第1章命题逻辑讲课教案

高中数学命题与逻辑题教案
教案主题：数学命题与逻辑题
教学目标：
1.了解命题的概念和基本性质
2.掌握逻辑联结词的运用
3.学会使用数学语言描述命题与逻辑问题
教学内容：
1.命题的定义和基本性质
2.逻辑联结词的分类和运用
3.数学语言描述命题与逻辑问题
教学步骤：
一、导入（5分钟）
老师引导学生回顾自然语言中的命题及其特点，引出命题在数学中的应用。

二、讲解与示范（15分钟）
1.讲解命题的定义和基本性质，引导学生通过举例理解命题的概念。

2.介绍逻辑联结词的分类和运用，让学生了解与理解逻辑关系的表达方式。

三、练习与巩固（20分钟）
1.学生通过练习题巩固所学知识，包括判断命题的真假和逻辑关系的运用。

2.学生分组进行逻辑题讨论，通过解题方式提高逻辑思维能力。

四、拓展与延伸（10分钟）
老师布置拓展练习，让学生尝试更复杂的命题和逻辑问题，拓展思维边界。

五、总结与展望（5分钟）
1.老师对本节课内容进行小结，强调重点和易错处。

2.展望下节课的主题，激发学生学习兴趣。

教学辅助：
1.多媒体教学设备
2.教材与练习题册
3.小组讨论环节
教学反馈：
学生通过课后练习、小组讨论和课堂互动等方式进行自我巩固与反馈，老师及时纠正错误，并指导学生进一步提高逻辑思维能力。

教学延伸：
老师鼓励学生独立思考和解决问题，引导学生进行更深入的逻辑思考，培养学生的创新意
识和数学智力。

课时：2课时教学目标：1. 理解命题逻辑的基本概念和符号化方法。

2. 掌握命题逻辑中的推理规则，如命题的否定、逆命题、逆否命题等。

3. 能够运用命题逻辑进行简单的逻辑推理和证明。

教学重点：1. 命题逻辑的基本概念和符号化方法。

2. 命题逻辑的推理规则。

教学难点：1. 复杂命题的符号化。

2. 复杂推理过程的正确性证明。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 命题逻辑符号表。

3. 相关练习题。

教学过程：第一课时一、导入1. 向学生介绍命题逻辑在大学学习中的重要性。

2. 提出问题：“什么是命题逻辑？它在我们的日常生活中有哪些应用？”二、讲授新课1. 命题逻辑的基本概念- 定义：命题逻辑是一种用于研究命题之间关系的逻辑体系。

- 命题：能够判断真假的陈述句。

- 符号化：用符号表示命题和命题之间的关系。

2. 命题逻辑的符号化方法- 符号表：介绍命题逻辑中的基本符号及其含义。

- 举例说明如何将命题符号化。

3. 命题逻辑的推理规则- 命题的否定：介绍否定命题的概念和符号表示。

- 逆命题：介绍逆命题的概念和符号表示。

- 逆否命题：介绍逆否命题的概念和符号表示。

三、课堂练习1. 让学生根据所学内容，将以下命题进行符号化：- “如果下雨，那么地面会湿。

”- “只有认真学习，才能考上大学。

”2. 让学生运用所学推理规则，对以下命题进行推理：- 命题1：如果下雨，那么地面会湿。

- 命题2：地面没有湿。

四、总结1. 回顾本节课所学内容，强调命题逻辑的基本概念、符号化方法和推理规则。

2. 布置课后作业，要求学生完成以下练习题。

第二课时一、复习1. 让学生回顾上一节课所学内容，回答以下问题：- 什么是命题逻辑？- 命题逻辑的符号化方法有哪些？- 命题逻辑的推理规则有哪些？二、讲授新课1. 复杂命题的符号化- 介绍复合命题的概念和符号表示。

- 举例说明如何将复合命题符号化。

2. 复杂推理过程的证明- 介绍证明的概念和步骤。

- 举例说明如何运用推理规则进行证明。

命题逻辑学教案一、引言命题逻辑学是判断论证正确性的科学方法，它在数学和哲学领域有着广泛的应用。

本教案旨在介绍命题逻辑学的基础概念、符号化和推理规则，帮助学生建立正确的逻辑思维和推理能力。

二、教学目标1. 理解命题逻辑学的基本概念和原理；2. 学会使用命题逻辑的符号化方法；3. 掌握命题逻辑的推理规则和技巧；4. 培养学生的逻辑思维和分析能力。

三、教学内容1. 命题逻辑的基本概念- 命题和命题变项- 真值和真值表- 逻辑联结词：非、合取、析取、条件、双条件- 命题逻辑符号化的规则2. 命题逻辑的推理规则- 真值推理和真值表- 归谬法和反证法- 假设推导法和条件证明法- 等价演算法和推理策略3. 命题逻辑的应用- 命题逻辑与数学证明- 命题逻辑在计算机科学中的应用- 命题逻辑在哲学领域的应用四、教学方法1. 讲授法：通过讲解命题逻辑的基本概念和原理，理论和实例相结合，帮助学生理解和掌握知识点。

2. 实践法：设置大量的练习题和案例分析，让学生主动参与推理和分析，提高他们的实际操作能力。

3. 讨论法：引导学生进行小组讨论和案例分析，促进学生之间的合作与交流，拓展他们的思维视野。

五、教学评价1. 平时表现：学生课堂参与度、练习完成情况等。

2. 作业考核：命题逻辑符号化和推理题目，要求学生准确、清晰地表达。

3. 期中考试：命题逻辑知识点的选择题和解答题。

4. 期末考试：综合命题逻辑知识的题目，测试学生的综合分析和推理能力。

六、教学资源1. 教材：《命题逻辑学导论》（作者：XXX）2. 参考书籍：《逻辑学教程》（作者：XXX）七、教学进度安排第一周：命题逻辑学概述第二周：命题和真值表第三周：逻辑联结词和符号化方法第四周：命题逻辑的推理规则第五周：真值推理和归谬法第六周：假设推导法和条件证明法第七周：等价演算法和推理策略第八周：命题逻辑在数学和计算机科学中的应用第九周：命题逻辑在哲学领域的应用八、教学反思通过本教案的实施，学生能够全面了解命题逻辑学的基本知识和应用领域。

命题逻辑的应用逻辑学教案引言：命题逻辑是逻辑学中的一个重要分支，它主要研究命题之间的关系及其推理规则，用符号语言表达逻辑命题，进而进行推理和论证。

命题逻辑的应用广泛，并被应用于不同领域中的问题解决和决策过程中。

本教案旨在介绍命题逻辑的基本概念和推理方法，并通过案例分析和实践演练，引导学生应用命题逻辑进行问题分析和思辨性思考。

第一部分：命题逻辑的基本概念1. 命题的定义和分类1.1 命题的定义：命题是陈述句，可以判断其真假的句子。

1.2 命题的分类：简单命题、复合命题和否定命题。

2. 命题联结词和逻辑运算符2.1 命题联结词：包括合取词、析取词、蕴含词和等价词等。

2.2 逻辑运算符：表示命题之间的逻辑关系和推理规则，包括与、或、非、蕴含和等价等。

3. 命题逻辑的真值表和真值运算3.1 真值表：用于表示命题所有可能的真假组合和结果。

3.2 真值运算：通过真值表进行逻辑运算，确定命题之间的逻辑关系。

第二部分：命题逻辑的推理方法1. 命题逻辑推理规则的介绍1.1 假言推理：根据蕴含命题的前件和后件进行推理。

1.2 拒取推理：根据两个互为否定的命题进行推理。

1.3 消解推理：通过将复合命题化简为简单命题进行推理。

2. 命题逻辑推理的应用案例2.1 判断推理的有效性：通过应用推理规则判断给定的推理过程是否有效。

2.2 问题解决与决策：通过应用命题逻辑的推理方法解决问题和做出决策。

3. 命题逻辑推理的训练和实践3.1 练习题：提供一些命题逻辑推理的练习题，帮助学生熟悉和掌握命题逻辑推理方法。

3.2 实践案例：提供一些实际问题的案例，引导学生运用命题逻辑推理解决问题。

第三部分：综合案例分析1. 案例一：法官的推理1.1 案例描述：描述一个法官根据证据和逻辑推理判断被告是否有罪的案例。

1.2 分析过程：分析法官应用命题逻辑推理的步骤和方法，解释推理过程的合理性。

2. 案例二：消费者的抉择2.1 案例描述：描述一个消费者根据产品的特征和价格进行选择的案例。

命题逻辑教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解命题的基本概念和命题的形式；2. 掌握命题的逻辑连词和逻辑运算法则；3. 能够根据给定的命题进行逻辑推理和判断；4. 培养学生的逻辑思维和分析能力。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：1. 命题的基本概念：包括命题的定义、命题的形式和非命题的区别等内容；2. 逻辑连词的介绍：包括合取、析取、条件和双条件等逻辑连词的定义和使用方法；3. 命题的逻辑运算法则：包括德·摩根律、分配律、结合律、交换律和同一律等；4. 命题的逻辑推理和判断：包括命题的合取范式、析取范式和简化等内容；5. 逻辑思维的培养：通过一些实例和练习题，引导学生运用命题逻辑进行思考和分析。

三、教学方法1. 演绎法：通过引导学生观察、归纳和总结，从具体的命题案例中推导出命题的基本概念和逻辑运算法则。

2. 对话互动法：通过师生之间的互动对话，引导学生积极参与讨论，培养学生的逻辑思维和分析能力。

3. 案例分析法：通过让学生分析和解决一些实际问题，提高学生的逻辑思维和应用能力。

四、教学步骤本节课的教学步骤如下：1. 导入（5分钟）：介绍命题逻辑的重要性和应用领域，引起学生的兴趣，并让学生思考命题在日常生活中的运用。

2. 命题的基本概念（15分钟）：a) 定义命题的概念和性质；b) 区分命题和非命题的特征；c) 引导学生从日常生活中找出一些命题和非命题的例子，并进行分析和判断。

3. 逻辑连词的介绍（20分钟）：a) 分别介绍合取、析取、条件和双条件的定义和使用方法；b) 指导学生通过具体的案例来理解逻辑连词的含义和逻辑关系；c) 给出一些练习题，让学生进行逻辑连词的组合和判断。

4. 命题的逻辑运算法则（20分钟）：a) 介绍德·摩根律、分配律、结合律、交换律和同一律的定义和运用方法；b) 演示一些案例，帮助学生掌握逻辑运算法则的应用；c) 让学生进行一些练习题，巩固对逻辑运算法则的理解和运用。

命题逻辑教案一、教学内容及要求授课学时：10教学内容2.1 命题与命题联结词命题及其真值，命题的分类，命题联结词及真值规定，自然语言的命题符号化。

2.2 命题公式、解释与真值表命题公式的定义，命题公式的解释及真值表的构造，命题公式的分类，命题公式的基本等价定律及其运用，代入定理和替换定理。

2.3 公式的标准型—范式命题联结词的完备集，极小联结词的完备集的定义及等价表示，析取范式和合取范式的定义及计算；主析取范式和主合取范式的定义及计算。

2.4命题逻辑的推理理论蕴涵、推理有效的定义，推理有效性的判别方法，演绎法相关的推理定律、推理规则，消解原理的定义及具体运用，四种推理有效性的判别方法之间的关系。

2.5 命题逻辑的应用命题联结词的应用，命题公式的应用，范式的应用和命题逻辑推理的应用基本要求1）要弄清命题与陈述句之间的关系与差别。

2）熟记5种基本联结词（⌝，∧，∨，→，↔）的真值规定，并能熟练运用5种基本联结词对复合命题进行自然语言翻译及真值判断。

3）熟记24个基本等价公式，并能熟练运用到公式的等价转换中。

4）熟练运用真值表技术和公式转换法求解给定公式所对应的主析取范式和主合取范式。

5）熟练掌握命题逻辑推理的四种基本方法及相互关系，熟练掌握演绎法的推理规则和推理定律。

能力培养培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

二、教学重点、难点及解决办法教学重点：联结词的真值规定，自然语言的命题符号化，真值表构建，等价定律的运用，主合取范式和主析取范式的计算；命题逻辑的推理。

教学难点：自然语言的命题符号化，极大项和极小项编码的理解，命题公式的等价变形，推理有效性的判别方法。

解决办法：1）对自然语言的命题符号化，采用举例法，用易混淆、易错的实例引导学生去分析其中的难点和易错点，理解并掌握表2.8中常用的蕴涵联结词对应的自然语言描述。

2）反复强调编码的唯一性和一致性，让学生深刻理解选择“使极小项的成真赋值和极大项的成假赋值”以及命题变元的顺序规定，都是因为这个“唯一性和一致性”。

第一课时 命题及其关系[目标要求]1． 了解命题的原命题、逆命题、否命题与逆否命题及其相对性；2． 会分析四种命题之间的关系；3． 会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假。

[重点难点]重点：四种命题的概念及关系.难点：利用等价命题判别命题的真假.[典例剖析]1．把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出他们的逆命题，否命题和逆否命题.（1）负数的平方是正数（2）正方形的四条边相等2．写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题.（1） 若0ab =, 则0a =或0b =（2） 若220a b +=, 则0a =且0b =（3） 当0c >时，若,a b ac bc >>则3．写出下列命题的等价命题，并判断真假.（1）若b a <，则bc ac <.（2）能被25整除的整数一定能被5整除.（3）若042≥-=∆ac b ，则)0(02≠=++a c bx ax 有实数根.（4）若2≠x 或3≠y ，则0)3()2(22≠-+-y x .（5）全等三角形的对应中线相等.4．判断并证明下列命题的真假：（1） 如果一个整数n 的平方是偶数，那么这个整数n 本身也是偶数.（2） 不存在实数k ，使抛物线231y kx x =+-与x 轴只有一个交点.5（1）命题A ：圆内接四边形对角互补；命题B ：对角不互补的四边形不是圆内接四边形.则命题A 命题B 的关系是 。

（2）下列各组的两个命题中：①T P a P a ∈∈与 ②T P a P a ∉∉与③P T P T T P == 与④T P a T P a ∉∉与，互为等价命题的是（4）若命题A 的否命题为B ，命题B 的逆命题为C ，则C 是A 的逆命题D 的 。

江苏省泰兴中学高二数学课后作业(1)姓名: 班级:1．若命题A 的逆命题是B ，命题A 的否命题为C ，则B 是C 的 。

2．已知原命题“若x, y 是奇数，则x+y 是偶数”，那么逆命题是_____________________,否命题是 _____________________,逆否命题是________________________3．对于命题：①若 x, y 互为相反数，则x+y =0 ② 若 x =1,则x 2=1③若x >1则x 2>1④若A B A B A ⊆=则, 其逆命题是真命题的序号是____________.4．若A 的否命题为：“若0x y +≤，则0x ≤或0y ≤”，则A 的逆命题为 。

第1章命题逻辑1.教学目的数理逻辑主要是研究推理的科学，是运用数学的方法研究思维形式和规律，特别是研究数学中的思维形式和规律。

本章培养学生的抽象思维能力，使学生掌握系统化的推理方法。

2.教学内容（本章目录与学时安排）1.1 现代逻辑学的基本研究方法（自学）1.2 命题及其表示法（2学时）1.2.1 命题的概念1.2.2 复合命题1.2.3 联结词1.2.4复合命题真假值1.3 命题公式与翻译（1学时）1.3.1 命题公式的定义1.3.2 公式的层次1.3.3 翻译1.4 真值表与等价公式（1学时）1.4.1 真值表1.4.2 等价公式1.5 重言式与等值演算（2学时）1.5.1 重言式1.5.2 等值演算1.6 对偶与范式（2学时）1.6.1 对偶1.6.2 简单合取式和简单析取式1.6.3 范式1.6.4 范式的唯一性—主范式1.7 其他联结词（自学）1.8 推理理论（2学时）1.8.1有效推理1.8.2 有效推理的等价定理1.8.3 重演蕴含式1.8.5 自然推理系统3．基本要求（课堂教学目标）见每节的具体要求。

4．重点难点见每小节的具体重难点。

5. 练习题与思考题附后。

6．教学后记主要是每节课后学生的问题和作业情况记载与分析。

7. 参考章节《离散数学》（第2版）（贲可荣、袁景凌、高志华，清华大学出版社）第1章《离散数学》（耿素云，屈皖聆高等教育出版社）第1-3章1.1现代逻辑学的基本研究方法（自学）1.2命题及其表示法(2学时)基本要求（1）会判断命题；（2）会使用联结词和复合命题；（3）会进行命题的符号化。

重点难点（1）蕴含联结词的含义和使用；（2）命题符号化。

教学方法（1）多媒体与板书教学相结合；（2）老师演算推理示范与启发式教学相结合。

教学内容1.2.1命题的概念命题是研究思维规律的科学中的一项基本要素，它是一个判断的语言表达。

定义1.1命题是一个可以判断真假的陈述句。

作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：真或假。

常用逻辑用语教案第一章常用逻辑用语教案1.1命题及其关系1.1.1 命题（一）教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（三）教学过程学生探究过程：1．复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除．3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。

其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。

教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5．练习、深化判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a 是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）2)2( ＝－２．（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．解略。

《离散数学》教案课目：第一章命题逻辑教师：熊建英学时： 12课时Ⅰ教学提要一、教学对象（人数）学生：信息安全专业本科二年级学生50人二、教学目标（任务）各小结中知识点掌握程度(* 理解；** 基本掌握；***熟练掌握)三、教学要求（一）学生：着重知识点的学习，积极思考，参与提问。

（二）教官：严格纪律，严密组织、保持良好教学秩序，确保教学效果。

四、教官分工主讲教师1名：负责教案编写，课堂的组织教学，教学总结编写。

五、本章重点1、利用联接词构造复合命题公式2、真值表的构建3、等值演算4、复合命题公式转化为主析取范式、主合取范式的方法5、推理证明六、本章难点1、利用命题公式演算、真值表进行等值判断和公式类型判断2、利用命题公式演算、真值表转化主析取范式、主合取范式3、将现实背景下的条件约束构造为命题公式七、教学方法采用课堂教授，主要使用多媒体课件，部分内容及例题用黑板解释。

八、课时分配1.1 命题及联接词2课时；1.2 命题公式及其赋值2课时；1.3 等值式2课时；1.4 析取范式与合取范式2课时；1.5 推理理论与消解法2课时；1.6 命题逻辑应用案例2课时；九、场地器材多媒体教室十、参考书目1、杨圣洪、张英杰、陈义明：《离散数学》，科学出版社，2011年。

2、屈婉玲、耿素云、张立昂：《离散数学》，高等教育出版社，2008年。

3、屈婉玲、耿素云、张立昂：《离散数学学习指导与习题解析》，高等教育出版社，2008年。

Ⅱ教学进程1.1 命题及联接词（2课时）一、教学内容1、命题的概念表示与分类2、五种基本的联接词的逻辑关系3、复合命题的符号化4、复合命题的真值判断二、课程时间安排1、首先介绍本课程的性质，任务和教学安排，对学生明确提出教学上的要求（10分钟）2、介绍离散数学学科的发展历史（20分钟）3、命题与真值、命题的分类、简单命题符号化（15分钟）4、联结词与复合命题（35分钟）5、本次课小结（10分钟）三、教学实施（一）创设意境、导入课程（10分钟）目的体会离散数学理论在现实生活中的应用、是计算机专业多门核心课程的基础，让学生明白“离散数学”课程作用和意义。

1.1 命题及其关系第1课时 命 题[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 2～P 4，回答以下问题． 观察教材P 2“思考〞中的6个语句． (1)这6个语句都是陈述句吗？ 提示：是．(2)能否判断这6个语句的真假性？ 提示：能．2．归纳总结，核心必记 命题及相关概念命题⎩⎪⎨⎪⎧定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句分类⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句形式：“假设p ，那么q 〞.其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论[问题思考](1)“x >5〞是命题吗？ 提示：不是．(2)陈述句一定是命题吗？ 提示：不一定．(3)命题“当x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0〞的条件和结论各是什么？ 提示：条件：x ＝2；结论：x 2－3x ＋2＝0． (4)“假设p 那么q 〞形式的命题一定是真命题吗？ 提示：不一定．(5)数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？提示：是．[课前反思](1)命题的定义是： ；(2)真、假命题的定义是： ；(3)命题的条件和结论的定义是： ．[思考] 一个语句是命题应具备哪两个要素？ 提示：(1)是陈述句；(2)可以判断真假． 讲一讲1．判断以下语句中，哪些是命题？(教材P 2－例1) (1)函数f (x )＝1x在定义域上是减函数；(2)一个整数不是质数就是合数； (3)3x 2－2x >1；(4)在平面上作一个半径为4的圆； (5)假设sin α＝cos α，那么α＝45°； (6)2100是一个大数；(7)垂直于同一个平面的两条直线一定平行吗？ (8)假设x ∈R ，那么x 2＋2>0.[尝试解答](1)是陈述句，且能判断真假，是命题． (2)是陈述句，且能判断真假，是命题．(3)当x ∈R 时，3x 2－2x 与1的大小关系不确定，无法判断其真假，不是命题． (4)不是陈述句，不是命题．(5)是陈述句，且能判断真假，是命题．(6)是陈述句，但是“大数〞的标准不确定，所以无法判断其真假，不是命题． (7)不是陈述句，不是命题．(8)是陈述句，且能判断真假，是命题．(1)一个语句是命题应具备两个条件：一是陈述句；二是能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值X 围，看能否判断真假．假设能，就是命题；假设不能，就不是命题．(3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题．(4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题． 练一练1．以下语句中是命题的有________．(填序号) ①地球是太阳的一个行星． ②甲型H1N1流感是怎样传播的？③假设x ，y 都是无理数，那么x ＋y 是无理数．④假设直线l 不在平面α内，那么直线l 与平面α平行． ⑤60x ＋9>4.⑥求证：3是无理数．解析：根据命题的概念进行判断．因为②是疑问句，所以②不是命题．因为⑤中自变量x 的值不确定，所以无法判断其真假，故不是命题．因为⑥是祈使句，所以不是命题，故填①③④.答案：①③④2．判断以下语句是否是命题，并说明理由． (1)π3是有理数；(2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？ (4)x 2－x ＋7>0.解：(1)“π3是有理数〞是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x 2≤5〞的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？〞是疑问句，所以它不是命题．(4)因为x 2－x ＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋274>0，所以“x 2－x ＋7>0〞是真的，故是命题．讲一讲2．把以下命题改写成“假设p ，那么q 〞的形式，并指出条件与结论．(教材P 3－例2、例3)(1)等边三角形的三个内角相等； (2)当a >1时，函数y ＝a x是增函数； (3)菱形的对角线互相垂直．[尝试解答](1)假设一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角相等．其中条件p ：一个三角形是等边三角形，结论q ：它的三个内角相等．(2)假设a >1，那么函数y ＝a x 是增函数．其中条件p ：a >1，结论q ：函数y ＝a x是增函数．(3)假设四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直．其中条件p ：四边形是菱形，结论q ：四边形的对角线互相垂直．(1)对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题“对顶角相等〞的条件应写成“假设两个角是对顶角〞，结论为“这两个角相等〞．(2)在对命题改写时，要注意所表达的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大前提的写法．例如，命题“在△ABC 中，假设a >b ，那么A >B 〞中，大前提“在△ABC 中〞是必不可少的．练一练3．将以下命题改写为“假设p ，那么q 〞的形式． (1)当a >b 时，有ac 2>bc 2;(2)实数的平方是非负实数；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除； (4)x ，y 为正整数，当y ＝x ＋1时，必有y ＝4，x ＝3. 解：(1)假设a >b ，那么ac 2>bc 2.(2)假设一个数是实数，那么它的平方是非负实数．(3)假设一个数能被6整除，那么它既能被3整除也能被2整除． (4)x ，y 为正整数，假设y ＝x ＋1，那么y ＝4，x ＝3.讲一讲3．判断以下各命题的真假，并说明理由． (1)假设a 2>b 2，那么a >b ；(2)在△ABC 中，当A >60°时，必有sin A >32； (3)两个向量相等，它们一定是共线向量； (4)直线y ＝x 与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝1相切．[尝试解答](1)假命题．例如，当a ＝－3，b ＝1时，a 2>b 2，但a >b 不成立． (2)假命题．例如，当A ＝150°时，A >60°，但sin A ＝12，不满足sin A >32.(3)真命题．当两个向量相等时，它们的模相等，方向相同，符合共线向量的定义，它们一定是共线向量．(4)假命题．圆心(1，－1)到直线y ＝x 的距离为d ＝2>1，所以直线与圆相离．(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“假设p ，那么q 〞的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“假设p ，那么q 〞的形式之后，判断这种命题真假的办法：假设由“p 〞经过逻辑推理，得出“q 〞，那么可判定“假设p ，那么q 〞是真；判定“假设p ，那么q 〞是假，只需举一反例即可．练一练4．以下命题中是真命题的是() A ．假设3∈A ，3∈B ，那么A ∩B ＝{3} B ．假设x 2＋x －2＝0，那么x ＝1C ．假设函数f (x )＝x 2－x ，那么f (x )有最小值－14D ．假设log 2x <1，那么x <2答案：C5．判断以下命题的真假，并说明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x＝4时，2x＋1<0；(3)假设x＝3或x＝7，那么(x－3)(x－7)＝0；(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．解：(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.(3)是真命题，由x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是命题的真假判断，难点是命题的构成形式和命题的真假判断．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)将命题改写成“假设p，那么q〞的形式，找准命题的条件和结论，见讲2.(2)判断命题的真假性，见讲3.3．本节课的易错点是将含有大前提的命题写成“假设p，那么q〞的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．课时达标训练〔一〕[即时达标对点练]题组1 命题的概念1．以下语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG解析：选BA选项是疑问句，C、D选项中的语句是祈使句，都不是命题．2．以下语句中：①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2>x；④{x|x2＋1＝0}．其中命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．题组2 命题的构成形式3．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除〞改写成“假设p，那么q〞的形式为_______________________________________．答案：假设一个整数的末位数字是4，那么它一定能被2整除4．命题“假设a>0，那么二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)〞的条件p：________，结论q：________．它是________命题(填“真〞或“假〞)．解析：a>0时，设a＝1，把(0，0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真5．把以下命题改写成“假设p，那么q〞的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)“假设两个实数乘积为1，那么这两个实数互为倒数〞．它是真命题．p：两个实数乘积为1，q：两个实数互为倒数．(2)“假设一个函数为奇函数；那么它的图象关于原点对称〞．它是真命题．p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．(3)“假设两个平面与同一条直线平行，那么这两个平面平行〞．它是假命题，这两个平面也可能相交．p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．题组3 判断命题的真假6．以下命题是真命题的是()A．所有质数都是奇数B．假设a>b，那么a>bC．对任意的x∈N，都有x3>x2成立D．方程x2＋x＋1＝0有实根解析：选B 选项A错，因为2是偶数也是质数；选项B正确；选项C错，因为当x＝0时x3>x2不成立；选项D错，因为Δ＝12－4＝－3<0，所以方程x2＋x＋1＝0无实根．7．以下命题中真命题有()①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：选A①中，当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x 轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．8．以下命题中真命题的个数为()①面积相等的三角形是全等三角形；②假设xy＝0，那么|x|＋|y|＝0；③假设a>b，那么a＋c>b＋c;④矩形的对角线互相垂直．A．1 B．2 C．3 D．4解析：选A①错；②中假设x＝3，y＝0，那么xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线不一定互相垂直．9．以下命题：①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0<x<12}是无限集；④如果a·b＝0，那么a＝0，或b＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题；②③④为假命题．答案：①[能力提升综合练]1．设a、b、c是任意非零平面向量，且相互不共线，那么：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|; ③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2，是真命题的有()A．①② B．②③C．③④ D．②④解析：选D ①错，数量积不满足结合律；②对，由向量减法的三角形法那么可知有|a|－|b|<|a －b|；③[(b ·c )·a －(c·a )·b ]·c ＝(b·c )(a·c )－(c·a )(b·c )＝0.∴③错；④对．2．a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，那么以下命题中，假命题是()A ．假设a ∥b ，那么α∥βB ．假设α⊥β，那么a ⊥bC ．假设a ，b 相交，那么α，β相交D ．假设α，β相交，那么a ，b 相交解析：选D 由a ⊥α，b ⊥β，假设α，β相交，a ，b 有可能异面．3．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根〞，那么使该命题为真命题的a 的一个值可以是()A ．4B ．2C ．0D ．－4解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a 2－4<0.故a ＝0时适合条件． 4．以下三个命题：①假设一个球的半径缩小到原来的12，那么其体积缩小到原来的18；②假设两组数据的平均数相等，那么它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号为() A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③解析：选C 对于命题①，设球的半径为R ，那么43π⎝ ⎛⎭⎪⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，假设两组数据的平均数相同，那么它们的标准差不一定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0，0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5．以下语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ ②一个数不是正数就是负数； ③大角所对的边大于小角所对的边；④△ABC 中，假设∠A ＝∠B ，那么sin A ＝sin B ； ⑤求证方程x 2＋x ＋1＝0无实根．解析：①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题； ②是假命题，0既不是正数也不是负数； ③是假命题，没有限制在同一个三角形内； ④是真命题；⑤是祈使句，不是命题． 答案：②③④④6．假设命题“ax 2－2ax －3>0不成立〞是真命题，那么实数a 的取值X 围是________． 解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立， ∴ax 2－2ax －3≤0恒成立． 当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，那么有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0.综上，－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]7．把以下命题改写成“假设p ，那么q 〞的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除；(2)当(a －1)2＋(b －1)2＝0时，a ＝b ＝1; (3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．解：(1)假设一个数是奇数，那么它不能被2整除，是真命题． (2)假设(a －1)2＋(b －1)2＝0，那么a ＝b ＝1，是真命题．(3)假设两个三角形是相似三角形，那么这两个三角形是全等三角形，是假命题． (4)在空间中，假设两条直线平行于同一个平面，那么这两条直线平行，是假命题． 8．A ：5x －1>a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“假设p ，那么q 〞为真命题．解：假设视A 为p ，B 为q ，那么命题“假设p ，那么q 〞为“假设x >1＋a 5，那么x >1〞．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4；假设视B 为p ，A 为q ，那么命题“假设p ，那么q 〞为“假设x >1，那么x >1＋a 5〞．由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，那么有真命题“假设x >1，那么x >25〞． 第2课时 四种命题及四种命题间的相互关系[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 4～P 8的内容，回答以下问题．观察教材P 4“思考〞中的4个命题：(1)这4个命题的条件和结论各是什么？提示：命题(1)的条件：f (x )是正弦函数，结论：f (x )是周期函数；命题(2)的条件：f (x )是周期函数，结论：f (x )是正弦函数；命题(3)的条件：f (x )不是正弦函数，结论：f (x )不是周期函数；命题(4)的条件：f (x )不是周期函数，结论：f (x )不是正弦函数．(2)命题(1)的条件和结论与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间有什么关系？提示：命题(1)的条件和结论分别是命题(2)的结论和条件；命题(1)的条件和结论分别是命题(3)的条件的否定和结论的否定；命题(1)的条件和结论分别是命题(4)的结论的否定和条件的否定．(3)根据上述四种命题的概念，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？提示：命题(2)(3)互为逆否命题；命题(2)(4)互为否命题；命题(3)(4)互为逆命题．2．归纳总结，核心必记(1)四种命题的概念①互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．②互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．③互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．(2)四种命题结构(3)四种命题间的相互关系(4)四种命题的真假性一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[问题思考](1)命题“假设a≠0，那么ab≠0〞的逆命题、否命题和逆否命题各是什么？提示：逆命题：假设ab≠0，那么a≠0；否命题：假设a＝0，那么ab＝0；逆否命题：假设ab＝0，那么a＝0．(2)在四种命题中，原命题是固定的吗？提示：不是．原命题是指定的，是相对于其他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他命题形式．(3)如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？提示：一定为真命题，因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性相同．(4)在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4．[课前反思](1)四种命题的概念是：；(2)四种命题的条件和结论之间有什么关系？；(3)四种命题的真假性有什么关系？．讲一讲1．写出以下命题的逆命题、否命题与逆否命题：(1)假设x>－2，那么x＋3>0;(2)两条对角线相等的四边形是矩形．[尝试解答](1)逆命题：假设x＋3>0，那么x>－2；否命题：假设x≤－2，那么x＋3≤0；逆否命题：假设x＋3≤0，那么x≤－2.(2)原命题可写为：假设一个四边形的两条对角线相等，那么这个四边形是矩形．逆命题：假设一个四边形是矩形，那么其两条对角线相等；否命题：假设一个四边形的两条对角线不相等，那么这个四边形不是矩形；逆否命题：假设一个四边形不是矩形，那么其两条对角线不相等．写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论；(2)将命题写成“假设p，那么q〞的形式；(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题．[注意] 如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．练一练1．分别写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题：(1)正数的平方根不等于0；(2)假设x2＋y2＝0(x，y∈R)，那么x，y全为0.解：(1)逆命题：假设一个数的平方根不等于0，那么这个数是正数；否命题：假设一个数不是正数，那么这个数的平方根等于0；逆否命题：假设一个数的平方根等于0，那么这个数不是正数．(2)逆命题：假设x，y全为0，那么x2＋y2＝0(x，y∈R)；否命题：假设x2＋y2≠0(x，y∈R)，那么x，y不全为0；逆否命题：假设x，y不全为0，那么x2＋y2≠0(x，y∈R)．[思考1] 假设原命题为真，那么它的逆命题、否命题的真假性是怎样的？名师指津：由于原命题的真假性与它的逆命题、否命题的真假性之间没有关系，所以无法判断它的逆命题、否命题的真假性．[思考2] 假设原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？名师指津：原命题和它的逆否命题具有相同的真假性．讲一讲2．写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)在△ABC中，假设a>b，那么A>B；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)假设x2－2x－3＝0，那么x＝3;(4)假设x∈A，那么x∈A∩B.[尝试解答](1)逆命题：在△ABC中，假设A>B，那么a>b.真命题；否命题：在△ABC中，假设a≤b，那么A≤B，真命题；逆否命题：在△ABC中，假设A≤B，那么a≤b.真命题．(2)逆命题：假设两个角的正弦值相等，那么这两个角相等．假命题；否命题：假设两个角不相等，那么这两个角的正弦值也不相等．假命题；逆否命题：假设两个角的正弦值不相等，那么这两个角不相等．真命题．(3)逆命题：假设x＝3，那么x2－2x－3＝0.真命题；否命题：假设x2－2x－3≠0，那么x≠3.真命题；逆否命题：假设x≠3，那么x2－2x－3≠0.假命题．(4)逆命题：假设x∈A∩B，那么x∈A.真命题；否命题：假设x∉A，那么x∉A∩B.真命题；逆否命题：假设x∉A∩B，那么x∉A.假命题．判断一个命题的真假，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假，尤其是当命题本身不易判断真假时，通常都通过判断其逆否命题的真假来实现．练一练2．有以下四个命题：(1)“假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数〞的否命题；(2)“假设x>y，那么x2>y2〞的逆否命题；(3)“假设x≤3，那么x2－x－6>0〞的否命题；(4)“对顶角相等〞的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“假设x，y互为相反数，那么x＋y＝0〞，为真命题；(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题；(3)该命题的否命题为“假设x>3，那么x2－x－6≤0〞，很明显为假命题；(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角〞，显然是假命题．3．在命题“假设a>－3，那么a>－6〞的逆命题、否命题、逆否命题中假命题个数是________．解析：容易判断，命题“假设a>－3，那么a>－6〞为真命题，而逆否命题与原命题同真假，从而它的逆否命题也是真命题；它的否命题为“假设a≤－3，那么a≤－6〞，是假命题，而否命题与逆命题同真假，那么它的逆命题也是假命题．答案：2[思考] 我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？名师指津：可以通过证明它的逆否命题为真命题来解决．讲一讲3．(1)判断命题“a，x为实数，假设关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，那么a≥1〞的逆否命题的真假．(2)(教材P8－例4)证明：函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，假设f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0.[尝试解答](1)法一：原命题的逆否命题：“a，x为实数，假设a<1，那么关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．〞真假判断如下：因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，假设a<1，那么4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．法二：先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，所以a≥1.所以原命题成立．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．(2)原命题的逆否命题为“函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，假设a＋b<0，那么f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．〞∵当a＋b<0时，a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．练一练4．证明：假设m2＋n2＝2，那么m＋n≤2.证明：将“假设m2＋n2＝2，那么m＋n≤2〞视为原命题，那么它的逆否命题为“假设m ＋n>2，那么m2＋n2≠2〞．由于m＋n>2，那么m2＋n2≥12(m＋n)2>12×22＝2，所以m2＋n2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是四种命题的概念以及四种命题间的关系，难点是等价命题的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，并会判断真假，见讲1和讲2.(2)用原命题和逆否命题的等价性解决相关问题，见讲3.3．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．4．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．课时达标训练〔二〕[即时达标对点练]题组1 四种命题的概念1．命题“假设a∉A，那么b∈B〞的否命题是()A．假设a∉A，那么b∉B B．假设a∈A，那么b∉BC．假设b∈B，那么a∉A D．假设b∉B，那么a∉A解析：选B 命题“假设p，那么q〞的否命题是“假设綈p，那么綈q〞，“∈〞与“∉〞互为否定形式．2．命题“假设x>1，那么x>0〞的逆命题是__________，逆否命题是__________．答案：假设x>0，那么x>1 假设x≤0，那么x≤13．以下命题中：①假设一个四边形的四条边不相等，那么它不是正方形；②正方形的四条边相等；③假设一个四边形的四条边相等，那么它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号)．答案：②和③①和③①和②题组2 四种命题的真假判断4．以下命题中为真命题的是()A．命题“假设x>y，那么x>|y|〞的逆命题B．命题“假设x＝1，那么x2>1〞的否命题C．命题“假设x＝1，那么x2＋x－2＝0〞的否命题D．命题“假设x2>1，那么x>1〞的逆否命题解析：选A 对A，即判断：“假设x>|y|，那么x>y〞的真假，显然是真命题．5．命题“假设m＝10，那么m2＝100〞与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题解析：选C 因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．6．命题“假设x≠1，那么x2－1≠0〞的真假性为________．解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“假设x2－1＝0，那么x＝1〞，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．答案：假命题题组3 等价命题的应用7．判断命题“假设m>0，那么方程x2＋2x－3m＝0有实数根〞的逆否命题的真假．解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“假设m>0，那么方程x2＋2x－3m＝0有实数根〞为真．又原命题与它的逆否命题等价，所以“假设m>0，那么方程x2＋2x－3m＝0有实数根〞的逆否命题也为真．8．证明：假设a2－4b2－2a＋1≠0，那么a≠2b＋1.证明：“假设a2－4b2－2a＋1≠0，那么a≠2b＋1〞的逆否命题为：“假设a＝2b＋1，那么a2－4b2－2a＋1＝0〞，当a＝2b＋1时，a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b －2＋1＝0，故该命题的逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．[能力提升综合练]1．假设命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，那么q与r的关系是()A．互逆命题 B．互否命题C．互为逆否命题 D．以上都不正确解析：选A 设p为“假设A，那么B〞，那么q为“假设，那么〞，r为“假设，那么〞．故q与r为互逆命题．2．以下四个命题：①“假设xy＝0，那么x＝0，且y＝0〞的逆否命题；②“正方形是矩形〞的否命题；③“假设ac2>bc2，那么a>b〞的逆命题；④假设m>2，那么不等式x2－2x ＋m>0.其中真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3解析：选B 命题①的逆否命题是“假设x≠0，或y≠0，那么xy≠0〞，为假命题；命题②的否命题是“假设一个四边形不是正方形，那么它不是矩形〞，为假命题；命题③的逆命题是“假设a>b，那么ac2>bc2〞，为假命题；命题④为真命题，当m>2时，方程x2－2x ＋m＝0的判别式Δ<0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.3．有以下四个命题：①“假设x＋y＝0，那么x、y互为相反数〞的逆命题；。

命题一：教法分析●三维目标理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式．2．过程与方法多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．●重点、难点重点：命题的概念、命题的构成．难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．二：方案设计●教学建议命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能否判断真假；重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破重难点．●教学流程创设问题情境，引出命题的概念，通过实例形成概念原型.⇒引导学生结合初中学习过的命题概念，比较、分析，揭示命题的特点及构成形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解判断命题真假的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断一个语句是否为命题.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握命题真假的判断方法，并对相关知识进行复习.⇒通过例3及其变式训练，完成对命题形式的认识与巩固，学会对命题进行改写.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.三、自主导学课标解读1.了解命题的概念及构成．(重点) 2．会判断命题的真假．(难点、易错点)命题的概念【问题导思】观察下列实例：①一条直线l，不是与平面α平行就是相交；②4是集合{1,2,3,4}的元素；③若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；④作△ABC∽△A′B′C′上述语句中，哪些能判断真假？【提示】①、②、③、④是祈使句不能判断真假．1．定义在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．分类①真命题：判断为真的语句叫做真命题；②假命题：判断为假的语句叫做假命题.命题的形式【问题导思】1．“同位角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？【提示】是命题，为假命题．2．你能把“同位角相等”写成“若……，则……”的形式吗？【提示】若两个角为同位角，则这两个角相等．命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.四、互动探究命题的判断例1(1)x－2＞0；(2)梯形是不是平面图形呢？(3)若a与b是无理数，则ab是无理数；(4)这盆花长得太好了！(5)若x＜2，则x＜3.【思路探究】(1)这些语句是陈述句吗？(2)你能判断它们的真假吗？【自主解答】(1)不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假．(2)不是命题，疑问句不是命题．(3)是命题，因为此语句是陈述句且是假的．(反例a＝b ＝2)(4)不是命题，感叹句不是命题．(5)是命题，因为此语句是陈述句且是真的．（一）规律方法判断一个语句是否为命题的步骤：(1)语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．(2)该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，是明确的，不能模棱两可．（二）变式训练判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)一条直线l，与平面α不是平行就是相交；(2)若xy＝1，则x，y互为倒数；(3)作△ABC∽△A′B′C′.【解】(1)是命题．直线l与平面α有相交、平行、l在平面α内三种关系，为假．(2)是命题．因xy＝1时，x，y互为倒数，为真．(3)不是命题，祈使句不是命题．命题真假的判定例2 判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；(2)若x＝4，则2x＋1＜0；(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(4)求证：x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根．【思路探究】语句――→命题定义判定是否是命题――→证明举反例真假命题【自主解答】(1)(2)(3)是命题，(4)不是命题．命题(1)中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，为真命题．命题(2)中，当x＝4,2x＋1＞0，是假命题．命题(3)中，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．(4)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．（一）规律方法1．真假命题的判定方法：(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．2．解决本类问题的难点是对相关知识的理解与掌握．（二）互动探究在本例中，把不是命题的改为命题后，再把假命题改为真命题．【解】(2)是假命题，改为真命题为：若x＝4时，则2x＋1＞0.(3)是假命题，改为真命题为：一个等比数列的公比大于1，首项大于零时，该数列为递增数列．(4)不是命题，改为真命题为：若x∈R，则方程x2－x＋2＝0无实根.命题的形式及改写例3(1)两个周长相等的三角形面积相等；(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；(3)当m＞1时，x2－2x＋m＝0无实根；(4)当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.【思路探究】(1)这些命题的条件与结论分别是什么？(2)第2小题中大前提“已知x、y为正整数”该怎样处理？【自主解答】(1)若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，假命题；(2)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；(3)若m＞1，则x2－2x＋m＝0无实根，真命题；(4)若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．（一）规律方法1．解决本例问题的关键是找准命题的条件和结论，进而化成“若p，则q”的形式．2．对于命题的大前提，应当写在前面，不要写在条件中；对于改写时语句不通顺的情况，要适当补充使语句顺畅．（二）变式训练把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．【解】 (1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题； (2)若(a －1)2＋(b －1)2＝0，则a ＝b ＝1，是真命题；(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题． (4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题． 五、易误辨析因知识欠缺，导致对命题真假判断失误典例 判断下列命题的真假． (1)若a ＞b ，则1a ＜1b；(2)x ＝1是方程(x －1)(x －2)＝0的一个根． 【错解】 (1)真命题． (2)假命题．【错因分析】 (1)误认为“两数比较大小时，大数的倒数反而小”，而忽视a 、b 的条件，当a ＞0，b ＜0时，a ＞b 但1a ＞1b.(2)因为方程的根为x ＝1或x ＝2，解题时误认为x ＝1不全面，而没有分析清逻辑关系． 【防范措施】 平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻． 【正解】 (1)假命题 (2)真命题 六、课堂小结1．判断一个语句是否是命题要注意两点： (1)是不是陈述句； (2)能否判断真假．2．命题的真假判断要结合已有知识，进行严格的逻辑推理，对于描述较为简洁的命题可以分清条件和结论后改写成“若p ，则q ”的形式再加以判断. 七、双基达标1．下列语句中是命题的是( ) A.π2是无限不循环小数 B ．3x ≤5C ．什么是“温室效应”D ．《非常学案》真好呀！【解析】 疑问句和祈使句不是命题，C 、D 不是命题，对于B 无法判断真假，只有A 是命题．【答案】 A2．下列命题中是假命题的是( ) A ．5是15的约数B ．对任意实数x ，有x 2＜0C．对顶角相等D．0不是奇数【解析】对任意实数x，有x2≥0，所以B为假命题．A、C、D均为真命题．【答案】 B3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改写成“若p，则q”的形式为________．【答案】若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行4．判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．(1)求证：2是无理数．(2)若G2＝ab，则a、G、b成等比数列．(3)末位数字是0的整数能被5整除．(4)你是高二的学生吗？【解】(1)不是命题，(2)假命题，(3)真命题，(4)不是命题.八、知能检测一、选择题1．(2013·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是( )A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【解析】A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．【答案】 D2．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( )A．这个数能被2整除B．这个数能被3整除C．这个数既能被2整除，也能被3整除D．这个数是6的倍数【解析】“若p，则q”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．【答案】 C3．下列命题中，是真命题的是( )A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集B．若x2＝1，则x＝1C．空集是任何集合的真子集D ．若1x ＝1y，则x ＝y【解析】 A 中方程在实数范围内无解，故为假命题；B 中，若x 2＝1，则x ＝±1，也为假命题；因为空集是任何非空集合的真子集，故C 为假命题，D 为真．【答案】 D4．给出命题：方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3【解析】 方程无实根应满足Δ＝a 2－4＜0即a 2＜4，故当a ＝0时适合条件． 【答案】 C 5．有下列命题：①若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；②若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ；③矩形的对角线互相垂直． 其中真命题共有( ) A ．0个B ．1个C ．2个【解析】 ①由x ·y ＝0得到x ＝0或y ＝0， 所以|x |＋|y |＝0不正确，是假命题；②当a ＞b 时，有a ＋c ＞b ＋c 成立，正确，所以是真命题； ③矩形的对角线不一定垂直，不正确．是假命题． 【答案】 B 二、填空题6．把“正弦函数是周期函数”写成“若p ，则q ”的形式是________． 【答案】 若函数为正弦函数，则此函数是周期函数．7．如果命题“若x ∈A ，则x ＋1x≥2”为真命题，则集合A 可以是________．(写出一个即可)【解析】 当x ＞0时，有x ＋1x≥2，故A 可以为{x |x ＞0}．【答案】 {x |x ＞0}8．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数，②平行四边形是梯形，③若a ＞b ，则ac 2＞bc 2，④若x 、y 互为相反数，则x ＋y ＝0，其中真命题为________．【解析】 ①是真命题，②平行四边形不是梯形，假命题，③若a ＞b ，则ac 2≥bc 2，故为假命题，④为真命题．【答案】 ①④ 三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假：(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)当ac ＞bc 时，a ＞b ；(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【解】 (1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，真命题． (2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，假命题． (3)若ac ＞bc ，则a ＞b ，假命题．(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等，真命题． 10．判断下列命题的真假并说明理由． (1)合数一定是偶数；(2)若ab ＞0，且a ＋b ＞0，则a ＞0且b ＞0； (3)若m ＞14，则方程mx 2－x ＋1＝0无实根．【解】 (1)假命题．例如9是合数，但不是偶数． (2)真命题．因为ab ＞0，则a 、b 同号． 又a ＋b ＞0故a 、b 不能同负， 故a 、b 只能同正，即a ＞0且b ＞0. (3)真命题．因为当m ＞14时，Δ＝1－4m ＜0；∴方程无实根．11．若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，求实数a 的取值范围． 【解】 因为ax 2－2ax －3＞0不成立， 所以ax 2－2ax －3≤0恒成立． (1)当a ＝0时，－3≤0成立； (2)当a ≠0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ≤0，解之得－3≤a ＜0.由(1)(2)，得a 的取值范围为[－3,0]． 九、备课资源（一）备选例题 下列四个命题：①若向量a ，b 满足a·b ＜0，则a 与b 的夹角为钝角； ②已知集合A ＝{正四棱柱}，B ＝{长方体}，则A ∩B ＝B ；③在平面直角坐标系内，点M (|a |，|a －3|)与N (cos α，sin α)在直线x ＋y －2＝0的异侧；④规定下式对任意a ，b ，c ，d 都成立．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋bc ab ＋bd ac ＋cd bc ＋d 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 001.其中真命题是________(将你认为正确的命题序号都填上)．【解析】 当a 与b 的夹角为π时，有a·b ＜0，但此时的夹角不为钝角，所以①是错误的；因为正四棱柱的底面是正方形，所以A ∩B ＝A ，故②也是错误的；因为|a |＋|a －3|－2≥|a －a ＋3|－2＝1＞0，cos α＋sin α－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－2＜0，所以点M ，N在直线x ＋y －2＝0的异侧，故③是真命题；根据题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α2＋cos 2α －sin αcos α＋cos αsin α－sin αcos α＋cos αsin α cos 2α＋sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 001，所以④是真命题，故填③④. 【答案】 ③④ （二）备选变式把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．若函数f (x )＝3＋log 2x (x ＞0)的图象与g (x )的图象关于x 轴对称，则g (x )＝________. 【解析】 设g (x )图象上任一点(x ，y )，则它关于x 轴的对称点为(x ，－y )，此点在f (x )的图象上，故有：－y ＝3＋log 2x 成立，即y ＝－3－log 2x (x ＞0)．【答案】 －3－log 2x (x ＞0)。

1.1.命题-人教B版选修1-1教案1. 课题设置1.1 教材信息本课程采用人教B版选修1的第一篇文章《命题》作为教学材料，该文章旨在引导学生认识命题这一概念，理解命题的构成方法和基础逻辑。

1.2 教学目标1.能够正确定义命题这一概念。

2.掌握命题的构成方法，包括命题符号和布尔运算。

3.理解命题逻辑中的与、或、非等基础概念，并能够应用于命题推理中。

1.3 教学准备1.教材《人教B版选修1》第一篇文章《命题》。

2.多媒体设备，包括投影仪和音响设备。

3.预先准备好的课件，包括相关命题符号的图示和示例练习。

2. 教学内容2.1 导入环节通过提问的方式引导学生了解与命题相关的一些常见概念，例如“推理”、“证明”等，同时让学生了解本节课的主题为“命题”。

2.2 命题的定义和构成引导学生认识命题的定义，即能够被判断真假的陈述句或表述方式。

同时介绍命题的构成方法，包括命题符号和布尔运算。

通过举例子的方式和多媒体设备展示相关符号和运算。

2.3 命题逻辑的基本概念引导学生理解命题逻辑中的与、或、非等基础概念，通过实际的生活例子和课堂练习等方式让学生理解这些概念，并能够应用于命题推理中。

2.4 命题推理的基础方法为学生介绍命题推理的基础方法，包括条件判断法、假设法和反证法等。

通过练习让学生掌握这些方法，并引导学生反思这些方法所依据的命题逻辑的基本原则。

3. 教学方法本节课采用讲述和互动的教学方法。

教师通过讲述走进主题，引导学生理解和掌握相关概念，同时通过互动让学生参与课堂练习和讨论，加深对命题逻辑的理解和逻辑推理的掌握。

4. 教学总结通过对本节课的学习，学生应该能够掌握命题的基本概念和构成方法、理解命题逻辑的基础概念并能够应用于生活和学习中，掌握命题推理的基础方法，并理解这些方法所依据的命题逻辑原则。

同时，课堂讨论也应该让学生思考命题逻辑在现实生活中的应用和局限性。

课题名称：命题逻辑课时：2课时年级：高中一年级教学目标：1. 知识目标：使学生理解命题逻辑的基本概念，掌握命题的构成、命题的真假值、复合命题及其逻辑运算。

2. 能力目标：培养学生运用命题逻辑进行推理和论证的能力，提高逻辑思维水平。

3. 情感目标：激发学生对逻辑学的兴趣，培养严谨的学术态度和科学精神。

教学重点：1. 命题的概念和构成。

2. 命题的真假值及其判定。

3. 复合命题及其逻辑运算。

教学难点：1. 复合命题的逻辑运算规则。

2. 命题逻辑在实际问题中的应用。

教学过程：第一课时一、导入1. 提问：什么是命题？举例说明。

2. 引入命题逻辑的概念，简要介绍其作用和意义。

二、新课讲授1. 命题的概念和构成- 命题的定义：能够判断真假的陈述句。

- 命题的构成：由题设和结论两部分组成。

- 举例说明不同类型的命题。

2. 命题的真假值及其判定- 真命题：陈述句为真。

- 假命题：陈述句为假。

- 真假值的判定方法：逻辑推理、事实依据等。

3. 复合命题及其逻辑运算- 复合命题的定义：由简单命题通过逻辑运算连接而成的命题。

- 逻辑运算的类型：合取、析取、否定、蕴涵等。

- 举例说明复合命题及其逻辑运算。

三、课堂练习1. 判断以下命题的真假：今天下雨。

2. 构造一个复合命题，并说明其逻辑运算类型。

四、小结1. 回顾本节课所学内容，强调命题逻辑的基本概念和运算规则。

2. 强调命题逻辑在实际问题中的应用。

第二课时一、复习导入1. 复习上节课所学内容，提问：什么是命题？什么是复合命题？2. 引入命题逻辑在实际问题中的应用。

二、新课讲授1. 命题逻辑在实际问题中的应用- 应用实例：法律推理、经济决策、科学论证等。

- 应用方法：逻辑推理、逻辑证明等。

2. 逻辑证明- 证明的定义：通过一系列逻辑推理，得出结论的过程。

- 证明方法：直接证明、间接证明、反证法等。

三、课堂练习1. 应用命题逻辑解决实际问题，如：判断一个陈述句的真假。

2. 写出证明过程，证明一个命题的正确性。