27.2.3相似三角形应用举例.doc

C
D
A
P
Q
B
拓展: 已知甲楼高为12米，在距甲楼9米的 北面有一建筑物乙，同一时刻把１.5米的标 秆竖立在地上，它的影长为1.2米,此时甲楼 会影响乙楼的采光吗？
甲
Ａ
12
12 乙
D
1.5
9
1.2
Ｂ
9.6
E
0.6
Ｃ
解:∵太阳光是平行光线
12 1.5 ∴ BC 1.2
∴BC=9.6 ∵9.6＞9 ∴乙的采光会受影响．
C
盲区
Ⅱ
G
l
视线
H 水平线
A
K Ⅰ K H K
观察者 看不到 的区 域。
B
(1)
D
C
A
F
H
Ⅰ
Ⅱ
K G
分析：
E
B
Байду номын сангаас
(2)
D
l
假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位 置点F与两颗树的顶端点A、C恰在一条直线上,如 果观察者继续前进，由于这棵树的遮挡，右边树 的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到 它。
练习
1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比 例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿 的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高 楼的高度是多少米?
解： 设高楼的高度为 x米， 因为 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例
1.8 x 则有 3 60
解得
x 36
即高楼的高度为36米。
练习
2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边 找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找 到一点D，在BC上找到一点E,使 DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?

课题27.2.3 相似三角形应用举例（一）课型新授课授课时间教师教学多媒体媒体能熟练利用相似三角形的判定定理和性质解决实际问知识技能方面题。

体会在“测高”的过程中，运用建立相似三角形模型的教学数学思考目标方面数学建模思想。

能认真观察图形，找出实际问题中的相似三角形模型并问题解决方面解决简单的实际问题。

提高分析论证的能力。

教学重点利用相似三角形解决问题教学难点准确、合理地建立相似三角形模型解决实际问题自主探索与合作交流相结合。

引导学生认真观察图形，分析实际问题中的数量关系并正确建立相似三角形模型。

教学中注意尊重学生学法指导的主体地位，鼓励学生充分动手操作，演示，猜测，证明及计算。

帮助学生更好地体会数学建模的数学思想方法。

教学方法情境式教学法、探究式教学法课时1 课时安排教学过程设计设计教学程序及教学内容师生行为意图创如图，小区门口的栏杆短臂长1m，长臂长 16m，当短臂端点下降 0.5m 时，设学生独立长臂端点升高 ______m。

情分析、解决问由简单境题。

的相似三角请学生指形在实际问题中的应用出哪两个三角入手，让学揭形相似，如何证生感知相似示得，最后如何利三角形的知在实际生活中，我们测量高度时，经识贴近生课常要借助相似三角形。

用相似三角形活。

题揭示课题—— 27.2.3 相似三角形的的性质解决问应用举例。

题。

测一、常识认知量同一时刻，物体在太阳光下的影子与旗物体的高度之间的比是固定的。

杆二、思考探索每周我们都要举行升旗仪式，每次看着国旗迎风飘扬，我们的爱国之情便会由心而生。

你能测得旗杆的高度吗？（一）构造相似三角形。

利用身高，人影与杆影求得旗杆高度。

学生独立思考后以小组合作交流方式交换意见，并寻求解决测方案。

量问题 1：两个三角形相似吗？如何证旗得？杆问题 2：如何利用两个相似三角形计算旗杆高度呢？（二）利用标杆，测旗杆高度。

探索方法问题 1：给出标杆高度和人眼离地面的距离，你能计算FH的长度吗？问题 2：这种方法与第一种方法有什一方面为后续相似三角形的实际应用做知识储备。

B E 2m O 201m 3m D
A(F)
B E 2m O 201m 3m D
A(F)
解：太阳光是平行线， 因此∠BAO= ∠EDF
又 ∠AOB= ∠DFE=90° ∴△ABO∽△DEF BO OA = EF FD OA· EF 201×2 BO = = = 134 FD 3
一题多解
若BC=1.6m AC=3m AE=15 m 求DE的长
新课导入
乐山大佛
世界上最高的树 —— 红杉
怎样测量这些非常 高大物体的高度？
世界上最高的楼 ——台北101大楼
怎样测量河宽？
世界上最宽的河 ——亚马孙河
借助太阳的光线可以帮我们解题, 你想到了吗?
D
B
A
C
┐
E
┐
例1
古希腊数学家、天文学 家泰勒斯利用相似三角形的 原理，测量金字塔的高度。
例1：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯 曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一 根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量 金字塔的高度。 如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA 为201 m，求金字塔的高度BO
3. △ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成 正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余 两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件 的边长是多少？
A
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC
的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN E N P 的边长为 x 毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC C 所以 AE PN B Q D M = AD BC 80–x x = 因此 ，得 x=48（毫米）。 80 120

27.2.3 相似三角形应用举例一、内容和内容解析1．内容运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度或高度．2．内容解析解决不能直接测量物体长度或高度的问题，通常是利用可测物的长度或高度来表示不可测物的长度或高度．我们曾利用全等三角形的知识解决过此类问题，但要测一些大型建筑物的长度或高度，用全等三角形的知识就不大方便了．相似三角形的对应边成比例，反映的是线段间的一种等量关系，利用相似三角形的性质可以有效地解决不便直接测物体长度或高度的问题．要利用相似三角形的知识解决这类问题，就要设法构建一对相似三角形，且使构建的相似三角形模型中含有表示待测物长度或高度的线段及部分可测大小的线段．基于上述分析，确定本节课的教学重点是：把实际问题转化成相似三角形模型的构建与应用．二、目标和目标解析1．目标(1)构建相似三角形模型解决简单实际问题．(2)进一步了解数学建模思想．2．目标解析达成目标(1)的标志是：会根据实际情况用建模思想构建相应的相似三角形模型，能运用相似三角形的知识解决有关线段度量的简单问题．达成目标(2)的标志是：“寻模——建模——用模”是应用数学知识解决实际问题的常用思路，在解决数学问题时，首先在题设中寻求适合解决问题的模型．如果没有现成的模型可用，则要根据实际情况构建相应模型，然后使用该模型的相关性质解决问题．三、教学问题诊断分析学生有过用所学知识解决不能直接测量物体长度或高度的问题的体验，但用全等三角形的知识测一些大型建筑物的长度或高度(如测金字塔的高度)，有些不切实际．解决这类问题需构建两个相似三角形，并要测量出其中相应某些边的长度值，然后利用相似三角形的性质求出待测物对应的边长，其间要借助成比例的线段中的已知线段求出未知线段。

构建恰当的相似三角形，学生往往难以做到．基于以上分析，确定本节课的教学难点是：构建恰当的相似三角形模型．四、教学过程设计1．复旧引新问题1(1)怎样判断两个三角形相似？(2)相似三角形的性质有哪些？(3)怎样作一个三角形与已知三角形相似？师生活动：教师提出问题，学生观察、思考、交流，再请学生代表回答问题．教师点评．设计意图：复习相似三角形的判定与性质，一方面巩固了旧知识，另一方面便于学生找出实际问题中的相似三角形模型，有利于学生使用性质解决相关问题．特别是问题(3)，它是构建一个三角形与已知三角形相似模型的依据．问题2你知道埃及金字塔的故事吗？神秘的金字塔引来无数游客观光旅游．胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．该金字塔的原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？师生活动：教师利用多媒体课件展示金字塔图片及文字，学生观察、思考．设计意图：通过展示图片与叙说历史故事，让学生感悟人类的智慧与勤劳，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲望，从而有利于引入新课．2．探究新知问题3同学们有过测量物体高度的体验吗？你有什么方法测量金字塔的高度？教师追问：大家曾利用全等三角形的知识解决过不可直接测量物体高度或长度的问题：先作一个三角形使待测物的高或长是该三角形的一边，再构建一个三角形(这个三角形的三边都可知)与含有待测边的三角形全等，然后利用全等三角形的对应边相等求出待测物的长或高．你能否用全等三角形知识测金字塔的高呢？师生活动：学生思考，教师关注学生的方案，随后展示教科书上的测高方法．设计意图：解题就是利用解过的题解决新问题．如果以往的方法不能解决眼下的问题，则要进行重新联想与创新；此时若用全等知识解决，势必要构建一对巨大的全等三角形，这不切实际．问题促使学生自主改变思路，调整思考方向，有利于提高学生的思维能力．例1 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图1，木杆EF 长2 m ，它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201 m ，求金字塔的高度BO .设计意图：通过对例题的分析，让学生体会在实际测量物体的长度或高度时，关键是要构造实物所在三角形及与实物所在的三角形相似的三角形，而且在构建的三角形中要能测量出相关线段的长，再运用相似三角形的性质列出比例式求解．通过对这个问题的探索，可以提高他们分析问题的能力．问题4 如下图，为了估算河的宽度，我们可以怎样做？师生活动：让学生思考，交流各自的想法后出示教科书上的例2．设计意图：出示一段河流，提出测河宽的问题，不急于解答下面例2中的问题．由于下面例2的解决方案不是唯一的，让学生根据自己的经验设计方案，再进行交流，便于培养学生的发散思维与自主学习的能力．例2 如图2，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R ．已测得QS ＝45 m ，ST ＝90 m ，QR ＝60 m ，请根据这些数据，计算河宽PQ ．图1师生活动：教师通过以下三个问题，引导学生分析解题思路，由学生独立完成．教师要关注学生能否证出两三角形相似，由相似得到的比例式能否解决问题，学生书写是否规范．(1)直线QR 与ST 有什么位置关系，为什么？(2)图中是否有相似三角形？哪两个三角形相似？(3)怎样求PQ ？设计意图：通过这个例题的分析与讲解，进一步使学生知道在实际测量物体的高度与宽度时，构建相似三角形模型是核心，获取其中某些线段的值是关键．例3 如图3，左、右并排的两棵大树的高分别是AB ＝8 m 和CD ＝12 m ，两树底部的距离BD ＝5 m ，一个人估计自己的眼睛距地面1.6 m ．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点C 了？师生活动：教师利用课件演示：改变观察点F 与遮挡物AH 的距离可以发现，AH 后的盲区宽窄在改变；F 离AH 越近，盲区的区域越宽，不可见部分的面积越大．学生了解解这道题的实质就是求当观察点F 与两树的顶点共线时，人与树的距离．教师分析：在图(1)中，设观察者眼睛的位置为点F ，画出观察者的水平视线FG ，分别交AB ，CD 于点H ，K ．视线F A 与FG 的夹角∠AFH 是观察点A 时的仰角．类似地，∠CFK 是观察点C 时的仰角．由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到．在图(2)中，假设观察者从左向右走到点E 时，她的眼睛的位置点E 与两棵树的顶端A ，C 恰在一条直线上．若观察者继图2 Ta Rb S Q PCAⅠ H F KD BG l (1)Ⅱ B A G H D C E l Ⅱ Ⅰ (2)K 图3续往前走，她就不能看到右边较高的树的顶点C 了．因此，本题就是要求出此时EH 的值．设计意图：此题题意大部分学生理解起来有一定难度，通过动画演示及学生亲身实践得到感性认识，便于学生及时找到解题的突破口．3．变式训练，巩固新知(1)在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时测得一栋楼的影长为90 m ，这栋楼的高度是多少？(2)如图，测得BD ＝120m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，求河宽AB ．设计意图：及时巩固本节课所学的知识．4．归纳小结 师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课你学习了什么？(2)解决实际问题时我们运用了什么样的数学思想？是如何运用的？设计意图：通过小结，使学生把所学知识进一步内化、系统化．5．布置作业教科书习题27.2第9，10题．六、目标检测设计1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝2，AE ＝4，求EC 的长．设计意图：复习相似三角形判定定理的应用，为解决实际问题作准备．2．如图，小明用长为2.4 m 的竹竿DE 做测量工具测某旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点C ．此时，CD ＝6 m ，DB ＝14 m，则这旗杆(第2题)ABC D E ABC DE (第1题) (第2题)(第3题)AB 的高为多少？设计意图：考查学生能否从实际问题中构建相似三角形模型来解决问题．3．如图，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连接AC ，BC ，在AC 上取点E ，使AE ＝2EC ，作ED ∥AB ，交BC 于点D ，量得DE ＝12 m ，则AB 的距离为多少？设计意图：检测学生是否能从实际问题中抽象出几何图形，并用相似三角形的知识解决问题．4．小聪利用树影测量树高：他在某一时刻测得长为2 m 的竹竿影长1.5 m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上．如图，他先测得树留在墙上的影高CD ＝1.2 m ，又测得树在地面部分的影长BD ＝5.1 m ，他求的树高A B 是多少？设计意图：检测学生是否能从实际问题中构建相似三角形模型来解决问题．5．如图，请你利用相似三角形的有关知识，设计一种方案，求出图中所示零件内径AB 的值．设计意图：检测学生能否熟练地运用所学知识，构建出相似三角形模型来解决问题．(第4题) BB A (第5题)。