初一数学下册(北师版) 10生活中的轴对称初步-知识点总结

七年级数学(下)复㊀习㊀课㊀开心预习梳理,轻松搞定基础.㊀重难疑点,一网打尽.１．把一个图形沿一条直线翻折过去,如果㊀㊀㊀㊀㊀㊀,那么这两个图形关于这条直线成轴对称．２．如果一个图形沿一条直线对折,直线㊀㊀㊀㊀的部分能够㊀㊀㊀㊀,那么这个图形叫做轴对称图形．３．线段是㊀㊀㊀㊀图形,它有㊀㊀㊀㊀条对称轴,线段的垂直平分线是它的一条㊀㊀㊀㊀,线段的垂直平分线上的点到㊀㊀㊀㊀的距离相等．４．角是㊀㊀㊀㊀图形,对称轴是㊀㊀㊀㊀,角平分线上的点到㊀㊀㊀㊀的距离相等．５．等腰三角形是㊀㊀㊀㊀图形,有㊀㊀㊀㊀条对称轴,是㊀㊀㊀㊀,其主要性质有(１)㊀㊀㊀㊀;(２)㊀㊀㊀㊀;(３)㊀㊀㊀㊀．６．等边三角形有㊀㊀㊀㊀条对称轴,是㊀㊀㊀㊀．其主要性质有㊀㊀㊀㊀．７．如图,把一个长方形纸片沿E F 折叠后,点D ㊁C 分别落在D ᶄ㊁C ᶄ的位置．若øE F B ＝６５ʎ,则øA E D ᶄ等于(㊀㊀)．A．７０ʎB ．６５ʎC ．５０ʎD．２５ʎ(第７题)㊀㊀㊀㊀(第８题)圆是轴对称图形．㊀㊀８．如图,三角形纸片A B C ,A B ＝１０c m ,B C ＝７c m ,A C ＝６c m ,沿过点B 的直线折叠三角形,使顶点C 落在边A B 上的点E 处,折痕为B D ,则әA E D 的周长为㊀㊀㊀㊀cm ．９．如图,等边әA B C 的边长为１c m ,D ㊁E 分别是A B ㊁A C 上的点,将әA D E 沿直线D E 折叠,点A 落在点A ᶄ处,且点A ᶄ在әA B C 外部,则阴影部分的周长为㊀㊀㊀㊀c m ．(第９题)㊀㊀㊀㊀(第１０题)１０．如图,将矩形A B C D 沿B E 折叠,若øC B A ᶄ＝３０ʎ,则øB E A ᶄ＝㊀㊀㊀㊀．１１．如图,әA B C 是等腰三角形,øB A C ＝９０ʎ,B E 是øA B C 的平分线,D E ʅB C ,垂足为D ．(１)请写出图中所有的等腰三角形;(２)请你判断A D 与B E 是否垂直,并说明理由;(３)如果B C ＝１０,求A B ＋A E 的长．(第１１题)１２．已知P ㊁Q 是әA B C 的边A B ㊁A C 上的点,你能在B C 上确定一点R ,使әP Q R 的周长最短吗?(第１２题)１３．如图,C D E F 是一个矩形的台球面,有黑白两球分别位于点A ㊁B 两点,试问怎样撞击黑球A ,使A 先碰到台边F C 反弹后再击中白球B ?(第１３题)七年级数学(下)㊀源于教材,宽于教材,举一反三显身手.１４．如图,一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的,但是在实际中是正确的吗?实际中这个算式是什么?(写出即可)(第１４题)１５．如图,在等边三角形A B C中,øB㊁øC的平分线相交于点O,作B O㊁C O的垂直平分线分别交B C于点E㊁F．小明说: E㊁F是边B C的三等分点． 你同意他的说法吗?请说明理由．(第１５题)１６．如图,A D为әA B C的高,øB＝２øC,用轴对称图形说明:C D＝A B＋B D．(第１６题)复㊀习㊀课１．和另一个图形完全重合２．两旁㊀互相重合３．轴对称㊀２㊀对称轴㊀线段两端点４．轴对称㊀角平分线所在的直线㊀角两边５．轴对称㊀１㊀顶角平分线所在的直线(或底边上的高线所在的直线,或底边上的中线所在的直线)(１)三线合一㊀(２)两个底角相等(３)如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也相等．３㊀三边的垂直平分线㊀三个角都相等且等于６０ʎ．C㊀８．９㊀９．３㊀１０．６０ʎ１．(１)әA B C,әA B D,әA D E,әE D C．(２)A D与B E垂直．理由:因为B E是øA B C的平分线, E AʅB A,D EʅB C,所以E A＝E D,所以әA B E和әD B E关于B E对称,从而B A＝B D,即әB A D为等腰三角形,所以B EʅA D．(３)因为A E＝D E＝D C,A B＝B D,所以A B＋A E＝B D＋C D＝B C＝１０．２．作点Q关于B C的对称点D,连接P D交B C于R,连接P Q㊁P R㊁Q R,则点R就是B C上的一点使得әP Q R的周长最短．(第１２题)３．作点B关于F C的对称点G,连接A G交F C于P,则击打A球至点P就能击中B球．(第１３题)４．正确,１５１＋２５＋１２＝１８８．５．同意．理由如下:连接O E㊁O F．由题意可知B E＝O E,C F＝O F,øO B C＝øO C B＝３０ʎ,ʑ㊀øB O E＝øO B C,øC O F＝øO C B,øB O C＝１２０ʎ．ʑ㊀øE O F＝６０ʎ,øO E F＝６０ʎ,øO F E＝６０ʎ．是等边三角形ʑ㊀O E＝O F＝E F＝B E＝C F．ʑ㊀E㊁F是B C的三等分点．６．在C D上取一点E使D E＝B D,连接A E．则A D是әA B E的对称轴,ʑ㊀B D＝D E,A B＝A E．ȵ㊀øB＝２øC,ʑ㊀øB＝øA E D＝øC＋øE A C＝２øC．ʑ㊀øE A C＝øC．(第１６题)ʑ㊀A E＝E C．ʑ㊀C D＝D E＋E C＝A B＋B D．。

考点专练
易错提示：解答本题时因为题中没有指明腰的 长度和底边的长度，所以要对已知的边长3 cm 和6 cm 进行分类讨论.
考点专练
例4：下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释“角的平分线上 的点到角两边的距离相等”的图形某条直线折叠后能重合. 2.可以互相转化.
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四、轴对称的性质： 1.轴对称的基本性质： 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连 的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等． 2.性质的应用： 利用对应角相等求角度； 利用对应线段相等求线段，求面积，求周长； 作图．
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谢谢~
易错提示：根据轴对称的性质易得 ∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO，直线l垂直平 分AB，CD，AD=BC，OD=OC．选项C中对应线 段OA与OB，OD与OC分别关于对称轴重合，但 不一定垂直，所以该选项有误.
考点专练
例3：如果等腰三角形两边长是3 cm和6 cm，那么它的周长是 （）
A．9 cm C．15 cm
正解：因为OP是∠MON 的平分线，且GE⊥OM， GF⊥ON，所以GE=GF（角的平分线上的点到角 两边的距离相等）. 答案：D
考点专练
易错提示：角的平分线上的点到角两边的距离相等 ，这里的距离是指点到角的两边垂线段的长而不是 任意点的连线段，本题中只有选项D是满足题意的 ，A,B,C中都不符合角平分线的定义.
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七、线段的垂直平分线
1.垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作 这条线段的垂直平分线.
2.线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这
条线段两个端点的距离相等.
A

第七章生活中的轴对称轴对称图形轴对称分类轴对称角平分线轴对称实例线段的垂直平分线等腰三角形等边三角形生活中的轴对称轴对称的性质轴对称的性质镜面对称的性质图案设计轴对称的应用镶边与剪纸一、轴对称图形1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、理解轴对称图形要抓住以下几点：（1）指一个图形；（2）存在一条直线（对称轴）；（3）图形被直线分成的两部分互相重合；（4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；二、轴对称1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。

可以说成：这两个图形关于某条直线对称。

2、理解轴对称应注意：（1）有两个图形；（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；（3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；（4）对称轴是直线而不是线段；三、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。

2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

四、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。

2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。

五、等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。

5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。

6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。

7、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”。

8、“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。

生活中的轴对称一、知识梳理 1、轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就 是它的对称轴，这时我们也说这个图形关于这条直线对称． 指出： （1）轴对称图形是一个具有特殊特征的图形——对折后能够完全重合，即对称轴两旁的部分是全等形． （2）一个轴对称图形的对称轴可能不止一条． 2、轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这条直线对称， 这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 指出： （1）轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，包含两层意思： ①有两个图形，形状大小完全相同； ②重合的方式有限制，即它们的位置必须满足一个条件：把它们沿某一条直线折叠后能够完全重合． （2）轴对称图形与轴对称的区别与联系： 区别： ①轴对称是两个图形的对称关系，轴对称图形是一个图形自身的对称特征； ②轴对称的对称点分别在两个图形上，轴对称图形的对称点都在同一个图形上； ③两个图形成轴对称， 其对称轴可能在两个图形的外部， 也可能经过两个图形的内部或它们的公共边 （点） ， 轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部． 联系： ①都是沿着某直线对折后能够互相重合； ②如果把轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成 两部分，那么这两部分就是关于这条对称轴对称． 3、线段的垂直平分线 （1）经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线． （2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地， 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 指出： （1）线段的垂直平分线说明了垂直平分线与线段的两种关系：①是位置关系——垂直；②是数量关系— —平分． （2）对称轴是轴对称图形的任何一对对应点所连线段的垂直平分线，包含如下两层含义： ①已知一对对应点就能作出它们的对称轴； ②已知一点和对称轴就能作出该点关于对称轴的对称点． 4、线段的垂直平分线的性质 （1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． （2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 指出： 从以上两个结论可以看出：在线段 AB 的垂直平分线 l 上的点与 A、B 的距离相等；反过来，与点 A、B 的 距离相等的点都在 l 上，所以直线 l 可以看成与两点 A、B 的距离相等的所有点的集合． 二、重难点知识归纳 轴对称的有关概念，性质和判定 三、典型例题剖析 例1、观察下图中的各图，判断它们是不是轴对称图形．分析：根据轴对称图形的定义来判断一个图形是不是轴对称图形． 解： （2） （3） （4） （6） （8）是轴对称图形． 例2、画出下图所示轴对称图形的所有对称轴．分析：一个图形如沿某条直线对折，对折后的两部分可以重合，那么这条直线就是这个轴对称图形的对称 轴． 解：例3、如图，已知△ABC≌△A′B′C′，那么△ABC 与△A′B′C′一定关于某条直线 l 对称吗？如果△ABC 与 △A′B′C′关于某一直线 l 对称，那么它们全等吗？为什么？分析：成轴对称的两个图形不仅是大小关系，还有位置关系，故全等的两个图形不一定成轴对称，但根据 轴对称的意义可知，成轴对称的两个图形全等． 解： 若△ABC≌△A′B′C′， 它们不一定关于某一直线 l 对称； 如果△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称， 则它们一定全等． 例4、如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是 BC 延长线上一点，E 是 AB 上一点，且在 BD 的垂直平分线上， DE 交 AC 于 F，求证：E 在 AF 的垂直平分线上．分析：要证明 E 在 AF 的垂直平分线上，可先作 EH⊥AF 于 H，则只需证明 AH=FH，为此证明△AEH≌△FEH，于 是问题转化为证明∠4=∠2，再利用等角的余角相等即可证明． 证明：过 E 作 EH⊥AF 于 H． ∵E 在 BD 的垂直平分线上 ∴BE=DE 在△BEG 与△DEG 中，又∵∠1＋∠3=90°，∠B＋∠2=90° ∴∠3=∠2，又∠3=∠4，∴∠2=∠4 在△AEH 和△FEH 中∴△AEH≌△FEH，∴AH=HF，又 EH⊥AF， ∴EH 垂直平分 AF，∴E 在 AF 的垂直平分线上． 例5、如图，A、B、C 表示三个工厂，现要修建一个供水站，使它到三个工厂的距离相等．求供水站的位置 P．分析：这是一个数学模型，一个点即表示一个工厂，一条线段即表示工厂间的距离，工厂的厂房大小，A、B 之间有无阻隔都不需考虑，这就是实际问题转化为理想化的数学问题． 这个问题的解决可分为两步：其一是到 A、B 两点等距离的点在哪里？运用到线段两端点距离相等的点在 已知线段的垂直平分线上，所以点 P 一定在 AB 的垂直平分线上，其二到 B、C（或 A、C）两点等距离的点应在 BC （AC）的垂直平分线上． 解： （1）作 AB 的垂直平分线 l1．如图；（2）作 BC 的垂直平分线 l2，l1交 l2于点 P，则点 P 即为供水站的位置． 例6、如图，直线 l 是四边形 ABCD 的对称轴，若 AB=CD，有下面的结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO=CO；④AB ⊥BC．其中正确的结论有_____________________；选择其中一个正确结论进行证明．答案：正确的结论有①②③． 证明结论①：∵四边形 ABCD 关于直线 l 对称， ∴AB=AD，∠BAC=∠DAC．又∵AB=CD， ∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD． 证明结论②：∵四边形 ABCD 关于直线 l 对称 ∴∠AOD=∠AOB 又∵∠AOD＋∠AOB=180° ∴∠AOD=90° ∴AC⊥BD 证明结论③：∵四边形 ABCD 关于直线 l 对称 ∵AD=AB，又∵AB=CD ∴AD=DC 由②得 AC⊥BD，∴∠AOD=∠COD=90° 在△AOD 和△COD 中∴△AOD≌△COD ∴AO=CO．达标测试： 1．图中是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按 图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射） ，那么该球最后将落入的球袋是（ ）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 2．在和谐发展观中，最值得关注的有“人、木、水、土” ，由这4个汉字和它们关于某一条直线的对称图形， 能够组成一个新汉字的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．以下四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）A． B． 4．下列图形中，轴对称图形的个数有（ ）C．D．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．将一圆形纸片对折后再对折，得到如图所示，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后 的平面图形是（ ）A． B． C． 6．下列命题正确的是（ ） A．等腰三角形的对称轴是底边上的高 B．两个全等三角形一定是轴对称图形 C．线段是轴对称图形，它的对称轴是经过线段中点的直线 D．关于直线对称的两个三角形全等 7．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形（ ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 8．如图，ABCD 是正方形，△PAD 是等边三角形，则下列结论错误的是（ ）D．A．△PAB≌△PDC B．点 P 在 BC 的垂直平分线上 C．△PAB 与△POC 成轴对称 D．∠APB=∠BPC=∠CPD=20° 9．已知在平面直角坐标系中，线段 AB 的两个端点 A、B 的坐标分别为 A(－1,－2),B(－1, 1)，线段 AB 关于 y 轴的对称线段是 DC，则四边形 ABCD 的面积是（ ） A．3 B．6 C．8 D．1210．如图，在等边△ABC，∠ACB 的平分线相交于点 O，BO，CO 的垂直平分线分别交 BC 于 E、F，则下列结论正 确的是（ ）A．BE=CF＞EF C．BE=CF＜EF BBCBC DDDBBB．BE=CF=EF D．无法确定课后作业： 1、如图，已知 DE 为△ABC 的 AB 边的垂直平分线，D 为垂足，DE 交 BC 于 E，且 AC=5，BC=8．求△AEC 的周长．解： ∵DE 垂直平分 AB ∴AE=BE ∴BC=AE＋EC 又∵BC=8，∴AE＋EC=8 又∵AC=5，∴AC＋AE＋EC=13 故△AEC 的周长为13． 2、请用几何图形“△” “||” 、 “ ” （一个三角形，两条平行线，一个半圆）作为构件，尽可能构思独特且有 意义的图形，并写上一两句贴切、诙谐的解说词． （至少两幅图）答案： 3、下图是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结” ，点阵的每行及每列之间的距离都是1，请你画出“中国 结”的对称轴，并直接写出图中阴影部分的面积．解： 对称轴是居中的一条铅垂方向的直线．由轴对称的性质可知，先求出对称轴左半部分的面积，再乘 以2即是阴影部分的面积.对称轴左半部分有16个阴影小正方形，面积是2×16=32，故阴影部分的面积为32× 2=64. 4、如图，在△ABC 中，若 PM、QN 分别垂直平分 AB、AC，BC=10cm．试求△APQ 的周长．解： ∵PM 垂直平分 AB ∴PA=PB 同理可证 QA=QC ∴PA＋AQ=PB＋QC ∴PA＋AQ＋QP=BP＋QC＋PQ=BC=10cm 故△PAQ 的周长为10cm． 5、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：AD⊥EF．证： ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD． 又∵DE∥AC，∴∠EDA=∠CAD ∴∠BAD=∠EDA，∴EA=ED ∴E 在线段 AD 的垂直平分线上． 同理可证：FA=FD，∴F 也在 AD 的垂直平分线上． ∴EF 为 AD 的垂直平分线，∴AD⊥EF．。