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优化模型讲解 附LINGO程序

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优化模型与LINDOLINGO优化软件

优化模型与LINDOLINGO优化软件

前面是两个循环语句的用法，函数以 “@”开头，里面是循环变量以及界定循环 变量的变化范围，后面是循环体。还有另 外的两个循环函数：@min和@max，其用 法相类似。
从一维数组派生二维数组在数学上是常 用的，比如运输问题，由顶点集可以派生 边，大家可以使用本方法产生标准的运输 问题的Lingo程序。可以参考例子。
• Preprocess：预处理(生成割平面)； • Preferred Branch：优先的分枝方式：
“Default”（缺省方式）、 “Up”（向上取整优先）、 “Down”（向下取整优先）；
• IP Optimality Tol：IP最优值允许的误 差上限（一个百分数，如5%即0.05）； • IP Objective Hurdle：IP目标函数的篱 笆值，即只寻找比这个值更优最优解
2，Lingo程序的结构和语法
一个规划问题，包括下面的一些内容：变量、常量、目标、约束。还是以 前面的例子，说明最基本的程序构成。 model: linear programming sets:
cargo/1..n/:c,x; rhs/1..m/:b; mat(rhs,cargo):a; endsets data c=2,3; b=2,1/2; A=1,1,1,-2; enddata max=@sum(cargo(i):c(i)*x(i)); @for(rhs(j):@sum(cargo(i):a(j,i)*x(i))<b(j));
1 )现 有 2料 场 ， 位 于 A (5 ,1 ),B (2 ,7 ), 记 (x j,y j),j= 1 ,2 , 日 储 量 e j各 有 2 0吨 。
目标：制定每天的供应计划，即从 A, B 两料场分别向
各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。

数学建模——LINDO_LINGO的实用与优化模型

数学建模——LINDO_LINGO的实用与优化模型
目标：制定每天的供应计划，即从 A, B 两料场分别
向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。
决策变量：ci j (料场j到工地i的
运量）~12维
26
mi n
cij [(x j ai )2 ( y j bi )2 ]1/ 2
j 1 i1
2
s.t.
cij di , i 1,..., 6
X1
20.000000
0.000000
X2
30.000000
0.000000
end
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
三
原料无剩余 2)
0.000000
48.000000
种
时间无剩余 3)
0.000000
2.000000
资 源
加工能力剩余40
4)
40.000000
0.000000
不变！
结果解释
影子价格有意义
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: 时约束右端的允
OBJ COEFFICIENT RANGES
许变化范围
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE
(目标函数不变)
例如： “sub x1 10”的作用等价于“x1<=10”
但用“SUB”和“SLB”表示的上下界约束不计入模 型的约束，也不能给出其松紧判断和敏感性分析。
14. “END”后对0-1变量说明：INT n 或 INT name
15. “END”后对整数变量说明：GIN n 或 GIN name
LINGO求解举例 — 例：选址问题

LINGO(最优化)

LINGO(最优化)
notnot否定该操作数的逻辑值否定该操作数的逻辑值noteqeq若两个运算数相等则为若两个运算数相等则为truenene若两个运算符不相等则为若两个运算符不相等则为truenene若两个运算符不相等则为若两个运算符不相等则为truegtgt若左边的运算符严格大于右边的运算符则为若左边的运算符严格大于右边的运算符则为truegege若左边的运算符大于或等于右边的运算符则为若左边的运算符大于或等于右边的运算符则为trueltlt若左边的运算符严格小于右边的运算符则为若左边的运算符严格小于右边的运算符则为truelele若左边的运算符小于或等于右边的运算符则为若左边的运算符小于或等于右边的运算符则为trueandand仅当两个参数都为仅当两个参数都为truetrue时结果为oror仅当两个参数都为仅当两个参数都为falsefalse时结果为时结果为falsenot是一个一元运算符是一个一元运算符true
数据段
sets: set1/A,B,C/: X,Y; endsets data: X=1,2,3; Y=4,5,6; enddata sets: years/1..5/: capacity; endsets data: capacity = ,34,20,,; enddata sets: days /MO,TU,WE,TH,FR,SA,SU/:needs; endsets data: needs = 20; enddata 指定属性为一个值
使用Lingo 使用Lingo求解模型 Lingo求解模型
求解的结果
如何求解规模较大的问题
使用LINGO软件计算6个发点8 使用LINGO软件计算6个发点8个收点的 LINGO软件计算 最小费用运输问题。 最小费用运输问题。产销单位运价如下表
模型编写

数学建模讲座优化建模与LINGO优化软件

数学建模讲座优化建模与LINGO优化软件

x1 x2 50
12x1 8x2 480
约束条件
劳动时间 加工能力 非负约束
3x1 100 x1 , x2 0
线性 规划 模型 (LP)
模型求解
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
max =72*x1+64*x2; x1+x2<50;
REDUCED COST 0.000000
Lingo

基 础
计算结果为
Objective value:89.88349
模型的集部分



LINGO 有 两 种 类 型 的 集 ： 原 始 集 ( primitive set) 和 派 生 集 ( derived set)。 一个原始集是由一些最基本的对象组成 的。 一个派生集是用一个或多个其它集来定 义的，也就是说，它的成员来自于其它 已存在的集。
如果在Lingo文件example3_4.lg4 加上以下内容 其他不变 data:
@ole("d:\ 数 学 建 \EXAMPLE3_4.XLS","result")=c; @ole("d:\ 数 学 \EXAMPLE3_4.XLS","x")=x; 建 模 模
@ole("d:\ 数 学 \EXAMPLE3_4.XLS","y")=y;
@OLE 的使用例子 Lingo文件example3_4.lg4 的内容 data: a,b,d,e=@OLE("d:\数学建模 \EXAMPLE3_4.XLS"); enddata init: x,y=@Ole("d:\数学建模 \Example3_4.xls"); endinit

优化模型与lindo软件

优化模型与lindo软件

使用LINDO的一些注意事项
“>”（或“<”）号与“>=”（或“<=”）功能相同 变量与系数间可有空格(甚至回车), 但无运算符 变量名以字母开头，不能超过8个字符 变量名不区分大小写（包括LINDO中的关键字） 目标函数所在行是第一行，第二行起为约束条件 行号(行名)自动产生或人为定义。行名以“）”结 束 7. 行中注有“!”符号的后面部分为注释。如: ! It’s Comment. 8. 在模型的任何地方都可以用“TITLE” 对模型命名 （最多72个字符），如： TITLE This Model is only an Example 1. 2. 3. 4. 5. 6.
但是当问题的规模扩大时，前面的方法 显得非常不方便甚至是致命的。主要的原 因是所含的变量和约束个数太多。另一方 面，规划问题本身很有规律，所以我们希 望使用循环来实现。引入如下的两个数组 （或者向量）， C=(c1,c2,…,cn), X=(x1,x2,…,xn), b=(b1,b2,…,bm)，
LINGO模型 — 例：选址问题
某公司有6个建筑工地，位置坐标为(ai, bi) (单位：公里), 水泥日用量di (单位：吨）
i a b d １ 1.25 1.25 3 ２ 8.75 0.75 5 ３ 0.5 4.75 4 ４ 5.75 5 7 ５ 3 6.5 6 ６ 7.25 7.75 11
假设：料场 和工地之间 有直线道路
• Preprocess：预处理(生成割平面)； • Preferred Branch：优先的分枝方式：
“Default”（缺省方式）、 “Up”（向上取整优先）、 “Down”（向下取整优先）；
• IP Optimality Tol：IP最优值允许的误 差上限（一个百分数，如5%即0.05）； • IP Objective Hurdle：IP目标函数的篱 笆值，即只寻找比这个值更优最优解 （如当知道当前模型的某个整数可行解 时，就可以设置这个值）； • IP Var Fixing Tol：固定一个整数变量 取值所依据的一个上限（如果一个整数 变量的判别数（REDUCED COST）的 值很大，超过该上限，则以后求解中把 该整数变量固定下来）。

网络优化例与lingo程序

网络优化例与lingo程序

网络优化例与计算LINGO程序例装配线平衡模型一条装配线含有一系列的工作站，在最终产品的加工过程中每个工作站执行一种或几种特定的任务。

装配线周期是指所有工作站完成分配给它们各自的任务所化费时间中的最大值。

平衡装配线的目标是为每个工作站分配加工任务，尽可能使每个工作站执行相同数量的任务，其最终标准是装配线周期最短。

不适当的平衡装配线将会产生瓶颈——有较少任务的工作站将被迫等待其前面分配了较多任务的工作站。

问题会因为众多任务间存在优先关系而变得更复杂，任务的分配必须服从这种优先关系。

这个模型的目标是最小化装配线周期。

有2 类约束：①要保证每件任务只能也必须分配至一个工作站来加工；②要保证满足任务间的所有优先关系。

例有11 件任务（A—K）分配到4 个工作站（1—4），任务的优先次序如下图。

每件任(F)(A) (B) (C)(G)(J) (K)(H)(D) (E)(I)计算程序：MODEL:!装配线平衡模型;SETS:!任务集合，有一个完成时间属性T;TASK/ A B C D E F G H I J K/: T;!任务之间的优先关系集合（A 必须完成才能开始B，等等）;PRED( TASK, TASK)/ A,B B,C C,F C,G F,J G,JJ,K D,E E,H E,I H,J I,J /;! 工作站集合;STATION/1..4/;TXS( TASK, STATION): X;! X是派生集合TXS的一个属性。

如果X（I，K）＝1，则表示第I个任务指派给第K个工作站完成;ENDSETSDATA:!任务A B C D E F G H I J K的完成时间估计如下;T = 45 11 9 50 15 12 12 12 12 8 9;ENDDATA! 当任务超过15个时，模型的求解将变得很慢;!每一个作业必须指派到一个工作站，即满足约束①;@FOR( TASK( I): @SUM( STATION( K): X( I, K)) = 1);!对于每一个存在优先关系的作业对来说，前者对应的工作站I必须小于后者对应的工作站J，即满足约束②;@FOR( PRED( I, J): @SUM( STATION( K): K * X( J, K) - K * X( I, K)) >= 0); !对于每一个工作站来说，其花费时间必须不大于装配线周期;@FOR( STATION( K):@SUM( TXS( I, K): T( I) * X( I, K)) <= CYCTIME);!目标函数是最小化转配线周期;MIN = CYCTIME;!指定X(I,J) 为0/1变量;@FOR( TXS: @BIN( X));END计算的部分结果为Global optimal solution found at iteration: 1255 Objective value: 50.00000Variable Value Reduced CostCYCTIME 50.00000 0.000000X( A, 1) 1.000000 0.000000X( A, 2) 0.000000 0.000000X( A, 3) 0.000000 45.00000X( A, 4) 0.000000 0.000000X( B, 1) 0.000000 0.000000X( B, 2) 0.000000 0.000000X( B, 3) 1.000000 11.00000X( B, 4) 0.000000 0.000000X( C, 1) 0.000000 0.000000X( C, 2) 0.000000 0.000000X( C, 3) 0.000000 9.000000X( C, 4) 1.000000 0.000000X( D, 1) 0.000000 0.000000X( D, 2) 1.000000 0.000000X( D, 3) 0.000000 50.00000X( D, 4) 0.000000 0.000000X( E, 1) 0.000000 0.000000X( E, 2) 0.000000 0.000000X( E, 3) 1.000000 15.00000X( E, 4) 0.000000 0.000000X( F, 1) 0.000000 0.000000X( F, 2) 0.000000 0.000000X( F, 3) 0.000000 12.00000X( F, 4) 1.000000 0.000000X( G, 1) 0.000000 0.000000 X( G, 2) 0.000000 0.000000 X( G, 3) 0.000000 12.00000 X( G, 4) 1.000000 0.000000 X( H, 1) 0.000000 0.000000 X( H, 2) 0.000000 0.00000045X( H, 3) 1.000000 12.00000 X( H, 4) 0.000000 0.000000 X( I, 1) 0.000000 0.000000 X( I, 2) 0.000000 0.000000 X( I, 3) 1.000000 12.00000 X( I, 4) 0.000000 0.000000 X( J, 1) 0.000000 0.000000 X( J, 2) 0.000000 0.000000 X( J, 3) 0.000000 8.000000 X( J, 4) 1.000000 0.000000 X( K, 1) 0.000000 0.000000 X( K, 2) 0.000000 0.000000 X( K, 3) 0.000000 9.000000 X( K, 4) 1.000000 0.000000例 旅行售货员问题（又称货郎担问题，Traveling Salesman Problem ）有一个推销员，从城市1 出发，要遍访城市2，3，…，n 各一次，最后返回城市1。

最优化模型计算

最优化模型计算

第二讲 最优化问题的LINGO建模
LINGO的参数设置
Interface(界面)选项 General Solver(通用求解器)选项
第二讲 最优化问题的LINGO建模
LINGO的参数设置
Linear Solver(线性求解器)选项 Nonlinear Solver(非线性求解器)选项
第二讲 最优化问题的LINGO建模
第二讲 最优化问题的LINGO建模
LINGO的菜单与参数设置
LINGO的主界面上有一个工具条，其上有一些按钮
按钮的功能自左往右依次为： 新建、打开、保存、打印 取消、重做 剪切、复制、粘贴 查找、定位、括号匹配
求解、显示解答、模型图示、选项设置 窗口后置、关闭所有窗口、平铺窗口 在线帮助、上下文帮助
Variables：Total总变量数，Nonlinear非线 性变量数，Integers整数变量数 Constraints： Total总约束数，Nonlinear非 线性约束数 Total： Total总非零参数数，Nonlinear非 线性非零参数数
中断求解器(Interrupt Solver)：让LINGO 在下一次迭代时停止求解
用户可以通过3种不同方式执行LINGO操作，一是工具条按 钮，二是菜单选择，三是快捷键
第二讲 最优化问题的LINGO建模
文件（File）菜单
新建(New)：创建一个新的“Model”窗口，输入待 求解的模型； 打开(Open)：打开一个已经存在的 一个模型文件或者文本文件 保存(Save)：将当前窗口中的模型、结果、命令序列 等保存为文件； 另存为(Save As)：将当前窗口中的 内容保存为指定格式文件； 关闭(Close)：关闭当前窗口 打印 (Print)：打印当前窗口的内容 打印设置(Print Setup)：设置打印格式 打印预览(Print Preview)：预览待打印内容 输出到日志文件(Log Output)：将之后在命令窗口输 入的所有命令，保存到一个日志文件 Take Commands：将LINGO命令的脚本文件提交给 系统进程运行； Import Lingo：打开一个LINGO 格式的模型文件，并转化为LINGO程序 Export File：输出MPS或MPI格式文件，其中MPS是 IBM开发的数学规划格式，MPI是LINGO制定的数 学规划格式

数学建模优化模型与Lingo Lindo软件

数学建模优化模型与Lingo Lindo软件

型
表二 ：5名队员4中泳姿百米平均成绩
队员
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳 66.8 57.2
78
70
67.4
仰泳 75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4 84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
线 性 规
·划
模 型
决策变量：引入0-1变量xij 若选择队员 i 参加泳姿 j
例-1 某服务部门一周中每天需要不同数目的
雇员：周一到周四每天至少需要50人，周五
需要80人，周六和周日需要90人。现规定应
聘者需连续工作5天，试确定聘用方案，即周
线
一到周日每天聘用多少人，是5在满足需要的 前况下聘用总人数最少？
性
优化模型
规
决策变量：记周一到周日每天聘用的人数分别为X1，
划
X2，X3，X4，X5，X6 ，X7，这就是问题的决策变量。
的比赛，记 xij=1，否则记 xij=0.这就是问题的决策变量， 共20个。
目标函数：当队员队员 i 入选泳姿 j 的比赛时，
cij xij表示他的成绩，否则cij xij=0。于是接力队的成绩
可以表示为：
45
f
cij xij
j1 i1
约束条件：根据组成接力队的要求， xij 应该满足下面
方案。显然这不是解决问题的最好方法，随着问题
线
规模的变大，穷举法的计算量是无法接受的。
性
可以用0-1变量表示一个队员是否入选接力队， 从而建立这个问题的0-1规划模型.

最优化模型计算

最优化模型计算

第二讲 最优化问题的LINGO建模 最优化问题的LINGO建模
编辑（Edit） 编辑（Edit）菜单
粘贴特定(Paste Special)： 粘贴特定(Paste Special)：将Windows剪贴板中的内 剪贴板中的内 容插入到光标所在位置，以方便浏览， 容插入到光标所在位置，以方便浏览，所插入内容不 参与LINGO程序的运行 参与 程序的运行 Go To Line：将光标移动到指定行 Line： 匹配括号(Match Parenthesis)： 匹配括号(Match Parenthesis)：在程序中选择一个括 号，查找与其匹配的另一半括号 粘贴函数(Paste Function)： 粘贴函数(Paste Function)：将LINGO的内部函数粘 的内部函数粘 贴到当前插入点 插入新对象(Insert 插入新对象(Insert New Object)：新建或将一个已存 Object)： 在文件作为链接对象插入到当前位置； 在文件作为链接对象插入到当前位置； 连接(Link) 修改插入对象的连接性质； 连接(Link) ：修改插入对象的连接性质； 对象性质(Object Properties)： 对象性质(Object Properties)：选择一个链接或插入 对象， 对象，查看或修改该对象的属性 Select Font：控制显示字体、字形、大小、颜色、效 Font：控制显示字体、字形、大小、颜色、 果等
求解、显示解答、模型图示、 求解、显示解答、模型图示、选项设置 窗口后置、关闭所有窗口、 窗口后置、关闭所有窗口、平铺窗口 在线帮助、 在线帮助、上下文帮助 用户可以通过3种不同方式执行 操作， 用户可以通过 种不同方式执行LINGO操作，一是工具条按 种不同方式执行 操作 一是工具条按 二是菜单选择 三是快捷键 菜单选择， 钮，二是菜单选择，三是快捷键

数学建模专题培训三《LINGO优化》讲稿全文

数学建模专题培训三《LINGO优化》讲稿全文

培训专题：《LINGO优化》培训人：数学中国站长马壮培训时间：9月5日培训形式：QQ文字直播第三期为数学中国在国赛前准备的第三期培训专题，数学中国站长马壮会向大家介绍比赛中的《LINGO优化》，敬请期待！数学建模专题培训三《LINGO优化》讲稿全文LINGO优化LINGO是用来湂解线性和非线性优化问题的简易工具。

LINGO内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO高效的湂解器可快速湂解并分析结果。

我们关滨近几年全国赛赛题的同学们都会发现，优化问题始终是数学建模的热点，近几年整数规划、二次规划的问题多次出现。

优化问题往往有建模简单，湂解困难的特点，如何找到我们所需要的全幀最优解或者幀部最优解是非常重要的，Lingo是我们完成优化建模湂解的有效工具，它的学习直接关绻到了我们建模的最终成败。

我其实也是一个Lingo的初学者，还只是对Lingo做了初步的了解，因为我感觉到它其实还是非常博大的，因为Lingo让我体会到了解决实际问题的兴奋，体会到了面向对蹡编程思想对数学的意义。

甚至我用Lingo赚到了钱，呵呵，大家不要帏看它呀！首先我先说说我学习Lingo的三个最大的体会：1、Lingo中最重要的概念是“集”。

可以说真正能用“集”的思想去建模，你才真正把计算机和数学融为一体了，因为“集”是计算机中的面向对蹡编程思想的体现。

2、一定要会用@for和@sum两个函数。

因为在优化模型中，通常都会有很多的决策变量和约束条件，这两个函数不会用，那你的模型几乎很难放在Lingo中。

3、一定要能看得懂湂解结果。

复杂的优化问题并不能保证得到全幀最优解，Lingo有的时候也无能为力，我们不能完全依赖它，有的时候还要帮它绕过一些困难。

另外灵敏性分析的结果也非常重要，这些在Lingo的结果报告中可以给出。

好的，我们先来踈踈“集”。

对实际问题建模的时候，总会遇到一群或多群相联绻的对蹡，比如工厂、消费者群体、交通工具和雇工等等。

优化建模与LINDOLINGO软件介绍59页

优化建模与LINDOLINGO软件介绍59页
13
运行结果如下:
演示
Local optimal solution found at iteration:
73
Objective value:
-1.000000
Variable
Value
X1 0.9999995
X2 0.9999992
Reduced Cost 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
DEMO 8
运行结果如下:
演示
Global optimal solution found at iteration:
2
Objective value:
18.33333
Variable X1 X2 X3 X4
Value 8.333333 0.000000 0.000000 1.666667
Reduced Cost 0.000000 0.6666667 4.333333 0.000000
x — 决策变量
f(x) — 目标函数 gi(x) ,hj(x) — 约束条件
2
优化模型分类
线性规划（LP）
非线性规划（NLP）
二次规划（QP）
连续规划 离散规划
0-1 整数规划（ZOP） 纯整数规划（PIP）
混合整数规划（MIP）
当然还有其它规划,如: 随机规划,模糊规划 ,不确定规划, 半定 规划 等等!
11
运行结果如下:
Global optimal solution found at iteration:
Objective value:
11.00000
演示 0
Variable
Value

优化建模与LINDOLINGO软件介绍

优化建模与LINDOLINGO软件介绍

8
LINGO建模与求解实例 建模与求解实例
例 1
max f = 2 x1 − 3 x2 − 2 x3 + x4 x1 − 2 x2 − 3 x3 − 2 x4 = 5 s .t . x1 − x2 + 2 x3 + x4 = 10 x ≥ 0 ( i = 1, 2, 3, 4 ) i
13
例 4
3 2 1 2 min f = x1 + x2 − x1 x2 − 2 x1 2 2
model: !this is an uncontrained optimal problem; min=3/2*x1^2+1/2*x2^2-x1*x2-2*x1; @free(x1); @free(x2); end
10
看完例1后,能解下面这个问题吗? 看完例1 能解下面这个问题吗?
例 2
min f = − x1 2 x1 + 3 x2 = 7 2 x − 3x ≤ 6 1 2 s.t. 4 x1 + x2 ≥ 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
演示
11
例 3
max f = 4 x1 + 3 x2 4 x1 + x2 ≤ 10 s .t . 2 x1 + 3 x2 ≤ 8 x , x ∈ Z+ 1 2
16
运行结果如下: 运行结果如下:
Local optimal solution found at iteration: 60 Objective value: -8.000000
演示
Variable X1 X2 Row 1
Value 3.999997 1.999998
Reduced Cost 0.000000 0.000000

优化建模与LINGO简介

优化建模与LINGO简介

(V6.1)
LINDO API: LINDO Application Programming Interface (V4.1)
LINGO: Linear INteractive General Optimizer
(V10.0)
What’s Best!: (SpreadSheet e.g. EXCEL)
目标 利润最大
优化建模
max z(x1, x2) ( p1 q1)x1 ( p2 q2)x2
x1, x2
= （100-x1-0.1 x2-2）x1
+（280-0.2x1-2x2-3）x2
=98 x1 + 277 x2 － x12 － 0.3 x1 x2 － 2x22
约束
x1 + x2 ≤100
x2 x3 x4 x5 x6 90 x3 x4 x5 x6 x7 80
模型(IP)
优化建模
0-1规划 －混合泳接力队的选拔
5名候选人的百米成绩
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳 1’06”8 57”2 1’18” 1’10” 1’07”4
仰泳 1’15”6 1’06” 1’07”8 1’14”2 1’11”
1、顺序线性规划法(SLP) 2、广义既约梯度法(GRG) (选) 3、多点搜索(Multistart) (选)
优化建模
建模时需要注意的几个基本问题
1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量 2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数
如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求 最大/最小值、四舍五入、取整函数等 3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变 量的个数 （如x/y <5 改为x<5y） 4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值 5、模型中使用的参数数量级要适当 (如小于103)

04-优化软件LINGO的使用

04-优化软件LINGO的使用
版），演示版与正式版功能基本上是类似的，只是能够求解问题的规模
受到限制，总变量数不超过300个，整数变量数不超过30个，非线性变 量数不超过30个，总约束数不超过150个。这在我们目前的使用过程中， 基本上是足够。
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LINDO 公司软件产品简要介绍
LINDO: Linear INteractive and Discrete Optimizer LINGO: Linear INteractive General Optimizer What’s Best!: (SpreadSheet e.g. EXCEL) (V6.1) (V8.0) (V7.0)
而且执行速度很快；Lingo实际上还是一种建模语言，即使对优
显然，人数应该是正整数，所以
xi 0
i
1 2,7 ,
问题归结为在以上约束条件下求解min z的整数规划模 型。由于目标函数和约束条件关于决策变量都是线性函数， 所以这是一个整数线行规划模型。
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线 性 规 划 模 型
例2 某班准备从5名游泳队员中选择4人组成接力队，参加 学校的4*100混合泳接力比赛。5名队员4中泳姿的百米平均成 绩如下表所示，问应该如何选拔队员组成接力队？
纯整数规划(PIP), 混合整数规划(MIP) 一般整数规划，0-1（整数）规划
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常 用 的 优 化 模 型 形 式
（1）线性规划（LP）的一般形式
目标函数和所有的约束条件都是变量的线性函数。
min f x ci xi , i 1, 2,...,n
i 1
n
ai xi bi , bi , bi , s.t. i 1 x 0 ,i 1, 2 ,...,n i
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数学建模培训讲义——优化模型与LINGO软件二○一一年七目录1 静态优化模型 (1)1.1 最优生产计划问题 (1)1.2 存贮模型 (2)2 线性规划模型 (2)2.1 LINGO简介 (2)2.2 配料问题 (3)2.3 练习：运输问题 (4)3 整数规划模型 (4)3.1 电影院广告问题 (4)3.2 练习：生产计划问题 (5)4 0-1规划 (5)4.1 背包问题 (5)4.2 矿井选址问题 (6)4.3 练习：混合泳接力队的选拔问题 (7)5 LINGO应用 (8)5.1 变量定界函数 (8)5.2 集合 (8)5.3 帆船生产问题 (9)5.4 派生集合 (11)5.5 通过电子表格（Excel）文件传递数据 (12)5.6 旅游问题 (13)优化模型与LINGO 软件优化问题是计划管理工作中经常要碰到的问题，比如，出门旅行就要考虑选择什么样的路线和交通工具，才能使旅行费用最省或使所花费的时间最少。

在工厂技术、经济管理和科学研究等领域中，最优化问题就更多，一个工厂要怎样安排产品的生产，才能获得最大利润？一个设计部门要考虑在满足结构强度的要求下怎样使得所用的材料的总重量最轻？比较有效的求解优化问题的一个方法使数学规划，它包括：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划和多目标规划等等。

用数学建模的方法来处理一个优化问题的时候，首先要确定优化的目标是什么，寻求的决策是什么，决策受到哪些条件的限制（如果有限制的话），然后用数学工具（变量、函数等）表示它们。

1 静态优化模型静态优化模型，归结为微积分中的函数极值问题，可以直接用微分法求解。

1.1 最优生产计划问题一计算机公司引进A 、B 两种类型的芯片技术，总耗资400000元，准备生产这两种类型的芯片出售。

生产一片A 芯片的成本为1950元，而市场售价为3390元，生产一片B 芯片的成本为2250元，而市场售价3990元。

由于市场存在竞争，每售出一片A 芯片，A 芯片就会降价0.1元，并且令B 芯片降低0.04元，每售出一片B 芯片，B 芯片就会降价0.1元，并且令A 芯片降价0.03元。

假设生产的芯片都能卖出，求一生产计划，以获得最大利润。

模型分析：假设A 、B 两种芯片的数量分别是1x 和2x ，市场价格分别是1p 和2p ，用R 表示出售芯片的总收入，用C 表示生存芯片的总费用，用P 表示总利润。

根据题意，上述变量有如下关系：11233900.10.03p x x =-- 21239900.040.1p x x =--1122R p x p x =+1240000019502250C x x =++P R C =- 模型建立：根据上述分析，可得优化模型22112212max 14400.117400.10.07400000P x x x x x x =-+---.s t 1,x 20x ≥且为整数 模型求解：用微分法求解12112214400.20.0717400.070.2Px x x P x x x ∂⎧=--⎪∂⎪⎨∂⎪=--⎪∂⎩ 最优解是14735x =，27043x =此时max 9136410P =1.2 存贮模型详见“静态优化模型”PDF 文档。

2 线性规划模型如果约束条件和目标函数都是线性的，称之为线性规划模型。

例如： 12max 25f x x =+12121243.28,0x x s t x x x x ≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩解法一：两个变量的线性规划模型的图解法 解法二：消元法（迭代法） 解法三：单纯形法（迭代法演化） 解法四：LINGO 软件求解max=2*x1+5*x2; x1<=4; x2<=3; x1+2*x2<=8; 2.1 LINGO 简介LINGO 是英文“Linear Interactive And General Optimizer ”字首的缩写形式，即“交互式线性和通用优化求解器”，其语法特点是：（1）语句的顺序不重要，因为LINGO 总是根据“max =”或“min =”语句寻找目标函数，而其他语句都是约束条件，也可以没有约束条件。

（2）LINGO 不区分大小写，但变量必须以字母开头。

（3）LINGO 默认所有变量非负。

（4）LINGO 模型是由一系列语句组成，每个语句都是以“;”结尾，编写程序时应注意保持模型的可读性，同时保持语法的严谨性。

（5）LINGO 中以感叹号“!”开始的是说明语句（说明语句也必须以“:”结束）。

LINGO 软件的具体用法在模型中介绍。

表1 各版本信息2.2 配料问题某养鸡场饲养一批小鸡，对小鸡健康成长的基本营养元素有三种，简单地称为A 、B 、C 。

这批小鸡每日对这三种营养的最低需要量是：元素A 为12单位，元素B 为36单位，元素C 为恰好为24单位，C 元素不够或过量都是有害的。

现市场供应的饲料有甲、乙两种，甲饲料每千克5元，所含的营养元素A 为2单位，B 为2单位，C 为2单位；乙饲料每千克4元，所含的营养元素A 为1单位，B 为9单位，C 为3单位。

养鸡场负责人希望得到甲乙两种饲料的混合饲料最优配比，既能满足小鸡健康成长的需要，又能降低饲料的费用。

模型建立：假设甲饲料每天需求1x 千克，乙饲料每天需求2x 千克，每天饲料总费用为f 。

12min 54f x x =+121212122122936.2324,0x x x x s t x x x x +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥⎩ LINGO 程序：min=5*x1+4*x2;2*x1+x2>=12; 2*x1+9*x2>=36; 2*x1+3*x2=24; 2.3 练习：运输问题设有两个煤厂甲和乙，每月进煤数量分别为60和100吨，联合供应三个居民区A 、B 、C ，三个居民区每月对煤的需求量依次为50吨、70吨和40吨。

煤厂到各个居民区的运输费用如图所示，如何分配供煤量使得总费用最少？3 整数规划模型部分变量或全部变量要求取整数，称为整数规划模型。

LINGO 程序中通过“@gin(变量)”命令限制变量为整数，例如：12max 43f x x =+121212410.238,0x x s t x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且为整数 LINGO 程序：max=4*x1+3*x2; 4*x1+x2<=10; 2*x1+3*x2<=8; @gin(x1); @gin(x2); 3.1 电影院广告问题某小型工厂计划每周花71元在两个小型电影院加映广告片，推销该厂的产品，为了获得更多的观众，要合理的在两个电影院里分配经费。

已知甲电影院加映广告片的时间为4分钟，每放映一次要付12元，预计每次有200人观看，该电影院每周仅能为该厂提供13分钟广告时间；乙电影院广告片的时间为2分钟，每次收费16元，预计每次300人观看，该电影院仅能为该厂提供7分钟广告时间。

若观众人数以百人计，试建立数学模型解答。

1284乙6510甲C B A假设每周在甲电影院放映广告1x 次，在乙电影院放映2x 次，观看的观众总数为f 。

12max 23f x x =+121212121671413.27,0x x x s t x x x +≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩且为整数 LINGO 程序：max=2*x1+3*x2; 12*x1+16*x2<=71; 4*x1<=13; 2*x2<=7; @gin(x1); @gin(x2);3.2 练习：生产计划问题某工厂拥有A 、B 、C 三种类型的设备，生产甲、乙两种产品，每件产品在生产中需要占用的设备时数、每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如表所示。

问题：工厂应如何安排生产可获得最大的利润？4 0-1规划0-1规划是整数规划中的一种特殊情形，当决策变量i x 只能取0或1时，这样的整数规划称之为0-1规划。

约束条件可以写成“01,i x ≤≤且为整数”，LINGO 中通过“@bin(变量)”命令实现。

4.1 背包问题一旅行者的背包最多只能装6kg 的物品，待装的物品有4件，它们的重量和价值依次为：2kg ，1元；3kg ，1.2元；3kg ，0.9元；4kg ，1.1元。

那么他的背包中携带哪些物品可使价值最大？设备设备能力产品乙产品甲25001500利润（元/件）7530设备C4012设备B 6523A/h用i x 表示第i 种物品是否被携带，令1,0,i i x i ⎧=⎨⎩携带第种物品不携带第种物品携带物品的总价值记为f 。

1234max 1.20.9 1.1f x x x x =+++123423346.01,1,2,3,4)i i x x x x s t x x i +++≤⎧⎨≤≤=⎩且为整数( LINGO 程序：max=x1+1.2*x2+0.9*x3+1.1*x4; 2*x1+3*x2+3*x3+4*x4<=6; @bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); 4.2 矿井选址问题某煤矿准备在5个矿井挖煤，现在有10个矿井可供选择，设10个矿井的代号为A1、 A2、…、A10，相应的开采费用分别为8、9、3、10、4、7、5、14、11、8，对矿井的选择要满足以下限制条件： （1）或选A1和A7，或选A8；（2）在A4、A5、A6、A7中最多只能选两个； （3）选择A3或A4，就不能选择A5，反之亦然。

如何选择，才能使开采总费用最小？ 模型建立：用i x 表示第i 个矿井是否被选择，令1,0,i i x i ⎧=⎨⎩选择第个矿井不选择第个矿井开采总费用记为f 。

12345678910max 8931047514118f x x x x x x x x x x =+++++++++101187845673545511.21101,1,2,,10)i i i i x x x x x s t x x x x x x x x x x i =⎧=⎪⎪+=⎪⎪+=⎪⎨+++≤⎪⎪+≤⎪+≤⎪⎪≤≤=⎩∑且为整数(LINGO 程序：max=8x1+9*x2+3*x3+10*x4+4*x5+7*x6+5*x7+14*x8+11*x9+8*x10; x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=5; x1+x8=1; x7+x8=1; x4+x5+x6+x7<=2; x3+x5<=1; x4+x5<=1; @bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); @bin(x5); @bin(x6); @bin(x7); @bin(x8); @bin(x9); @bin(x10);4.3 练习：混合泳接力队的选拔问题某学校准备从5名游泳队员中选拔4人组成接力队，参加学校的4×100m 混合泳接力赛。