2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第三章 三角函数、解三角形 第六节
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课时作业
一、选择题
1．(2014·山西诊断)已知sinπ2＋θ＝35，则cos(π－2θ)＝
( )
A.1225 B．－1225
C．－725 D.725
D [依题意得sin(θ＋π2)＝cos θ＝35，
cos(π－2θ)＝－cos 2θ＝1－2cos2θ
＝1－2×(35)2＝725，故选D.]
2.sin（180°＋2α）1＋cos 2α·cos2αcos（90°＋α）等于
( )
A．－sin α B．－cos α
C．sin α D．cos α
D [原式＝（－sin 2α）·cos2α（1＋cos 2α）·（－sin α）
＝2sin α·cos α·cos2α2cos2α·sin α＝cos α.]
3．(2014·深圳调研)已知直线l: xtan α－y－3tan β＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝
( )
A．－73 B.73
C.57 D．1
D [依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，
即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.] 4．(2014·北京东城一模)已知α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，那么sin α＋cos α的值为
( )
A．－15 B.75
C．－75 D.34
A [由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝17.得tan α＝－34.
又α∈(π2，π)，解得sin α＝35，cos α＝－45，
所以sin α＋cos α＝－15.]
5．(2014·北京朝阳模拟)已知函数f(x)＝sin x＋3cos x，设a＝fπ7，b＝fπ6，
c＝fπ3，则a，b，c的大小关系是
( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
B [f(x)＝sin x＋3cos x＝2sinx＋π3，
因为函数f(x)在0，π6上单调递增，
所以fπ7＜fπ6，而c＝fπ3＝2sin 2π3＝2sin π3
＝f(0)＜fπ7，所以c＜a＜b.]
6．定义运算a bc d＝ad－bc.若cos α＝17，sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于
( )
A.π12 B.π6 C.π4 D.π3
D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，
又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，
故cos(α－β)＝1－sin2（α－β）＝1314，
而cos α＝17，∴sin α＝437，
于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝437×1314－17×3314＝32.
故β＝π3.]
二、填空题
7．若tanπ4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________．
解析 ∵tanπ4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3，∴tan θ＝－12.
∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos2θ－sin2θsin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ
＝1－tan2θtan2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3.
答案 3
8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________．
解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，
可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝3.
又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.
答案 π3 9．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________．
解析 cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2（sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°）2sin240°
＝2sin 40°2sin 40°＝2.
答案 2
三、解答题
10．(2014·合肥一模)函数f(x)＝sin ωx·cos
ωx＋cos2ωx－12存在相邻的两个零点分别为a和π2＋a(ω＞0，0＜a＜π2)．
(1)求ω和a;
(2)若fx2－π40＝－23，x∈(0，π)，求sin3π10－x的值．
解析 (1)f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－12
＝12sin 2ωx＋cos 2ωx＋12－12
＝2222sin 2ωx＋22cos 2ωx
＝22sin2ωx＋π4.
∵a和a＋π2是f(x)相邻的两个零点，
∴f(x)的最小正周期为π，
∴T＝2π|2ω|，又ω＞0，∴ω＝1.
∴f(a)＝22sin2a＋π4＝0，2a＋π4＝kπ，
∴a＝－π8＋kπ2，k∈R.
又0＜a＜π2，∴a＝3π8. (2)由fx2－π40＝－23，
∴sinx＋π5＝－23，
又x∈(0，π)，∴x＋π5∈π5，6π5，
∴cosx＋π5＝－53，
∴sin3π10－x＝cosx＋π5＝－53.
11．已知0<α<π2<β<π，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.
(1)求sin α的值；
(2)求β的值．
解析 (1)∵tanα2＝12，
∴tan α＝2tanα21－tan2α2＝2×121－122＝43，
由sin
αcos α＝43，sin2α＋cos2α＝1，
解得sin α＝45sin α＝－45舍去.
(2)由(1)知cos α＝1－sin2α＝ 1－452＝35，
又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，
而cos(β－α)＝210，
∴sin(β－α)＝1－cos2（β－α）＝ 1－2102＝7210，
于是sin β＝sin[α＋(β－α)]
＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22.
又β∈π2，π，∴β＝3π4.
12．已知函数f(x)＝cos2ωx－3sin ωx·cos ωx(ω＞0)的最小正周期是π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心；
(2)若A为锐角三角形ABC的内角，求f(A)的取值范围.
解析 (1)依题意，得f(x)＝1＋cos 2ωx2－32sin 2ωx
＝cos2ωx＋π3＋12，
∵T＝2π2ω＝π，
∴ω＝1.
∴f(x)＝cos2x＋π3＋12，
由－π＋2kπ≤2x＋π3≤2kπ，k∈Z，得
－2π3＋kπ≤x≤－π6＋kπ，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为
－2π3＋kπ，－π6＋kπ，k∈Z.
令2x＋π3＝π2＋kπ，
∴x＝π12＋kπ2，k∈Z.
∴对称中心为π12＋kπ2，12，k∈Z.
(2)依题意，得0＜A＜π2，
∴π3＜2A＋π3＜4π3，
∴－1≤cos2A＋π3＜12， ∴－12≤cos2A＋π3＋12＜1，
∴f(A)的取值范围为－12，1.
