下载文档原格式
指数与指数幂的运算【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理.5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a ＞0，a ≠1).【要点梳理】要点一、幂的概念及运算性质1.整数指数幂的概念及运算性质2.分数指数幂的概念及运算性质为防止讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1n na a =()m n m m n na a a ==-1m nm naa=3．运算法则当a ＞0,b ＞0时有：〔1〕nm nma a a +=⋅；〔2〕()mn nma a =；〔3〕()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；〔4〕()mm m b a ab =.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.要点二、根式的概念和运算法则1．n 次方根的定义：假设x n=y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根，即x=n y .n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，00n =. 2．两个等式〔1〕当1n >且*n N ∈时，nnaa =；〔2〕⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a nn要点诠释：①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能防止出现错误．②指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如)，先要化成假分数〔如15/4〕，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式： a 2－b 2＝〔a －b 〕〔a ＋b 〕，a 3－b 3＝〔a －b 〕〔a 2＋ab ＋b 2〕，a 3＋b 3＝〔a ＋b 〕〔a 2－ab ＋b 2〕， 〔a ±b 〕2＝a 2±2ab ＋b 2，〔a ±b 〕3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，的运用，能够简化运算.指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：〔1〕形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31xy =+等函数都不是指数函数．〔2〕为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a <，则对于一些函数，比方(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在． ②如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了。
• MATHEMATICS n数学第三章基本初等函数（I）3. 1指数与指数函数3. 1.1实数指数幕及其运算【课标要求】1.理解有理指数幕的含义，会用幕的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幕的意义.【核心扫描】1-根式与分数指数幕的互化.（重点）2.根式的性质.（易混点）3.有理指数幕运算性质的应用.（难点）KEQIANTANJIUXUEXI》课前探究学习挑战自我［点点落实自学导引1."次方根的概念（1）如果存在实数兀，使得心,则X叫做。
的〃次方根.（2）当紡有意义的时候，式子黑叫做根式,这里"叫做根指数,a叫做被开方数.2.根式的性质（1）（般）"=丄（卅＞1 且〃UN+）；（卅为奇数且〃＞1, 〃WN+）（〃为偶数且卅＞1, 〃UN+）\a\3.分数指数幕的定义:(1)规定正数的正分数指数幕的意义是：in _Q 去二(Q〉() 9 "、m w N 9 且刃〉1 )；(2)规定正数的负分数指数幕的意义是(°〉()山、m. e N * ,且几 > 1)；(3)0的正分数指数幕为(),0的负分数指数幕4.有理数指数幕的运算性质(l}aa=ar+s(a>0,厂、泻Q)；(2)@丫= _(a>0,厂、$WQ)；(3YabY=arbr(a>0, b>0,胆Q)・试一试：分数指数幕血及（乙（nN,且叫"互质）的底数有何取值范围？提不（帀='Q,当m为奇数时，底数a e R,当m为偶数时,dM（）;_2l_ ["〃‘二石亍当尬为奇数时，HO且＜/ e R，当肌为偶数时，a > 0.想一想：防（〃WN+）与（裁）"（”WN+）对任意实数a都有意义吗？提示式子勺刁（“WN+）对任意实数a都有意义；而式子（第）"（〃WN+）,当n为奇数时，对任意实数a都有意义；当n 为偶数时，对负数a没有意义.名师点睛1.根式紡的符号：根式紡的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数Q的符号共同确定；当〃为偶数时，。
有理数指数幂的运算有理数指数幂是数学中的一个重要概念，它涉及到数的运算、指数、幂等基本概念。
在本文中，我们将讨论有理数指数幂的基本运算法则以及一些应用。
定义：有理数指数幂是指一个有理数作为底数，一个有理数作为指数，两者运算所得的结果。
有理数指数幂的基本运算法则如下：1. 同底数幂相乘，指数相加对于同一有理数a的幂am和an，当底数相同时，指数相加得到新的指数，即 am × an = am+n。
2. 同底数幂相除，指数相减对于同一有理数a的幂am和an，当底数相同时，指数相减得到新的指数，即 am ÷ an = am-n。
3. 幂的幂，指数相乘对于同一有理数a的幂am，当将其作为指数时，指数相乘得到新的指数，即 (am)n = amn。
4. 乘方与开方互为逆运算对于有理数a，m和n为任意整数，(am)n = amn。
5. 0的指数为1，1的任何指数为1任何有理数a的0次方都等于1，即 a^0 = 1；而1的任何指数都等于1，即 1^n = 1。
有理数指数幂的运算法则在实际生活和数学问题中有着广泛的应用。
应用一：科学计数法科学计数法是一种用于表示过大或过小数的方法。
它由两个因子组成，一个是大于等于1且小于10的实数，另一个是10的整数次方。
科学计数法可以简化大数或小数的书写和运算，并方便进行数字间的比较。
应用二：利息计算在金融领域，利息计算通常涉及有理数指数幂的运算。
例如，计算复利时，每年的利息是本金的一定比例，当利息再次投资时，利息也会得到增加。
这种增加的过程可以用有理数指数幂来表示和计算。
应用三：导数和微分在微积分中，导数和微分等运算都涉及到有理数指数幂的计算。
导数表示了函数在某一点处的变化率，微分则是对函数进行近似线性的变换。
这些运算常常会用到有理数指数幂的法则来简化计算过程。
总结：有理数指数幂运算是数学中一个重要的概念，它应用广泛，并且有着严格的运算法则。
通过熟悉和掌握这些运算法则，我们可以更加方便地处理数学问题，以及在实际生活中应用数学知识。
有理指数幂及其运算⑤负分数指数幂：n a-＝1a m n＝1n a m （a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）。
⑥0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝sr a+（a ＞0，r 、s ∈Q ）。
②（a r ）s ＝rsa （a ＞0，r 、s ∈Q ）。
③（ab ）r ＝rr b a （a ＞0，b ＞0，r ∈Q ）。
【典例精析】例题1 计算：131.5-×0)67(-＋80.25×42＋（32×3）6；思路导航：先化为分数指数幂，再进行运算。
3124134162131312（答题时间：15分钟）2. 下列各等式中，正确的是（ ） A.44a ＝a B. 62)2(-＝32-C. a 0＝1D.105)12(-＝（2－1）213. 计算下列各式。
（1）432981⨯；（2）（253）0＋2－2·（241）21-－（0.01）0.5。
4. 计算：（1）（27125）32-； （2）0.00832-；（3）（240181）43-；1. A 解析：考查根式与分数指数幂的转化.原式可化为－2×（a －b ）－52＝－2（a －b ）－52，故选A 。
2. D 解析：要想判断等式是否正确，首先要使等式两边都有意义，然后计算两边的值，如果相等则正确，如果不等，则不正确，在计算时要充分应用幂的运算法则。
44a ＝|a|，由于不知道a 的符号，因此A 不正确；273323-2525（2）0.00832-＝（0.2 3）32-＝0.2－2＝（51）－2＝52＝25。
（3）（240181）3-＝（4473）－3＝3373--＝3337＝27343。
（4）当21-≠a 时，（2a ＋1）0＝1；当21-=a 时，无意义。
（5）［65－（53）－1］－1＝（65－35）－1＝（－65）－1＝－6。
有理数幂的运算性质及应用有理数幂的运算性质及应用一、有理数幂的定义和基本性质有理数幂是指一个有理数的指数幂，它的定义如下：设a是非零有理数，m和n是整数，且n≠0，那么a的n次幂（记作aⁿ）定义为：aⁿ= a ×a ×…×a（共n个a的乘积）。
有理数幂有以下几个基本性质：1. 有理数幂的乘法法则：aⁿ×aᵐ = aⁿ⁺ᵐ这个乘法法则的意义是：幂相乘就是底数不变，指数相加。
例如，2²×2³= 2⁵.2. 有理数幂的除法法则：aⁿ÷aᵐ = aⁿ⁻ᵐ这个除法法则的意义是：幂相除就是底数不变，指数相减。
例如，2⁵÷2³= 2².3. 有理数幂的乘方法则：(aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ这个乘方法则的意义是：幂的幂就是幂的指数相乘。
例如，(2²)³= 2⁶.4. 有理数幂的乘幂法则：(a ×b)ⁿ= aⁿ×bⁿ这个乘幂法则的意义是：多个底数相乘的幂等于各个底数先分别取幂再相乘。
例如，(2 ×3)²= 2²×3².二、有理数幂的应用有理数幂的应用非常广泛，涵盖了数学、物理、工程等多个领域。
以下是一些典型的应用：1. 对数函数对数函数实际上是幂函数的逆运算，所以对数函数的研究离不开对幂函数的研究。
通过研究和应用有理数幂，可以推导出对数函数的性质，如对数函数的等式、不等式和图像等。
2. 指数函数指数函数是幂函数的一种特殊形式，它的底数是常数e（自然对数的底数）。
通过研究和应用有理数幂，可以推导出指数函数的性质，如指数函数的等式、不等式和图像等。
3. 计算器和电子表计算器和电子表上的指数运算就是利用了有理数幂的性质。
通过输入底数和指数，计算器和电子表就能准确地计算出幂的结果。
4. 科学计算在科学计算中，大量的物理、化学和生物等问题都涉及到幂的运算。
3.1.1 有理指数幂及其运算1.整数指数正整数指数幂的定义:在初中我们学习了a n=个n a a a ∙∙∙(n∈N *). 其中，a n 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数,并规定a 1=a. 在上述定义中，n 必须是整数，所以这样的幂叫做正整数指数幂. 正整数指数幂的运算满足如下法则：(1)a m ·a n =a m+n;(2)(a m )n=a mn,n m aa =a m-n(m>n,a≠0);(3)(ab)m =a m b m.如此规定零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂.并且正整数指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立. 并且我们规定: a 0=1(a≠0),a -n=n a1(a≠0,n∈N *). 2.分数指数 （1）根式①方根的概念：我们知道，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根（quadratic root ）;如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根（cubic root ）.一般地，如果一个实数x 满足x n =a(n>1且n∈N *)，那么x 叫做a 的n 次方根（nthroot ）. 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.此时，a 的n 次方根只有一个，记为x=n a ；当n 是偶数时，正数的n 次实数方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a 的正的n 次实数方根用符号n a 表示，负的n 次实数方根用符号n a -表示.正的n 次实数方根与负的n (a>0).由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n 0=0. ②根式的概念式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）. ③根式的性质当n 是奇数时，n a n =a ；当n 是偶数时，n a n=|a|=a,⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a（2）分数指数幂①正数a 的正分数指数幂我们规定：a nm =n m a (a>0,m 、n∈N *,n>1).②正数a 的负分数指数幂 anm -=nm a1=nma 1(a>0,m 、n∈N *,n>1).③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （3）有理数指数幂的运算性质 ①a r ·a s =a r+s(a>0,r 、s∈Q );②(a r )s =a rs(a>0,r 、s∈Q );③(ab)r =a r b r(a>0,b>0,r∈Q ). （4）无理数指数幂教材中通过实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义.一般地，无理数指数幂a α(a>0,α是无理数)是一个确定的实数. 高手笔记1.对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比，有利于我们正确地理解n 次方根的概念以及n 次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化.2.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式,如a32b 、2-ba都不是最简形式.应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系不可颠倒. 3.经常要用的公式:（1）a-b ＝（b a -）（b a +）(a>0,b>0)；（2）a±2ab ＋b ＝（a ±b ）2(a>0,b>0)；（3）a±b＝（3a ±3b ）（32322b ab a + ）(a>0,b>0). 4.npmp a =n m a （a≥0）,其中的a≥0十分重要，无此条件则公式不成立.例如62)8(-≠38-.5.分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全一样.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 名师解惑1.为什么正数的偶次方根有两个并且互为相反数，而负数没有偶次方根？在以前学习的正整数指数幂中运算法则a m ÷a n =a m-n中为什么会限定m>n ？剖析：（1）根据方根定义，若x 是a(a>0)的n 次方根（n 为偶数），则x n =a ，这时（-x ）n=a ，即-x 也是a(a>0)的n 次方根.假设x 是a(a<0)的n 次方根（n 为偶数）,则x n=a.因为x n ≥0，若a<0，则x n=a 不成立，且与方根定义矛盾.（2）因为是正整数指数幂，如果没有m>n 的限定,m-n 可能等于0或者m-n<0.为了取消m>n 的限制，才定义了0次幂和负整数指数幂.这样m 、n 的大小就任意了，这样有可能产生负整数，也就把正整数指数幂扩充到了整数指数幂.2.引入分数指数幂之后，任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？在分数指数幂a nm中为什么限定a>0？剖析：（1）引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即n a =a n1，这时被开方数a 即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然a n1是a nm 当m=1时的特例.（2）分数指数幂的意义来源于根式，而要使n a m对任意的n∈N *且n>1都有意义，必须限定a>0，否则,当a=0时，若m=0或nm为分母是偶数的负分数，a n m没有意义；当a<0时，若m 为奇数，n 为偶数，a nm 没有意义.（3）我们可以从一实例看看为什么会加上这个限制条件，如-3=327-=(-27)31=(-27)62=62)27(-=6729=3.为什么会出现-3=3这种情况？看看错在了哪里？因为这里的-3＜0,在(-27)31=(-27)62中发生的错误，分数的分子、分母扩大相同的倍数分数值不变，有这个性质，必须限制条件“a>0”或“a>0,b>0”. 讲练互动【例题1】计算：（1）（27125）32-；（2）0.00832-；（3）（240181）43-；（4）（2a+1）0； （5）［65-（53）-1］-1.分析:在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时〔如（1）（2）（3）〕，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便.在幂的运算中，对于形如m 0的式子，要注意对底数m 是否为零进行讨论，因为只有在m≠0时，m 0才有意义；而对于形如（a b ）-n 的式子，我们一般是先变形为（ba ）n，然后再进行运算.解：（1）（27125)32-=（3335）32-=2235--=2253=259.（2）0.00832-=（0.23）32-=0.2-2=（51）-2=52=25. （3）（240181）43-=（4473）43-=3373--=3337=27343.（4）（2a+1）0=⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠.21,,21,1a a 无意义（5）［65-（53）-1］-1=（6535-）-1=（65-）-1=56-.绿色通道在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则.熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键. 变式训练 1.计算：（1）（-383）32-＋（0.002）21--10（5-2）-1＋（32-）0=__________.（2）（41）2121432231)(1.0)4(---b a ab =____________.解析：（1）原式＝（-1）32-（827）32-＋（5001）21-2510--＋1＝［（23）3］32-＋（102×5）21-10（5+2）＋1＝916712051051094-=+--+; （2）原式＝24232323223211044+--⨯b a =b b 25125121=. 答案：(1)9167- (2)b 251【例题2】化简322234)210()323(27622----+-的结果是( ) A.35B.-3C.3D.9 解析：先将式子中的根式逐个化简，后进行运算. 原式＝31132126)311(278323+-=---+-+6=9. 答案：D绿色通道对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则是先算根号内的，后进行根式运算.在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如3a ，若a ＞0，则3a ＞0，若a ＜0，则3a ＜0；但对根指数为偶数的根式，只有当a≥0时，对a 才有意义. 变式训练2.化简：(1)432981⨯=____________;（2）3131421413223)(ba b a ab b a -(a>0,b>0)=____________.解析：（1）原式＝421322)9(9⨯＝431299⨯＝4379＝67127413739)9(==；（2）原式＝3131221323123)(ba ab b a b a -=3123113116123--++-+b a=ab -1.答案：（1）367 （2）ab -1【例题3】已知a=278-，b=7117，求333131343233232793ba a ba ab ab a -÷-++的值. 分析:化简、求值一类问题，往往是先将被求代数式化简，然后再代入已知字母的值，求得代数式的值.解：∵a≠0，∴原式=)27()3(331231313123b a a b b a a -++×3131313ab a -.又∵a -27b≠0，∴原式=)27()3()(32331331b a a b a --=a32-=32)278(--=2)32(--=（23-）2=49. 黑色陷阱本题容易直接将a 、b 的值代入，后化简，因为运算烦琐，不容易做出正确的结果,所以在解决问题时，一定要先审题，比较一下各种思路的优劣，然后再动手做题,这样才能养成良好的思维习惯. 变式训练3.已知a=-1，b=7163，求)21(483323323134abbab a a b a a -÷++-×3a =___________. 解析：原式=313131132313131231312)2(2)()8(a ba ab b a a b a a ⨯-⨯++-=331331313131)2()()8(b a b a a--++=a.∵a=-1,∴原式=a=-1. 答案：-14.已知x+y=12,xy=9且x<y,且21212121yx y x +-=________.解析：∵x+y=12,xy=9且x<y ， ∴x>0,y>0,x -y<0.∴x -y=2)(y x --=xy y x 4)(2-+-=94122⨯--=36-,x 21y 21=9xy ==3.∴原式＝))(())((2121212121212121y x y x y x y x -+--=36321222121-⨯-=-+-y x y y x x =33-. 答案：33-。
4.1.1 有理指数(一)
【教学目标】
1. 理解整数指数幂及其运算律，并会进行有关运算．
2. 培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．
3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养学生合作交流等良好品质．
【教学重点】
零指数幂、负整指数幂的定义．
【教学难点】
零指数幂及负整指数幂的定义过程，整数指数幂的运算．
【教学方法】
这节课主要采用问题解决法和分组教学法．在引入指数幂时，以在国际象棋棋盘上放米粒为导入素材，既体现数学的应用价值，也能引起学生的学习兴趣．从正整指数的运算法则中的
a m
m-n (m＞n，a ≠ 0)
a n＝a
这一法则出发，通过取消m＞n的限制引入了零指数幂和负整指数幂的定义，从而把正整指数幂推广到整数指数幂．在本节教学中，要以取消m＞n这一条件为出发点，让学生积极大胆地猜想，以此增强学生的参与意识，从而提高学生的学习兴趣．。
七年级幂指数运算知识点幂指数是数学中非常重要的一个概念，数学中许多问题都可以通过幂指数来求解。
在七年级的数学学习中，掌握了幂指数的相关知识点，对于学习代数及其它数学学科都有很大帮助。
下面将对七年级幂指数运算的相关知识点进行详细介绍。
一、幂的概念幂是由同一个数相乘得到的积，其中的数称为底数，乘积中的几个相同的数称为指数。
幂的形式为：aⁿ (a的n次方)。
在幂的运算中，指数是非常关键的。
当指数为正整数时，幂代表相同因数的连续乘积，当指数为负数时，幂代表乘数的倒数，当指数为0时，幂表示1。
幂的运算法则：1、同底数幂相乘，指数相加例如：2²×2³=2⁵2、同底数幂相除，指数相减例如：5⁸÷5³=5⁵3、幂的指数乘法，底数不变，指数相乘例如：(3²)³=3⁶二、指数的概念指数是表示幂的数，通常用小字母n来表示。
指数是必须是整数（正整数、零和负整数）的数。
当指数是正整数时，幂代表相同因数的连续乘积，当指数为负数时，幂代表乘数的倒数。
三、指数的运算法则1、指数乘法指数乘法是指相同底数的幂相乘时，底数不变，指数相加的运算。
例如：2³×2²=2⁵2、指数除法指数除法是指相同底数的幂相除时，底数不变，指数相减的运算。
例如：4⁵÷4²=4³3、指数的幂运算指数的幂运算是指对幂内的指数乘方。
例如：(2³)²=2⁶四、指数运算的规律1、更换因数设a、b、c均为实数，且a≠0，则aⁿ×aᵐ=aⁿ⁺ᵐ；2、乘方分配律设a、b均为实数，且a≠0，则(a×b)ⁿ= aⁿ×bⁿ；3、除方分配律设a、b均为实数，且a≠0，则(a÷b)ⁿ= aⁿ÷bⁿ；4、类似因数的整体分离设a、b、c均为实数，且a≠0，则aⁿ÷aᵐ=aⁿ⁻ᵐ；五、乘方与幂运算的应用乘方和幂运算在代数、几何、物理等学科中都有着广泛的应用。
有理数指数幂运算法则有理数指数幂运算是数学中的一个重要概念，它涉及到有理数的乘方运算。
在学习有理数指数幂运算法则之前，我们首先需要了解什么是有理数、指数和乘方运算。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及分数。
指数是表示一个数的乘方的方式，例如，a^n中的n就是指数，表示将a连乘n次。
乘方运算是指数的具体计算过程，比如2^3就表示2连乘3次，结果为8。
有理数指数幂运算法则包括以下几个重要的概念和规则：1. 有理数的乘方有理数的乘方是指将一个有理数连乘若干次。
当指数为正整数时，乘方的计算比较简单，例如2^3=2*2*2=8。
当指数为负整数时，乘方的计算涉及到倒数的概念，例如2^(-3)=1/(2*2*2)=1/8。
当指数为0时，任何非零数的0次方都等于1，即a^0=1(a≠0)。
2. 乘方的性质有理数的乘方具有一些重要的性质，包括乘法性质、除法性质、幂的乘法性质和幂的除法性质。
乘法性质指的是同底数的乘方相乘时，底数不变，指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。
除法性质指的是同底数的乘方相除时，底数不变，指数相减，即a^m / a^n =a^(m-n)。
幂的乘法性质指的是幂的乘方等于底数不变，指数相乘，即(a^m)^n = a^(m*n)。
幂的除法性质指的是幂的除法等于底数不变，指数相除，即(a/b)^m = a^m / b^m。
3. 有理数指数幂的运算有理数指数幂的运算是指在乘方的基础上，引入有理数指数的概念。
当指数为有理数时，乘方的计算涉及到开方的概念，例如2^(1/2)表示对2进行开平方，结果为根号2。
有理数指数幂的运算可以通过化简指数为整数的乘方运算来进行，例如2^(3/2)可以化简为(2^3)^(1/2)=8^(1/2)=根号8。
4. 有理数指数幂的运算法则有理数指数幂的运算法则包括以下几点：- 当指数为正整数时，按照普通乘方运算法则进行计算；- 当指数为负整数时，先将底数取倒数，然后按照普通乘方运算法则进行计算；- 当指数为0时，结果为1；- 当指数为分数时，可以化简为整数乘方或开方运算，然后按照普通乘方运算法则进行计算。
七年级幂指数知识点在初中数学学习中，幂指数是必须掌握的一个知识点，更是后续数学学习的基础。
在七年级的数学课程中，学生需要熟练掌握幂指数的相关概念、运算以及应用。
本文将详细介绍七年级幂指数知识点，帮助学生掌握这一重要的数学知识。
一、幂的概念在数学中，幂指一个数自乘若干次的结果。
其中，被乘的数称为底数，乘的次数称为指数。
用公式表示：$a^n=a\cdot a\cdot a\cdots a$（共乘n个a）其中，a为底数，n为指数。
例如，$2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$，其中2为底数，3为指数，8为幂。
二、幂的运算法则1.同底数幂的乘法法则同一底数的幂，底数不变，指数相加。
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$例如，$2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7$。
2.同底数幂的除法法则同一底数的幂，底数不变，指数相减。
$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$例如，$\dfrac{2^5}{2^3}=2^{5-3}=2^2$。
3.幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。
$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$例如，$(2^3)^2=2^{3\cdot 2}=2^6$。
4.幂的整数次方$1^n=1$（任何数的1次方等于1）。
$a^0=1$（任何数的0次方等于1）。
例如，$1^5=1$，$5^0=1$。
5.幂的倒数$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$例如，$2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$。
6.幂的多项式$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^kb^{n-k}$其中，$C_n^k$表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
例如，$(2+3)^3=\sum\limits_{k=0}^3C_3^k2^k3^{3-k}=C_3^02^0\cdot 3^3+C_3^12^1\cdot 3^2+C_3^22^2\cdot3^1+C_3^32^3\cdot 3^0=8+36+54+27=125$。
指数与指数幂的运算【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a aa a a Z n a a a a n n an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-个2．运算法则 （1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()m m mb a ab =.要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为ny ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，0=. 2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，na =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m n m na a =要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.【典型例题】 类型一、根式例1.求下列各式的值：（1【答案】 -33π-；0a b b a -⎧⎪⎨⎪-⎩ （a>b ） （a=b ） （a<b ）【解析】 熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号.（13=-；（2=（3|3|3ππ=-=-；（4||0a b a b b a -⎧⎪=-=⎨⎪-⎩ （a>b ） （a=b ） （a<b ）【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是2±，2=±. （2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.举一反三：【变式1】计算下列各式的值：（12；（34【答案】（1）-2；（2）3；（3）4π-；（4）2(2)2(2)a a a a -≥⎧⎨-<⎩.例2.计算：（1（2.【答案】【解析】 对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1==2|-|2=2（2-（211=【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）的分子、分母中同乘以1).举一反三：【变式1】化简：（1（2|3)x<【答案】（11；（2）22(31),4(13).x xx---<<⎧⎨-≤<⎩类型二、指数运算、化简、求值例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中a>0）：（1）2a（2）3a（3（4【答案】52a；113a；34a；54y【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．（1）115222222;a a a a a+=⋅==（2）2211333333a a a a a+⋅==；（31131322224()()a a a a⋅==；（4）解法一：从里向外化为分数指数幂==11222y xy x ⎛⎫⋅⎪⎝⎭=54y解法二：从外向里化为分数指数幂．12=11222[]y x =1112363223{[()]}y x y x y x =11123624123y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=54y【总结升华】此类问题应熟练应用*0,,,1)m na a m n N =>∈>且n ．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．举一反三：■高清课程：指数与指数运算 例1【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简 （1）52a a ⋅【答案】（1）1310102a ；（2）23x-．【变式2】把下列根式化成分数指数幂：（1（20)a >；（3）3b ；（4．【答案】7122；34a ；113b ；35x-【解析】（1177621222⎛⎫== ⎪⎝⎭；（2313224()a a ==； （3）2113333b b b b =⋅=； （4=3591353511()xx x-===．例4.计算：(1)1111200.253473(0.0081)3()81(3)88-----⎡⎤⎡⎤-⨯⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；(2)433333391624337+--+【答案】 3；0；2【解析】(1)原式=331310)3231(31)3.0(211=-=+---；(2)原式=033236373333=+--；(3)原式=-5+6+4-π-(3-π)=2；注意：（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.举一反三：【变式1】计算下列各式：(1)63425.031)32(28)67()81(⨯+⨯+-⨯-；(2)33323323134)21(428aabbababaa⨯-÷++-. 【答案】 112；a．【解析】(1)原式=62163141413)31)(1()3()2(2)2(18⨯+⨯+⨯--1123222324143=⨯++=+；(2)原式313131312313131231312)2(2)()8(abaabbaabaa⨯-⨯++-=ababaa=--=++331331313131)2()()8(.【变式2】计算下列各式：■高清课程：指数与指数运算例33312)26()03.1(2323)661()41(-⋅--+++--【答案】【解析】原式34．例5.化简下列各式.(1)2132111136251546x yx y x y---⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)111222m mm m--+++；(3)10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】1624y；1122m m-+；0.09【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.(1)2132111136251546x yx y x y---⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21111()(1)()3322665(4)5x y-------⎛⎫=⨯-⨯-⎪⎝⎭11066 2424x y y ==(2)2112211 122 111122222m mm mm m m m m m-----⎛⎫+⎪++⎝⎭==+ ++(3)10.5233277 (0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭255=0.0933++-举一反三：【变式1】化简：.【答案】5766x y【解析】原式=1157113323233662222[()]()xy x y xy x y x y⋅=⋅⋅=.注意：当n(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩.【变式2】化简222222223333x y x yx y x y--------+--+-【答案】-【解析】应注意到223x x--与之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，原式22223333333322223333()()()()x y x yx y x y--------+-=-+-22222222222233333333()()[()()]x x y y x x y y--------=-⋅+-++232()xy -=-=-. 【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式3】化简下列式子：【答案】2x(x 1)2(x 1)≥-⎧⎨-<-⎩【解析】 (1)原式===26+===(2)22244(18+=+=== (3)332x 3x x 1-==-x 1(x 1)|x 1|x 1(x 1)+≥-⎧=+=⎨--<-⎩ 2x(x 1)2(x 1)≥-⎧+=⎨-<-⎩. ■高清课程：指数与指数运算 例4 例6．已知32121=+-x x ，求23222323-+-+--x x x x 的值． 【答案】13【解析】 从已知条件中解出x 的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件32121=+-xx 的联系，进而整体代入求值．32121=+-x x ，∴129x x -++=，∴17x x -+= ∴22249x x -++=，∴2245x x -+=∴23222323-+-+--x x x x =11122()(1)3472x x x x --+-+-- =3(71)315145453⨯--== 【总结升华】 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．本题的关键是先求3322x x-+及22x x -+的值，然后整体代入．举一反三： 【变式1】求值： (1)已知11225x x-+=，求21x x+的值； (2)已知a>0， b>0， 且a b=b a， b=9a ，求a 的值.【答案】 23【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题. (1)由11225x x-+=，两边同时平方得x+2+x -1=25，整理得：x+x -1=23，则有2123x x+=； (2)a>0， b>0， 又∵ a b=b a， ∴1119()()(9)a b a b b b a b a b a a =⇒=⇒=∴ 81829993a a a =⇒=⇒=。
高一有理数指数幂知识点有理数是指整数、分数和小数（有限小数和无限循环小数）。
而指数幂是数学中的一个重要概念，用于表示重复乘方的运算。
在高一的数学学习中，我们需要掌握有理数指数幂的基本概念、性质以及运算规则。
下面我们来逐一介绍。
一、有理数指数的概念和性质有理数指数表示以一个有理数作为底数，另一个有理数作为指数进行运算。
例如，a^b表示a的b次幂，其中a是底数，b是指数。
指数可以是正数、负数或零。
有理数指数的性质如下：1. 任何非零有理数的指数为零的幂等于1，即a^0 = 1（其中a≠0）。
2. 任何非零有理数的指数为正整数的幂等于自身乘以自身指数减一次方，即a^m = a^(m-1) * a（其中a≠0，m为正整数）。
3. 任何非零有理数的指数为负整数的幂等于其倒数的指数为相反数的幂，即a^(-n) = 1 / a^n（其中a≠0，n为正整数）。
4. 任何非零有理数的指数为两个正整数的比的幂等于底数的分子为该指数的幂，底数的分母为该指数的根，即a^(m/n) =(a^m)^(1/n) = (n√a)^m（其中a≠0，m、n为正整数且n ≠ 0）。
二、有理数指数幂的运算规则在进行有理数指数幂的运算时，需要掌握以下基本规则：1. 同底相乘：对于相同底数的有理数指数幂，底数不变，指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。
2. 同底相除：对于相同底数的有理数指数幂，底数不变，指数相减，即a^m / a^n = a^(m-n)。
3. 指数相乘：对于有理数指数幂的指数相乘，底数不变，指数相乘，即(a^m)^n = a^(m*n)。
4. 幂的乘方：对于幂的幂，指数相乘，即(a^m)^n = a^(m*n)。
5. 分式指数幂：对于分式指数幂，可以将指数分解成整数的形式，然后利用前面的运算规则进行计算。
需要注意的是，在进行有理数指数幂的运算时，如果底数为负数，指数为分数，需要考虑奇偶性和复数运算等特殊情况，具体应根据题目中的要求进行判断和计算。
第1课 有理数、幂的运算1.实数的分类例1下列说法中，错误的有 （ ） ①742-是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥3.14不是有理数。
A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2.概念清晰：正数、负数、绝对值、相反数、数轴三要素（画数轴时注意点）、奇数、偶数、合数、质数、非负数、自然数、整数、正整数、负整数、近似数、有效数字 例2 下列说法正确的是 （ ）A 、符号不同的两个数互为相反数B 、一个有理数的相反数一定是负有理数C 、432与2.75都是411-的相反数 D 、0没有相反数例3 有理数a 、b 0-11ab则（ ）A ．a + b ＜0B ．a + b ＞0;C ．a －b = 0D ．a －b ＞0 3.科学记数法实数无理数(无限不循环小数)负整数 (有限或无限循环小数) 整数分数正无理数 负无理数实数负数整数 分数 无理数有理数正数整数分数无理数有理数根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数， 表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值。
在确定n 的值时，看该数是大于或等于1 还是小于1－n 为它第一个有效数字前0例4 《广东省2009算总投资726 A ．107.2610⨯ 元 C ．110.72610⨯ 元例5 用科学记数法表示4.有理数的运算法则有理数加法法则 绝对值的加数的符号，并用较大的绝对值有理数的减法法则 有理数的乘法法则 有理数的除法法则 把绝对值 。
有理数的混合运算 先 ，注意：例6 （1） )2132(⨯-5.幂的运算即 （m 、n 相除，底数不变，指数相减，即即（n nn a a 1=-（a≠0，n 为正整数）。
例7 若m ·23＝26，则m 等于 A ．2 B ．例8 下列运算正确的是A ．x 2+ x 3 = x 5B ．x 4·x 2 = x 6C ．x 6÷x 2 = x 3D ．( x 2 )3 = x 8当堂反馈1.如果60m 表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为 A ．－20m B ．－40m C ．20m D ．40m2.–5的绝对值是 （ ） A 、5 B 、–5 C 、51 D 、51- 3．已知a -=a ，则a 是 （ ）A 、正数B 、负数C 、负数或0D 、正数或04．用“>”连接032，，---正确的是 （ ）A 、032>-->-B 、302-->>-C 、023<-<--D 、203-<<--5．下列说法正确的是 （ ）A 、两个有理数相加，和一定大于每一个加数B 、异号两数相加，取较大数的符号C 、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加D 、异号两数相加，用绝对值较大的数减去绝对值较小的数 6．两个互为相反数的数之积 （ ）A 、符号必为负B 、一定为非正数C 、一定为非负数D 、符号必为正7．下面说法正确的有( )① π的相反数是－3.14；②符号相反的数互为相反数；③ －（－3.83.8；④ 一个数和它的相反数不可能相等；⑤正数与负数互为相反数． Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个 8.下列算式中，积为负数的是 （ ） A 、)5(0-⨯ B 、)10()5.0(4-⨯⨯ C 、)2()5.1(-⨯ D 、)32()51()2(-⨯-⨯-9.下列各组数中，相等的是（ ）A 、–1与（–4）+（–3）B 、3-与–（–3）C 、432与169 D 、2)4(-与–1610.l 米长的小棒，第1次截止一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的小棒长为（ ）-3 A 、121 B 、321 C 、641 D 、128111.数轴上距离原点2.4个单位长度的点有 个，它们分别是 。
2.1.1有理指数幂及其运算（特色班）【课题】有理指数幂及其运算【设计与执教者】广州第十七中学廖舜萍【教学时间】：2007年9月【学情分析】：（适用于特色班）本节课通过引导学生回忆正整数指数幂的运算性质,猜想负整数指数,有理指数幂的运算性质,并且明确有理指数幂的意义. 主要是通过练习感悟,猜想归纳去认识指数概念的扩充,注重发展学生的猜想归纳能力和运算能力,强调其对分数指数幂和根式运算规律的掌握.针对特色班学生的能力水平,在有理指数运算能力上和有理指数幂的应用作了进一步的要求,发展了学生的观察能力和转化能力.【教学目标】：（1）能用数学符号正确表示分数指数幂的意义;（2）明确分数指数幂的引入使指数概念由整数指数扩充到有理指数;（3）能用数学符号正确表示有理指数幂的三条运算性质;（4）能根据幂的运算性质熟练地进行分数指数幂和根式的运算.（5）培养学生猜想归纳的能力和转化能力.【教学重点】分数指数幂和根式的运算和应用【教学难点】分数指数幂的意义【教学过程设计】练习与测试一、计算1) 计算____)416(23=2) 计算_________)()2(32=--x x二、用分数指数幂表示下面的根式 1) __________)(43=+b a2)__________32=yx三、化简 1）______216531=÷⋅-aa a2）_____________3323=•yx x y3) _____________________()()(61)531222133=--abb a b a4))65)(41(561312112132-----y x y x yx＝__________________________________四、设342=x，则xx xx --++222233的值为（ ）33.A 133.-B 1332.-C 1334.-D 五、已知81603,2767==yx，求yx 43-的值 六、 设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且0111,=++==zy x c b a zyx，求a ，b ，c 的值。
