2021版高考数学一轮复习第12章复数、算法、推理与证明第1节数系的扩充与复数的引入课件文新人教A版

第十二章算法初步、复数、推理与证明第1讲算法初步基础知识整合1．算法的框图及结构(1)算法(2)程序框图的图形．通常，程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一(3)三种基本逻辑结构离不开的11基本结构程序框图步骤n错误!(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能语句一般格式功能输入语句14INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句15PRINT“提示内容”；表达式输出信息赋值语句16变量＝表达式17将表达式所代表的值赋给变量①IF－THEN格式②IF－THEN－ELSE格式(3)循环语句的格式及框图①UNTI L语句DO循环体LOOP UNTIL条件②WHILE语句WHILE 条件循环体WEND1．注意区分处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．2．循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．3．注意区分当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”，而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．1．(2019·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析k＝1，s＝1；第一次循环：s＝2，判断k<3，k＝2；第二次循环：s＝2，判断k<3，k＝3；第三次循环：s＝2，判断k＝3，故输出2.故选B.2．下列程序段执行后，变量a，b的值分别为( )a＝15b＝20a＝a＋bb＝a－ba＝a－bPRINT a，bA．20,15 B．35,35C．5,5 D．－5，－5答案 A解析a＝15，b＝20，把a＋b赋给a，因此得出a＝35，再把a－b赋给b，即b＝35－20＝15.再把a－b赋给a，此时a＝35－15＝20，因此最后输出的a，b的值分别为20,15.故选A.3．(2019·武昌调研)执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2,2,5时，输出的S 为17，那么在判断框中可以填入( )A ．k >nB ．k <nC ．k ≥nD ．k ≤n 答案 A解析 第一次输入a ＝2，此时S ＝0×2＋2＝2，k ＝0＋1＝1，不满足k ＝1>n ＝2；第二次输入a ＝2，此时S ＝2×2＋2＝6，k ＝1＋1＝2，不满足k ＝2>n ＝2；第三次输入a ＝5，此时S ＝6×2＋5＝17，k ＝2＋1＝3，满足k ＝3>n ＝2，循环终止，输出的S ＝17.故选A.4．(2019·湖南郴州模拟)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为12时，k 是( )A ．5B ．3C ．4D ．2答案 A解析 模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5，大于4，可得S ＝sin 5π6＝12，输出S 的值为12.故选A.5．(2020·锦州摸底)若如图所示的程序框图输出的S 是30，则在判断框中M 表示的“条件”应该是( )A ．n ≥3B ．n ≥4C ．n ≥5D ．n ≥6 答案 B解析 第一次循环，n ＝1，S ＝2；第二次循环，n ＝2，S ＝6；第三次循环，n ＝3，S ＝14；第四次循环，n ＝4，S ＝30，故选B.6．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为1，则输出n 的值为________．答案 3解析第一次：x＝1，x2－4x＋3＝0≤0.第二次：x＝2，n＝1，x2－4x＋3＝－1≤0.第三次：x＝3，n＝2，x2－4x＋3＝0≤0.第四次：x＝4，n＝3，x2－4x＋3＝3>0，输出n，程序结束．核心考向突破考向一算法的基本结构例 1 (2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s 的值等于( )A ．2－124B ．2－125C ．2－126D ．2－127答案 C 解析＝0.01，x ＝1，s ＝0，s ＝0＋1＝1，x ＝12，x <不成立； s ＝1＋12，x ＝14，x <不成立； s ＝1＋12＋14，x ＝18，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18，x ＝116，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116，x ＝132，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132，x ＝164，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132＋164，x ＝1128，x <成立，此时输出s＝2－126.故选C.利用循环结构表示算法应注意的问题(1)注意是利用当型循环结构，还是直到型循环结构．(2)注意准确选择表示累计的变量．(3)注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．[即时训练] 1.(2019·天津高考)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为( )A．5B．8C．24D．29答案 B解析i＝1，S＝0，i不是偶数；第一次循环：S＝1，i＝2<4；第二次循环：i是偶数，j＝1，S＝5，i＝3<4；第三次循环：i不是偶数，S＝8，i＝4，满足i≥4，输出S，结果为8.故选B.2．(2020·濮阳模拟)执行如图所示的程序框图(其中b＝c mod 10表示b等于c除以10的余数)，则输出的b为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 D解析a＝2，b＝8，n＝1；c＝16，a＝8，b＝6，n＝2；c＝48，a＝6，b＝8，n＝3；c ＝48，a＝8，b＝8，n＝4；c＝64，a＝8，b＝4，n＝5；c＝32，a＝4，b＝2，n＝6；c＝8，a＝2，b＝8，n＝7，…，易知该程序框图中a，b的值以6为周期重复出现．又因为2019＝6×336＋3，所以当n＝2019时，b＝8.故选D.精准设计考向，多角度探究突破考向二算法的交汇性问题角度1算法与函数的交汇例2 (2019·潍坊模拟)执行右边的程序框图，如果输出的y值为1，则输入的x值为( )A ．0B ．eC ．0或eD ．0或1 答案 C解析 程序对应的函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，2－ln x ，x >0.若x ≤0，由y ＝1，得e x＝1，得x ＝0，满足条件；若x ＞0，由y ＝2－ln x ＝1，得ln x ＝1，即x ＝e ，满足条件．综上，输入的x 值为0或e ，故选C.角度2 算法与数列的交汇例3 (2020·西宁模拟)执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出的S 的值是( )A.910B.1011C.1112D.922答案 B解析 模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S ＝11×2＋12×3＋…＋110×11的值， 可得S ＝11×2＋12×3＋…＋110×11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1－111＝1011.故选B.角度3 算法与统计的交汇例4 (2019·九江联考)图1是随机抽取的15户居民月均用水量(单位：吨)的茎叶图，月均用水量依次记为A 1，A 2，…，A 15，图2是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图，则输出的n 的值为________．答案7解析由程序框图，知算法的功能是计算15户居民中月均用水量大于2.1的户数，由茎叶图得，在这15户居民中，月均用水量大于2.1的户数为7，故输出的n的值为7.解决算法的交汇性问题的方法循环结构的程序框图与数列、不等式、统计等知识综合是高考命题的一个热点，解决此类问题时应把握三点：一是初始值，即计数变量与累加变量的初始值；二是两个语句，即循环结构中关于计数变量与累加变量的赋值语句；三是一个条件，即循环结束的条件，注意条件与流程线的对应关系．[即时训练] 3.(2020·宁夏银川模拟)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于( )A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4,5]D ．[－3,6]答案 D解析 当0≤t ≤2时，S ＝t －3∈[－3，－1]．当－2≤t ＜0时,2t 2＋1∈(1,9]，则S ∈(－2,6]．综上，当－2≤t ≤2时，S ∈[－3,6]，故选D.4．(2019·湖南长沙模拟)如图，给出的是计算1＋14＋17＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内的(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A ．i >100，n ＝n ＋1B ．i <34，n ＝n ＋3C ．i >34，n ＝n ＋3D ．i ≥34，n ＝n ＋3答案 C解析 算法的功能是计算1＋14＋17＋…＋1100的值，易知1,4,7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中的(2)处应为n ＝n ＋3，令1＋(i －1)×3＝100，解得i ＝34，所以终止程序运行的i 值为35，所以判断框内的(1)处应为i >34，故选C.5．在2018～2019赛季NBA 季后赛中，当一个球队进行完7场比赛被淘汰后，某个篮球爱好者对该队的7场比赛得分情况进行统计，如下表：为了对这个队的情况进行分析，此人设计计算σ的算法流程图如图所示(其中x 是这7场比赛的平均得分)，求输出的σ的值．解 由题意，知x －＝17×(100＋104＋98＋105＋97＋96＋100)＝100，由算法流程图可知s ＝(100－100)2＋(104－100)2＋(98－100)2＋(105－100)2＋(97－100)2＋(96－100)2＋(100－100)2＝70.故σ＝s7＝10. 考向三 基本算法语句例5 (1)(2019·福州质检)下列程序语句的算法功能是( )INPUT a，b，cIF a<b THENa＝bEND IFIF a<c THENa＝cEND IFPRINT aENDA．输出a，b，c三个数中的最大数B．输出a，b，c三个数中的最小数C．将a，b，c从小到大排列D．将a，b，c从大到小排列答案 A解析由程序语句可知，当比较a，b的大小后，选择较大的数赋给a；当比较a，c的大小后，选择较大的数赋给a，最后输出a，所以此程序的作用是输出a，b，c三个数中的最大数．故选A.(2)运行下面的程序，执行后输出的s的值是( )A．11 B．15C．17 D．19答案 B解析当i＝3时，s＝7，当i＝5时，s＝11，当i＝7时，s＝15，此时不满足“i<6”，所以输出s＝15，故选B.基本算法语句应用中需注意的问题(1)赋值号“＝”的左、右两边不能对调，A ＝B 和B ＝A 的含义及运行结果是不同的． (2)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解等)，在赋值语句中的赋值号右边的表达式中每一个“变量”都必须事先赋给确定的值．(3)赋值号与数学中的等号意义不同，比如在数学中式子N ＝N ＋1一般是错误的，但在赋值语句中它的作用是将原有的N 的值加上1再赋给变量N ，这样原来的值被“冲”掉．[即时训练] 6.阅读下面的程序：如果上述程序输入的值是51，则运行结果是( ) A ．51 B ．15 C ．105 D ．501答案 B解析 因为51÷10＝5……1，所以a ＝5，b ＝1，x ＝10×1＋5＝15.故选B .7．(2019·龙岩质检)如图所示的程序，若最终输出的结果为6364，则在程序中“____？____”处应填入的语句为( )S＝0n＝2i=1DOS＝S＋1/nn＝2*ni＝i+1LOOP UNTIL ?PRINT SENDA．i>＝8 B．i>＝7C．i<7 D．i<8答案 B解析S＝0，n＝2，i＝1，执行S＝12，n＝4，i＝2；S＝12＋14＝34，n＝8，i＝3；S＝34＋18＝78，n＝16，i＝4；S＝78＋116＝1516，n＝32，i＝5；S＝1516＋132＝3132，n＝64，i＝6；S＝3132＋164＝6364，n＝128，i＝7.此时满足题目条件输出的S＝6364，∴“？”处应填上i>＝7.故选B.(2019·沈阳模拟)程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为( )A．120 B．84C．56 D．28答案 B解析初始值i＝0，n＝0，S＝0，第一次循环，i＝1，n＝1，S＝1；第二次循环，i＝2，n＝3，S＝4；第三次循环，i＝3，n＝6，S＝10；第四次循环，i＝4，n＝10，S＝20；第五次循环，i＝5，n＝15，S＝35；第六次循环，i＝6，n＝21，S＝56；第七次循环，i＝7，n＝28，S＝84，此时退出循环，输出S＝84，故选B.答题启示求解循环结构的程序框图题的“三注意”(1)注意是当型循环结构，还是直到型循环结构；(2)注意选择准确的表示累计的变量；(3)注意在哪一步开始循环，及执行循环体的条件．对点训练“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“a MOD b”表示a 除以b的余数)，若输入的a，b分别为675,125，则输出的a＝()C．50 D．75答案 B解析初始值：a＝675，b＝125，第一次循环：c＝50，a＝125，b＝50；第二次循环：c＝25，a＝50，b＝25；第三次循环：c＝0，a＝25，b＝0，此时不满足循环条件，退出循环．输出a的值为25，故选B.21。

易得|z|＝
122＋－122＝
2 2.
解析
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 复数的有关概念
a＋i 例 1 (1)(2019·唐山模拟)已知复数 z 为纯虚数，z＝1＋i(i 为虚数单位)，
则实数 a＝( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
a＋i a＋i1－i a＋1＋1－ai
a＋1
解析 ∵z＝1＋i＝1＋i1－i＝
(4)复数的模 向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 07 __|_z_| _____或 08 ___|_a_＋__b_i|____，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ 09 __a_2_＋__b_2__(r≥0，r∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi一一对应复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)； (2)复数 z＝a＋bi一一对应平面向量O→Z (a，b∈R)．
解析 ∵z＝11＋ －ii＋i＝1－1i＋1i＋2 i＋i＝22i＋i＝2i，
∴z 的虚部为 2.故选 D.
解析 答案
4．(2019·开封模拟)已知复数 z＝－12＋i，则(
)
A．z 的模为 2
B．z 的实部为 1
C．z 的虚部为－1
D．z 的共轭复数为 1＋i
解析 根据题意可知，－12＋i＝2－21－i＝－1－i，所以 z 的虚部为－1，
1．(1±i)2＝±2i；11－ ＋ii＝i；11－ ＋ii＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)． 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)． 4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
5．z·－z ＝|z|2＝|－z |2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，zz12＝||zz12||，|zn|＝|z|n. 6．复数加法的几何意义：若复数 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2不共线， 则复数 z1＋z2 是以O→Z1，O→Z2为邻边的平行四边形的对角线O→Z 所对应的复 数． 7．复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是O→Z1－O→Z2＝Z→2Z1所对应的复数．

‖知识梳理‖
1．合情推理
类型
定义
特征
归纳 推理
由 3 _部__分______到
由某类事物的 1 ___部__分____对象具有某些特征，推出该类 4 _整__体______、由 5
事物的 2 ___全__部____对象都具有这些特征的推理
__个__别_____到 6
_一__般______
类型
定义
解析：类比三角形中的正弦定理，在四面体 S－ABC 中，我们猜想sinS1α1＝sinS2α2＝sinS3α3 成立．
解析：∵f(21)＝32，f(22)>2＝42，f(23)>52，f(24)>62，∴归纳得，f(2n)≥n＋2 2. 答案：f(2n)≥n＋2 2
2
课 堂 ·考 点 突 破
考点一 类比推理
|题组突破|
1．(2019 届江西宜春中学期中)在平面几何中有如下结论：正△ABC 的内切圆面积为
S1，外接圆面积为 S2，则SS12＝14，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体 P－ABC
理的推理方法为主，常以演绎推理的
2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎 方法根据几个人的不同说法作出推 逻辑推理
推理的基本模式，并能运用它们进行 理判断进行命题．在高考中以选择
一些简单推理.
题、填空题的形式进行考查，属于中、
3.了解合情推理和演绎推理之间的 高档题，分值为 5 分.
联系和差异.
1
课 前 ·基 础 巩 固
推理 再进行归纳、 12 __类__比_____，然后提出 13 __猜__想_____的推理
2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为 演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到 14 __特__殊_____的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

第1讲 数系的扩大与复数的引入知识点考纲下载复 数理解复数的根本概念，理解复数相等的充要条件．了解复数的代数表示法及其几何意义．会进展复数代数形式的四那么运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．算法与程序框图了解算法的含义，了解算法的思想．理解程序框图的三种根本逻辑构造：顺序、条件分支、循环；理解几种根本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义． 合理推理与演绎推理了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进展简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的根本模式，并能运用它们进展一些简单推理．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．直接证明与间接证明 了解直接证明的两种根本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．了解间接证明的一种根本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点． 数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1．复数的有关概念 (1)复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中实部是a ，虚部是b ． (2)复数的分类复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数〔b ＝0〕，虚数〔b ≠0〕⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数〔a ＝0，b ≠0〕，非纯虚数〔a ≠0，b ≠0〕.(3)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，a 、b ∈R )． 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ →．3．复数的运算(1)复数的加、减 、乘、除运算法那么设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，那么 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i )·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝〔a ＋b i 〕〔c －d i 〕〔c ＋d i 〕〔c －d i 〕＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)假设a ∈C ，那么a 2≥0.( )(2)z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．( ) (3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( ) (4)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( )(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比拟大小，因而在复数范围内两个数也能比拟大小．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (2021·高考全国卷Ⅱ)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D.3＋i 1＋i ＝〔3＋i 〕〔1－i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕＝4－2i2＝2－i ，选择D.(2021·高考北京卷)假设复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选 B.因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，所以它在复平面内对应的点为(a ＋1，1－a )，又此点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1，应选B.(教材习题改编)在复平面内，6＋5i 对应的向量为OA →，AB →＝(4，5)，那么OB →对应的复数为________．解析：OA →＝(6，5)，AB →＝(4，5)， 那么OB →＝OA →＋AB →＝(10，10)． 答案：10＋10i(教材习题改编)(1＋2i) z －＝4＋3i ，那么z ＝________． 解析：因为z －＝4＋3i 1＋2i ＝〔4＋3i 〕〔1－2i 〕〔1＋2i 〕〔1－2i 〕＝10－5i 5＝2－i ，所以z ＝2＋i.答案：2＋i复数的有关概念[典例引领](1)(2021·高考全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，那么|z |＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2(2)(2021·高考天津卷)a ∈R ，i 为虚数单位，假设a －i2＋i为实数，那么a 的值为________．【解析】 (1)z ＝2i 1＋i ＝2i 〔1－i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.(2)由a －i 2＋i ＝〔a －i 〕〔2－i 〕5＝2a －15－2＋a 5i 是实数，得－2＋a 5＝0，所以a ＝－2.【答案】 (1)C (2)－2解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．[通关练习]1．(2021·合肥市第一次教学质量检测)复数z ＝2＋i1－i (i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为( )A.32＋32i B.12－32i C.12＋32i D.32－32i 解析：选B.z ＝2＋i 1－i ＝〔2＋i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕〔1＋i 〕＝12＋32i ，所以z 的共轭复数为12－32i ，应选B.2．(2021·陕西省高三教学质量检测试题(一))设(a ＋i)2＝b i ，其中a ，b 均为实数．假设z ＝a ＋b i ，那么|z |＝( )A ．5 B. 5 C ．3 D. 3解析：选B.由(a ＋i)2＝b i 得a 2－1＋2a i ＝b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝02a ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故复数z ＝a ＋b i的模|z |＝a 2＋b 2＝1＋4＝5，选B.复数的几何意义[典例引领](1)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i(i 为虚数单位)，那么z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i(2)假设复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，那么z 在复平面内所对应的图形的面积为________．【解析】 (1)因为复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －i|≤2得|x ＋(y －1)i|≤2，所以x 2＋〔y －1〕2≤2，所以x 2＋(y －1)2≤2，所以z 在复平面内所对应的图形是以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π. 【答案】 (1)A (2)2π复数的几何意义及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[通关练习]1．(2021·高考全国卷Ⅱ)z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，那么实数m 的取值范围是( ) A ．(－3，1) B ．(－1，3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3)解析：选A.由可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1，应选A.2. (2021·宝鸡九校联考)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，那么复数z 1·z 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D.由OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0，1)， 所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1z 2＝1－2i ， 它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．复数代数形式的运算[典例引领](1)(2021·广东省五校协作体第一次诊断考试)a 为实数，假设复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，那么a ＋i 2 0201＋i＝( )A ．1B ．0C ．1＋iD ．1－i(2)(2021·武汉市武昌区调研)(z －－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i 是虚数单位，z －是z 的共轭复数)，那么z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i【解析】 (1)z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数， 那么有a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，那么有1＋i 2 0201＋i ＝1＋11＋i ＝2〔1－i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕＝1－i.(2)因为z －＝4＋3i2－i ＋1－3i ＝〔4＋3i 〕〔2＋i 〕〔2－i 〕〔2＋i 〕＋1－3i ＝1＋2i ＋1－3i ＝2－i ，所以z ＝2＋i ，z 的虚部为1，应选A. 【答案】 (1)D (2)A复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．计算以下各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2；(2)2＋4i 〔1＋i 〕2；(3)1＋i 1－i ＋i 3.解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2＝4i2〔1＋i 〕2＝－42i ＝2i. (2)2＋4i 〔1＋i 〕2＝2＋4i 2i＝2－i. (3)1＋i 1－i ＋i 3＝〔1＋i 〕2〔1－i 〕〔1＋i 〕＋i 3＝2i 2＋i 3＝i －i ＝0.复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四那么运算中，加、减、乘运算按多项式运算法那么进展，除法那么需分母实数化．复数代数运算中常用的几个结论在进展复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ；(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (3)i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0，n ∈N *.辨明三个易误点(1)两个虚数不能比拟大小．(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．(3)注意不能把实数集中的所有运算法那么和运算性质照搬到复数集中来．例如，假设z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．1．(2021·高考山东卷)a ∈R ，i 是虚数单位．假设z ＝a ＋3i ，z ·z －＝4，那么a ＝( )A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3D. 3解析：选A.法一：由题意可知z －＝a －3i ，所以z ·z －＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1.法二：z ·z －＝|z |2＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1.2．(2021·商丘模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，那么a ＋b ＝( ) A ．－7 B ．7 C ．－4D ．4解析：选A.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ， 所以－3－4i ＝a ＋b i ，那么a ＝－3，b ＝－4， 所以a ＋b ＝－7，应选A.3．(2021·河南洛阳模拟)设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，那么复数z ＝( ) A.2－i B.2＋i C ．1D ．－1－2i解析：选A.复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，那么复数z ＝2－i.应选A. 4．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，那么z 2－2z＝( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．－1＋3iD ．－1－3i解析：选 C.因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i＝2〔1－i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕＝2〔1－i 〕1－i 2＝2〔1－i 〕2＝1－i ，那么z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.应选C.5．(2021·福建宁德模拟)在复平面内，复数z ＝3＋5i1＋i(i 为虚数单位)对应的点的坐标是( ) A ．(1，4) B ．(4，－1) C ．(4，1)D ．(－1，4)解析：选C.因为z ＝3＋5i 1＋i ＝〔3＋5i 〕〔1－i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕＝8＋2i2＝4＋i ，所以在复平面内，复数z对应的点的坐标是(4，1)，应选C.6．设z ＝11＋i ＋i(i 为虚数单位)，那么|z |＝( )A.12B.22C.32D ．2解析：选 B.因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i 〔1＋i 〕〔1－i 〕＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.7．(2021·湖南省东部六校联考)i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，那么z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选 D.由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝〔1＋i 〕〔1－2i 〕〔1＋2i 〕〔1－2i 〕＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限．8．假设复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，那么z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D.45解析：选 D.因为|4＋3i|＝42＋32＝5，所以z ＝53－4i ＝5〔3＋4i 〕〔3－4i 〕〔3＋4i 〕＝3＋4i 5＝35＋45i ，所以z 的虚部为45. 9．(2021·兰州市高考实战模拟)i 是虚数单位，假设复数a －i 1＋i(a ∈R )的实部与虚部相等，那么a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：选 B.a －i 1＋i ＝〔a －i 〕〔1－i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕＝〔a －1〕－〔a ＋1〕i2，又复数a －i1＋i的实部与虚部相等，所以a －12＝－a ＋12，解得a B.10．(2021·福建省普通高中质量检查)假设复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，那么在复平面内，z －对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由题意，得z ＝〔3〕2＋121＋i ＝2〔1－i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕＝1－i ，所以z －＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，应选A.11．(2021·成都市第二次诊断性检测)假设虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，那么y x的最大值是( ) A.32B.33C.12D. 3解析：选D.因为(x －2)＋y i 是虚数， 所以y ≠0，又因为|(x －2)＋y i|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3.因为yx是复数x ＋y i 对应点的斜率， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmax＝tan ∠AOB ＝3， 所以y x的最大值为 3.12．(2021·高考全国卷Ⅰ)设有下面四个命题p 1：假设复数z 满足1z ∈R ，那么z ∈R ；p 2：假设复数z 满足z 2∈R ，那么z ∈R ； p 3：假设复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，那么z 1＝z 2； p 4：假设复数z ∈R ，那么z ∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选B.设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对于p 1，因为1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，所以b ＝0，所以z ∈R ，所以p 1是真命题；对于p 2，因为z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，所以ab ＝0，所以a ＝0或b ＝0，所以p 2不是真命题；对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，那么z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ，所以dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z －2，所以p 3不是真命题；对于p 4，因为z ＝a ＋b i ∈R ，所以b ＝0，所以z －＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4是真命题．应选B.13．(2021·高考江苏卷)复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，那么z 的模是________．解析：法一：复数z ＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ，那么|z |＝〔－1〕2＋32＝10. 法二：|z |＝|1＋i|·|1＋2i|＝2×5＝10. 答案：1014．复数z ＝4＋2i〔1＋i 〕2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，那么m ＝________． 解析：z ＝4＋2i 〔1＋i 〕2＝4＋2i 2i ＝〔4＋2i 〕i2i2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5. 答案：－515．(2021·辽宁师大附中期中)设复数z 的共轭复数为z －，假设z ＝1－i(i 为虚数单位)，那么z －z＋z 2的虚部为________．解析：因为z ＝1－i(i 为虚数单位)，所以z －z ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝〔1＋i 〕2〔1－i 〕〔1＋i 〕－2i ＝2i 2－2i ＝－i.故其虚部为－1.答案：－116．当复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i(m ∈R )的模最小时，4i z ＝________． 解析：|z |＝〔m ＋3〕2＋〔m －1〕2＝2m 2＋4m ＋10＝2〔m ＋1〕2＋8，所以当m ＝－1时，|z |min ＝22，所以4i z ＝4i 2－2i ＝4i 〔2＋2i 〕8＝－1＋i. 答案：－1＋i1．复数z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)，那么“z 为纯虚数〞的一个充分不必要条件是( )A ．θ＝π4B ．θ＝π2C ．θ＝3π4D ．θ＝5π4解析：选C.z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i.z 是纯虚数等价于⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋sin θ＝0，cos θ－sin θ≠0，等价于θ＝3π4＋k π，k ∈Z .应选C. 2．假设实数a ，b ，c 满足a 2＋a ＋b i<2＋c i(其中i 2＝－1)，集合A ＝{x |x ＝a }，B ＝{x |x ＝b ＋c }，那么A ∩∁R B 为( )A ．∅B ．{0}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |－2<x <0或0<x <1}解析：选 D.由于只有实数间才能比拟大小．故a2＋a ＋b i<2＋c i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a <2，b ＝c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <1，b ＝c ＝0，因此A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{0}，故A ∩∁R B ＝{x |－2<x <1}∩{x |x ∈R ，x ≠0}＝{x |－2<x <0或0<x <1}．3．－3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，且p ，q ∈R ，那么p ＋q ＝________． 解析：由题意得2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0，即2(5－12i)－3p ＋2p i ＋q ＝0，即(10－3p ＋q )＋(－24＋2p )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧10－3p ＋q ＝0，－24＋2p ＝0.所以p ＝12，q ＝26，所以p ＋q ＝38.答案：384．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i，那么复数z 在复平面内对应点的坐标为________． 解析：因为i 4n ＋1＋i4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 018＝4×504＋2， 所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i＝〔－1＋i 〕〔1－i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕＝2i 2＝i ，对应的点为(0，1)． 答案：(0，1)5．计算：(1)〔1＋2i 〕2＋3〔1－i 〕2＋i； (2)1－i 〔1＋i 〕2＋1＋i 〔1－i 〕2； (3)1－3i 〔3＋i 〕2. 解：(1)〔1＋2i 〕2＋3〔1－i 〕2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i ＝i 〔2－i 〕5＝15＋25i. (2)1－i 〔1＋i 〕2＋1＋i 〔1－i 〕2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (3)1－3i 〔3＋i 〕2＝〔3＋i 〕〔－i 〕〔3＋i 〕2＝－i 3＋i＝〔－i 〕〔3－i 〕4 ＝－14－34i. 6．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，假设z 1＋z 2是实数，求实数a 的值． 解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13〔a ＋5〕〔a －1〕＋(a 2＋2a －15)i. 因为z －1＋z 2是实数，所以a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.因为a ＋5≠0，所以a ≠－5，故a ＝3.。