利用平行线转化比例
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利用平行线转化比例
知识梳理
平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则
BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC
DE DF
=
. l 3
l 2l 1F
E D C
B A
2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则
A D A E D E
A B A C B C
==
A
B
C
D
E
E
D
C B A
3. 平行的判定定理：如上图，如果有BC
DE
AC AE AB AD =
=，那么DE ∥ BC 。
基本图形：
ＤＭＭＥ=
ＢＮ
ＮＣ
C
ＣＦＡＢ+ＣＦ
ＤＥ
＝１
AE DF =BE CF
典型问题分析:
【例1】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且
与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P . 求证：PM PN PR PS ⋅=⋅
l
S
R P
N
M
O D
C B
A
【巩固】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥， AC 的延长线交EF 于G ．求证：EG GF =．
G F
E
C
D
B
A
【例2】 在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中线，AE 、
AF 分别交BM 于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM =
M
H G F
E
C
B
A
【巩固1】如图，M 、N 为ABC ∆边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F . 求证：3EF DE =.
F
N M
E
D C
B
A
【巩固2】如图，ABCD 的对角线相交于点O ，在AB 的延长线上任取一点E ，连接OE 交BC 于点F ，若AB a AD c BE b ===，，,求BF 的值。
O
F
E D
C
B
A
相似三角形与动点问题
一、基础巩固
三角形相似的情况分类
动点问题分析
解决动点运动型问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握动点运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量、不变关系或特殊关系．尽管一些试题大多属于静态的知识和方法，然而，这些试题中常常渗透着运动与变化的思想方法，需要用运动与变化的观点去研究和解决．
动点运动型问题有时把函数、方程、不等式联系起来．当一个问题是求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求图形之间的特殊位置关系和一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解．
例题分析:
1.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．
（1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．
巩固练习：1.如图，在△ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm ，动点M 从点A 出发，以1cm ∕秒的速度向点B 运动，动点N 从点C 出发，以2cm ∕秒的速度向点A 运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出
t 的值；若不存在，请说明理由．
巩固练习2:如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值．
例2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作
E F⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
思考：
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P从点A开始沿折线AC－CB－BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位．直线l从与AC重合
的位置开始，以每秒4
3
个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保持l∥AC，且分
别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动
(1)①当t=3秒时，点P走过的路径长为；②当t= 秒时，点P与点E重合；
③当t= 秒时，PE∥AB；
(2)当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在EF 上，点F的对应点记为点N，当EN⊥AB时，求t的值；
课后思考:
1.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，
点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点
运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速
度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运
动．设运动的时间为x．
（1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．
2.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P
沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点
Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移
动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时
间（0＜t＜6）。
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
3.如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB 交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．
（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；
（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？。
