§3.3 磁多极矩

A( x ) =
µ0 1 1 1 ∂2 1 ′ ′ ′ ′ x x ( ) [ − ⋅ ∇ + J x x ∑ i j ∂x ∂x R + ⋅ ⋅ ⋅]dV ′ R R 2! i , j 4π ∫ i j
( x) = µ0 J ( x ′)dV ′ 4πR ∫
Hale Waihona Puke 则第一项为 A( 0)
由恒定电流的连续性， 可把电流分为许多闭合的流管， 则 J ( x′)dV ′ = I dl = I dl = 0 I 为在该流管内流过的电流。因此 A ( 0 ) = 0 ，此式表示磁场展开式不含磁单极项，即不 含与点电荷对应的项 第二项为 A
电动力学讲稿●第二章 静电场
§3 磁多极矩
本节研究空间局部范围内的电流分布所激发的磁场在远处的展开式。与电多极矩对应， 引入磁多极概念，并讨论这种电流分布在外磁场中的能量问题。 一、矢势的多级展开 给定电流分布激发的磁场矢势为
A( x ) =
µ0 4π
∫
J ( x ′) dV ′ r
如果电流分布于小区域 V 内，而场点 x 又比较远，可以把 A(x)作多极展开。 取区域内某点 O 为坐标原点，把 1/r 的展开式得
∇⋅
R 1 ( R ≠ 0) = −∇ 2 , 3 R R µ R B (1) = − 0 (m ⋅ ∇) 3 4π R
在电流分布以外的空间中， 磁场应可以用标势描述， 因此再把上式化为磁标势的梯度形式。 m 为常矢量，由附录（I.23 式） ，
∇(m ⋅
R R R ) = m × (∇ × 3 ) + (m ⋅ ∇) 3 3 R R R R = (m ⋅ ∇) 3 R
对于一个小线圈，设它所围的面元为△S ，有
∆S =
所以
m = I∆S
特例：圆形载流线圈，圆面积 ΔS=πR2 因此
ˆn m = IπR 2 e
二、磁偶极矩的场和磁标势 由 A(1)可算出磁偶极矩的磁场
B (1) = ∇ × A =
因为 所以
µ µ0 R R R ∇ × (m × 3 ) = 0 (∇ ⋅ 3 )m − (m ⋅ ∇) 3 4π R 4π R R
0 = ∫ d[( x ′ ⋅ R) x ′] = ∫ ( x ′ ⋅ R )dl ′ + ∫ (dl ′ ⋅ R) x ′
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得到 A(1)可写为：
∫ ( x′ ⋅ R)dl ′ = 2 ∫ [( x′ ⋅ R)dl ′ − (dl ′ ⋅ R) x′] = 2 ∫ ( x′ × dl ′) × R
µ0 I µ m×R ⋅ ∫ ( x ′ × dl ′) × R = 0 3 3 4πR 2 4πR I 式中 m = ∫ x ′ × dl ′ 称为电流线圈的磁矩。 2 A (1) =
1
1
因为 Idl′ → JdV′ ，所以磁矩为：
m=
1 x′ × J ( x′)dV ′ 2∫ 1 x ′ × dl ′ 2∫
计及力矩的方向，得 L = m × B 电偶极子 磁偶极子
F = m ⋅ ∇E e
L = p× E
F = m ⋅ ∇Be
L = m×B
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这式子和电偶极子在外场中的能量-p⋅E 完全对应。 磁偶极子在外磁场中所受的力是：
F = −∇U = ∇(m ⋅ Be ) = m × (∇ × Be ) + (m ⋅ ∇) Be = (m ⋅ ∇) Be
磁偶极子所受的力矩为：
L=−
∂ ∂ U= mBe cos θ = − mBe sin θ ∂θ ∂θ
W = ∫ J ⋅ Ae dV
载电流 I 的线圈在外磁场中的能量为：
W = I ∫ Ae ⋅ dl = I ∫ Be ⋅ dS = IΦ e
L S
Φe 为外磁场对线圈 L 的磁通量。 注意：磁偶极子受到外磁场 Be 的力和力矩，应根据势函数来计算。磁偶极子在外场 Be 中的势函数为：
U = − m ⋅ Be
所以
B (1) = −
(1) ϕm
µ0 R ∇( m ⋅ 3 ) = − µ 0 ∇ϕ m 4π R m⋅R = 磁偶极势形式上和电偶极势相似。 4πR 3
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三、小区域内电流分布在外磁场中的能量 设外磁场 Be 的矢势为 Ae , 则 J(x) 在外磁场中的相互作用能量为：
(1)
∫
∫
∫
=−
µ0 4π
∫ J ( x ′)x ′ ⋅ ∇ R dV ′
µ0 I 4π
1
先就一个闭合线圈情形计算上式。若线圈电流为 I ，有
A (1) = −
µ0 I 4π
∫ x ′ ⋅ ∇ R dl ′ =
1
∫ x′ ⋅ R
R
3
dl ′
在被积式中，R/R3 为固定矢量，与积分变量无关。 x′为线圈上各点的坐标，因此 dx ′ = dl ′ 利用全微分绕闭合回路的线积分等于零