27.2.3 相似三角形的应用举例
〔学习设计〕
学习过程 设计意图说明
新课引入：
1． 复习相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
2． 回顾相似三角形的概念及判定方法
以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系。
提出问题：
利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度的问题？（学生小组讨论）
↓
“相似三角形对应边的比相等”四条对应边中若已知三条则可求第四条。
一试牛刀：
例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。
如图27．2-8，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO。
分析：BF∥ED∠BAO=∠EDF
又∠AOB=∠DFE=900
∆ABO∽∆DEFBOOAEFFD20123BO
二试牛刀：
例4：如图27．2-9，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ。
让学生了解：利用三角形的相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。
通过解决“泰勒斯测量金字塔的高度”问题，培养学生学习数学的兴趣，让学生在浓厚的数学文化熏陶中探究解决问题的方法。
OBA(F)ED
分析：∠PQR=∠PST=900，∠P=∠P
∆PQR∽∆PST
81.66.45121.610.4FHFH，即PQQRPQQSST，604590PQPQ，
90(45)60PQPQ。解得PQ=90
三试牛刀：
例5：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
郾 城 实 验 中 学 数 学 学 案
编制： 付奋进 审核：九年级数学组 班级： 使用人： 时间： 2017.12
用思考历练自己，用智慧塑造人生。 知识是学出来的，能力是练出来的。 1 27.2.3 相似三角形的应用举例
一、复习引入
1．判断两三角形相似有哪些方法?
2．相似三角形有什么性质？
3．世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下可是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
二、学习目标
1.进一步巩固相似三角形的知识；
2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题）等的一些实际问题；
3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
三、自主学习 、探求新知
自学课本第39页——41页的内容，解决以下问题.
（时间：10分钟 若有困难，同伴交流）
1.例4中，根据太阳光的光线是互相 的特点，可知：在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子也是互相 ， 从而构造 ，再利
课题：27.2.2相似三角形应用举例（第1课时）
一、教学目标
知识技能
1.经历对实际问题的思考和讨论过程，会利用相似三角形解决高度测量问题.
2.培养把实际问题转化为数学问题的能力，发展应用意识
过程与方法
1．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
2．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
3．在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。
4．能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。
情感态度价值观
1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。
2．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。
3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。
4．敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。
二、教学重点和难点
1.重点：利用相似三角形解决高度测量问题.
2.难点：探索如何利用相似三角形解决高度测量问题.
三、教学过程
（一）创设情境，导入新课
师：从初一到现在，我们已经学了不少图形的知识，我们学过相交线平行线，我们学过三角形四边形，我们学过圆，这些天我们又学了相似三角形.这些关于图形的知识是怎么形成的呢？（稍停）据说在很久很久以前，埃及的尼罗河水每年都会泛滥，两岸的田地就被淹没，水退后人们要重新划定田界，这便促使人们学会了计算简单图形边长、面积的方法，逐步形成了图形的知识.可见，图形知识是由于测量的实际需要而形成的.本节课我们要学的也与测量有关，我们要利用相似三角形的知识来解决一个测量问题，先来看这样一个实际问题.
（二）尝试指导，讲授新课
27.2.3 相似三角形的应用举例
1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；(重点)
2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．(难点)
一、情境导入
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” .在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？
二、合作探究
探究点：相似三角形的应用
【类型一】 利用影子的长度测量物体的高度
如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长．
解析：先利用△BDC∽△FGE得到BC3.6＝21.2，可计算出BC＝6m，然后在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长．
解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴BCCD＝EFGE，即BC3.6＝21.2，∴BC＝6m.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即树长AB是12m.
方法总结：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题
【类型二】
利用镜子的反射测量物体的高度
小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20m.当她与镜子的距离CE＝2.5m时，她刚好能
从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6m，请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角＝反射角)．
解析：根据物理知识得到∠BEA＝∠DEC，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．
