§4 矩阵的逆

【暑期必备46个知识点：36】：矩阵求逆
你好，欢迎来到《46个知识点》栏目，
我是资深数学家老编。

今天是矩阵四则运算的最后一个部分——矩阵“除法”，但是在矩阵中一般不叫“除法”叫“求逆”，所以今天的内容就是矩阵求逆。

求逆与乘法类似，也是有条件的，那就是矩阵得可逆，不可逆的矩阵是不能求逆的，这一点一定要注意。

问题索引：
•矩阵可逆的条件？
•矩阵求逆的操作步骤？
先看第一个问题：矩阵可逆的条件，对于一个n阶矩阵来说，最基本的可逆条件，就是行列式不得0，现阶段记住这一个就可以，当复习了特征值，复习了线性方程组，你会发现，有很多矩阵可逆的条件。

那么怎么求逆？普遍的方法就是初等行变换法，当然有兴趣的同学也可以试一试使用Hamilton-Cayley定理去求解逆矩阵（这个方法超纲，但是在研究生课程《矩阵论》中这个方法是一个考试重点，不要觉得考上了研究生就不学数学了，那是不可能的~）
那么初等行变换法的操作细节是什么呢？就是在待求矩阵的右边并上一个单位矩阵，然后使用各种各样的手段，把待求矩阵变换成单位矩阵，那么右边并上的相应矩阵就是要求的逆矩阵。

来道题试试吧！
所以答案是
思考题：一定要好好算哦~
恭喜你，又学会了一个知识点。

今天是学习的第36/46天，
每天进步一点点，46天带你完成蜕变。

四阶方阵的逆矩阵公式在数学的奇妙世界里，四阶方阵的逆矩阵公式就像是一把神秘的钥匙，能打开很多复杂问题的大门。

咱先来说说啥是四阶方阵。

想象一下有一个四行四列的数字表格，这些数字可不是随便排列的，它们有着内在的规律和联系。

就像我们在操场上排队，每个同学都有自己的位置，而且相互之间的位置关系很重要。

比如说，有这样一个四阶方阵：\[\begin{pmatrix}1 &2 &3 &4 \\5 &6 &7 &8 \\9 & 10 & 11 & 12 \\13 & 14 & 15 & 16 \\\end{pmatrix}\]这一堆数字放在一起，就形成了一个有组织有纪律的方阵。

那啥是逆矩阵呢？简单说，就是能把原来的矩阵“变回去”的那个矩阵。

就好比你往前走了一段路，逆矩阵能带你原路返回。

四阶方阵的逆矩阵公式呢，听起来挺复杂，其实就是一套计算规则。

咱来具体讲讲这个公式。

一般来说，计算四阶方阵的逆矩阵需要经过一系列的步骤，包括求行列式的值、求伴随矩阵等等。

求行列式的值，这就像是给这个方阵定个“价值”。

比如说上面那个方阵，通过一系列的计算得出它的行列式的值。

这计算过程啊，就像是解一道谜题，一步一步找到答案。

然后是求伴随矩阵，这一步就更有趣了。

每个元素都有它对应的“小伙伴”，通过一些计算规则找到这些“小伙伴”，组合起来就得到了伴随矩阵。

还记得我上学那会，老师在黑板上一步一步地推导这个公式，大家都瞪大眼睛，生怕错过一个细节。

我当时就在想，这数学咋这么神奇，这些数字之间的关系就像是藏着无数的秘密等待我们去发现。

有一次做作业，遇到一个四阶方阵求逆的题目，我一开始抓耳挠腮，不知道从哪儿下手。

后来静下心来，按照老师讲的步骤，一步一步地算。

算着算着，突然就发现原来那些看似复杂的数字都变得听话了，最后算出了正确答案，那种成就感，简直没法形容！总之，四阶方阵的逆矩阵公式虽然看起来有点难，但只要我们耐心去学，细心去算，就能掌握它的奥秘。

| (3A)1 2 A | 的值. (其中 A 为 A 的伴随矩阵）
解 A | A | A1 1 A1 ,
2
| (3A)1 2A | | 1 A1 A1 | | 2 A1 |
3
3
(
2 )3 3
|
A1
|
8 | 27
A |1
8 2 27
16 27
.
18
(5) 设 A, B,C 为同阶方阵, AB AC .若 A 可逆,则B C .
对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立.
(6) 若A可逆,则有 | A1 | | A |1 . 证 AA1 E , | A | | A1 | 1 , 因此 | A1 | | A |1 .
17
例9 设 A 为 3 阶方阵，且| A | 1 , 求行列式 2
14
2a c 1,
2b
d a
0, 0,
b 1,
又因为 AB
a 0,
b 1,
c
1,
d 2.
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0, 1 01 2 1 2 1 0 0 1
所以
A1 0 1. 1 2
15
三、逆矩阵的运算性质
(1) 若A可逆,则A1亦可逆,且( A1 )1 A . (2) 若A可逆,数k 0,则kA可逆,且 (kA)1 1 A1.
可逆时,
求 A1
解 A 可逆的充分必要条件是 A ad bc 0
又
A*
A11 A12
A21 A22
d c
ab
所以当 A ad bc 0 时,
对角元互换位置, 非对角元变号
A1
1 A
A*
ad

1 1
又由 AXB C A AXBB A CB E 1 1 X A CB . 于是 X A1CB 1
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
1
1/ 2 1 1/ 2 3 2 1 A 1 1 1 A1 0 1 1 1 0 1 1/ 2 1 1/ 2
推论 证明
或BA E , 则B A1 . 若AB E
A B E 1,
故 A 0,
因而A1存在, 于是
即信息的原文是 “DEC ”.
三. 实际应用
工行密码：19 10 1 11 5 3 农行密码： … 建行密码： 招行信用卡密码 ： …
加密： A﹡“明文”
解密： A1﹡“密文 ”
工行真实密码： 091221
0 2 19 11 A 9 2 10 5 1 1 1 3 19 11 0 2 A 10 5 9 2 1 3 1 1
A
A
O

O
A
, A
A A AA A A A E A A E , A A
按逆矩阵的定义得
A A . A
1
证毕
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A 0时, A称为奇异矩阵,当 A 0时, A称为 非奇异矩阵.
1 A 2 E A 3 E 1, 故A 2 E可逆. 4 1 3E A 1 且 A 2E A 3E . 4 4
求矩阵X使满足 AXB C .
1 2 3

使得 AA1 A1A E,
则矩阵 A1称为 A 的逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1. 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
1 1 1 2 1 2 AB BA E, B是A的一个逆矩阵.
小结
1. 可逆矩阵与逆矩阵的概念 2. 逆矩阵的性质 3. 利用初等行变换求逆矩阵的步骤
课堂练习
练习题4.2
练习册 第4章 练习四
思考题
3 0 0
1.
设A
0
1
0
,
则An
0 0 4
2.已知A3 E,则A1
3. 若n阶矩阵A满足方程A2 2A 3E 0,则 A1
答案
3n 0 0 1. 0 1 0 .
3 2 12 1
5 2 1 2 . 1
注意: 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换， 其间不能作任何列变换．
练习1
1 2 3
设
A 2
2
1 ,求 A1.
3 4 3
解：
1 2 3 1 0 0
A
E
2
2
1
0
1
0
3 4 3 0 0 1
－2 －3
1 2 3 1 0 0
0
2
5
2
1
0
0 2 6 3 0 1
0
1
1
1
-2
0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 2
0
2
0
1
1
0 0 1 0 1

(3) 若A, B为同阶方阵且均可逆, 则 AB亦可逆, 且
( AB)1 B1A1 (4) 若A可逆，则AT也可逆，且( AT )1 ( A1)T.
(5) 若A可逆，则 A1 A 1 .
(6)( A )1 ( A1) A 1 A. (7)( A ) A n2 A,当n 2时，( A) A
证明：若 AB E，则 AB A B 1，故 A 0， 即 A可逆, 且 B ( A1A)B A1( AB) A1, 同理，B可逆，且 A B1 .
方阵A的逆矩阵的求法:
(1) 利用公式 A1 1 A, (适用于二阶、三阶矩阵求逆) A
(2) 寻找方阵 B , 使得 AB E. (适用于抽象矩阵求逆)
【例9】设
3 1 0
A
2
2
0
0 0 4
解 AX A 2X
解方程 AX A 2X .
AX 2X A
( A 2E) X A,得到
X ( A 2E )1 A,
1 1 0 1 3 1 0
X
2
4
0
2
2
0
0 0 2 0 0 4
4 1 0 3 1 0
1 2
5 10
5 15
，
5 0 0 1 0 0
则
A1
A* A
1 25
0 0
5 10
5 15
1 5
0 0
1 2
13
若|A|＝ 0, 则称 A为奇异矩阵 (退化矩阵) . 若|A|≠ 0, 则称 A为非奇异矩阵 (非退化矩阵).
推论： 设A、B为同阶方阵，若 AB E，
则 A和 B都可逆，且 A1 B，B1 A .
(8)(AB) BA
注： ( A B)1 A1 B1

1
2
3
同理可求得
A21 3 , A22 0 , A23 1 , A31 1 , A32 4 , A33 3.
二：逆矩阵的求法
A 11 A 21 A 31 A 1 1 A A 12 A 22 A 32 A A A A A 13 23 33
例题：求如下矩阵的伴随矩阵。
1)
解： 1)
a b A c d ,
A11 A* A 12
2)
1 0 0 A 1 1 1 , 1 2 3
2)
A11 A* A12 A 13
A21 d b c a A22 0 0 A21 A31 1 1 A22 A32 2 3 2 1 A23 A33 1
B C A 1 .
说明2：并不是所有的矩阵都有逆矩阵？ 设矩阵A有逆矩阵B 则 AB=BA=E 取行列式有：| AB|=|A||B|=|E|=1 结论：若矩阵A的存在逆矩阵则
A 0
非奇异矩阵：
若n阶矩阵A的行列式 A 0；则称矩阵 A是非奇异的
否则称A为奇异的。 性质：所有的可逆矩阵都是非奇异矩阵. 问题：非奇异矩阵是不是可逆矩阵?
问题：计算 AA* 与 A*A 的积。
一：逆矩阵的概念与性质
a11 a12 a1n A 11 A 21 A n1 a a22 a2n A 12 A 22 A n2 21 AA a A a A a A 11 12 12 1n A 1n 11 a a a A A A 2 a A nn 1n nn a n1A n a 2nA A

2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
又因为
a 0, b 1, c 1, d 2.
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
所以
0 1 A .. 1 2
1
定理2.3 矩阵 A 可逆的充要条件是 1 1 A A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
A 0 ，且
证明 若 A 可逆， 即有A1使AA 1 E .
故 A A1 E 1,
所以 A 0. .
当 A 0时,
例5 证明:若A是可逆的反对称,则 A 1也是反对称矩阵。 证明 因为
( A1 )T ( AT )1 ( A)1 A1 ,
所以 A 是反对称矩阵。
1
同理可以证明:可逆的对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。 .
例
设A,B均为n阶可逆矩阵,证明:
(1)
( AB ) B A ;
2.4 可逆矩阵的逆矩阵
一、概念的引入
在数的运算中，当数 a 0 时， 有
aa a a 1,
其中 a 1 1 为 a 的倒数， （或称 a 的逆）； a 在矩阵的运算中， 单位阵 E相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ， 如果存在一个矩阵A1, 使得
1
1
AA1 A1 A E ,
a11 a12 a1n A11 A21 An1 a a22 a2 n A12 A22 An 2 21 AA a A a A a A A 11 12 1 1n 11 12 n a a a A A A n1A n a A nn n a 2 nA A 1 2 nn a

逆矩阵的四则运算
逆矩阵的四则运算指的是使用逆矩阵进行加法、减法、乘法和除法运算。

1. 加法：给定两个矩阵A和B，如果A和B都有逆矩阵，那么A + B的逆矩阵等于A的逆矩阵加上B的逆矩阵。

2. 减法：给定两个矩阵A和B，如果A和B都有逆矩阵，那么A - B的逆矩阵等于A的逆矩阵减去B的逆矩阵。

3. 乘法：给定两个矩阵A和B，如果A和B都有逆矩阵，那么A * B的逆矩阵等于B的逆矩阵乘以A的逆矩阵。

4. 除法：给定两个矩阵A和B，如果A和B都有逆矩阵，那么A / B的逆矩阵等于B的逆矩阵乘以A的逆矩阵。

需要注意的是，上述的逆矩阵四则运算只有在矩阵A和B都有逆矩阵的情况下才成立，否则无法进行运算。

另外，两个逆矩阵相乘的结果不一定是逆矩阵。

A
1 2 3 4
2, A11 4, A12 3, A21 2, A11 1
2 1 4 2 1 A 1 , A 3 3 1 2 2
§3
解法二
逆矩阵
a b 设 B 是A的逆矩阵, c d
(1)矩阵A的两个多项式φ(A) 和f (A)是可换的,即 φ(A) f (A) = f (A) φ(A) , (2)如果A =P∧P-1,则Ak =P∧kP-1,从而φ(A) = Pφ(∧)P-1,
§3
( ) a0 E a1
逆矩阵
am m n 1m am n m
所以A 的逆矩阵是唯一的.
A的逆阵记为A-1,即 AA-1=A-1A=E
§3
例
逆矩阵
1 A 1 2 2 , B 1 4 2 1 1 , 2
1 0 1 0 AB , BA 0 1 0 1
2 A1 1 2 1 , B 1 1 2 1 1 4 2
2 m
§3
逆矩阵
例 设方阵A满足方程A2 - A -2E=0,证明A, A+2E 都可逆,并求它们的逆矩阵. 解 (1) 可得 A2 - A -2E=0 A(A - E)=2E
1 A ( A E ) E, 2 因此A可逆。
§3
(2)
逆矩阵
A2 - A -2E=0
可得(A+ 2E)(A -3E)+4E =0
(3)如果∧=diag (λ1, λ2 , ∙ ∙ ∙ λn )为对角矩阵,则∧k=diag (λ1k, λ2k , ∙ ∙ ∙ λnk),

四阶矩阵求逆的例子全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：四阶矩阵求逆是线性代数中的一个重要问题，它在很多领域都有应用，比如在数字信号处理、机器学习、计算机图形学等领域都有广泛的应用。

矩阵求逆的过程可以通过各种算法来实现，其中最常用的是高斯-约旦消去法。

在这篇文章中，我将介绍四阶矩阵求逆的过程，并通过一个具体的例子来说明这个过程。

在开始之前，我们首先要了解一些基本的概念。

矩阵的逆是指一个矩阵与其逆矩阵相乘等于单位矩阵，即AA^(-1)=I，其中A为矩阵，A^(-1)为其逆矩阵，I为单位矩阵。

而对于一个n阶的矩阵A，如果存在矩阵B使得AB=BA=I，则称B为A的逆矩阵，记作A^(-1)。

对于一个四阶矩阵A，其形式如下所示：\[A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\\end{pmatrix} \]我们的目标是求出矩阵A的逆矩阵A^(-1)。

现在，我们通过一个具体的例子来说明四阶矩阵求逆的过程。

我们首先需要构造一个扩展矩阵，它由矩阵A和单位矩阵I组成，形式如下：\[ \begin{pmatrix}2 & 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\-1 & 2 & 0 & 3 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\4 & 0 & 1 & 2 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\1 &2 &3 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix} \]接下来，我们通过高斯-约旦消去法对扩展矩阵进行操作，使其左边部分变成单位矩阵，右边部分即为矩阵A的逆矩阵。

第三讲 §2.3 逆矩阵2.3.1 逆矩阵的定义与性质我们已经定义了矩阵的加、减、数乘等运算,但是如果已知A 、B ,如何由矩阵方程B X A =⋅求出X 这个矩阵呢?逆矩阵的概念将会很好地解决这个问题.定义2.3.1 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==．则A 称为可逆矩阵．B 称为A 的逆矩阵．由定义可得，A 与B 一定是同阶的，而且A 如果可逆，则A 的逆矩阵是唯一的．这是因为，如果1B 、2B 都是A 的逆矩阵，则有E A B AB ==11，E A B AB ==22那么 22212111)()(B EB B A B AB B E B B =====所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵A 的逆矩阵记作1-A ．逆矩阵有下列性质：（１）如果A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(．由可逆的定义，显然有A 与1-A 是互逆的．（２）如果A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则)(AB 也可逆，且111)(---=A B AB ．这是因为 E A A AEA A BB A A B AB =⋅===------111111)())((E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())(( 所以 111)(---=A B AB ．这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形.（３）可逆矩阵A 的转置矩阵TA 也是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=．这是因为 EE A A A A TTTT===--)()(11E E AA A A TTTT===--)()(11 所以 T TA A )()(11--=．（４）如果A 是可逆矩阵，则有11--=AA ．这是因为 E AA =-1，两边取行列式有 11=⋅-A A ，所以 111--==A AA．2.3.2 伴随矩阵定义 2.3.2 如果n 阶矩阵A 的行列式0≠A ,则称A 是非奇异的(或非退化的).否则,称A 是奇异的(或退化的).定义 2.3.3 设n n ij a A ⨯=)(,ij A 是A 中元素)21(n j i a ij ，，，， =的代数余子式.矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn nnn n A A A A A A A A A A212221212111*称为A 的伴随矩阵.定理2.3.1 矩阵n n ij a A ⨯=)(为可逆矩阵的充分必要条件是A 为非奇异矩阵,并且当A 可逆时,有*11A AA =- 证明: 必要性 设A 为可逆矩阵,则存在矩阵1-A ,有E AA =-1,在等式两边取行列式,得111=⋅=--A A AA所以0≠A .即A 是非奇异的.充分性 设A 是非奇异矩阵,则0≠A ,由行列式按一行(列)展开定理有)1(*1A AA AA =-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn nnn n nn n n n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a A2122212121112122221112111 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A A A 0000001 E = 同理可得 E A A =-1,所以A 可逆,并且*11A AA =- 例1. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=313132121A 判断A 是否可逆,如果可逆,求1-A .解: 因为01313132121≠=---=A ,所以A 可逆.又.13221)1(11211)1(;11312)1(71321)1(;63311)1(53112)1(;11332)1(93312)1(;83113)1(333323321331322322221221311321121111=---==-==---=-=--=-=--=-=---==--==--==---=+++++++++A A A A A A A A A所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-1711691581*1A A A 例2 设A 为n (n ≥2)阶方阵,证明:当0≠A 时A AA n 2)(-**=证明 : 当0≠A 时, 有0≠*A ,且1-*⋅=A A A 又1-*=n A A ,所以()1111)()(----****==A A AA A A n =AAA AA n n 211---=这道题当 0=A 时，在学了第三章后也可以证明。

矩阵的求逆计算
计算矩阵的逆是一个复杂的过程，涉及到线性代数的概念。

对于一个方阵（行数等于列数）A，如果存在一个矩阵B 使得A * B = B * A = I（其中I 是单位矩阵），那么B 就是A 的逆矩阵。

如果矩阵A 是可逆的，那么它被称为非奇异矩阵。

在实际编程中，可以使用数学库来计算矩阵的逆。

例如，对于Python，你可以使用NumPy 库：
```python
import numpy as np
# 定义一个矩阵
A = np.array([[4, 7],
[2, 6]])
# 计算矩阵的逆
A_inv = np.linalg.inv(A)
print("原始矩阵:")
print(A)
print("\n逆矩阵:")
print(A_inv)
```
在上面的例子中，`np.linalg.inv` 函数用于计算矩阵的逆。

请注意，不是所有的矩阵都有逆矩阵，只有非奇异矩阵才有逆矩阵。

如果你使用其他编程语言，也可以查找相应的数学库来进行矩阵运算，例如MATLAB、Octave、R 等。

需要注意的是，矩阵的逆不是始终存在的，有时可能由于矩阵的性质而无法计算逆。

在实际应用中，你可能还需要考虑数值稳定性等问题。

总结求矩阵的逆矩阵的方法课程名称：专业班级：成员组成：联系方式：摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.关键词：矩阵逆矩阵方法Method of finding inverse matrixAbstract:Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix.Key words:Matrix inversematrix method正文：1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.2.求矩阵的逆矩阵的方法总结：2.1矩阵的基本概念矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。

比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。

元素全为零的矩阵称为零矩阵。

特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。

矩阵求逆的公式矩阵求逆这玩意儿，对于很多同学来说，可能一开始就像个让人头疼的“小怪兽”。

但别怕，咱们一起来瞧瞧这个矩阵求逆的公式到底是咋回事。

先来说说矩阵是啥。

想象一下，矩阵就像是一个整齐排列的数字方队。

比如说，一个 2×2 的矩阵，就像是两行两列站得整整齐齐的数字士兵。

那矩阵求逆又是干啥呢？简单说，就是给一个矩阵找到它的“逆伙伴”。

就好比你有一把锁，求逆就像是找到能打开这把锁的钥匙。

矩阵求逆的公式，就像是打开这把锁的密码。

对于一个 2×2 的矩阵A = ［a b ；c d］，它的逆矩阵 A⁻¹ = 1/(ad - bc) ×［d -b ；-c a］。

我给大家讲个我曾经遇到的事儿。

有一次我在课堂上讲这个矩阵求逆公式，我在黑板上写得密密麻麻，下面的同学们一个个瞪大眼睛，满脸的迷茫。

我就问：“咋啦，都被这公式吓住啦？”有个同学怯生生地说：“老师，这也太复杂了，感觉像一团乱麻。

”我笑了笑，说：“别着急，咱们慢慢来。

”然后我就带着他们一步一步拆解这个公式。

我让他们先看分母 ad - bc，告诉他们这可不能等于 0，不然这个矩阵就没有逆矩阵啦，就像一把没有钥匙能打开的锁。

然后再看分子里的每个元素，怎么通过原来矩阵的元素变化得到。

经过这么细细地讲解，同学们好像慢慢有点头绪了。

我能看到他们的眼神从迷茫变得有点清晰，那种感觉真的很棒。

咱们继续说这公式。

对于 3×3 及以上的矩阵，求逆就稍微复杂一些啦。

这时候可能就得用到一些其他的方法，比如初等变换法。

不过不管是哪种矩阵，求逆的核心都是要找到那个能把原矩阵变回单位矩阵的“神奇矩阵”。

在学习矩阵求逆公式的过程中，大家可别被它的外表吓到。

多做几道题，多琢磨琢磨，你就会发现，其实它也没那么可怕。

就像生活中的很多难题一样，乍一看觉得没法解决，但是只要咱们静下心来，一步一步地分析，总能找到解决的办法。

矩阵求逆的公式也是这样，只要你肯花时间去理解它，掌握它，它就能成为你数学学习中的得力工具。