正交小波的多分辨分析的研究

第２８卷第５期　２００８年９月　大庆师范学院学报　ＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＤＡＱＩＮＧ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥ　ｒＹ　Ｖ０１．２８　Ｎｏ．５　Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ，２００８　

基于小波多分辨分析的再生核　

李莎莎　

（１．哈尔滨理工大学应用科学学院，黑龙江哈尔滨１５００８０；２．大庆师范学院数学系，黑龙江大庆１６３７１２）　

摘要：再生核Ｈｉｌｂｅｒｔ空间是连续小波变换的基础，在小波多分辨分析理论的基础上，再生核理论和小波分析理论　有着很深的联系，针对小波变换不同尺度下的尺度空间，存在一系列再生核，这些再生核具有一定的联系，特别是　强一层空间的尺度核和弱一层空间的尺度核之间有相应的内积关系，同时不同小波空间的再生小波核也具有类似　于尺度核的相关性。　关键词：再生核；多分辩分析；尺度空间　作者简介：李莎莎（１９８２一），女，黑龙江大庆人，大庆师范学院数学系教师，从事数值逼近论理论及应用与小波分析　理论研究。　中图分类号：０２９文献标识码：Ａ文章编号：１００６—２１６５（２００８）０５—００５２—０４收稿日期：２００７—１２—２８　

１　小波分析　

小波分析的发展历史最早可追溯到１９１０年Ｈａａｒ提出的小波规范正交基，不过当时还没有“小波”这　个概念。１９８４年，Ｍｏｒｌｅｔ在分析地震波的局部性时，发现传统的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换不具有时一频局部性，很难达　

到实际需要，因此它首先提出了小波分析（Ｗａｖｅｌｅｔ　Ａｎａｌｙｓｉｓ）这一概念，并把它用于信号分解中。随后，　

Ｇｒｏｓｓｍａｎ对Ｍｏｒｌｅｔ的方法进行了研究　。　真正的小波热开始于１９８５年。当时Ｍｅｙｅｒ创造性地构造出了一个具有一定衰减性的光滑函数　

（　），其二进制伸缩和平移生成的函数系｛　（　）：＝　（　—ｋ）　，ｋ∈Ｚ｝构成了　（　）＝　Ｌ　。　Ｊ　

ｒ　１　｛．厂（　）可测；ｆ　Ｉ．厂（　）Ｉ　ｄｘ＜ｏ。｝的规范正交基，后来被称为Ｍｅｙｅｒ基，这对小波分析的发展起到了非常　Ｌ　Ｊ　

武汉工业学院论文

- - 1 小波分析理论及其应用

胡安兴

（武汉工业学院 土木工程与建筑学院，交通091,学号090606119）

摘要：小波分析的理论与方法是从Fourier分析的思想方法演变而来的。就象Fourier分析分为积分Fourier变换和Fourier级数一样，小波分析也分为(积分)小波变换和小波级数两部分，(积分)小波变换的主体是连续小波变换，多尺度小波变换和s－进小波变换；而小波级数的主体部分是关于小波框架的理论。小波分析理论深刻，应用广泛，并且仍在迅速发展之中。本文介绍了小波变换的来源及其发展，以及多分辨率分析的问题，小波分析在图像处理中有非常重要的应用。

关键词：小波分析；多分辨率；图像去噪

The wavelet analysis theory and its applications

HU An-xing

(Wuhan institute of industrial, civil engineering and architecture institute, traffic civil 091

Student number: 090606119)

Abstract: Wavelet analysis theory and method has evolved from the thinking method of

Fourier analysis. As Fourier transform and Fourier series is divided into integral Fourier analysis,

wavelet analysis is divided into (integral) two parts, the wavelet transform and wavelet series

(integral) the body of the wavelet transform is a continuous wavelet transform and multi-scale

２０１１年２月　第３０卷第２期　绵阳师范学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ　Ｍｉａｎｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉ　Ｆｅｂ．２０１１　Ｖ０１．３０　Ｎｏ．２　

一类三元多重向量值双正交小波包的研究　

周　强，孟广德，石明奎，李玉龙　

（兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州７３００７０）　

摘要：引进多重向量值多分辨分析，给出了三元多重向量值双正交小波包的定义及其构造方法。运用矩阵　理论和算子理论，讨论了这种三元多重向量值双正交小波包的性质。　关键词：双正交性；加细方程；向量值多分辨分析；向量值小波包　中图分类号：ＴＮ９１１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２－６１２ｘ（２０１１）０２－００２０－０６　

近年来，多通道通信技术得到了快速的发展，但是由于许多处理信息的工具还是针对普通单通道信号　的，所以多通道通信技术还没有真正发挥它的优势。大家知道数字电影其实就是一个向量函数。一个向　量函数可以看作是一个多通道信号，数量值函数当然就是一个单通道信号。这样，就很自然的把向量值函　数的小波分析和多通道信号处理联系起来了。所以，对向量值小波的研究就显得非常重要。文献［１］引进　了向量值小波的概念，探索了一元向量值正交小波的存在性和构造方法；文献［２—４］进而给出了一元向　量值双正交小波的存在性和滤波器方法，以及一元多重向量值双正交小波的构造；文献［５］研究了二元向　量值正交小波的存在性和构造方法；文献［６］进一步探索了二元向量值双正交小波包的性质。本文借鉴文　文献［４，６］的方法构造了三元多重向量值双正交小波包，并给出了的三元多重向量值双正交小波包性质。　

１　预备知识　

首先介绍下文用到的记号。用ｚ和ｚ＋分别记为整数集和非负整数集，Ｚ　＝｛（ｚ。，Ｚ２，　，）：ｚ＾∈ｚ，Ａ＝ｌ、　２、３｝，　＝｛（　，Ｚ２，Ｚ３）：ｚ　∈Ｚ＋，Ａ＝１、２、３｝，Ｒ　表示了三维欧几里得空间，对于Ｖ　，Ｙ∈Ｒ。，记ＭＸ＝｛Ｍｘ：　∈Ｘ｝，　＋Ｙ＝｛　＋Ｙ：　∈Ｘ，Ｙ∈Ｙ｝。，｜，０　分别表示Ｓ阶单位阵和零矩阵。　定义１［’　定义Ｌ　（Ｒ　，Ｃ　）表示每个属于Ｌ２（Ｒ　）的所有向量函数Ｇ（ｔ）的集合，即：￡　（　。，Ｃ　）：＝｛Ｇ（ｔ）：　

基于MATLAB的变压器故障信号处理

摘要：介绍小波分析的基本理论，运用小波的多分辨率分析对变压器故障信号进行分析，然后利用小波消噪原理分别用软阈值消噪和硬阈值消噪对信号进行处理，最后结合小波模极大值原理对信号的进行奇异性检测，找到故障发生的位置。

关键词：多分辨率分析 软阈值消噪 硬阈值消噪 模极大值 奇异性分析

一 小波分析的基本理论

小波分析（Wavelet Analysis）或多分辨分析（Multiresolution Analysis）是傅里叶分析仪发展史上里程碑式的进展，也是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶。其基础理论知识涉及到泛函分析、数值分析、统计分析，涉及到电子工程、电气工程、通信工程和计算机工程等，其同时具有理论深刻和工程应用十分广泛的双重意义。

小波（wavelet），即小区域的波，是一种特殊的长度有限（紧支集）或快速衰减，且均值为0的波形。

1.小波函数

小波函数的确切定义为：设()t为一平方可积函数，即2()()tLR，若其傅里叶变换()满足条件：

()RCd∞ （1-3）

则称()t为一个基本小波或小波母函数。称式（1-3）为小波函数的可容许条件。把小波和构成傅里叶分析基础的正弦波做一个对比，傅里叶分析所用的正弦波在实践上没有限制，从负无穷到正无穷，但小波倾向于不规则和不对称。傅里叶分析是将信号分解成一系列的不同频率的正弦波德叠加，同样小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些函数都是有一个母函数经过平移与尺度伸缩得来的。信号局部的特性用小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比光滑的正弦曲线要好。

将小波母函数()t进行伸缩和平移，就可以得到函数,()at：

,1t()aaat（） aRa>0，； （1-4）