二次函数的实际应用
用二次函数的图像和性质解决实际问题，首先应按题意建立合适的函数关系式，特别注意自变量和函数表示的实际意义；然后再利用二次函数的图象和性质解决所求问题。二次函数在实际中的应用主要有以下两个方面：
一、结合二次函数的图象求最值问题。这类问题解题时往往会使用配方法去就二次函数图象的顶
点式，主要的题型有：
1. 二次函数与面积最大化问题
2. 二次函数与利润增长率问题
二、利用二次函数优化构建坐标系解决实际问题。这类问题解题时往往需要根据题目的要求自己
建立平面直角坐标系，再利用二次函数的性质解题，主要类型有：
1. 二次函数与拱桥问题
2. 二次函数与投篮、喷泉类问题
一 二次函数与利润最大化
1.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x ，
降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）
A. 2(1)y a x =-
B. 2(1)y a x =- 2
C. (1)y a x =-
2D. (1)y a x =-
2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数m ＝162－3x ．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y (元)与每件的销售价x (元)间的函数关系式；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？ 自检自查必考点
例题精讲
二次函数的应用
4.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）
⑴设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
⑵设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；
⑶一天订住多少个房间，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
5.某民俗旅游村为了接待游客的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可以全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应地减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费为多少元？
6．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．
(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?
7.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。
⑴假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润y元，请写出y与x之间的函数关系式
⑵商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
⑶每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
模块二 二次函数与面积最大化
1.正方形边长为3，若边长增加x ，则面积增加y ．求y 与x 之间的函数关系式．
2.有一边长为5米的正方形场地，现在要在里面建一矩形游泳池，如图所示，要求一边距场地边缘为x 米，一边为2x 米，求矩形的面积y 与x 的关系表达式．
2x
x
3.张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．
（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．
花圃
C
D
B A
4.如图所示，有长24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的边AB 长为x ，花圃的面积为S 米2．（1）请求出S 与x 的函数关系式．（2）按照题中要求，所围的花圃面积能否是482m ．若能，求出的x 值；若不能，请说明理由．
C
D
B A
二次函数与运行轨迹
【例1】 一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系用如图所示
的二次函数图象表示．（铅球从A 点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线） （1）由已知图象上的三点，求y 与x 之间的函数关系式；（2）求出铅球被推出的距离； （3）若铅球到达的最大高度的位置为点B ，落地点为C ，求四边形OABC 的面积．
-2
53
832
O
y x
C
B
A
【例2】 小强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线、满足抛物线2
1
855
y x x =-+
，其中()y m 是球的飞行高度，()x m 是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ． （1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行的最大水平距离．
（3）若小强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满
足怎样的抛物线，求出其解析式．
(m)
(m)
球洞y x O
【例3】 如图所示，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线2
1 3.55
y x =-+运行，然后准确落入篮筐内，
已知篮筐的中心离地面的距离为3.05米 ⑴球在空中运行的最大高度为多少米？
⑵如果该运动员跳投时球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮筐中心的水平距离是多少米？
O y
x
【例4】 如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员
乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取734≈）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取562≈）
y
O
B
C
D 1M
x
24A
模块四 二次函数与拱桥问题
2.有一个截面边缘为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为10m ．如图把它的截面边缘的图形放在所示的直角坐标系中．（1）直接写出抛物线的顶点坐标；（2）求这条抛物线所对应的函数关系式；（3）如图，在对称轴右边2m 处，桥洞离水面的高是多少？
2.如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面宽AB 为12米，如图建立直角坐标系．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中3 1.7≈）
3. 如图，铅球的出手点C 距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（ ）
A 、2316h t =-
B 、2316h t t =-+
C 、2118h t t =-++
D 、21
213
h t t =-++.
4.有一个抛
物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为_________.
5.如图所示，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB 为6米，最高点离地面的距离OC 为5米，以最高点O 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求
⑴以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x 的取值范围
⑵有一辆宽2.8米，高2.55米的农用货车(货物最高处与地面AB 的距离)能否通过此隧道。
C B
A O
y x
6. 下图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A ．22y x =-
B ．22y x =
C 、212y x =-
D 、21
2
y x =
模块五 其他
1．如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别是边BC 和CD 上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E 、F 怎样动，始终保持AE ⊥EF ．设BE=x ，DF=y ，则y 是x 的函数，函数关系
式是（ ）
A 、1y x =+
B 、1y x =-
C 、21y x x =-+
D 、21y x x =--
2.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润
s (万元)与时间t (月)之间的函数关系式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第8个
月公司所获利润为多少万元?
3．随着和城近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资量x 成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y 2与投资量x 成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？
1．在一幅长60cm ，宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是y cm 2，设金色纸边的宽度为x cm 2，那么y 关于x 的函数是（ ）
A 、y =（60+2x ）（40+2x ）
B 、y =（60+x ）（40+x ）
C 、y =（60+2x ）（40+x ）
D 、y =（60+x ）（40+2x ）
2．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位置时，水面宽度为10m ，此时水面到桥拱的距离是4m ，则抛物线的函数关系式为（ ）
A 、2254y x =
B 、2254y x =-
C 、2425y x =-
D 、2
425
y x =
3．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A 距地面OA 为1m ，球路的最高点为B （8,9），则这个二次函数的表达式为_____________，小孩将球抛出约___________米.
4．如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC ，BC 为斜边在的同侧作两个等要直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值是______________。
5. 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米，现以O 为原点米，OM 所在的直线为x 轴建立直角坐标系。（1）直接写出点M 的坐标及抛物线顶点P 的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若有搭建一个矩形的“支撑架”AD -DC-CB,使C,D 点在抛物线上，A,B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
1.某文具店出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售（6-x ）个，则当x=___________时，一天出售这种文具盒的总利润y 最大。
2. 某一型号的飞机着陆后滑行的距离y （米）与滑行时间x （秒）之间的函数关系式是2
60 1.5y x x =-，该型号飞机着陆后需滑行___________米才能停下来.
3．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB 时，水面宽8m ，水位上升3m ， 就达到警戒水位CD ，这时水面宽4m ，若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．