[基础知识]n -b n =(a -b)( a n−1+a n−2b+…+ab n−2+b n−1) ( n 为正偶数时)a n -b n =(a +b)( a n−1-a n−2b+…+ab n−2-b n−1) ( n 为正奇数时)a n +b n =(a +b)( a n−1-a n−2b+…-ab n−2+b n−1)+b)n =∑C n k a k bn−kn k=0(1) a,b 位实数，则○12|ab |≤a 2+b 2；○2|a ±b |≤|a |+|b |；○3|a |−|b |≤|a −b |. (2) a 1,a 2,…,a n >0, 则 ○1a 1+a 2+⋯+a n n ≥√a 1a 2⋯a n n＜[x]≤x和差化积;积化和差(7)：sin α+sin β=2(sin α+β2)(cosα−β2) sin αcos β=12(sinα+β2+cosα−β2)sin α-sin β=2(cosα+β2)(sinα−β2) cos αcos β=12(cos α+β2+cosα−β2)cos α+cos β=2(cos α+β2)(co sα−β2) sin αsin β=-12(cosα+β2-cosα−β2)cos α-cos β=2(sinα+β2)(sinα−β2)1+tan 2α=sec 2α 1+cot 2α=csc 2αsin 2α=2sin αcos α cos 2α=cos 2α-sin 2α=1-2sin 2α=2cos 2α-1tan (α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtan β cot (α±β)=1∓cot αcot βcot α+cot βtanα2=1−cosαsinα=sinα1+cosα=±√1−cosα1+cosαcotα2=sinα1−cosα=1+cosαsinα=±√1+cosα1−cosα万能公式：u=tan x2(−π<x<π)，则sin x=2u1+u2，cos x=1−u21+u2函数图像sec(x) csc(x) cot(x)arcsin(x) arccos(x)arctan(x) arc cot(x)[极限]函数极限x→•：（6）limx→x0f(x)=A: ∀E>0,∃δ>0,当0<|x- x0|< δ时，恒有|f(x)-A|< E.limx→x0+f(x)=A: ∀E>0,∃δ>0,当0<(x- x0)< δ时，恒有|f(x)-A|<E.limx→x0−f(x)=A: ∀E>0,∃δ>0,当0<( x0- x)< δ时，恒有|f(x)-A|< E.limx→∞f(x)=A: ∀E>0, ∃X>0,当|x|>X时,恒有|f(x)-A|<E.limx→∞+f(x)=A: ∀E>0, ∃X>0,当x>X时,恒有|f(x)-A|< E.limx→∞−f(x)=A: ∀E>0, ∃X>0,当-x>X时,恒有|f(x)-A|< E.数列极限n→∞：limn→∞f(x)=A: ∀E>0, ∃N>0,当n>N时,恒有|X n-A|< E.(1)唯一性:设limx→x0f(x)=A，limx→x0f(x)=B，则A=B.(2)局部有界性：若limx→x0f(x)存在，则存在δ>0,使f(x)在U={x｜0<｜x-x0｜<δ内有界.(3)局部保号性：○1(脱帽)若limx→x0f(x) =A>0,则存在x0的一个去心邻域，在该邻域内恒有f(x)>0.○2(戴帽)若存在x0的一个去心邻域，在该邻域内f(x)>(≥)0，且limx→x0f(x)=A(∃)，则A≥0.极限四则运算：设lim x→x 0f(x)=A(∃),lim x→x 0f(x)=B(∃),则○1lim x→x 0 [f (x )±g (x )]=A±B. ○2lim x→x 0[f (x )g (x )]=A⋅B. ○3lim x→x 0f(x)g(x)=AB(B≠0). 等价无穷小（9）sin x 1−cos x ~12x 2 arc sin x a x −1~lna ⋅xtan x (1+x )α−1~αx ~xarctan xln (1+x )e x −1lim n→∞√n n =1 , lim n→∞√a n=1, (a>0) ,lim x→0+x δ(ln x )k =0 ,lim x→+∞x k e −δx =0 (δ>0,k >0) lim n→∞√a 1n +a 2n +⋯+a m nn =max {a i }i =1,2,…,m;a i >0洛必达法则：“00”型：○1lim x→x 0f(x)=0, lim x→x 0g(x)=0; ○2f(x),g(x)在x 0的某去心领域内可导,且g’(x)≠0 ○3lim x→ x 0f′(x)g′(x)=A 或为∞.则limx→x 0f(x)g(x)=limx→x0 f′(x)g′(x)“∞∞”型：○1lim x→x 0f(x)=∞, lim x→x0g(x)=∞; ○2f(x),g(x)在x 0的某去心领域内可导,且g’(x)≠0○3lim x→x 0 f′(x)g′(x)=A 或为∞.则limx→x 0f(x)g(x)=limx→x 0 f′(x)g′(x)[注]洛必达法则能不能用，用了再说.数列极限存在准则： 1. 单调有界数列必收敛2.夹逼准则：如果函数f(x),g(x)及h(x)满足下列条件： (1) g(x)≤f(x)≤h(x); (2)limg(x)=A,limh(x)=A, 则limf(x)存在，且limf(x)=A .两种典型放缩：○1max{u i }≤∑u i n i=1≤n∙max{u i }; ○2n∙min{u i }≤∑u i n i=1≤n∙max{u i }选取的依据是谁在和式中去决定性作用海涅定理（归结原则）：设f(x)在 (x 0,δ)内有定义，则lim x→x 0f(x)=A 存在⟺对任何以x 0为极限的数列{x n }（x n ≠x 0），极限lim n→∞f(x n )=A存在.连续的两种定义：（1） lim Δx→0Δy =lim Δx→0[f (x 0+Δx )−f (x 0)]=0（2） lim x→x 0f (x )=f (x 0)间断点：第一类：可去、跳跃；第二类：无穷、振荡[一元微分学]导数定义式：f’ (x 0)=dydx ｜x=x0=limΔx→0f (x 0+Δx )−f(x 0)Δx=limx→x 0f (x )−f(x0)x−x 0微分定义式：若Δy=A Δx +o(Δx ),则dy=A Δx . 可导的判别:(1) 必要条件:若函数f(x)在点x 0处可导,则f(x)在点x 0处连续.(2) 充要条件:f ′(x0)f +(x 0)′,f −(x 0)′都存在，且f +(x 0)′=f −(x 0)′.[注]通俗来说就是连续函数不一定可导；函数在一点可导且在该点连续，但在这点的某个邻域未必连续；函数可导，则其导函数可能连续，也可能震荡间断. 可微的判别：limΔx→0Δy−AΔx Δx=0，则f(x)可微。
（一元函数可微即可导）几个不常见的求导公式：(arccos x)’=-√2(arccot x)’=-11+x 2莱布尼茨公式：(uv )(n)= C n 0u (n)v+ C 1 n u (n-1)v’+…+C nn uv (n)常见初等函数n 阶导数：(a x )(n)=a x ⋅ln n a (1ax+b ) (n)=(−1)n a n n!(ax+b )n+1[sin (ax+b )](n)=a n sin (ax+b+nπ2) [cos (ax+b )](n)=a n cos (ax+b+nπ2)[ln (ax+b )] (n)=(−1)n−1a n (n−1)!(ax+b )n(n≥1)构造辅助函数：要证f′(x)+φ′(x)⋅f(x)=0,只要构造F(x)=f(x)⋅ⅇφ(x)，证明F′(x)=0.最值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则m≤f(x)≤M,其中m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小值和最大值.介值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，m,M是f(x)在该区间上的最小值和最大值，则对任意的μ∈[m,M],∃ξ∈(a,b),使得f(ξ)=μ.零点定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且满足f(a)⋅f(b)<0,∃ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0.费马引理：设f(x)满足在x0点处{(1)可导(2)取极值则f′(x0)=0.罗尔：设f(x)满足{(1)[a,b]上连续(2)(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)则∃ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0拉格朗日中值：设f(x)满足{(1)[a,b]上连续(2)(a,b)内可导则∃ξ∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a),或者写成f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a柯西中值：设f(x),g(x)满足{(1)[a,b ]上连续(2)(a,b )内可导(3)g ′(x )≠0.则∃ξ∈(a,b )，使得f (b )−f (a )g (b )−g(a)=f ′(ξ)g ′(ξ).泰勒公式：(1)带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式设f(x)在点x 0的某个领域内n+1阶导数存在，则对该邻域内的任意点x 均有f(x)=f(x 0)+f ′(x 0)(x −x 0)+…+1n!f (n )(x 0)(x −x 0)n +f n+1(ξ)(n+1)!(x −x 0)n+1,其中ξ介于x , x 0之间，(2)带佩亚诺余项的n 阶泰勒公式设f(x)在点x 0处n 阶可导，则存在x 0的一个邻域，对于该邻域中的任一点，f(x)=f(x 0)+f ′(x 0)(x −x 0)+…+1n!f (n )(x 0)(x −x 0)n +ο((x −x 0)n ).麦克劳林：（9）e x =1+x+12!x 2+…+1n!+ο(x n )sinx=x −x 33!+…+(−1)n x 2n+1(2n+1)!+ο(x 2n+1) arcsinx=x+x 33!…+x 2n+1(2n+1)!+ο(x 2n+1) tanx=x+x 33+215x 5+ο(x 5) arctanx=x −x 33+ο(x 3) cosx=1−x 22!+x 44!−…+(−1)n x2n(2n )!+ο(x 2n )11−x=1+x+x2+ …+x n+ο(x n)11+x=1−x+x2+ …+(−1)n x n+ο(x n)ln(1+x)=x−x22+x33−…+(−1)n x n+1n+1+ο(x n+1)(1+x)a=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!+ο(x n)函数性态单调判定：若y=f(x)在区间I上有f′(x)>0,则y=f(x)在I上严格单调增加；若y=f(x)在区间I上有f′(x)<0,则y=f(x)在I上严格单调减少。
