高三数学解三角形和数列

数列和解三角形大题专练1．(2023•济宁一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=1，na n+1=2S n+n(n∈N*)．(1)求证：数列为常数列；(2)设，求T n．2．(2023•江宁区一模)设S n为数列{a n}的前n项和，a2=7，对任意的自然数n，恒有．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若集合A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=3n，n∈N*}，将集合A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{b n}，计数列{b n}的前n项和为T n．求T102的值．3．(2023•汕头一模)已知T n为正项数列{a n}的前n项的乘积，且a1=3，=．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，求[S2023]([x]表示不超过x的最大整数)．4．(2023•广州模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．(1)求a，并证明数列是等差数列；1(2)若，求正整数k的所有取值．5．(2023•广东模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=na n，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，．6．(2023•宁波模拟)y=f(x)的图象为自原点出发的一条折线，当n-1≤y≤n(n∈N*)时，该函数图象是斜率为b n(b≠0)的一条线段．已知{a n}由定义．(1)用b表示a1，a2；(2)若b=2，记T n=a1+2a2+⋯+na n，求证：．7．(2023•邵阳二模)已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=2，S n+1=S n+4a n-3，记b n=log2(a n-1)+3．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)已知，记数列{c n}的前n项和为T n，求证：．8．(2022秋•慈溪市期末)记x i=x1+x2+x3+⋯+x n，，x i=x1×x2×x3×⋯×x n，n∈N*，已知数列{a n}和{b n}分别满足：a i=n2，b i=()n2+n．(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)求a i b i．9．(2023•南平模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，，a2=3．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．10．(2023•杭州一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+2=2a n．(1)求a2及数列{a n}的通项公式；(2)在a n与a n+1之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列，求数列{}的前n项和T n．11．(2023•南通模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2a n-n+1．(1)证明：数列{a n+1}是等比数列；(2)若数列{b n}满足b1=a2，，求数列{b n}的前14项的和．12．(2023•杭州一模)已知△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2c sin A cos B+2b sin A cos C=a，c>a．(1)求角A；(2)若b=2，BC边上中线AD=，求△ABC的面积．13．(2023•宁波模拟)记锐角△ABC的内角为A，B，C，已知sin2A=sin B sin C．(1)求角A的最大值；(2)当角A取得最大值时，求2cos B+cos C的取值范围．14．(2022秋•温州期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=1．(1)求B；(2)若，△ABC内切圆的面积为π，求△ABC的面积．15．(2023•龙岩模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角B；(2)若D是AC边上的点，且AD=3DC=3，∠A=∠ABD=θ，求sinθ的值．16．(2023•湖北模拟)在△ABC中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且c= 2，点D在线段BC上．(1)若，求AD的长；(2)若的面积为，求的值．17．(2023•南通模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，CD=2，．(1)若BC⊥CD，求sin∠ADC；(2)记△ABD与△BCD的面积分别记为S和S2，求的最大值．118．(2023•广州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a．(1)证明：sin A+sin C=2sin B；(2)若，求△ABC的面积．19．(2023•平湖市模拟)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角A的大小；(2)设AD是BC边上的高，且AD=2，求△ABC面积的最小值．20．(2023•烟台一模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-2b cos A=b．(1)求证：A=2B；(2)若A的角平分线交BC于D，且c=2，求△ABD面积的取值范围．参考答案与试题解析一．解答题(共20小题)1．(2023•济宁一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=1，na n+1=2S n+n(n∈N*)．(1)求证：数列为常数列；(2)设，求T n．【解答】解：(1)证明：∵na n+1=2S n+n，+n-1，n≥2，∴(n-1)a n=2S n-1两式相减得：na n+1-(n-1)a n=2a n+1，∴na n+1=(n+1)a n+1，+1)=(n+1)(a n+1)，∴n(a n+1∴，(n≥2)，又a2=2S1+1=2a1+1=3，∴，上式也成立，∴数列为常数列；(2)由(1)得，∴a n=2n-1，∴=，∴，两式相减得=，∴．2．(2023•江宁区一模)设S n为数列{a n}的前n项和，a2=7，对任意的自然数n，恒有．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若集合A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=3n，n∈N*}，将集合A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{b n}，计数列{b n}的前n项和为T n．求T102的值．【解答】解：(1)a2=7，对任意的自然数n，恒有，可得n=1时，a1=2a1-3，解得a1=3；n=2时，2a2=2S2-6=2(a1+a2)-6，解得a1=3；n=3时，3a3=2S3-9=2(a1+a2+a3)-9，解得a3=11．当n≥2时，na n=2S n-3n变为(n-1)a n-1=2S n-1-3(n-1)，两式相减可得(n-2)a n=(n-1)a n-1-3，当n≥3时，上式变为(n-3)a n-1=(n-2)a n-2-3，上面两式相减可得a n+a n-2=2a n-1，且a1+a3=2a2，所以数列{a n}是首项为3，公差为4的等差数列，可得a n=3+4(n-1)=4n-1；(2)集合A={x|x=4n-1，n∈N*}，B={x|x=3n，n∈N*}，集合A∪B中的所有元素的最小值为3，且3，27，243三个元素是{b n}中前102项中的元素，且是A∩B中的元素，所以T102=(a1+a2+a3+...+a100)+9+81=×100×(3+400-1)+90=20190．3．(2023•汕头一模)已知T n为正项数列{a n}的前n项的乘积，且a1=3，=．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，求[S2023]([x]表示不超过x的最大整数)．【解答】解：(1)T n为正项数列{a n}的前n项的乘积，且a1=3，=，可得n≥2时，==，即为=，两边取3为底的对数，可得(n-1)log3a n=n log3a n-1，即为==...==1，所以log3a n=n，则a n=3n，对n=1也成立，所以a n=3n，n∈N*；(2)b n===1-，数列{b n}的前n项和为S n=n-(++...+)>n-2(++...+)=n-1+，所以S2023>2023-1+=2022+>2022，又S2023=2023-(+...+)<2023，所以[S2023]=2022．4．(2023•广州模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．(1)求a1，并证明数列是等差数列；(2)若，求正整数k的所有取值．【解答】解：(1)证明：∵①，∴当n=1时，S1+2=2a1+1，解得a1=1，当n≥2时，S n-1+2n-1=2a n-1+1②，由①-②得a n+2n-1=2a n-2a n-1，即a n-2a n-1=2n-1，∴-=，又，∴数列{}是首项为，公差为的等差数列；(2)由(1)得=+(n-1)=n，即a n=n•2n-1，∴S n=1+2×2+3×22+...+n•2n-1③，2S n=2+2×22+3×23+...+n•2n④，由③-④得-S n=1+2+22+...+2n-1-n•2n=-n•2n=(1-n)2n-1，∴S n=(n-1)•2n+1，则S2k=(2k-1)•22k+1，2=k2•22k-1，∵，∴k2•22k-1<(2k-1)•22k+1，即k2-4k+2-<0，令f(x)=x2-4x+2-，∵y=x2-4x+2=(x-2)2-2在(2，+∞)上单调递减，y=-在(2，+∞)上单调递减，∴f(x)=x2-4x+2-在(2，+∞)上单调递减，又f(1)=1-4+2-=-<0，f(2)=4-8+2-=-<0，f(3)=9-12+2-=-<0，f(4)=2->0，要使，即f(x)<0，故正整数k的所有取值为1，2，3．5．(2023•广东模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=na n，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，．【解答】解：(1)∵，∴n≥2时，S1+2S2+⋯+(n-1)S n-1=(n-1)3，相减可得：nS n=n3-(n-1)3，可得S n=3n-3+，n=1时，a1=S1=1．n≥2时，a n=S n-S n-1=3n-3+-[3(n-1)-3+]=3+-，n=1时，上式不满足，∴a n=．(2)证明：n=1时，b1=1，n≥2时，b n=na n=3n+1-=3n-，当n≥3时，数列{b n}的前n项和为T n=1+6-1+3×(3+4+⋯+n)-(++⋯+)=6+3×-(++⋯+)=-3-(++⋯+)，要证明当n≥3时，，即证明当n≥3时，1≤++⋯++，令f(n)=++⋯++-1，n=3时，f(3)=0成立，而f(n)单调递增，因此当n≥3时，1≤++⋯++成立，即当n≥3时，．6．(2023•宁波模拟)函数y=f(x)的图象为自原点出发的一条折线，当n-1≤y≤n(n∈N*)时，该函数图象是斜率为b n (b ≠0)的一条线段．已知数列{a n }由定义．(1)用b 表示a 1，a 2；(2)若b =2，记T n =a 1+2a 2+⋯+na n ，求证：．【解答】解：(1)由题意可得，，，解得：，；证明：(2)当b =2时，由，得，∴，则，∴T n =a 1+2a 2+⋯+na n =(1+2+...+n )-()=()，令P n =，则，∴==，∴，则>．7．(2023•邵阳二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=2，S n +1=S n +4a n -3，记b n =log 2(a n -1)+3．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)已知，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：．【解答】解：(1)由S n +1=S n +4a n -3，可得S n +1-S n =4a n -3，即a n +1=4a n -3，即有a n +1-1=4(a n -1)，可得a n -1=(a 1-1)•4n -1=4n -1，则b n =log 2(a n -1)+3=log 24n -1，+3=2n +1；(2)证明：=(-1)n +1•=(-1)n +1•(+)，当n为偶数时，T n=(+)-(+)+...-(+)=(-)，由{-}在n∈N*上递增，可得T n≥T2=(-)=；当nn为奇数时，T n=(+)-(+)+...+(+)=(+)，由>0，可得T n>>．所以．8．(2022秋•慈溪市期末)记x i=x1+x2+x3+⋯+x n，，x i=x1×x2×x3×⋯×x n，n∈N*，已知数列{a n}和{b n}分别满足：a i=n2，b i=()n2+n．(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)求a i b i．【解答】解：(1)∵a i=n2，b i=()n2+n，∴n≥2时，a n=n2-(n-1)2=2n-1，b n===3n．n=1时，a1=1，b1=3，满足上式，∴a n=2n-1，b n=3n．(2)a n b n=(2n-1)3n．∴a i b i=T n=3+3×32+5×33+⋯+(2n-1)3n，3T n=32+3×33+⋯+(2n-3)3n+(2n-1)3n+1，相减可得：-2T n=3+2(32+33+⋯+3n)-(2n-1)3n+1=3+2×-(2n-1)3n+1，化为：T n=(n-1)3n+1+3，即a i b i=(n-1)3n+1+3．9．(2023•南平模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，，a2=3．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．【解答】解：(1)因为a n+1=S n+1-S n，所以由，得，所以，所以，即．在中，令n=1，得，所以a1=1．所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，即：．当n≥2时，，a1=1也适合上式，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1．(2)由(1)知，，所以，因为b n>0，所以T n随着n的增大而增大，所以，又显然，所以，即T n的取值范围为．10．(2023•杭州一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+2=2a n．(1)求a及数列{a n}的通项公式；2(2)在a n与a n+1之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列，求数列{}的前n项和T n．【解答】解：(1)由题意，当n=1时，S1+2=a1+2=2a1，解得a1=2，当n=2时，S2+2=2a2，即a1+a2+2=2a2，解得a2=4，当n≥2时，由S n+2=2a n，可得S n-1+2=2a n-1，两式相减，可得a n=2a n-2a n-1，整理，得a n=2a n-1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2•2n-1=2n，n∈N*．(2)由(1)可得，，，在a n与a n+1之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列，则有a n+1-a n=(n+1)d n，∴，∴，∴T n=++•••+=+++•••+，，两式相减，可得T n=+++•••+-=1+-=-，∴T n=3-．11．(2023•南通模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2a n-n+1．(1)证明：数列{a n+1}是等比数列；(2)若数列{b n}满足b1=a2，，求数列{b n}的前14项的和．【解答】解：(1)S n=2a n-n+1⋯①，则S n+1=2a n+1-(n+1)+1⋯②，②-①，得a n+1=2a n+1-2a n-1，即a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2(a n+1)，即，令S n=2a n-n+1中n=1，得S1=a1=2a1-1+1，解得a1=0，则a1+1=1，∴{a n+1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，则，∴，且，∴当n为偶数时，，即，∴b1+b2+⋯+b14=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+⋯+(b12+b13)+b14=1+21-1+23-1+⋯+211-1+212-1=．12．(2023•杭州一模)已知△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2c sin A cos B+2b sin A cos C=a，c>a．(1)求角A；(2)若b=2，BC边上中线AD=，求△ABC的面积．【解答】解：(1)∵2c sin A cos B+2b sin A cos C=a，∴由正弦定理得2sin C sin A cos B+2sin B sin A cos C=3sin A，∵sin A>0，∴sin C cos B+sin B cos C=，∴sin(B+C)=，∵A+B+C=π，∴sin A=，∵c>a，∴；(2)∵，则，b=2，BC边上中线AD=，故，解得，∴．13．(2023•宁波模拟)记锐角△ABC的内角为A，B，C，已知sin2A=sin B sin C．(1)求角A的最大值；(2)当角A取得最大值时，求2cos B+cos C的取值范围．【解答】解：(1)∵sin2A=sin B sin C，∴在锐角△ABC中，由正弦定理得a2=bc，∴，∵0<A≤，故角A的最大值为；(2)由(1)得，则C=-B，则=，在锐角△ABC中，<B<，∴B+∈(，)，∴sin(B+)∈(，)，故2cos B+cos C的取值范围为(，)．14．(2022秋•温州期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=1．(1)求B；(2)若，△ABC内切圆的面积为π，求△ABC的面积．【解答】解：(1)因为=1，∴b cos C+b sin C-a-c=0，根据正弦定理可得：sin B cos C+sin B sin C-sin A-sin C=0又A+B+C=π，∴sin B cos C+sin B sin C-sin(B+C)-sin C=0，∴sin B sin C-cos B sin C-sin C=0，又C∈(0，π)，∴sin C>0，∴，∴，又B∈(0，π)，∴，∴，∴；(2)∵△ABC内切圆的面积为π，所以内切圆半径r=1．由于，∴，①由余弦定理得，b2=(a+c)2-3ac，∴b2=48-3ac，②联立①②可得，即，解得或(舍去)，∴．15．(2023•龙岩模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角B；(2)若D是AC边上的点，且AD=3DC=3，∠A=∠ABD=θ，求sinθ的值．【解答】解：(1)△ABC中，，所以+=，由正弦定理得，=，因为sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，所以=；又因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin B=cos B，即tan B=，又因为B∈(0，π)，所以B=．(2)因为D是AC边上的点，且AD=3DC=3，∠A=∠ABD=θ，所以∠BDC=2θ，AD=BD=3，DC=1，AC=4，在△ABC中，由正弦定理得，=，所以BC==8sinθ，在△BDC中，由余弦定理得，BC2=BD2+CD2-2BD•CD cos2θ=10-6cos2θ，所以64sin2θ=10-6cos2θ，所以52sin2θ=4，解得sin2θ=，又因为θ∈(0，)，所以sinθ=．16．(2023•湖北模拟)在△ABC中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且c= 2，点D在线段BC上．(1)若，求AD的长；(2)若的面积为，求的值．【解答】解：(1)由，得2sin B sin(A+)=sin A+sin C=sin A+sin A cos B+ cos A sin B，∴sin A sin B+sin B cos A=sin A+sin A cos B+cos A sin B，∴sin B-cos B=2sin(B-)=1，又B∈(0，π)，∴B-=，∴B=，∵，∴∠ADB=，在△ABD中，由正弦定理得=，∴=，解得AD=；(2)设CD=t，则BD=2t，又S△ABC=3，∴×2×3t×=3，解得t=2，∴BC=3t=6，又AC===2，在△ABD中，由正弦定理可得=，∴sin∠BAD=2sin∠ADB，在△ACD中，由正弦定理可得=，∴sin∠CAD=sin∠ADC，∵sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC，∴==2．17．(2023•南通模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，CD=2，．(1)若BC⊥CD，求sin∠ADC；(2)记△ABD与△BCD的面积分别记为S和S2，求的最大值．1【解答】解：(1)∵BC⊥CD，∴，，，，，∴sin∠ADC=sin(∠BDC+∠ADB)=sin∠BDC cos∠ADB+cos∠BDC sin∠ADB=；(2)设∠BAD=α，∠BCD=β，∴，∴，∴①，==，当且仅当，时取最大值，综上，，的最大值是．18．(2023•广州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a．(1)证明：sin A+sin C=2sin B；(2)若，求△ABC的面积．【解答】证明：(1)∵a，∴，∴a(1+cos C)+c(1+cos A)=3b，∴由正弦定理可得，sin A(1+cos C)+sin C(1+cos A)=3sin B，∴sin A+sin A cos C+sin C+sin C cos A=3sin B，∴sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B，∵A+B+C=π，∴sin A+sin C+sin B=3sin B，∴sin A+sin C=2sin B；(2)∵sin A+sin C=2sin B，∴a+c=2b，∵b=2，∴a+c=4①，∵，∴bc cos A=3，∴a2=b2+c2-2bc•cos A，即a2=4+c2-6，∴c2-a2=2，即(c-a)(c+a)=2，∴c-a=②，联立①②解得，a=，c=，∴，∴sin A=，∴S△ABC===．19．(2023•平湖市模拟)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角A的大小；(2)设AD是BC边上的高，且AD=2，求△ABC面积的最小值．【解答】解：(1)左边=，右边=，由题意得⇒sin(B+C)+cos(B +C)=0⇒tan(B+C)=-1，即tan A=1，又因为0<A<π，所以；(2)由，由余弦定理得，，，当且仅当b=c 时取“等号”，而，故．20．(2023•烟台一模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-2b cos A=b．(1)求证：A=2B；(2)若A的角平分线交BC于D，且c=2，求△ABD面积的取值范围．【解答】证明：(1)∵c-2b cos A=b，∴由正弦定理可得，sin C-2sin B cos A=sin B，∵A+B+C=π，∴sin(A+B)=sin C，∴sin(A+B)-2sin B cos A=sin A cos B+cos A sin B-2sin B cos A=sin B，∴sin(A-B)=sin B，∵△ABC为锐角三角形，∴A∈(0，)，B∈(0，)，∴A-B∈，∵y=sin x在(-，)上单调递增，∴A-B=B，即A=2B；(2)解：∵A=2B，∴在△ABD中，∠ABC=∠BAD，由正弦定理可得，=，∴AD=BD=，∴=，∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，∴，∴△ABD面积的取值范围为()．。

平平面面向向量量㊁㊁三三角角函函数数㊁㊁解解三三角角形形㊁㊁数数列列 跟跟踪踪训训练练ʏ河南省商丘市实验中学马春林一、选择题1.已知角θ的终边在直线y=-22x 上,则8s i n2θ-1c o sθ等于()㊂A.6B.6或12C.-6或12D.-6或-122.已知әA B C的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2b c o s C,b-ac-a= s i n A+s i n Cs i n B,则әA B C是()㊂A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.已知等比数列{a n}中,a2=3,a5=81,b n=l o g3a n,数列{b n}的前n项和为T n,则T8=()㊂A.36B.28C.45D.324.已知在әA B C中,3s i n A,3,4c o s B 成等差数列,3c o s A+4s i n B=l o g66,则角C 的大小为()㊂A.5π6B.π2C.π6D.π6或5π65.已知向量a=(c o s2α,s i nα),b=(1, 2s i nα-1),αɪπ2,π,若a㊃b=25,则t a nα+π4的值为()㊂A.23B.13C.27D.176.已知α,β为锐角,且3c o sα(s i nβ+1) =2s i nα-12c o sα,c o s5π2-α-c o sα-3π=6s i nπ-βs i nπ2+α,则s i nβs i nα等于()A.3105B.2109C.109D.1067.在әA B C中,点P满足B Pң=3P Cң,过点P的直线与A B,A C所在的直线分别交于点M,N,若A Mң=λA Bң,A Nң=μA Cң(λ> 0,μ>0),则λ+μ的最小值为()㊂A.22+1B.32+1C.32D.528.已知G是әA B C的重心,A Gң=λ㊃A Bң+μA Cң(λ,μɪR),若øA=120ʎ,A Bң㊃A Cң=-2,则|A Gң|的最小值是()㊂A.33B.22C.23D.349.已知әA B C是边长为2的等边三角形,且A Eң=E Bң,A Dң=2D Cң,则B Dң㊃C Eң= ()㊂A.-3B.-2C.-1D.310.定义一种运算:a⊗b=a,aɤb,b,a>b,令f(x)=(c o s2x+s i n x)⊗54,且xɪ0,π2,则函数y=f x-π2+34的最大值是()㊂A.54B.74C.2D.311.已知әA B C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且s i n2(B+C)=s i n2B+ s i n2C+s i n B s i n C,a=6,则当әA B C的面积最大时,әA B C的周长L等于()㊂A.6+23B.26+3C.6+22D6+23212.已知函数f(x)=s i n(ωx+φ)ω>0,|φ|ɤπ2,x=-π4为f(x)的零点, x=π4为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在π18,5π36内单调,则ω的最大值为()㊂A.11B.9C.7D.513.若M是边长为2的正六边形A B C-D E F内及边界上一动点,则A Bң㊃A Mң的最大值与最小值之差为()㊂A.2B.4C.6D.814.已知f(x)=2s i n2ωx+π3-1(ω>0),给出下列结论:①若f(x1)=1,f(x2)=-1,且|x1-x2|m i n=π,则ω=1;②存在ωɪ(0,2),使得f(x)的图像向左平移π6个单位长度后得到的图像关于y轴对称;③若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点,则ω的取值范围为4124,4724;④若f(x)在-π6,π4上单调递增,则ω的取值范围为0,23㊂其中,所有正确结论的编号是()㊂A.①②B.②③C.①③D.②④二㊁填空题15.已知向量a=(1,3),向量b为单位向量,且a㊃b=1,则2b-a与2b的夹角为㊂16.设数列{a n}是首项为1的正项数列,且(n+1)a2n+1-n a2n+a n+1a n=0(n=1,2, 3, ),则数列{a n}的通项公式是㊂17.已知数列a n c o s nπ3的前n项和为S n,S2017=5710,S2018=4030,若数列{a n}为等差数列,则S2019=㊂18.若s i n3θ-c o s3θ>c o s5θ-s i n5θ7,且θɪ(0,2π),则θ的取值范围是㊂19.已知S n为数列{a n}的前n项和,a1 =a2=1,平面内三个不共线的向量O Aң,O Bң, O Cң,满足O Cң=(a n-1+a n+1)O Aң+(1-a n)㊃O Bң,nȡ2,nɪN*,若A,B,C在同一条直线上,则S2018=㊂20.已知数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+1n,若对于任意的nɪN*,a n<λ2+2λ恒成立,则实数λ的取值范围是㊂21.已知首项为正数的等比数列{a n}的公比为q,曲线C n:a n x2+a n+1y2=1,则下列叙述正确的为㊂①q=1,C n为圆;②q=-1,C n的离心率为2;③q>1,C n的离心率为1-1q;④q<0,C n为共渐近线的双曲线㊂22.在әA B C中,A C=6,B C=7,c o s A =15,O是әA B C的内心,若O Pң=x O Aң+ y O Bң,其中0ɤxɤ1,0ɤyɤ1,则动点P的轨迹所覆盖的面积为㊂23.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n>0,2S n=a2n+a n,若不等式2S n+9ȡ(-1)n k a n对任意的nɪN*恒成立,则k的取值范围是㊂24.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S7<0,S8>0,则a5a4的取值范围是㊂三㊁解答题25.设递增数列{a n}满足a1=1,a1,a2, a5成等比数列,且对任意的nɪN*,函数f(x)=a n+2-a n+1-(a n-a n+1)c o s x-a n s i n x满足f(π)=0㊂(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}的前n项和为S n,b n= 1S n,数列{b n}的前n项和为T n,证明:T n<2㊂26.在平面直角坐标系x O y中,已知点A-12,0,B32,0,锐角α的终边与单位圆O交于点P㊂(1)当A Pң㊃B Pң=-14时,求α的值㊂(2)试问:在x轴上是否存在定点M,使得|A Pң|=12|M Pң|恒成立若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由㊂27.在әA B C中,a,b,c分别为内角A,B ,C 的对边,且2s i n A c o s C =2s i n B -s i n C ㊂(1)求A 的大小;(2)在锐角әA B C 中,若a =3,求b +c 的取值范围㊂28.已知函数f (x )的图像是由函数g (x )=c o s x 的图像经如下变换得到:先将g (x )图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得的图像向右平移π2个单位长度㊂(1)求函数f (x )的解析式,并求其图像的对称轴方程㊂(2)已知关于x 的方程f (x )+g (x )=m 在[0,2π)内有两个不同的解α,β㊂①求实数m 的取值范围;②请用含m 的式子表示c o s (α-β)㊂29.已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=11,且a 2,a 5,a 6成等比数列㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n|,求S n ㊂30.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,2S n n =a n +1-13n 2-n -23,n ɪN *㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:对一切正整数n ,有1a 1+1a 2++1a n<74㊂31.某地区森林原有木材存量为a ,且每年增长率为25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ,设a n 为n 年后该地区森林木材的存量㊂(1)求a n 的表达式㊂(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量应不少于79a ,如果b =1972a ,那么该地区今后会发生水土流失吗若会,需要经过多少年?(参考数据:l g 2ʈ0.3)32.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=-94,且4S n +1=3S n -9㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{b n }满足3b n +(n -4)a n =0,记{b n }的前n 项和为T n ,若T n ɤλb n 对任意的n ɪN *恒成立,求λ的取值范围㊂33.已知向量m =(s i n x ,1),n =3A c o s x ,A 2c o s 2x(A >0),函数f (x )=m ㊃n 的最大值为6㊂(1)求A 的值,以及函数图像的对称轴方程和对称中心;(2)将函数y =f (x )的图像向左平移π12个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图像,求y =g (x )在0,5π24上的值域㊂参考答案:一㊁选择题1.B2.A3.B4.C5.D6.B7.B8.C9.B 10.C 11.C 12.B 13.D 14.D 二㊁填空题15.π3 16.a n =1n 17.666 18.π4,5π419.2 20.(-ɕ,-3]ɣ[1,+ɕ) 21.①③④ 22.106323.[-7,7.25] 24.(-ɕ,-1)三㊁解答题25.(1)因为f (x )=a n +2-a n +1-(a n -a n +1)c o s x -a n s i n x ,所以f (π)=a n +2-a n +1+a n -a n +1=0,即2a n +1=a n +a n +2,故{a n }是以1为首项的等差数列㊂设数列{a n }的公差为d ,则d >0㊂因为a 1,a 2,a 5成等比数列,所以a 22=a 1a 5,即(a 1+d )2=a 1(a 1+4d ),又a 1=1,解得d =2,所以a n =2n -1㊂(2)由(1)可得S n =(a 1+a n )n 2=n 2,所以b n =1n2,因此T 1=b 1=1<2㊂又因为当n ȡ4时,1n 2<1n (n -1)=1n -1-1n ,所以T n =b 1+b 2+b 3+ +b n =112+122+132+ +1n 2<112+11ˑ2+12ˑ3+ +1n n -1 =1+1-12+ +1n -1-1n =2-1n<2㊂综上所述,T n <2㊂26.(1)由题意知P (c o s α,s i n α),则A P ң=c o s α+12,s i n α ,B P ң=c o s α-32,s i n α㊂所以A P ң㊃B Pң=c o s α+12㊃c o s α-32+s i n 2α=c o s 2α-c o s α-34+s i n 2α=14-c o s α=-14,即c o s α=12㊂又因为α为锐角,所以α=π3㊂(2)存在㊂设M (m ,0),则M P ң=(c o s α-m ,s i n α)㊂所以|A P ң|2=c o s α+122+s i n 2α=1+c o s α+14=c o s α+54;|M P ң|2=(c o s α-m )2+s i n 2α=1-2m c o s α+m 2㊂因为|A P ң|=12|M P ң|,所以c o s α+54=14(1-2m c o s α+m 2),即1+m 2c o s α+1-m 24=0对任意的αɪ0,π2 恒成立,所以1+m 2=0,1-m24=0,解得m =-2,即点M 的横坐标为-2㊂27.(1)在әA B C 中,因为B =π-A +C,所以2s i n A c o s C =2s i n B -s i n C =2s i n A c o s C +2c o s A s i n C -s i n C ⇒2c o s A s i n C =s i n C ㊂又因为s i n C ʂ0,所以c o s A =12,故A =π3㊂(2)在锐角әA B C 中,a =3,由(1)知A =π3,B +C =2π3㊂由正弦定理得a s i n A =332=2,b +c =2s i n B +2s i n C =2s i n B +2s i n B +π3=3s i n B +3c o s B =23s i n B +π6 ㊂因为B ɪ0,π2 ,C =2π3-B ɪ0,π2,所以B ɪπ6,π2 ,B +π6ɪπ3,2π3 ,s i n B +π6 ɪ32,1,所以b +c =23㊃s i n B +π6 ɪ(3,23]㊂28.(1)将g (x )=c o s x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y =2c o s x 的图像,再将y =2c o s x 的图像向右平移π2个单位长度后得到y =2c o s x -π2的图像,故f (x )=2s i n x ㊂所以函数f (x )=2s i n x 图像的对称轴方程为x =k π+π2,k ɪZ ㊂(2)①f (x )+g (x )=2s i n x +c o s x =5s i n (x +φ),其中s i n φ=15,c o s φ=25㊂依题意,s i n (x +φ)=m5在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当m5<1时成立,故m 的取值范围是(-5,5)㊂②因为α,β是方程5s i n (x +φ)=m 在区间[0,2π)内的两个不同的解,所以s i n (α+φ)=m5,s i n (β+φ)=m5㊂当1<m <5时,α+β=2π2-φ,即α-β=π-2(β+φ);当-5<m <1时,α+β=23π2-φ ,即α-β=3π-2(β+φ)㊂所以c o s (α-β)=-c o s 2(β+φ)=2s i n 2(β+φ)-1=2m 52-1=2m 2-55㊂29.(1)设{a n }的公差为d (d ʂ0),由题意得a 25=a 2a 6,即(a 1+4d )2=(a 1+d )㊃(a 1+5d ),化简得2a 1d +11d 2=0,又因为a 1=11,所以d =-2或d =0(舍去),所以a n =-2n +13㊂(2)由(1)知,当n ɤ6时,a n >0;当n ȡ7时,a n <0㊂当n ɤ6时,S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n |=a 1+a 2+a 3+ +a n =n a 1+n (n -1)2=12n -n 2;当n ȡ7时,S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n |=a 1+a 2+a 3+ +a 6-(a 7+a 8+ +a n )=2S 6-S n =72-(12n -n 2)=n 2-12n +72㊂综上可得,S n =12n -n 2,n ɤ6,n 2-12n +72,n ȡ7㊂30.(1)因为2S n n =a n +1-13n 2-n -23,n ɪN *,所以2S n =n a n +1-13n 3-n 2-23n =n a n +1-n (n +1)(n +2)3㊂所以当n ȡ2时,2S n -1=(n -1)a n -(n -1)n (n +1)3㊂故2a n =2S n -2S n -1=n a n +1-(n -1)㊃a n -n (n +1)⇒a n +1n +1-a nn=1㊂所以数列a nn是首项为a 11=1,公差为1的等差数列,故a nn=1+1ˑ(n -1)=n ,所以a n =n 2(n ȡ2)㊂当n =1时,上式显然成立㊂综上可得,a n =n 2(n ɪN *)㊂(2)由(1)知,a n =n 2(n ɪN *)㊂当n =1时,1a 1=1<74,即原不等式成立㊂当n =2时,1a 1+1a 2=1+14<74,即原不等式也成立㊂当n ȡ3时,因为n 2>(n -1)(n +1),所以1n2<1(n -1)(n +1)=121n -1-1n +1㊂所以1a 1+1a 2+ +1a n=112+122+ +1n2<1+11ˑ3+12ˑ4+ +1(n -2)n +1(n -1)(n +1)=1+1211-13 +1212-14 + +121n -2-1n+121n -1-1n +1 =1+121-13+12- 14+ +1n -2-1n +1n -1-1n +1 =1+121+12-1n -1n +1=74+12㊃-1n -1n +1 <74㊂所以当n ȡ3时,原不等式成立㊂综上可得,对一切正整数n ,有1a 1+1a 2++1a n<74㊂31.(1)设第一年森林的木材存量为a 1,第n 年后森林的木材存量为a n ,所以a 1=a 1+14-b =54a -b ,a 2=54a 1-b =54 2a -54+1b ,a 3=54a 2-b =54 3a -54 2+54+1 b , ,a n=54 na -54 n -1+54 n -2+ +1b =54 na -454 n-1b ,n ɪN *㊂(2)依题意可知,当b =1972a 时,由a n <79a ,得54n a -454n-1ˑ1972a <79a ,化简得54 n>5,所以n >l g 5l g 5-2l g 2=1-l g 21-3l g 2ʈ7㊂故该地区今后会发生水土流失,需要经过8年㊂32.(1)当n =1时,4(a 1+a 2)=3a 1-9,又a 1=-94,故4a 2=-a 1-9=94-9=-274⇒a 2=-2716㊂当n ȡ2时,由4S n +1=3S n -9,得4S n =3S n -1-9,所以4S n +1-4S n =4a n +1=3a n ,得a 2=34a 1=-2716ʂ0,所以a n ʂ0,故a n +1a n=34㊂又因为a 2a 1=34,所以{a n }是首项为-94,公比为34的等比数列㊂所以a n =-94㊃34n -1=-3㊃34n㊂(2)由3b n +n -4 a n =0,得b n =-n -43a n =(n -4)34n㊂所以T n =(-3)ˑ34+(-2)ˑ342+(-1)ˑ343+0ˑ344+ +(n -4)ˑ34n㊂所以34T n =(-3)ˑ342+(-2)ˑ34 3+(-1)ˑ34 4+0ˑ34 5+ +(n -4)34 n +1㊂所以14T n =T n -34T n =(-3)ˑ34+342+343+344+ +34n-(n -4)34n +1=-94+9161-34 n -11-34-(n -4)34n +1=-n34n +1㊂所以T n=-4n34n +1㊂由T n ɤλb n 恒成立,得-4n 34n +1ɤλ(n -4)34n恒成立,即λ(n -4)+3n ȡ0恒成立㊂当n =4时,不等式恒成立;当n <4时,λɤ-3n n -4=-3-12n -4,得λɤ1;当n >4时,λȡ-3n n -4=-3-12n -4,得λȡ-3㊂综上可得,-3ɤλɤ1㊂所以λ的取值范围是[-3,1]㊂33.(1)因为m =(s i n x ,1),n =3A c o s x ,A 2c o s 2x(A >0),所以f (x )=m ㊃n =3A s i n x c o s x +A 2c o s 2x =A s i n 2x +π6㊂由函数f (x )=m ㊃n 的最大值为6⇒A =6㊂由2x +π6=π2+k π,k ɪZ ⇒x =π6+k π2,k ɪZ ,即对称轴方程为x =π6+k π2,k ɪZ ㊂当2x +π6=k π时,y =0,即对称中心为-π12+k π2,0,k ɪZ ㊂(2)由(1)知函数f (x )=6s i n 2x +π6㊂将函数y =f (x )的图像向左平移π12个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标保持不变,得到g (x )=6s i n 4x +π3㊂因为x ɪ0,5π24,所以4x +π3ɪπ3,7π6 ,所以s i n 4x +π3 ɪ-12,1 ,所以g (x )ɪ[-3,6]㊂所以g (x )的值域为[-3,6]㊂(责任编辑 王福华)。

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．23．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=﹣3∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B．二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=﹣63．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，=2a n﹣1+1，②，当n≥2时，S n﹣1由①﹣②可得a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6==﹣63，故答案为：﹣63三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，则（b n﹣b n）a n=4n﹣1，+1﹣b n=（4n﹣1）•（）n﹣1，即有b n+1可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，b n=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，相减可得b n=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得b n=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==﹣2．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，a n=2n﹣1，当q=﹣2时，a n=（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n﹣1，或a n=（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，S n===，由S m=63，得S m==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n===2n﹣1，由S m=63，得S m=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．。

专题09 解三角形（一） 三角形中的求值问题1.例题【例1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( )A ． 3B ．2C ．2 2D ．3【例2】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（ ）A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 【例3】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4a =，b =cos (2)cos c B a b C =-，则ABC ∆的面积为______．【例4】（2017·全国高考真题（理））△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、, 已知△ABC 的面积为23sin a A．(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【例5】如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.2.巩固提升综合练习【练习1】（2019·全国高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【练习2】（2018·全国高考真题）△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知bsinC +csinB =4asinBsinC ，b 2+c 2−a 2=8，则△ABC 的面积为________． 【练习3】 在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【练习4】在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．2【练习5】已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S ．【练习6】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ． (1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积．（二）三角形中的最值或范围问题1.例题【例1】在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin A sin B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．【例2】已知在锐角ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos cosb Cc B=，则111tan tan tanA B C++的最小值为（）A B C D．【例3】已知△ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin B cos C ＋32c sin C＝2R，则△ABC面积的最大值为( )A．25B．45C．255D．125【例4】在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos Ccos cos cos2ab Ac A B+=，ABC∆，则ABC∆周长的最小值为______.2.巩固提升综合练习【练习1】 设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【练习2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( ) A ．2＋3 B ．2＋2 C ．3D ．3＋2【练习3】已知ABC ∆1,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______.【练习4】在ABC ∆中，23BAC π∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC ∆面积的最大值为__________．（三）解三角形的实际应用必备知识：实际测量中的有关名称、术语南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角1.例题【例1】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【例2】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【例3】某人在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为____________米．2.巩固提升综合练习【练习1】甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【练习2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为( )A.1762海里/时B ．346海里/时 C.1722海里/时D ．342海里/时【练习3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217秒．在A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B ＝( )A ．32B ．233C ．33D ．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎪⎭⎫⎝⎛+6πB 则b ＝( ) A ．1 B.2 C.3D.53．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝32，tan B ＝2tan A ，则△ABC 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．32D ．423．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( ) A ．223B ．24C ．64D ．634．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，6) C ．(2，3)D ．(6，4)5．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =2，B =45°，若三角形有两解，则b 的取值范围是_______.6．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝12，延长BC至点D ，若BD ＝2，则△ACD 面积的最大值为________．8．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 9．若满足3ABC π∠=， AC =3， ,BC m ABC =恰有一解，则实数m 的取值范围是______．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ． (1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．12．已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅰ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。

实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。

解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。

高考数学重要考点_高考数学复习内容总结高考理科数学的考点1.【数列】【解三角形】数列与解三角形的知识点在解答题的第一题中，是非此即彼的状态，近些年的特征是大题第一题两年数列两年解三角形轮流来， 202x、2202x大题第一题考查的是数列，2202x大题第一题考查的是解三角形，故预计2202x大题第一题较大可能仍然考查解三角形。

数列主要考察数列的定义，等差数列、等比数列的性质，数列的通项公式及数列的求和。

解三角形在解答题中主要考查正、余弦定理在解三角形中的应用。

2.【立体几何】高考在解答题的第二或第三题位置考查一道立体几何题，主要考查空间线面平行、垂直的证明，求二面角等，出题比较稳定，第二问需合理建立空间直角坐标系，并正确计算。

3.【概率】高考在解答题的第二或第三题位置考查一道概率题，主要考查古典概型，几何概型，二项分布，超几何分布，回归分析与统计，近年来概率题每年考查的角度都不一样，并且题干长，是学生感到困难的一题，需正确理解题意。

4.【解析几何】高考在第20题的位置考查一道解析几何题。

主要考查圆锥曲线的定义和性质，轨迹方程问题、含参问题、定点定值问题、取值范围问题，通过点的坐标运算解决问题。

5.【导数】高考在第21题的位置考查一道导数题。

主要考查含参数的函数的切线、单调性、最值、零点、不等式证明等问题，并且含参问题一般较难，处于必做题的最后一题。

6.【选做题】今年高考几何证明选讲已经删除，选考题只剩两道，一道是坐标系与参数方程问题，另一道是不等式选讲问题。

坐标系与参数方程题主要考查曲线的极坐标方程、参数方程、直线参数方程的几何意义的应用以及范围的最值问题;不等式选讲题主要考查绝对值不等式的化简，求参数的范围及不等式的证明。

高考数学答题方法审题要点审题包括浏览全卷和细读试题两个方面。

开考前浏览。

开考前5分钟开始发卷，大家利用发卷至开始答题这段有限的时间，通过答前浏览对全卷有大致的了解，初步估算试卷难度和时间分配，据此统筹安排答题顺序，做到心中有数。

2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．23．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=﹣3∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B．二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=﹣63．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，=2a n﹣1+1，②，当n≥2时，S n﹣1由①﹣②可得a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6==﹣63，故答案为：﹣63三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，﹣b n）a n=4n﹣1，则（b n+1即有b n﹣b n=（4n﹣1）•（）n﹣1，+1可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，b n=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，相减可得b n=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得b n=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==﹣2．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，a n=2n﹣1，当q=﹣2时，a n=（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n﹣1，或a n=（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，S n===，由S m=63，得S m==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n===2n﹣1，由S m=63，得S m=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．。

高中数学解三角形精选题目（附答案）一、解三角解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．1.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.1.解：(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝1 2，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b＝7.注：利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332 D ．33解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π35．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.二、三角形的形状判定三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．注：根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12. 又0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.三、实际应用(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.注：应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x ＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.12．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝106，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30(m)．答案：3013.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝1003米．在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝BD2＋BC2＝200米，所以客车的速度v＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知EBsin 30°＝BCsin 45°，所以EB＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．巩固练习：1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.21 2C．28D．63解析：选D由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D.7 2解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC ＝12AB·BC sin∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin2θ＝±3 5.4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3 m B. 2 mC．2 3 m D. 3 m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BC sin B，∴334＝12×x×3×sin 30°，∴x＝ 3.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC ＝12AB·AC sin A＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝ 3.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B∵b cos C＋c cos B＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝a sin A，∴sin A＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sin A＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝39．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bc cos A＋2bc.又S＝12bc sin A，∴12bc sin A＝2bc－2bc cos A.∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.∴cos A＝1(舍去)或cos A＝15 17.答案：15 1710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。

高二数学（《解三角形》与《数列》）(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为 （ ）A 12-=n a nB )21()1(n a nn --= C )12()1(--=n a nn D )12()1(+-=n a nn 2．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q =（ ）A ．21-B ．2-C ．2D ．213．若∆ABC 中，sin A :sin B :sin C =2:3:4，那么cos C =（ ）A. 14-B.14C. 23-D.234．设数}{n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A ．1B ．2C ．2±D ．45．在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ⋅=，则3132log log b b ++……314log b +等于（ ） (A) 5 (B) 6 (C)7 (D)86．在ABC ∆中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（ ）A. b=10, A=450, C=600B. a=6, c=5, B=60C. a=7, b=5, A=600D. a=14, b=16, A=4507．在数列{}n a 中，12a =， 11ln (1)n n a a n+=++，则n a =（ ）A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 8．在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形9．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为（ ） AB3C3Dm10．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且132+=n n T S nn ，则55b a （ ）A 32 B 149 C 3120 D9711．已知{}n a 为公比q ＞1的等比数列，若20052006a a 和是方程24830x x -+=的两根，则20072008a a +的值是（ ）A 18B 19C 20D 2112．已知数列{}n a 中，11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+=上，则1231111nS S S S ++++=（ ）A.(1)2n n + B.2(1)n n + C.21n n + D.2(1)n n +二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知{}n a 为等差数列，3822a a +=，67a =，则5a =____________ 14. 已知数列｛a n ｝的前n 项和是21n S n n =++, 则数列的通项a n =__15．在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,且sin C =23,则∠C =16．△ABC 中，a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，ABC S ∆=23，那么b =三、解答题：（本大题分6小题共74分） 17.（本小题满分12分） 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c18．（本小题满分12分）等比数列{}n a 中， 72=S ，916=S ，求4S ．19. （本小题满分12分）在A B C △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（Ⅰ）若A B C △，求a b ，；（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求A B C △的面积．20．（12分）已知{}n a 是等差数列，其中1425,16a a ==（1）求{}n a 的通项;（2）求n a a a a ++++ 321的值。

高三数学解三角形试题1.在△ABC中，，点D在边BC上，，，，则AC＋BC＝_________________.【答案】3＋【解析】△ADC中，由cos∠DAC＝，得sin∠DAC＝，同理，由cos∠C＝，得sin∠C＝于是，sin∠ADC＝sin(∠DAC＋∠C)＝由正弦定理：，由此得：，又BC＝3DC于是，在△ABC中，由余弦定理，得由，得DC＝1从而BC＝3，AC＝即AC＋BC＝3＋考点:三角形中的三角函数，正弦定理，余弦定理2.如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，，，.（1）当时，求的大小；（2）求的面积S的最小值及使得S取最小值时的值.【答案】（1）θ＝60°；（2）当θ＝45°时，S取最小值.【解析】本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示DE，在中，利用正弦定理，用表示DF，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的DF和DE代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S的最小值.在△BDE中，由正弦定理得，在△ADF中，由正弦定理得． 4分由tan∠DEF＝，得，整理得，所以θ＝60°． 6分（2）S＝DE·DF＝． 10分当θ＝45°时，S取最小值． 12分【考点】正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式. 3.在△ABC中,若a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且cos2B+cosB+cos(A－C)=1,则有( ).A.a、c、b 成等比数列B.a、c、b 成等差数列C.a、b、c 成等差数列D.a、b、c成等比数列【答案】D【解析】由,.所以cos2B+cosB+cos(A－C)=1可化为.所以成等比数列.故选D.【考点】1.三角函数的恒等变换.2.正弦定理.3.方程中的消元思想.4.（2011•山东）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．【答案】（1）2 （2）2【解析】（1）因为所以即：cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣cosBsinA所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA所以=2（2）由（1）可知c=2a…①a+b+c=5…②b2=a2+c2﹣2accosB…③cosB=…④解①②③④可得a=1，b=c=2；所以b=25.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;(3)是否存在v,使得小艇以v海里/时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定v的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】(1) 小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小(2) 10海里/时 (3)存在，v的取值范围是(15,30)【解析】解:(1)法一设相遇时小艇的航行距离为s海里,则s===.=10,v==30.故当t=时,smin即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.法二若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向. 如图所示,设小艇与轮船在C处相遇.在Rt△OAC中,OC="20cos" 30°=10,AC="20sin" 30°=10.又AC=30t,OC=vt,此时,轮船航行时间t==,v==30.即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)如图所示,设小艇与轮船在B处相遇.由题意可得(vt)2=202+(30t)2-2×20×30t×cos(90°-30°),化简得v2=-+900=400(-)2+675.由于0<t≤,即≥2,所以当=2时,v取得最小值10,即小艇航行速度的最小值为10海里/时.(3)由(2)知v2=-+900,设=u(u>0),于是400u2-600u+900-v2=0.(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程(*)应有两个不等正根,即解得15<v<30.所以v的取值范围是(15,30).6.如图，在凸四边形中，为定点,为动点，满足.（I）写出与的关系式；（II）设的面积分别为和，求的最大值.【答案】（1）；（2）有最大值.【解析】本题主要考查解三角形中的余弦公式、三角形的面积公式、平方关系、配方法求函数的最值等数学知识，考查运用三角公式进行三角变换的能力、计算能力.第一问，在和中利用余弦定理分别求，两式联立，得到和的关系式；第二问，先利用面积公式展开求出和，化简，利用平方关系，将，转化为，，再将第一问的结论代入，配方法求函数最值.试题解析：（I）由余弦定理，在中，=，在中，.所以=，即 4分（II） 6分所以10分由题意易知，,所以当时，有最大值. 12分【考点】1.余弦定理；2.三角形面积公式；3.平方关系；4.配方法求函数最值.7.设的内角A，B，C所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，，则为（）A．4:3:2B．5:4:3C．6:5:4D．7:6:5【答案】C【解析】，，又、、为连续的三个正整数，设，，，（),由于，则，即，，解得，，，，由正弦定理得，选C.【考点】正弦定理、余弦定理、二倍角的正弦公式.8.中，角的对边分别为.已知.（I）求；（II）若，的面积为，且，求.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）在中，有差角，有单角，所以应将展开，将角统一为单角.由得：，再移项合并得：，这样可得的值，从而求出的值.（II）面积公式用哪一个？因为由（I）可得，所以用，由此可得…①为了求出，显然还应该再找一个含的等式.因为已知，在（I）题中又求出了，所以可用余弦定理再得一个含的等式：……………………………………………②这样联立①②便可求出的值.试题解析：（I），.（II）由（I）得，由面积可得：………………①因为，所以由余弦定理得：………………………②联立①②得或（舍）.综上：.【考点】1、三角恒等变换；2、余弦定理；3、三角形的面积；4、解方程组.9.已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，判断的形状．（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】依题意，，又，，在内易知，在内由余弦定理得，则（当且仅当时，等号成立），又有几何概率可知，即，，即，此时当且仅当，所以为等边三角形.【考点】正弦定理和余弦定理、基本不等式、几何概率.10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．【答案】【解析】∵a2+ab+b2﹣c2=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，∵C为三角形的内角，∴C=．【考点】余弦定理点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键11.如图，旅客从某旅游区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为 m/min，在甲出发2 min后，乙从乘缆车到，在处停留1 min后，再从匀速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路长1260 m ，经测量，，.（1）求索道的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）m （2）（3）（单位：m/min）【解析】（1）在中，∵，，∴，，从而.由正弦定理，得，所以索道的长为1040（m）.（2）假设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了m，乙距离处m，由余弦定理得，∵，即，故当(min)时，甲、乙两游客距离最短.（3）由正弦定理，，得（m），乙从出发时，甲走了（m），还需要走（m）才能到达，设乙步行的速度为m/min，由题意，，解得，∴为使两游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在（单位：m/min）范围内.【考点】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等基础知识，考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.12.已知点( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由点B的坐标可知B点在的图象上，由此可知若，则，若，则，二者为或的关系，故选C【考点】本题考查向量的应用和逻辑连接词的应用。

解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备:1.直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C =9０°，AB =c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

(1）三边之间的关系:a ２+ｂ２＝c 2。

（勾股定理） (２)锐角之间的关系：A ＋Ｂ=90°； （３)边角之间的关系:（锐角三角函数定义) s ｉｎA ＝ｃos B =c a ，cos A =sin B =c b ，ｔａn Ａ＝ba。

2.斜三角形中各元素间的关系:在△ABC 中,A 、B 、Ｃ为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、Ｃ的对边。

(１）三角形内角和：Ａ＋B +C =π。

(２)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径） （3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍ａ2=b 2+c 2-2ｂｃcos Ａ； b ２＝ｃ2+a 2-2c ａcos B ; c 2＝a ２＋ｂ２-2ａb c ｏｓC 。

3．三角形的面积公式:(1）∆S =21ah ａ=21bh b ＝21ch c (ｈａ、h b 、h c 分别表示ａ、b 、c 上的高）； （2）∆S =21ab s ｉｎC =21ｂc ｓi ｎA ＝21ac s ｉｎＢ;４．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. (2）两类余弦定理解三角形的问题:第1、已知三边求三角.②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ,0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评:应用正弦定理时(1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形;（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2:三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22,AC =2,3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。

重难点02 三角函数与解三角形【高考考试趋势】新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出,三角试题每年都考,而且文理有别,或"一大一小",或"三小",或"二小"("小"指选择题或填空题,"大"指解答题),解答题以简单题或中档题为主,选择题或填空题比较灵活,有简单题,有中档题,也有对学生能力和素养要求较高的题.三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内.备考时要熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化鉴于新课标核心素养的要求，三角函数与解三角形在实际背景下的应用也将是一个考试试点.考点主要集中在三角函数图像及其性质的应用，三角函数恒等变换，以及正弦余弦定理的应用.本专题在以往高考常见的题型上，根据新课标的要求，精选了部分预测题型，并对相应的题型的解法做了相应的题目分析以及解题指导，希望你在学习完本专题以后能够对三角函数以及解三角形的题型以及解答技巧有一定的提升.【知识点分析以及满分技巧】三角函数与解三角形：从返几年高考情况来看，高考对本部分内容的考查主要有，1.三解恒等变换与三角函数的图象、性质相结合；2.三角恒等变换与解三角形相结合；3.平面向量、不等式、数列与三角函数和解三角形相结合，难度一般不大，属中档题型.三角函数图形的性质以及应用：对于选择题类型特别是对称中心，对称轴等问题选项中特殊点的带入简单方便，正确率比较高.总额和性的问题一般采用换元法转化成最基本的函数问题去解答.对于三角函数有关恒等变换的题目应注重公式的变形.解三角形类型的大题中，重点是角边转化，但是要注意两边必须同时转化，对于对应的面积的最大值问题以及周长的最值问题一般转化成基本不等式去求，但是在用基本不等式的时候应注意不等式等号成立的条件.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2020·贵溪市实验中学高三月考（文））在中，角，，所对的边分别ABC :A B C 为，，，且，则的最大值是（ ）a b c BC c bb c +A ．8B ．6C ．D ．4【答案】D【分析】由已知可得：，11sin 22bc A a =所以，2sin a A =因为，所以222cos 2b c a A bc +-=2222cos sin 2cos b c a bc AA bc A +=+=+所以，222cos 4sin 46c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+≤ ⎪⎝⎭所以的最大值是4c bb c +故选：D2．（2020·南昌市新建一中（文））在中，内角，，所对应的边分别为ABC :A B C a ，，，且，若，则边的最小值为（）b c sin 2sin 0a B b A +=2a c +=b AB ．C ．2D【答案】D【分析】根据由正弦定理可得，sin2sin 0a B b A +=sin sin2sin sin 0A B B A +=即，，2sin sin cos sin sin 0A B B B A +=sin 0,sin 0A B ≠≠ ，，∴1cos 2B =-23B π∴=由余弦定理可得．()2222222cos 4b a c ac B a c ac a c ac ac=+-=++=+-=- ．2a c +=≥ 1ac ∴≤ 即．，243bac ∴=-≥，b ≥故边.b 故选：D ．3．（2020·吉林高三其他模拟（文））在中，内角，，所对的边分别为，ABC :A B C a ，，且，，在边上，且，则b c 3a =b =c =M AB BM CM =AMAB=（ ）A ．B ．C ．D ．14133423【答案】C【分析】因为，BM CM =所以为等腰三角形，MBC △因为，，．3a =b =c =由条件可得，222cos2a c b B ac +-==所以，解得3·cos 22BC BM B ==BM =所以AM AB BM =-=可得．34AM AB =故选：．C 4．（2020·河南郑州市·高三月考（文））已知的三个内角，，对应的边分ABC :A B C 别为，，，且，，成等差数列，则a b c sin 2a C π⎛⎫- ⎪⎝⎭()cos 4b B π-()cos 3c A π-的形状是（ ）ABC :A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形【答案】C【分析】，，sin cos 2a C a Cπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()cos 4cos b B b B π-=，()cos 3cos c A c Aπ-=-依题意得，2cos cos cos b B a C c A =--根据正弦定理可得，()2sin cos sin cos cos sin B B A C A C =-+即，()2sin cos sin sin B B A C B=-+=-又，则，sin 0B ≠1cos 2B =-又，所以，()0,B π∈23B π=故的形状是钝角三角形．ABC :故选：C ．5．（2020·安徽六安市·六安一中高三月考（文））已知的三个内角，，所ABC :A B C 对的边分别为，，，满足，且a b c 222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则的形状为（ ）sin sin 1A C +=ABC :A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为的非等腰三角形D ．顶角为的等腰三角形120120【答案】D【分析】因为，222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+所以，2221sin (1sin )1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+所以，222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-根据正弦定理可得，即，222a cb ac +-=-222122a c b ac +-=-所以，因为，所以，所以，1cos 2B =-0B π<<120B = 60A C += 由得，sin sin 1A C +=sin sin(60)1A A +-=得，sin sin 60cos cos 60sin 1AA A +-=得，1sin sin 12A A A +-=得，1sin 12A A +=得，因为为三角形的内角，所以，，sin(60)1A +=A 30A = 30C =所以为顶角为的等腰三角形.ABC :120故选：D6．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·高三月考（文））将函数的图象向右平2sin 2y x =移个单位得到函数的图象．若，则的值为（02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭()f x 50412f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ϕ）A ．B ．C ．D ．12π8π6π3π【答案】A依题意，函数，由得()()2sin 22)i (2s n 2f x x x ϕϕ-=-=50412f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故5124f f ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52sin 222sin 22124ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⨯-=--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，5sin 262sin 2ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22cos 22ϕϕϕ+=2cos 2ϕϕ=故，又，则，故，即.tan 2ϕ=02πϕ<<02ϕπ<<26πϕ=12πϕ=故选：A.7．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与αβ，轴的非负半轴重合，若角的终边过点，，且，则x α()21，()4cos 5αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（ ）sin β=ABCD【答案】C【分析】因为角的终边过点，所以是第一象限角，α()21，α所以sin α==cos α==因为，，所以为第一象限角，，0,2πβ⎛⎫∈⎪⎝⎭()4cos 5αβ+=αβ+所以，()sin 35αβ+==所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦3455==故选：C.8．（2020·罗山县楠杆高级中学高三月考（文））函数的()()cosln 2xx f x x e e π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】因为，()()()πcos ln sin ln 2x x x x f x x e e x e e --⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭所以，()()()()()sin ln sin ln x x x x f x x x e e x e e f x ---=-+=-+=-即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D ，()f x又因为，当且仅当时取等号，2xxy e e-=+≥=0x =所以，()ln ln 2ln10x x e e -+≥>=当时，，当时，，[)0,πx ∈sin 0x ≥[)π,2πx ∈sin 0x ≤所以，当时，，当时，，故排除A 、B ，[)0,πx ∈()0f x >[)π,2πx ∈()0f x ≤故选：C ．二、填空题9．（2020·新疆实验高三月考（文））在中，ABC :BC =，则外接圆的面积为______.222cos cos sin sin C A B B C --=ABC :【答案】π【分析】，222cos cos sin sin C A B B C --=，()()2221sin 1sin sin sin C A B B C∴----=即.222sin sin sin sin A C B B C --=由正弦定理得，222222a cb ac b --=⇒-=+由余弦定理得，所以，2222cos a c b bc A =+-cos A =，则，0A π<< 4A π=设的外接圆半径为，则，则,ABC :R 2sin BCRA =1R =则外接圆的面积为：，ABC :2R ππ=故答案为：.π10．（2020·山西高三期中（文））中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC :函数有极值点，则的取值范围是()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭______.【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】由题意，函数，()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+可得，()2222()f x x bx a c ac '=+++-因为函数有极值点，所以有两个不同的实数根，()f x 2222()0x bx a c ac +++-=可得，整理得，222(2)4()0b a c ac ∆=-+->222ac a c b >+-又由，2221cos 222a c b ac B ac ac +-=<=因为，所以，可得，(0,)B π∈3B ππ<<52333B πππ<-<当时，即时，取得最小值，最小值为；23B ππ-=23B π=cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 1π=-当时，即时，此时，233B ππ-=3B π=1cos 2cos 332B ππ⎛⎫-<= ⎪⎝⎭所以的取值范围是.cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭三、解答题11．（2020·山东济南市·高三开学考试）在四边形中，，是上的ABCD A C ∠=∠E AD 点且满足与相似，，，.BED ∆ABD ∆34AEB π∠=6DBE π∠=6DE =（1）求的长度；BD （2）求三角形面积的最大值.BCD【答案】（1）2）36+【分析】（1），4BED AEB ππ∠=-∠=在三角形中，，BDE sin sin DE BD DBE BED =∠∠即，6sinsin 64BD ππ=所以612=BD =（2）因为，所以，BED ABD ∆∆:C A ∠=∠=6DBE π∠=在三角形中，，BDC 2222cos 6BD DC BC DC BCπ=+-::所以，2272DCBC BC =+:所以，722DCBC BC ≥::所以，(72DCBC ≤:所以，((11sin 7218264BCD S DC BC π∆=≤⨯=::所以三角形面积的最大值为BCD 36+12．（2020·北京海淀区·人大附中高三月考）已知，(2sin ,sin cos )mx x x =-，记函数．,sin cos )n x x x =+ ()f x m n =⋅ （1）求函数取最大值时的取值集合；()f x x （2）设函数在区间是减函数，求实数的最大值．()f x ,2m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m【答案】（1） ；（2）.,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭56π【分析】（1）由题意，得，()2cos 22sin(26f x m n x x x π=⋅=-=- 当取最大值时，即，此时()f x sin(2)16x π-=22()62x k k Z πππ-=+∈所以的取值集合为．x ,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）由得3222262k x k πππππ+≤-≤+，41022266k x k ππππ+≤≤+536k x k ππππ+≤≤+所以的减区间，()f x 5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当，得是一个减区间，且1k =5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦52,36πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，5,,236m πππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以， 5(,]26m ππ∈所以的最大值为.m 56π13．（2020·宁夏固原市·固原一中高三月考（文））已知函数．()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭x ∈R（1）求的最小正周期；()f x （2）求在闭区间上的值域．()f x ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1）；（2）.π11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由已知，有21()cos sin 2f x x x x x ⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 2x x x =⋅-1sin 2cos 2)4x x =-+，11sin 22sin 2423x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的最小正周期；∴()f x 22T ππ==（2）∵，，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,366x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦当，即时，取得最大值为，236x ππ-=4x π=()f x 14当，即时，取得最小值为，232x ππ-=-12x π=-()f x 12-的值域为.()f x ∴11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））在的中，角，，的对边分ABC :A B C别为，且a b c ，，sin (sin sin )sin 0a A b A B c C ++-=（1）求角；C （2）若，求的取值范围.2c =+a b 【答案】（1）；（2）.23C π=2⎛ ⎝【分析】：（1）由，及正弦定理得sin (sin sinB)sin 0a A b A c C ++-=，2220a ab b c ++-=由余弦定理得，又，所以；2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-0C π<<23C π=（2）由及，得，即，2220a ab b c ++-=2c =224a ab b ++=2()4a b ab +-=所以，所以，当且仅当221()4()4ab a b a b =+-≤+a b +≤a b ==成立，又，所以，2a b c +>=2a b <+≤所以的取值范围为.+a b 2⎛ ⎝15．（2020·黑龙江高三月考（文））在中，角，，所对的边分别为，ABC :A B C a b，，，．c sin 3sin b A B =222b c a bc +-=（1）求外接圆的面积；ABC :（2）若的周长．BC ABC :【答案】（1）；（2）9.3π【分析】解：（1）因为，又，即，所以，sin 3sin b A B =sin sin a b A B =sin sin b A a B =3a =由，得，设外接圆的半径为2221cos 22b c a A bc --==3A π=ABC :R 则，所以外接圆的面积为．12sin a R A=⋅==ABC :3π（2）设的中点为，则．因为，BC D AD =()12AD AB AC =+ 所以，()()222221127||2444AD AB AC AB AC c b bc =++⋅=++= 即，又，，则 ，2227c b bc ++=222b c a bc +-=3a =22918bc b c =⎧⎨+=⎩整理得，解得或（舍去），则．所以的周长为9．()2290b -=3b =3-3c =ABC :。

高三数学解三角形试题1.在中，内角所对的边分别为.已知，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）求角的大小，由已知，可利用降幂公式进行降幂，及倍角公式变形得，移项整理，，有两角和与差的三角函数关系，得，可得，从而可得；（2）求的面积，由已知，，且，可由正弦定理求出，可由求面积，故求出即可，由，，故由即可求出，从而得面积．（1）由题意得，，即，，由得，，又，得，即，所以；（2）由，，得，由，得，从而，故，所以的面积为．点评：本题主要考查诱导公式，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，等基础知识，同时考查运算求解能力．2.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；(2)求S的最大值及此时θ角的值．【答案】（1）S＝＋sin(θ－)，其中0<θ<π（2）S取得最大值1＋，此时θ＝＋＝＝×1×1×sinθ＝sinθ，【解析】解：(1)S△ABD＝BD2．因为△BDC是正三角形，则S△BDC由△ABD及余弦定理，可知BD2＝12＋12－2×1×1×cosθ＝2－2cosθ，于是四边形ABCD的面积S＝sinθ＋ (2－2cosθ)，即S＝＋sin(θ－)，其中0<θ<π．(2)由(1)，知S＝＋sin(θ－)，由0<θ<π，得－<θ－<，故当θ－＝时，S取得最大值1＋，此时θ＝＋＝．3.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶8，则△ABC一定为()A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形【答案】D【解析】已知得a∶b∶c＝4∶5∶8，所以cosC＝－<0，选D项．4.已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S ＝(a＋b)2－c2，则tan C等于()A．B．C．－D．－【答案】C【解析】由2S＝(a＋b)2－c2得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×absin C＝a2＋b2＋2ab－c2，则absin C－2ab＝a2＋b2－c2，又因为cos C＝－1，所以cos C＋1＝，即2cos2＝sin cos ，所以tan ＝2，即tan C＝＝＝－5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)＝2cos sin＋sin2－cos2.(1)求函数f(A)的最大值；(2)若f(A)＝0，C＝，a＝，求b的值．【答案】（1）（2）3【解析】(1)f(A)＝2cos sin＋sin2－cos2＝sin A－cos A＝sin.因为0<A<π，所以－<A－<.当A－＝，即A＝时，f(A)取得最大值，且最大值为.(2)由题意知f(A)＝sin＝0，所以sin＝0.又知－<A－<，则A－＝0，∴A＝.因为C＝，所以A＋B＝，则B＝.由，得ab＝＝36.已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．【答案】15【解析】由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x－4，x，x＋4.由一个内角为120°知其必是最长边x＋4所对的角．由余弦定理，得(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)·cos 120°，∴2x2－20x＝0，∴x＝0(舍去)或x＝10.∴S＝×(10－4)×10×sin 120°＝15.△ABC7.设的内角所对的边长分别为，且，,则的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C．【解析】由题意根据正弦定理得，再由余弦定理得，即的最小值为4.【考点】解三角形.8.在中，已知（1）求；（2）若，的面积是，求.【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）用三角形三内角和定理及特殊角的三角函数值求解；（2）利用余弦定理与三角形的面积公式，得到关于、的方程组，解出即得.（1）在中，，，，.（2）由余弦定理，则，又的面积是，则，即，，即，.【考点】三角形三内角和定理，余弦定理，三角形的面积.9.在中，分别为角所对的三边，，(Ⅰ)求角；(Ⅱ)若，角等于，周长为，求函数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)根据题目条件，容易联想到余弦定理，求出角； (Ⅱ)求函数的取值范围，这是一个函数的值域问题，需先找出函数关系式，因此要先把各边长求出来，或用表示出来，方法是利用正弦定理来沟通三角形的边角关系，求出函数关系式后，不要忘记求函数的定义域，根据函数定义域去求函数的值域，这显然又是一个三角函数的值域问题，可化为的类型求解.试题解析：(Ⅰ)由，得，3分又， 6分(Ⅱ)同理： 9分故，，. 12分【考点】正弦定理、余弦定理、三角函数的值域.10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积.（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若a+b=2，且c=，求A.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先利用余弦定理和面积公式将进行化简求解；（Ⅱ）利用正弦定理将边转化角，然后利用两角差的正弦公式展开进行合并求解.试题解析：（Ⅰ）由余弦定理知c2－a2－b2＝－2abcosC，又△ABC的面积S＝absinC＝ (c2－a2－b2)，所以absinC＝ (－2abcosC)，得tanC＝－．因为0＜C＜π，所以C＝． 6分（Ⅱ）由正弦定理可知＝＝＝2，所以有a＋b＝2sinA＋2sinB＝2，sinA＋sin(－A)＝1，展开整理得，sin(＋A)＝1，且＜＋A＜，所以A＝． 12分【考点】1.正弦定理和余弦定理；2.三角化简.11.在中，角所对的边分别为满足，,,则的取值范围是 .【答案】【解析】由得，得为钝角，故，由正弦定理可知：，，所以.【考点】正余弦定理，辅助角公式.12.已知、、分别为三个内角、、的对边，若，，则的值等于．【答案】【解析】根据余弦定理得：.∵是三角形的内角，∴.在中，.∴.根据正弦定理和已知得：.∴.∴.【考点】解三角形，涉及正余弦定理、三角变换.13.设的三个内角，，所对的边分别为，，．已知.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】解：（1）由已知有， 1分得，则， 3分. 4分又，故. 5分（2）（法一）由正弦定理得, ,则. 7分而. 9分则.又，所以. 10分所以当且仅当，即时，取得最大值，11分故. 12分（法二）由余弦定理得，即， 7分则，又则 10分 10分得，故，当且仅当时，. 12分【考点】正弦定理点评：主要是考查了正弦定理和解三角形中余弦定理的运用，属于基础题。

专题十七解三角形考点37 正弦定理与余弦定理考场高招1 应用正、余弦定理的解题技巧1.解读高招技巧解读适合题型典例指引边化角将表达式中的边利用公式a=2R sin A,b=2R sinB,c=2R sin C化为角的关系等式两边是边的齐次形式典例导引1(1)角化边将表达式中的角利用公式转化为边,出现角的正弦值用正弦定理转化,出现角的余弦值由余弦定理转化等式两边是角的齐次形式、a2+b2-c2=λab形式典例导引1(2)和积互化a2=b2+c2-2bc cos A=(b+c)2-2bc(1+cos A).可联系已知条件,利用方程思想进行求解三角形的边出现b+c,bc等结构形式典例导引1(4)方积互化与重要不等式相联系,由b2+c2≥2bc,得a2=b2+c2-2bc cos A≥2bc-2bc cos A=2bc(1-cos A),可探求边或角的X围问题求边、角、面积等取值X围问题典例导引1(3)2.典例指引1(1)△ABC的三个内角A,B,C对边的长分别为a,b,c,若a sin A sin B+b cos2A=a,则等于()A.2B.2C.D.(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a2-c2=b,且sin(A-C)=2cos A sin C,则b等于()A.6B.4C.2D.1(3)已知△ABC的三边a,b,c成等比数列,a,b,c所对的角依次为A,B,C,则sin B+cos B的取值X围是()A. B. C.(1, ] D.(4)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a sin B=b cos A.若a=4,则△ABC周长的最大值为(2)(角化边)由题意,得sin A cos C-cos A sin C=2cos A sin C,即sin A cos C=3cos A sin C,由正、余弦定理,得a·=3c·,整理得2(a2-c2)=b2.①又a2-c2=b, ②联立①②得b=2,故选C.(3)设y=sin B+cos B=sin.∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,∴cos B=,∴0<B<<sin≤1,1<sin,故选C.(4)由正弦定理,可将a sin B=b cos A化为sin A sin B=sin B cos A.∵在△ABC中,sin B>0,∴si n A=cos A,即tan A=.∵0<A<π,∴A=.由余弦定理,得a2=16=b2+c2-2bc cos A=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3,则(b+c)2≤64,即b+c≤8(当且仅当b=c=4时等号成立),所以△ABC的周长=a+b+c=4+b+c≤12,即最大值为12.【答案】 (1)D(2)C(3)C(4)123.亲临考场1.(2016某某,理3)在△ABC中,若AB= 13,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1B.2C.3D.4【答案】 A由余弦定理得13=9+AC2+3AC⇒AC=1.故选A.2.(2016课标Ⅱ,理13)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.【答案】2113【解析】因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=.又因为,所以b=.3.(2015某某,理11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=.考点38 解三角形及其应用考场高招2 判断三角形形状问题的规律1.解读高招规律解读典例指引角化边利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,从而判断三角形的形状典例导引2(1)边化角利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论典例导引2(2)温馨提醒注意在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解2.典例指引2(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状是() A.直角三角形 B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形(2)已知△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若=2c ,则△ABC 的形状是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形(2)∵=2c ,∴由正弦定理可得=2sin C , 而≥2=2,当且仅当sin A=sin B 时取等号.∴2sin C ≥2,即sin C ≥1. 又sin C ≤1,故可得sin C=1,∴∠C=90°.又∵sin A=sin B ,∴A=B ,故三角形为等腰直角三角形,故选C. 【答案】 (1)C(2)C 3.亲临考场1.在△ABC 中，若sin B ·sin C ＝cos 2A2，且sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】D【解析】sin B ·sin C ＝1＋cos A2，∴2sin B ·sin C ＝1＋cos A ＝1－cos(B ＋C )， ∴cos(B －C )＝1，∵B 、C 为三角形的内角，∴B ＝C ，又sin2B＋sin2C＝sin2A，∴b2＋c2＝a2，综上，△ABC为等腰直角三角形．2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定考场高招3 解三角形应用题的规律1.解读高招规律解读典例指引1实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解典例导引3(1)2 实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解典例导引3(2)温馨提醒解三角形应用题的一般步骤:分析(画出图形)——建模(建立解斜三角形模型)——解模(利用正余弦定理有序地求解)——检验(检验上述所求三角形是否有实际意义)2.典例指引3(1)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度BC等于()A.240(-1) mB.180(-1) mC.120(-1) mD.30(+1) m(2)(2016某某某某一模)如图,为了测量河对岸A,B两点之间的距离,观察者找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C;并测量得到:CD=2,CE=2,∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=48.19°,∠BCE=75°,∠E=60°,则A,B两点之间的距离为.(2)依题意知,在△ACD中,∠A=30°,由正弦定理得AC==2,在△BCE中,∠CBE=45°,由正弦定理得BC==3.∵在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos∠ACB=10,∴AB=.3.亲临考场1.(2017某某,11)我国古代数学家X徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.【答案】【解析】将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=6×.2.(2015某某,理13)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.【答案】100考场高招4三角形与不等式相结合解题的规律1.解读高招方法解读典例指引利用三角形有解已知三角形的边a及对角A,求三角形有两解时边b的X围,根据b sinA<a<b,解出相应的不等式即可典例导引4(1)利用基本不等式余弦定理与重要不等式a2+b2≥2ab,三角形两个边的和与基本不等式a+b≥2,三角形面积公式与ab≤,通过这些结合点,求解X围问题,注意等号成立的条件典例导引4(2)利用函通过建立参数与已知角或边的关系,把角或边作为自变量,参数作为函典例导引数的值域数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利4(3)用条件中的X围限制,以及三角形自身X围限制2.典例指引4(1)(2017某某某某调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a ,b,c,若a=2b,△ABC的面积记作S ,则下列结论一定成立的是()A.B>30°B.A=2BC.c<bD.S≤b2(2)(2017某某某某、某某摸底联考)已知△ABC 中,角B, C,A成等差数列,且△ABC的面积为 ,则AB边的最小值是.(3)在等腰三角形ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD长为6,则当△ABC的面积取得最大值时,AB的长为. 【解析】 (1)由a=2b,得sin A=2sin B ≤1,则sin B ≤,∵B不是最大角,∴B≤30°,故A错;sin A=2sin B与A=2B没有关系,故B错;若a=4,b=2,c=5,符合a=2b,但c>b,所以C错;三角形面积S=ab sin C=b2sin C≤b2,故选D.(2)∵B,C,A成等差数列,∴A+B=3C.又∵A+B+C=π,∴C=,由S△ABC=ab sin C=1+,得ab=2(2+).∵c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab,a2+b2≥2ab,∴c2≥(2-)ab=4,解得c≥2,∴c的最小值为2.(3)根据题意,可设AB=AC=2x,则AD=x(2<x<6),由余弦定理,得cos A=,∴sin A=,∴S△ABC=AB·AC sin A=×4x2=2≤24,当x2=20,即x=2时等号成立,所以当△ABC的面积取得最大值时,AB的长为4.【答案】(1)D(2)2(3)43.亲临考场1.(2015课标Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值X围是.【答案】()2.(2014课标Ⅰ,理16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边, a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为【答案】。