin(2θ+φ)=1，因为θ∈(0,θ0)，所以0<2θ+φ<2θ0+π2<32π， 所以2θ+φ=π2，所以tan2θ=tan(π2−φ)=1tanϕ=47，则tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=47，化简得：2tan 2θ+7tanθ−2=0， 由此解得：tanθ=−7±√654， 因为0<tanθ<13，所以tanθ=−7+√654．【解析】(1)过点O 分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E ，F ，求出小正方形的边长，大正方形的边长，推出五个正方形的面积和的表达式，然后求解θ的取值范围为(0,θ0)，tanθ的范围．(2)利用两角和与差的三角函数化简S的表达式，利用三角函数有界性，求解最值即可．本题考查函数的实际应用，三角函数的有界性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=log2(12x+1)>1，∴12x+1>2，得0<2x<1，∴解集为(−∞,0)．(Ⅱ)方程f(x)+2x=0，即为log2(12x+a)+log2(22x)=log21，∴log2(12x +a)=log2(122x)，∴12x+a=122x，令m=12x(m>0)，则m+a=m2，即a=m2−m在(0,+∞)上只有一解，∴a≥0或a=−14．法(二)方程f(x)+2x=0，即为log2(12x+a)+log2(22x)=log21，∴2x+a(2x)2=1，令m=2x(m>0)，则am2+m−1=0在(0,+∞)上只有一解，①当a=0时，只有一解m=1，满足条件；②当a>0时，g(m)=am2+m−1在(0,+∞)上单调递增，且g(0)=−1<0，所以有一解；③当a<0时，△=1+4a=0，得a=−14．∴a≥0或a=−14．(Ⅲ)∵y=12x +a在R上单调递减，∴函数f(x)=log2(12x+a)在定义域内单调递减，∴函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值为f(t)=log2(12t+a)，最小值为f(t+1)=log2(12t+1+a)，∴f(t)+f(t+1)=log2(12t +a)+log2(12t+1+a)=log2(12x+a)(12t+1+a)≤log26，∴(12x +a)(12t+1+a)≤6，令ℎ=12t+1(12≤ℎ≤1)，∴(2ℎ+a)(ℎ+a)≤6，即2ℎ2+3aℎ+a2≤6，∵y=2ℎ2+3aℎ+a2在[12, 1]上单调递增，∴(2ℎ2+3aℎ+a2)max=2+3a+a2≤6，解得−4≤a≤1，∴a的取值范围是(0,1]．【解析】(Ⅰ)当a=1时，利用对数函数的单调性，直接解不等式f(x)>1即可；(Ⅱ)化简关于x的方程f(x)+2x=0，通过分离变量推出a的表达式，通过解集中恰有一个元素，利用二次函数的性质，即可求a的取值范围；(Ⅲ)在R上单调递减利用复合函数的单调性，求解函数的最值，∴令ℎ=12t+1(12≤ℎ≤1)，化简不等式，转化求解不等式的最大值，然后推出a的范围．本题考查函数的综合应用，复合函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．第21页，共21页。

湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）2015-2016学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.οοοο50sin 10cos 50cos 10sin +的值等于（ ）41.A 23.B 21.C43.D 【答案】B 【解析】试题分析：()sin10cos50cos10sin 50sin 1050sin 602+=+==ooooo oo 考点：两角和的正弦公式2.若数列2，5 ，22 ，11 ，14，…… ，则24是这个数列的第（ ）项．8.A 9.B 10.C11.D【答案】D 【解析】试题分析：由数列各项可知数列的通项公式为n a =11n a n ===，所以24是这个数列的第11项 考点：数列通项公式 3.若()()31sin ,21sin =-=+βαβα，则tan tan αβ为（ ） 5.A 1-.B 6.C 61.D【答案】A 【解析】试题分析：()()15sin cos cos sin sin cos 11212sin ,sin 1123sin cos cos sin cos sin 312αβαβαβαβαβαβαβαβ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪+=-=∴∴⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩tan sin cos 5tan cos sin ααββαβ∴== 考点：两角和差的正弦公式4.若等差数列{}n a 满足0,01091098<+>++a a a a a ，则当n =（ ）时，{}n a 的前n 项和最大.8.A 9.B 10.C11.D【答案】B 【解析】试题分析：8910999101030000a a a a a a a a ++=>∴>+<∴<Q ，所以数列前9项和最大，9n ∴=考点：等差数列性质 5.若316cos =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则2cos(2)3πα+=（ ） A ．29 B ．29- C ．79 D ．79-【答案】C 【解析】 试题分析：22217cos(2)12sin 12cos 1233699πππααα⎛⎫⎛⎫+=-+=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点：诱导公式及二倍角公式6.已知ABC ∆中，3=a ，33=b ，ο30=A ，则B 等于（ ）ο30.A οο15030.或B ο60.Cοο12060.或D【答案】D 【解析】试题分析：由正弦定理sin sin a bA B =得3sin 12B B ===60120o o 或 考点：正弦定理解三角形7.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且1422482==a a a a ，，则6a =（ ）81.A 161.B 321.C 641.D 【答案】B 【解析】试题分析：222428454621144216a a a a a q a a q =∴=∴=∴== 考点：等比数列性质8.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．若3=c ，3C π=，且4=+b a ,则ABC ∆的面积为（ ）1237.A 437.B 127.C1235.D 【答案】A 【解析】试题分析：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得()22219231632a b ab a b ab ab =+-⨯=+-=-71sin 3212ab S ab C ∴=∴==考点：余弦定理解三角形9.已知{}n a 是等比数列，11=a ，22=a ，则=++++13221n n a a a a a a Λ（ ）()n A --4132.()n B --2132. ()1432.-n C22.1-+n D 【答案】C 【解析】试题分析：由11=a ，22=a 可知34a ={}1n n a a +∴是等比数列，公比为4，首项为2，所以其和为()()214241143n nS -==-- 考点：等比数列及求和10.某学习小组进行课外研究性学习，为了测量如图所示不能到达的B A 、两地，他们测得D C 、 两地的直线距离为2km ，并用仪器测得相关角度大小分别为ο30=∠ADB ,,30ο=∠CDB ,60ο=∠ACD ,45ο=∠ACB 则B A 、两地的距离大约等于（ ）（提供数据：732.13,414.12≈≈，结果保留两个有效数字）3.1.A4.1.B5.1.C6.1.D【答案】B 【解析】试题分析：依题意，△ADC 为等边三角形，∴AC=2． 在△BDC 中，CD=2，由正弦定理得：22sin 30sin 45BC CD==o o∴BC=2，在△ABC 中，由余弦定理得22222cos 452422222AB BC AC BC AC =+-=+-⨯=o g ， ∴AB=2≈1.4km 考点：解三角形的实际应用11.在ABC ∆中，已知2sincos cos 2AC B =，则ABC ∆的形状是（ ） .A 直角三角 .B 等边三角形 .C 等腰三角形 .D 等腰直角三角形【答案】C 【解析】试题分析：()2cos cos sin2cos cos 1cos 2cos cos cos 12AB C B C A B C B C =∴=-∴-+= ()cos cos sin sin 1cos 1B C B C B C B C ∴+=∴-=∴=，三角形为等腰三角形考点：两角和差的正余弦公式及二倍角公式 12.用正奇数按下表排列 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9 第三行 17 19 21 23 ……2725则2017在第 行第 列. （ ）A ．第253行第1列B ．第253行第2列C ．第252行第3列D ．第254行第2列【答案】B考点：数列与函数的综合；数列的函数特性；归纳推理第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知数列{}n a 是等差数列，n s 是其前n 项和，若9,36126=-=s s s ，则18s = . 【答案】27 【解析】试题分析：由等差数列{an}的性质可得：其前n 项和Sn ，61261812,,S S S S S --成等差数列，18121218293,931227S S S S ∴⨯=+-=+=∴=考点：等差数列的前n 项和 14.已知135)60sin(=+αο，οο12030<<α，则=αcos 【答案】261235-考点：两角和差的余弦公式及同角间三角函数关系15.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．已知A C B sin 41sin sin =-，c b 32=，则A cos = ．【答案】41- 【解析】试题分析：113sin sin sin 2442B C A b c a b c a c -=∴-==∴=Q 22222229414cos 234c c c b c a A bc c +-+-∴===- 考点：正余弦定理解三角形16.如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m 千米后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n 千米范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足下列_____（填序号）条件时，该船没有触礁危险．（1）)sin(cos cos βαβα->n m （2）)sin(cos cos βαβα-<n m （3）βαtan tan ->nm（4）βαβαtan tan tan tan -<⋅nm【答案】（1），（3） 【解析】试题分析：由题意可知，∠MAB=2π-α，∠AMB=α-β，过M 作MC ⊥AB 于C ，设CM=x ， 根据正弦定理可得()sin cos sin 2m BM BMπαβαα==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()cos sin m BM ααβ∴=-，又因为x=BM•cosβ=()cos cos sin m αβαβ-＞n 时没有触礁危险，即mcos αcos β＞nsin （α-β），（1）正确；()sin cos cos m n αβαβ->=tan α-tan β，（3）正确 考点：解三角形的实际应用三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分)已知3tan -=α，求下列各式的值：（1）ααααcos sin cos 3sin +-； （2）2cos sin sin 2++ααα.【答案】（1）3（2）135（2）2cos sin sin 2++ααα2cos sin cos sin sin 222+++=ααααα………………………………………..................….………8分21tan tan tan 22+++=ααα513=………………………………………......……………………...................………10分考点：同角间三角函数关系18.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为1的等差数列，1a ,5a ,25a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）n a n =（2）(1)2(21)2nn n n T +=-+【解析】试题分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和等比数列的性质求出公差，由此能求出n a n =；（2）由2n a n n b a =+整理得n b n n +=2，采用分组求和法可求数列{}n b 的前n 项和n T试题解析：（1）2551,,a a a Θ成等比数列25125a a a =∴ …………………………………………..........…….…..……2分则)24()4(1121d a a d a +=+ (4)分1=d Θ 11=∴an a n =∴………………………………………….............….……6分（2）n b nn +=2)...321()2...22(21n T n n ++++++++=.. (8)分2)1(21)21(2++--=n n n …………………………………........………10分2)1()12(2++-=n n n ……………………………………………………..…..........…12分 考点：数列的求和；数列递推式19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且C a c A c a B b sin )2(sin )2(sin 2-+-=,B b A a cos cos =,求C B A ∠∠∠,,的大小.【答案】6π=A ，2,3ππ==C B 或3π=A ，3π==C B【解析】试题分析：由正弦定理化简已知等式，利用余弦定理即可求得1cos 2B =，结合0＜B ＜π，可求3B π=，又由acosA=bcosB 利用正弦定理，倍角公式可得sin 2sin 2A B ==，利用正弦函数的图象和性质分类讨论即可得解试题解析：由C a c A c a B b sin )2(sin )2(sin 2-+-=得：c a c a c a b )2()2(22-+-= (2)分即ac c a b -+=222， ac b c a B 2cos 222-+=21cos =∴B ……………........………4分 又π<<B 0 3π=∴B ………………………………………………………......….……6分由 B b A a cos cos =得： B B A A cos sin cos sin =232sin 2sin ==B A ，又 π220<<A ………………………………….......………8分 32π=∴A 或π322=A ………………………………………………………......………10分 2,6ππ==∴C A 时当或33ππ==C A 时，当………………………………………...11分综上:6π=A ，2,3ππ==C B 或3π=A ，3π==C B ……………………..….…..…12分考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用20.（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 的边长为1，Q P ,分别为边DA AB ,上的点，且都不与D B A ,,重合，线段PQ 的长为1，CPQ ∆的面积用y 表示. （1）设θ=∠QPA ,试用y 表示为θ的函数； （2）求CPQ ∆的面积y 的最小值.【答案】（1）1(cos sin cos sin )022y πθθθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（2）4122m in -=y【解析】试题分析：（1）由θ=∠QPA 得到θθsin ,cos ==AQ AP ，CPQ ∆的面积y 用正方形面积减去三个直角三角形面积求解，从而得到函数关系式；（2）借助于三角函数公式将其转化为二次函数最值问题，求最小值时要注意定义域的取值范围 试题解析：（1）由已知得θθsin ,cos ==AQ APθcos 1-=∴BP θsin 1-=DQ .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-==∆)sin 1(21)cos 1(21cos sin 211θθθθCPQ S y …………………………2分⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=1)sin (cos 21cos sin 211θθθθ20)(sin cos sin (cos 21πθθθθθ<<-+=）（不写θ范围的扣1分）………..….……4分 （2）令t =+=+)4sin(2sin cos πθθθ…………………………………………………6分 则2cos sin 21t =+θθ，得21cos sin 2-=t θθ )2121(21)21(2122++-=--=∴t t t t y ()211412+--=t ………………....………8分 20πθ<<Θ ππθπ4344<+<∴ 1)4sin(22≤+<∴πθ 21≤<∴t …………………………………....………10分 当2=t 即4πθ=时， 4122m in -=y …………………………………....………12分 考点：三角函数关系式；二次函数求最值21.（本小题满分12分）阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ①，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- ② 由① + ② 得：sin()sin()2sin cos αβαβαβ++-= ③令A αβ+=，B αβ-=，有2A B α+=，2A B β-= 代入③得：sin sin 2sin cos 22A B A B A B +-+=． （1）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos cos 2sin sin 22A B A B A B +--=-； （2）若△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足cos 2cos 21cos 2A B C -=-，试判断△ABC 的形状． (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论)．【答案】（1）详见解析（2）直角三角形【解析】试题分析：（1）通过两角和与差的正弦公式，令α+β=A ，α-β=B 有,22A B A B αβ+-==，即可证明结果；（2）由二倍角公式可得()()()222sin sin sin A C B +=，由正弦定理可得222c a b +=，由勾股定理的逆定理得到△ABC 为直角三角形试题解析：（1）由βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-得βαβαβαsin sin 2)cos()cos(-=--+ （1）………………………....….……2分令B A =-=+βαβα,，有2,2B A B A -=+=βα 代入（1）式得：2sin 2sin 2cos cos B A B A B A -+-=-……………………....……4分 （2）由（1）中的结论得：)sin()sin(22cos 2cos B A B A B A -+-=-………………………………….………6分 又 )(sin 2sin 22cos 122B A C C +==-………………………………….……….…8分 )(sin 2)sin()sin(22B A B A B A +=-+-∴0)sin(≠+B A Θ )sin()sin(B A B A +=--∴即0)sin()sin(=-++B A B A ，得0cos sin 2=B A ……………….….………10分 0sin ≠A Θ 0cos =∴B 2π=∴B ∴ ABC ∆为直角三角形………..……....…...12分考点：两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换22.（本小题满分12分）在数列{}n a 中，1a =21，其前n 项和为n s ，且)(211*+∈-=N n a s n n （1）求n a ，n s ；（2）设2)12(log 2-+=n n s b ，数列{}n c 满足n b n n n n n b b c 2)2)(1(143⋅+++=⋅⋅++，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使5041241->+n n T 成立的最小整数n 的值. 【答案】（1）22n n a -= ， 2121-=-n n S （2）2015 【解析】试题分析：（Ⅰ）由112n n s a +=-，得)2(211≥-=-n a S n n ，两式作差后可得数列{}n a 是首项为12，公比为2 的等比数列，由等比数列的通项公式得22n n a -=，代入112n n s a +=-求得n S ；（Ⅱ）把n S 代入2)12(log 2-+=n n s b ，结合n b n n n n n b b c 2)2)(1(143⋅+++=⋅⋅++求得n c ，然后利用裂项相消法及等比数列的前n 项和得答案试题解析：（1）由211-=+n n a S 得 )2(211≥-=-n a S n n 2≥∴n 时，n n n a a a -=+1 即n n a a 21=+ ①………………….…2分 又1=n 时，2121-=a a ，,211=a 12=∴a 122a a =∴ ②………………………………………………………………...….…..…4分 由① ②及01≠a 得数列{}n a 为等比数列212221--=⋅=n n n a ， 2121-=-n n S …………………………………………..…...…6分 （2）24,13,22)112(log 2+=++=+-=-+-=n b n b n b n n n n则22)2)(1(1)2)(1(-⋅+++=++⋅n n n n n n c22221112)2)(1(1--++-+=+++=∴n n n n n n n c ……………………………………8分 ∴ ()212121211141313121--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=nn n n T Λ ()212122121211+-=-++-=-n n n n …………………………...............……10分 ∴5041241->+n n T 即5041224211->+-++n n n 得n >2014, 所以，使得5041241->+n n T 成立的正整数n 的最小值为2015. …..…..12分 考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式。

2015—2016学年下学期高一期中考试数学试题第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．50sin 10cos 50cos 10sin +的值等于（ ） 41.A 23.B 21.C43.D 2.若数列2，5 ，22 ，11 ，14，…… ，则24是这个数列的第（ ）项．8.A 9.B 10.C11.D3．若()()31sin ,21sin =-=+βαβα，则tan tan αβ为（ ） 5.A 1-.B 6.C 61.D4．若等差数列{}n a 满足0,01091098<+>++a a a a a ，则当n =（ ）时，{}n a 的前n 项和最大.8.A 9.B 10.C11.D5．若316cos =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则2cos(2)3πα+=（ ） A ．29 B ．29- C ．79 D ．79- 6．已知ABC ∆中，3=a ，33=b ，30=A ，则B 等于（ ）30.A 15030.或B 60.C12060.或D7．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且1422482==a a a a ，，则6a =（ ）81.A 161.B 321.C 641.D 8．在A B C ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．若3=c ，3C π=，且4=+b a ,则ABC ∆的面积为（ ）1237.A 437.B 127.C1235.D9．已知{}n a 是等比数列，11=a ，22=a ，则=++++13221n n a a a a a a （ ）()n A --4132.()n B --2132. ()1432.-n C22.1-+n D 10．某学习小组进行课外研究性学习，为了测量如图所示不能到达的B A 、两地，他们测得D C 、 两地的直线距离为2km ，并用仪器测得相关角度大小分别为30=∠ADB ,,30 =∠CDB ,60 =∠ACD ,45 =∠ACB 则B A 、两地的距离大约等于（ ）（提供数据：732.13,414.12≈≈，结果保留两个有效数字）3.1.A4.1.B5.1.C6.1.D11．在ABC ∆中，已知2sin cos cos 2A C B =，则ABC ∆的形状是（ ） .A 直角三角 .B 等边三角形 .C 等腰三角形 .D 等腰直角三角形12在第 行第 列A ．第253行第1列 B ．第253行第2列 C ．第252行第3列 D ．第254行第2列第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上） 13.已知数列{}n a 是等差数列，n s 是其前n 项和，若9,36126=-=s s s ，则18s = . 14．已知135)60sin(=+α，12030<<α，则=αcos ． 15．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．已知A C B sin 41sin sin =-，c b 32=，则A cos = ．16．如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m千米后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n 千米范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足下列_____（填序号）条件时，该船没有触礁危险．（1）)sin(cos cos βαβα->n m （2）)sin(cos cos βαβα-<n m （3）βαtan tan ->nm（4）βαβαtan tan tan tan -<⋅nm 三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分10分)已知3tan -=α，求下列各式的值：（1）ααααcos sin cos 3sin +-； （2）2cos sin sin 2++ααα.18．（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为1的等差数列，1a ,5a ,25a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且C a c A c a B b s i n )2(s i n )2(s i n 2-+-=,B b A a cos cos =,求C B A ∠∠∠,,的大小.20. （本小题满分12分）如图，正方形ABCD 的边长为1，Q P ,分别为边DA AB ,上的点，且都不与D B A ,,重合，线段PQ 的长为1，CPQ ∆的面积用y 表示.ACD BQ（1）设θ=∠QPA ,试用y 表示为θ的函数； （2）求CPQ ∆的面积y 的最小值.21. （本小题满分12分）阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ①，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- ② 由① + ② 得：sin()sin()2sin cos αβαβαβ++-= ③令A αβ+=，B αβ-=，有2A B α+=，2A Bβ-= 代入③得：sin sin 2sincos22A B A BA B +-+=． （1）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos cos 2sin sin22A B A BA B +--=-； （2）若△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足cos 2cos 21cos 2A B C -=-，试判断△ABC 的形状．(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论)．22. （本小题满分12分）在数列{}n a 中，1a =21，其前n 项和为n s ，且)(211*+∈-=N n a s n n（1）求n a ，n s ；（2）设2)12(l o g 2-+=n n s b ，数列{}n c 满足n bn n n n n b b c 2)2)(1(143⋅+++=⋅⋅++，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使5041241->+n n T 成立的最小整数n 的值.2015—2016学年下学期高一期中考试数学试题参考答案 一、选择题二、填空题 13、2714、261235- 15、41-16、（1），（3）三、解答题 17、解:（1）31tan 3tan cos sin cos 3sin =+-=+-αααααα……………………....................................……5分（2）2cos sin sin 2++ααα2cos sin cos sin sin 222+++=ααααα………………………………………..................….………8分21tan tan tan 22+++=ααα513=………………………………………......……………………...................………10分18、解：（1）2551,,a a a 成等比数列25125a a a =∴ …………………………………………………………..........…….…..……2分曾都一中 枣阳一中 宜城一中 襄州一中则)24()4(1121d a a d a +=+……………………………………...........……..….….....4分 1=d11=∴an a n =∴………………………………………….............….……6分（2）n b n n +=2)...321()2...22(21n T n n ++++++++=……………………..…….…...........……8分2)1(21)21(2++--=n n n (1)0分2)1()12(2++-=n n n ……………………………………………………..…..........…12分19、解：由C a c A c a B b sin )2(sin )2(sin 2-+-=得：c a c a c a b )2()2(22-+-=……………………………………………….........……..…2分 即acc a b -+=222，acb c a B 2cos 222-+=21cos =∴B ……………........………4分又π<<B 03π=∴B ………………………………………………………......….……6分由 B b A a cos cos =得： B B A A cos sin cos sin =232sin 2sin ==B A ，又π220<<A ………………………………….......………8分32π=∴A 或π322=A ………………………………………………………......………10分2,6ππ==∴C A 时当或33ππ==C A 时，当………………………………………...11分综上:6π=A ，2,3ππ==C B 或3π=A ，3π==C B (12)分20、解：（1）由已知得θθsin ,cos ==AQ AP θcos 1-=∴BP θsin 1-=DQ . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-==∆)sin 1(21)cos 1(21cos sin 211θθθθCPQ S y …………………………2分⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=1)sin (cos 21cos sin 211θθθθ 20)(sin cos sin (cos 21πθθθθθ<<-+=）（不写θ范围的扣1分）………..….……4分（2）令t =+=+)4sin(2sin cos πθθθ (6)分则2cos sin 21t =+θθ，得21cos sin 2-=t θθ)2121(21)21(2122++-=--=∴t t t t y ()211412+--=t ………………....………8分20πθ<< ππθπ4344<+<∴1)4sin(22≤+<∴πθ 21≤<∴t …………………………………....………10分当2=t 即4πθ=时，4122min -=y …………………………………....………12分 21、证明：（1）由βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-得βαβαβαsin sin 2)cos()cos(-=--+ （1）………………………....….……2分令B A =-=+βαβα,，有2,2BA B A -=+=βα 代入（1）式得：2sin 2sin 2cos cos BA B A B A -+-=-……………………....……4分（2）由（1）中的结论得：)sin()sin(22cos 2cos B A B A B A -+-=-………………………………….………6分又 )(sin 2sin 22cos 122B AC C +==-………………………………….……….…8分)(sin 2)sin()sin(22B A B A B A +=-+-∴ 0)sin(≠+B A )sin()sin(B A B A +=--∴即0)sin()sin(=-++B A B A ，得0cos sin 2=B A ……………….….………10分sin ≠A 0cos =∴B 2π=∴B ∴ ABC∆为直角三角形………..……....…...12分 22、解：（1）由211-=+n n a S 得 )2(211≥-=-n a S n n 2≥∴n 时，n n n a a a -=+1 即n n a a 21=+ ① (2)分又1=n 时，2121-=a a ，,211=a 12=∴a 122a a =∴②………………………………………………………………...….…..…4分由① ②及01≠a 得数列{}n a 为等比数列212221--=⋅=n n n a ，2121-=-n n S …………………………………………..…...…6分（2）24,13,22)112(log 2+=++=+-=-+-=n b n b n b n n n n 则22)2)(1(1)2)(1(-⋅+++=++⋅n n n n n n c22221112)2)(1(1--++-+=+++=∴n n n n n n n c (8)分∴ ()212121211141313121--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=nn n n T()212122121211+-=-++-=-n n n n …………………………...............……10分∴5041241->+n n T 即5041224211->+-++n n n得n >2014, 所以，使得5041241->+n n T 成立的正整数n 的最小值为2015. …..…..12分。

湖北省襄阳市2020版高一下学期数学期中考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） S=（x﹣1）5+5（x﹣1）4+10（x﹣1）3+10（x﹣1）2+5（x﹣1）+1，则合并同类项后S=（）A . （x﹣2）5B . （x+1）5C . x5D . x5+5x4+10x3+10x2+5x+12. （2分）平面上有一个△ABC和一点O，设，又OA、BC的中点分别为D、E，则向量等于（）A .B .C .D .3. （2分）(2019·新乡模拟) 已知集合，集合，若，则（）A .B .C .D .4. （2分）若且，则向量与的夹角为（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高一下·天津期中) 已知，，，则（）A . ，，三点共线B . ，，三点共线C . ，，三点共线D . ，，三点共线6. （2分） (2020高一下·天津期中) 在中，角所对的边分别为，已知，则边为（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高一下·天津期中) 在中，向量和满足，则为（）A . 直角三角形B . 等边三角形C . 等腰三角形D . 三边不等的三角形8. （2分）(2020高一下·天津期中) 在中，角所对的边分别为，，则角A为（）A .B .C . 或D . 或9. （2分） (2020高一下·天津期中) 已知等边的边长为1，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高一下·天津期中) 如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果正方体的棱长是60cm，那么石凳的体积是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2019高一上·新丰期中) 已知集合 , ，则________．12. （1分） (2018高二上·淮安期中) 已知不重合的三点A ， B ， C ，平面，和直线l ，那么下列命题错误的是________ 填序号，，，；，，，；，；，B ，，A ， B ，，且A ， B ， C不共线及重合．13. （1分） (2020高一下·天津期中) 等腰直角三角形直角边长为2，以斜边所在直线为轴旋转，其余各边旋转一周形成几何体，则该几何体的体积为________.14. （1分） (2020高一下·天津期中) 如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为________米．15. （1分） (2020高一下·天津期中) 在复平面内，复数与对应的向量分别是，其中是原点，则向量的坐标为________.16. （1分） (2020高一下·天津期中) 平面向量两两夹角都相等，且，则________.三、解答题 (共5题；共55分)17. （15分）在复数范围内，设方程x2﹣2x+k=0的根分别为α，β，且|α﹣β|=2 ，求实数k的值．18. （10分）设集合A={1，a，b}，B={a，a2 ， ab}，且A=B，求a2008+b2007 ．19. （10分） (2016高一下·黄山期末) △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．（1）求A的大小；（2）现在给出下列三个条件：①a=1；② ；③B=45°，试从中选择两个条件以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积．20. （10分） (2019高三上·平遥月考) 已知向量，其中 .（1）若，求角的大小；（2）若，求的值.21. （10分）(2020·兴平模拟) 已知函数 .（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求使得的的取值范围.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。

2020-2021学年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|14<2x ≤4}，B ={x|ln(x −12)≥0}，则A ∩B =( ) A. (−2,2]B. (−2,32]C. [32,2]D. [1,2] 2. 复数z =a+i 2+i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−12)B. (2,+∞)C. (−12,+∞)D. (−12,2) 3. 若关于x 的不等式|x −1|<2a 成立的充分条件为{x|0<x <4}，则实数a 的取值范围可以是( )A. [12,+∞)B. [32,+∞)C. (−∞,12]D. (−∞,32] 4. 设x ，y ∈R ，向量a ⃗ =(x,1)，b ⃗ =(1,y)，c ⃗ =(2,−4)，且a ⃗ ⊥c ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则|a ⃗ +b⃗ |=( ) A. √5 B. √10 C. 2√5 D. 105. 已知函数f(x)的图象关于直线x =1对称，当x 2>x 1>1时，[f(x 2)−f(x 1)](x 2−x 1)<0恒成立，设a =f(−12)，b =f(2)，c =f(e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. c >a >b B. c >b >a C. a >c >b D. b >a >c6. 若a ，b ∈R +且a +b =1，则下列不等式中正确的是( )A. ab <14B. ab ≥14C. 1a +1b ≤4D. a 2+b 2≥12 7. 《九章算术》是世界数学发展史上的一颗璀璨明珠，书中《商功》有如下问题：今有委菽依垣，下周三丈，高七尺，问积及为菽各几何？其意思为：现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺，问这堆大豆的体积是多少立方尺？应有大豆是多少斛？主人欲卖掉该堆菽，已知圆周率约为3，一丈等于十尺，1斛约为2.5立方尺，1斛菽卖300钱，一两银子等于1000钱，则主人可得银子( )两A. 40B. 42C. 44D. 45 8. 已知f(x)=2sin(2x −π6)+m 在x ∈[0,π2]上恰有两个零点，则m 的取值范围为( )A. (−2,−1]B. [−2,−1]C. [1,2)D. (1,2]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 下列说法正确的有( )A. 命题“∀x ∈R ，x 2+x +1>0”的否定为“∀x ∈R ，x 2+x +1≤0”．B. 若10a =4，10b =25，则a +b =2C. 若幂函数y =(m 2−m −1)x m 2−2m−3在区间(0,+∞)上是增函数，则m >3或m <−1D. 在同一平面直角坐标系中，函数y =2x 与函数y =log 2x 的图象关于直线y =x 对称10. 已知A 是函数f(x)=sin(2021x +π6)+cos(2021x −π3)的最大值，若存在实数x 1，x 2使得对任意实数x 总有f(x 1)⩽f(x)⩽f(x 2)成立，则A ⋅|x 1−x 2|的取值可以是( ) A. 2π2021 B. 3π2021 C. 4π2021 D. 6π2021 11. 为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒.教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)随时间x(单位：ℎ)的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y 与x 成正比；药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为y =(18)x−a (a 为常数)，则( ) A. 当0≤x ≤0.2时，y =5xB. 当x >0.2时，y =(18)x−0.1C. 2330小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg 以下D. 1315小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg 以下12. 在给出的下列命题中，正确的是( )A. 已知O 为△ABC 的外心，边AB 、AC 长为定值，则AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值 B. △ABC 中，已知AB =3，AC =2，∠BAC =π6，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)(λ>0)，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD =3(√6+√2)5 C. M 为△ABC 为所在平面内一点，且|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则动点M 的轨迹必通过△ABC 的重心．D. H 为△ABC 的垂心，2HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则cos∠AHB =−√77三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. i 表示虚数单位，则i +i 2+⋯+i 2021= ______ ．14. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，若c ⃗ =2a ⃗ −√5b ⃗ ，a⃗ 与c ⃗ 的夹角为θ，则cosθ= ______ ．15.荆州方特东方神画主题乐园，于2019年9月12日在荆州盛大开园.该景点位于荆州纪南文旅区，为湖北地区规模最大、档次最高的历史文化主题乐园.游客要从如图所示的景点A走到B，现在景区内取两点C，D，测得CD=80米，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则A，B两点的距离为______ 米.16.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为√10的正四棱锥P−ABCD中，大球O1内切于该四棱锥，小球O2与大球O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O2的表面积为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|x≤−3或x≥2}，B={x|1<x<5}，C={x|m−1≤x≤2m}(1)求A∩B，(∁R A)∪B；(2)若B∩C=C，求实数m的取值范围．18.已知函数f(x)=sin(2x−π3)+cos(2x−π6)+2cos2x−1(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若α∈[π4,π2]，且f(α)=3√25，求cos2α19. 2020年上半年，新冠肺炎疫情在全球蔓延，超过60个国家或地区宣布进入紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封城”.疫情爆发后，造成全球医用病毒检测设备短缺，江苏某企业计划引进医用病毒检测设备的生产线，通过市场调研分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产x(百套)该监测设备，需另投入生产成本R(x)万元，且R(x)={10x 2+100x +2600,0<x <50701x +4900x+10−6500,x ≥50，根据市场调研知，每套设备售价7万元，生产的设备供不应求．(1)求出2020的利润L(x)(万元)关于年产量x(百套)的函数关系式(利润=销售额−成本)．(2)2020年产量为多少百套时，企业所获利润最大？并求出最大利润．20. 在△ABC 中，D 是BC 的中点，AB =1，AC =2，AD =√32． (1)求△ABC 的面积；(2)若AE 为△ABC 的角平分线，求AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．21.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都是a，∠A1AB=∠A1AC=60°，∠B1BC=90°．(1)求三棱柱ABC−A1B1C1全面积；(2)若该三棱柱ABC−A1B1C1的体积为2√2，且A1在下底面的正投影为下底面的中心O，求a的值．22.已知a<0，函数f(x)=acosx+√1+sinx+√1−sinx，其中x∈[−π2 , π2]．(1)设t=√1+sinx+√1−sinx，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数g(t)；(2)求函数f(x)的最大值(可以用a表示)；(3)设a=−1，若对区间[−π2 , π2]内的任意x1，x2，若有|f(x1)−f(x2)|≤m，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={x|−2<x ≤2},B ={x|x −12≥1}={x|x ≥32}，∴A ∩B =[32,2]．故选：C ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为z =a+i 2+i =(a+i)(2−i)(2+i)(2−i)=2a+1+(2−a)i 5，又z 在复平面内对应的点在第一象限，所以{2a +1>02−a >0， 解得，−12<a <2．故选：D ．先对已知复数进行化简，然后结合复数的几何意义可求．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵不等式|x −1|<2a 成立的充分条件是0<x <4，设不等式的解集为A ，则(0,4)⫋A当a ≤0时，A =⌀，不满足要求，当a >0时，A =(1−2a,1+2a)若(0,4)⫋A则{1−2a ≤01+2a ≥4，∴a ≥32， 经检验知a =32符合题意，∴a ≥32．故选：B ．由已知中不等式|x −1|<2a 成立的充分条件是0<x <4，令不等式的解集为A ，根据充分条件的集合判断法，得不等式的解集为A 时，则(0,4)⫋A ，列出不等式组解出即可．本题考查解决一个命题是另一个命题的什么条件问题，若条件是数集则常转化为集合间的包含关系来处理，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵a⃗ =(x,1),c ⃗ =(2,−4)，且a ⃗ ⊥c ⃗ ， ∴x ⋅2+1⋅(−4)=0，解得x =2．又∵b ⃗ =(1,y),c ⃗ =(2,−4)，且b ⃗ //c ⃗ ，∴1⋅(−4)=y ⋅2，解之得y =−2，由此可得a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,−2)，∴a ⃗ +b ⃗ =(3,−1)，可得|a ⃗ +b ⃗ |=√32+(−1)2=√10．故选：B ．由向量平行与垂直的充要条件建立关于x 、y 的等式，解出x 、y 的值求出向量a ⃗ 、b ⃗ 的坐标，从而得到向量a ⃗ +b ⃗ 的坐标，再由向量模的公式加以计算，可得答案．本题给出向量互相平行与垂直，求向量a ⃗ +b ⃗ 的模．着重考查了向量平行、垂直的充要条件和向量模的公式等知识，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵当x 2>x 1>1时，[f(x 2)−f(x 1)](x 2−x 1)<0恒成立，∴f(x)在(1,+∞)上单调递减，又∵函数f(x)的图象关于直线x =1对称，∴a =f(−12)=f(52)，又∵b =f(2)，c =f(e)，且2<52<e ，f(x)在(1,+∞)上单调递减，∴f(2)>f(52)>f(e)，∵a =f(−12)=f(52)，b =f(2)，c =f(e)， ∴b >a >c ，故选：D ．由当x 2>x 1>1时，[f(x 2)−f(x 1)](x 2−x 1)<0恒成立，可得f(x)在(1,+∞)上单调递减，又函数f(x)的图象关于直线x =1对称，可得a =f(−12)=f(52)，根据单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系． 本题主要考查了函数单调性定义的灵活应用，考查学生的转化能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：∵a ，b ∈R +且a +b =1，∴ab ≤(a+b 2)2=14，∴A 、B 选项错； ∵0<ab ≤14，∴1a +1b=a+b ab =1ab ≥4，∴C 错； ∵0<ab ≤14，∴a 2+b 2=(a +b)2−2ab =1−2ab ≥1−2×14=12，∴D 对． 故选：D ．由基本不等式可判断A 、B 、C.把a 2+b 2转化为(a +b)2−2ab ，再利用基本不等式可判断D ． 本题考查基本不等式，考查数学运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆锥的体积的求法及应用，考查运算求解能力，是中档题．推导出2πR =60，解得R =602π≈10(尺)，求出这堆大豆的体积V =12×(13×πR 2×7)=350(立方尺)，由此能求出结果．【解答】解：∵现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺，圆周率约为3，∴2πR =60，解得R =602π≈10(尺)，∴这堆大豆的体积V =12×(13×πR 2×7)=350(立方尺)，350÷2.5=140(斛)，主人欲卖掉该堆菽，则主人可得银子：140×3001000=42(两)．故选：B．8.【答案】A【解析】解：f(x)=2sin(2x−π6)+m在x∈[0,π2]上恰有两个零点，即sin(2x−π6)=−m2在x∈[0,π2]上恰有两个解，结合2x−π6∈[−π6,5π6]，可得−m2∈[12,1)，∴m∈(−2,1]，故选：A．由题意，sin(2x−π6)=−m2在x∈[0,π2]上恰有两个解，可得−m2∈[12,1)，由此求得m的范围．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：对于A，命题“∀x∈R，x2+x+1>0”的否定为“∃x∈R，x2+x+1≤0”，故A错误；对于B，若10a=4，10b=25，则a=lg4，b=lg25，a+b=lg4+lg25=lg100=lg102=2，故B正确；对于C，若幂函数y=(m2−m−1)x m2−2m−3在区间(0,+∞)上是增函数，则{m 2−m−1=1m2−2m−3>0，解得m=−1，故C错误；对于D，由于函数y=2x与函数y=log2x互为反函数，故在同一平面直角坐标系中，函数y=2x与函数y= log2x的图象关于直线y=x对称，故D正确；综上所述，BD正确，故选：BD．利用命题的否定可判断A；利用对数的运算性质可判断B；由幂函数的概念及单调性可判断C；函数y=2x 与函数y=log2x互为反函数可判断D．本题考查命题的真假判断，考查命题的否定、对数的运算性质及幂函数与反函数，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】AC【解析】解：函数f(x)=sin(2021x +π6)+cos(2021x −π3)=sin(2021x +π6)+cos(2021x +π6−π2)=2sin(2021x +π6)． 故函数的最小正周期为T =2π2021，所以A =2．12T =|x 1−x 2|min =π2021， 故A ⋅|x 1−x 2|=2×π2021=2π2021或4π2021．故选：AC ．直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】AD【解析】解：当0≤x ≤0.2时，设y =kx ，则1=0.2k ，故k =5，故A 正确；当x >0.2时，把(0.2,1)代入y =(18)x−a 可得：(18)0.2−a =1，∴a =0.2，故B 错误；令(18)x−0.2<0.25，即(12)3x−0.6<(12)2，∴3x −0.6>2，解得x >1315，故C 错误，D 正确．故选：AD ．利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况．本题考查函数图象的意义，函数解析式及不等式解法，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A ，O 为△ABC 的外心，边AB 、AC 长为定值，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2为定值， 故A 正确；△ABC 中，已知AB =3，AC =2，∠BAC =π6，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)(λ>0)，可得D 在∠BAC 的平分线上，又AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得D ，B ，C 三点共线，即有AD 为角平分线，由S △ABC =S △ABD +S △CAD ，即有12AB ⋅AC ⋅sin30°=12AB ⋅AD ⋅sin15°+12AC ⋅AD ⋅sin15°，可得12⋅3⋅2⋅12=12⋅3AD ⋅√6−√24+12⋅2AD ⋅√6−√24， 则AD =3(√6+√2)5，故B 正确；对于C ，如图所示：设线段BC 的中点为D ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(AC⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴MD ⊥BC 且平分BC ． 因此动点M 的轨迹必通过△ABC 的外心，故C 错误；对于D ，由H 为△ABC 的垂心(三角形三条高的交点)，所以HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即有HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 同理，HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即有HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x ， 因为2HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 所以2HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即有2x +3HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4x =0，所以HB =√−2x(x <0)，同理可求得HA =√−7x 2，所以cos∠AHB =HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√−2x⋅√−7x 2=−√77.故D 正确．故选：ABD ． 由三角形的外心的性质和向量数量积的第和性质计算可判断A ；由向量的运算推得AD 为角平分线，由S △ABC =S △ABD +S △CAD ，运用三角形的面积公式，计算可判断B ；设线段BC 的中点为D ，由向量的中点表示和向量数量积的性质，可判断C ；由三角形的垂心性质，结合向量的夹角公式，计算可判断D ． 本题考查命题的真假判断，主要是向量的运算和三角形的“心”，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于难题．13.【答案】i【解析】解：因为i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，则i+i2+⋯+i2021=i．故答案为：i．直接根据复数的运算可知为i+i2+i3+i4=0，进而可求．本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．14.【答案】23【解析】解：a⃗，b⃗ 为单位向量，且a⃗⋅b⃗ =0，c⃗=2a⃗−√5b⃗ ，|c⃗|=√4a⃗2−4√5a⃗⋅b⃗ +5b⃗ 2=3．设a⃗与c⃗的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ⋅c⃗|a⃗ ||c⃗ |=2a⃗2−√5a⃗ ⋅b⃗1×3=23，故答案为：23．利用向量的数量积，转化求解向量的夹角是余弦值即可．本题考查平面向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力，是基础题．15.【答案】80√5【解析】解：如图所示：△BCD中，CD=80，∠BDC=15°，∠BCD=∠ACB+∠DCA=120°+15°=135°，∴∠CBD=30°，由正弦定理，得BDsin135∘=80sin30∘，解得BD=80√2，△ACD中，CD=80，∠DCA=15°，∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°+15°=150°，∴∠CAD=15°，∴AD=CD=80，△ABD中，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cos∠ADB=802+(80√2)2−2×80×80√2×cos135°=802×5，∴AB=80√5，即A，B两点间的距离为80√5米．故答案为：80√5．根据题意画出图形，△BCD中利用正弦定理求出BD，△ACD中利用等角对等边求出AD，在△ABD中由余弦定理求出AB．考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．16.【答案】π2【解析】解：设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则OM=1，PM=√PA2−AM2=√10−1=3，PO=√9−1=2√2，如图，在截面PMO中，设N为球O1与平面PAB的切点，则N在PM上，且O1N⊥PM，设球O1的半径为R，则O1N=R，因为sin∠MPO=OMPM =13，所以NO1PO1=13，则PO1=3R，PO=PO1+OO1=4R=2√2，所以R=√22，设球O1与球O2相切与点Q，则PQ=PO−2R=2R，设球O2的半径为r，同理可得PQ=4r，所以r=R2=√24，故小球O2的表面积：4πR2=π2．故答案为：π2．设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则OM=1，求出PM，PO，如图，分别可求得大球O1与小球O2半径，然后求解表面积即可．本题考查球的体积公式，考查两圆相切性质，正四棱锥性质的应用，属于中档偏难题．17.【答案】解：(1)集合A={x|x≤−3或x≥2}，B={x|1<x<5}，∴A∩B={x|2≤x<5}，∁R A={x|−3<x<2}，∴(∁R A)∪B={x|−3<x<5}；(2)∵B∩C=C，∴C⊆B，又C={x|m−1≤x≤2m}，①当C=⌀时，m−1>2m，解得m<−1；②当C≠⌀时，{m−1≤2mm−1>12m<5，2<m<52；综上，m的取值范围是(−∞,−1)∪(2,52)．【解析】(1)根据交集、补集和并集的定义计算即可；(2)由B∩C=C知C⊆B，讨论m的取值情况，求出满足条件的m取值范围．本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题．18.【答案】解：(1)函数f(x)=sin(2x−π3)+cos(2x−π6)+2cos2x−1=sin2xcos π3−cos2xsinπ3+cos2xcosπ6+sin2xsinπ6+cos2x=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)；所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；(2)∵f(α)=3√25，即√2sin(2α+π4)=3√25，∴sin(2α+π4)=35∵α∈[π4,π2]，∴3π4≤2α+π4≤5π4，∴cos(2α+π4)=−45；cos2α=cos[(2α+π4)−π4]=cos(2α+π4)cosπ4+sin(2α+π4)sinπ4=−√210；故cos2α=−√210．【解析】(1)用正、余弦的差角公式展开，再用和角公式合并化简，用周期公式得到答案；(2)先计算角的范围，判断余弦的符号，求出cos(2α+π4)的值，再用角变换得cos2α=cos[(2α+π4)−π4]求解；本题考查三角函数的化简，周期，三角函数给值求值，求解中要注意角的范围，利用同角关系时要注意符号，属于基础题．19.【答案】解：(1)当0<x <50时L(x)=700x −(10x 2+100x +2600)−4000=−10x 2+600x −6600， 当x ≥50时L(x)=700x −(701x +4900x+10−6500)−4000=−(x +4900x+10)+2500，所以L(x)={−10x 2+600x −6600,0<x <50−x −4900x+10+2500,x ≥50． (2)若0<x <50，则L(x)=−10(x −30)2+2400，当x =30时，则L(x)max =2400，L(x)=−(x +4900x+10)+2500=−(x +10+4900x+10)+2510，若x ≥50，则≤2510−2√(x +10)⋅4900x+10=2370， 当且仅当x +10=4900x+10，即x =60时，L(x)max =2370．所以2020年产量为30(百套)时，企业所获利润最大，最大利润为2400万元．【解析】(1)利用已知条件，通过当0<x <50时，求出L(x)；当x ≥50时，求出L(x).即可得到函数的解析式．(2)利用二次函数的性质求解最值，基本不等式求解最值，比较最值的大小即可得到结果．本题考查函数与方程的应用，实际问题的处理方法，考查二次函数的性质以及基本不等式的应用，是中档题．20.【答案】解：(1)∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴3=1+4+4cos∠BAC ，∴cos∠BAC =−12，∵A ∈(0,π)，∴∠BAC =2π3， ∴S △ABC =12AB ×AC ×sin∠BAC =√32， (2)∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵B ，C ，E 三点共线，∴λ+λ2=1，∴λ=23，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12．【解析】(1)由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )平方，利用数量积的运算得到∠BAC ，再利用三角形的面积公式求解即可． (2)由AE 为角平分线得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由B ，C ，E 三点共线，得λ=23，再利用数量积的运算即可解决． 本题主要考查平面向量数量积的运算，考查了三角形的面积公式，计算能力和转化思想，属于中档题．21.【答案】解：(1)连接A 1C ，A 1B ，由题设可得，S 四边形AA 1C 1C =S 四边形AA 1B 1B ，△A 1AB 为正三角形，∵S 四边形AA 1C 1C =2S △A 1AC =2×12×a 2×√32=√32a 2， S 四边形BB 1C 1C =a 2，S △ABC =S △A 1B 1C 1=√34a 2， ∴三棱柱ABC −A 1B 1C 1全面积：S =2×√32a 2+a 2+2×√34a 2=3√32a 2+a 2．(2)连接AO ，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∵所有棱长为a ，∴S △ABC =√34a 2,AO =√33a ， 又因为A 1在底面内的射影为下底面的中心，∴A 1O ⊥AO ，∴A 1O =√A 1A 2−AO 2=√a 2−(√33a)2=√63a ， ∵V ABC−A 1B 1C 1=S △ABC ⋅A 1O =√34a 2⋅√63a =2√2，∴a =2．【解析】(1)连接A 1C ，A 1B ，利用已知条件，求解侧面面积，底面面积，然后求解全面积．(2)连接AO ，求解底面面积以及高，即可求解几何体等体积，然后求解a 即可．本题考查几何体的体积以及全面积的求法，考查学生发现问题解决问题的能力以及数学素养，是中档题．22.【答案】解：(1)由t =√1+sinx +√1−sinx ，得t 2=1+sinx +1−sinx +2√(1−sinx)(1+sinx)=2+2√cos 2x =2+2cosx∵x ∈[−π2 , π2]∴cosx ∈[0,1]，故t ∈[√2,2]， 由上得cosx =t 2−22，f(x)表示为t 的函数g(t)，g(t)=a 2t 2+t −a ，(t ∈[√2,2])；(2)由(1)得，g(t)=a 2t 2+t −a ，(t ∈[√2,2])二次函数g(t)的对称轴是t =−1a >0，①当−1a >2，即−12<a <0时，g(t)max =g(2)=a +2；②当−1a <√2，即a <−√22时，g(t)max =g(√2)=√2； ③当√2≤−1a ≤2，−√22≤a ≤−12时，g(t)max =g(−1a )=−12a −a f(x)max ={ a +2,−12<a <0−12a −a,−√22≤a ≤−12√2,a <−√22(3)对区间[−π2 , π2]内的任意x 1，x 2，|f(x 1)−f(x 2)|≤m 成立，即(|f(x 1)−f(x 2)|)max ≤m 恒成立．a =−1时，g(t)=−12t 2+t +1，g(t)max =g(1)=32，g(t)min =g(2)=1在区间[−π2 , π2]内f(x)max =32，f(x)min =1，(|f(x 1)−f(x 2)|)max =f(x)max −f(x)min =12，m ≥12实数m 的取值范围：[12,+∞)．【解析】(1)t 2=1+sinx +1−sinx +2√(1−sinx)(1+sinx)=2+2√cos 2x =2+2cosx ，得cosx =t 2−22， (2)g(t)=a 2t 2+t −a ，(t ∈[√2,2])，二次函数g(t)的对称轴是t =−1a>0，分类讨论其最值， (3)对区间[−π2 , π2]内的任意x 1，x 2，|f(x 1)−f(x 2)|≤m 成立，即(|f(x 1)−f(x 2)|)max ≤m 恒成立．求出f(x)max ，f(x)min 即可，本题考查了三角函数的化简，换元法、含参数二次函数的最值、恒成立问题的处理，属于中档题．。