数学作业2 弧度制

弧度制定义和公式(一)弧度制定义和公式在数学中，弧度制是一种衡量角度大小的单位体系。

与角度制不同，弧度制使用角所对应的弧长作为度量标准，更加直观和精确。

本文将介绍弧度制的定义和常用公式，并通过举例进行说明。

弧度制定义在弧度制中，一个角的度量是其所对应的弧长与半径的比值。

一周的弧长正好是圆的周长，因此一周的角度被定义为360度或2π弧度。

根据这个定义，我们可以得到以下公式：•一周的弧长: 2πr•一周的角度: 360°=2π弧度角度和弧度的转换为了方便计算，我们需要将角度和弧度进行转换。

有以下两个常用的公式用于转换：1.角度转弧度：弧度 = 角度× π1802.弧度转角度：角度 = 弧度× 180π弧度制的应用弧度制在解决几何问题和求解三角函数值时非常有用。

下面是一些常见的应用公式和对应的解释：弧长公式弧长可以通过以下公式计算：•弧长 = 弧度× 半径例如，如果一个角的度数是60度，半径为5厘米，那么对应的弧长可以计算为：•弧长= 60° × π180× 5厘米 = π3× 5厘米≈ 厘米弧度和正弦函数的关系正弦函数可以表示为角度和弧度的函数。

根据三角函数定义，我们可以得到以下公式：•sin(θ)=sin(弧度)例如，如果一个角的度数是30度，那么对应的弧度可以计算为：•弧度= 30° × π180≈ 弧度因此，sin(30°)=sin()。

弧度和余弦函数的关系余弦函数也可以表示为角度和弧度的函数。

根据三角函数定义，我们可以得到以下公式：•cos(θ)=cos(弧度)例如，一个角的度数是45度，那么对应的弧度可以计算为：•弧度= 45° × π≈ 弧度180因此，cos(45°)=cos()。

总结本文介绍了弧度制的定义和常用公式，包括角度和弧度的转换公式，以及弧长和三角函数的关系公式。

弧度制习题1．已知6πα=，则下列各角中与角α终边相同的是（ ）A ．56π B ．56π-C ．136π-D ．256π2．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π-C ．23π D ．23π-3．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．2或44．已知扇形的半径为R ，面积为22R ，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．C ．2D ．45．下列各命题中，假命题的是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12π C ．根据弧度的定义，180一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关6．把下列弧度化成角度：（1）12π；（2）43π-；（3）310π. 7．把下列角度化成弧度：（1）2230︒'；（2）210︒-；（3）1200︒.8．填表（弧度数用含π的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边.9．已知扇形AOB 的圆心角为23π,AB =（1）求扇形AOB 的弧长;（2）求图中阴影部分的面积. 10．已知角2010α︒=.（1）把α改写成()2,02k k πββπ⋅+∈≤<Z 的形式，并指出它是第几象限角； （2）求θ，使θ与α终边相同，且360720θ︒︒-≤<. 11． 写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．12．将下列各角写成2k π＋α(0≤α<2π)的形式，并指出角的终边所在的象限. (1)π； (2)1580°； (3)－π.参考答案1．D2．B3．C4．D5．D6．(1)18015 1212πππ︒︒⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭.(2)41804240 33πππ︒︒⎛⎫⎛⎫-=⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(3)3180354 1010πππ︒︒⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7．(1)45 223018028ππ︒'=⨯=.(2)7 2102101806ππ︒-=-⨯=-.(3)20 120012001803ππ︒=⨯=.8．如表，如图：对应的角的终边分别为图中的射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，OG ，OH ，OI. 9．（1）43π；（2）433π- 解:（1）如图,作⊥OD AB 于D ,则132AD AB ==. 因为扇形AOB 的圆心角为23π, 所以3AOD π∠=,则2OA =,故扇形AOB 的弧长24233ππ⨯=.（2）由（1）可得,扇形AOB 的半径为2r ,弧长为43l π=,则扇形AOB 的面积为24233ππ⨯=AOB ∆的面积为123132⨯=故图中阴影部分的面积为433π-10．（1）易知20105360210︒︒︒=⨯+，72106π︒=，故7526παπ=⨯+. 其中72106πβ︒==，是第三象限角，α是第三象限角.（2）根据题意及第（1）题的结果，得()360360210720k k ︒︒︒︒-≤⋅+<∈Z ，解得570510360360k -≤<，又k ∈Z ，1k ∴=-，0，1； 将1k =-，0，1依次代入360210k ︒︒⋅+，得角θ的值为150︒-，210︒，570︒. 11．先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得 (1){α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }； (2){α|150°＋k ·360°≤α≤390°＋k ·360°，k ∈Z }．点睛：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合：{}{}|2,|360,S k k Z k k Z ββαπββα==+∈==+⨯∈.即任何一个与角α的终边相同的角都可以表示为角α与周角的整数倍的和. 12．(1)π＝，为第三象限角；(2)1580°＝1440°+＝，为第二象限角；(3) －π＝－4π＋，为第一象限角.。

弧度制的定义和公式弧度制是一种角度的度量方式，它是通过弧长与半径之比来表示的。

在数学和物理学中，使用弧度制来度量角度可以更加准确和方便。

本文将介绍弧度制的定义和公式，并探讨其在数学和物理学中的应用。

一、弧度制的定义在弧度制中，一个完整的圆周对应的角度为360度，而对应的弧度为2π。

根据这个关系，可以得到弧度制的定义：一个角度的弧度数等于这个角度所对应的弧长与半径之比。

具体来说，假设一个角度θ所对应的弧长为s，半径为r，那么弧度制中这个角度θ所对应的弧度数可以表示为θ = s/r。

这个比值通常用希腊字母π来表示，即θ = πs/r。

二、弧度制的公式在弧度制中，角度和弧度之间的转换可以通过一个简单的公式来实现。

假设一个角度α所对应的弧度数为θ，那么可以用以下公式来计算：θ = α × π/180其中，π/180是将角度转换为弧度的比例因子。

这个公式可以用来将角度转换为弧度，也可以将弧度转换为角度。

三、弧度制的应用弧度制在数学和物理学中有广泛的应用。

首先，在三角学中，弧度制可以用来描述三角函数的周期性。

例如，正弦函数和余弦函数的周期均为2π弧度，而不是360度。

在微积分中，弧度制是计算圆的面积和弧长的重要工具。

通过使用弧度制，可以简化对圆的相关计算，使得结果更加准确和方便。

在物理学中，弧度制被广泛应用于描述角速度和角加速度。

角速度是一个物体单位时间内绕某个轴旋转的角度，通常用弧度制表示。

角加速度则是角速度的变化率，也常用弧度制表示。

总结：弧度制是一种通过弧长与半径之比来度量角度的方式。

它的定义和公式简单明了，可以准确地描述角度和弧度之间的关系。

弧度制在数学和物理学中有广泛的应用，可以用来描述三角函数的周期性、计算圆的面积和弧长，以及描述角速度和角加速度等。

掌握弧度制的概念和应用，可以帮助我们更好地理解和解决与角度相关的问题。

课时分层作业(二) 弧度制和弧度制与角度制的换算(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．－25π6的角是( ) A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角 D [因为－25π6＝－π6－4π， 所以－25π6与－π6的终边一样，为第四象限的角．] 2．假设2 rad 的圆心角所对的弧长为4 cm ，那么这个圆心角所对的扇形面积是( )A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．2π cm 2 A [r ＝l |α|＝42＝2(cm)，S ＝12lr ＝12×4×2＝4(cm 2)．] 3．与30°角终边一样的角的集合是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝2k π＋π6，k ∈Z D [∵30°＝30×π180 rad ＝π6rad ， ∴与30°终边一样的所有角可表示为α＝2k π＋π6，k ∈Z ，应选D.]4．扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，那么扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 C [设扇形的半径为r ，弧长为l ，那么由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.]5．假设一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数为( )A ．π3B ．2π3C ． 3D ．2C [设圆的半径为r ，那么圆内接正三角形边长为3r ，所以圆心角的弧度数为3r r ＝3.]二、填空题6．把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π))的形式是________．－4π＋56π [－570°＝－⎝⎛⎭⎪⎫570×π180rad ＝－196π rad， ∴－196π＝－4π＋56π.] 7．一扇形的周长为π3＋4，半径r ＝2，那么扇形的圆心角为________． π6 [设扇形的圆心角为α，那么π3＋4＝2r ＋2α. 又∵r ＝2，∴α＝π6.] 8．经过点P (a ，a )(a ≠0)的角α的集合是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k π＋π4，k ∈Z [当a >0，点P (a ，a )在第一象限， 此时α＝2k π＋π4，k ∈Z ； a <0，点P (a ，a )在第三象限，此时α＝2k π＋54π，k ∈Z ， 故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k π＋π4，k ∈Z .] 三、解答题9．角α的终边与－253π的终边关于x 轴对称，求角α3在(－π，π)内的值． [解] ∵253π与－253π的终边关于x 轴对称，且253π＝8π＋π3， ∴α与π3的终边一样．∴α＝2k π＋π3(k ∈Z )，α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )． ∵－π<α3<π，∴－π<2k π3＋π9<π. 当k ＝－1时，α3＝－5π9∈(－π，π)； 当k ＝0时，α3＝π9∈(－π，π)； 当k ＝1时，α3＝7π9∈(－π，π)． ∴在(－π，π)内α3的值有三个，它们分别是－5π9，π9和7π9. 10．一个扇形的周长是40，(1)假设扇形的面积为100，求扇形的圆心角；(2)求扇形面积S 的最大值．[解] (1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，那么由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝40，12lr ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝20，r ＝10，那么α＝l r＝2(rad)．故扇形的圆心角为2 rad.(2)由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ，故S ＝12lr ＝12(40－2r )·r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100，故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.[等级过关练]1．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，那么该弧所对的圆心角是原来的( )A.12倍 B ．2倍 C.13倍 D ．3倍D [设圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角的弧度数为l r ，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，那么弧度数变为32l 12r ＝3·l r ，即弧度数变为原来的3倍．] 2．假设α是第三象限的角，那么π－α2是( ) A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角B [因为α为第三象限的角，所以有2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ， k π＋π2<α2<k π＋34π，k ∈Z ， －k π－34π<－α2<－k π－π2，k ∈Z ， 故－k π＋π4<π－α2<－k π＋π2，k ∈Z . 当k 为偶数时，π－α2在第一象限； 当k 为奇数时，π－α2在第三象限，应选B.] 3．(1)把67°30′化成弧度＝________.(2)把35π 化成度＝________. (1)38π (2)108° [(1)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝38π. (2)35π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π5×180π° ＝108°.] 4．一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________．π－2 2(π－2) [由题意知r ＝2，l ＋2r ＝πr ，∴l ＝(π－2)r ， ∴圆心角α＝l r ＝(π－2)r r＝π－2(rad)， 扇形面积S ＝12lr ＝12×(π－2)·r ·r ＝2(π－2)．]5．半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .[解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，∴α＝∠AOB ＝60°＝π3. (2)由(1)可知α＝π3，r ＝10， ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3， ∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3， 而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032， ∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.。

1.1.2 弧度制 课时目标 1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．2．角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度360°＝________rad 2πrad ＝________180°＝______rad πrad ＝________1°＝______rad ≈ 0.01745rad1rad ＝______≈57°18′ 3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α (0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制 α为弧度制扇形的弧长 l ＝________ l ＝______扇形的面积 S ＝________ S ＝______＝______一、选择题1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( ) A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2B ．sin2C.2sin1D ．2sin1 3．扇形周长为6cm ，面积为2cm 2，则其中心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A.π4B ．－π4C.34πD ．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9二、填空题7．将－1485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______. 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________.三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1500°；(2)236π；(3)－4.12．已知一扇形的周长为40cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1rad (3)|α|＝l r终边的旋转方向 正数 负数 0 2．2π 360° π 180° π180 ⎝⎛⎭⎫180π° 3.απR 180 αR απR 2360 12αR 2 12lR 作业设计1．A2．C [r ＝1sin1，∴l ＝|α|r ＝2sin1.] 3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋αr ＝612αr 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1.] 4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．] 5．D [∵－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π，∴θ＝－34π.] 6．B [设扇形内切圆半径为r ， 则r ＋r sin π6＝r ＋2r ＝a .∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2. S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2. ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.]7．－10π＋74π解析 ∵－1485°＝－5×360°＋315°，∴－1485°可以表示为－10π＋74π. 8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25. 9.73π或103π 解析 －76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π. 10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π， π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π. 11．解 (1)－1500°＝－1800°＋300°＝－10π＋5π3， ∴－1500°与53π终边相同，是第四象限角． (2)236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100. ∴当半径r ＝10cm 时，扇形的面积最大，最大值为100cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2rad. 13．4 2解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r . ∴圆弧所对圆心角|θ|＝42r r＝4 2. 14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算课时作业 新人教B 版必修4一、选择题1．已知α＝－2，则角α的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] ∵1 rad ＝(180π)°，∴α＝－2 rad ＝－(360π)°≈－114.6°，故角α的终边所在的象限是第三象限角．2．与－13π3终边相同的角的集合是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫5π3 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋5π3，k ∈Z[答案] D[解析] 与－13π3终边相同的角α＝2k π－13π3，k ∈Z ，∴α＝(2k －6)π＋6π－13π3＝(2k －6)π＋5π3，(k ∈Z )．3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其圆心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1或2 C ．2或4 D ．1或5[答案] A[解析] 设扇形的半径为r ，圆心角为α， 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rα＝612αr 2＝2，解得α＝1或4.4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．{α|0≤α≤π|C ．{α|－4≤α≤4|D ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π} [答案] D[解析] k ≤－2或k ≥1时A ∩B ＝∅；k ＝－1时A ∩B ＝[－4，－π]；k ＝0时，A ∩B ＝[0，π]；故A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．故选D ．5．一条弧所对的圆心角是2 rad ，它所对的弦长为2，则这条弧的长是( ) A ．1sin1 B ．1sin2 C ．2sin1 D ．2sin2[答案] C[解析] 所在圆的半径为r ＝1sin1，弧长为2×1sin1＝2sin1. 6．如图中，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是( )A ．175π36B ．125π18C ．75π18D ．34π9[答案] A[解析] 40°＝40×π180＝2π9，30°＝30×π180＝π6，∴S ＝12r 2·2π9＋12r 2·π6＝175π36.二、填空题7．已知一扇形的周长为π3＋4，半径r ＝2，则扇形的圆心角为________．[答案]π6[解析] 设扇形的圆心角为α，则π3＋4＝2r ＋2α，又∵r ＝2，∴α＝π6.8．正n 边形的一个内角的弧度数等于__________． [答案]n －2nπ [解析] ∵正n 边形的内角和为(n －2)π， ∴一个内角的弧度数是n －2πn. 三、解答题9．如果角α与x ＋π4终边相同，角β与x －π4终边相同，试求α－β的表达式．[解析] 由题意知α＝2n π＋x ＋π4(n ∈Z )，β＝2m π＋x －π4(m ∈Z )，∴α－β＝2(n －m )π＋π2，即α－β＝2k π＋π2(k ∈Z )．10．设集合A ＝{α|α＝32k π，k ∈Z }，B ＝{β|β＝53k π，|k |≤10，k ∈Z }，求与A ∩B的角终边相同的角的集合．[解析] 设α0∈A ∩B ，则α0∈A 且α0∈B ， 所以α0＝32k 1π，α0＝53k 2π，所以32k 1π＝53k 2π，即k 1＝109k 2.因为|k 2|≤10，k 2∈Z ，且k 1∈Z ，所以k 1＝0，±10.因此A ∩B ＝{0，－15π，15π}，故与A ∩B 的角的终边相同的角的集合为{γ|γ＝2k π或γ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }＝{γ|γ＝n π，n ∈Z }．一、选择题1．扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 ____弧度．( ) A ．π B ．π2C ．π3D ．π4[答案] C[解析] ∵圆心角所对的弦长等于半径，∴该圆心角所在的三角形为正三角形， ∴圆心角是π3弧度．2．在直角坐标系中，若角α与角β终边关于原点对称，则必有( ) A ．α＝－βB ．α＝－2k π±β(k ∈Z )C ．α＝π＋βD ．α＝2k π＋π＋β(k ∈Z ) [答案] D[解析] 将α旋转π的奇数倍得β.3．在半径为3 cm 的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为( ) A ．π3 cmB ．π cmC ．3π2 cmD ．2π3cm[答案] B[解析] 由弧长公式得，l ＝|α|R ＝π3×3＝π(cm)．4．下列各对角中终边相同的角是( ) A ．π2和－π2＋2k π(k ∈Z )B ．－π3和22π3C ．－7π9和11π9D ．20π3和122π9[答案] C [解析]11π9＝2π－7π9，故－7π9与11π9终边相同． 二、填空题5．把－11π4写成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是________．[答案] －3π4[解析] －11π4＝－3π4－2π＝5π4－4π，∴使|θ|最小的θ的值是－3π4.6．若两个角的差是1°，它们的和是1 rad ，则这两个角的弧度数分别是__________．[答案] 180＋π360、180－π360[解析] 设两角为α、β则⎩⎪⎨⎪⎧α－β＝π180α＋β＝1，∴α＝180＋π360、β＝180－π360.三、解答题7．x 正半轴上一点A 绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2 min 到达第三象限，经过14 min 回到原来的位置，那么θ是多少弧度？[解析] 因为0<θ≤π，所以0<2θ≤2π. 又因为2θ在第三象限，所以π<2θ<3π2.因为14θ＝2k π，k ∈Z ，所以2θ＝2k π7，k ∈Z .当k 分别取4、5时，2θ分别为8π7、10π7，它们都在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2内．因此θ＝4π7 rad 或θ＝5π7rad.8．已知扇形面积为25 cm 2，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取最小值？ [解析] 设扇形的半径是R ，弧长是l ，扇形的周长为y ，则y ＝l ＋2R . 由题意，得12lR ＝25，则l ＝50R ，故y ＝50R＋2R (R >0)．利用函数单调性的定义，可以证明当0<R ≤5时，函数y ＝50R＋2R 是减函数；当R >5时，函数y ＝50R＋2R 是增函数．所以当R ＝5时，y 取最小值20，此时l ＝10，α＝l R＝2， 即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取最小值．。

厦门外国语学校高一下学期校本作业（2）班级: 姓名: 座号__________弧度制一、选择题1、若α是第四象限角，则απ-是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角 2、若α＝－3，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3. 求值：1333-tan sincosπππ··等于（ ）A.14B. 34C. 12D. 324、下列各组角中，终边相同的角是（ ）A ．π2k 与)(2Z k k ∈+ππB ．)(3k3Z k k ∈±πππ与C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈D ．)(66Z k k k ∈±+ππππ与5．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则 （ ）A ．B ．C ．D ．6、集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k A ,6παα与⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z n n B ,63ππββ的关系是（ ） A 、B A ⊂ B 、B A ⊃ C 、B A = D 、B A ⊆7．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin 8．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ）A ．2°B ．2C ．4°D ．49．一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( )2222)1cos 1sin D.(1 21.1cos 1sin 21B. )1cos 1sin 2(21A R R C R R -- 10．下列命题中正确的命题是( )A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比是1∶2B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值D.任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系)(22Z k k ∈+=+ππβα)(2Z k k ∈+=+ππβα)(2Z k k ∈+=+ππβα)(Z k k ∈+=+ππβα二、填空题：11、7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 12．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 .13．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 .14、在半径为2米的圆中，1200的圆心角所对的弧长为__________________ 15、一个扇形OAB 的面积是1，它的周长为4，求中心角的弧度数为______ 三、解答题： 16、求值：2cos 4tan6cos6tan3tan3sinππππππ-+17、已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝， 求A ∩B .18、单位圆上两个动点M 、N ，同时从P （1，0）点出发，沿圆周运动，M 点按逆时针方向旋转6π弧度/秒，N 点按顺时针转3π弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度.19、圆周上点A （1，0）依逆时针方向作匀速圆周运动，已知A 点1分钟转过)(0πθθ<<角，2分钟第一次到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ ．20、已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R 。

课题：§1.1任意角、弧度（二）作业 总第____课时班级_______________姓名_______________一．填空题：1．将下列弧度转化为角度： （1）－87π= ° ′；（2）613π= °； 2．将下列角度转化为弧度：（1）36°= （rad ）；（2）－105°= （rad ）；（3）37°30′= （rad ）； 3．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ． 4．在[]π2,0上，与π611-终边相同的角是___________. 5．下列四个命题：①圆心角的弧度越大,它所对的弧长就越大；②1rad<1；③公式r l α=中的α必须用弧度制表示；④弧度数只有正，没有负. 其中正确的命题序号是__________6．若角α为第四象限角，则角απ-所在的象限是_______________；若2-=α,则α的终边在第_______象限.7．已知扇形的半径为10cm ，圆心角为60o ，则扇形的弧长为 . 8．用弧度制表示终边在直线x y =上的角的集合________________________.9．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 . 10．用弧度制表示下列角的集合（1）终边落在y 轴非正半轴上的角的集合___________________________________； （2）终边落在二、四象限的角平分线上的角的集合____________________________； （3）终边落在第四象限上的角的集合___________________________________. 二、解答题：11．把下列各角化为),20(2Z k k ∈<≤+παπα的形式，并指出他们是第几象限角。

（1）623π；(2)01500-；(3)718π-；（4）672°.12．蒸汽机飞轮的直径为1.2m ，以300 r/min (转/分）的速度作逆时针旋转， 求（1）飞轮1s 内转过的弧度数； （2）轮周上一点1s 内所转过的路程。

5．1.2弧度制1．了解弧度制．2．能进行角度与弧度的互化．3．能利用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式进行求解．1．角的单位制(1)角度制规定1度的角等于周角的1360，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝lr.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.2．角度与弧度的换算3．扇形的弧长公式及面积公式温馨提示：(1)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．(2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①l＝|α|·r，|α|＝lr，r＝l|α|；②S＝12|α|r2，|α|＝2Sr2.1．在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？[答案]不相等．这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同2．扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？[答案] 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一个曲边三角形，弧是底，半径是底上的高3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度＝1°.( )(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．( )(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．( ) (4)与45°终边相同的角可以写成α＝2k π＋45°，k ∈Z .( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×题型一 角度与弧度的互化【典例1】 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[思路导引] 角度与弧度的互化关键抓住1°＝π180 rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. [解] (1)20°＝20π180＝π9. (2)－15°＝－15π180＝－π12. (3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.角度制与弧度制互化的原则牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．[针对训练]1．－630°化为弧度为________． [解析] －630°＝－630×π180＝－72π. [答案] －72π2．α＝－3 rad ，它是第________象限角．[解析] 根据角度制与弧度制的换算，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°，则α＝－3rad ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫540π°≈－171.9°.分析可得，α是第三象限角．[答案] 三题型二 用弧度制表示终边相同的角 【典例2】 已知角α＝2010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． [思路导引] 利用终边相同的角的集合表示． [解] (1)2010°＝2010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6， 又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角可以写成 γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ<0，∴当k ＝－3时，γ＝－296π； 当k ＝－2时，γ＝－176π； 当k ＝－1时，γ＝－56π.用弧度制表示终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，这里α应为弧度数．[针对训练] 3．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.[解] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π， ∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z ，又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，。