高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件新人教A版必修4

2019/7/17
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－π7

＝－tan－π7 ＝tanπ7 ，
∵－π2
π <7
π <5
π <2
，y＝tan
x
在－π2
，π2
上单调递增，
∴tanπ7
π <tan 5
，即
tan65π
>tan－173π

.

[课堂小结] 1.利用正切函数的单调性比较函数值大小的三个步骤
(1)转化：利用诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)比较：利用单调性比较函数值的大小. (3)结论：按一定顺序写出其大小关系.
周期 奇偶性
最小正周期为_π__ _奇__函__数___
单调性 在开区间__k_π__－__π2__，__k_π__＋__π2__(_k_∈__Z_)_内递增
即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)类似于画正(余)弦函数简图“五点法”，画正切函数简图有 “三点两线法”.( √ ) (2)y＝tan x 在其定义域上是增函数.( × ) (3)y＝|tan x|的最小正周期是π2 .( × ) (4)y＝sin x 与 y＝tan x 的图象在－π2 ，π2 上有三个交点.( )
(2)∵tan 2＝tan(2－π )，tan 3＝tan(3－π )，
又∵π2 <2<π ，∴－π2 <2－π <0.
∵π2 <3<π ，∴－π2 <3－π <0，
显然－π2
<2－π
<3－π

π 4
-2������ 的单调区间;
(2)比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小. π 分析:解(1)可先用诱导公式将 x 的系数化为正数,再把 2x- 看作 整体,代入相应的区间,解出 x 的范围;解(2)可先把角化到一个单调区 间中,再利用单调性比较大小.
4
探究一
探究二
探究三
思维辨析
π 4 3π π
(2)函数 y=tan ������4 3π
4 π 3
,������∈Z 的递增区间为
π 2 π 4
.
解析:(1)由 -x≠kπ+ ,得 x≠-kπ- , 即 x≠kπ+ (k∈Z). (2)由 kπ- <x- <kπ+ ,即 kπ- <x<kπ+ π,得递增区间为 ������π- ,������π +
π
π
即定义域是 ������ - + ������π ≤ ������ < + ������π,������∈Z . 答案: ������ - + ������π ≤ ������ < + ������π,������∈Z
6 2 π π 2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二正切函数的单调性及应用 【例 2】 (1)求函数 y=3tan
(2)性质:如下表所示.
函数 性质 定义域 值域 周期 奇偶性 单 调 性 对 称 性 R π 奇函数 增区间 减区间 对称中心 对称轴 - + ������π, + ������π (k∈Z)
2 2 π π
y=tan x ������ x x ≠ + k������,k∈Z 2

(2) tan(11 ) 与 tan( 13 ).
4
5
解:(1) 因为 9 0 1 6 7 1 7 3 1 8 0 ，
ytanx在 (2， )上 是 增 函 数 ，
所 以 tan 1 6 7tan 1 7 3.
说明：比较两个正切值大小,关键是把相应的角转化到y= tan x的同一单调区间内,再利用y=tan x的单调性解决.
3.周期性： 正切函数是周期函数，周期为 .
4.奇偶性： 正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
5.单调性： 正切函数在开区间 (k,k),k
22
内都是增函数.
10
【即时训练】
求函数 y tan(3x ) 的定义域、值域，并指出 3
它的单调性、奇偶性和周期性.
答案: 定义域：x|x13k158，k.
2
知 正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
6
y
T2
思考4：观察图中的正切线，当
角在 ( , ) 内增加时，正切
22
函数值发生什么变化？由此反
O
Ax
映出一个什么性质？
T1
提示:
函数值先由-∞→0再由0→+∞；正切函数在（ - , ）
22
内是增函数.
7
思考5：结合正切函数的周期性，思考正切函数的
提示:
当 x 大于
且无限接近 2
时,2正切
线AT向y轴的负方向无限延伸；
y
T2
当 x 小于 且 无限接近 时正切线
2
2
AT向y轴的正方向无限延伸.
O
O
Ax
ta n x 在( ， )内 可以取任意实数，
T1
22
但没有最大值、最小值.

第二十七页，共31页。
2．“三点两线法”作正切曲线的简图 (1)“三点”分别为(kπ，0)，kπ＋π4，1，kπ－π4，－1，其中 k∈Z；两线为直线 x＝kπ＋π2和直线 x＝kπ－π2，其中 k∈Z(两线也称 为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)． (2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出 三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周 期内即可．
第二十八页，共31页。
|巩固提升| 1．已知 a＝tan2，b＝tan3，c＝tan5，不通过求值，判断下列大 小关系正确的是( ) A．a>b>c B．a<b<c C．b>a>c D．b<a<c 解析：tan5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在π2，π上 为增函数可得 tan3>tan2>tan(5－π)． 答案：C
跟踪训练 1 (1)函数 y＝ta1nx的定义域为( ) A．{x|x≠0}
B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C.xx≠kπ＋π2，k∈Z
D.xx≠k2π，k∈Z
(2)求函数 y＝ tanx＋1＋lg(1－tanx)的定义域．
第十三页，共31页。
解析：(1)函数 y＝ta1nx有意义时，tanx≠0，所以函数的定义域
第二十九页，共31页。
2．函数 y＝3tan2x 的对称中心为( )
A.k2π，0(k∈Z)
B.k4π，0(k∈Z)
C.k2π＋π4，0(k∈Z)
D.kπ，0(k∈Z)
解析：令 2x＝k2π(k∈Z)，得 x＝k4π(k∈Z)，则函数 y＝3tan2x 的
对称中心为k4π，0(k∈Z)，故选 B. 答案：B
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是k2π，0(k∈Z)，不存在 对称轴．

1.4.2 正切函数的性质与图像
目标： 1.了解正切函数图像的几何画法； 2.掌握正切函数的性质； 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重难点：正切函数的图像及性质
探究1：正切函数的性质
思考1：正切函数的定义域是什么？
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？
探究2：正切函数的图像
目标： 1.了解正切函数图像的几何画法； 2.掌握正切函数的性质； 3.能对应正切函数的图像和性质解决问题.
重、难点：正切函数的图像及性质
正切函数的性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性： 4.奇偶性：奇函数 5.周期性： 6.对称性：
1
思考：如何画出正切函数在其他区间上的图像？
可以利用正切函数的周期性
探究3：正切函数的图像与性质
观察正切函数的图像，得到正切函数的以下性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性：
思考：正切函数在整个定义域上是增函数吗？为什么？
观察正切函数的图像，得到正切 函数的以下性质：
1.定义域： 2.值域： 3.单调性： 4.奇偶性：奇函数 5.周期性： 6.对称性：

其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋
π 2
和直线x＝kπ－
π2 ，其中k∈
Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．
(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，
然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平
行移动至各个周期内.
2．下列说法正确的是( ) A．y＝tan x是增函数 B．y＝tan x在第一象限是增函数 C．y＝tan x在某一区间上是减函数 D．y＝tan x在区间 kπ－π2，kπ＋π2 (k∈Z)上是增函 数 解析：由正切函数的图象可知D正确． 答案：D
3．函数y＝tan
x2＋π3的单调递增区间是(
定义域 值域 周期
xx∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z R π
奇偶性
奇
单调性 在区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z) 上都是增函数
温馨提示 函数y＝tan x的对称中心的坐标是k2π，0， (k∈Z)，不是(kπ，0)(k∈Z)．
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期 π.( ) (4)函数y＝tan x为奇函数，故对任意x∈R都有tan(－x) ＝－tan x. ( )
②由题意，得tan x≠1，且x≠kπ＋π2，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋
π 2
，且x≠kπ＋
π4，k∈Z}，其不关于原点对称．
所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
归纳升华 1．一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T ＝|ωπ |，常常利用此公式来求周期． 2．判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断 其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性； 若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．

y
的终边
T 的终边
y
A
Ox
A
O
x
yT

A
Ox
T 的终边
y

A
O
x
T
的终边
​
讲授新课 思考：
1. 正切函数y=tanx的定义域是什么？ 2. 正切函数是不是周期函数？ 3. 正切函数是奇函数还是偶函数？ 4. 正切函数的单调性怎样？ 5. 正切函数的值域是什么？
​
讲授新课 总结: 正切函数的性质
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边
T 的终边
y
A
Ox
A
O
x
y
y


OxO
x
T 的终边
的终边
​
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边
T 的终边
y
A
Ox
A
O
x
yT

A
Ox
y

O
x
T 的终边
的终边
​
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
​
讲授新课
作y tan x, x , 的图象.
2 2
y


4

6
2
o
6

4

2
x
​
讲授新课
作y tan x, x , 的图象.
2 2
y


4

6
2
o
6

4

第十三页，共44页。
【解析】1.因为sin x∈［-1,1］，所以y=tan(sin x)的定义
域为R，值域为［tan(-1),tan 1］.
答案(dá àn)：R ［tan(-1),tan 1］
2.y=(tan x-1)2+2，由于tan x∈R，所以当tan x=1时，函数
取最小值2.
答案(dá àn)：2
x 5由，于φ k 5 .
φ 0，
2 故当k=1时，得
φ
由 3x k 得，k
18
26
2
故3Z函，，数(所hxá以ns函kh数ù)(解5há析，n式skhf为ùZx)，的 定tan(3x
3
).
义域为
3 {x
|
x
2 R且x
k值域5为，Rk.由3Z于}正. 18切函数(hánshù)
y=tan x在区间
心.( )
x k ，k Z.
2
(3)正切曲线(qūxiàn)有无数条对称轴，其对称轴是
()
第五页，共44页。
提示：(1)错误. 正切函数的定义域为 值域为R.
(k , k )，k Z.
2
2
(2)正确(zhè(nkgq, 0u)è(k).点Z)
是其对称中心.
2
(3)错误.正切曲线没有对称轴.
把 4转化到 2 2 上再比较大小.
【解析】选A.
f
1
tan (1
) 4
tan (1
34又)，
1 3 1 ，
2
44 4
所以f(0)>f(-1)>f(1).
第二十五页，共44页。
类型 三 正切函数的奇偶性与周期(zhōuqī)

(2)y＝|tanx|＝t－antxa，nx，x∈x[∈kπ（，kπkπ－＋π2π，2 ）kπ（]k（∈kZ∈）Z.）.
可作出其图像(如图)，由图像知函数 y＝|tanx|的单调递减区 π
间 为 (k π － 2 ， k π ](k∈Z) ， 单 调 递 增 区 间 为 [k π ， k π ＋ π 2 )(k∈Z)．
π 是[0，＋∞)；单调递增区间是[kπ，kπ＋ 2 )(k∈Z)；周期 T＝
π.
课后巩固
1．函数
y＝ta1nx(－π4
π <x< 4
)的值域是(
)
A．[－1，1]
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
答案 B
2．函数 y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间(π2 ，3π2 )内的图 像大致是( )
π
⇒kπ－
x≠kπ＋ 2 （k∈Z）
2
<x<kπ＋
3
，
π
π
∴定义域为(kπ－ 2 ，kπ＋ 3 )(k∈Z)，值域为 R.
题型二 正切函数的奇偶性 例 2 判断下列函数的奇偶性： (1)y＝tanx(－π4 ≤x<π4 )； (2)y＝xtan2x＋x4； (3)y＝sinx＋tanx.
【思路分析】 先分别求出各个函数的定义域，看是否关于原点
思考题 4 作出函数 y＝tanx＋|tanx|的图像，并求其定义 域、值域、单调区间及最小正周期．
【解析】 y＝tanx＋|tanx|＝ 2tanx，tanx≥0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z. 0，tanx<0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z.
其图像如图所示，
π

2
(k ,0),kZ ；关于原点对称（奇函数）
2
单调性
在每个分支里是单调递增的
增区间：2 k
,
k
2
kZ
例6
• （1）定义域
y
tan
x
2 3
例6
• （2）周期性
y
tan
x
2 3
周期T ||
例6
y
tan
x

2 3
• （3）单调区间
1 ta n x 0
• 解不等式
方法（1）在
2
, 2
内找到相应的范围
（2）在两边加上 k
小结
(1)定义域： {x|xk,kZ}
2
(2)周 期 T
( 3 )f(x ) t a n x ,x R 为奇函数
(4) 单调性：增区间：
2k
,
k
2
kZ
f(x ) c o sx ,x R为偶函数
f(x)tanx,x k,k z
任 意 xk,k2z
2
f( x )ta n ( x )tanxf (x) f(x ) ta n x ,x R 为奇函数
y
O
x
2
2
值 域 xR
图象
y
3 2
2
3
x
2
2
特征
1.有无穷多支曲线组成，由直线 xk,kZ隔开
性质
• 所谓函数的性质包括 • 定义域 • 值域 • 周期性 • 奇偶性 • 单调性
定义域
ytanx
终边不能落在y轴上。
定义域： {x| xk,kZ}
2
周期性
ysinx T2 ycosx T2
tan(x ) tan(x)