二次函数的图象与性质2

初中数学二次函数的图象与性质2学习目标一、考点突破1. 理解并掌握系数a、b、c与函数图象的关系。

2. 掌握图象与坐标轴交点坐标、对称轴的计算方法。

二、重难点提示重点：系数a、b、c与函数图象的关系。

难点：应用系数与函数图象的关系解决问题。

考点精讲二次函数图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点的决定因素（以为例）1.决定了抛物线开口的大小和方向的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小。

2. b与a同时决定对称轴位置同号时，对称轴位置在y轴左侧；异号时，对称轴位置在y轴右侧。

总结：“左同右异”【综合拓展】关于对称轴：①；②当图象过（a，b）（c，b）时，则对称轴为。

3.决定了抛物线与轴交点的位置①当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；②当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；③当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负。

典例精讲例题1（绵阳）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，给出下列结论：①2a＋b＞0；②b＞a＞c；③若－1＜m＜n＜1，则m＋n＜－；④3|a|＋|c|＜2|b|，其中正确的结论（写出你认为正确的所有结论序号）。

思路分析：分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c 的符号，再利用特殊值法分析得出各选项。

答案：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜0，对称轴x ＝－＞1，－b ＜2a ，∴2a ＋b ＞0，故选项①正确；∵－b ＜2a ，∴b ＞－2a ＞0＞a ，令抛物线解析式为y ＝－x 2＋bx －，此时a ＝c ，要使抛物线与x 轴交点的横坐标分别为和2， 则2221+＝－)21(2-⨯b ，解得：b ＝，∴抛物线y ＝－x 2＋x －，符合“开口向下，与x 轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x ＝1右侧”的特点，而此时a ＝c ，（其实a ＞c ，a ＜c ，a ＝c 都有可能），故②选项错误；∵－1＜m ＜n ＜1，－2＜m ＋n ＜2，∴抛物线对称轴为：x ＝－＞1，＞2，m ＋n ＜，故选项③正确；当x ＝1时，a ＋b ＋c ＞0，2a ＋b ＞0，3a ＋2b ＋c ＞0，∴3a ＋c ＞－2b ，∴－3a －c ＜2b ， ∵a ＜0，b ＞0，c ＜0（图象与y 轴交于负半轴），∴3|a|＋|c|＝－3a －c ＜2b ＝2|b|，故④选项正确，故答案为①③④。

m2 m
4、已知点A（3，a）在二次函数y=x2的图像上。 (1）求a的值； （2）点B（3，-a）在二次函数y=x2的图像上吗？ 思考: 5、已知二次函数y=-x2. (1)当-2<x<-3时,求y的取值范围; (2)当-4<y<-1时,求x的取值范围. 6、已知抛物线y=ax2过M（-2，-2） （1）求出这个函数关系式并画出函数图象。 （2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐 标，并求出△MON的面积。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得-8=a(-2)2, 解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
（2）因为 4 2(1) 2 所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上。
x 3 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是 ( 3,6)与( 3,6)
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3,
x
y 2x2
课堂练习
1、根据左边已画好的函数图象填空：
（0，0） （1）抛物线y=2x2的顶点坐标是
,
对称轴是
2 2 y x 3
y轴
，在
对称轴的右 对称轴的左 0 0
侧，
时，
y随着x的增大而增大；在
侧，
y随着x的增大而减小，当x=
函数y的值最小，最小值是
线y=2x2在x轴的 （2）抛物线
2 y x2 3
y=x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
课堂练习
1、二次函数y=x2的图像开口 ，对称 轴是 ，顶点是 。x取任何 实数，对应的y值总是 数。 2、点A（2，-4）在函数y=-x2的图像上， 点A在该图像上的对称点的坐标是 。 1 2 1 2 3、二次函数y= x 与 y=- x 的图像关于 2 2 ___ 对称。 4、若点A（1，a）B（b，9）在函数y=x2 的图像上，则a= ,b= .

二次函数及其图象和性质（二）一、内容提要（一）二次函数的解析式：1．一般式：y=ax2+bx+c；其中a≠0, a, b, c 为常数2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。

3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。

注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。

（二）二次函数的图象：抛物线（三）性质：1．对称轴，顶点坐标：2．开口方向：a>0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。

a<0, 抛物线开口向下，并向下无限延伸。

3．增减性：（Ⅰ）a>0时，当x时，y随x增大而减少当x>时，y随x增大而增大（Ⅱ）a<0时，当x时，y随x增大而增大当x>时，y随x增大而减小4．最值：（Ⅰ）a>0时，当x=时，（Ⅱ）a<0时，当x= 时，5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C）特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。

6．抛物线与x轴的位置关系：（Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。

（Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（，0）（Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（，0）二、典型例题：例1．已知+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。

解：由题意得解得 m=-1∴y=-3x2+3x+6=,开口向下，顶点坐标（），对称轴x=。

说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。

例2．已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，(1)确定a,b,c, Δ=b2-4a c的符号，(2)求证:a-b+c>0, (3)当x取何值时，y>0, 当x取何值时y<0。

h＜0时,将抛物线y=ax2向 左 平移 h
个单位得到抛物线y=a(x–h)2 .
二次函数y=a(x-h)2 (a≠0)的图象和性质
a>0
图象
a<0
h>0
开口方向 顶点坐标 对称轴
增减性 最值
h<0
h>0
h<0
1.如何由y=4x2的图象得到y=4x2-3的图象. 说明y=4x2-3图象的顶点，对称轴，增减性. 2.如何由y=4x2的图象得到y=4(x+5)2的图象.
说明y=4(x+5)2图象的顶点，对称轴，增减性.
3.如何由y=4x2的图象得到y=4(x+5)2-3的图象.
练习
1 2 1.把抛物线 y x 向下平移2个单位，可以得 1 22 到抛物线____________ ，再向上平移5个单 y x 2 2 1 2 位，可以得到抛物线 y x 3 ； 2 2.对于函数y= –x2+1，当x ＜0 时，函数值y
a<0
k<0
增减性
最值
在同一直角坐标系中画出函数的图象.
y 2x , y 2( x 3) , y 2( x 1)
2 2
2
抛物线y=ax2与抛物线 y=a(x–h)2 (a、h是常数，a≠0 )的关系：
h＞0时,将抛物线y=ax2向 右 平移 h 个单位得到抛物线 y=a(x–h)2 ；
答：a=-2或4或-8.
1 2 9.已知抛物线 y x ，把它向下平 2 移，得到的抛物线与x轴交于A、B两
点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角
三角形，那么原抛物线应向下平移几 个单位？
10、已知抛物线y=3x2+m与x轴的交点为A、B（B在A