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—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————24.2 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系一、选择题1．在⊙O 中含有圆心角的是( )图K －5－12．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1∶2∶3，则这三个扇形中圆心角度数最大的是( )A ．30° B．60° C．120° D．180°3．如图K －5－2，在⊙O 中，C 是弧AB 的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为( )图K －5－2A ．40° B．45° C．50° D．60°4．如图K －5－3，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠A 的度数为( )图K －5－3A ．50° B．55° C．60° D．65°5．如图K －5－4，AB ︵是半圆，O 为AB 的中点，C ，D 两点在AB ︵上，且AD ∥OC ，连接BC ，BD ，OD .若∠COD ＝62°，则AD ︵的度数为( )图K －5－4A ．56° B．58° C ．60° D．62°6．如图K －5－5，在△ABC 中，∠A ＝70°，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC 的度数为( )图K －5－5A ．140° B．135° C．130° D．125°7．如图K －5－6，已知AB 和CD 是⊙O 中相等的两条弦，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M ，N ，BA ，DC 的延长线交于点P ，连接OP .下列四个说法中：①AB ︵＝CD ︵；②OM ＝ON ；③PA ＝PC ；④∠BPO ＝∠DPO ，正确的个数是( )图K －5－6A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题8．如图K －5－7，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，如果OE ＝OF ，那么____________(只需写出一个正确的结论).链接听课例2归纳总结图K －5－79．如图K －5－8，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________°.图K －5－810．如图K －5－9，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 长为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为________．图K －5－911．2017·黄山部分地区月考如图K －5－10，⊙O 的半径是8，AB 是⊙O 的直径，M 为AB 上一动点，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，则CM ＋DM 的最小值为________．图K －5－10三、解答题12．如图K －5－11，AB ，CE 是⊙O 的直径，∠COD ＝60°，且AD ︵＝BC ︵. (1)请你写出与∠AOE 相等的圆心角；(2)连接AE ，AD ，DC ，BE ，写出其中与线段AE 相等的弦.链接听课例1归纳总结图K －5－1113．如图K －5－12，在⊙O 中，C ，D 是直径AB 上的两点，且AC ＝BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，点M ，N 在⊙O 上．求证：AM ︵＝BN ︵.链接听课例1归纳总结图K －5－1214．2017·牡丹江如图K －5－13，在⊙O 中，AC ︵＝CB ︵，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E . 求证：AD ＝BE .图K －5－1315．如图K －5－14，⊙O 中两条不平行弦AB 和CD 的中点分别为M ，N ，且AB ＝CD . 求证：∠AMN ＝∠CNM .图K －5－1416．如图K －5－15，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点．连接AB . (1)求证：AB 平分∠OAC ；(2)延长OA 至点P 使得OA ＝AP ，连接PC ，若⊙O 的半径R ＝1，求PC 的长．图K －5－15如图K －5－16，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是AB 上的两点，MC ⊥AB 交⊙O 于点M ，N ，PD ⊥AB 交⊙O 于点P ，Q .(1)求证：PM ＝QN ；(2)若AC ＝BD ，求证：AM ︵＝BP ︵；(3)若AM＝MP＝PB，求证：C是OA的中点．图K－5－16详解详析[课堂达标] 1．[答案] D 2．[答案] D 3．[答案] A4．[解析] C 连接OC ，OD.∵BC ＝CD ＝DA ，∴∠AOD ＝∠COD ＝∠BOC ＝60°.又∵OA ＝OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴∠A ＝60°.5．[解析] A ∵AD ∥OC ，∴∠ADO ＝∠COD ＝62°，可得∠AOD ＝56°，∴AD ︵的度数为56°.6．[解析] D 如图，过点O 作OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，OP ⊥BC ，垂足分别为M ，N ，P. ∵∠A ＝70°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ＝110°. ∵⊙O 在△ABC 三边上截得的弦长相等， ∴OM ＝ON ＝OP ，∴O 是∠ABC ，∠ACB 平分线的交点，∴∠BOC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB)＝180°－12×110°＝125°.7．[解析] D ∵AB ＝CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴AB ︵＝CD ︵，OM ＝ON ，∴PO 是∠BPD 的平分线，∴∠BPO ＝∠DPO ；易证△POM ≌△PON ，∴PM ＝PN ，∴PM －AM ＝PN －CN ，即PA ＝PC.综上所述，说法①②③④都正确．故选D.8．[答案] 答案不唯一，如AB ＝CD 9．[答案] 40[解析] ∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC.∵∠B ＝70°，∴∠C ＝∠B ＝70°，∴∠A ＝180°－2×70°＝40°. 10．[答案] 50°[解析] 连接CD ，∵∠A ＝25°，∠C ＝90°， ∴∠B ＝65°. ∵CB ＝CD ，∴∠B ＝∠CDB ＝65°，∴BD ︵的度数为50°. 11．[答案] 16[解析] 以AB 为对称轴作点C 的对称点C′，连接C′D，则CM ＋DM 的最小值为线段C′D 的长．又∵AC ︵＝CD ︵＝AC′︵＝60°，∴∠C′OD＝180°，即C′D 是直径， ∴CM ＋DM 的最小值为16.12．解：(1)∵AD ︵＝BC ︵，∴∠AOD ＝∠BOC. ∵∠COD ＋∠AOD ＋∠BOC ＝180°，∠COD ＝60°， ∴∠AOD ＝∠BOC ＝60°. 又∵∠AOE ＝∠BOC ，∴与∠AOE 相等的圆心角有∠AOD ，∠COD ，∠BOC. (2)∵与∠AOE 相等的圆心角有∠AOD ，∠COD ， ∴与线段AE 相等的弦有AD ，CD. 13．证明：如图，连接OM ，ON.∵AB 是⊙O 的直径，C ，D 是直径AB 上的两点，且AC ＝BD ， ∴OC ＝OD.在Rt △OMC 和Rt △OND 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OD ，OM ＝ON ，∴Rt △OMC ≌Rt △OND ， ∴∠COM ＝∠DON ，∴AM ︵＝BN ︵. 14．证明：如图，连接OC ，∵AC ︵＝CB ︵，∵CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ， ∴∠CDO ＝∠CEO ＝90°. 在△COD 和△COE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DOC ＝∠EOC ，∠CDO ＝∠CEO ，CO ＝CO ，∴△COD ≌△COE(AAS)， ∴OD ＝OE.又∵AO ＝BO ，∴AD ＝BE.15．证明：连接OM ，ON ，如图．∵M ，N 分别为AB ，CD 的中点， ∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴∠AMO ＝∠CNO ＝90°. ∵AB ＝CD ，∴OM ＝ON ， ∴∠OMN ＝∠ONM ， ∴∠AMN ＝∠CNM.16．[解析] (1)连接OC ，在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，则∠AOC ＝∠BOC ＝60°，根据等边三角形的判定，可得△OAC 和△OBC 都是等边三角形，于是OA ＝AC ＝OB ＝BC ，因此四边形AOBC 是菱形，再由菱形的性质可得AB 平分∠OAC.(2)根据三角形内角和定理可计算出∠OCP ＝90°，再利用锐角三角函数的定义，可计算PC 的长．解：(1)证明：如图，连接OC ， ∵∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点， ∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°. 又∵OA ＝OB ＝OC ，∴△OAC 和△OBC 都是等边三角形， ∴OA ＝AC ＝OB ＝BC ，∴四边形AOBC 是菱形，∴AB 平分∠OAC. (2)由(1)知，△OAC 是等边三角形， ∴∠AOC ＝∠OCA ＝∠OAC ＝60°. ∵OA ＝AC ，OA ＝AP ，∴AP ＝AC ，∴∠APC ＝∠ACP ＝12∠OAC ＝30°，∴∠OCP ＝∠OCA ＋∠ACP ＝60°＋30°＝90°.∴在Rt △OPC 中，PC ＝OC tan ∠APC ＝1tan30°＝133＝ 3.[素养提升]证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，MN ⊥AB ，PQ ⊥AB ， ∴AM ︵＝AN ︵，BP ︵＝BQ ︵.∵AM ︵＋PM ︵＋BP ︵＝AN ︵＋QN ︵＋BQ ︵， ∴PM ︵＝QN ︵，∴PM ＝QN.(2)连接OM ，OP ，如图所示．∵OA ＝OB ，AC ＝BD ，MN ⊥AB ，PQ ⊥AB ， ∴OC ＝OD ，∠MCO ＝∠PDO ＝90°. 又∵OM ＝OP ，∴Rt △MOC ≌Rt △POD ， ∴∠MOA ＝∠POB ，∴AM ︵＝BP ︵. (3)∵AB 是⊙O 的直径，AM ＝MP ＝PB ， ∴∠MOA ＝∠MOP ＝∠POB ＝60°. 又∵OM ＝OA ，∴△OMA 是等边三角形． 又∵MC ⊥OA ，∴C 是OA 的中点．。
