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例3.1.3 二维随机变量(X,Y)的联合概率分布为:
X Y 0 0.05 0.1 a 1 0.1 0.2 0.2 2 求:(1)常数a的取值; 0.1 0.1 0.05 (2)P(X≥0,Y≤1); (3) P(X≤1,Y≤1)
结 合 下 页 概 率 分 布 图
0
e dy 2e
y y
2 x
1 dx 3
O
G
x
作业：
P100: T1, T3, T5
2 x
0
0
Ae -(2 x y ) dx dy
A e
dx
0
A e dy 2
-y
所以 A 2 。
（2） F ( x, y)
x
y
f ( x, y)dx dy
x y2e ( 2 x y ) dxdy, x 0, y 0 0 0 0 , 其它
（2） 0 F ( x, y ) 1 ，而且
F (, y) F ( x,) F (,) 0, F (,) 1 。
（3） F ( x , y ) 分别关于 x 和 y 右连续，即
F ( x, y ) F ( x 0, y ) F ( x, y 0 ) 。
+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75
二维联合概率分布区域图:
X Y -1
0
1
2
0.05
0.1 a
0.1
0.2 0.2
0.1
0.1 0.05
Y
0 1
2
1
P(X≤1,Y≤1} P{X≥0,Y≤1}
-1
0
1
X
4、二维连续型随机变量
（1） 定义： 若存在非负可积函数 f ( x , y ) ， 使对任意的 x, y ， 二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数都可表示为：
F ( x, y) =
y
x
f (u, v )dudv ，
则称 ( X , Y ) 是连续型的，而 f ( x , y ) 称为 ( X , Y ) 的概率密度， 或称为 X 与 Y 的联合概率密度。
（2）性质:
(1) f(x,y)≥0 ，(x,y)∈R2
或
y1
X
x1
x2
3、二维离散型随机向量
（1）定义：如果二维随机向量（X,Y）的全部取值(数对）为有限 个或至多可列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。
易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与 Y
分别都是一维离散型的。
（2）联合概率分布及其性质
称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,...,)为(X,Y)的概率分布, 其中
1 (6 2 x ) 3 0
2
2x+3y=6
dx
6 e ( 2 x 3 y )dy 0 1 3 (6 2 x ) 1 3 y 2 x 6 e ( e ) 3 dx 0 3 0
0
3
X
2 (e
0
3
2 x
e )dx 1 7 e
6
6
例 3.1.5 设二维随机变量的概率密度
( x i , y j )D
p
ij
例3.1.1.将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上的 次数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布. 解:X的所有可能取值为0,1,2,3,4, Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,
因为X+Y=4, 所以, (X,Y) 概率非零的数值对为:
P(X=0,Y=4)= 0.54=1/16
Y 的联合分布函数。
二维联合分布函数区域演示图: Y
y
(x , y)
{ X≤x ,
Y≤y }
x
X
2、分布函数 F ( x , y ) 的基本性质：
（1） F ( x , y ) 分别是 x 与 y 的单调不减函数，即 当 x1 x 2 时, F ( x1 , y ) F ( x2 , y ) ； 当 y1 y 2 时, F ( x , y1 ) F ( x , y2 ) 。
1 P(X=1,Y=3)= C 4 0.5 0.5 3 =1/4
2 P(X=2,Y=2)= C 4 0.5 2 0.5 2 =6/16 3 P(X=3,Y=1)=C 4 0.5 3 0.5 1 =1/4
联合概率分布表为: Y 0 1 X 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 1/4 3 1/16 0 4 2 3 4
E={(xi,yj),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合, 表格形式如下:
X x1 x2 … xi …
Y
y1
y2
… yj …
联合概率分布性质:
p11 p21 … pi1 …
p12 p22 … pi2 …
… … … … …
p1j p2j … p ij …
… ① p ≥0 ;i,j=1,2,… ij … … ②∑∑pij = 1; … … ③P{(X,Y)∈D } =
pij = P { X= i,Y= j } = P{Y= j | X= i }P{ X= i }
1 1 1 = i 4 4i (1 j i 4)
其表格形式为
表 3.1.2
Y X
1 2 3 4
1
1/ 4 1/ 8 1 / 12 1 / 16
2 0 1/ 8 1 / 12 1 / 16
（4）当 x1 x2 , y1 y2 时，有
0 P { x 1 X x 2 ; y1 Y y 2 } F ( x 2 , y 2 ) F ( x 2 , y1 ) F ( x 1 , y 2 ) F ( x 1 , y1 )
Y
y2
(x2,y2)
（x1,y1）
( 2 x 3 y )
{x<2, y<1} 0
2
X
6 e
0
2
2 x
dx e 3 y dy
0
1
1 2 x 2 1 3 y 1 4 3 6 ( e ) ( e ) (1 e )( 1 e ) 2 0 3 0
(3)
P{X x, Y y}
x
P(X=4,Y=0)= 0.54=1/16
0 0 1/16 0 1/4 0 6/16 0 0 0 0 0 0 0 0
二维离散型随机变量联合概率分布确定方法:
1.找出随机变量X和Y的所有取值结果,得到(X,Y)的所
有取值数对;
2.利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率;
3.列出联合概率分布表.
Ae
2 x 3 y
e
dxdy A e
0
dx e 3 y dy
0
所以, A=6
(2) P{(X, Y) D}
f(x, y)dxdy
D
{x 2,y 1}
Y
1
所以, P{ X<2, Y<1} f(x, y)dxdy Nhomakorabeady
dx 6 e
0 0
2
1
Ae ( 2 x y ) , x 0, y 0; f ( x, y) 其它. 0,
试求 （1） 常数 A 的值； 分布函数 F ( x, y) ； （2） （3）P{Y X } 。
1
解 （1）由于
0
f ( x, y)dx dy
以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。
§3.1 二维随机变量
1、联合分布函数：
定义： 设 ( X, Y ) 是二维随机变量，二元实函数
F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P{ X x , Y y}
称为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数，或称为随机变量 X 与
f ( x , y )dxdy 1
(3) P{( X,Y ) D} f(x,y)dxdy
（4）在 f ( x,y ) 的连续点处，有
D
2 F ( x, y) f ( x, y) ， xy
注意:
满足上述性质(1)(2)的二元函数为某随机向量 的联合 概率密度.
Ae ( 2 x 3 y ) , x 0 , y 0 例3.1.4.若(X,Y)～ f ( x , y ) 0, 其它 试求:(1) 常数 A ; (2)P{ X<2, Y<1};
Y
y
y
f ( s, t ) dtds
所以, 当x≥0,y≥0时,
0
x
X
0
x
y
0
6e ( 2 s 3 t ) dtds
y 3t 0
6 e
0
x
2 s
ds e
1 2 s x 1 3 t y (1 e 2 x )(1 e 3 y ) dt 6 ( e ) ( e ) 2 0 3 0
-1
0 1
解:(1)由∑pij=1得: a=0.1; (2)由P{(X,Y)∈D } =
( x i , y j )D
p
ij
,得 P(X≥0,Y≤1)=
P(X=0,Y=0)+
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2 =0.6 (3)P(X≤1,Y≤1) =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)
