2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习第二章 函数、导数及其应用 章末高频考点

章末高频考点高频考点1 函数的定义域与值域1．(2013·湖北荆门期末)函数f (x )＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( )A ．(－∞，－4]∪(2，＋∞)B ．(－4，0)∪(0，1)C ．[－4，0)∪(0，1]D ．[－4，0)∪(0，1)D [要使函数f (x )有意义，必须且只需⎩⎨⎧x ≠0，x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，解得－4≤x <0或0<x <1.故选D.]2．(2013·南昌二中月考)若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则a 等于( )A.13B. 2C.22D ．2D [本题主要考查定义域与值域相同的函数问题，难度中等．f (x )＝log a (x ＋1)的定义域是[0，1]， ∴0≤x ≤1，则1≤x ＋1≤2.当a >1时，0＝log a 1≤log a (x ＋1)≤log a 2＝1，∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2≤log a (x ＋1)≤log a 1＝0，与值域是[0，1]矛盾．综上，a ＝2.]3．(2013·山东青岛调研)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域是________．解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案 [－1，2] 高频考点2 分段函数4．(2013·江西师大附中、鹰潭一中联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x <1f （x －1），x ≥1，则f (log 27)＝( )A.716B.78C.74D.725．(2013·济南名校四诊)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2，6)B ．(－1，4)C ．(1，4)D ．(－3，5)B [本题以分段函数为载体，考查了函数的单调性以及不等式等知识，考查了数形结合的思想．解题时首先作函数f (x )的图象，根据图象得到函数的单调性，进而得到不等式的解集．作出函数f (x )的图象，如图所示， 则函数f (x )在R 上是单调递减的． 由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0， 即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4. 所以不等式的解集为(－1，4)．] 高频考点3 函数的图象6．(2013·泉州五中质检)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1xD [由函数的图象知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C ；对于函数y ＝ln 1×1x ， 当x >0时，y ＝ln xx ，∴y ′＝1－ln x x 2，∴当x >e 时y ′<0，是减函数，排除A ，故选D.]7．(2013·潍坊二模)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值，则在直角坐标系中，函数g (x )＝(1a )|x ＋1|的大致图象为( )B [本题主要考查基本不等式、指数函数的图象、函数的性质等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥6－5＝1，当且仅当x ＋1＝3，即x ＝2时取等号．此时g (x )＝(1a )|x ＋1|＝(12)|x ＋1|，该函数图象由偶函数y ＝(12)|x |的图象向左平移一个单位得到，故选B.]8．(2013·福建质检)函数f (x )＝log 12cos x (－π2<x <π2)的图象大致是( )9．(2013·石家庄二中月考)若函数y ＝f (x )的图象过点(1，1)，则函数f (4－x )的图象一定经过点________．解析 本题主要考查函数图象变换之间的关系．由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位得到，点(1，1)关于y 轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位可推出函数 y ＝f (4－x )的图象过定点(3，1)． 答案 (3，1)10．(2013·临川一中二模)对a ，b ∈R ，记min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a <b b ，a ≥b ，函数f (x )＝min{12x ，－|x －1|＋2}(x ∈R )的最大值为________．解析 y ＝f (x )是y ＝12x 与y ＝－|x －1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1. 答案 1高频考点4 函数的性质11．(2013·哈尔滨三中月考)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x＝13对称，则f(－23)＝()A．0 B．1C．－1 D．2A[本题主要考查函数基本性质中的奇偶性，对称性，属于基础题，难度较小．由f(x)是奇函数可知，f(0)＝0，f(－23)＝－f(23)．又y＝f(x)的图象关于x＝13对称，所以f(0)＝f(23)，因此f(－23)＝0.故选A.]12．(2013·太原五中质检)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的表达式为() A．－x＋1 B．－x－1C．x＋1 D．x－1B[本题主要考查函数的奇偶性，考查考生的运算能力和逻辑推理能力．∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，设x<0，则－x>0，故f(x)＝－f(－x)＝－(x＋1)＝－x－1，选B.]13．(2013·沙市中学月考)函数log13(x2－4x＋3)的单调递增区间为() A．(3，＋∞) B．(－∞，1)C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(0，＋∞)B[令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝log13u与u＝x2－4x＋3的复合函数．令u＝x2－4x＋3>0，则x<1或x>3.∴函数y＝log13(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数，而函数y＝log13u在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．]14．(2013·重庆巴蜀中学月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x （x >1）（4－a2）x ＋2（x ≤1）是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4，8)C ．(4，8)D ．(1，8)B [本题主要考查分段函数及函数的单调性．解决本题的关键是对函数单调性的理解．函数f (x )＝a x (x >1)要单调递增必须a >1，而f (x )＝(4－a2)x ＋2(x ≤1)要单调递增必须4－a 2>0，即a <8，要使函数f (x )在R 上单调递增，必有a ≥6－a2，即a ≥4，故实数a 的取值范围是[4，8)．]15．(2013·海南中学月考)定义两种运算：a ⊕b ＝log 2(a 2－b 2)，a ⊗b ＝（a －b ）2，则函数f (x )＝2⊕x（x ⊗2）－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇且非偶函数A [本题主要考查新定义，意在考查考生的逻辑推理能力．∵函数f (x )＝2⊕x （x ⊗2）－2＝log 2（22－x 2）（x －2）2－2＝log 2（4－x 2）2－x －2＝log 2（4－x 2）－x(－2<x <2)，∴f (－x )＝－f (x )，函数f (x )为奇函数．]16．(2013·广元适应性统考)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数D [本题主要考查奇函数的定义与性质，意在考查考生的推理论证能力．由f(x＋1)是奇函数得，f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＝－f(x＋2)①；由f(x－1)是奇函数得，f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)②.由①②得f(x＋2)＝f(x－2)，于是有f(x＋3)＝f(x－1)，又f(x－1)是奇函数，所以函数f(x＋3)是奇函数，选D.]17．(2013·江西师中附中、鹰潭一中联考)下列函数中既是偶函数，又是区间(－1，0)上的减函数的是() A．y＝cos x B．y＝－|x－1|C．y＝ln 2－x2＋xD．y＝e x＋e－xD[本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断方法．对于选项A：函数y＝cos x是偶函数，但在区间(－1，0)上是增函数，所以A不符合条件；对于选项B：函数y＝－|x－1|，有f(－x)＝－|x＋1|≠f(x)，所以B不符合条件；对于选项C：函数y＝ln 2－x2＋x ，有f(－x)＝ln2＋x2－x＝－f(x)，所以C不符合条件；对于选项D：函数y＝e x＋e－x，有f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，而在区间(－1，0)上y′＝e x－e－x<0，即y＝e x＋e－x是区间(－1，0)上的减函数．故选D.] 18．(2013·湛江一测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，若f(－1)＝2，则f(2 013)等于() A．2 012 B．2C．2 013 D．－2D[本题主要考查函数的奇偶性、周期性等知识，考查函数与方程的数学思想方法，以及推理推证能力、运算求解能力．∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4.∴f(2 013)＝f(1)，又f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－2，即f(2 013)＝－2.]19．(2013·江西教学质量监测)已知x 13－(log130.5)x<(－y)13－(log130.5)－y，则实数x，y的关系是( )A ．x －y >0B ．x －y <0C ．x ＋y >0D ．x ＋y <0D [本题主要考查函数的单调性． 设f (x )＝x 13－(log 130.5)x ，log 131<log 130.5<log 1313＝1，即0<log 130.5<1.又f ′(x )＝13x－(log 130.5)x ln(log 130.5)>0，所以函数f (x )是(－∞，＋∞)上的单调递增函数，故由不等式f (x )<f (－y )得x <－y ，即x ＋y <0，选D.] 高频考点5 简单的指数、对数不等式20．(2013·河南鹤壁一模)若正整数m 满足10m －1<2512<10m ，则m ＝________．(lg 2≈0.301 0) 解析 不等式10m －1<2512<10m同时取以10为底的对数，则⎩⎨⎧m －1<512lg 2，m >512lg 2，∴154.112<m <155.112，∴m ＝155. 答案 15521．(2013·深圳中学月考)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )<－1的解集是________． 解析 当x <0时，－x >0， ∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )，∴f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >00，x ＝0－log 2（－x ），x <0由f (x )<－1，得⎩⎨⎧x >0log 2x <－1或⎩⎨⎧x ＝00<－1或⎩⎨⎧x <0－log 2（－x ）<－1，解得0<x <12或x <－2. 答案 {x |0<x <12或x <－2}22．(2013·成都七中二诊)已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称，记g (x )＝f (x )[f (x )＋f (2)－1]．若y ＝g (x )在区间[12，2]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析 本题主要考查指数、对数函数的图象及复合函数的单调性，难度较大． 由已知可得y ＝f (x )＝log a x ，∴g (x )＝log a x ·(log a x ＋log a 2－1)＝(log a x )2＋log a 2a ·log a x .当a >1时，y ＝log a x 在[12，2]上是增函数，且log a x ∈[log a 12，log a 2]， 若g (x ) 在[12，2]上是增函数， 则必有log a 12≥－12log a 2a ， 解得a ≤12(舍去)；当0<a <1时，y ＝log a x 在[12，2]上是减函数，且log a x ∈[log a 2，log a 12]， 若g (x )在[12，2]上是增函数，则必有log a 12≤－12log a 2a ，解得0<a ≤12. 答案 [0，12] 高频考点6 函数的零点23．(2013·湖南长郡中学、衡阳八中等十二校二联)若{x }＝x －[x ]([x ]表示不超过x 的最大整数)，则方程12 013－2 012x ＝{x }的实数解的个数是( )A ．1B ．0C ．2D ．4C [本题以新定义为载体，考查函数的性质和方程的根，结合数形结合思想和转化思想考查方程的根的个数，关键是方程的转化．由已知可得，原方程可转化为12 013＋[x ]＝2 013x ，可构造两个函数：y ＝12013＋[x ]，y ＝2 013x ，可知两函数的图象有两个交点，故选C.]24．(3013·广州一测)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A ．f (a )<f (1)<f (b )B ．f (a )<f (b )<f (1)C ．f (1)<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (1)<f (a )A [本题主要考查函数与方程、导数的应用等知识，考查函数与方程、数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力．由e x ＋x －2＝0得e x ＝2－x ，令y 1＝e x ，y 3＝2－x .由ln x ＋x －2＝0得ln x ＝2－x ，令y 2＝ln x ．在同一坐标系下画出y 1，y 2，y 3的图象，可得a <1<b . 又f ′(x )＝e x ＋1>0，∴f (x )单调递增，∴f (a )<f (1)<f (b )．]25．(2013·安庆二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x >0－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 在坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x >0－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图所示，发现当0<m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有3个交点，即函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点． 答案 (0，1)高频考点7 导数的几何意义26．(2013·安庆二模)曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为( )A ．(1，0)或(－1，－4)B ．(0，1)C ．(1，0)D ．(－1，－4)A [本题主要考查导数的几何意义及导数的基本公式．令f ′(x )＝3x 2＋1＝4，解得x ＝±1 ，由此可得切点P 0的横坐标为±1，则点P 0的坐标为(1，0)或(－1，－4)，故选A.]27．(2013·深圳中学实战考试)函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是( )A.π4B.π6C.5π6D.3π4D [本题主要考查导数的运算及其几何意义的应用，难度较小．由于y ′＝x 2－2x ，当0<x <2时，－1≤y ′<0，据导数的几何意义得 －1≤tan α<0，当tan α＝－1时，α取得最小值，即αmin ＝3π4.]28．(2013·哈尔滨三中联考)设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．5B [∵函数f (x )是R 上以5为周期的函数，∴曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线与在x ＝0处的切线相同， 又函数f (x )是偶函数，其函数图象关于y 轴对称， ∴x ＝0是函数f (x )的一个极值点，即f ′(0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0及x ＝5处的切线的斜率均为0，故选B.] 29．(2013·安庆一中4月监测)经过原点且与曲线y ＝x ＋9x ＋5相切的方程是 ( )A ．x ＋y ＝0或x25＋y ＝0 B ．x －y ＝0或x25＋y ＝0 C ．x ＋y ＝0或x25－y ＝0 D ．x －y ＝0或x25－y ＝0A [本题主要考查分式函数的曲线的切线方程的求解．设切点(x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y 0x 0，另一方面，y ′＝(x ＋9x ＋5)′＝－4（x ＋5）2，故y ′(x 0)＝k ，即－4（x 0＋5）2＝y 0x 0＝x 0＋9x 0（x 0＋5）⇒x 20＋18x 0＋45＝0，得x 0(1)＝－3，x 0(2)＝－15，对应有y 0(1)＝3，y 0(2)＝－15＋9－15＋5＝35，因此得两个切点A (－3，3)或B (－15，35)，从而得y ′A ＝－1，y ′B ＝－125.由于切线过原点，故得切线l A ：y ＝－x 或l B ：y ＝－x25.] 30．(2013·昆明一中月考)若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214 C ．－74或－2564D ．－74或7A [设过点(1，0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1，0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32. 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564； 当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.] 31．(2013·广州二测)已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )A [本题主要考查导数在函数中的应用等知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力．如图，y ＝f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，i∴当x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )>0， 当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0， 当x ∈(x 2，0)时，f ′(x )>0，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0.从而选A.] 高频考点8 导数的应用32．(文)(2013·山东胶东示范二模)已知函数f (x )＝12ax 2＋ln x ，其中a ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0，1]上的最大值是－1，求a 的值．解析 本题考查导数与函数的极值、单调性、最值等知识，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查函数与方程、分类整合等数学思想方法． (1)f ′(x )＝ax 2＋1x ，x ∈(0，＋∞)． 当a ≥0时，f ′(x )>0，从而函数f (x ) 在(0，＋∞)上单调递增． 当a <0时，令f ′(x )＝0， 解得x ＝－1a 或x ＝－－1a (舍去)．此时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：∴f (x )的单调增区间是(0，－1a )，单调减区间是(－1a ，＋∞)．(2)①当a≥0时，由(1)得函数f(x)在(0，1]上的最大值为f(1)＝a 2.令a2＝－1，得a＝－2，这与a≥0矛盾，不合题意．②当－1≤a<0时，－1a≥1，由(1)得函数f(x)在(0，1]上的最大值为f(1)＝a 2.令a2＝－1，得a＝－2，这与－1≤a<0矛盾，不合题意．③当a<－1时，0< －1a<1，由(1)得函数f(x)在(0，1]上的最大值为f( －1 a)．令f( －1a)＝－1，解得a＝－e，符合a<－1.综上，当f(x)在(0，1]上的最大值是－1时，a＝－e.32．(理)(2013·山东胶东示范校二模)已知函数f(x)＝x－12ax2－ln(1＋x)，其中a∈R.(1)若x＝2是f(x)的极值点，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)在[0，＋∞)上的最大值是0，求a的取值范围．解析本题考查导数与函数的极值、单调性、最值等知识，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查函数与方程、分类整合等数学思想方法．(1)根据可导函数在一定点处取得极值的必要条件是其导数等于零，得出关于a 的方程即可求出a，再根据极点值两则导数值异号进行检验；(2)讨论导数的符号，就参数a的取值情况进行分类讨论即可；(3)根据函数的单调性和极值点，以及函数最大值的概念分情况解决．(1)f′(x)＝x（1－a－ax）x＋1，x∈(－1，＋∞)．依题意，得f′(2)＝0，解得a＝1 3.经检验，a＝13时，符合题意．(2)①当a ＝0时，f ′(x )＝xx ＋1，x ∈(－1，＋∞)． 故f (x )的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1，0)． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1a －1. 当0<a <1时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：∴f (x )的单调增区间是(0，1a －1)，单调减区间是(－1，0)和(1a －1，＋∞)． 当a ＝1时，f (x )的单调减区间是(－1，＋∞)． 当a >1时，－1<x 2<0，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：∴f (x )的单调增区间是(1a －1，0)，单调减区间是(－1，1a －1)和(0，＋∞)． ③当a <0时，f (x )的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1，0)． 综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1，0)； 当0<a <1时，f (x )的单调增区间是(0，1a －1)，单调减区间是(－1，0)和 (1a－1，＋∞)； 当a ＝1时，f (x )的单调减区间是(－1，＋∞)；当a >1时，f (x )的单调增区间是(1a －1，0)，单调减区间是(－1，1a －1)和 (0，＋∞)．(3)由(2)知a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 由f (0)＝0知不合题意．当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)的最大值是f (1a －1)，由1a －1>0，f (x )在区间(0，1a －1)上递增可知，f (1a －1)>f (0)＝0知不合题意． 当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)单调递减，可得f (x )在[0，＋∞)上的最大值是f (0)＝0符合题意．∴f (x )在[0，＋∞)上的最大值是0时，a 的取值范围是[1，＋∞)． (理)高频考点9 定积分33．(2013·长春外国语学校月考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]1x ，x ∈（1，e ）(其中e 为自然对数的底数)，则∫e0f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65D.76A [本题主要考查分段函数定积分的求解．∫e 0f (x )d x ＝∫10f (x )d x ＋∫e1f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫e 11x d x＝13＋ln e ＝43， 故选A.]34．(2013·济南一中四校联考)从如图所示的圆O ：x 2＋y 2＝2内任取一点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．解析 本题是用概率“包装”的定积分题，既为概率输送了新鲜的血液，又为定积分找到了坚实的着陆点．所求的概率模型为几何概型，利用定积分求出阴影部分的面积，再求出圆的面积，阴影部分面积除以圆的面积即为所求的概率．在求不规则平面图形的面积时，常用定积分来求解． 由题意可得圆的面积为S 圆 ＝2π.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝2，y ＝x 2，得交点坐标为(－1，1)，(1，1)， 所以阴影部分的面积为S 阴影＝2[π4＋∫10(x －x 2)d x]＝π2＋13，所以点M 取自阴影部分的概率为P ＝S 阴影S 圆＝π2＋132π＝3π＋212π. 答案 3π＋212π。