第3章多分辨逼近与正交小波级数

第4章 多分辨逼近与正交小波级数正如第3章所讨论的那样，小波变换提供了一种自适应的时-频局部化分析方法，其中有两个基本点是需要努力认识和实现的：其一，如何将时域信号分辨为代表子频段特点的时域分量之和，这些时域分量正是小波变换所确定的；其二，如何确定构造小波函数的统一方法。

本章介绍的多分辨逼近的理性框架不仅解决了这两个问题，而且加深了对小波分析基本原理的理解，加深了对其应用原理方面的理解。

强调指出，应用好小波分析方法是建立在深刻理解小波分析的基本原理基础上的，不应急于了解小波具体操作过程。

在小波分析已在气象上初步应用的情况下，进一步掌握好应用好这个方法尤为重要，为此，需要深刻理解多分辨逼近这个理性框架。

4.1 函数的多尺度逼近1. 内积空间)(2R L在第1~3章中，都提到能量有限的信号R t t f ∈ ),(，数学中把全体能量有限的信号（函数）的集合记为)(2R L ，即.d )()()(22⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞<=⎰Rt t f t f R L)(2R L 是一个函数线性空间，也称可测的、二次可积的希尔伯特（Hilbert ）空间。

所谓“空间”和“线性”是指)(2R L 中函数间线性运算的结果仍是)(2R L 中的函数，它对于线性运算来说，具备像宇宙空间那样的自封闭性，即空间中的元素经线性运算后所获得的元素仍在此空间中。

据此理解，)(2R L 是函数线性空间的简单描述为：若∈g f ,)(2R L ，则)()()()(2R L t w t g t kf ∈=+ξ。

在高等数学中，通常研究单个函数；这里，函数线性空间则是把具有某种性质的函数归类研究。

此时，可把)(2R L 中的某个函数看作一个点或看作一个向量。

若把)(2R L 中的元素既看作函数又看作点，则高等数学中的极限、微分、积分概念可继续使用，例如用点列（即函数序列）逼近)(2R L 中的点（即函数），对)(2R L 中的函数求导数和计算积分。

若把)(2R L 中的元素看作向量，则线性代数中的许多概念也可在)(2R L 中继续使用，例如向量长度、向量距离、向量内积、向量线性无关、向量正交、向量子空间、基底向量、子空间正交、子空间互补等概念就有了新的内容。

)(2R L 中的内积运算定义为).(, ,d )()())(),((2R L g f t t g t f t g t f R∈∀=⎰（4.1）当)(t g 是复函数时，)(t g 表示其共轭函数；当)(t g 是实函数时，)()(t g t g =。

内积具有以下性质： (a) ),,(),(f g g f =(b) ,, ),,(),(),(2121R g f g f g f f ∈+=+βαβαβα(c) 0),(≥f f ，当且仅当0),(0==f f f 时。

满足内积定义和性质的函数线性空间称为内积空间，)(2R L 是内积空间。

)(2R L 中函数正交的概念可描述为：对)(,2R L g f ∈∀，若,0))(),((=t g t f则称)()(t g t f 和是正交的。

)(2R L 中的模表示为.d )()(212⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰t t f t f R（4.2）从向量方面理解，模可度量函数向量的长度，可度量两个函数向量的距离，如0)(t f 可表示)(0)()(22R L R L t f ∈∈和之间的距离，可表示)(t f 向量的长度；0)()(t g t f -可表示函数向量)()()()(22R L t g R L t f ∈∈和之间的距离。

从物理方面理解，模可看作一种特定形式的能量，模就是这种能量的度量标准。

根据模可用于度量向量的理解，易知模满足下述性质：（a ）0gfg f +≤+ （三角不等式）；（b ）)(220202020gf gf gf +=-++ （平行四边形对角线规则）； （c ）00),(gfg f ≤ （Schwarz 不等式，内积和向量长度规则。

）关于有限个函数向量{}n k k t 1)(=ϕ的线性相关或线性无关，仍用关系式 ∑==nk kk t 10)(ϕα)(2R L 可以是无穷维函数线性空间，)(2R L 中共有（按自然数排序）无穷个线性无关向量，{}∞=1)(k k t ϕ构成)(2R L 的基函数族，于是{},,2,1|)()(2==k t span R L k ϕ∑∞=∈∀=12).()(),()(k kk R L t f t ct f ϕ)(2R L 的基函数族{}∞=1)(k k t ϕ中的基函数若是相互正交（或标准正交）的，则称其为正交基函数族（标准正交基）。

同样，)(2R L 也有子空间、正交子空间、补空间和正交补空间等概念。

2. 用阶梯函数对信号作多尺度逼近设给定连续信号)(t f 。

实测信号都只有有限的分辨率，不可避免地存在误差。

因此，可将)(t f 近似地表示为下列阶梯函数（见图4.1）：∑-=nn n t ct f ),()(00ϕ其中整数点n 为样本点，)(0n f c n=为样本值，而基函数为： ⎩⎨⎧≤<=. ,0 1,t 0 ,1)(其它t ϕ也称为尺度函数。

图4.1 阶梯函数 图4.2 基函数现将采样间隔加倍，则其样本点数减半，这时同一信号表示为：∑-=nn n t c t f ),2()(11ϕ这里自然取),(21012021++=n n n c c c经过这一手续，信号的数据量被压缩了一半。

在这种意义下，称上述算法为二分法。

二分前后两个信号的偏差为：图4.3 信号偏差 图4.4 小波基函数)()()(101t f t f t g -=如图4.3所示。

偏差)(1t g 的形式为：,2)(11∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nn n t d t g ψ其中),(21012021+-=n n n c c d而其基函数（见图4.4）为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤<= . ,0,1t 21 1,-,21t 0 ,1)(其它t ψ)(t ψ 就是一个小波函数。

为了进行信号分析，重要的问题是提供空间)(2R L 中的一组正交基底函数；为了更有效的适应实际需要，可以利用所给的小波函数（母小波）派生出更多、更实用的小波函数，如同傅氏分析中的基波与谐波的关系那样。

为此，再来考察上述的尺度函数)(t ϕ与小波函数)(t ψ。

这时把它们看成由函数)2(t ϕ经过下列两种不同的运算手续生成的：).12()2()(),12()2()(--=-+=t t t t t t ϕϕψϕϕϕ从图4.5看出，)()(t t ψϕ与具有不同的对称性，分别记为“0”和“1”。

图4.5 尺度函数与小波函数若对所给的小波函数)(t反复施行“0”和“1”这两种对称手续，则可生成一系列小波函数，如图4.6所示。

这些小波函数组成一个函数库（也称函数族），其生成过程如图4.7所示。

图4.6 小波函数生成图4.7 小波函数库生成由上可见，小波函数是从多分辨分析中完整构造出来的，小波函数系是通过某个基本小波函数（母小波）的伸缩和平移得到的。

通过伸缩和平移生成)(2R L 中的一组正交基底：{},, ),(Z n m n t am∈--ψ这样，可将给定的信号)(t f 在这个正交基底上进行分解：().)(,∑-=-nm mm n n t adt f ψ这个分解在形式上类似于傅氏分析，{}ψ相当于正交基底{}e 。

3. 函数多尺度逼近的基本思想前面用阶梯函数逼近信号)(t f 的例子，从微积分的几何图形的角度看，图4.1实际上就是在曲线)(t f 的定义域内，曲线下方与t 轴所围成的面积，用若干个矩形面积之和来逼近。

这些矩形的宽度（t 轴的分划点之间的距离）以二分法() ,2 ,1 ,0 ,2=j j 有序地由大到小逐渐变窄、分划点加密，可以用多种尺度以任意给定的精度用矩形面积之和来逼近曲线)(t f 下方的面积。

从这个角度比较容易理解函数多尺度逼近的基本思想。

结合这个例子，从理论上概括出函数多尺度逼近的基本思想应包括以下三个方面。

第一是在0尺度下构造关于模拟信号)()(2R L t f ∈的近似函数)(t f o ，如前面图4.1和关于)(t f o 的表达式。

方法是先将时间轴),(+∞-∞∈t 采用间隔o ∆作等距离分划，节点为{}o k t ，节点编号为Z k ∈；再将基函数)(t ϕ的整节点平移)(k t -ϕ定义为关于节点k 处的基函数。

这样就构造出0尺度下的近似函数：()∑∈-=Zk ok ok t ct fϕ)(第二是在j 尺度下构造关于模拟信号)()(2R L t f ∈的近似函数)(t f j 。

所谓j 尺度分划就是对O 尺度分划的j 次细分，此时的等距间隔为j o j 2/∆∆=，节点编号仍为Z k ∈。

但应注意j 尺度下的编号为n j 2的节点正好对应着0尺度下的编号为n 的节点；此时的基函数)(,t kj ϕ是关于)(t ϕ的整数倍平移和放缩的形式),2(,k t jkj -=ϕϕ在j 尺度下，每个节点k 仍对应着一个基函数())()(,,t t k j kj ϕ。

这样便可构造出j 尺度下的近似函数().)(,∑∈=Zk k j jkjt ct fϕ (4.3)第三是要保证∞→j 时有)()(t f t f j =。

首先应该看到，在尺度指标j 和基函数{})(,t kj ϕ给定的前提下，不同的组合系数{}j k c 对应着不同的)(t f j ，这些函数可归为同一类函数，它们都是由基函数{})(,t kj ϕ表述的，都是二次可积的，这个函数类记为.)()( ),()(|)(2,⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈==∑R L t ft c t ft f Vjkj kjk jjjϕ显然，j V 是一函数线性空间，且是)(2R L 的子空间，)(2R L V j ⊂。

再变动尺度j ，因为)(t f 的近似函数)()( ,)(t f t f V t f j j j →∈所以从函数子空间角度可描述为).(21R L V V j j ⊆⊂⊂⊂+于是，{}Z j j V ∈是一个嵌套式的子空间逼近序列。

不难想象，在每个j V 中取定一个关于)(t f 的近似函数)(t f j ，由此得到的近似函数序列{}Z j j t f ∈)(是逼近)()(2R L t f ∈。

4．多尺度逼近的基本条件多尺度逼近是用基函数{})(,t kj ϕ及组合系数jkc按式（4.3）构造近似函数)()(2R L t f j ∈的，这种构造形式对)(t f j 、{}j k c 和{})(,t kj ϕ有限制要求。

就)(t f j 而言，因对所有尺度j ，要求)()(2R L V t f j j ⊂∈的能量是有限的，因此，按)(2R L 中模的定义的要求，应有DC t fD t ft f C j,)()()(202020和≤≤是正常数。