湖北省襄阳市四校2015届高三上学期期中考试数学(理)试题及答案

湖北省襄阳市襄州一中枣阳一中等四校2015届高三上学期期中联考语文试题高三2013-11-01 17:31湖北襄州一中等四校2013-2014学年上学期高三期中考试语文试题一、语文基础知识（共15分，共5小题，每小题3分）1．下列词语中，加点的字读音全都正确的一组是A．混（hún）沌孱（chán）弱撺（cuān）掇锣鼓喧阗（tián）B．拱券（xuàn）榫（sǔn）头抿（mǐng）嘴势不可当（dānɡ）C．穹窿（lóng）攒（cuán）聚诘难（nàn）剜（wān）肉补疮D．装裱（biǎo）场（cháng）景局（jú）促弄（nòng）虚作假2．下列词语中，没有错别字的一组是A．凑合丰盈作客他乡元气旺盛B．优裕装帧倍受欢迎在所难免C．起迄援例独当一面心劳日拙D．集锦协从杀人越货生死攸关3．依次在下列横线处填入词语，最恰当的一项是（1）那时，北大的学生好幸运，学生的借书证，可以借十本线装书。

（2）阿Q这个艺术形象，了鲁迅先生对国民灵魂弱点的认识深度。

（3）与会的很多国家认为，严厉打击国际恐怖活动无可厚非，但草木皆兵，随意扩大战争范围，则轻率。

（4）日本政府抛出的“购岛”闹剧，表现出日本军国主义大有之势，这极大的伤害了中国人民的感情。

A.居然表现有失东山再起B.居然体现失之死灰复燃C.竟然体现失之东山再起D.竟然表现有失死灰复燃4．下列各项中，没有语病的是A．中俄关系已进入互相提供重要发展机遇、互为主要优先合作伙伴。

在发展双边关系、处理重大国际和地区问题上，两国的契合点很多，合作共赢的机会很多。

B．美国《预防》杂志刊文指出，年龄在七八十岁的老年人如果每天干家务活的时间在一小时以上，他们会更健康。

C．相对矮小的五针松、文竹、吊兰及微型盆景等，最好放在茶几、案头或仿古架处较合适。

D．这篇文章介绍了传统相声所用的押韵、谐音、摹声等方面的详细的语言技巧和表达效果，内容丰富，饶有趣味。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【1，5分】i 为虚数单位，607i的共轭复数．．．．为（ ）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．（2）【2015年，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米夹谷约为（ ）（A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ． （3）【2015年，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数）（A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)nx +中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ． 以及计算能力．（4）【2015年，理4，5分】设211(,)X N μσ:，222(,)Y N μσ:，这两个正态分布密 （A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键（5）【2015年，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R L ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a L 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ，则（ ）（A q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a L 成等比数列，则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠；对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立； ②当0≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a L 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要（6）【2015年，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < （C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】【解析】依题意，22211a b b e a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a ma m ++++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >，当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．（9）【2015年，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30 【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即 25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．复的元素．（10）【2015年，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<； 由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．．．．．．．．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题）（11）【2015年，理11，5分】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r ． 【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，3OA =u u u r ，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（12）【2015年，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2 【为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点， 所以函数()f x 由2个零点．（13）【2015年，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处在西偏北30o 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75o 的方向上，仰角为30o ，则此山的高度CD = m ．【答案】1006 【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中， 因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD CDBC ︒==，所以1006CD =m ．（14）【2015年，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为 ；（2）过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ． （写出所有正确结论的序号） 【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方，所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =，22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NB MB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =Q ，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +，M Q ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+， ()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______． 【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==． （16）【2015年，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB = ．【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得22322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即232,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,22B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 础的计算题．三、解答题：共6题，共75（17）【2015年，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期x ωϕ+ 0π2 π 3π2 2π x π3 5π6sin()A x ωϕ+0 5 5- 0（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式； （2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象． 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：x ωϕ+ 0π2π 3π22πxπ12 π3 7π12 5π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ． 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律（18）【2015年，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=， 于是2341357921122222n n n T --=+++++L L ① 2345113579212222222n n n T -=+++++L L ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-L L ，故12362nn n T -+=-． （19）【2015年，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ． （1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．解：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =I ，所以BC PCD ⊥平面． 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥． 而PC BC C =I ，所以DE ⊥平面PBC ． 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥． 又PB EF ⊥，DE EF E =I ，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）如图1，在面PBC ，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥． 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以 PD DG ⊥． 而PD PB P =I ，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BDDPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=． 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =． （1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ， (,1,1)PB λ=-u u u r ，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =u u u r ，于是0PB DE ⋅=u u u r u u u r，即PB DE ⊥． 又已知EF PB ⊥，而DE EF E =I ，所以PB DEF ⊥平面． 因(0,1,1)PC =-u u u r , 0DE PC ⋅=u u u r u u u r, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =u u u r是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--u u u r是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r ， 解得2λ=． 所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =． 于难题．（20）【2015年，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶210001吨B 产品需鲜牛奶1．51．5小时，获利 1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过 12小时． 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18 P 0．3 0．5 0．2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个（1）求Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1） 目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3， 四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为Z8160 10200 10800 P0．3 0．5 0．2 因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．问题解决问题的能力．（21）【2015年，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN D AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探 OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值； 解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r，且||||1DN ON ==u u u r u u u r ，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，（2②8．【点评】本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年，理22，14（（（解：（1①（2②（3运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。

湖北省襄阳市襄州一中等四校2013-2014学年高三上学期期中联考文数学试卷（带word 解析）第I 卷（选择题）1．已知集合}12|{},1|{>=<=xx N x x M ,则N M =（ ） A ．∅ B ．}0|{<x x C ．}1|{<x x D ．}10|{<<x x【答案】D 【解析】试题分析：由}0|{}12|{>=>=x x x N x,故}10|{<<=x x N M ，选D. 考点：1.指数函数的单调性；2.集合的运算2．“a＞b ＞0”是“ab＜222a b +”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由a ＞b ＞0知02)(222>-+=-ab b a b a ，可得222b a ab +<，故满足充分性；由222b a ab +<得02)(222>-+=-ab b a b a ，故可得b a ≠，所以不满足必要性，选A.考点：1.基本不等式性质；2.充要条件3．复数ii-+13等于 （ ） A. i 21- B. i 21+C. i -2D. i +2【答案】B 【解析】 试题分析：由i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13+=+=+-++=-+，选B. 考点：复数的四则运算4．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足4)(22=-+c b a ,且C =60°,则 ab 的值为（ ） A ．348- B ．1 C ．34 D ．32【答案】C【解析】试题分析：由4)(22=-+c b a 得：ab c b a 24222-=-+，故由余弦定理知：ab c b a C 2cos 222-+=2160cos 224=︒=-=ab ab ，解得34=ab ，故选C.考点：余弦定理的应用5．函数mx m m x f )1()(2--=是幂函数，且在x ∈(0，+∞)上为增函数，则实数m 的值是（ ）A ．-1B ．2C ．3D ．-1或2【答案】B 【解析】试题分析：由幂函数定义可知：112=--m m ，解得,2=m 或1-=m ，又函数在x ∈(0，+∞)上为增函数，故2=m .选B. 考点：幂函数6, ）A B C【答案】B 【解析】考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图像变换7．平行四边形ABCD 中，AB =（1，0），AC =（2，2），则AD BD ⋅等于 （ ）A ．4B ．-4C ．2D ．-2 【答案】A 【解析】 试题分析：由)2,1()0,1()2,2(=-=-==AB AC BC AD ,所以=-⋅=⋅)(4)2,0()2,1(=⋅.故选A.考点：1.向量的加减运算；2.向量的数量积8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递减. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)≤+f f f a a , 则a 的取值范围是（ ）A ．（-∞，21]∪[2,+∞） B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦∪[2,+∞） C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(0,2]【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()f x 是R 上的偶函数, 所以12222(log )(log )(log )(log )+=+-f a f a f a f a 222(log )2(|log 2(1)|)==≤f a f a f ，又在区间[0,)+∞单调递减，故2|log 1|≥a ，解得10,2⎛⎤∈ ⎥⎝⎦a ∪[2,+∞），选A. 考点：1.偶函数的性质；2.函数的单调性；3.对数不等式9．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意的[],x a b ∈，都有|()()|1f x g x -≤，则称()f x 和()g x 在[],a b 上 是“密切函数”，[],a b 称为“密切区间”，设2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[],a b 上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是 （ ）A ．[1,4]B ． [2,4]C ． [3,4]D ． [2,3] 【答案】D 【解析】试题分析：由题意由1|75||)()(|2≤+-=-x x x g x f ，得17512≤+-≤-x x ，解之得]3,2[∈x ，故选D.考点：1.含绝对值的一元二次不等式的解法；2.函数新定义题10．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 的取值范围是( )A. 11,]5,775 （（）B. 10,[5,5+∞ （）） C. 10,5,5+∞ （]（）D. 11,[5,775（））【答案】C 【解析】 试题分析：函数g （x ）=f （x ）-log a |x|的零点个数，即函数y=f （x ）与y=log a |x|的交点的个数； 由f （x+1）=-f （x ），可得f （x+2）=f （x+1+1）=-f （x+1）=f （x ），故函数f（x ）是周期为2的周期函数，又由当-1≤x ＜1时，f （x ）=x 3，据此可以做出f （x ）的图象，y=log a |x|是偶函数，当x ＞0时，y=log a x ，则当x ＜0时，y=log a（-x），做出y=log a|x|的图象:第II 卷（非选择题）11．已知全集U ＝ R ，集合{}1|-==x y x M ，则=M C U ．【答案】{|1}x x < 【解析】试题分析：集合M 就是函数y =的定义域，所以{}|1M x x =≥，{|1}U C M x x =<.考点：补集. 12．复数iiz 21-=的虚部是 ． 【答案】1- 【解析】试题分析： 由221222i i i z i i i--===--，所以z 的虚部为1-.考点：复数的概念和运算.13．“1>x ”是“12>x ”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）【答案】充分不必要 【解析】试题分析：如果1>x 时，那么12>x ，所以“1>x ”是“12>x ”的充分条件，如果12>x ，那么1>x ，或1x <-，所以“1>x ”是“12>x ”的不必要条件，综上所以“1>x ”是“12>x ”的充分不必要条件.考点：充分条件和必要条件.14．已知扇形的半径为10cm ，圆心角为120°，则扇形的面积为 ． 【答案】21003cm π【解析】试题分析：因为扇形的圆心角为120°，显然它的面积是其所在圆面积的13，而这个圆的面积为2100cm π，所以这个扇形的面积为21003cm π. 考点：扇形的面积.15．如果1log log 22=+y x ，则y x 2+的最小值是 ． 【答案】4 【解析】试题分析：由1log log 22=+y x 得2log ()1xy =，所以2xy =且0,0x y >>，24x y +≥=，当且仅当2x y =即2,1x y ==时，y x 2+取得最小值4.考点：基本不等式，对数的运算.16．函数1ln(1)y x=++_____________. 【答案】]1,0( 【解析】试题分析：⎪⎩⎪⎨⎧≥->+010112x x由解得：]1,0(∈x . 考点：求函数的定义域 17．已知αααcos 900,102)45sin(，则且 <<-=-的值为_____________. 【答案】54 【解析】试题分析：由102)45sin(-=- α得：51c o s s i n -=-αα①，①平方得：2524cos sin 2=αα②，所以可得57cos sin =+αα③，由③-①得：=αcos 54.考点：1.两角和差的余弦公式；2.同角三角函数关系 18．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x，则)]81([f f 的值等于_______． 【答案】271【解析】试题分析：由已知分段函数可得：2713)3()81(log )]81([32==-==-f f f f . 考点：1.分段函数；2.基本初等函数求值19．若函数()(0,1)=>≠xf x a a a 在［－2，1］上的最大值为4，最小值为m ，则m 的值是______. 【答案】21或161 【解析】试题分析：分1>a 和10<<a 两种情况讨论：当1>a 时，函数xa x f =)(单调递增，则最大值为41==a a ，最小值为161422===--a m ；当10<<a 时，函数x a x f =)(单调递减，则最大值为42=-a ，解得21=a ，最小值为211==a m .故21=m 或161. 考点：1.分类讨论；2指数函数的单调性20．2)()(c x x x f -=在1=x 处有极小值，则实数c 为 . 【答案】1 【解析】试题分析：由2)()(c x x x f -=得2243)('c cx x x f +-=，又2)()(c x x x f -=在1=x 处有极小值，故01413)1('22=+⨯-⨯=c c f ，解得1=c 或3=c ，当1=c 时，有143)('2+-=x x x f ，函数)(x f 在),1(),31,(+∞-∞单调递增，在)1,31(单调递减，故在1=x 处有极小值；当3=c 时，有9123)('2+-=x x x f ，函数)(x f 在),3(),1,(+∞-∞单调递增，在)3,1(单调递减，故在1=x 处有极大值.综上可知1=c .考点：利用导数处理函数的极值21．己知函数xe x xf 2)(=，当曲线y = f(x)的切线L 的斜率为正数时,L 在x 轴上截距的取值范围为 . 【答案】),0(]322,(+∞---∞ 【解析】试题分析：∵xe x xf 2)(=，∴)2()('2x x e x f x+=，由0)2()('2>+=x x e x f x得：,0>x 或2-<x .设切点为),(0200x e x x ,则切线方程为))(2(0200200x x x x e ex y x x -+=-,令0=y ，得：2020++=x x x x .当00>x 时，220>+x ，则：03222322)2(2000200=-+>-+++=++=x x x x x x ；当20-<x 时，20<+x 则：322322)2(2322)2(200000200--=-+⨯+-≤-+++=++=x x x x x x x x ，综上述知：切线在x 轴上的截距的取值范围为：),0(]322,(+∞---∞ . 考点：利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域22．已知数列{}n a 及其前n 项和n S 满足：n n n S S a 33311+==-， （2≥n ，*n N ∈）. （1）证明：设n nn S b 3=，{}n b 是等差数列；（2）求n S 及n a ；（3）判断数列{}n a 是否存在最大或最小项，若有则求出来，若没有请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）13)12(-+=n n n a ,n n n S 3∙=;(3)数列{}n a 有最小项，无最大项，最小项为31=a 【解析】试题分析：（1）直接求出13311=---n n n n S S ，从而证明{}n b 是等差数列；（2）先由（1）可得n n n S 3∙=，然后由113)12(--+=-=n n n n n s s a ，注意检验当1=n 时是否适用 .（3）先判定数列是递增数列，从而确定只有最小项无最大项，最小项为31=a ，注意运用函数的思想方法解决数列问题. 试题解析：（1） n n n S S 331=-- ∴13311=---n n n n S S （2≥n ） 2分 设nnn S b 3=则{}n b 是公差为1的等差数列 3分 （2） 又 ,133111===a Sb ∴,3n S n n = ∴n n n S 3∙= 5分 当2≥n 时， 113)12(--+=-=n n n n n s s a 7分 又31=a 满足上式 8分 ∴13)12(-+=n n n a n n n S 3∙= 9分（3）1)32(3123)32(3)12(11<++=++=-+n n n n a a nn n n 11分 又1,0+<∴>n n n a a a ，则数列{}n a 为递增数列 12分 ∴数列{}n a 有最小项，无最大项，此时最小项为31=a 13分 考点：1.等差数列的判定；2.等差数列通项公式的求法；3.数列的单调性 23．已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中 ＝（1，2） ⑴若||52=，且a c //，求c 的坐标； ⑵若|b |=,25且2+-3a b a b 与垂直，求a 与b 的夹角θ。

襄阳 高二联考试题数学（理科）王必挺 周雪丽 学校：襄阳市第一中学注意事项：1、 答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卡和答题卷上填写清楚。

2、 选择题答案用2B 铅笔直接填涂在答题卡上，非选择题用0.5mm 的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．） 1．在下列各数中，最大的数是（ ）A ．)9(85 B.(5)210 C.(8)68 D.)2(111112.已知直线1l ：02)1(=-+-ay x a ,2l ：03)12(=+++y a ax ,若21l l ⊥,则a 的值为（ ） A ．0或2 B ．0或2- C ．2 D ．-23.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为( )A ．11B ．02C ． 05D ．044．如图给出的是计算1＋13＋15＋17＋19的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是( )A ．2,5?n n i =+>B ． 2,5?n n i =+=C ．1,5?n n i =+=D ．1,5?n n i =+>5.将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为004，这600名学生分住在三个营区．从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为( )A ． 24,17,9B ．25,16,9C ． 25,17,8D ． 26,16,8南漳一中 襄州一中枣阳二中 襄阳一中6.根据如下样本数据：得到的回归方程为ˆˆˆybx a =+,则( ) A ． ˆˆ0,0ab >< B ． ˆˆ0,0a b >> C ． ˆˆ0,0ab <> D ．ˆˆ0,0a b << 7.某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过两次而接通电话的概率为A.109 B.103 C.15 D.1018．已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则8a ＝( )A ． 180-B ．45C ．45-D ． 1809．若圆2221:()()1C x a y b b -+-=+始终平分圆222:(1)(1)4C x y +++=的周长,则实数b a ,应满足的关系是( )A ．03222=---b a a B ． 0122222=++++b a b a C ．05222=+++b a a D ． 01222322=++++b a b a10.圆C 的方程为224x y +=，圆M 的方程为22(5cos )(5sin )1()x y R θθθ-+-=∈，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PA PB 、，切点分别是A 、B ，则PA PB ⋅的最小值是( )A.12B.10C.6D.5第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．) 11.在空间直角坐标系中，点(2,1,4)-关于y 轴的对称点的坐标为 _______．12.已知532()31f x x x x x =-+-+，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为________．13.设随机变量(2,)X B p ，(3,)Y B P ，若7(1)16P X ≥=，则(1)P Y == ________. 14.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午(前4节)，体育排在下午（后2节），不同的排法种数是______. 15．设有一组圆m C ：2224)1()12(m m y m x =--+--(m 为正整数．．．)，下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相交 ②存在一条定直线与所有的圆均不．相交 ③所有的圆均不．经过原点④存在一条定直线与所有的圆均相切 其中真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16. （本小题满分12分）已知ABC ∆的顶点(5,1),A AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=.求（1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程.17.(本小题满分12分）已知：4540,n n A C =设()(nf x x = . (1) 求n 的值；(2) ()x f 的展开式中的哪几项是有理项（回答项数即可．．．．．．）； （3）求()x f 的展开式中系数最大的项和系数最小的项.18．（本小题满分12分）某班级共有60名学生，先用抽签法抽取10名学生调查他们的学习情况。

湖北省襄阳市第四中学义教部2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．对于二次函数23(4)1y x =-+，其图象的顶点坐标为（）A ．(1,4)-B ．(1,4)C ．(4,1)-D ．(4,1)3．下列方程中，一元二次方程共有（）个．①2210x x --=；②20ax bx c ++=；③350x -=；④20x =；⑤()2212x y -+=⑥()()213x x x --=．A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，小明为检验M 、N 、P 、Q 四点是否共圆，用尺规分别作了MN 、MQ 的垂直平分线交于点O ，则M 、N 、P 、Q 四点中，不一定在以O 为圆心，OM 为半径的圆上的点是()A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q5．如图，12∠=∠，则 AB CD =的是（）．．．C ．．．如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B 的坐标为(6,0顺时针旋转60︒，得到DBC △，则点C 的坐标是（）A ．()33,3B ．()3,33()6,37．某区今年7月份工业生产值达120亿元，月、8月、9月三个月总产值为求8月、9月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为程为（）A ．()21201450x +=()21201201x ++=C ．()()212011201450x x ++=8．下列说法正确的个数有（）①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等⑥平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；A ．2个B 9．如图，⊙O 的直径AB=10数的条数为（）A ．4B ．6C ．8D ．1010．如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴分别相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，OA OC =，则由抛物线的特征判断以下结论：①0abc >；②240ac b ->；③0a b c -+>；④10ac b ++=，其中正确的是（）A ．①③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题三、解答题(1)画出111A B C △和222A B C △．(2)ABC 经旋转、平移后点A 的对应点分别为(3)(),P a b 是ABC 的边AC 上一点，ABC 经旋转、平移后点请写出点1P 、2P 的坐标．(1)求证：AC BD =．(2)若4CD =，1EF =，求 21．中国上海国际艺术节期间，地为提前到场的观众设立面积为众进出，在两边空出两个宽各为围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？22．如图1所示，O 为CDE D 、C （BC AD >）.E 在线段点.(1)证明：AB 是O 的切线.(2)如图2，连接OA ，OB ，求证：OA OB ⊥.23．某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本q （单位：元）与销售件数y （单位：件）成正比例．同时每天的销售件数y 与销售价格x （单位：元/件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售A 产品的一些数据．销售价格x （单位：元/件）25303238销售件数y （单位：件）35302822销售成本q （单位：元）210180168132(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)若一天的销售利润为w xy q =-，当销售价格x 为多少时，w 最大？最大值是多少？(3)该专卖店以每件返现a 元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当40x =元/件时，一天可获得的利润为600元，求a 的值．24．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点EF 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，试猜想EF 、BE 、DF 之间的数量关系．（1）思路梳理把ABE 绕点A 逆时针旋转90°至ADG △，可使AB 与AD 重合，由90ADG B ∠=∠=︒，得180FDC ∠=︒，即点F 、D 、G 共线，易证AFG ≌______，故EF 、BE 、DF 之间的数量关系为______．（2）类比引申如图2，点EF 分别在正方形ABCD 的边CB 、DC 的延长线上，45EAF ∠=︒．连接EF ，试猜想EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并给出证明．（3）联想拓展如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE =︒∠．若1BD =，2EC =，求DE 的长．25．如图，抛物线22y ax ax c =++经过点()2,0A ，()2,4B -．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 在直线AB 上方的抛物线上运动，当ABM 的面积最大时，求点M 的坐标；(3)若函数22y ax ax c =++在2m x m ≤≤+时有最大值为4，求m 的值．。

湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）2014-2015学年高二上学期期中联考物理试题时间： 90分钟 分值：110分 命题牵头学校：宜城一中 命题教师：学 校：宜城一中 曾都一中 枣阳一中 襄州一中一、选择题（共10个小题，共48分。

第1－6题只有一个选项正确，每题4分；第7－10题有多个选项正确，每题6分，全部正确得6分，选不全得3分，多选错选得0分） 1．关于科学家在电磁学中的贡献，下列说法错误．．的是（ ） A. 密立根测出了元电荷e 的数值B. 法拉第提出了电场线和磁感线的概念C. 奥斯特发现了电流周围存在磁场，并且总结出了右手螺旋定则D. 安培提出了分子电流假说2．真空中有两个相同的带等量异种电荷的金属小球A 和B （均可看成点电荷），分别固定在两处，两球间静电力为F 。

现用一个不带电的同样的金属小球C ，先与A 接触，再与B 接触，然后移开C ，再让A 、B 两球距离增大为原来的n 倍，使它们间的静电力变为32F ，则n 是（ ）A. 2B. 4 C ．5 D. 83．在电场中某点放上电荷量为-8210⨯C 的带负电的试探电荷，它受到的电场力为-2610⨯ N ，方向水平向右。

若撤走上述试探电荷，在该点放上电荷量为8410-⨯ C 的带正电的试探电荷，其它条件不变，则该点的电场强度为（ ）A.6310/N C ⨯ 方向水平向右B. 6610/N C ⨯方向水平向左C.6310/N C ⨯方向水平向左D. 6610/N C ⨯方向水平向右4．如图所示，两通电细直导线竖直放置，所通电流大小相等，方向都向上。

在虚线所示的水平线上有a 、b 、c 、d 四点，其中b 点位于两导线之间的中点，关于这四个点的磁感应强度方向描述正确的是（ ） A ．a 点磁感应强度方向竖直向上 B ．b 点磁感应强度方向垂直于纸面向外C ．c 点磁感应强度方向垂直于纸面向里D ．d 点磁感应强度方向垂直于纸面向里5．一个小灯泡，当它两端的电压在3V 以下时，电阻等于15Ω 不变；当它两端的电压增大到4V 时，钨丝温度明显升高，它的电阻为16Ω；当电压增大到5V 时，它的电阻为18Ω，它在0～5V 电压范围内的伏安特性曲线与下列哪个图象相符（ ）电场中仅受电场力作用，从Ａ点运动到Ｂ点，速度随时间变化的图象如图所示，t A、t B分别对应电荷在A、B两点的时刻，则下列说法中正确的是（）A．A处的场强一定小于B处的场强B．A处的电势一定低于B处的电势C．电荷在A处的电势能一定小于在B处的电势能+，在y轴上的C7．如图所示，在x轴上关于O点对称的A、B两点有等量同种点电荷Q点有点电荷QCO=，中P点位于OC之间，而ODADO，下列判断正确的是（）∠60︒=A.D点场强不为零B. O点电势高于C点电势C. 将一个试探电荷-q从O移向P的过程中，其电势能增大D. 将一个试探电荷+q从O移向P的过程中，要克服电场力做功8．如图所示，平行板电容器与一个恒压直流电源连接，下极板通过A点接地，一带正电小球被固定于P 点，现将平行板电容器的下极板竖直向下移动一小段距离，则（）A. 平行板电容器的电容值将变小B. 静电计指针张角变小C. 带电小球的电势能将减小D. 若先将下极板与A点之间的导线断开，再将下极板向下移动一小段距离，则带电小球所受电场力不变 A9．在如图甲所示的电路中，R T 是半导体热敏电阻，其电阻R T 随温度T 变化的关系图象如图乙所示，当R T 所在处温度升高时，下列关于通过理想电流表的电流I ，ab 间电压U 和电容器电量q 的说法正确的是（ ） A ．I 变大，U 变大 B ．I 变大，U 变小 C ．U 变小，q 变小 D ．U 变大，q 变大 10．如图所示，在真空室中有一水平放置的不带电平行板电容器，板间距离为d ，电容为C ，上板B 接地。

襄州二中宜城二中枣阳二中枣阳师范2024-2025学年上学期高一期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答卷上填写清楚2.选择题答案用2B 铅笔在答题卷把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm 黑色签字笔在每题对应的答题区内做答，答在试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列说法正确的有（ ）A .10以内的质数组成的集合是B .与是同一个集合C ：方程的解集是D .集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形2.命题：p ：，的否定为（ ）A .，B .，C .，D .，3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A .B .C .D .4下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（ ）A .B .C .D .5下列说法正确的是（ ）A .若，则B .若a ，b ，，则C .若，则D .若，，则6.不等式的一个必要不充分条件是（ ）A .B .C .D .7已知，，且恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）{}0,2,3,5,7∅{}02210x x -+={}1,1{},,M a b c =ABC ∆ABC ∆x ∀∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +<x ∃∈R 0x x +≤x ∀∈R 0x x +<()f x []0,1()1f x +[]0,1[]1,0-{}0[]1,2()0,+∞y x =3y x =2y x =3y x =-22ac bc >a b>()0,m ∈+∞b b m a a m +<+a b >11a b <a b >x y >ax by >22530x x --<132x -<<16x -<<102x -<<132x <<0a >0b >211a b+=a b m +≥A .B .C .D .8.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a ，b ，设物体的真实质量为G ，则（ ）A.B .C .D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

襄阳四中2025届高三上学期10月月考数学试卷命题人：陈国兵 审题人：饶雨一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ，则用列举法表示A =（ ）A. {}2,0,1,2,4- B. {}2,0,2,4- C. {}0,2,4 D. {}2,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1x -可为1±、3±，计算即可得.【详解】由题意可得1x -可为1±、3±，即x 可为0,2,2,4-，即{}2,0,2,4A =-.故选：B.2. 设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z ，再求出z，令z >a 的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i 3i 3i i ia az a +-===-，所以z =令z >>1a >或1a <-，所以1a <-推得出z >，故充分性成立；由z >推不出1a <-，故必要性不成立；所以“1a <-”是“z >的充分不必要条件.故选：A3. 已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+ ，()21d a b λ=++ ，若c 与d 同向共线，则实数λ的值为（ ）A. 1B.12C. 1或12-D. 1-或12【答案】B 【解析】【分析】先根据向量平行求参数λ，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d 共线，所以()2110λλ+-=，解得1λ=-或12λ=.若1λ=-，则c a b =-+，d a b =- ，所以d c =- ，所以c 与d 方向相反，故舍去；若12λ=，则12c a b =+ ，2d a b =+ ，所以2d c = ，所以c与d 方向相同，故12λ=为所求.故选：B4. 已知3322x y x y ---<-，则下列结论中正确的是（ ）A. ()ln 10y x -+> B. ln0yx> C. ln 0y x +> D. ln 0y x ->【答案】A 【解析】【分析】构造函数()32xf x x -=-，利用()f x 的单调性可得x y <，进而可得.【详解】由3322x y x y ---<-得3322x y x y ---<-，设()32xf x x -=-，因函数3y x =与2x y -=-都是R 上的增函数，故()f x 为R 上的增函数，又因3322x y x y ---<-，故x y <，()ln 1ln10y x -+>=， 故A 正确，因y x，y x +，y x -与1的大小都不确定，故B ，C ，D 错误，故选：A5. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345a a a a a ”（满足12345a a a a a >><<），则这样的“五位凹数”的个数为（ ）A. 126个 B. 112个 C. 98个 D. 84个【答案】A 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C 种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a ，从剩下的4个数中选出2个分给12,a a ，由题意可知，选出后1245,,,a a a a 就确定了，共有24C 种方法，故满足条件的“五位凹数”5274C C 126=个，故选：A6. 若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n 为正整数），则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论成立的是（ ）A. 78a = B. 135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C. 754S = D. 24620202021a a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】B 【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 、C 错；21112123341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a S ++--------=+=+++=+++++==+ ，则202020181220183520191352019111a S a a a a a a a a a a =+=++++=++++=++++ ，故B 对；24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 1234520182019201920211a a a a a a a S a =+++++++==- ，故D 错．故选:B ．7. 已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A13B.C.D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF，根据椭圆定义整理可得22b c m -=，根据向量关系可得1F A ∥2F B，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a+=，即2a +=，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF =由椭圆定义可知：|BF 1|+|BF 2|=2a2a =，.2bcm+=；即2c c-=+3c=，所以椭圆C的离心率cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8. 圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A. [)1,+∞ B. [)2,+∞C. )∞⎡+⎣ D.[)4,+∞【答案】B【解析】【分析】选择OBC∠（角θ）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积公式可得()122212tan1tanSSθθ=-，再由2tan(0,1)tθ=∈换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,D E为切点，,AB AC为圆锥母线，连接,,,OB OD OA OE.设OBCθ∠=，tanRrθ=，0tan1θ<<tanRrθ∴=.OD AB⊥，OE BC⊥，πDBE DOE∴∠+∠=，又πAOD DOE∠+∠=，2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+，则圆锥表面积()21πππS r rl r l r =+=+，圆锥内切球表面积224πS R =，所求比值为()212222π2tan 21tan 1tan tan 4π2tan 1tan R R R S S R θθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-，令2tan 0t θ=>，则()2211()2122222g t t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则10()2g t <≤，且当12t =时，()g t 取得最大值12，故122S S ≥，即12S S 的取值范围是[)2,+∞.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率. ()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（ ）A. 若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+B. 若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C 若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D. 若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由相互独立事件的概念，可判断D 选项.【详解】对于选项A ，若,A B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B ⋃=+，所以选项A 正确，.对于选项B ，由相互独立事件概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件,A B 是相互独立事件，所以选项B 正确，对于选项C ，若,A B 互斥，则,A B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A ：“正面朝上”，事件B ：“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C 错误，对于选项D ，由相互独立事件的定义知，若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =，所以选项D 正确，故选：ABD.10. 已知函数()sin sin cos 2f x x x x =-，则（ ）A. ()f x 的图象关于点(π,0)对称B. ()f x 的值域为[1,2]-C. 若方程1()4f x =-在(0,)m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63⎛⎤⎥⎝⎦D. 若方程[]22()2()1(R)f x af x a a -+=∈在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)i x i = ，则61i i ax =∑的取值范围是(0,5π)【答案】BCD 【解析】【分析】根据(2π)()f f x =-是否成立判断A ，利用分段函数判断BC ，根据正弦函数的单调性画出分段函数()f x 的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sin sin cos 2f x x x x =-，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos 2(2π)sin sin cos 2()f x x x x x x x f x -=----=--≠-，所以()f x 的图象不关于点(π,0)对称，故A 错误；当sin 0x ≥时，()222()sin 12sin 3sin 1f x x x x =--=-，由[]sin 0,1x ∈可得[]()1,2f x ∈-，当sin 0x <时，()222()sin 12sin sin 1f x x x x =---=-，由[)sin 1,0x ∈-可得(]()1,0f x ∈-，的综上[]()1,2f x ∈-，故B 正确：当sin 0x ≥时，由21()3sin 14f x x =-=-解得1sin 2x =，当sin 0x <时，由21()sin 14f x x =-=-解得sin x =，所以方程1()4f x =-在(0,)+∞上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m <≤，故C 正确；由[]22()2()1f x af x a -+=解得()1f x a =-或()1f x a =+，又因为()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，所以根据正弦函数的单调性可得()f x 图象如图所示，所以()1f x a =-有4个不同的实根，()1f x a =+有2个不同的实根，所以110012a a -<-<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，设123456x x x x x x <<<<<，则1423πx x x x +=+=，563πx x +=，所以615πii x==∑，所以61i i a x =∑的取值范围是(0,5π)，故D 正确.故选：BCD.11. 在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列四个命题，正确的是（ ）A 对任意三点,,ABC ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；B. 已知点()2,1P 和直线:220l x y --=，则()83d P l =,；C. 到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D. 定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-，则点P 的轨迹.与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A ，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B ，设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论|2|x -，1|2|2x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C ，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D ，根据定义得{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A 选项，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-，则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，则对任意的三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；故A 正确；B 选项，设点Q 是直线220x y --=上一点，且1,12Q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由1222x x -≥-，解得0x ≤或83x ≥，即有(),2d P Q x =-，当83x =时，取得最小值23；由1222x x -<-，解得803x <<，即有()1,22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B 错误；C 选项，设(),M ab {}max ,x a y b =--，若y b x a -≥-，则y b =-，两边平方整理得x a =；此时所求轨迹为x a=(y b ≥或)y b ≤-若y b x a -<-，则x a =-，两边平方整理得y b =；此时所求轨迹为y b=(x a ≥或)x a ≤-，故没法说所求轨迹是正方形，故C 错误；D 选项，定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0.(1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c y x c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，故D 正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若)nax的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为________．【答案】―2【解析】【分析】由二项式系数和先求n ，再利用通项53215C ()r r rr T a x -+=-得到2x -的指数确定r 值，由2x -的系数为80，建立关于a 的方程求解可得.【详解】因为)na x-的展开式的二项式系数和为32，所以012C C C C 232nnn n n n ++++== ，解得5n =.所以二项式展开式的通项公式为5352155C ()C ()rr rr r rr a T a x x--+=-=-，由5322r-=-，解得3r =，所以2x -的系数为3335C ()1080a a -=-=，解得2a =-.故答案为：2-.13. 已知函数()()()2f x x a x x =--在x a =处取得极小值，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221f x x x x a x =-+--'，根据()0f a ¢=，求得a 的值，结合实数a 的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2f x x a x x =--，可得()()()221f x x x x a x =-+--'，因为x a =处函数()f x 极小值，可得()20f a a a =-='，解得0a =或1a =，若0a =时，可得()(32)f x x x '=-，当0x <时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<；当23x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在2(,0),(,)3-∞+∞单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a =时，可得()(1)(31)f x x x '=--，当13x <时，()0f x '>；当113x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意，综上可得，实数a 的值为1.故答案为：1.14. 数学老师在黑板上写上一个实数0x ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x 乘以2-再加上3得到1x ，并将0x 擦掉后将1x 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x 除以2-再减去3得到1x ，也将0x 擦掉后将1x 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x ．现已知20x x >的概率为0.5，则实数0x 的取值范围是__________．【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数()23f x x =-+，()32xg x =--，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23f x x =-+，()32xg x =--，则有()()43f f x x =-，()()9f g x x =+，()()92g f x x =-，()()342x g g x =-．因为()()f g x x >，()()g f x x <恒成立，又20x x >的概率为0.5，所以必有43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩或者43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由112333BD BC CA BA BC =+=+ ，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V π3B =，所以1sin 2ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当a c ==时取等号，所以BD .16. 已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为Q ，且Q 点的横坐标为3．（1）求抛物线E 的方程；（2）过点(3,0)M -的直线l 与抛物线E 相交于,A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B '，求证：直线AB '必过定点．【答案】（1）24y x = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q 的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).【小问1详解】设点Q 的坐标为()03,y ，因为点Q 在第一象限，所以00y >，双曲线22134x y -=的渐近线方程为y x =，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以0y =，所以点Q的坐标为(3,，又点(3,Q 在抛物线22y px =上，所以1223p =⨯，所以2p =，故抛物线E 的标准方程为：24y x =；【小问2详解】设直线AB 的方程为3x my =-，联立243y xx my ⎧=⎨=-⎩，消x 得，24120y my -+=，方程24120y my -+=的判别式216480m ∆=->，即230m ->，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则12124,12y y m y y +==，因为点A 、B 在第一象限，所以121240,120y y m y y +=>=>，故0m >，设B 关于x 轴的对称点为()22,B x y '-， 则直线AB '的方程为212221()y y y y x x x x ---+=-，令0y =得：212221x x x y x y y -=+-⨯-122121x y x y y y +=+()()12211233y my y my y y -+-=+()21121223my y y y y y -+=+241212344m m mm m-===．直线AB '过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).17. 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，沿EF 将四边形EFCD 折起，使二面角A EF C --的大小为60°，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF 与直线EA 的交点为O ，求OA 的长，并证明直线OD //平面EMC ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA =；证明见解析.（2）存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；此时二面角M EC F --的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA ，由//MN OD ，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA ∠=︒，取AE ，BF 中点O ，P ，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD ，OA ，OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0M m ()04m ≤≤，利用线面角的向量求法可求得m ；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,E F 分别为,AD BC 中点，////EF AB CD ∴，且2AE FB ==，又M 为AB 中点，且,AB OE AB BF ⊥⊥，易得OAM FBM ≅ ，2OA FB AE ∴===，连接,CE DF ，交于点N ，连接MN ，由题设，易知四边形CDEF 为平行四边形，N Q 为DF 中点，//,AM EF A 是OE 的中点，M ∴为OF 中点，//MN OD ∴，又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，//OD ∴平面EMC ；【小问2详解】////EF AB CD ，EF DE ⊥ ，EF AE ⊥，又DE ⊂平面CEF ，AE ⊂平面AEF ，DEA ∴∠即为二面角A EF C --的平面角，60DEA ∴=︒∠；取,AE BF 中点,O P ，连接,OD OP ，如图，60DEA ∠=︒ ，112OE DE ==，2414cos 603OD ∴=+-︒=，222OD OE DE +=，OD AE ∴⊥，//OP EF ，OP DE ⊥，OP AE ⊥，又,AE DE ⊂平面AED ，AE DE E = ，OP ∴⊥平面AED ，,OD AE ⊂ 平面AED ，,OD OP AE OP ∴⊥⊥，则以O 为坐标原点，,,OA OP OD方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则(D ，()1,0,0E -，()1,4,0F -，(0,C ，设()()1,,004M m m ≤≤，则(1,0,DE =-，()2,,0EM m =，(1,EC = ，设平面EMC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1)，则1111111·20·40EM n x my EC n x y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，令12y =，则1x m =-，1z =1,m m ⎛∴=- ⎝，∵直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，·sin 60cos ,·DE n DE n DE n ∴︒==111==1m =或3m =，存在点M ，当1AM =或3AM =时，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；设平面CEF 的法向量()2222,,n x y z=，又(1,EC = ，(FC =，2222222·40·0EC n x y FC n x ⎧=++=⎪∴⎨==⎪⎩，令21z =，则2x =，20y =，()2m ∴=；当1m =时，11,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；当3m =时，23,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；综上所述：二面角M EC F --的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M 的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .【答案】（1）0y = （2）[)1,+∞ （3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln x x xλ≥+，求出函数()212ln xg x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，f (1)=0，的则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点(1,f (1))处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e0x xx λ--≤，整理得212ln x x xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数ℎ(x )在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以φ(x )在(1,+∞)上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19. 已知整数4n …，数列{}n a 是递增的整数数列，即12,,,n a a a ∈Z 且12n a a a <<<．数列{}n b 满足11b a =，n n b a =．若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i b a --等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“左k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b +-等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“右k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b k +-=或者1i i b a k --=，则称数列{}n b 为{}n a 的“左右k 型间隔数列”．（1）写出数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列{}n a 满足()81n a n n =-，数列{}n b 是{}n a 的“左k 型间隔数列”，数列{}n c 是{}n a 的“右k 型间隔数列”，若10n =，且有1212n n b b b c c c +++=+++ ，求k 的值；（3）数列{}n a 是递增的整数数列，且10a =，27a =．若存在{}n a 的一个递增的“右4型间隔数列{}n b ”，使得对于任意的{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，求n a 的关于n 的最小值（即关于n的最小值函数()f n ）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9． （2）80k =（3）()()382n n f n -=+【解析】【分析】（1）由“左右k 型间隔数列”的定义，求数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k 型间隔数列”和“右k 型间隔数列”的定义，由1212n n b b b c c c +++=+++ ，则有1291016a a k a a ++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣，则有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ，化简即可．【小问1详解】数列{}:1,3,5,7,9n a 的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由12101210b b b c c c +++=+++ ，可得239239b b b c c c +++=+++ ，即128341088a a a k a a a k ++++=+++- ，即1291016a a k a a ++=+，即16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯，所以80k =．【小问3详解】当{}2,3,,1i n ∈- 时，由144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣．又因为对任意{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，即当{}2,3,,1i n ∈- 时，i i b a -两两不相等．因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ()382n n -=+．所以n a 的最小值函数()()382n n f n -=+．另外，当数列{a n }的通项()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列{b n }的通项(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。

2014—2015学年下学期高一期中考试物理试题时间：90分钟分值：110分命题教师：学校：曾都一中枣阳一中襄州一中宜城一中第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题（本题共12小题，满分48分。

1—9为单选题，10--12小题为多选题，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有错选或不答的得0分。

）1.以下说法中符合史实的是( )A．哥白尼通过观察行星的运动，提出了日心说，认为行星以椭圆轨道绕太阳运行B．开普勒通过对行星运动规律的研究，总结出了万有引力定律C．卡文迪许利用扭秤装置测出了万有引力常量的数值D．牛顿将斜面实验的结论合理外推，间接证明了自由落体运动是匀变速直线运动2．关于力和运动的关系，下列说法中不正确的是（）A．物体做曲线运动，其速度不一定改变B．物体做曲线运动，其加速度不一定改变C．物体在恒力作用下运动，其速度方向不一定改变D．物体在变力作用下运动，其速度大小不一定改变3．关于平抛运动，下列说法中不正确的是( )A．平抛运动是匀变速运动B．做平抛运动的物体，在任何时间内，速度改变量的方向都是竖直向下的C．平抛运动可以分解为水平的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动D．平抛运动物体的落地速度和在空中运动时间都只与抛出点离地面高度有关4. 质点仅在恒力F的作用下,由O点运动到A点的轨迹如图所示,在A点时速度的方向与x轴平行,则恒力F的方向可能沿（）A．x轴正方向 B．y轴负方向C．y轴正方向 D．x轴负方向5. 某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为( ) A.r21ω2r3 B.r23ω2r21C.r33ω2r22D.r1r2ω2r36.宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A 、B 两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确的是（ ）A ．天体A 、B 的质量一定相等B ．两颗卫星的线速度一定相等C ．天体A 、B 表面的重力加速度一定相等D ．天体A 、B 的密度一定相等7．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )A ．太阳对各小行星的引力相同B ．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C ．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D ．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值8.星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为该星球的第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是212v v。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．（2）【2015年湖北，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） （A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．（3）【2015年湖北，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） （A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用 以及计算能力．（4）【2015年湖北，理4，5分】设211(,)X N μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．（5）【2015年湖北，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ） （A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列，则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠；对命题q ，①当时，成立；②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要 0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a条件．故选A ．（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <（C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >， 当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．（9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B⊕中元素的个数为（ ）（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30 【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．（10）【2015年湖北，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<； 由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题）（11）【2015年湖北，理11，5分】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ． 【答案】9 【解析】因为OA AB ⊥，3OA =，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．（12）【2015年湖北，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2 【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，所以函数()f x 由2个零点．【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．（13）【2015年湖北，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．【答案】1006【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD BC ︒==，所以1006CD =m ． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．（14）【2015年湖北，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为 ；（2）过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ． （写出所有正确结论的序号） 【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方，所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =，22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NBMB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +，M ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2015年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______．【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==． 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．（16）【2015年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB =．【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t 得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即232,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年湖北，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期（1．．．．．．．．．．．（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象． 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ． 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．（18）【2015年湖北，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=， 于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-，故12362nn n T -+=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．（19）【2015年湖北，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．解：解法一：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC PCD ⊥平面． 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点， 所以DE PC ⊥． 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC ． 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥． 又PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥． 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以 PD DG ⊥． 而PD PB P =，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BD DPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=．所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =． 解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥． 又已知EF PB ⊥，而DE EF E =，所以PB DEF ⊥平面． 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑， 四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量． 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+， 解得2λ=． 所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，2DC BC =． 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．（20）【2015年湖北，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时．Z （单位：元）是一个随机变量．（1）求Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1） 目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．（21）【2015年湖北，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探 究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．②当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--． 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年湖北，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（1）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；（2）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式，并给出证明；（3）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ，证明：e n n T S <．解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减． 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞．当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e xx +<． 令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<． ①（2）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②．①当1n =时，左边=右边2=，②成立．②假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kk b b b k a a a =+． 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++．所以当1n k =+时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．（3）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S ． 即e n n T S <．【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。

湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）2015届高三上学期期中考试语文试题湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）2015届高三上学期期中考试语文试题一、语文基础知识（共15分，5小题，每小题3分）1、下列各组词语中，加点字的注音全都正确的一组是（）A．颓圮．（pǐ）彳亍．（chù）偌．大（nuò）休戚．相关（qì）B．搽．粉（chá）尴．尬（gān）付梓．（zǐ）针砭．时弊（biān）C．束．缚（sù）鞭笞．（chī）忖．度（cǔn）数．见不鲜（shù）D．气氛．（fēn）孝悌．（dì）惩．罚（chěng）周公吐哺．（bǔ）2、下列各组词语中，没有错别字的一组是（）A．肄业凋蔽破天荒起承转合急风知劲草B．磐石绮丽万户候丰华正茂可望不可即C．罪孽谛听水龙头舞榭歌台防患于未然D．文谍神彩缔造者砥砺德行快刀斩乱麻3、选出填在下文横线上恰当的一组词语（）不高不矮的围墙挡在两边，的苔痕，墙上挂着一串串的藤萝，简直像古朴的屏风。

墙里常是人家的后园，修竹，天籁细细；春天还常有几枝娇艳的桃花杏花，，从墙头殷勤地红袖，向行人招手。

走过几家墙门，都是紧紧地着着，不见一个人影，那都是人家的后门。

偶然躺着一只狗，但是绝不会对你狺狺地狂吠。

（柯灵《巷》）A、幽幽暗暗幽深亭亭玉立挥舞可是B、斑斑驳驳森森娉娉婷婷摇曳因为C、斑斑驳驳幽深亭亭玉立挥舞可是D、斑斑驳驳森森娉娉婷婷摇曳因为4、下列各项中，没有语病的一项是（）A．蛟龙号深潜实验的成功，尤其是第一艘航空母舰“辽宁号”成功研造展现出我国高精尖技术力量的发展水平是有目共睹的。

B．各地教育部门和学校要迅速掀起学习热潮，认真落实党的十八大和十八届三中全会精神。

C．随着央视“中国成语大会”的热播，激发了大家学习成语的兴趣，不少观众一边观看选手比赛，一边通过手机积极参与节目互动。

湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）2015届高三上学期期中联考语文试题高三2011-11-07 17:08湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）2015届高三上学期期中联考语文试题分值 150分时间： 150分钟主命题学校:：曾都一中一、(15分，每小题3分)1．下列词语中加点的字，读音全都相同的一组是A．滨海嫔妃濒危五彩缤纷B．绚烂殉职徇私瘦骨嶙峋C．拂拭嗜好卜筮恃才傲物D．荆州精华津贴蚕食鲸吞2．下列各组词语中，没有错别字的一组是A．观摩闭门羹首屈一指真人不露像B．屏障拌脚石粗制烂造朽木不可雕C．冒然穷折腾风尘仆仆物以稀为贵D．通牒原生态掉以轻心疾风知劲草3．下列各句中,加点的词语使用不正确的一句是A．一谈起当年在北京昏暗的地下室焦急等戏、整日酗酒的那些蹉跎岁月，今日在影视界已小有名气的哥儿几个都禁不住唏嘘感叹。

B．民营企业的发展总要遇到出生难、融资难、准入市场难等难题，这些难题的根子在思想上。

观念不改变，有好政策，也只能是歪嘴和尚念经——老跑调。

C．我觉得，只有在人们学会了视保持房子与周围的清洁为理所当然之事时，北京成为真正环境怡人的城市才大有希望。

D．某部后勤司务长和连干部沆瀣一气，竟然用发了芽的麦子加工出的白面（实际上是黑面）做馒头给士兵吃。

4．下列句子中，没有语病的一句是A．2011年中国室内设计的高峰会谈，探讨了关于当今世界室内设计，并论述了室内设计在低碳经济中的重要作用以及在推动现代生活方式转变方面的重要意义。

B．诚信教育已成为我国公民道德建设的重要内容，因为不仅诚信关系到国家的整体形象，而且体现了公民的基本道德素质。

C．寒流侵入我国的路径，不是每次都一样的，这要看北极地带和西伯利亚的冷空气哪一部分气压最高，哪一部分气压最低所决定的。

D．刘翔作为形象大使出现在深圳2011 世界大学生夏季运动会“可口可乐”火炬手全国选拔活动启动仪式现场，“飞人”表示如果还有机会参与大运会，自己愿意当一名记者。

湖北襄阳襄州一中等四校2014-2015学年高二上学期期中文科数学试卷（解析版）一、选择题1．已知a 、b 、c 是两两不等的实数，点(P b ，)b c +，点(Q a ，)c a +，则直线PQ 的倾斜角为（ ）A.30B.45C.60D.135【答案】B 【解析】试题分析：直线PQ 的斜率()1PQ c a b c k a b+-+==-，故倾斜角为45︒.考点：直线的倾斜角2．第三赛季甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A.甲、乙两人单场得分的最高分都是9分；B.甲、乙两人单场得分的中位数相同；C.甲运动员的得分更集中，发挥更稳定；D.乙运动员的得分更集中，发挥更稳定. 【答案】D 【解析】试题分析：甲单场得分的最高分都是51分, 乙单场得分的最高分都是50分; 甲单场得分的中位数是27，乙单场得分的中位数是36；从茎叶图观察，乙运动员的得分更集中，发挥更稳定.考点：由茎叶图分析样本特征3．用“除k 取余法”将十进制数259转化为五进制数是（ ） A ．(5)2012 B ．(5)2013 C ．(5)2014 D ．(5)2015 【答案】C 【解析】试题分析：3210259=25+05+15+45⨯⨯⨯⨯ ，故选C.考点：进位制的转化4．已知圆M 的一般方程为22860x y x y +-+=，则下列说法中不正确．．．的是（ ） A.圆M 的圆心为(4,3)- B.圆M 被x 轴截得的弦长为8 C.圆M 的半径为25 D.圆M 被y 轴截得的弦长为6 【答案】C 【解析】试题分析：由22860x y x y +-+=得222(4)(3)5x y -++= ，故圆M 的圆心为（4，-3），半径为5，故选C.考点：圆的标准方程与一般方程的互化5．如图所示是四棱锥的三视图，则该几何的体积等于（ ）A ．16B ．5634+C ．6D ．5617+【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知，原几何体为四棱锥，底面是矩形，高为4，故体积1=264=163V ⋅⋅⋅ .考点：由三视图求几何体的体积6．已知变量x 与y 呈相关关系，且由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，则由该观测数据算得的回归方程可能是（ ）A.ˆ 1.314 1.520yx =-+ B.ˆ 1.314 1.520yx =+ C.ˆ 1.314 1.520yx =-D.ˆ 1.314 1.520yx =-- 【答案】B 【解析】试题分析：由样本数据散点图可知，回归方程中，ˆ0,0ab >> ，故选B. 考点由散点图求线性回归方程7．下列说法中正确的是（ ）A.若事件A 与事件B 是互斥事件，则()()1P A P B +=；B.若事件A 与事件B 满足条件：()()()1P A B P A P B ⋃=+=，则事件A 与事件B 是 对立事件；C.一个人打靶时连续射击两次，则事件 “至少有一次中靶”与事件 “至多有一次中靶”是对立事件；D.把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件. 【答案】D 【解析】试题分析：对于A ，事件A 与事件B 是互斥事件，但不一定是对立事件，故A 不正确；对于B, 若是在同一试验下，由P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，说明事件A 与事件B 一定是对立事件,但若在不同试验下，虽然有P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，但事件A 和B 不一定对立，故B 不正确；对于C, 一个人打靶时连续射击两次，则事件 “至少有一次中靶”与事件 “至多有一次中靶”不是对立事件；对于D, 事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件,故正确.考点：互斥事件与对立事件的关系8．如果直线m 、n 与平面α、β、γ满足：n βγ=⋂，n ∥α，m α⊂和m γ⊥，那么必有（ ） A.α∥β且αγ⊥ B.αγ⊥且m n ⊥ C.m ∥β且m n ⊥ D.αγ⊥且m ∥β 【答案】B 【解析】试题分析：∵,m m αγ⊂⊥αγ∴⊥,n m m n βγγ=⋂⊥∴⊥.考点： 空间直线与平面的位置关系 9．将一个棱长为4cm 的立方体表面涂上红色后，再均匀分割成棱长为1cm 的小正方体．从涂有红色面的小正方体．．．．．．．．．．中随机取出一个小正方体，则这个小正方体表面的红色面积不少于22cm 的概率是（ ） A.47 B.12 C.37 D.17【答案】A 【解析】试题分析：依题意共分成64个小正方体，涂有红色面的小正方体有334-2=56个，3个面涂色的有8个，2个面涂色的有24个，1面涂色的有24个，故符合条件的概率为8244567+=. 考点：概率的计算10．已知二次函数2()(f x x mx n m =++、)n R ∈的两个零点分别在(0,1)与(1,2)内，则22(1)(2)m n ++-的取值范围是（ ）A． B． C ．[2,5] D ．(2,5) 【答案】D【解析】试题分析：由题意得(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩ ，即01+n 0240n m m n >⎧⎪+<⎨⎪++>⎩,画出可行域如图ABC ∆,不包含边界，22(1)(2)m n ++-的几何意义为：可行域内的点到点（-1，2）的距离的平方，故取值范围是(2,5).考点：一元二次方程根的分布及线性规划二、填空题11．已知高一年级有学生450人，高二年级有学生750人，高三年级有学生600人.用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为n 的样本，且每个学生被抽到的概率为0.02，则应从高二年级抽取的学生人数为 . 【答案】15 【解析】试题分析：依据分层抽样方法，每个学生被抽到的概率为0.02，故高二年级抽取的学生人数为7500.0215⨯= . 考点：抽样方法计算12．在空间直角坐标系Oxyz 中，y 轴上有一点M 到已知点(4,3,2)A 和点(2,5,4)B 的距离相等，则点M 的坐标是 . 【答案】(0,4,0)M 【解析】 试题分析：设M 的坐标是（0，y ，0），则，解得4y = ，故M 的坐标是（0，4，0）.考点：空间两点间距离公式13．点（a ，1）在直线240x y -+=的右下方，则a 的取值范围是 . 【答案】(2,)-+∞ 【解析】试题分析：直线240x y -+=的右下方表示的区域为240x y -+>，故240a -+> ，即2a >- .考点：二元一次不等式表示的平面区域14．某学生5天的生活费（单位元）分别为：x ，y ，8，9，6．已知这组数据的平均数为8，方差为2，则||x y -= . 【答案】 3 【解析】 试题分析：依题意得89+6=85x y +++，22222(x 8)(y 8)(88)(98)(68)25-+-+-+-+-= ，解得710x y =⎧⎨=⎩ 或107x y =⎧⎨=⎩，故||3x y -= .考点：样本平均数和方差的计算15．某校1000名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a 即为优秀，如果优秀的人数为175人，则a 的估计值是________．【答案】135 【解析】试题分析：由题意可知：90-100分的频率为0.005×10=0.05，频数为50人 则100-110分的频率为0.018×10=0.18，频数为180人 110-120分的频率为0.03×10=0.3，频数为300人 120-130分的频率为0.022×10=0.22，频数为220人 130-140分的频率为0.015×10=0.15，频数为150人 140-150分的频率为0.010×10=0.05，频数为100人而优秀的人数为175人，140-150分有100人，130-140分有150人，取后75人∴分数不低于135即为优秀. 考点：有关频率分布直方图的计算16．如图所示的算法中，3a e =，3b π=，c e π=，其中π是圆周率， 2.71828e = 是自然对数的底数，则输出的结果是 .【答案】3π【解析】试题分析：由算法框图知，该框图输出的结果为,,a b c 中最大的一个；∵3b π=，c e π=，由幂函数的性质可得b c > ，而3a e =，3b π=∴ln 3,ln ln33a b ππ==>> ，故b a > ，b 最大,故填3π.考点：程序框图及数值比较大小17．已知圆1C ：22(cos )(sin )4x y αα+++=，圆2C ：22(5sin )(5cos )1x y ββ-+-=，,[0,2)αβπ∈，过圆1C 上任意一点M 作圆2C 的一条切线MN ，切点为N ，则||MN 的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：∵圆C 1：（x+cosα）2+（y+sinα）2=4，圆C 2：（x-5sinβ）2+（y-5cosβ）2=1，α，β∈[0，2π），∴圆C 1的圆心在以原点为圆心，1为半径的圆上运动，圆C 2的圆心在以原点为圆心，5为半径的圆上运动，∴圆心关于原点对称的时候|MN|取最大值为|MN| 考点：圆的切线方程；计算能力三、解答题18．（本小题满分12分）已知直线l 经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点． （1）若直线l 平行于直线3240x y -+=，求直线l 的方程； （2）若直线l 垂直于直线4370x y --=，求直线l 的方程． 【答案】（1）3250x y --=；（2）34170x y +-=. 【解析】试题分析：（1）先求两条直线的交点得(3,2)，再由平行直线系方程设l 的方程为320x y m -+=，把(3,2)代入320x y m -+=得5m =-，即可得直线l 的方程为3250x y --=；（2）由垂直直线系方程设直线l 的方程为340x y n ++=，把(3,2)代入340x y n ++=得17n =-，即可得直线l 的方程为34170x y +-=.试题解析：（1）由280210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得32x y =⎧⎨=⎩即直线280x y +-=和210x y -+=的交于点(3,2)，所以直线l 经过点(3,2)， 4分因为直线l 平行于直线3240x y -+=，可设直线l 的方程为320x y m -+=，则有33220m ⨯-⨯+=得5m =-，所以直线l 的方程为3250x y --=． 8分（2）因为直线l 垂直于直线4370x y --=，可设直线l 的方程为340x y n ++=，则有33420n ⨯+⨯+=得17n =-，所以直线l 的方程为34170x y +-=． 12分考点：直线方程的求法19．（本小题满分13分）如图是学校从走读生中随机调查200名走读生早上上学所需时间（单位：分钟）样本的频率分布直方图．（1）学校所有走读生早上上学所需要的平均时间约是多少分钟？（2）根据调查，距离学校500米以内的走读生上学时间不超过10分钟，距离学校1000米以内的走读生上学时间不超过20分钟．那么，距离学校500米以内的走读生和距离学校1000米以上的走读生所占全校走读生的百分率各是多少？ 【答案】（1）11.52; （2） 40﹪, 6﹪． 【解析】 试题分析：（1）本题考查由样本的频率分布直方图求样本数据的平均值，由图代入数据得40.02480.084120.094160.034200.03411.52x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； （2）距离学校500米以内的走读生分布在第一小组和第二小组，概率为0.0240.084⨯+⨯=40%，从而可得各小组人数分别为16,64,72,24,24，故距离学校1000米以上的走读生人数为12，概率为6%. 试题解析：（1）40.02480.084120.094160.034200.03411.52x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 所以，走读生早上上学所需要的平均时间约为11.52分钟． 6分（2）10.0240.0840.4040P =⨯+⨯==﹪，20.03420.066P =⨯÷==﹪， 12分 所以距离学校500米以内的走读生占全校走读生的40﹪，距离学校1000米以上的走读生占全校走读生的6﹪． 13分考点：由频率分布直方图求样本平均数和概率 20．（本小题满分13分）图2中的实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14 .（1）从正方形ABCD 的四条边及两条对角线共6条线段中任取2条线段（每条线段被取到的可能性相等），求其中一条线段长度是另一条线段长度的2倍的概率； （2）求此长方体的体积. 【答案】（1）815；（2）3V =. 【解析】 试题分析：（1）本题属于古典概型中的等可能性事件概率，依题意，用列举法可列出6条线段中任取2条线段的15种结果，而其中一条线段长度是另一条线段长度的2倍，则说明一条线段取自正方形的边，另一线段取自正方形的对角线，可列举出共有8种结果，故概率为815；（2）依题意设长方体的高为h ，则虚线框的面积为(22)(12)h h ++，而长方体的平面展开图的面积即为长方体的表面积为24h +，由几何概型的概率公式知241(22)(12)4h h h +=++，从而3h =，故长方体的体积是3V =.试题解析：（1）记事件M ：从6条线段中任取2条线段，其中一条线段长度是另一条线段长度的2倍.从6条线段中任取2条线段，有15种等可能的取法：AB 和BC ， AB 和AC ，AB 和CD ， AB 和AD ，AB 和BD ，BC 和CD ，BC 和BD ，BC 和AC ，BC 和AD ，CD 和AC ，CD 和AD ， CD 和BD ，AD 和AC ， AD 和BD ，AC 和BD 3分其中事件M 包含8种结果：AB 和AC ，AB 和BD ，BC 和AC ，BC 和BD ，CD 和AC ，CD 和BD ，AD 和AC ， AD 和BD 4分8()15P M =，因此，所求事件的概率为8156分（2）记事件N ：向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内．设长方体的高为h ，则图2中虚线围成的矩形长为22h +，宽为12h +，面积为(22)(12)h h ++ 9分长方体的平面展开图的面积为24h +； 10分 由几何概型的概率公式知241()(22)(12)4h P N h h +==++，得3h =， 12分所以长方体的体积是1133V =⨯⨯=. 13分考点两种概率类型的概率计算21．（本小题满分13分）已知平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABC D 是矩形，2A D A E B E ===， M 、H 分别是DE 、AB 的中点，主（正）视图方向垂直平面ABCD（1）求证：MH ∥平面BCE ；（2）求证：平面ADE ⊥平面BCE ． 【答案】（1）（2）答案见解析. 【解析】试题分析：（1）依题意取CE 的中点N ，连接BN ，MN ，易得MN||CD 且 12MN CD =而BH ∥CD 且BH ＝12CD 故MN ∥BH 且MN ＝BH 得四边形BHMN 为平行四边形，MH ∥BN ，由线面平行的判定定理知MH ∥平面BCE ； （2）取CD 中点F ，连接EH 、EF 、FH ，则几何体的左视图即为Rt EFH ∆，从而可得EH =，由勾股定理可得∆ABE 为Rt ∆，∴A E B E ⊥，又已知平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是矩形易得AD BE ⊥，从而BE ⊥平面ADE ，故可证平面ADE ⊥平面BCE .试题解析：（1）证明：方法一、取CE 的中点N ，连接BN ， 因为CDE ∆中，M 、N 分别是DE 、CE 的中点， 所以MN ∥CD 且MN ＝12CD ； 1分 因为矩形ABCD 中，H 是AB 的中点，BH ∥CD 且BH ＝12CD ； 所以MN ∥BH 且MN ＝BH ，得平行四边形BHMN ，MH ∥BN 2分 因为MH ⊄平面BCE ，BN ⊂平面BCE ，所以MH ∥平面BCE ； 4分 方法二、取AE 的中点P ，连接MP 、HP ，因为ABE ∆中，P 、H 分别是AE 、AB 的中点，所以HP ∥BE ，因为HP ⊄平面BCE ， BE ⊂平面BCE ，所以HP ∥平面BCE ； 1分 同理可证MP ∥平面BCE ； 2分因为MP ⋂HP ＝P ，所以平面MPH ∥平面BCE ； 3分 因为MH ⊂平面MPH ，所以MH ∥平面BCE ； 4分AEB CDM H（2）证明：取CD 中点F ，连接EH 、EF 、FH ，则矩形ABCD 中，FH AB ⊥，2FH AD ==， 5分因为ABE ∆中2AE BE ==，所以EH AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABE ，交线为AB ，所以EH ⊥平面ABCD ，EH FH ⊥， 所以Rt EFH ∆的面积等于几何体E ABCD -左（侧）视图的面积，得11222EH FH EH ⨯=⨯=即EH 8分 所以ABE 中，22222222AH EH BH EH AE DE +=+===，AH BH ==AB =2228AE DE AB +==，AE BE ⊥； 10分因为平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是矩形，所以AD ⊥平面ABE ， 因为BE ⊂平面ABE ，所以AD BE ⊥； 11分因为AD AE A ⋂=，所以BE ⊥平面ADE ； 12分因为BE ⊂平面BCE ，所以平面ADE ⊥平面BCE ． 13分考点：空间直线与平面、平面与平面的位置关系22．（本小题满分14分）已知圆M 经过第一象限，与y 轴相切于点(0,0)O ，且圆M 上的点到x 轴的最大距离为2，过点(0,1)P -作直线l ．（1）求圆M 的标准方程；（2）当直线l 与圆M 相切时，求直线l 的方程；（3）当直线l 与圆M 相交于A 、B 两点，且满足向量PA PB λ=，[2,)λ∈+∞时，求||AB 的取值范围．【答案】（1）22(2)4x y -+=； （2）0x =或3440x y ++=；（3）· 【解析】试题分析：（1）依题意圆M 经过第一象限，且与y 轴相切于点(0,0)O ，故圆M 的圆心在x 的正半轴，而圆M 上的点到x 轴的最大距离为2，∴圆M 的半径为2，∴圆M 的标准方程为22(2)4x y -+=； （2）直线l 过点(0,1)P -，且与圆相切，当l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为10kx y --=，由圆心M 到直线l A E BCD FH2=，从而34k=-，直线l的方程为3440x y++=；（3）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为10kx y--=，联立直线与圆的方程得22(1)(24)10k x k x+-++=，0∆>得34k>-，且122241kx xk++=+，12211x xk⋅=+，由向量PA PBλ=得12x xλ=，消去1x、2x得2222241()(1)11kk kλλ+⋅=+++，从而243118kk+≥+，由弦长公式得||2AB==≥=且||24AB R≤=，故||[,4]2AB∈.试题解析：（1）因为圆M经过第一象限，与y轴相切于点(0,0)O，得知圆M的圆心在x的正半轴上；1分由圆M上的点到x轴的最大距离为2，得知圆M的圆心为(2，0)，半径为2．2分所以圆M的标准方程为22(2)4x y-+=．4分（2）若直线l的斜率存在，设l的斜率为k，则直线l的方程为10kx y--=，因为直线l与圆M相切，所以圆心M到直线l的距离等于半径得2=，解得34k=-，直线l的方程：3440x y++=；若直线l的斜率不存在，由直线l与圆M相切得直线l的方程：0x=6分所以，直线l的方程为0x=或3440x y++=．8分（3）由直线l与圆M相交于A、B两点知，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，点11(,)A x y、22(,)B x y，则直线l的方程为10kx y--=，由22(2)410x ykx y⎧-+=⎨-+=⎩得22(1)(24)10k x k x+-++=，16120k∆=+>即34k>-，122241kx xk++=+，12211x xk⋅=+，由向量1122(,1)(,1)PA PB x y x yλλ=⇒+=+，得12x xλ=，由122241k x x k ++=+，12211x x k ⋅=+，12x x λ=消去1x 、2x 得2222241()(1)11k k k λλ+⋅=+++， 即2243(1)1944212k k λλλλ+++⋅==++≥+，[2,)λ∈+∞，化简得243118k k +≥+． 11分||AB ==≥=且||24AB R ≤=，即|[,4]AB ∈． 13分所以||AB 的取值范围是．14分 考点：直线和圆的位置关系。

湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）2015届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．已知集合}2,1,0{=M ，},2|{M a a x x N ∈==，则集合=⋂N M （ ） A ． }0{ B ．}1,0{ C ．}2,1{ D ．}20{， 答案：D 解析过程：{}0,2,4N =,所以，{}02M N = ，故选D知识点：集合的运算 难度：12．下列有关命题的叙述， ①若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题；②“5x >”是“2450x x -->”的充分不必要条件；③命题:p x R ∃∈，使得210x x +-<，则:p x R ⌝∀∈，使得210x x +-≥；④命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”.其中错误的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B 解析过程：对于①，p q ∨为真命题，所以p ，q 至少有一个为真。

所以，p q ∧不一定为真。

①错误。

对于②，2450(1)(5)015x x x x x x -->⇔+->⇔<->或 所以，5x >是2450x x -->的充分不必要条件。

②正确。

对于③，显然正确。

对于④，12x x ==或的否定为12x x ≠≠且，所以④错误。

故选B知识点：命题及其关系; 简单的逻辑联结词; 全称量词与存在性量词 难度：23．在ABC ∆中，30,34,4===A b a ，则角B 等于( )．A ．30 B ．30或150 C ． 60 D ．60或120 答案：D 解析过程：由正弦定理得，4sin30sin B =，解得sin 2B =，所以60B =或120 故选D知识点：正弦定理 难度：14．已知0,0a b >>且1ab =,则函数xa x f =)(与x x gb log )(-=的图象可能是（ ）答案：B 解析过程：解：因为1,0,0ab b =>>且a ，所以1a b=。

湖北省襄阳市襄州一中等四校2013-2014学年高三上学期期中联考理数学试卷第I 卷（选择题）1．已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N 为（ ）A 、3,1x y ==-B 、{(3,1)}-C 、{3,1}-D 、(3,1)- 【答案】B 【解析】试题分析：由⎩⎨⎧=-=+42y x y x 解得1,3-==y x ，故)}1,3{(-=N M ，选B.考点：1.直线的交点；2.集合的运算2．已知命题:,23xxp x R ∀∈<；命题32:,1q x R x x ∃∈=-，则下列命题中为真命题的是（ ）A 、p q ∧B 、p q ∧⌝C 、p q ⌝∧D 、p q ⌝∧⌝ 【答案】C 【解析】试题分析：由指数函数性质知0<x 时，x x 32>，命题p 为假，由函数3x y =和21x y -=有交点可知命题q 为真，然后由真值表可知选C.考点：1.指数函数的性质；2.函数图像的交点；3.复合命题的真假判断3．在同一坐标系中画出函数x y a log =，x a y =，a x y +=的图象，可能正确的是( )．【答案】D 【解析】试题分析：分10<<a 和1>a 两种情形，易知ABC 均错，选D. 考点：基本初等函数的图像4．函数()x e x f xcos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( )A 、4π B 、0 C 、43π D 、1 【答案】A 【解析】试题分析：由)sin (cos )('x x e x f x-=，则在点()()0,0f 处的切线的斜率1)0('==f k 考点：1.利用导数求切线的斜率；2.直线斜率与倾斜角的关系5．若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ，则sin θ=( )A 、35 B 、45 C 、4 D 、34【答案】D【解析】试题分析：由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=8θ得θθ2sin 2181646312cos -=-=--=，解得43sin =θ，43sin -=θ（舍）.选D. 考点：1.余弦的倍角公式；2.三角函数求值6．对于函数()c bx x a x f ++=sin (其中Z c R b a ∈∈,,)，选取c b a ,,的一组值计算()1f 和()1-f ，所得出的正确结果一定不可能是（ ）A 、4和6B 、2和1C 、2和4D 、1和3【答案】B 【解析】试题分析：由f （1）=asin1+b+c ①，f （-1）=-asin1-b+c ②，①+②得：f （1）+f （-1）=2c∵c ∈Z ，故f （1）+f （-1）是偶数,故选B . 考点：1.方程组的思想；2.整体替换的求值7．奇函数()x f 在()+∞,0上为单调递减函数，且()02=f ，则不等式()()0523≤--xx f x f 的解集为( )A 、(](]2,02,⋃-∞-B 、[][)+∞⋃-,20,2C 、(][)+∞⋃-∞-,22,D 、[)(]2,00,2⋃-【答案】D 【解析】试题分析：∵函数f （x ）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f （2）=0,∴函数f （x ）在（0，2）的函数值为正，在（2，+∞）上的函数值为负.当x ＞0时，不等式等价于3f （﹣x ）﹣2f （x ）≤0,又奇函数f （x ），所以有f（x ）≥0,所以有0＜x≤2.同理当x ＜0时，可解得﹣2≤x＜0.综上，不等式的解集为[﹣2，0）∪（0，2].故选D.考点：1.函数单调性与奇偶性的综合应用; 2.转化的思想方法的运用8．已知函数()x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有())()1(1x f x x xf +=+，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛25f f 的值是( )A 、0B 、12C 、1D 、52【答案】A 【解析】试题分析：因为())()1(1x f x x xf +=+，故xxx f x f +=+1)()1(.令x=1.5,则3)23(5)25(f f ⨯=, 令x=0.5,则)21(3)23(f f ⨯=,令x=-0.5,则)21()21(--=f f , 又已知函数f(x)是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，所以0)21()21(=-=f f ,所以0)25(=f ，又令x=-1,f(0)=0，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛25f f =f(0)=0，选A. 考点：1.奇偶函数的性质应用；2.函数值的求法9．已知函数()()()cos 0,2f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ，方程()f x m =有两个不同的实根34,x x .若这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为（ ） A 、23-B 、23C 、21- D 、21 【答案】A【解析】试题分析：由题意可知：123,22x x ππ==，且x3、x4只能分布在x1、x2的中间或两侧，若x3、x4只能分布在x1、x2的中间，则公差32233d πππ-==，则3457,66x x ππ==，此时可求得5cos62m π==-，若x3、x4只能分布在x1、x2的两侧，则公差322d πππ=-=，则345,22x x ππ=-=，不合舍去，故选A. 考点：1.等差数列；2.分类讨论的思想方法；3.函数的零点；4.三角函数10．设函数()f x 满足2()2()xe xf x xf x x'+=，2(2)8e f =，则当0x >时，()f x（ ）A 、有极大值，无极小值B 、有极小值，无极大值C 、既无极大值，也无极小值D 、既有极大值，又有极小值 【答案】C 【解析】试题分析：由x 2f ′(x)＋2xf(x)＝e xx ，得f ′(x)＝e x－2x 2f x x3，令g(x)＝e x －2x 2f(x)，x ＞0，则g ′(x)＝e x－2x 2f ′(x)－4xf(x)＝e x－2·e xx ＝x －2exx .令g ′(x)＝0，得x＝2.当x ＞2时，g ′(x)＞0；0＜x ＜2时，g ′(x)＜0，∴g(x)在x ＝2时有最小值g(2)＝e 2－8f(2)＝0，从而当x ＞0时，f ′(x)≥0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)无极大值，也无极小值．选C. 考点：用导数处理函数的单调性与极值第II 卷（非选择题）11．已知函数()()⎩⎨⎧<>=)0(,20,log 2x x x x f x ，则()241-+⎪⎭⎫⎝⎛f f 的值等于_______．【答案】47- 【解析】试题分析：()241-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f 47412241log 22-=+-=+=-. 考点：1.分段函数；2.基本初等函数求值12．由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为_______．【答案】316【解析】试题分析：曲线y=，直线y=x-2及y 轴所围成的图形如图所示，故：=.考点：定积分的计算13．在ABC ∆中，三内角C B A ,,满足C B C B A sin sin sin sin sin 222-+<，则角A 的取值范围为 . 【答案】)3,0(π【解析】试题分析：由C B C B A sin sin sin sin sin 222-+<及正弦定理知bc c b a -+<222，故由余弦定理知212cos 222>-+=bc a c b A ，因),0(π∈A 故)3,0(π∈A . 考点：1.正弦定理和余弦定理的应用；2.已知三角函数值求角14．如果对于函数()x f 的定义域内任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有()()21x f x f ≤且存在两个不相等的自变量21,m m ，使得()()21m f m f =，则称()x f 为定义域上的不严格的增函数．已知函数()x g 的定义域、值域分别为A ，B ，{}3,2,1=A ，A B ⊆且()x g 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的函数()x g 共有________个． 【答案】9 【解析】试题分析：由题意，若函数g （x ）是三对一的对应，则有{1，2，3}对应1；{1，2，3}对应2；{1，2，3}对应3三种方式，故此类函数有三种，若函数是二对一的对应，则有{1，2}对1，3对2；；{1，2}对1，3对3，有两种；1对1，{2，3}对2；1对1，{2，3}对3，有两种；1对2，{2，3}对3，有一种；若函数是一对一的对应，则1对1，2对2，3对3，共一种；综上，这样的g （x ）共有3+2+2+1+1=9种. 考点：1.函数单调性的性质；2.分类讨论的思想方法 15．下列五个命题中，正确的命题的序号是_____________. ①函数2tanxy =的图象的对称中心是Z k k ∈),0,(π； ②)(x f 在()b a ,上连续，()()0)()(0,,00<=∈b f a f x f b a x 则且； ③函数)32sin(3π+=x y 的图象可由函数x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位得到； ④)(x f 在R 上的导数)1(2)2(,0)()(),(f f x f x f x x f <<-''则且； ⑤函数)2cos 21ln(x y +=的递减区间是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+4,πππk k ()Z k ∈. 【答案】①④ 【解析】 试题分析：由)(,22Z k k x ∈=π得2tan x y =的图象的对称中心是Z k k ∈),0,(π，①对；当)(x f 在()b a ,上连续但不单调时，②不对；函数)32sin(3π+=x y 的图象可由函数x y 2sin 3=的图象向左平移6π个单位得到，③不对；由④条件知0)()(')')((2<-=xx f x xf x x f ，x x f )(单调递减，故)1(2)2(f f <，④对； ⑤由复合函数的单调性知函数)2cos 21ln(x y +=的递减区间是为x 2cos 的递减区间，且02cos 21>+x ，即：]22,2[],223,234(πππππππk k k k +++()Z k ∈，⑤不对. 考点：1.三角函数的对称中心；2.三角函数的图像变换；3.利用导数处理函数的单调性；4.零点存在性定理；5.复合函数的单调性16．设函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =集合B .（1）求A B ；（2）若{}R m m x m x C ∈+<<-=,121,B C ⊆,求实数m的取值范围.【答案】（1）}32,13|{≤<<≤-x x x 或；（2）].1,(-∞【解析】 试题分析：（1）先由定义域得A 、B 集合，再求集合的交集；（2）由集合与集合之间的包含关系，通过端点大小求出参数范围，此题注意集合C 为空集的考虑.试题解析：（1）依题意，可得}2,1|{}02|{2>-<=>--=x x x x x x A 或，}33|{}0||3|{≤≤-=≥-=x x x x B}32,13|{≤<<≤-=∴x x x B A 或 .当121+≥-m m 即2-≤m 时，∅=C ,满足B C ⊆.当∅≠C 时，要B C ⊆，则需满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+<-31231121m m m m ，由此解得12≤<-m .综上，可知].1,(]1,2(]2,(-∞=---∞∈ m考点：1.函数的定义域；2.集合的运算；3.集合间的包含关系 17．已知函数()sin()2cos()cos 22f x x x x x ππ=⋅--+⋅+.（1）求)(x f 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若4)(=A f ，1=b ，ABC∆的面积为23，求a 的值. 【答案】（1）π； （2）3 【解析】试题分析：（1）由已知条件由三角恒等变换化简得3)62sin(2)(++=πx x f ，可得最小正周期为π.（2）先由4)(=A f 得3π=A ，再由ABC ∆的面积为23得到2=c ，最后可由余弦定理可得3=a .试题解析：（1）2()22cos 2f x x x =++2cos 232sin(2)36x x x π=++=++ 3分.22ππ==∴T 5分（2）由4)(=A f ，43)62sin(2)(=++=∴πA A f ，.21)62sin(=+∴πA又ABC A ∆为 的内角，πππ613626<+<∴A ， ππ6562=+∴A ，.3π=∴A 8分 23=∆ABC S ，1=b ，23sin 21=∴A bc ，2=∴c 10分 ∴32121241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=A b c b a ，.3=∴a 12分 考点：1.三角恒等变换；2.正、余弦定理的应用；3.解三角形()2()1x xa f x a a a -=--0,1a a >≠ ()x f()x f y =()1,1-()()0112<-+-m f m f m(),2x ∈-∞()4f x -a【答案】（1）)(x f 是在R 上的奇函数，且在R 上单调递增.（2）)2,1(.（3）]32,1()1,32[+-【解析】试题分析：（1）先由解析式分析定义域为R ，再根据奇偶函数的定义由)()(x f x f -=-可知是奇函数；（2）函数()x f y =的定义域为()1,1-,结合（1）的奇偶性和单调性，可得关于m 的不等式组，从而求出)2,1(∈m .（3）由)(x f 在)2,(-∞上单调递增，分析要4)(-x f 恒负，只要04)2(≤-f ，即0414)(12222≤-+=----a a a a a a ，从而求出a 的取值范围.试题解析：（1）)(x f 是在R 上的奇函数，且在R 上单调递增.由)(x f 的奇偶性可得)1()1(2-<-m f m f ，由)(x f 的定义域及单调性可得11112<-<-<-m m ，解不等式组可得21<<m ，即)2,1(∈m .由于)(x f 在)2,(-∞上单调递增，要4)(-x f 恒负，只要04)2(≤-f ，即414)(12222≤-+=----a a a a a a ，又>a 且1≠a ，可得]32,1()1,32[+-∈ a .考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性19．设函数()()8613223+++-=ax x a x x f ，其中a R ∈.（1)若()f x 在3=x 处取得极值，求常数a 的值； （2）设集合(){}0<'=x f x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>--=034x x x B ，若B A ⋂元素中有唯一的整数，求a 的取值范围.【答案】（1)3=a ； （2）)0,1[-]5,2( 【解析】试题分析：（1）由()f x 在3=x 处取得极值，可得0)13)(3(6)3('=--=a f 从而解得a ，此问注意结合极值定义检验所求a 值是否为极值点；（2）分1>a ，1<a ，和1=a 三种情况得出集合A ，然后由B A ⋂元素中有唯一的整数，分析端点，从而求出a 的取值范围.试题解析：（1）)1)((66)1(66)('2--=++-=x a x a x a x x f ，又()f x 在3=x 处取得极值，故0)13)(3(6)3('=--=a f ，解得3=a .经检验知当3=a 时，3=x 为)(x f 的极值点，故3=a . （2）),4()3,(+∞-∞= B ,当1>a 时，),1(a A =，则该整数为2，结合数轴可知]5,2(∈a ， 当1<a 时，)1,(a A =，则该整数为0，结合数轴可知)0,1[-∈a 当1=a 时，∅=A ,不合条件. 综上述，)0,1[-∈a ]5,2( .考点：1.利用导数处理函数的极值；2.集合元素的分析20．如图，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数)2,0,0)(sin(πφωφω<>>+=A x A y ，[]8,4∈x 时的图象，图象的最高点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛338,5B ，OC DF ⊥，垂足为F .(1)求函数)sin(φω+=x A y 的解析式；(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE ，问：点P 落在曲线OD 上何处时，水上乐园的面积最大？ 【答案】（1）)36sin(338ππ-=x y ；（2）点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛334,34时S 最大. 【解析】试题分析：（1）利用图像分析得出ω,A ，代入点后求出φ，从而得出解析式；（2）先构建函数模型t t S ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=442，[]4,0∈t ，然后利用函数的导数求出最值和点P 的位置.试题解析：(1)对于函数)sin(φω+=x A y ，由图象知：()658422,338πππω=-===T A .将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛338,5B 代入到)sin(φω+=x A y 中， 得)(2265Z k k ∈+=+ππφπ，又2πφ<，所以3πφ-=. 4分故)36sin(338ππ-=x y 5分 （2）在)36sin(338ππ-=x y 中，令4=x ，得()4,4D ， 所以曲线OD 所在抛物线的方程为x y 42= 7分设点()40,42≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t t P ， 则矩形PMFE 的面积为t t S ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=442，[]4,0∈t ．因为4342t S -='，由0='S ，得334=t 9分且当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈334,0t 时，0>'S ，则S 单调递增， 当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈4,334t 时，0<'S ，则S 单调递减 11分所以当334=t 时，S 最大，此时点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛334,34 13分 （若没考虑t 的范围，则扣2分）考点：1.利用图像求函数)sin(φω+=x A y 的解析式；2.函数模型的应用 21．设函数222ln 10()x x +-=*(1)当()2ln 1h x x x =+-时，求函数0x >的最大值；(2)令()h x （()0h x =）其图象上任意一点(1)0h =处切线的斜率21x =≤12m += 恒成立，求实数12m =的取值范围； (3)当2()2ln 2g x x m x mx =--，2222().x mx m g x x --'=，方程()0g x '=有唯一实数解，求正数m 的值．【答案】),21[+∞∈【解析】试题分析：（1）利用导数分析函数的单调性，然后由单调性确定函数的最值；（2）先由导函数求出点P 处的切线斜率，然后由恒成立条件，转化为求k 的最大值，从而求出实数a 的取值范围；（3）构建函数模型，利用函数的增减性，分析出方程有唯一解，即函数有唯一零点的情况，从而得出正数m 的值.试题解析：（1）依题意，知f （x ）的定义域为（0，+∞）， 当，，令0)('=x f ， 解得x=1，（∵x ＞0）， 当10<<x 时，0)('>x f ，此时f （x ）单调递增，当x ＞1时，0)('<x f ，此时f （x ）单调递减，（2），则有上恒成立， 所以，当取得最大值),21[+∞∈a . （3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则，令， 因为，当上单调递减；当上单调递增；当，则，所以，因为m＞0，所以，（*）设函数，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解，考点：1.利用导数求函数的最值；2.用化归与转化思想处理恒成立问题；3.利用函数模型处理方程的实根分布。

2015年高考理数真题试卷（湖北卷）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.(2015·湖北）为虚数单位，的共轭复数为（）A. B. - C. 1 D. -12.（2015·湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石3.(2015·湖北）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A. B. C. D.4.(2015湖北）设，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A. B.C. 对任意正数，D. 对任意正数,5.(2015·湖北）设. 若p：成等比数列；q：，则（）A. p是q的充分条件，但不是q的必要条件B. p是q的必要条件，但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6.（2015·湖北）.已知符号函数是R上的增函数，,则（）A. B.C. D.7.(2015·湖北）在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（）A. B. C. D.8.(2015·湖北）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）A. 对任意的，B. 当时，；当时，C. 对任意的，D. 当时，；当时，9.(2015·湖北）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）A. 77B. 49C. 45D. 3010.(2015·湖北）设整数. 若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数n的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（2015·湖北）已知向量AB，，则________ .12.（2015·湖北）函数的零点个数为 ________ ．13.（2015·湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30∘的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75∘的方向上，仰角为30∘，则此山的高度CD=________ m.14.（2015·湖北）（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则ABAC=________ .15.(2015·湖北）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线的极坐标方程为，曲线C的参数方程为 ( t为参数) ，与C相交于两点，则________ .三.解答题16.（2015·湖北）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值.17.(2015·湖北）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)当时，记，求数列的前项和．18.(2015·湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P-ABCD中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接(1)证明：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；(2)若面与面所成二面角的大小为，求的值．19.(2015·湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为（Ⅰ）求Z的分布列和均值；该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．20.(2015·湖北）一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB 内作往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C的方程；(2)设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．21.(2015·湖北）已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数．(1)求函数的单调区间，并比较与的大小；(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；(3)令，数列，的前项和分别记为,, 证明：.答案解析部分一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

湖北省襄阳市四校〔襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中〕2015届高三数学上学期期中试题 文一．选择题〔本大题共有10个小题，每一小题5分，共50分〕1．集合{}2,101，，-=A ，B {}1x ≥x ，如此A B ⋂=( )A. {2}B. {1,2}C. {1,2}-D. {1,1,2}- 2．如下说法正确的答案是( )A ．命题“假设,12=x 如此1=x 〞的否命题为：“假设12=x ，如此1≠x 〞；B ．命题“假设x y =，如此sin sin x y =〞的逆否命题为真命题．C ．命题“a 、b 都是有理数〞的否认是“a 、b 都不是有理数〞；D ．“1-=x 〞是“0652=--x x 〞的必要不充分条件；3．a 是函数12()2log x f x x=-的零点，假设0＜x0＜a ，如此0()f x 的值满足( )A.0()f x ＜0B.0()f x =0 C.0()f x ＞0 D.0()f x 的符号不确定4．假设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足4)(22=-+c b a ,且C =60°,如此ab的值为( )A ．348-B ．1C ．34D ．325．设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且c b c a //,⊥，如此=( ) A ．5 B. 10 C. 25 D.106．将函数)26cos(x y -=π的图像向右平移12π个单位后所得的图像的一个对称轴是( )A ．6π=x B ．4π=x C ．3π=x D ．12x π=7．函数y=的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．8．假设函数tan ,0,()2(1)1,0x x f x a x x π⎧-<<⎪=⎨⎪-+≥⎩在π(,)2-+∞上单调递增，如此实数a 的取值范围是( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,)+∞D. (0,)+∞9．定义在R 上的函数)(x f 满足①)()2(x f x f =-②.(2)(2)f x f x +=-③[]3,1,21∈x x 时，0)()(2121<--x x x f x f ，如此)2016(),2015(),2014(f f f 大小关系为( )A.)2016()2015()2014(f f f >>B.)2015()2014()2016(f f f >>C.)2015()2014()2016(f f f >=D.)2016()2015()2014(f f f =>10．函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，)(')(x xf x f +0<成立，假设)2(ln )2(ln ),2()2(1.01.0f b f a ⋅=⋅=，cb a fc ,,),81(log )81(log 22则⋅=的大小关系是( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>二、填空题(本大题共7小题，每一小题5分，共35分．将答案填在答题卡相应的位置上)11．函数()()⎩⎨⎧<>=)0(,20,log 2x x x x f x ，如此()241-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f 的值等于_______.12．tan 3,θ=如此2sin 22cos θθ-=_____________. 13．函数()x e x f xcos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为_____________.14．在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且sin sin cos A B C =⋅，如此B =__________.假设6A π=,如此ac = .15．21,e e 是夹角为60°的两个单位向量，假设21e e a +=，2124e e b +-=，如此a 与b 的夹角为_____________. 16．函数()f x 的定义域为[]15,-，局部对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如下列图. 如下关于()f x 的命题：x1-0 4 5 ()f x1221①函数()f x 的极大值点为0，4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数()y f x a=-有4个零点。

上海（四校联考）2024学年高三数学第一学期期中考试试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合{}265<0A x x x =-+，{}0,1,2B =，则A B ⋂=___________．【答案】：{}22．已知向量(1,2)a =- ，(3,2)b = ，则b 在a方向上的数量投影为_____________．【答案】：52.53．曲线xy e =在点(01)，处的切线方程为_______．【答案】：1y x =+4．某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为__________．【答案】：1205．二项式6(3x 的展开式中，常数项为_______．【答案】：18-6．关于x 的方程100910152024x x x +++-=的解集为__________．【答案】：{}07．已知>0x ，>0y ，4x y xy +=，则x y +的最小值为________．【答案】：98．《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺.”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为________平方尺．【答案】：41π9．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为2x xe e shx --=，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移12个单位，再向上平移2个单位，得到函数()y f x =的图象，并且数列{}n a 满足条件(2025n na f =，则数列{}n a 的前2024项和2024S =________________．【答案】：202310.已知椭圆Γ：22143x y +=，点1F 和2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则12PF F △内切圆半径的最大值为__________．【答案】：404811.在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，若2222024a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+________．【答案】：3312．若关于x 的方程2(ln )20x x e a x x a -⋅-+-=在(0,1]上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是________．【答案】：311(,]3e e二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13．设z C ∈，则1z R z+∈是1z =的（）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】：B14．在ABC △中，10BC =，M 为BC 中点，4AM =，则AB AC ⋅= （）．A .9-B .16-C .9D .16【答案】：14. A15．已知定义在R 上的函数()y f x =，其导数为()f x '，记()()g x f x '=，且()()4f x f x x --=，()(2)0g x g x +-=，则下列说法中正确的个数为（）．（1）(0)1g =；（2）()f x y x=的图象关于(0,2)对称；（3）()(2)0f x f x +-=；（4）21()nk g k n n==-∑．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】：B16．已知正项数列{}n a 满足1112ln n n n a a a ++=-，下列说法正确的是（）．A ．当10<<1a 时，数列{}n a 单调递减B ．当1>1a 时，数列{}n a 单调递增C ．当10<<1a 时，存在正整数0n ，当0n n ≥时，01<2n n a D ．当1>1a 时，存在正整数0n ，当0n n ≥时，0<2n n a 【答案】：D三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.【解析】：（1）成绩在区间[80,100]的比例为：(0.0100.005)100.150.35+⨯=<；（2分）成绩在区间[70,100]的比例为：0.150.04100.550.35+⨯=>，因此65%分位数位于区间[70,80)；（4分）因此入围分数为：0.40.27010750.4-+⨯=，因此入围分数应设为75分；（6分）（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此0,1,2X =，(0)P X =2426C C =25=（8分）1124268(1)15C C P X C ⋅===（10分）(2)P X =2226C C=115=，则X 的概率分布为：01228151515⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（12分）所以X 的数学期望为812[]1215153E X =⨯+⨯=.（14分）18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()y f x =是定义在(1,1)-上的奇函数，并且当0x >时，()cos sin(223x x f x π=⋅+2cos 2x（1）求函数()y f x =的表达式；（2）求关于x 的不等式21(log 1)()(0)2f x f x f ++-<的解集.【解析】：（1）当01x <<时，()fx 1sin()234x π=-+；（2分）当0x =时，()0f x =；当10x -<<时，0x ->，()()f x f x -=-=1sin(234x π+-；（4分）因此1sin(1234()0, 0133sin()1 0234x x f x x x x ππ⎧-+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+--⎪⎩<<<<；（6分）（2）当(0,1)x ∈时，13336x ππππ---<<<，因此有()y f x =在(0,1)上严格增；（8分）而当0x =时1333sin()02342x π-+=>，因此有()y f x =在(1,1)-上严格增；原不等式可化为：21(log 1)()2f x f x +-<；（10分）而()y f x =是定义在(1,1)-上的严格增函数，所以221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-+⎪⎪--⎨⎪⎪+-⎪⎩<<<<<；（12分）因此不等式的解集为11(,42.（14分）19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱锥P ABC -中AC BC ⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC AC ===，4BC =，E ,F 分别是PC ，PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l.（1）求证：直线EF ⊥平面PAC ；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在AC 的同侧），且直线PQ 与直线EF 所成的角为4π，求平面PBQ 与平面AEF 所成的锐二面角的余弦值.【解析】：（1）证明：BC AC ⊥ ，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =BC ∴⊥平面PAC ；（2分）又E 、F 分别为PB 、PC 的中点，//BC EF ∴；（4分）EF ∴⊥平面PAC ；（6分）（2）BC AC ⊥ ，∴以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过C 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,4,0)B，P，1(,0,)22E，1(,2,22F ，而//EF BC ，BC 不在平面AEF 上，EF ⊂平面AEF ，//BC ∴平面AEF ，//l BC ∴，设Q 点坐标为(2,,0)(0)y y ≥，(1,PQ y = ，(0,2,0)EF = ，cos ,PQ EF ∴=2=，即2y =，则Q 点坐标为(2,2,0)；（8分）设平面PBQ 的法向量000(,,)n x y z = ，即0n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取01x =，可得n = ；（10分）设平面AEF 法向量为111(,,)m x y z = ，则0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，取11x =，可得m = ；（12分）cos ,5m n ∴== ，即平面PBQ 与平面AEF所成的锐二面角的余弦值为5.（14分）20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知点G 是圆22:(1)16T x y ++=上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为(1,0)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线OM 、ON 的斜率分别为1k 和2k 且1234k k =-，则MON △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长OP 至Q ，使3OQ OP =，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E于A 、B 两点，求AQB △面积的最大值.【解析】：（1）RH RG =，则42RT RH RT RG GT TH +=+===>，则曲线C 是以(1,0)-和(1,0)为焦点，4为长轴的椭圆；（2分）设椭圆方程为22221x y a b +=，则2,1a c ==，2223b a c =-=，曲线C ：22143x y +=；（4分）（2）设(2cos )M ϕϕ，(2cos )N θθ，则123sin 3sin 2cos 2cos k k ϕθϕθ==⋅34-，即cos()0θϕ-=；（7分）12cos 2cos )2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△为定值；（10分）（3）设点(,)Q x y ，则点(,33x y P ，代入椭圆方程得到曲线E ：2213627x y +=；当直线l 的斜率不存在时：设:([2,2])l x n n =∈-，代入E 中有223274y n =-，则2AQB AOB S S ==≤△△（12分）当直线l 斜率存在时：设:l y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，代入E 的方程：222(43)841080k x mkx m +++-=，则122843km x x k -+=+，2122410843m x x k -=+；（14分）122AQB AOBS S m x x ==-==△△；（16分）而l 与椭圆C 有公共点，代入得：222(43)84120k x kmx m +++-=，由0∆≥有2243k m +≥，记2243m t k =+，则AQB S =≤△，综上，AQB △面积的最大值为.（18分）21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()y f x =的表达式为()(2ln )()f x x ax x a R =-∈.（1）当1a =时，求()y f x =的单调增区间；（2）若当1x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：5740472ln1012233420232024+++⨯⨯⨯ >.【解析】：（1）1a =时，2()(2ln )2ln f x x x x x x x =-=-，则()2(ln 1)f x x x '=--（2分）令()ln 1g x x x =--，则1()1g x x'=-，则()g x 在(0,1)上严格减，(1,)+∞上严格增，则()(1)0g x g ≥=，即()f x 在(0,)+∞上严格增，因此函数()y f x =的增区间为(0,)+∞；（4分）（2）()22(1ln )2(ln 1)f x ax x ax x '=-+=--，记()ln 1h x ax x =--，则1()h x a x'=-，若1a ≥，则1a1≤，即1x >时()0h x >，()f x ∴在(1,)+∞上严格增，()(1)1f x f a >=>，满足要求；（6分）若(0,1)a ∈，则11a >，1(1,x a ∈时()0h x <，则1()(1,f x a 在上严格减，故当1(1,x a ∈时，()(1)1f x f a <=<，不满足要求；（8分）若(,0]a ∈-∞，则()0h x <，()f x 在(1,)+∞上严格减，则()(1)1f x f a <=<，不满足要求；综上，a 的取值范围是[1,)+∞.（10分）（3）由（2）可知1a =时2()2ln 1f x x x x =->，则12ln (1)x x x x <->，取21n x n +=+，则221232ln112(1)(2)n n n n n n n n n ++++<-=+++++，即2322ln (1)(2)1n n n n n ++>+++；（14分）20222022112323420242ln 2ln()2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++∴>=⨯⨯⨯=+++∑∑ ，即572334+⨯⨯40472ln101220232024++⨯ >.。

2024—2025学年上学期期中考试高三数学试题（答案在最后）时间：120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}2340A x x x =--<，{}1,B x x x =>∈Z ，则A B = （）A.{}1,2,3- B.{}2,3 C.{}3,2-- D.{}3,2,0--2.若1z i =+则3iz z +=（）A. B. C. D.3.已知x ，y 是任意实数，则:4p x y +≥是:1q x ≥且3y ≥的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设a ，b 均为非零向量，且()a ab ⊥- ，2b a =，则a 与b 的夹角为（）A.3π B.4π C.6π D.23π5.若35log 2a =，0.115b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.125c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）.A.c a b<< B.a b c << C.a c b<< D.c b a<<6.已知等比数列{}n a 的前3项和为28，0n a >且5256a a -=，则6a =（）A.28B.56C.64D.1287.已知02πβα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ⋅=，则sin sin αβ=（）A.15 B.25C.12D.28.英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设r 是()0f x =的根，选取0x 作为r 的初始近似值，过点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线()()()000:l y f x f x x x '-=-，则l 与x 轴的交点的横坐标10x x =-()()()()0000f x f x f x '≠'，称1x 是r 的第一次近似值；过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，称2x 是r 的第二次近似值；重复以上过程，得r 的近似值序列，其中()()()()10n n n n n f x x x f x f x +'=-≠'，称1n x +是r 的1n +次近似值，这种求方程()0f x =近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程23x =的近似解，则下列正确的是（）A.若取初始近似值为1，则过点()()1,1f 作曲线()y f x =的切线23y x =-B.若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为75C.()()()()()()01230012f x f x f x x x f x f x f x =-+-'''D.()()()()()()()()01210012n n n f x f x f x f x x x f x f x f x f x +=-----'''' 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，10a >，670a a +>，670a a ⋅<，下列结论正确的是（）A.60a <，70a > B.0d < C.130S < D.当7n =时，n S 最大10.已知实数a ，b 满足()lg lg lg 4a b a b +=+，则下列结论正确的是（）A.a b +的最小值为9B.1ab 的最大值为14+D.lg lg a b +的最小值为4lg 211.函数()12xf x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像过原点，且无限接近直线2y =但又不与该直线相交，则下列结论正确的是（）A.2a =B.()()21f f ->C.若120x x <<，则()()1212122x x f f x f x +⎛⎫⎡⎤>+ ⎪⎣⎦⎝⎭D.方程()()2102fx f x -=有3个实数根三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()y f x =，x ∈R ，且()03f =，()()0.520f f =，()()120.5f f =，…，()()()0.520.51f n f n =-，*n ∈N 则()3f =______.13.如图，函数()()()0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知点A ，D 为()f x 的零点，点B ，C 为()f x 的极值点，212AB DC AB ⋅=-，则ϕ=______.14.若1n a n =-，*n ∈N ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2250n nS S +的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()21cos sin 2f x x x x =+-.（1）求()f x 的单调减区间；（2）将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.若对任意1x ，2,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12g x g x a -≤求实数a 的最小值.16.（15分）已知函数()323f x ax bx x =+-在点()()1,1f --处的切线方程为2y =（1）求函数()f x 的解析式；（2）若2m ≠-，且过点()1,m 可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.17.（15分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2A C b C c +=（1）求角B 的大小；（2）设D 是边AC 上一点，BD 为角平分线且3AD DC =，求cos A 的值.18.（17分）已知函数()()212ln 2f x x ax x a =-+-∈R .（1）若3a =，求()f x 极值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，求证：()()12293ln 2f x f x +>-.19.（17分）把满足任意x ，y ∈R 总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=的函数称为“类余弦型”函数.（1）已知()f x 为“类余弦型”函数()0f x >，()1728f =，求()1f 的值；（2）在（1）的条件下，定义数列：()()()*21n a f n f n n =+-∈N ，求10012222log log log 333a a a ++⋅⋅⋅+的值；（3）若()g x 为“类余弦型”函数，且()00g >，对任意非零实数t ，总有()1g t >.设有理数1x ，2x 满足21x x >，判断()2g x 与()1g x 的大小关系，并给出证明.2024—2025学年上学期期中考试高三数学答案一、选择题1234567891011BCBACDBDBCACDBCD二.填空题12.192；13.56πϕ=；14.2333三.解答题15.【解】（1）()211cos sin sin 2cos 2sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭.……3分由()3222262k x k k πππππ+≤-≤+∈Z 解得()536k x k k ππππ+≤≤+∈Z ，所以，函数()f x 的单调递减区间为()5,36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎣⎦Z ，……6分（2）将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，可得到函数sin 2sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()sin 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，……9分当,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7366x πππ≤+≤，则1sin 126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则()112g x -≤≤，11分对任意的1X 、2,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12g x g x a -≤，则()()max min 1a g x g x ≥-=-1322⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故实数a 的最小值为32.……13分16解：由题意得（1）()()()212323,10f f x ax bx f ⎧-=⎪'=+-⎨'-=⎪⎩……3分故()3321332300a b a f x x x a b b -++==⎧⎧⇒⇒=-⎨⎨--==⎩⎩……6分（2）过点()1,A m 向曲线()y f x =作切线，设切点为()00,x y ，则30003y x x =-，()20033k f x x '==-，则切线方程为()()()320000333y x x x x x --=--，……8分将()1,A m 代入上式，整理得32002330x x m -++=.过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，∴方程322330x x m -++=有三个不同实数根.……9分记()32233g x x x m =-++，()()26661g x x x x x '=-=-，……11分令()0g x '=，得0x =或1，则x ，()g x '，()g x 的变化情况如下表：x (),0-∞0()0,11()1,+∞()g x '+0-0+()g x 极大极小当0x =，()g x 有极大值3m +；1x =，()g x 有极小值2m +，……13分由题意有，当且仅当()()00,10,g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩即30,20,m m +>⎧⎨+<⎩解得32m -<<-时函数()g x 有三个不同零点.此时过点A可作曲线()y f x =的三条不同切线.故m 的取值范围是()3,2--.……15分17.解：（1）因为sin sin 2A Cb Cc +=，在ABC △中，A C B π+=-，所以sin sincos 22B Bb Cc c π-==……2分在ABC △中，由正弦定理得：sin sin sin cos 2B BC C =又0C π<<，sin 0C ≠，所以sin cos 2B B =，即2sin cos cos 222B B B=，……4分又0B π<<，所以022B π<<，所以cos 02B≠，所以1sin 22B =，因为022B π<<，所以26B π=，即3B π=.……6分（2）因为3AD DA =，BD 是角平分线，即sin sin ABD CBD ∠=∠，因为11sin 22311sin 22ABDCBDAD h AB BD ABDS AB S CB CD h CB BD CBD ⋅⋅∠====⋅⋅∠△△，所以3c a =，……分由正弦定理可知sin sin Ca cA =，所以32sin sin 3a aA A π=⎛⎫- ⎪⎝⎭，……11分所以1cos sin 3sin 22A A A +=，整理可得5cos sin 22A A =，……13分即3sin 5A A =，又因为22sin cos 1A A +=，且cos 0A >，即223cos cos 125A A +=，解得cos 14A =……15分18.（1）当3a =时，()2132ln 2f x x x x =-+-()22323x x f x x x x-+-'=-+-=当12x <<，()0f x '>，()f x 在()1,2单调递增，01x <<或2x >，()0f x '<，()f x 在()0,1，()2,+∞单调递减……2'()f x ∴的极大值为()242ln 2f =-……3'()f x 的极小值为()512f =……4'（2）由()()212ln 02f x x ax x x =-+->，得()222x ax f x x a x x -+'=-+-=-.……5分令()22g x x ax =-+，则()()g x f x x'=-，0x >，当280a ∆=-≤，即a -≤≤时，()0g x ≥恒成立，则()0f x '≤，所以()f x 在()0,+∞上是减函数.……6分分当280a ∆=->，即a <-或a >（i）当a <-时，()0g x >恒成立，从而()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上是减函数.……8分（ii）当a >时，函数()g x 有两个零点：182a x -=，282a x +=，（ii ）列表如下：x ()10,x 1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()f x '-0+0-()f x 减函数极小值增函数极大值减函数综上，当a ≤时，()f x 的减区间是()0,+∞，无增区间；当a >()f x的增区间是,22a a ⎛+ ⎪⎝⎭，减区间是0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和,2a ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭.…10分（3）由（1）知，当a >()f x 有两个极值点1x ，2x ，12x x <，则1x，2x 是方程()0g x =的两个根，从而2112ax x =+，2222ax x =+，由韦达定理，得122x x =，12x x a +=.所以120x x <<<，……10分()()221211122211222ln 2ln 22f x f x x ax x ax x ⎛⎫⎛⎫+=-+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111222124ln 2ln 2x ax x x ax x =-+--+-()()22221112221224ln 22ln 2x x x x x x =-++--++-2242212122222214116ln 6ln 622x x x x x x x =+-⋅+=+-+.……12分令()222t x t =>，()4116ln 62h t t t t=+-+，2t >，……13分则()()()224241122t t h t t t t +-'=-++=，……15分当2t >时，()0h t '>，则()h t 在()2,+∞上是增函数，从而()()293ln 2h t h >=-，故()()12293ln 2f x f x +>-……17分19.（1）令0x y ==则，()()()20020f f f+=，又()0f x >，故()01f =……2分令1x =，1y =，则()()()()20211f f f f +=，则()225116f=，()10f >故()514f =……4分（2）令x n =，1y =，n +∈N ，则()()()()()511212f n f n f n f f n ++-==，()()()()21221f n f n f n f n ⎡⎤+-=--⎣⎦，即12n n a a -=，……6分又13a =，所以数列n a 为以2为公比，3为首项的等比数列，即13.2n n a -=，……7分则10012222099log log log 0129910049503332a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⨯=；…9分（3）由题意得：函数()g x 定义域为R ，定义域关于原点对称，令x y 0==，有()()()2g 0g 02g 0+=，又()g 00>，故()g 01=.令x 0=，y 为任意实数，则()()()()20g y g y g g y +-=，即()()g y g y =-，故()g x 是偶函数，…10分因为()()()()2g x y g x y g x g y ++-=，又因为当0x ≠时，()1g x >，所以当0x ≠时，有()()()22g x g y g y >，所以()()()2g x y g x y g y ++->，…12分2x ，1x 为有理数，不妨设111p x q =，222p x q =，令N 为2x ，1x ，分母的最小公倍数，且1a x N =，2bx N=，a ，b 均为自然数，且a b <，设n n C g N ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()101g g N ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，则01c c <，……14分令n x N =，1y N =，则112n n n g g g N N N +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即112n n n C C C +-+>，()1112n n n n n n n C C C C C C C +-->-=+->，故数列{}n C 单调递增，……16分则()()21g x g x >，又()g x 是偶函数，所以有()()21g x g x >.……17分。