七年级数学思维探究(19)乘法公式(含答案)

初一数学专题训练(乘法公式+因式分解)(一) 巧用乘法公式进行计算类型一 巧用乘法公式的变形求式子的值1.阅读下面的材料，解答相应问题:数学知识随着人类文明的起源而产生，人类祖先为我们留下了许多珍贵的原始贵料， 古巴比伦泥板上记载了两种利用平方数表计算两数乘积的公式:221[()()]4ab a b a b =+--①; 221[()2ab a b a =+- ]②. (1)补全材料中公式②中的空缺部分.(2)验证材料中的公式①.(3)当5,7a b a b +=-=时，利用公式①计算ab 的值.类型二 巧用乘法公式进行简便计算2.化简:6X (7+1) X(72+1) X(74+1) X(78+1)X (716+1)+1.3.观察下列等式:22()()a b a b a b -+=-;2233()()a b a ab b a b -++=-;322344()()a b a a b ab b a b -+++=-;…利用你发现的规律解决下列问题:(1)计算: 432234()()a b a a b a b ab b -++++= .(2)计算: 123221()()n n n n n a b a a b a b ab b ------+++⋅⋅⋅++= .(3)利用(2)中得出的结论求20192018266661++⋅⋅⋅+++的值.类型三 巧用乘法公式解决整除问题4.当n 为自然数时，22(5)(3)n n +--能被16整除吗?请说明理由.5.当n 为自然数时，22(7)(5)n n +--能被24整除吗?请说明理由.(二) 常见因式分解的方法类型一 提公因式法1.分解因式(1) 2222464x y x z -= .(2) 2222898a b ab -+== .(3) 323612ma ma ma -+-= .(4) 2(1)(32)(23)x x x --+-= . 类型二 公式法2.分解因式:(1) 2244816x y x y -- = .(2) 2222(328)(28)a a a a +----= .类型三 分组分解法3.观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解:甲: 244x xy x y -+-=2()(44)x xy x y -+-)=()4()x x y x y -+-=()(4)x y x -+.乙: 2222a b c bc --+=222(2)a b c bc -+- =22()a b c --=()()a b c a b c +--+请你在他们解法的启发下，分解因式: 22441x x y +-+.类型四 配方法4.阅读与思考:对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式.但 对于二次三项式2223x ax a +-，就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式 2223x ax a +-中先加上一项2a ，使它与22x ax +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有2223x ax a +-=2222(2)3x ax a a a ++--=22()(2)x a a +- =(2)(2)x a a x a a +++-=(3)()x a x a +-.像这样，先添一适当项，使式中一出现完全 平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方法’，分 解因式:(1) 268a a -+= .(2) 21213x x +-= .类型五 十字相乘法5.阅读与思考:整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由2()()()x p x q x p q x pq ++=+++，得 2()()()x p q x pq x p x q +++=++.利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三 项式分解因式.例如将式子26x x --分解因式，这个式子的常数项－6=2X(－3)，一次项 系数－1=2+(－3)，这个过程可用“十字相乘”的形式形象地表示:先分解二次项系数，分 别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项，分别写在干字交叉线的右上有和右 下角;然后交叉相乘，求代数和;使其等于一次项系数(如图)，这种分解二次三项式的方法 叫“十字相乘法”.请同学们认真观察，分析理解后，解答下面的问题:(1)分解因式: 2718x x +-.(2)若28x px +-可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是 .参考答案(一) 巧用乘法公式进行计算1.(1)2b -(2)略(3)6ab =-2. 原式327=3. (1) 55a b -(2) n n a b - (3)原式2020615-= 4. 能点拨：22(5)(3)16(1)n n n +--=+5. 能点拨：22(7)(5)24(1)n n n +--=+(二) 常见的因式分解方法1.(1) 24()()x y z y z +-(2) 22(7)ab -(3) 23(424)ma a a --+(4) (32)(2)x x x --2.(1)22(2)(2)x y x y -+-(2)28(2)(2)a a a +-3. 22441(21)(21)x x y x y x y +-+=+++-4.(1)(2)(4)a a --(2)(13)(1)x x +-5. (1)2718(9)(2)x x x x +-=+-(2)7,7,2,2--。

一、选择题（共10题）1.如图，将长方形ABCD的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为56，面积之和为58，则长方形ABCD的面积为( )A．98B．49C．20D．102.已知a+b+c=1，a2+b2−c2+2c=3，则ab的值为( )A．1B．−1C．2D．−23.计算(x−y)2n−1⋅(y−x)4的值是( )A．(x−y)2n+3B．(y−x)2n+3C．−(x−y)2n+3D．−(y−x)2n−54.如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张，现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b5.若x+y=2，x2+y2=4，则x2018+y2018的值是( )A．4B．20182C．22018D．420186.PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为( )A．0.25×10−5B．0.25×10−6C．2.5×10−5D．2.5×10−67.若(x+2)是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于( )A．−6B．6C．−9D．98.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b），再沿黑线剪开，如图（1）所示，然后拼成一个梯形，如图（2）所示．根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是 ( )A ． a 2−b 2=(a +b )(a −b )B ． (a +b )2=a 2+2ab +b 2C ． (a −b )2=a 2−2ab +b 2D ． a 2−b 2=(a −b )29. 已知 a 1，a 2，⋯，a 2020 都是正数，如果 M =(a 1+a 2+⋯+a 2019)(a 2+a 3+⋯+a 2020)，N =(a 1+a 2+⋯+a 2020)(a 2+a 3+⋯+a 2019)，那么 M ，N 的大小关系是 ( ) A ． M >N B ． M =N C ． M <N D ．不确定10. 在数学中，为了书写简便，18 世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．如记 ∑k n k=1=1+2+3+⋯+(n −1)+n ，∑(x +k )n k=3=(x +3)+(x +4)⋯+(x +n )；已知 ∑[(x +k )(x −k +1)]nk=2=3x 2+3x −m ，则 m 的值是 ( ) A ． −40B ． 20C ． −24D ． −20二、填空题（共7题）11. 若代数式 x 2+4x +3 可以表示为 (x −1)2+a (x −1)+b 的形式，则 a +b = ．12. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了(a +b )n (n =1,2,3,4,⋯) 的展开式的系数规律（按 n 的次数由大到小的顺序）：11(a +b )1=a +b 121(a +b )2=a 2+2ab +b 21331(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 314641(a +b )4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4⋯⋯请依据上述规律，写出 (x −2)2018 展开式中含 x 2017 项的系数是 ．13. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了(a +b )n （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应着 (a +b )2=a 2+2ab +b 2 展开式中各项的系数；第五行的五个数 1，4，6，4，1，恰好对应着 (a +b )4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4 展开式中各项的系数，等等．请观察图中数字排列的规律，求出代数式 x +y +z 的值为 ．111121133114641151010511615x y z114.已知x2−2x−3是多项式3x3+ax2+bx−3的因式（a，b为整数），则a=，b=．15.如果9m+3×27m+1÷34m+7=81，那么m=．16.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和．事实上，这个三角形给出了(a+b)n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等．根据上面的规律，(a+b)4的展开式中各项系数最大的数为；式子75+5×74×(−5)+10×73×(−5)2+10×72×(−5)3+5×7×(−5)4+(−5)5的值为．17.计算：(a+b−c)(a−b−c)=．三、解答题（共8题）18.解答下列问题．(1) 计算(m+3n)(m−3n)−(m−3n)2；(2) 已知(a+b)2=7，(a−b)2=4，求ab的值．19.计算下列各题：(1) 你能求出(a−1)(a99+a98+a97+⋯+a2+a+1)的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．(a−1)(a+1)=；(a−1)(a2+a+1)=；(a−1)(a3+a2+a+1)=；⋯由此我们可以得到：(a−1)(a99+a98+a97+⋯+a+1)=．(2) 利用（1）的结论，完成下面的计算：2199+2198+2197+⋯+22+2+1．20.已知(x3)n+2=(x n−1)4，其中n为正整数，求(n3)4的值．21.计算：(1) 3a⋅(−a2)+a4÷a；(2) (2x−y)(x+3y)；(3) (a−b+1)(a−b−1)；22.乘法公式的探究及应用．(1) 如图①，可以求出阴影部分的面积是；（写成两数平方差的形式）(2) 如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是；（写成多项式乘法的形式）(3) 比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用式子表达）；(4) 运用你所得到的公式，计算：(2m+n−p)⋅(2m−n+p)．23.已知(x2+nx+3)(x2−3x+m)的展开式中不含x2和x3项，求m，n的值．24.解答下列问题．(1) 如图甲，从边长为a的正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证因式分解公式成立的是；(2) 根据下面四个算式：52−32=(5+3)×(5−3)=8×2；112−52=(11+5)×(11−5)=16×6=8×12；152−32=(15+3)×(15−3)=18×12=8×27；192−72=(19+7)×(19−7)=26×12=8×39．请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；(3) 用文字写出反映（2）中算式的规律，并证明这个规律的正确性．25.乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1) 观察图2，请你写出下列三个代数式：(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系．(2) 若要拼出一个面积为(a+2b)(a+b)的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片张．(3) 根据（1）题中的等量关系，解决问题：已知：a+b=5，a2+b2=13，求ab的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】设 AB =DC =x ，AD =BC =y ， 由题意得：{2×4x +2×4y =56,2x 2+2y 2=58,化简得：{x +y =7, ⋯⋯①x 2+y 2=29. ⋯⋯②将 ① 两边平方再减去 ② 得：2xy =20． ∴xy =10．【知识点】完全平方公式2. 【答案】B【解析】 ∵a 2+b 2−c 2+2c =3， ∴a 2+b 2−2=c 2−2c +1=(1−c )2， ∵a +b +c =1， ∴a +b =1−c ， ∴(a +b )2=(1−c )2， ∴(a +b )2=a 2+b 2−2，展开得 a 2+b 2+2ab =a 2+b 2−2， ∴ab =−1．【知识点】完全平方公式3. 【答案】A【知识点】同底数幂的乘法4. 【答案】A【解析】大正方形的面积 S =4a 2+b 2+4ab =(2a +b )2． ∴ 大正方形的边长为 2a +b ． 选A ．【知识点】完全平方公式5. 【答案】C【解析】 ∵x +y =2，∴(x +y )2=x 2+2xy +y 2=4， ∵x 2+y 2=4， ∴4+2xy =4， ∴xy =0， ∴x =0 或 y =0，当 x =0 时，y =2，∴x 2018+y 2018=02018+22018=22018， 当 y =0 时，x =2，∴x 2018+y 2018=22018+02018=22018． 【知识点】完全平方公式6. 【答案】D【知识点】负指数科学记数法7. 【答案】A【解析】 ∵4x 2+5x +m =(x +2)(4x +n )=4x 2+(8+n )x +2n ， ∴8+n =5，m =2n ， ∴n =−3，m =−6． 【知识点】多项式乘多项式8. 【答案】A【知识点】平方差公式9. 【答案】A【解析】设 S =a 2+a 3⋯+a 2019， M −N=(a 1+a 2+⋯+a 2019)(a 2+a 3+⋯+a 2020)−(a 1+a 2+⋯+a 2020)(a 2+a 3⋯+a 2019)=(a 1+S )(S +a 2020)−(a 1+a 2020+S )S=a 1S +a 1a 2020+a 2020S +S 2−a 1S −a 2020S −S 2=a 1a 2020.∵a 1，a 2，⋯，a 2020 都是正数， ∴a 1a 2020>0， ∴M >N ．【知识点】多项式乘多项式10. 【答案】B【解析】根据题意可知： ∵ 二次项的系数为 3， ∴n =4，∴∑[(x +k )(x −k +1)]n k=2=(x +2)(x −1)+(x +3)(x −2)+(x +4)(x −3)=3x 2+3x −m,整理得：x 2+x −2+x 2+x −6+x 2+x −12=3x 2+3x −20=3x 2+3x −m ， 则 m =20． 故选：B ．【知识点】多项式乘多项式二、填空题（共7题） 11. 【答案】 14【解析】 (x −1)2+a (x −1)+b =x 2−2x +1+ax −a +b=x 2+(a −2)x +1+b −a =x 2+4x +3,∴{a −2=4,1+b −a =3, 解得 {a =6,b =8,∴a +b =14． 【知识点】完全平方公式12. 【答案】 −4036【解析】 (x −2)2018 展开式中含 x 2017 项的系数， 由 (x −2)2018=x 2018−2018⋅x 2017⋅2+⋯−22018， 可知，展开式中第二项为 −2018⋅x 2017⋅2=−4036x 2017， ∴(x −2)2018 展开式中含 x 2017 项的系数是 −4036． 【知识点】完全平方公式13. 【答案】 41【解析】根据图表的特征，可得 x =10+10=20，y =10+5=15，z =5+1=6，故 x +y +z =20+15+6=41． 【知识点】完全平方公式14. 【答案】 −5 ； −11【解析】设另一个因式是：mx +n ，则 (x 2−2x −3)(mx +n )=mx 3+(n −2m )x 2+(−3m −2n )x −3n =3x 3+ax 2+bx −3.则：{m =3,n −2m =a,−3m −2n =b,−3n =−3,解得：{m =3,n =1,a =−5,b =−11.故答案为：−5，−11． 【知识点】多项式乘多项式15. 【答案】 2【知识点】单项式除以单项式16. 【答案】6；32【解析】根据题意得：(a+b)4的展开式中各项系数分别为1，4，6，4，1，即最大的数为6；75+5×74×(−5)+10×73×(−5)2+10×72×(−5)3+5×7×(−5)4+(−5)5 =(7−5)5=32.【知识点】完全平方公式17. 【答案】a2−2ac+c2−b2【知识点】平方差公式三、解答题（共8题）18. 【答案】(1) 原式=m 2−9n2−m2+6mn−9n2=6mn−18n2.(2) ∵(a+b)2=7，(a−b)2=4，∴ab=14×[(a+b)2−(a−b)2]=14×3=34．【知识点】完全平方公式、平方差公式19. 【答案】(1) a2−1；a3−1；a4−1；a100−1(2)2199+2198+2197+⋯+22+2+1=(2−1)×(2199+2198+2197+⋯+22+2+1) =2200−1.【解析】(1) (a−1)(a+1)=a2−1，(a−1)(a2+a+1)=a3+a2+a−a2−a−1=a3−1，(a−1)(a3+a2+a+1)=a4+a3+a2+a−a3−a2−a−1=a4−1，(a−1)(a99+a98+⋯+a+1)=a100−1．【知识点】简单的代数式求值、合并同类项、多项式乘多项式20. 【答案】1012．【知识点】幂的乘方21. 【答案】(1) 原式=−3a3+a3=−2a3．(2) 原式=2x2+6xy−xy−3y2=2x2+5xy−3y2．(3) 原式=(a−b)2−1=a2−2ab+b2−1．【知识点】多项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式、单项式乘单项式、同底数幂的除法22. 【答案】(1) a2−b2(2) a−b；a+b；(a+b)(a−b)(3) (a+b)(a−b)=a2−b(4) 原式=[2m+(n−p)]⋅[2m−(n−p)] =(2m)2−(n−p)2=4m2−(n2−np−np+p2)=4m2−n2+2np−p2.【知识点】平方差公式23. 【答案】(x2+nx+3)(x2−3x+m)=x4−3x3+mx2+nx3−3nx2+mnx+3x2−9x+3m =x4+(−3+n)x3+(m−3n+3)x2+(mn−9)x+3m.∵展开式中不含x2和x3项，∴−3+n=0，m−3n+3=0，解得m=6，n=3，∴m，n的值分别为6，3．【知识点】多项式乘多项式24. 【答案】(1) a2−b2=(a+b)(a−b)(2) 72−52=8×3；92−32=8×9等．(3) 规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．设m，n为整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1，则(2m+1)2−(2n+1)2=4(m−n)(m+n+1)．当m，n同是奇数或偶数时，m−n一定为偶数，∴4(m−n)一定是8的倍数；当m，n一偶一奇时，则m+n+1一定为偶数，∴4(m+n+1)一定是8的倍数．∴任意两个奇数的平方差是8的倍数．【知识点】平方差公式25. 【答案】(1) (a+b)2=a2+b2+2ab(2) 3(3) ∵(a+b)2=a2+b2+2ab，a+b=5，a2+b2=13，∴25=13+2ab，∴ab=6．答：ab的值为6．【解析】(1) 大正方形的面积可以表示为：(a+b)2，或表示为：a2+b2+2ab；因此有(a+b)2=a2+b2+2ab．(2) ∵(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2，∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张．【知识点】完全平方公式、多项式乘多项式、公式的变形11。

人教版七年级数学上册有理数乘除法试题(含答案)1.有理数乘除法的基本法则如下：1) 乘法交换律：对于有理数a和b，有ab=ba。

2) 乘法结合律：对于有理数a、b和c，有(ab)c=a(bc)。

3) 乘法分配律：对于有理数a、b和c，有a(b+c)=ab+ac。

4) 有理数的乘法法则：对于有理数a和b，同号得正，异号得负，并将绝对值相乘。

5) 倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数。

6) 除以一个数等于乘以这个数的倒数。

2.单选题：1) 答案为C，因为只有①和①互为倒数。

2) 答案为B，因为1的倒数的绝对值是1.3) 答案为C，因为只有选项C是正确的。

4) 答案为B，因为-2×3=-6.5) 答案为C，因为0.24×(1/15)×(-14/61)=-0.016.6) 答案为B，因为a1=-1/2，a2=-3/2，a3=-1/2，a4=-5/2，依此类推，可得a2019=-1008.7) 答案为B，因为12-7×(-4)+8÷(-2)=36.8) 答案为D，因为-2①3=-2+(-2)×3=-8.9) 答案为A，因为取-5和4相乘得到最大积20.10) 答案为丙同学，因为他的计算是正确的。

二、填空题1.272.2019a - 2018b3.(1) 2.(2) -27.(3) -4.(4) -3a4.-145.-1三、解答题16.1) -0.31252) -0.517.1) 6802) -1/5618.1) 正确。

因为(-115)/(-1236) = 115/1236，(-)×(-12) = 12，所以(-115)/(-1236) = 12/1236 = 1/103，1/103 = 0.xxxxxxxx，所以(-)÷(-) = 0.xxxxxxxx。

2) (-1113)/(-) = 1113/，(-)×(-12) = 12，所以(-1113)/(-) = 12/ = 3/6092，3/6092 = 0.xxxxxxxx，所以(-1113)/(-) = 0.xxxxxxxx。

乘法公式知识点睛模块一 平方差公式22()()a b a b a b +-=-平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。

①左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数。

②右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）。

注意：①公式中的a 和b 可以是具体的数也可以是单项式或多项式。

如：2(2)(2)4a a a +-=-；22(3)(3=9x y x y x y +--）； 22()()()a b c a b c a b c +++-=+-；3535610()()a b a b a b +-=-。

②不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形，也可能运用公式。

如：97103(1003)(1003)9991⨯=-+=；22()()()()a b b a a b a b a b +-+=+-=-。

模块二 完全平方公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。

完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中二项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，首尾之积2倍加减在中央”。

注意：①公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式。

②一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，22()[()]a b c a b c ++=++22()2()a b a b c c =+++⨯+222222a ab b ac bc c =+++++222222a b c ab ac bc =+++++例题精讲【例1】 计算：⑴2(3)(3)(9)x x x +-+；⑵(23)(45)(23)(54)a b a b a b b a ++--；【答案】⑴2224(3)(3)(9)(9)(9)81x x x x x x +-+=-+=-；⑵原式2222(49)(2516)a b b a =--22442242241006422514464244225a b a b a b a a b b =--+=-+-；【例2】 计算：()()()()2432212121211+++++【答案】原式()()()()()243264212121212112=-+++++=【例3】 2111111111124162562n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】原式211111************n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4411121222n n -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．【例4】 计算：2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)++++++【答案】设2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)S =++++++，两边乘以(31)-，得2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)(31)(31)S -=-++++++22481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)=-+++++=6431=-∴641(31)2S =-，即6423231(31)(31)(31)2-+++=．【例5】 求123517.....(21)n -⨯⨯⨯⨯+的值.【答案】观察原式的每一项，均可写成121(1,2,...2)n n n -+=的形式，而121=-，故原式1122223517.....(21)(21)(21)(21)....(21)21n n n --=⨯⨯⨯⨯+=-⨯+⨯+⨯⨯+=-.【例6】 ⑴求()()()()()()()24816326421212121212121A =+++++++的个位数字：⑵2222222212345699100-+-+-++-的值是( )A.5050.B.5050-.C.10100.D.10100-.【答案】⑴()()()()26421212121A =-+++()()6464128212121=-+=-2n 各位数字的循环4个一周期，周期为：2、4、8、6，128432÷=，所以1282个位为6，故12821-个位为5．(另解：5的奇数倍个位一定是5)⑵原式(12)(12)(34)(34)(56)(56)(99100)(99100)=+-++-++-+++-1(3711199)=-⋅++++31991502+⎛⎫=-⨯⨯ ⎪⎝⎭5050=-，故选B.【例7】 已知200520072006a ⨯=，200620082007b ⨯=，200720092008c ⨯=，比较三者大小．【答案】20052007(20061)(20061)12006200620062006a ⨯-+===-，200620081200720072007b ⨯==-，200720091200820082008c ⨯==-，易得a b c <<．【例8】 若243(2)25x a x --+是完全平方式，求a 的值．【答案】222243(2)25(2)3(2)5(25)x a x x a x x --+=--+=±即2243(2)2542025x a x x x --+=-+或2243(2)2542025x a x x x --+=++故3(2)20a --=或3(2)20a --=-，解得：143a =-或263a =【例9】 已知2216m km ++是完全平方式，则______k =【答案】∵2216m km ++是完全平方式，∴28km m =±，解得4k =±【例10】已知正方形的面积是222520x xy ny ++(0x >，0y >)，则正方形的边长是_________（用含x 、y的代数式表示）【答案】设正方形的边长为a ．则2222520a x xy ny =++∴222520x xy ny ++是a 的完全平方形式，∴22222520(5)25)x xy ny x x ++=+⋅+∴20=，即4n =∴正方形的面积是：222225204(52)a x xy y x y =++=+，∴52a x y =+故正方形边长为：52x y +【例11】推导2()a b c ++、2()a b c d +++的公式，比较2()a b +、2()a b c ++、2()a b c d +++的公式，并探索规律.【答案】222()2a b a b ab +=++2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++222()()2()()()a b c d a b a b c d c d +++=++++++2222222222a b c d ab ac ad bc bd cd =+++++++++ 观察上述三个公式，可发现如下规律：一、项数：设字母（或者说元）的个数为n ，则公式的展开式的项数为(1)12..2n n n ++++=； 二、次数：每个公式的展开式中的每一项的次数均为2；三、系数：每个公式中每个字母的二次项的系数为1，其余均为2.根据上述规律，可写出任意个字母的完全平方公式.【例12】利用例题得出的规律推导2()a b c d ++-、2()a b c d +--、2()a b c d e ++++的展开式.【答案】令22222()222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++中d d =-，也就是以d -替换d 可得，22222()222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd ++-=+++++-+--同理可知，22222()222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +--=++++----+根据例题中归纳出来的规律，2()a b c d e ++++的展开式共有15项，所有字母的二次项的系数均为1，其他项的系数均为2，每一项的次数均为2，由上述特点可知 222222()2222222222a b c d e a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de ++++=++++++++++++++【例13】2()________________________________________a b c d e +-+-=.【答案】222222222222222a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++-+--+--+-.【例14】已知三个数a b c ，，满足方程222214229221b ac c ab a bc ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，求a b c ++.【答案】三式相加，得22222264a b c ab bc ca +++++=，所以()264a b c ++=，8a b c ++=±.【例15】计算：⑴222()()()________________________________________a b b c a c +++++=⑵222()()()________________________________________a b b c a c -+-+-=⑶222()()()________________________________________a b b c a c ++-+-=【答案】⑴222222222a b c ab bc ac +++++；⑵222222222a b c ab bc ac ++---；⑶222222222a b c ab bc ac +++--；【例16】已知12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，求代数式222a b c ab bc ca ++---的值. 【答案】由12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，可知，1a b -=，2b c -=-，1c a -= 故22222211()()()6322a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-=⨯=⎣⎦ 【例17】已知35a b b c -=-=，2221a b c ++=，求ab bc ca ++的值. 【答案】由35a b b c -=-=可知，65a c -=， 故2222221()()()()2ab bc ca a b c a b b c c a ⎡⎤++=++--+-+-⎣⎦1993621()225252525=-⨯++=-. 【例18】如果a ，b ，c 是ABC △三边的长，且22()a b ab c a b c +-=+-，那么ABC △是( )A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状不确定【答案】已知关系式可化为2220a b c ab bc ac ++---=，即2221(222222)02a b c ab bc ac ++---=， 所以2221[()()()]02a b b c a c -+-+-=，故a b =，b c =，c a =.即a b c ==．选A ． 【例19】x ，y ，z 为有理数且2222()()()(2)y z z x x y y z x -+-+-=+-22(2)(2)x z y x y z ++-++-， 求222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy x y z ++++++的值． 【答案】先将已知等式222()()()y z x y z x -+-+-222(2)(2)(2)y z x x z y x y z =+-++-++-的等号两边分别展开，得：左边222222222x y z xy yz xz =++---；右边222666666x y z xy yz xz =++---对等号两边合并同类项，得2222222220x y z xy yz xz ++---=即222()()()0.x y x z y z -+-+-=因为x ，y ，z 均为实数所以x y z ==，故222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy x y z ++++++222222(1)(1)(1)1(1)(1)(1)x y z x y z +++==+++.【例20】如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ）A.1a +B.21a +C.221a a ++D.1a +【答案】∵自然数a 是一个完全平方数，∴a ∴比a 的算术平方根大11，∴这个平方数为：21)1a =+．故选D ．【例21】设x 为正整数，若1x +是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（ ）A.xB.1x -C.1x -D.2x -【答案】设21y x =+，则y =22(1)21112y y y x x -=-+=+-=-，故选D ．【例22】⑴先化简后求值：2()()()2x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中3x =， 1.5y =.⑵计算：(22)(22)x y y x -+-+.【答案】⑴222222()()()2(2)2(22)2x y x y x y x x xy y x y x x xy x x y⎡⎤-++-÷=-++-÷=-÷=-⎣⎦ 又3x =， 1.5y =，故原式3 1.5 1.5x y =-=-=.法2：2()()()2()22 1.5x y x y x y x x y x x x y ⎡⎤-++-÷=-⋅÷=-=⎣⎦⑵原式222[2(2)][2(2)]4(2)444x y x y x y x xy y =+---=--=-+-【例23】已知2()2210x y x y +--+=，则999()x y +=___________.【答案】解法一：由已知条件可知，2221222(1)0x y xy y x x y +++--=+-=，故1x y +=，999()1x y +=.解法二：由已知条件可知，22()2()1(1)0x y x y x y +-++=+-=，故1x y +=，999()1x y +=.课后作业【习题1】记248(12)(12)(12)(12)(12)n x =++++⋅⋅⋅+，且12812x +=，则______n =【答案】248(12)(12)(12)(12)(12)n x =++++⋅⋅⋅+248(21)(12)(12)(12)(12)(12)n =-++++⋅⋅⋅+2(21)(21)21n n n =-+=-∴2212112n n x +=-+=∴2128n =，∴64n =【习题2】224488()()()()()________x y x y x y x y x y -++++=【答案】1616x y -【习题3】计算：23221111(1)(1)(1)(1)23410---- 【答案】原式11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233441010=-+-+-+-+ 13243491111111223345101021020=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯= 【习题4】若式子294x M ++是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式M ．【答案】若把M 视为2ab 这一项，22294(3)2x M x M ++=++，此时M 可以为12x ±；若把29x 视为2ab 这一项，2229942224x M M x ++=++⨯⨯，此时M 可以为48116x ； 若把4视为2ab 这一项，22294(3)233x M x M x x ++=++⨯⨯，此时M 可以为249x ， M 还可以是29x -、4-．【习题5】计算：⑴2222111111(__________________)9164643a b c ab bc ca +++++=++； ⑵22224164816(____________4)m n p mn np pm p ++--+=-+； 【答案】⑴13a ，14b ，12c ；⑵2m ，n . 【习题6】计算：⑴22111111()()()()333939a a a a a a -+-+++ ⑵22(3)(93)b a a ab b +-+⑶222(2)4(2)a b a a b b ⎡⎤+--⎣⎦ ⑷4224(2)(2)(816)a b a b a a b b +--+【答案】⑴22336111111111()()()()()()3339392727729a a a a a a a a a -+-+++=-+=-； ⑵22223333(3)(93)(3)(39)(3)27b a a ab b b a b ab a b a b a +-+=+-+=+=+；⑶2222222(2)4(2)(2)(42)a b a a b b a b a ab b ⎡⎤+--=+-+⎣⎦3326336(8)6416a b a a b b =+=++； ⑷4224223642246(2)(2)(816)(4)124864a b a b a a b b a b a a b a b b +--+=-=-+-.【习题7】已知10x y +=，33100x y +=，求22x y +的值．【答案】由333()3()x y x y xy x y +=+-+，得1000310100xy -⨯=，即30xy =．所以222()240x y x y xy +=+-=．。

18.乘法公式知识纵横乘法公式(multiplication formula)是在多项式乘法的基础上,•将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、•又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;2.根据待求式的特点,模仿套用公式;3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.例题求解【例1】•(•1)•已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.(江苏省竞赛题)(2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=________.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000-a)·(1998-a)为整体,•由平方和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其变形.解:(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则2220002x yx y⎧-=±⎨-=⎩得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499).(2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a)【例2】若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M与N 的大小关系是( ). (“祖冲之”杯邀请赛试题)A.M>NB.M<NC.M=ND.无法确定思路点拨 运用乘法公式,在化简M 、N 的基础上,作差比较它们的大小.解:选B【例3】计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1; (天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452. (江苏省竞赛试题)思路点拨 若按部就班计算,显然较繁,能否用乘法公式,简化计算,关键是对待求式恰当变形,使之符合乘法公式的结构特征,对于(2),由于数字之间有联系,•可用字母表示数(称为换元),将数值计算转化为式的计算,更能反映问题的本质特征.解:(1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=716(2)设1.345=x,则原式=x(x-1)·2x-x 3-x(x-1)2=-x=-1.345【例4】(1)已知x 、y 满足x 2+y 2+54=2x+y,求代数式xy x y+的值. (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x,y 满足不等式x 2+y 2+1≤2x+2y,求x+y 的值. (第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;乙商场:两次提价的百分率都是 2a b + (a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. (2003年河北省竞赛题)思路点拨 对于(1)、(2)两个未知数一个等式或不等式,•须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解题的关键是拆项与重组;对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示,作差比较它们的大小.解:(1)提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13(2)原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•所以可能有的结果是1010x y -=⎧⎨-=⎩或1110x y -=±⎧⎨-=⎩或1011x y -=⎧⎨-=±⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩ 或 12x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩,x+y=1或2或3 (3)甲、乙、丙三个商场两次提价后,价格分别为(1+a)(1+b)=1+a+b+ab; (1+2a b +)·(1+2a b +)=1+(a+b)+( 2a b +)2; (1+b)(1+a)=1+a+b+ab; 因(2a b +)2-ab>0,所以(2a b +)2>ab, 故乙商场两次提价后,价格最高.【例5】已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数. 证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶; (2)2(a+b+1)是完全平方数.思路点拨 从a 2+b 2=c 2的变形入手;a 2=c 2-b 2,运用质数、奇偶数性质证明.解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a 应为奇质数,c+b 与c-b 同奇同偶,b 与c 必为一奇一偶.(2)c+b=a 2,c-b=1,两式相减,得2b=a 2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a 2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.学力训练一、 基础夯实1.观察下列各式:(x-1)(x+1)=x 2-1;(x -1)(x 2+x+1)=x 3-1;(x -1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1.根据前面的规律可得 (x -1)(x n +x n-1+…+x+1)=_______.(2001年武汉市中考题)2.已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a b a b+-=_____. (2001年杭州市中考题) 3.计算:(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_______;(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________;(3) 2221999199819991997199919992+-=___________. 4.如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,•请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式________.(2003年太原市中考题) 5.已知a+1a =5,则=4221a a a++=_____. (2003年菏泽市中考题)6.已知a-b=3,b+c=-5,则代数式ac-bc+a 2-ab 的值为( ).A.-15B.-2C.-6D.6 (2003年扬州市中考题)7.乘积(1-212)(1-213)……(1-211999)(1-212000)等于( ). A. 19992000 B. 20012000 C. 19994000 D. 20014000(2002年重庆市竞赛题)8.若x -y=2,x 2+y 2=4,则x 2002+y 2002的值是( ).A.4B.2002C.2D.49.若x 2-13x+1=0,则x 4+41x的个位数字是( ). A.1 B.3 C.5 D.710.如图①,在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是().A.a 2-b 2=(a+b)(a -b)B.(a+b)2=a 2+2ab+b 2C.(a -b)2=a 2-2ab+bD.(a+2b)(a -b)=a 2+ab -2b 2 (2002年陕西省中考题)11.(1)设x+2z=3y,试判断x 2-9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?如果是定值,•求出它的值;否则请说明理由.(2)已知x 2-2x=2,将下式先化简,再求值:(x -1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1).(2003年上海市中考题)12.一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,试求这个自然数.13.观察:1·2·3·4+1=522·3·4·5+1=1123·4·5·6+1=192……(1)请写了一个具有普遍性的结论,并给出证明;(2)根据(1),计算2000·2001·2002·2003+1的结果(用一个最简式子表示).(2001年黄冈市竞赛题)二、能力拓展14.你能很快算出19952吗?为了解决这个问题,我们考察个位上的数字为5的自然数的平方,•任意一个个位数为5的自然数可写在10n+5(n为自然数),即求(10n+5)2的值,试分析n=1,n=2,n=3,……这些简单情形,从中探索其规律,并归纳猜想出结论.(1)通过计算,探索规律.152=225可写成100×1×(1+1)+25;252=625可写成100×2×(2+1)+25;352=1225可写成100×3×(3+1)+25;452=2025可写成100×4×(4+1)+•25;•……752=•5625•可成写__________;852=7225可写成__________.(2)从第(1)题的结果,归纳,猜想得(10n+5)2=________.(3)根据上面的归纳猜想,请算出19952=________. (福建省三明市中考题)15.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=________.(2001天津市选拨赛试题)16.(1)若x+y=10,x3+y3=100,则x2+y2=________. (2)若a-b=3,则a3-b3-9ab=________.17.1,2,3,•……,•98•共98•个自然数中,•能够表示成两整数的平方差的个数是________.(全国初中数学联赛试题)18.已知a-b=4,ab+c2+4=0,则a+b=( ).A.4B.0C.2D.-219.方程x2-y2=1991,共有( )组整数解.A.6B.7C.8D.920.已知a、b满足等式x=a2+b2+20,y=4(2b-a),则x、y的大小关系是( ).A.x≤yB.x≥yC.x<yD.x>y (2003年太原市竞赛题)21.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-•ab-•bc-c a的值为( ).A.0B.1C.2D.3 (2002年全国初中数学竞赛题)22.设a+b=1,a2+b2=2,求a7+b7的值. (西安市竞赛题)23.已知a满足等式a2-a-1=0,求代数式a8+7a-4的值. (2003年河北省竞赛题)24.若x+y=a+b,且x2+y2=a2+b2,求证:x1997+y1997=a1997+b1997. (北京市竞赛题)三、综合创新25.有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场),用x1,y1•顺次表示第一号选手胜与负的场数;用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数,……;用x10,y10•顺次表示十号选手胜与负的场数.求证:x12+x22+……+x102=y12+y22+……+y102.26.(1)请观察:25=521225=352112225=335211122225=33352……写出表示一般规律的等式,并加以证明.(2)26=52+12,53=72+22,26×53=1378,1378=372+32.任意挑选另外两个类似26、53的数,使它们能表示成两个平方数的和,把这两个数相乘,乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?答案1.x n+1-12.-133.(1)4;(2)3897326;(3)124.(a+b)2-4ab=(a-b)25.246.C7.D 提示;逆用平方差公式,分解相约8.C 提示:由已知条件得xy=09.D 提示:x≠0,由条件得x+1x=13,x4+41x=(x2+21x)2-2=[(x+1x)2-2]2-2 10.A11.(1)定值为0 提示:由条件得x-3y=-2z,原式=(x-3y)·(x+3y)+4z2+4xz=-2z·(x+3y)+4z2+4xz=4z2+2xz-6yz=4z2+2z(x-3y)=0(2)原式=3x2-6x-5=3(x2-2x)-5=1.12.提示:设这个自然数为x,由题意得224544x m x n ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩②-①得n2-m2=89 即(n+m)(n-m)=89×1从而891n mn m+=⎧⎨-=⎩,解得4544nm=⎧⎨=⎩(m,n都为自然数) 故 x=45-44=1981.13.(1)对于自然数n,有n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2,证明略.(2)由(1)得原式=(20002+3×2000+1)2=4006001214.(1)100×7×(7+1)+25;100×8×(8+1)+25.(2)(10n+5)2=10n(n+1)+25(3)19952=(10×199+5)2=10×199×(199+1)+25=398002515.216.(1)40 提示:x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3xy];(2)27.17.73 提示:x=n2-m2=(n+m)(n-m)(1≤m<n≤98,m,n为整数),因n+m与n-m•的奇偶性相同,故x是奇数或是4的倍数.18.B提示:把a=b+4代入ab+c2+4=0得(b+2)2+c2=019.C 提示:(x+y)(x-y)=1×1991=11×181=(-1)×(-1991)=(-11)×(-181)20.B提示:x-y=(a+2)2+(b-4)2≥021.D 提示:原式=12[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]22. 718 提示:由a+b=1,a 2+b 2=2,得ab=-12, 利用a n+1+b n+1=(a n +b n )(a+b)-ab(a n-1+b n-1)•可分别求得 a 3+b 3=52,a 4+b 4=72,a 5+b 5=194 ,a 6+b 6=264. 23.48 提示:由a 2-a-1=0,得a -a -1=1,进而a 2+a -2=3,a 4+a -4=7, 所以a 8+7a -4=a 4(a 4+a -4)+7a -4-•1=7a -4+7a -4-1=7(a 4+a -4)-1=48.24.提示:设2222x y a b x y a b+=+⎧⎨+=+⎩, 则由①2-②得2xy=2ab ③ ②-③,得(x-y )2=(a -b)2,即│x-y │=│a-b │则x-y=a-b 或x-y=b-a,分别与x+y=a+b 联立解得x a y b =⎧⎨=⎩或x b y a =⎧⎨=⎩25.提示:由题意知:x i +y i =9(i=1,2,…,10)且x 1+x 2+…+x 10=y 1+y 2+…+y 10 因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=026.(1)提示:经观察,发现规律: (1)111n - 个 2225n 个=((1)3335n - 个)2 ,实际上, ((1)3335n - 个)2=(3332n + 个)2=(13×9992n + 个)2 =[13(10n -1)+2]2=(1053n +)2=2109n +1109n ++259 =21019n -+11019n +-+2529+= 2111n 个+ (1)111n + 个+3 = (1)111n - 个 2225n 个(2)一般地,设m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,则mn=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+b 2d 2+b 2c 2+a 2d 2=a2c2+b2d2+2abcd+b2c2-•2abcd+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2或(a c-bd)2+(bc+ad)2.。

苏科版数学七年级下册《9.4 乘法公式》说课稿3一. 教材分析乘法公式是数学中的一种基本公式，广泛应用于各个领域。

苏科版数学七年级下册《9.4 乘法公式》这一节主要介绍了平方差公式和完全平方公式。

平方差公式可以帮助我们简化计算，快速求出两个数的平方差；而完全平方公式则可以帮助我们求出一个数的平方，或者两个数的乘积的平方。

这两个公式在解决实际问题中具有重要的作用。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了有理数的乘法、乘方等基础知识，对于公式有一定的认识。

但乘法公式较为抽象，需要学生在理解的基础上进行记忆。

同时，学生需要掌握如何将实际问题转化为乘法公式的形式，从而解决问题。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握平方差公式和完全平方公式，并能够灵活运用这两个公式解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论等方式，培养学生主动探究、合作学习的意识，提高学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生自信心，使学生能够积极主动地参与到数学学习中。

四. 说教学重难点1.重点：平方差公式和完全平方公式的记忆与运用。

2.难点：如何将实际问题转化为乘法公式的形式，以及如何在复杂问题中灵活运用乘法公式。

五. 说教学方法与手段1.采用启发式教学，引导学生主动探究、发现规律，培养学生的数学思维能力。

2.利用多媒体课件，生动形象地展示乘法公式的推导过程，帮助学生理解记忆。

3.小组合作、讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识。

4.创设实际问题情境，引导学生运用乘法公式解决问题，提高学生的应用能力。

六. 说教学过程1.导入：通过复习有理数的乘法、乘方等基础知识，引出本节课的主题——乘法公式。

2.讲解：讲解平方差公式和完全平方公式的推导过程，让学生理解并记忆这两个公式。

3.练习：布置一些简单的练习题，让学生运用平方差公式和完全平方公式进行计算，巩固所学知识。

4.应用：创设一些实际问题情境，让学生运用乘法公式解决问题，培养学生的应用能力。

新人教版七年级数学上册1.5.1《乘方》教学设计1一. 教材分析新人教版七年级数学上册1.5.1《乘方》是学生在掌握了有理数的乘法运算之后，进一步引导学生探索有理数乘方的运算方法。

通过学习乘方，学生能够理解乘方的概念，掌握乘方的运算规则，并能够运用乘方解决实际问题。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了有理数的乘法运算。

但是，对于乘方的概念和运算规则，学生可能较为抽象，需要通过具体的例子和实际操作来理解和掌握。

三. 教学目标1.理解乘方的概念，掌握乘方的运算规则。

2.能够运用乘方解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.乘方的概念的理解。

2.乘方运算规则的掌握。

五. 教学方法1.讲授法：通过讲解乘方的概念和运算规则，引导学生理解和掌握。

2.案例分析法：通过具体的例子，让学生动手操作，加深对乘方运算的理解。

3.问题解决法：设计一些实际问题，让学生运用乘方进行解决，培养学生的应用能力。

六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，展示乘方的概念和运算规则。

2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何用乘法来解决。

例如，计算100的平方根，学生可能会想到10的平方等于100，从而引出乘方的概念。

2.呈现（15分钟）讲解乘方的概念，乘方表示的是一个数自乘的次数。

例如，2的3次方表示2自乘3次，即2×2×2=8。

同时，展示乘方的运算规则，例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方。

3.操练（15分钟）让学生动手计算一些乘方的例子，例如，计算2的3次方、3的4次方等。

同时，让学生观察和总结乘方的运算规则。

4.巩固（10分钟）让学生做一些练习题，巩固对乘方的理解和掌握。

可以设置一些选择题和填空题，让学生判断和填充。

5.拓展（10分钟）讲解乘方在实际问题中的应用，例如，科学计算中的幂次方运算，物理中的能量公式等。

1.2 乘法公式◆赛点归纳乘法公式是多项式相乘得出的有规律性和实用性的具体结论，是多项式乘法运算和相关恒等变形的重要工具．除教材里介绍的平方差公式和完全平方公式外，另外补充几个常用公式：（1）（a±b ）（a 2ab+b 2）=a 3±b 3；（2）（a±b ）3=a 3±3a 2b+3ab 2±b 3；（3）（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac ．◆解题指导例1 （2004，河北省竞赛）已知实数a 、b 、x 、y 满足ax+by=3，ax －bx=5，则（a 2+b 2）（x 2+y 2）的值为________．【思路探究】显然将已知的代数式的值直接代入要求的代数式中，是难以求其值的，但将已知的两个代数式平方后，加以比较，就可发现它们之间的关系．例2 （2000，重庆市竞赛）计算：（1－22221111)(1)(1)(1)2319992002---）． 【思路探究】本题若直接计算是很复杂的，因每个括号内都是两个数的平方差，故利用平方差公式可使计算简化．例 3 （2004，河北省竞赛）已知四边形四条边的长分别是m 、n 、p 、q ，•且满足m 2+n 2+p 2+q 2=2mn+2pq ，则这个四边形是（ ）．A ．平行四边形B ．对角线互相垂直的四边形C ．平行四边形或对角线互相垂直的四边形D ．对角线相等的四边形【思路探究】由观察可知，条件等式具有完全平方公式的特征．故由条件等式变形，可得这个四边形的四边之间的关系．【思维误区】有位同学这样解答例3，你认为对吗？【解】 ∵m 2+n 2+p 2+q 2=2mn+2pq ，∴（m 2+n 2－2mn ）+（p 2+q 2－2pq ）=0，∴（m －n ）2+（p －q ）2=0，∴m=n ，p=q ．故这个四边形是平行四边形．例4 （2002，全国竞赛）已知a=1999x+2000，b=1999x+2001，c=1999x+2002，•则多项式a2+b2+c2－ab－bc－ca的值为（）．A．0 B．1 C．2 D．3【思维探究】多项式a2+b2+c2－ab－bc－ca具有完全平方式的基本特征，经过变形可转化为（a－b）2、（b－c）2、（c－a）2的代数和的形式，再结合题设，即可求其值．例5（2003，天津市竞赛）使得2n（n+1）（n+2）（n+3）+12可表示为2•个正整数平方和的自然数n（）．A．不存在B．有1个C．有2个D．有无数个【思路探究】首先需判断2n（n+1）（n+2）（n+3）+12的奇偶性，显然这个数是偶数，然后推证某两个数平方和是否是偶数．若是，再推导其个数；若不是，就不存在这样的自然数n．例6已知a、b、c满足a2+b2=20053－c2，求（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2的最大值．【思路探究】条件等式和待求代数式都涉及数的平方关系，由此联想到利用完全平方公式求其最大值．【拓展题】已知正整数a、b、c满足不等式a2+b2+c2+42<ab+9b+8c，求a、b、c的值．◆探索研讨乘法公式在代数式计算、化简和恒等变形中，有着广泛的应用．在相关应用中要活用它，既要注意正向运用，又要注意逆向运用，请结合本节例题总结你的发现．◆能力训练1．（2005，武汉市“CASIO杯”选拔赛）如果x+y=1，x2+y2=3，那么x3+y3的值为（）．A．2 B．3 C．4 D．52．（2004，北京市竞赛）如果a+2b+3c=12，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a+b2+c3=（）．A．12 B．14 C．16 D．183．（2003，太原市竞赛）已知a、b是实数，x=a2+b2+20，y=4（2b－a），则x、y•的大小关系是（）．A．x≤y B．x≥y C．x<y D．x>y 4．有理数a、b满足│a+b│<│a－b│，则（）．A．a+b≥0 B．a+b<0 C．ab<0 D．ab≥05．已知实数a、b满足条件a2+4b2－a+4b+54=0，那么－ab的平方根是（）．A．±2 B．2 C．±12D．126．（2001，“希望杯”，初二）若△ABC的三边长是a、b、c，且满足a4=b4+c4－b2c2，•b4=c4+a4－a2c2，c4=a4+b4－a2b2，则△ABC是（）．A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形7．a、b、c、d都是正数，以下命题中，错误的命题是（）．A．若a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a=b=cB．若a3+b3+c3=3abc，则a=b=cC．若a4+b4+c4+d4=2（a2b2+c2d2），则a=b=c=dD．若a4+b4+c4+d4=4abcd，则a=b=c=d8．*多项式5x2－4xy+4y2+12x+2015的最小值是（）．A．2004 B．2005 C．2006 D．20079．已知：a=－2000，b=1997，c=－1995，那么a2+b2+c2+ab+bc－ac的值是________．10．*已知a是实数，且使a3+3a2+3a+2=0，那么（a+1）2004+（a+1）2005+（a+3）2006+（a+3）2007的值是_______．11．（2000，“希望杯”，初一）已知a=1999，b=1，则a2+2b2+3ab=_______．12．（2002，北京市竞赛）已知x2+y2+z2－2x+4y－6z+14=0，则（x－y－z）2002=________．13．（2003，河北省竞赛）已知实数a满足a2－a－1=0，则a8+7a－4的值为_______．14．（2003，北京市竞赛）若（2x－1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a2+a4=_______．15．计算下列各题：（1）333199********199********--⨯⨯；（2）1.345×0.345×2.69－1.3453－1.345×0.3452．16．计算：（1）6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1；（2）19492－19502+19512－19522+…+19972－19982+19992．17．（2004，北京市竞赛）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且满足a4+b4+c4=a2c2+b2c2．•试判断△ABC的形状．18．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，•已知相对的两个面上二数之和相等．如果13、9、3的对面的数分别是a、b、c，试求a2+b2+c2－ab－bc－ca之值．139 3答案:解题指导例1 34．[提示：（a2+b2）（x2+y2）=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2 =（a2x2+b2y2+2abxy）+（a2y2+b2x2－2abxy）=（ax+by）2+（ay－bx）2=32+52=34．]例2 原式=（1－12）（1+12）（1－13）+（1+13）…（1－1111 )(1)(1)(1 1999199920002000 ++-+）=12×32×23×43×34×…×19982000199920011200120011999199920002000220004000⨯⨯⨯=⨯=.例3 C [提示：（m－n）2+（p－q）2=0，若m、n是四边形的一组对边，则p、q•是它的另一组对边，这个四边形是平行四边形；若m、n是四边形一组邻边，则p、q•是它的另一组邻边，这个四边形是对角线互相垂直的四边形．]例4 D [提示：∵a－b=1999x+2000－（1999x+2001）=－1，b－c=1999x+2001－（1999x+2002）=－1，c－a=1999x+2002－（1999x+2000）=2，∴a2+b2+c2－ab－bc－ca=12[（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2]=12[（－1）2+（－1）2+22]=3．]例5 A [提示：原式=2（n2+3n）（n2+3n+2）+12．设n2+3n+1=t，则t为奇数，令t=2k+1，原式=4（2k2+2k+3）．若原式可表示为两个正整数x、y的平方和x2+y2，可知x、y均为偶数，不妨设x=2u，y=2v，于是有u2+v2=2k2+3k+3=2k（k+1）+3．因2k（k+1）+3为4p+3型，其中p为正整数，而u2+v2不可能为4p+3型，故满足条件的自然数n不存在．]例6 ∵a2+b2+c2=2005 3，∴（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2=2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=3（a2+b2+c2）－（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca）=3×20053－（a+b+c）2=2005－（a+b+c）2≤2005．∴（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2的最大值是2005．【拓展题】∵a2+b2+c2+42<ab+9b+8c，∴a2+b2+c2+43≤ab+9b+8c，∴a2+b2+c2－ab－9b－8c+43≤0，∴（a－12b）2+34（b－6）2+（c－4）2≤0，∴（a－12b）2=0，34（b－6）2=0，（c－4）2=0．∴a－12b=0，b－6=0，c－4=0．∴a=3，b=6，c=4．能力训练1．C [提示：由2xy=（x+y）2－（x2+y2）=－2，得xy=－1．∴x3+y3=（x+y）（x2－xy+y2）=x2+y2－xy=4．]2．B [提示：由a2+b2+c2=ab+bc+ca，得（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2=0．∴a=b=c．∴6a=12，即a=2．∴a+b2+c2=2+22+22=14．]3．B [提示：∵x－y=a2+b2+20－4（2b－a）=（a+2）2+（b－4）2≥0，∴x≥y.] 4．C [提示：∵│a+b│<│a－b│，∴（a+b）2<（a－b）2，即a2+2ab+b2<a2－2ab+b2．不等式两边都减去a2+b2，则有ab<－ab，故只有ab<0时，才能成立．]5．C [提示：∵a2+4b2－a+4b+54=0，∴（a－12）2+（2b+1）2=0，∵（a－12）2≥0，（2b+1）2≥0，∴a=12，b=－12．∴－ab=14，14的平方根是±12．]6．D [提示：∵a4+b4+c4=（b4+c4－b2c2）+（c4+a4－a2c2）+（a4+b4－a2b2），∴a4+b4+c4－a2b2－b2c2－a2c2=0．∴2a4+2b4+2c4－2a2b2－2b2c2－2a2c2=0．∴（a2－b2）2+（b2－c2）2+（c2－a2）2=0．∵（a2－b2）2≥0，（b2－c2）2≥0，（c2－a2）2≥0，∴a2=b2=c2．∵a、b、c为△ABC的边长，∴a=b=c．]7．C [提示：（1）∵2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0，∴（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2=0．∴a=b=c．故命题A正确．（2）a3+b3+c3－3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ac）=0，∵a+b+c≠0，∴a2+b2+c2－ab－bc－ac=0，由（1）得a=b=c．故命题B正确．（3）∵a4+b4+c4+d4－2a2b2－2c2d2=0，∴（a2－b2）2+（c2－d2）2=0．∴a2=b2，c2=d2，∴a=b，c=d．但不一定有b=c，命题C错误．（4）∵a4+b4+c4+d4－4abcd=0，∴（a2－b2）2+（c2－d2）2+2（ab－cd）2=0，∴a2=b2，c2=d2，且ab=cd．∴a=b=c=d，命题D正确．]8．C [提示：5x2－4xy+4y2+12x+2015=（x2－4xy+4y2）+（4x2+12x+9）+2006=（x－2y）2+（2x+3）2+2006．∵（x－2y）2≥0，（2x+3）2≥0，∴原式的最小值为2006．]9．19 [提示：∵（a+b）2+（b+c）2+（a－c）2=a2+2ab+b2+b2+2bc+c2+a2－2ac+c2=2（a2+b2+c2+ab+bc－ac），又a+b=－2000+1997=－3，b+c=1997－1995=2，a－c=－2000+1995=－5，∴（a+b）2+（b+c）2+（a－c）2=（－3）2+22+（－5）2=38．∴a2+b2+c2+ab+bc－ac=19．]10．2 [提示：∵a3+3a2+3a+2=0，∴（a+1）3+1=0，即（a+1）3=－1．∴a+1=－1，∴a+3=1．∴（a+1）2004+（a+1）2005+（a+3）2006+（a+3）2007=（－1）2004+（－1）2005+12006+12007=2．] 11．4002000．[提示：a2+2b2+3ab=a2+2ab+b2+b2+ab=（a+b）2+b（a+1）=（1999+1）2+（1999+1）=20002+2000=4002000．]12．0 [提示：x2+y2+z2－2x+4y－6z+14=x2－2x+1+y2+4y+4+z2－6z+9=0，即（x－1）2+（y+2）2+（z－3）2=0．∴x－1=0，y+2=0，z－3=0，∴x=1，y=－2，z=3．∴（x－y－z）2002=（1+2－3）2002=0．]13．48 [提示：∵a2－a－1=0，a－a－1=1．∴a2+a－2=3，a4+a－4=7．∴a8+7a－4=a4（a4+a－4）+7a－4－1=7（a4+a－4）－1=7×7－1=48．] 14．－120 [提示：令x=0，代入，得a0=－1，令x=1，代入，得a5+a4+a3+a2+a1+a0=1；（1）令x=－1，代入，得－a5+a4－a3+a2－a1+a0=－243．（2）（1）+（2）相加，得a4+a2+a0=－121．故a2+a4=－120．]15．（1）令1000=a，999=b，则原式=3333223332222()333() ()a b a b a a b ab b a b a b aba b a b ab ab a b ab+--+++--+==+++=3．（2）令0.345=a，则1.345=a+1，2.69=2（a+1）．∴原式=（a+1）a×2（a+1）－（a+1）3－（a+1）a2=2a3+4a2+2a－a3－3a2－3a－1－a3－a2=－（a+1）=－1.345．16．（1）原式=（7－1）（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1 =（72－1）（72+1）（74+1）（78+1）+1…=（78－1）（78+1）+1=716－1+1=716．（2）原式=（1949+1950）（1949－1950）+…+（1997+1998）（1997－1998）+19992=－（1949+1950+…+1997+1998）+19992=19992－(19491998)502+⨯=3897326．17．∵a4+b4+12c4=a2c2+b2c2，∴（a4－a2c2+14c4）+（b4－b2c2+14c2）=0．∴（a2－12c2）2+（b2－12c2）2=0．∵（a2－12c2）2≥0，（b2－12c2）2≥0，∴a2=12c2，b2=12c2，∴a2=b2，a2+b2=c2．∴a=b，且a2+b2=c2．故△ABC是等腰直角三角形．18．∵a+13=9+b=3+c，∴a－b=－4，b－c=－6，c－a=10．∴a2+b2+c2－ab－bc－ca=12[（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2]=12[（－4）2+（－6）2+102]=76．。

2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3一. 教材分析《乘法公式综合运用》是北师大版数学七年级下册1.6.3的教学内容。

这部分内容是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式的基础上进行学习的。

通过这部分的学习，学生能够灵活运用乘法公式解决实际问题，提高他们的解决问题的能力。

二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式。

但是，他们在运用这些公式解决实际问题时，往往会存在理解不深、运用不灵活的情况。

因此，在教学这部分内容时，需要引导学生深入理解乘法公式的内涵，提高他们解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握乘法公式的运用方法，能够灵活解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：乘法公式的运用。

2.难点：灵活运用乘法公式解决实际问题。

五. 教学方法采用自主学习、合作交流、教师引导相结合的教学方法，让学生在探究中掌握知识，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的乘法公式的资料，以便在教学中进行查阅。

2.准备一些实际问题，让学生进行练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾之前学过的平方差公式、完全平方公式等乘法公式，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过展示一些实际问题，让学生尝试运用乘法公式进行解决。

学生在解决问题的过程中，教师给予适当的引导和提示。

3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给出一些运用乘法公式的问题，学生通过合作交流，共同解决问题。

4.巩固（5分钟）教师挑选一些学生解决的实际问题，让学生上台进行讲解，以此巩固乘法公式的运用。

5.拓展（5分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生深入思考，提高他们解决问题的能力。

1. 已知(x+y)2=49，(x-y)2=25，则xy=七年级数学　乘法公式专项练习（含答案解析）( )A ．-6B ．6C ．12D ．242. 已知x-y=3，xy=2，则x 2+y 2的值为( )A ．5B ．7C ．11D ．133. 设a=x-2020，b=x-2022，c=x-2021，若a 2+b 2=56，则c 2=( )A ．27B ．24C ．22D ．204. 若16x 2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式(是个多项式)，这个单项式是 .5.6. (2022春•金水区期中【)知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a,宽为b 的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积，可以得到(a+b)2、(a-b)2、ab 三者之间的等量关系式： ；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：(a+b)3=a 3+b 3+3ab(a+b)．利用上面所得的结论解答下列问题：⑴已知x+y=6，xy=411，求(x-y)2的值；⑵已知a+b=6，ab=7，求a 3+b 3的值．1.解：因为(x+y)2-(x-y)2=4xy=49-25=24，所以xy=6，故选：B ．2. 解：将x-y=3两边平方得：(x-y)2=x 2+y 2-2xy=9，∴a=c+1，b=c-1，∵a 2+b 2=56，∴(c+1)2+(c-1)2=56，∴c 2=27将xy=2代入得：x 2+y 2-2×2=9，即x 2+y 2=13，故选：D ．3. 解：∵a=x-2020，b=x-2022，c=x-2021，．故选：A ．4. 解：8x 或-8x 或64x 4.5. a-b)26. 解：【知识生成】（a+b)2=4ab+（， 故答案为：（a+b)2=4ab+（a-b)2；【知识迁移】⑴∵x+y=6，xy=411， ∴（x-y)2=（x+y)2-4xy=36-11=25；⑵∵a+b=6，ab=7，∴a 3+b 3=（a+b)3-3ab （a+b)=216-3×7×6=216-126=90．。

第一讲整式乘除1.1 整式的乘法◆赛点归纳整式的乘法包括单项式以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等内容．◆解题指导例1（2001，全国竞赛）若a，b是正数，且满足12345=（111+a）（111－b），则a 与b•之间的大小关系是（）．A．a>b B．a=b C．a<b D．不能确定【思路探究】由题设易得乘积式111（a－b），若能说明111（a－b）>0，即可比较a•与b的大小．这可利用多项式乘法推得．例2求在展开（5a3－3a2b+7ab2－2b3）（3a2+2ab－3b2）中，a3b2和a2b3的系数．【思路探究】若根据多项式乘以多项式法则直接运算，计算量就比较大；若用竖式计算，就很方便．【思维误区】有位同学这样解答例2，你认为对吗？【解】5 -3 7 -1×) 3 2 -3________________________________________________-15 +9 -21 +6+10 -6 +14 -4+) +15 -9 +21 -6___________________________________________________+15 +1 0 +17 -25 +6∴原式=15a5+a4b+17a2b3－25ab4+6b5．因为展开后的多项式没有a3b2项，所以a3b2系数不存在，a2b3的系数为17．例3 （2001，武汉市竞赛）若3x3－x=1，则9x4+12x3－3x2－7x+2001的值等于（）．A．1999 B．2001 C．2003 D．2005【思路探究】显然是无法直接代入求值的，必须将要求的代数式经过变形，使之含有3x3－x－1的乘积的代数和的形式，再求其值就不难了．例4 （2002，黄冈市竞赛）已知m、n互为相反数，a、b互为负倒数，x•的绝对值等于3，则x3－（1+m+n+ab）x2+（m+n）·x2001+（－ab）2002的值等于________．【思路探究】要求此多项式的值，显然不能直接运用多项式乘法展开它，由题设可知，多项式（1+m+n+ab）、（m+n）与（－ab）都等于特殊值．例5 （2000，“希望杯”，初二）已知多项式2x2+3xy－2y2－x+8y－6•可以分解为（•x+2y+m）（2x－y+n）的形式，那么3211mn+-的值是______．【思路探究】由题设可知，两个一次三项式的积等于2x2+3xy－2y2－x+8y－6．•根据多项式恒等的条件可列出关于m、n的二元一次方程组，进而不难求出m、n的值．【拓展题】按下面规则扩充新数：已知a和b两数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c•三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数1和4．（1）求按上述规则操作三次得到的最大新数；（2）能否通过上述规则扩充得到1999，并说明理由．◆探索研讨在求解整式乘法比较复杂的相关问题时，运用整式乘法法则进行计算或求解相关问题，一般不宜直接运用整式乘法法则，请结合本节例题，总结自己的发现．◆能力训练1．已知m2+m－1=0，那么代数式m3+2m2－1997的值是（）．A．1997 B．－1997 C．1996 D．－19962．若19a+98b=0，则ab是（）．A．正数B．非正数C．负数D．非负数3．（2002，“希望杯”，初二）已知a>b>c，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，则M与N的大小关系是（ ）．A ．M<NB ．M>NC ．M=ND ．不能确定4．（2001，山东省竞赛）某商店经销一批衬衣，进价为每件m•元，•零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，•那么调价后每件衬衣的零售价是（ ）．A ．m （1+a%）（1－b%）元B ．ma%（1－b%）元C ．m （1+a%）b%元D ．m （1+a%b%）元5．若a=199519951996199619971997,,199619961997199719981998b c ==，则（ ）． A ．a<b<c B ．b<c<a C ．c<b<a D ．a<c<b6．若n 是奇自然数，a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的负整数，则（ ）．A ．（a 1+1）（a 2+2）…（a n +n ）是正整数B ．（a 1－1）（a 2－2）…（a n －n ）是正整数C ．（11a +1）（21a +2） (1)a +n ）是正数 D ．（1－11a ）（2－21a ）…（n －1n a ）是正数 7．（x ，y ）称为数对，其中x ，y 都是任意实数，定义数对的加法，乘法运算如下： （x 1，y 1）+（x 2，y 2）=（x 1+x 2，y 1+y 2），（x 1，y 1）·（x 2，y 2）=（x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+y 1x 2）．则不成立的运算规律是（ ）．A ．乘法交换律：（x 1，y 1）·（x 2，y 2）=（x 2，y 2）·（x 1，y 1）B ．乘法结合律：（x 1，y 1）（x 2，y 2）·（x 3，y 3）=（x 1，y 1）（（x 2，y 2）·（x 3，y 3））C ．乘法对加法的分配律：（x ，y ）·（（x 1，y 1）+（x 2，y 2））=（（x ，y ）·（x 1，y 1））+（（x ，y ）·（x 2，y 2））D ．加法对乘法的分配律：（x ，y ）+（（x 1，y 1）·（x 2，y 2））=（（x ，y ）+（x 1，y 1））·（（x ，y ）+（x 2，y 2））8．计算：（3x+9）（2x－5）=________．9．若m=－1998，则│m2+11m－999│－│m2+22m+999│+20=______．10．若x3+x2+x+1=0，则y=x97+x98+…+x103的值是_____．11．如果（1－3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么│a1│+│a2│+│a3│+│a4│+│a5│的值为_________．12．已知a，b，c，d是四个不同的有理数，且（a+c）（a+d）=1，（b+c）（b+d）=1，则（a+c）（b+c）的值为________．13．已知A，B，C，D为一直线上的顺次四点，且AC=10，BD=8，求AB·CD+BC·AD的值．14．计算：（12+13+…+12002）（1+12+…+12001）－（1－12+…+12002）（12+13+…+12001）．15．在（x2－ax+b）（ax2+x－b）的展开式中，x2的系数是1，x的系数是9，求整数a和b 的值．16．已知3n+11m能被10整除，试证：3n+4+11m+2也能被10整除．答案:解题指导例1 A [提示：∵12345=（111+a ）（111－b ）=1112+111（a －b ）－ab ，∴111（a －b ）=12345－1112+ab=24+ab ．∵a>0，b>0，∴ab>0．∴24+ab>0，即a －b>0，∴a>b ．]例2 a 3b 2的系数为0，a 2b 3的系数为17．例3 D [提示：由已知有3x 3－x －1=0，9x 4+12x 3－3x 2－7x+2001=3x （3x 3－x －1）+4（3x 3－x －1）+2005=2005．若将3x 3－x=1代入，如何求？]例4 28或－26． [提示：∵m 、n 互为相反数，∴m+n=0．∵a 、b 互为负倒数，∴ab=－1．∴x 3－（1+m+n+ab ）x 2+（m+n ）x 2001+（－ab ）2002=x 3－（1+0－1）x 2+0+[－（－1）] 2002=x 3+1=±│x│3+1=28(3),26(3).x x =⎧⎨-=-⎩] 例5 －78． [提示：由题意知（x+2y+m ）（2x －y+n ）=2x 2+3xy －2y 2－x+8y －6．又（x+2y+m ）（2x －y+n ）=2x 2+3xy －2y 2+（2m+n ）x+（2n －m ）y+nm ，根据多项式恒等的条件，得3221,2,1728, 3.186.m n m m n m n n mn +=-⎧=-⎧+⎪-==-⎨⎨=-⎩⎪=-⎩解得故．] 【拓展题】（1）第一次只能得到1×4+4+1=9．若要求最大新数，第二次应取4和9，得到4×9+4+9=49．同理，第三次取9和49，得9×49+9+49=499．则499就是扩充三次的最大数．（2）∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）－1，∴c+1=（a+1）（b+1）．取数a和c可得新数d=（a+1）（c+1）－1，∴d+1=（a+1）（c+1）=（a+1）（a+1）（b+1）=（a+1）2（b+1）．取数b和c可得新数e=（b+1）（c+1）－1，k∴e+1=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）（b+1）=（b+1）2（a+1）．设扩充后的新数为x，则总存在x+1=（a+1）m·（b+1）n（m、n为正整数）．当a=1，b=4时，x+1=2m×5n，又1999+1=2000=24×53，∴1999可以通过上述规则扩充得到．能力训练1．D [提示：由m2+m－1=0，知m2+m=1，∴m3+2m2－1997=m（m2+m）+m2－1997=m+m2－1997=－1996．]2．B [提示：由19a+98b=0，得a=－9819b，ab=9819－b2≤0．]3．B [提示：证明M－N>0．]4．C [提示：由题意知，每件衬衣进价为m元，零售价比进价高a%，•那么零售价是m+ma%元，后又调整为原来零售价的b%出售，那么调整后每件衬衣的零售价为m（1+a%）×b%]5．A [提示：设A=19951995，B=19961996，C=19971997，D=•19981998，•则有B=•A+10001，C=B+10001，D=C+10001．∴（B+10001）（B －10001）=B 2－100012，即C·A=B 2－100012． ∴C·A<B 2．由于B 、C 均为正数，所以1995199519961996,1996199619971997A B B C <<即． 同理，可以得到1996199619971997,1997199719981998B C C D <<即．] 6．D [提示：a 1，a 2，…a n 是n 个互不相同的负整数，其中n 是奇自然数，若a 1=－1，a 1+1=0， 则（a 1+1）（a 2+2）…（a n +n ）=0，排除A ；若a 1=－1，a 2=－2，a 3=－3，…，a n =－n ，则（a 1－1）（a 2－2）…（a n －n ）=（－2）（－4）（－6）…（－2n ）=（－1）n 2×4×6×…×（2n ）<0．因为n 是奇数，故排除B ；若a 1=－1，+1=0，则（11a +1）.（21a +2） (1)a +n ）=0，又排除C ． 如果运用直接证法，如何证明？]7．D [提示：易见乘法交换律成立．由（（x 1，y 1）·（x 2，y 2））·（x 3，y 3）=（x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+y 1x 2）·（x 3，y 3）=（x 1x 2x 3－y 1y 2x 3－x 1y 2y 3－y 1x 2y 3，x 1x 2y 3－y 1y 2y 3+x 1y 2x 3+y 1x 2x 3=（x 1，y 1）·（x 2x 3－y 2y 3，x 2y 3+y 2x 3）=（x 1，y 1）·（（x 2，y 2）·（x 3，y 3）），知乘法结合律成立．由（x ，y ）·（（x 1，y 1）+（x 2，y 2））=（x ，y ）·（x 1+x 2，y 1+y 2）=（x （x 1+x 2）－y （y 1+y 2），x （y 1+y 2）+y （x 1+x 2））=（xx 1－yy 1，xy 1+yx 1）+（xx 2－yy 2，xy 2+yx 2）=（（x ，y ）·（x 1，y 1））+（（x ，y ）·（x 2，y 2））．知乘法对加法的分配律成立．由（1，0）+（1，0）·（1，0）=（1，0）+（1，0）=（2，0）≠（2，0）·（2，0）=（（1，0）+（1，0））·（（1，0）+（1，0）），知加法对乘法的分配律不成立．]8．6x2+3x－45．9．20000．[提示：∵m=－1998，∴m+11=－1987，m+22=－1976．∴m2+11m=m（m+11）=1998×1987．∴m2+11m－999>0．∵m2+22m=m（m+22）=1998×1976，∴m2+22m+999>0．∴│m2+11m－999│－│m2+22m+999│+20=（m2+11m－999）－（m2+22m+999）+20=11m－999－22m－999+20=－11m－1998+20=（－1998）（－11）－1998+20=20000．]10．－1．[提示：由已知，得x4=1．∴y=x97+x98+…+x103=x97（1+x+x2+x3）+x101（1+x+x2+x3）－x104=－（x4）26=－1．]11．1023．[提示：易知a1，a3，a5均小于0，a2，a4均大于0，取x=－1时，a0－a1+a2－a3+a4－a5=45，∴－a1+a2－a3+a4－a5=1023．]12．－1．[提示：设a+b+c+d=m，a+c=x，b+c=y，则a+d=m－y，b+d=m－x，由已知得x（m－y）=y（m－x），即mx－my=0，∴m（x－y）=0，又a，b，c，d互不相同，①②∴a+c≠b+c ，即x≠y ． ∴m=0．又x （m －y ）=1， ∴－xy=1．故（a+c ）（b+c ）=xy=－1．]13．设BC=x ，则AB=10－x ，CD=8－x ，AD=18－x ．∴AB·CD+BC·AD=（10－x ）（8－x ）+x （18－x ）=80．14．设12+13+…+12001=a ，则 原式=（a+12002）（1+a ）－（1+a+12002）a=12002． 15．由条件知1,9.ab b a ab b --=⎧⎨+=⎩ 由①得（a －1）（b －1）=2，因为a 、b 是整数，于是 11,12,11,12,1211121 1.a a a a b b b b -=-=-=--=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=--=-⎩⎩⎩⎩或或或 由②检验知a=2，b=3．16．3n+4+11 m+2=3 4×3 n +11 2×11 m =81×3 n +121×11 m =80×3 n +120×11 m +（3 n +11 m ）．∵10│80×3 n ，10│120×11 m ，10│3 n +11 m ，∴10│（80×3 n +120×11 m +（3 n +11 m ）），即10│（3 n+4 +11 m+2）．。

乘法公式计算练习一．完全平方公式（共30小题）1．计算：（1）（﹣2x）3﹣4x（x﹣2x2）；（2）（a﹣b）2+b（a﹣b）．2．计算：（2x+1）2﹣（x+2）2．3．计算：（2a﹣3b）2﹣（3a﹣2b）2．4．计算：（2a+b）2[（a﹣b）2+2a（a﹣b）+a2]．5．已知（m﹣53）（m﹣47）＝12，求（m﹣53）2+（m﹣47）2的值．6．已知：x+y＝5，xy＝3．求：①x2+5xy+y2；②x4+y4．7．某学生化简a（a+1）﹣（a﹣2）2出现了错误，解答过程如下：解：原式＝a2+a﹣（a2﹣4a+4）（第一步）＝a2+a﹣a2﹣4a+4（第二步）＝﹣3a+4（第三步）（1）该学生解答过程是从第步开始出错，其错误原因是；（2）请你帮助他写出正确的简化过程．8．运算：（x+2）29．已知：a m•a n＝a5，（a m）n＝a2（a≠0）．（1）填空：m+n＝，mn＝；（2）求m2+n2的值；（3）求（m﹣n）2的值．10．利用整式乘法公式计算：（1）2012；（2）19992﹣1998×2000．11．已知x﹣y＝1，x2+y2＝9，求xy的值．12．计算：（1）9992．（2）计算（）2﹣（）2．13．若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．14．（1）已知a m＝2，a n＝3，求a3m+2n的值；（2）已知a﹣b＝4，ab＝3求a2﹣5ab+b2的值．15．已知a+b＝2，ab＝﹣24，（1）求a2+b2的值；（2）求（a+1）（b+1）的值；（3）求（a﹣b）2的值．16．化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．17．已知a﹣b＝5，ab＝1，求下列各式的值：（1）（a+b）2；（2）a3b+ab3．18．若x+y＝3，xy＝2，求x2﹣xy+y2的值．19．已知x＝2y﹣6，求﹣3x2+12xy﹣12y2的值．20．已知x+y＝4，x2+y2＝10．（1）求xy的值；（2）求（x﹣y）2﹣3的值．21．23.142﹣23.14×6.28+3.142．22．（a﹣3b）（3b﹣a）．23．（3a﹣b）2．24．计算（2a﹣1）2+2（2a﹣1）+3．25．（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．26．已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：（1）ab；（2）a2﹣b2﹣8．27．已知（a+b）2＝13，（a﹣b）2＝7，求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）ab．28．若（4x﹣y）2＝9，（4x+y）2＝81，求xy的值．29．已知（x+y）2＝16，（x﹣y）2＝4，求x2+y2和3xy的值．30．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．二．平方差公式（共14小题）31．计算：（a+5b）（a﹣5b）﹣（a+2b）2．32．（a+1）（a2﹣1）（a﹣1）．33．利用乘法公式进行简算：（1）2019×2021﹣20202；（2）972+6×97+9．34．（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣2b）2﹣4ab．35．计算：（x+y+z）（x+y﹣z）﹣（x+y+z）2．36．计算：（x+3）（x﹣3）﹣（2﹣x）2．37．计算（1）（2a+b）2（2）（5x+y）（5x﹣y）38．运用适当的公式计算：（1）（﹣1+3x）（﹣3x﹣1）；（2）（x+1）2﹣（1﹣3x）（1+3x）．39．利用整式乘法公式计算下列各题：（1）201×199（2）101240．计算：（2x+3y）（2x﹣3y）．41．计算：3（2x﹣1）2﹣（﹣3x﹣4）（3x﹣4）．42．化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．43．（﹣2x+3y﹣1）（﹣2x﹣3y+1）．44．（1﹣a）（a+1）（a2+1）（a4+1）．秋季第十讲——乘法公式计算练习参考答案与试题解析一．完全平方公式（共30小题）1．计算：（1）（﹣2x）3﹣4x（x﹣2x2）；（2）（a﹣b）2+b（a﹣b）．【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方运算法则以及单项式乘多项式的运算法则计算即可；（2）根据完全平方公式以及单项式乘多项式的运算法则计算即可．【解答】解：（1）（﹣2x）3﹣4x（x﹣2x2）＝﹣8x3﹣4x2+8x3＝﹣4x2；（2）（a﹣b）2+b（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2+ab﹣b2＝a2﹣ab．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟记完全平方公式以及单项式乘多项式的运算法则是解答本题的关键．2．计算：（2x+1）2﹣（x+2）2．【分析】根据完全平方公式展开后，再合并同类项即可．【解答】解：（2x+1）2﹣（x+2）2＝4x2+4x+1﹣x2﹣4x﹣4＝3x2﹣3．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟记完全平方公式是解答本题的关键．（a±b）2＝a2±2ab+b2．3．计算：（2a﹣3b）2﹣（3a﹣2b）2．【分析】利用完全平方公式将其展开，然后合并同类项．【解答】解：原式＝4a2﹣12ab+9b2﹣9a2+12ab﹣4b2＝﹣5a2+5b2．【点评】本题主要考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．4．计算：（2a+b）2[（a﹣b）2+2a（a﹣b）+a2]．【分析】根据平方差公式以及单项式乘以多项式的运算把括号展开，再合并同类项，最后运用平方差公式计算即可．【解答】解：（2a+b）2[（a﹣b）2+2a（a﹣b）+a2]＝（2a+b）2（a2﹣2ab+b2+2a2﹣2ab+a2）＝（2a+b）2（4a2﹣4ab+b2）＝（2a+b）2（2a﹣b）2＝（4a2﹣b2）2．【点评】此题主要考查了整式的乘法，熟练掌握忒覅覅买基金解答此题的关键．5．已知（m﹣53）（m﹣47）＝12，求（m﹣53）2+（m﹣47）2的值．【分析】先根据完全平方公式得出（m﹣53）2+（m﹣47）2＝[（m﹣53）﹣（m﹣47）]2+2（m﹣53）（m﹣47），再求出即可．【解答】解：（m﹣53）2+（m﹣47）2＝[（m﹣53）﹣（m﹣47）]2+2（m﹣53）（m﹣47）＝（﹣6）2+2×12＝60．【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b26．已知：x+y＝5，xy＝3．求：①x2+5xy+y2；②x4+y4．【分析】①先根据完全平方公式得出x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy，再代入求出即可；②先根据完全平方公式求出x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝19，再根据完全平方公式得出x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2，代入求出即可．【解答】解：①∵x+y＝5，xy＝3，∴x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy＝52+3×3＝34；②∵x+y＝5，xy＝3，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×3＝19，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝192﹣2×32＝343．【点评】本题考查了完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2．7．某学生化简a（a+1）﹣（a﹣2）2出现了错误，解答过程如下：解：原式＝a2+a﹣（a2﹣4a+4）（第一步）＝a2+a﹣a2﹣4a+4（第二步）＝﹣3a+4（第三步）（1）该学生解答过程是从第二步开始出错，其错误原因是去括号时没有变号；（2）请你帮助他写出正确的简化过程．【分析】（1）解答过程从第2步开始算错，根据去括号法则，括号前面是“﹣”号的，去括号和它前面“﹣”号，括号里面的每项都变号．第二步在去括号时，﹣4a+4应变为4a﹣4．故错误原因为去括号时没有变号．（2）正确化简过程为：a2+a﹣（a2﹣4a+4）＝a2+a﹣a2+4a﹣4＝5a﹣4．【解答】解：（1）第二步在去括号时，﹣4a+4应变为4a﹣4．故错误原因为去括号时没有变号．（2）原式＝a2+a﹣（a2﹣4a+4）＝a2+a﹣a2+4a﹣4＝5a﹣4．【点评】本题考查整式的加减，整式加减实际是去括号、合并同类项的过程．8．运算：（x+2）2【分析】根据完全平方公式求出即可．【解答】解：（x+2）2＝x2+4x+4．【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键．9．已知：a m•a n＝a5，（a m）n＝a2（a≠0）．（1）填空：m+n＝5，mn＝2；（2）求m2+n2的值；（3）求（m﹣n）2的值．【分析】（1）利用同底数幂的乘方和幂的乘方得到m+n和mn的值；（2）利用完全平方公式得到m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，然后利用整体代入的方法计算；（3）利用完全平方公式得到（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）∵a m•a n＝a5，（a m）n＝a2，∴a m+n＝a5，a mn＝2，∴m+n＝5，mn＝2，故答案为5，2；（2）m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝52﹣2×2＝21；（3）（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝21﹣2×2＝17．【点评】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此类问题的关键．也考查了积的乘方与幂的乘方．10．利用整式乘法公式计算：（1）2012；（2）19992﹣1998×2000．【分析】（1）把201化为200+1，然后利用完全平方公式计算；（2）把1998化为1999﹣1，2000化为1999+1，然后利用平方差公式计算．【解答】解：（1）原式＝（200+1）2＝2002+2×200×1+12＝40401；（2）原式＝19992﹣（1999﹣1）（1999+1）＝19992﹣19992+1＝1．【点评】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此类问题的关键．完全平方公式为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了平方差公式．11．已知x﹣y＝1，x2+y2＝9，求xy的值．【分析】把x﹣y＝1两边平方，然后代入数据计算即可求出xy的值．【解答】解：因为x﹣y＝1，所以（x﹣y）2＝1，即x2+y2﹣2xy＝1；因为x2+y2＝9，所以2xy＝9﹣1，解得xy＝4，即xy的值是4．【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键是掌握完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．12．计算：（1）9992．（2）计算（）2﹣（）2．【分析】（1）把999化为1000﹣1，然后利用完全平方公式计算；（2）利用完全平方公式展开，然后去括号后合并即可．【解答】解：（1）9992＝（1000﹣1）2＝10002﹣2×1000+1＝1000000﹣2000+1＝9980001；（2）原式＝x2+5x+1﹣（x2﹣5x+1）＝x2+5x+1﹣x2+5x﹣1＝10x．【点评】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式．完全平方公式为（a±b）2＝a2±2ab+b2．13．若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（3）先求出（x﹣y）2的值，再根据完全平方公式求出即可．【解答】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝8+2×2＝12；（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝82﹣2×22＝64﹣8＝56；（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣2×2＝4，∴x﹣y＝±2．【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的内容是解此题的关键，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．14．（1）已知a m＝2，a n＝3，求a3m+2n的值；（2）已知a﹣b＝4，ab＝3求a2﹣5ab+b2的值．【分析】（1）由a3m+2n＝a3m•a2n＝（a m）3•（a n）2，即可求得答案；（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．【解答】解：（1）∵a m＝2，a n＝3，∴a3m+2n＝a3m•a2n＝（a m）3•（a n）2＝23×32＝72；（2）∵a﹣b＝4，ab＝3，∴a2﹣5ab+b2＝（a﹣b）2﹣3ab＝42﹣3×3＝16﹣9＝7．【点评】此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方，完全平方公式．此题难度适中，注意掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键．15．已知a+b＝2，ab＝﹣24，（1）求a2+b2的值；（2）求（a+1）（b+1）的值；（3）求（a﹣b）2的值．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）因为a+b＝2，ab＝﹣24，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4+2×24＝52；（2）因为a+b＝2，ab＝﹣24，所以（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝﹣24+2+1＝﹣21；（3）因为a+b＝2，ab＝﹣24，所以（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝（a+b）2﹣4ab＝4+4×24＝100．【点评】本题考查完全平方公式和多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型．16．化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．【分析】利用完全平方公式以及整式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2﹣a﹣1＝a．【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题的关键．17．已知a﹣b＝5，ab＝1，求下列各式的值：（1）（a+b）2；（2）a3b+ab3．【分析】（1）利用（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，变形整式后整体代入求值；（2）先因式分解整式，再利用a2+b2＝（a﹣b）2+2ab变形整式后代入求值．【解答】解：（1）原式＝（a﹣b）2+4ab＝52+4＝29；（2）原式＝ab（a2+b2）＝ab[（a﹣b）2+2ab]＝1×（25+2）＝27．【点评】本题考查了整式的恒等变形和整体代入的思想方法，掌握和熟练运用完全平方公式的几个变形，是解决本题的关键．18．若x+y＝3，xy＝2，求x2﹣xy+y2的值．【分析】把x+y＝3两边平方，利用完全平方公式化简，将xy＝2代入计算求出x2+y2的值，即可求出所求．【解答】解：把x+y＝3两边平方得：（x+y）2＝9，即x2+2xy+y2＝9，将xy＝2代入得：x2+4+y2＝9，即x2+y2＝5，则原式＝5﹣2＝3．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．已知x＝2y﹣6，求﹣3x2+12xy﹣12y2的值．【分析】由x＝2y﹣6可得x﹣2y＝﹣6，再把所求式子利用提公因式法以及完全平方公式因式分解即可解答．【解答】解：由x＝2y﹣6得x﹣2y＝﹣6，∴﹣3x2+12xy﹣12y2＝﹣3（x2﹣4xy+4y2）＝﹣3（x﹣2y）2＝﹣3×（﹣6）2＝﹣108．【点评】本题主要考查了因式分解的应用，熟记完全平方公式是解答本题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．20．已知x+y＝4，x2+y2＝10．（1）求xy的值；（2）求（x﹣y）2﹣3的值．【分析】（1）把x+y＝4两边平方得到（x+y）2＝16，然后利用完全平方公式和x2+y2＝10可计算出xy的值；（2）利用完全平方公式得到（x﹣y）2﹣3＝x2﹣2xy+y2﹣3，然后利用整体的方法计算．【解答】解：（1）∵x+y＝4，∴（x+y）2＝16，∴x2+2xy+y2＝16，又∵x2+y2＝10，∴10+2xy＝16，∴xy＝3；（2）（x﹣y）2﹣3＝x2﹣2xy+y2﹣3＝10﹣2×3﹣3＝1．【点评】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．21．23.142﹣23.14×6.28+3.142．【分析】利用完全平方公式得到原式＝（23.14﹣3.14）2，然后进行乘方运算即可．【解答】解：原式＝23.142﹣2×23.14×3.14+3.142＝（23.14﹣3.14）2＝400．【点评】本题考查了完全平方公式：熟练运用完全平方公式．完全平方公式为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．22．（a﹣3b）（3b﹣a）．【分析】先变形得到原式＝﹣（a﹣3b）2，然后利用完全平方公式计算．【解答】解：原式＝﹣（a﹣3b）（a﹣3b）＝﹣（a﹣3b）2＝﹣a2+3ab﹣9b2．【点评】本题考查了完全平方公式：熟练运用完全平方公式．完全平方公式为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．23．（3a﹣b）2．【分析】根据完全平方公式进行计算．【解答】解：（3a﹣b）2＝（3a）2﹣2×3a×b+b2＝9a2﹣6ab+b2．【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键是掌握完全平方公式的运用，注意：完全平方公式有：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．24．计算（2a﹣1）2+2（2a﹣1）+3．【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式算乘法，再合并同类项即可．【解答】解：原式＝4a2﹣4a+1+4a﹣2+3＝4a2+2．【点评】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项法则等知识点，能正确根据运算法则和乘法公式进行化简是解此题的关键，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a ﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．25．（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．【分析】（1）直接利用单项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案；（2）直接利用一元一次不等式的解法进而计算即可．【解答】解：（1）（a+1）2+a（2﹣a）＝a2+2a+1+2a﹣a2＝4a+1；（2）3x﹣5＜2（2+3x）3x﹣5＜4+6x，移项得：3x﹣6x＜4+5，合并同类项，系数化1得：x＞﹣3．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法以及单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．26．已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：（1）ab；（2）a2﹣b2﹣8．【分析】（1）由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab及已知条件可求得答案；（2）（a+b）2＝a2+b2+2ab及已知条件可求得a+b的值，进而得出a2﹣b2﹣8的值即可．【解答】解：（1）∵a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，∵a2+b2＝13，∴13﹣2ab＝1，∴ab＝6；（2）∵a2+b2＝13，ab＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，∴a+b＝5或﹣5，∵a2﹣b2﹣8＝（a+b）（a﹣b）﹣8，∴当a+b＝5时，（a+b）﹣8＝﹣3；当a+b＝﹣5时，（a+b）﹣8＝﹣5﹣8＝﹣13．【点评】本题考查了完全平方公式在代数式求值中的应用，熟练掌握完全平方公式并正确变形是解题的关键．27．已知（a+b）2＝13，（a﹣b）2＝7，求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）ab．【分析】（1）先利用完全平方公式将等式（a+b）2＝13，（a﹣b）2＝7的左边展开，然后两式相加即可求得a2+b2的值；（2）先利用完全平方公式将等式（a+b）2＝13，（a﹣b）2＝7的左边展开，然后两式相减即可求得ab的值．【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝7，∴a2+b2＝[（a+b）2+（a﹣b）2]÷2＝（13+7）÷2＝10；（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝7，∴．【点评】本题主要考查的是完全平方公式，能够应用完全平方公式对等式进行变形是解题的关键．28．若（4x﹣y）2＝9，（4x+y）2＝81，求xy的值．【分析】已知等式利用完全平方公式化简，计算即可求出所求．【解答】解：∵（4x﹣y）2＝9①，（4x+y）2＝81②，∴②﹣①得：（4x+y）2﹣（4x﹣y）2＝72，∴4×4x×y＝72，整理得：xy＝．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．29．已知（x+y）2＝16，（x﹣y）2＝4，求x2+y2和3xy的值．【分析】已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求．【解答】解：由题意可知x2+2xy+y2＝16①，x2﹣2xy+y2＝4②，①+②得：2x2+2y2＝20，∴x2+y2＝10，①﹣②得：4xy＝12，∴xy＝3，∴3xy＝9．【点评】此题考查了完全平方公式，以及代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．30．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．【分析】（1）直接根据图示规律写出图中的数字，再写出（a+b）5的展开式；（2）发现这一组式子中是2与﹣1的和的5次幂，由（1）中的结论得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝（2﹣1）5，计算出结果．【解答】解：（1）如图，则（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5．＝（2﹣1）5，＝1．【点评】本题考查了完全式的n次方，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）n中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b的指数是从低到高．二．平方差公式（共14小题）31．计算：（a+5b）（a﹣5b）﹣（a+2b）2．【分析】根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可．【解答】解：（a+5b）（a﹣5b）﹣（a+2b）2＝（a2﹣25b2）﹣（a2+4ab+4b2）＝a2﹣25b2﹣a2﹣4ab﹣4b2＝﹣29b2﹣4ab．【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．32．（a+1）（a2﹣1）（a﹣1）．【分析】根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可．【解答】解：（a+1）（a2﹣1）（a﹣1）＝[（a+1）（a﹣1）]（a2﹣1）＝（a2﹣1）（a2﹣1）＝a4﹣2a2+1．【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．33．利用乘法公式进行简算：（1）2019×2021﹣20202；（2）972+6×97+9．【分析】（1）利用平方差公式将2019×2021转化为（2020﹣1）（2020+1），进而得到20202﹣1﹣20202，求出答案；（2）利用完全平方公式将972+6×97+9转化为（97+3）2即可．【解答】解：（1）2019×2021﹣20202＝（2020﹣1）（2020+1）﹣20202＝20202﹣1﹣20202＝﹣1；（2）972+6×97+9＝972+2×3×97+32＝（97+3）2＝1002＝10000．【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式的应用，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的关键．34．（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣2b）2﹣4ab．【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，然后去括号后合并即可．【解答】解：原式＝a2﹣4b2﹣（a2﹣4ab+4b2）﹣4ab＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2﹣4ab＝﹣8b2．【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．也考查了完全平方公式．35．计算：（x+y+z）（x+y﹣z）﹣（x+y+z）2．【分析】分别根据平方差公式以及完全平方公式展开后，再合并同类项即可．【解答】解：（x+y+z）（x+y﹣z）﹣（x+y+z）2＝（x+y）2﹣z2﹣[（x+y）+z]2＝（x+y）2﹣z2﹣[（x+y）2+2z（x+y）+z2]＝（x+y）2﹣z2﹣（x+y）2﹣2z（x+y）﹣z2＝﹣2z2﹣2xz﹣2yz．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟记公式是解答本题的关键．36．计算：（x+3）（x﹣3）﹣（2﹣x）2．【分析】根据平方差公式和完全平方公式展开后，再合并同类项即可．【解答】解：（x+3）（x﹣3）﹣（2﹣x）2．＝x2﹣9﹣（4﹣4x+x2）＝x2﹣9﹣4+4x﹣x2＝4x﹣13．【点评】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．37．计算（1）（2a+b）2（2）（5x+y）（5x﹣y）【分析】（1）利用完全平方公式计算即可得到结果；（2）利用平方差公式计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝（2a）2+4ab+b＝4a2+4ab+b；（2）原式＝（5x）2﹣y2＝25x2﹣y2．【点评】此题考查了整式的运算，熟练掌握乘法公式是解本题的关键．38．运用适当的公式计算：（1）（﹣1+3x）（﹣3x﹣1）；（2）（x+1）2﹣（1﹣3x）（1+3x）．【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可．（2）根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝（﹣1）2﹣（3x）2＝1﹣9x2；（2）原式＝x2+2x+1﹣（1﹣9x2）＝x2+2x+1﹣1+9x2＝10x2+2x．【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．39．利用整式乘法公式计算下列各题：（1）201×199（2）1012【分析】（1）把原式化为（200+1）（200﹣1）进行计算即可；（2）根据101＝100+1即可得出结论．【解答】解：（1）原式＝（200+1）（200﹣1）＝40000﹣1＝39999；（2）原式＝（100+1）2＝1002+200+1＝10000+200+1＝10201．【点评】本题考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解答此题的关键．40．计算：（2x+3y）（2x﹣3y）．【分析】根据平方差公式直接进行计算即可．【解答】解：（2x+3y）（2x﹣3y）＝（2x）2﹣（3y）2＝4x2﹣9y2．【点评】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．41．计算：3（2x﹣1）2﹣（﹣3x﹣4）（3x﹣4）．【分析】根据去括号法则以及完全平方公式和平方差公式化简计算即可．【解答】解：原式＝3（4x2﹣4x+1）﹣（16﹣9x2）＝12x2﹣12x+3﹣16+9x2＝21x2﹣12x﹣13．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟记完全平方公式和平方差公式是解答本题的关键．42．化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则及平方差公式化简即可．【解答】解：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）＝ab+b2+a2﹣b2＝ab+a2．【点评】此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．43．（﹣2x+3y﹣1）（﹣2x﹣3y+1）．【分析】根据平方差公式以及完全平方公式计算即可．【解答】解：（﹣2x+3y﹣1）（﹣2x﹣3y+1）＝[（﹣2x）+（3y﹣1）][（﹣2x）﹣（3y﹣1）]＝（﹣2x）2﹣（3y﹣1）2＝4x2﹣9y2+6y﹣1．【点评】本题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．44．（1﹣a）（a+1）（a2+1）（a4+1）．【分析】根据平方差公式解答即可．【解答】解：（1﹣a）（a+1）（a2+1）（a4+1）＝（1﹣a2）（1+a2）（a4+1）＝（1﹣a4）（1+a4）＝1﹣a8．【点评】此题考查平方差公式，关键是根据两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差解答．第21页（共21页）。

有理数的乘除法和乘方讲义1.掌握有理数乘除法运算法则和计算题；2.掌握有理数乘方运算法则和计算题.1．乘法运算法则：（1）两数相乘，同号为_____，异号为_____，并把绝对值相乘。

（2）任何数字同0相乘，都得0。

（3）几个不等于0的数字相乘，积的符号由负因数的个数决定。

当负因数有______个数时，积为负；当负因数有______个数时，积为正。

（4）几个数相乘，有一个因数为0时，积为0.2.除法运算法则：（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

（注意：____没有倒数）（2）两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。

（3）0除以任何一个不等于0的数，都等于0。

（4）0在任何条件下都不能做______。

3.乘方 求n 个相同因数乘积的运算叫做乘方。

参考答案：1.（1）正，负(3)奇数,偶数2.(1)0 (4)除数1.有理数乘法【例1】113223⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】把带分数化成假分数，再根据乘法法则，同号两数相乘结果为正即可求出结果。

【答案】原式=（-27）×（-37） 【例2】38(4)24⎛⎫⨯-⨯-- ⎪⎝⎭【解析】根据有理数乘法法则和运算顺序即可算出结果。

【答案】原式=24-2=22练习1．384⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ 【答案】-6练习2．12(6)3⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭【答案】14练习3．38(4)(2)4-⨯-⨯- 【答案】2练习4. 38(4)(2)4⎛⎫⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭. 【答案】-482.有理数的除法（除法没有分配律）【例3】 （1）601)315141(÷+-；（2）)315141(601+-÷. 【解析】第（2）题属于易错题，因为除法没有分配律，只有乘法才有分配律，而一些学生往往因不看清题目而错误地运用运算规律。

【答案】解：（1）解法一：2360602360)602060126015(601)315141(=⨯=⨯+-=÷+-解法二：601)315141(÷+-2360316051604160)315141(=⨯+⨯-⨯=⨯+-= （显然，解法二中运用了乘法分配律后计算方法很简单。

1.5.1有理数的乘法题型一 两个有理数的乘法运算1．计算()43-´的结果等于（ ）A ．12-B ．7-C ．1-D ．122．计算()()20241-´-的结果为（ ）A ．2024B ．2024-C ．12024D ．12024-3．下列运算正确的是（ ）A ．()()()525210-´-=+´=B ．()()40404-´=--=-C ．992733222æöæö´-=+´=ç÷ç÷èøèøD ．()1166233æöæö-´-=-´=-ç÷ç÷èøèø4．如果00<+>，ab a b ，那么（ ）A ．00a b >>，B ．00a b <<，C ．a ，b 异号且负数的绝对值较小D ．a ，b 异号且负数的绝对值较大5．计算：(1)1012æö´-ç÷èø；(2)()40.255æö-´-ç÷èø；(3)48551æö´çè-÷ø；(4)140.26æö-´ç÷èø．题型二 多个有理数的乘法运算6．下列各式中，结果是正数的是（ ）A ．()234´-´B ．()234´´-C ．()()234´-´-D ．()()()234-´-´-7．下列式子中，积的符号为负的是（ ）A ．()11634æöæö-´+´-ç÷ç÷èøèøB ．()()14197873æöæöæö-´+´-´+´-ç÷ç÷ç÷èøèøèøC ．()()13702æö-´-´+´ç÷èøD ．()()12165532æöæöæö-´+´-´-´-ç÷ç÷ç÷èøèøèø8．计算：(1)()511.249æö´-´-ç÷èø；(2)3187215æöæöæö-´-´-ç÷ç÷ç÷èøèøèø；题型三 有理数乘法运算律9．在()()9992.547 2.547101835355éùæöæöæöéù-´-´´-=-´-´´-=´-=-ç÷ç÷ç÷êúëûèøèøèøëû中，用到的乘法运算律是（ ）A ．乘法交换律B ．乘法结合律C ．乘法分配律D ．乘法分配律的逆运算．10．简化计算171(24)24124æö-+´-ç÷èø，应该运用（ ）A ．加法交换律B ．加法结合律C ．乘法对加法的分配律D ．乘法结合律11．下面计算()113032æö-´-ç÷èø的过程正确的是（ ）A ．()()11303032æö-´+-´-ç÷èøB ．()()11303032æö-´--´-ç÷èøC ．()11303032æö´--´-ç÷èøD ．()11303032æö-´+´-ç÷èø12．学习有理数乘法后，老师让同学们计算：2439(5)25´-，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下：小丽：原式999999451992555=-´=-=-；小军：原式2424439(5)39(5)(5)19925255æö=+´-=´-+´-=-ç÷èø．小晨经过思考后也给出了他的解法：原式140(5)40(5)25æö=-´-=´--ç÷èø ① (5)200´-=-+ ② = ③ ．(1)请补全小晨的解题过程：①__________ ②__________ ③__________．(2)用你认为最合适的方法计算：1519816-´．13．用乘法运算律，将下列各式进行简便计算：(1) ()121723æö-´-´ç÷èø；(2) ()()45811255.æö-´´-´-ç÷èø(3)()357484612æö-´-+-ç÷èø；(4)33380.7 6.6 1.10.7117711´-´-´+´．(5)()23391224-´-(6)3334.61 5.393777æöæö´-´-+´-ç÷ç÷èøèø．14．阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是()a b c ab ac +=+，反过来()ab ac a b c +=+．这就是说，当ab ac +中有相同的a 时，我们可以逆用乘法分配律得到()ab ac a b c +=+，进而可使运算简便．例如：计算55231788-´-´，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有58-，因此逆用乘法分配律可得55552317(2317)40258888-´-´=-´+=-´=-，这样计算就简便得多计算：(1)2958828588-´+´；(2)362202320232023777æö-´+´-+´ç÷èø；(3)()()66547.65237.15210.57111111æöæö-´+-´-+´-ç÷ç÷èøèø．题型四 有理数乘法错解复原15．学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题：计算：171718×（﹣9），下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答过程．解：原式＝﹣171718×9＝﹣17172＝﹣2512．16．下面是小宇同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：215243612æö-´-+ç÷èø()()()2152424243612=-´--´+-´…第一步16410=---…第二步2010=--…第三步30=-．…第四步任务一：（1）填空：①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是______；②第______步开始出现错误，错误的原因是______；任务二：（2）请直接写出正确的计算结果．题型五 有理数乘法有关的新定义问题17．规定运算；31a b ab =--★．(1)求()23-★的值；(2)求()()321éùë-û-★★的值．18．定义一种新的运算：()()22x y x y =+´+★．(1)计算()()34--★与()()43--★，此运算满足乘法交换律吗？(2)计算()()()345éù--ëû★★与()()()345éù---ëû★★，此运算满足乘法结合律吗？题型六 有理数乘法在生活中的应用19．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？A ．45尺B ．88尺C ．90尺D ．98尺20．一种商品原价500元，先提价10%再降价10%，现在售价（ ）元．A ．550B ．500C ．49521．某校食堂买了5袋白菜，以每袋20千克为标准，超过的千克数记为正数，称重后的记录分别为（单位：千克）0.25+，1-，0.5+，0.75-，1-请大家快速准确地算出5袋白菜的总质量是（ ）A ．2-千克B ．2千克C ．98千克D ．102千克22．某特技飞行队在某风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后高度变化如下，其中上升记为正，下降记为负：7.5km +， 3.2km -，3km +， 1.5km -， 1.8km-(1)最终这架飞机比起飞点高了多少千米？(2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，不计飞机的损耗，每升燃油价格是6.5元．那么这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费多少元？(3)若这架飞机做完5个特技后，又做两个表演动作，这两个动作不确定是上升还是下降，只知道产生的高度变化分别是0.8km 和1.7km ，请你求出这两个表演动作结束后飞机离地面的高度．23．下列说法中正确的有（ ）①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a 、b 互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个24．下列命题中，正确的是（ ）A ．若0a b ×>，则0a >，0b >B ．若0a b ×>，则a<0，0b <C ．若0×=a b ，则0a =且0b =D ．若0×=a b ，则0a =或0b =25．记符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]33=，[]2.92=，[]1.52-=-．(1)分别写出[]4和[]2.1-的值；(2)计算：[][][]0.2 4.53-´´-．26．观联下列等式111122=-´，1112323=-´，1113434=-´…．将以上三个等式两边分别相加得：111122334++´´´11111122334=-+-+-114=-34=．(1)猜想并写出：1(1)n n =+_____________．(2)直接写出下列各式的计算结果：111122*********++×××+=´´´_____________．(3)探究并计算：111124466820222024+++×××+´´´´．1．A【分析】本题考查有理数的乘法，先确定出结果的符号，再把绝对值相乘即可．【详解】解：()434312-´=-´=-，故选A ．2．A【分析】此题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则．根据有理数的乘法运算法则求解即可．【详解】()()202024421-=´-．故选：A ．3．A【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据选项所给式子，逐个求解得到结果判定即可得到答案，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键．【详解】解：A 、()()()525210-´-=+´=，正确，符合题意；B 、()()40400-´=-´=，错误，不符合题意；C 、992733222æöæö´-=-´=-ç÷ç÷èøèø，错误，不符合题意；D 、()1166233æöæö-´-=+´=ç÷ç÷èøèø，错误，不符合题意；故选：A ．4．C【分析】本题考查的是有理数的加法和乘法，掌握有理数的加法和乘法法则是解题的关键．根据有理数的乘法法则，有理数的加法法则进行判断即可．【详解】解：0ab <Q ，且0a b +>，a \，b 异号且负数的绝对值较小．故选：C ．5．(1)0(2)15(3)6-(4)56-【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键．【详解】（1）1012æö´-ç÷èø0=；（2）()40.255æö-´-ç÷èø1445=´ 15=；（3）48551æö´çè-÷ø81554=-´6=-；（4）140.26æö-´ç÷èø25165=-´56=-．6．C【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，逐项判断即可．【详解】解：A 、()23424´-´=-，故A 选项不符合题意；B 、()23424´´-=-，故B 选项不符合题意；C 、()()23424´-´-=，故C 选项符合题意；D 、()()()23424-´-´-=-，故D 选项不符合题意，故选：C ．7．B【分析】本题考查有理数的乘法法则，根据几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为零，积为零．根据法则即可以准确判断答案．【详解】解：A 、有两个负因数，积为正，故A 错误，不符合题意．B 、有三个负因数，积为负，故B 正确，符合题意．C 、有一个因数0，积为0，故C 错误，不符合题意．D 、有四个负因数，积为正，故D 错误，不符合题意．故选：B ．8．(1)16(2)435-【分析】本题考查了有理数的乘法运算，奇数个负数的乘积为负数，偶数个负数的乘积为正数．（1）根据有理数的乘法计算法则求解即可；（2）根据有理数的乘法计算法则求解即可；【详解】（1）解：()511.249æö´-´-ç÷èø551496æöæö=´-´-ç÷ç÷èøèø561459=´´16=；（2）解：3187215æöæöæö-´-´-ç÷ç÷ç÷èøèøèø3187215æöæöæö=-´-´-ç÷ç÷ç÷èøèøèø3187215æö=-´´ç÷èø435=-．9．B【分析】本题主要考查了乘法结合律，熟记运算律是解题的关键．根据乘法交换律和结合律进行分析即可．【详解】解：()()9992.547 2.547101835355éùæöæöæöéù-´-´´-=-´-´´-=´-=-ç÷ç÷ç÷êúëûèøèøèøëû可得是运用了乘法结合律．故选：B ．10．C【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法对加法的分配律是解题关键．因为24、12、4都是24的约数，所以本题利用乘法对加法的分配律进行计算．【详解】解：利用乘法对加法的分配律得：171()(24)24124-+´-，17124242424124=-´+´-´，故选：C 11．A【分析】本题考查有理数的运算．利用乘法分配律写出中间过程，进行判断即可．掌握乘法分配律，是解题的关键．【详解】解：()()()11113030303232æöæö-´-=-´+-´-ç÷ç÷èøèø或()()()11113030303232æö-´-=-´--´ç÷èø；故选A ．12．(1)125，15，41995-(2)11592-【分析】本题考查了有理数的运算，注意利用乘法分配律的使用．（1）把243925分解成14025æö-ç÷èø，再利用乘法分配律计算即可求解；（2）把151916分解成12016æö-ç÷èø，再利用乘法分配律计算即可求解．【详解】（1）解：2439(5)25´-140(5)25æö=-´-ç÷èø140(5)(5)25=´--´-12005=-+41995=-；故答案为：125，15，41995-；（2）解：1511982081616æö-´=--´ç÷èø1208816æö=-´-´ç÷èø11602æö=--ç÷èø11592=-13．(1)7(2)90-(3)24(4) 2.6-(5)14792(6)3【分析】（1）利用乘法的交换律计算；（2）利用乘法的交换律与结合律计算；（3）利用乘法的分配律计算即可；（4）逆用乘法的分配律运算即可．（5）利用乘法的分配律计算即可；（6）逆用乘法的分配律运算即可．本题主要考查有理数的运算，能够熟练掌握运算律可使运算简便是解题的关键．【详解】（1）解：()121723æö-´-´ç÷èø32((7)23=-´´-7=；（2）解：()()4581 1.255æö-´´-´-ç÷èø()()958 1.255éùæöéù=-´-´´-ç÷êúëûèøëû()910=´-90=-；（3）解：()357484612æö-´-+-ç÷èø357(48)()(48)(48)4612=-´-+-´--´364028=-+24=；（4）解：33380.7 6.6 1.10.7117711´-´-´+´3830.7()( 6.6 1.1)11117=´++´-- =0.7 3.3-2.6=-；（5）解：()23391224-´-()1401224æö=-+´-ç÷èø()()140121224=-´-+´-14802=-24791=；（6）解：3334.61 5.393777æöæö´-´-+´-ç÷ç÷èøèø3334.61 5.393777=´+´-´()3 4.61 5.3937=´+-377=´3=．14．(1)588-(2)2023-(3)105-【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键；（1）逆用分配律把原式化为()5882928´-+，再计算即可；（2）逆用分配律把原式化为3622023777æö´--+ç÷èø，再计算即可；（3）逆用乘法分配律计算即可．【详解】（1）解：2958828588-´+´()5882928=´-+()5881=´-588=-；（2）362202320232023777æö-´+´-+´ç÷èø3622023777æö=´--+ç÷èø()20231=´-2023=-．（3）()()66547.65237.15210.57111111æöæö-´+-´-+´-ç÷ç÷èøèø()288247.6537.1510.51111æö=-+´+´-ç÷èø288210.510.51111æö=-´+´-ç÷èø288210.51111æö=-´+ç÷èø11010.511=-´105=-．15．小方给出的答案错误；原式=﹣16112．【分析】根据题意直接利用乘法分配律进行计算即可．【详解】解：小方给出的答案错误；171718×（﹣9）＝﹣[（17+1718）×9]＝﹣（17×9+1718×9）＝﹣16112．【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是正确确定积的符号并熟练掌握乘法分配律．16．任务一：①乘法分配律②二；去括号时，括号前是负号，去括号后，括号内的项没有变号；任务二：22-【分析】本题考查有理数的乘方分配律．注意去括号规则：括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变．括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号．【详解】解：任务一：（1）①乘法分配律②二；去括号时，括号前是负号，去括号后，括号内的项没有变号故答案为：①乘法分配律②二；去括号时，括号前是负号，去括号后，括号内的项没有变号；任务二：原式()()()2152424243612=-´--´+-´16410=-+-1210=--22=-17．(1)17(2)50【分析】本题考查有理数的运算．（1）根据新运算的规则，列式计算即可；（2）根据新运算的规则，列式计算即可；掌握新运算的规则，正确的列出算式，是解题的关键．【详解】（1）解：()()23323118117-=-´´--=-=★；（2）()()73122133-´´--==-★，∴()()()()3211713171151150éù--=-=-´´--=-=ëû★★★．18．(1)此运算满足乘法交换律，理由见解析(2)运算不满足乘法结合律，理由见解析【分析】（1）由定义的新运算可知，()()()()343242--=-+´-+★，进一步计算即可得出答案，同理求出()()43--★的值，并根据结果判断是否满足乘法交换律即可（2）先由新定义可得()()()()()()34532425éùéù---=-+-+-ëûëû★★★，进一步利用新定义计算即可得出答案，再算出()()()345éù---ëû★★的值，然后根据结果判断是否满足乘法结合律即可．【详解】（1）解：此运算满足乘法交换律，理由如下：()()34--★()()3242=-+´-+()()12=-´-2=；()()43--★()()4232=-+-+()()21=-´-2=．故此运算满足乘法交换律．（2）运算不满足乘法结合律，理由如下：()()()345éù--ëû★★ ()()()32425éù=-+-+-ëû★()25=-★()()2252=+-+()43=´-12=-；()()()345éù---ëû★★()()()34252éù=--+-+ëû★()36=-★()()3262=-++18=-´8=-．故此运算不满足乘法结合律．【点睛】本题考查实数的运算，明确新定义，能够根据新定义进行运算是解题的关键．19．C 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和()115302+´即可，读懂题意，找出规律是解题的关键．【详解】解：由题意得，第一天织布5尺，第30天织布1尺，∴一共织布()11530902+´=（尺），故选：C ．20．C【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用．根据题目所给的调价方式进行计算即可．【详解】解：()()500110%110%495´+´-=（元），故选：C ．21．C【分析】本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”具有相反意义的量．根据题意列出算式解答即可．【详解】解：5袋白菜的总质量为()2050.2510.50.75198´+-+--=（千克），故选：C ．22．(1)最终这架飞机比起飞点高了4千米(2)这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费357.5元(3)这两个表演动作结束后飞机离地面的高度为6.5km 或4.9km 或3.1km 或1.5km ．【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的运算的应用；（1）将已知数据相加，即可求解；（2）根据飞机平均上升和下降的油耗求得总耗油，然后乘以燃油单价，即可求解；（3）根据题意，分4种情况讨论，根据加减法进行计算即可求解．【详解】（1）解：7.5 3.23 1.5 1.84km-+--=答：最终这架飞机比起飞点高了4千米（2）解：7.5434 3.22 1.52 1.82´+´+´+´+´()()47.532 3.2 1.5 1.8=´++´++55=（升）55 6.5357.5´=（元）答：这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费357.5元（3）()40.8 1.7 6.5km ++=()40.8 1.7 4.9km -+=()40.8 1.7 3.1km +-=()40.8 1.7 1.5km --=答：这两个表演动作结束后飞机离地面的高度为6.5km 或4.9km 或3.1km 或1.5km ．23．A【分析】本题主要考查有理数的乘法法则，相反数的概念；根据有理数乘法法则和相反数的概念，进行判断便可．【详解】解：①同号两数相乘，积为正号，不是符号不变，该说法错误；②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该说法正确；③数a 、b 互为相反数，它们的积不一定为负，如a 、b 都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该说法错误；④四个有理数（0除外）相乘，若有三个负因数，则积为负，故该说法错误；故选：A ．24．D【分析】本题考查了有理数的乘法，根据两个有理数相乘，同号为正，异号为负求解即可．【详解】解：若0a b ×>，则0a >，0b >或a<0，0b <，故A ，B 错误；若0×=a b ，则0a =或0b =，故C 错误，D 正确．故选：D ．25．(1)4，3-(2)12【分析】（1）利用符号[]x 的意义解答即可；（2）利用符号[]x 的意义分别求得三个的值，再利用乘法法则运算即可．【详解】（1）[]44=，[]2.13-=-；（2）[][][]()0.2 4.53143=12-´´-=-´´-．【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的乘法法则，理解并熟练利用符号[]x 的意义是解题的关键．26．(1)111n n -+(2)20222023(3)10114048【分析】（1）根据题干所给方法可直接进行求解；（2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解；（3）根据（1）中所给结论可进行求解．【详解】（1）解：1(1)n n =+111n n -+；故答案为111n n -+；（2）解：原式=111111112233420222023-+-+-+×××+-=112023-=20222023；故答案为20222023；（3）解：原式=111111111224466820222024æö´-+-+-+×××+-ç÷èø=111220224æö´-ç÷èø=11011 22024´=1011 4048．【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．。

有理数的乘法——乘法法则（基础）一、单选题(共12道，每道6分)1.计算：______；______．( )A.-15；3B.-2；-3C.-15；-3D.2；3答案：C解题思路：有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．故选C．试题难度：三颗星知识点：有理数乘法运算2.计算：______；______．( )A.-6；3B.-1；-3C.6；3D.1；-3答案：C解题思路：有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．故选C．试题难度：三颗星知识点：有理数乘法运算3.下列运算错误的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：A．原式=6，符合题意；B．原式=，符合题意；C．原式=，符合题意；D．原式=3，不符合题意，故选D．试题难度：三颗星知识点：有理数乘法运算4.下列运算结果为负数的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：A．原式=0，不符合题意；B．原式=42，不符合题意；C．原式=-2，符合题意；D．原式=8，不符合题意，故选C．试题难度：三颗星知识点：有理数乘法运算5.若a+b<0，ab<0，则( )A.a＞0，b＞0B.a<0，b<0C.a，b两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值D.a，b两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值答案：D解题思路：∵ab<0，∴a，b异号，又∵a+b<0，∴负数的绝对值大于正数的绝对值．故选D．试题难度：三颗星知识点：有理数乘法运算6.若，，则x与y的乘积不可能是( )A.-3B.C.0D.5答案：D解题思路：∵；∴x为正数或0；y为负数或0∴x与y的乘积为负数或0∴x与y的乘积不可能是5故选D．试题难度：三颗星知识点：有理数乘法运算7.如图，下列结论正确的是( )A.c＞a＞bB.b+a＞0C.|a|＞|b|D.abc＞0答案：C解题思路：A．由数轴得：c＞b＞a，故选项A不正确；B．∵a<-1<0<b<1，∴b+a<0，故选项B不正确；C．由数轴得：|a|＞|b|，故选项C正确；D．∵a<0，b＞0，c＞0，∴abc<0，故选项D不正确．故选C．试题难度：三颗星知识点：有理数乘法运算8.下列说法中正确的有( )①同号两数相乘，符号不变；②几个因数相乘，积的符号由负因数的个数决定；③互为相反数的两数相乘，积一定为负；④两个有理数的积的绝对值等于这两个有理数的绝对值的积．A.1个B.2个C.3个D.4个答案：A解题思路：①两个负数相乘，结果得正，说法错误；②几个非0的因数相乘，积的符号由负因数的个数决定，说法错误；③互为相反数的非零两数相乘，积一定为负，说法错误；④两个有理数的积的绝对值等于这两个有理数的绝对值的积，说法正确．故选A．试题难度：三颗星知识点：有理数乘法运算9.计算的值，先判断积的符号为_______，再把绝对值相乘．因此乘积的结果为_______．( )A.-，12B.-，-12C.+，12D.+，-12答案：B解题思路：根据乘法法则，多个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号由负因数的个数决定，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正，并把绝对值相乘．先判断乘积的符号为负，再把绝对值相乘，因此乘积的结果为-12．故选B．试题难度：三颗星知识点：有理数乘法运算10.计算的结果是( )A.-1B.1C.-4D.4答案：C解题思路：几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号取决于负因数的个数，负因数的个数为奇数，积为负；负因数的个数为偶数，积为正，再把绝对值相乘．故选C．试题难度：三颗星知识点：有理数乘法运算11.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号取决于负因数的个数，负因数的个数为奇数，积为负；负因数的个数为偶数，积为正，再把绝对值相乘．故选A．试题难度：三颗星知识点：有理数乘法运算12.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号取决于负因数的个数，负因数的个数为奇数，积为负；负因数的个数为偶数，积为正，再把绝对值相乘．故选B．试题难度：三颗星知识点：有理数乘法运算。