有限推力轨迹优化问题的直接打靶法研究王华 唐国金 雷勇军(国防科技大学航天与材料工程学院,长沙410073)摘要 研究了求解有限推力轨迹优化问题的直接打靶方法。
说明了利用直接打靶法将最优轨迹问题转化为参数优化问题的基本转换方法;给出了状态和控制变量的等式(或不等式)约束的转化方法;从插值和数值积分两个方面对转换过程中产生的误差进行了深入分析。
最后,以最优交会问题为例,说明了不同节点数目和积分步数对计算结果的影响。
主题词 轨迹 最佳控制 直接打靶法 航天器1 引言直接轨迹优化将最优控制问题转化为参数最优化问题来解决,可以避免间接方法产生的两点边值问题的初始值难于估计的缺点,是解决航天器轨迹优化问题的一种重要方法。
标准的直接方法将整个最优控制过程分成若干个时间段,时间段之间的端点称为节点。
然后选择节点处的控制变量和(或)状态变量作为未知参数,通过插值得到整个最优控制过程的控制变量和(或)状态变量,根据这些变量来积分状态方程形成约束条件,从而得到一个数学规划问题[1]。
文献[2]将节点上的控制变量和状态变量作为优化的参数,利用基于Hermite 插值的隐式积分将轨迹优化问题转化为非线性规划问题,并将这种方法称为非线性规划与配置法。
文献[3]提出了一个所谓的直接多重打靶方法,将节点处的控制变量和状态变量作为优化的参数,再选用某种插值法按有关节点上的控制参数插值,求得任意时刻的控制变量,并在每个时间段分别积分状态方程,将最优控制问题转化为非线性规划问题。
文献[4]采用节点处的状态变量作为优化参数来研究轨迹优化问题;文献[5]采用节点处的控制变量作为优化参数来研究飞行器的再入和平面转移问题;文献[6]同样采用控制变量作为优化参数来解决最优控制问题。
由于状态变量本身没有分段,当对控制节点的参数插值形成控制函数后,状态方程可以从初始端一直积分到终端,所以,这种采用控制参数作为优化变量的方法称为直接打靶法,它所形成的优化变量数目比多重打靶法要少得多。
本文对求解有限推力最优轨迹问题的直接打靶法进行了研究,说明了基本的转换方法,对以前很少研究的转换误差进行了分析,并将直接打靶方法应用到空间最优交会问题中,比较了不同节点数目和积分步数对优化结果的影响。
2 有限推力最优轨迹问题描述求解最优轨迹问题即是寻找控制函数U (t ),使得下面的最优指标最小J =K (t f ,X f )(1)收稿日期:2002-12-27。
收修改稿日期:2003-03-03512003年10月 中国空间科学技术 第 5 期 CHIN ESESPACE SCIENCE AND TECHNOLOGY X ·=f (t ,X ,U )X (t 0)=X 0ψ(X f )=0(X (t ),U (t ))≤0θ(X (t ),U (t ))=0(2)式中 X 、U 分别是状态和控制向量,下标0和f 分别代表初始和终端的变量,ψ表示终端约束, 和θ表示状态和控制向量的不等式和等式约束。
使用古典变分学中相似问题的术语,指标函数表示为式(1)情况下的最优控制问题称为Mayer 问题。
在实际的轨迹优化问题中,有时也会有Lagrange 和Bolza 问题,这两种模型都可以通过扩大状态空间的维数转化为Mayer 问题。
所以,我们在这里只研究M ayer 问题。
3 直接打靶方法3.1 基本转换方法采用直接打靶法研究上述轨迹优化问题时,需要用离散变量来代替原模型中的连续变量,以使原问题变成一个参数优化问题。
首先要将整个飞行时间分为N 个时间段,这些时间段之间的节点处的时间为t 0<t 1<t 2<…<t k <…<t N -1<t N这里的t N 就是终端时间t f 。
设节点t k 上的控制参数为U k ,将未知参数写成一个矢量D ≡[U T 0 … U T N t f ]T (3) 在式(3)中,涉及到时间的优化变量只有一个t f 。
这是因为在通常情况下,N 个时间段是相等的,所以已知t f 的值,每个节点的时间就确定了。
知道了每个节点的控制参数后,通过对节点处的控制参数插值就可以得到整个飞行过程的控制,于是,状态方程可以从t 0、X 0积分到t f 得到终端状态X f =X f (D )这意味着终端状态由矢量D 完全确定了。
于是,性能指标式(1)可以写为J =F (D )(4) 终端约束可写为ψ(X f )=ψ(D )=0(5) 对于状态和控制向量的不等式约束 和等式约束θ,只能选择具有一定代表性的离散点使约束得到满足,这些离散点上的控制和状态向量同样可以由D 完全确定。
通常选择节点上的控制和状态向量构成等式约束(X (t k ),U (t k ))= (D )=0(6) 不等式约束θ(X (t k ),U (t k ))=θ(D )≤0(7) 最终得到的数学规划问题就是:寻找最优的设计变量D ,在满足约束式(5)～(7)的条件下,使式(4)表示的性能指标最小。
3.2 误差分析利用直接打靶法将轨迹优化问题转化为数学规划问题,误差的产生主要有两个方面:①节点处52 中国空间科学技术 2003年10月的控制参数插值得到的控制函数与原控制函数的误差;②对状态方程进行积分的积分误差。
各节点处控制参数插值的目的就是得到一个控制函数V (t ),近似代替原控制函数U (t )。
插值函数可以有各种选择,但最常用的是多项式或分段多项式,这是因为代数多项式具有一些很好的特性,如它具有各阶导数,计算多项式的值比较方便,等等。
最基本的插值方式是线性插值,即V (t )=U k t -t k +1t k -t k +1+U k +1t -t k t k +1-t k式中 U k 和U k +1分别是时间节点t k 和t k +1处的控制参数。
此线性插值的余项为[7]R (t )=U (t )-V (t )=U ″(ξ)2!(t -t k )(t -t k +1), ξ∈(t k ,t k +1) 这里要注意的是,插值多项式的阶次高低和它与控制函数的逼近程度不一定成正比,高阶多项式可能会引起控制函数的过分波动,从而影响状态方程的积分结果。
同样,三次样条插值也可能会引起控制函数的过分波动。
另外,如果采用的是三次样条插值,并且其边界条件取为曲线在两端点的切线斜率,那么这两个斜率也应该作为优化变量来寻优。
求解常微分方程初值问题的数值积分方法的总体截断误差和局部截断误差之间的关系为:总体截断误差=O (h -1×局部截断误差)。
其中,h 是积分步长。
一般说来,方法的总体截断误差阶数越高,则能达到的精度也越高。
优化计算十分耗时,所以对积分方法的快速性和鲁棒性有一定的要求。
R -K 方法精度较高,数值稳定性区域较大,所以在积分状态方程的时候经常被采用。
四阶R -K 和八阶R -K 积分方法的总体截断误差分别为O (h 4)和O (h 8)。
四阶以下的R -K 方法每积分一步需要计算相同次数的函数值,五阶R -K 方法积分一步需要计算6次函数值,八阶R -K 方法积分一步需要计算13次函数值。
尽管四阶R -K 方法每积分一步只需要计算4次函数值,但是有时更高阶的R -K 积分方法也有它自己的优势。
例如,如果在t f -t 0=1的积分区间内需要的总体截断误差为10-8,那么四阶R -K 和八阶R -K 方法的积分步长分别是h 4=10-2和h 8=10-1,也就是说四阶R -K 方法在整个区间需要100步积分和400次函数值运算,而八阶R -K 方法在整个区间只需要10步积分和130次函数值运算。
因此,只基于步长的考虑来说,八阶R -K 方法比四阶R -K 方法需要的计算时间少得多。
近年来许多学者分别提出了一些快速算法的思想,目的是使算法既要减少计算复杂性,又能具有较小的误差和数值稳定性,取得了一些成果[8]。
4 直接打靶法在有限推力最优交会问题中的应用在目标轨道为圆(或近圆)轨道情况下,目标航天器轨道坐标系中两个邻近共面航天器交会问题的状态方程为[9]E ·=AE +Bu(5) 其中E =(x y x · y ·)T , u =(u x u y )T A =001000010002ω03ω2-2ω0 , B =0000a 00a 这里,x 、y 分别是追踪航天器相对目标航天器的矢量在目标轨道坐标系坐标轴上的投影;ω是目标航天器轨道角速度;a 是追踪航天器加速度的大小,对于有限推力航天器来说,它是一个532003年10月 中国空间科学技术 常值。
u x 和u y 表示追踪航天器推力加速度的单位方向矢量。
已知航天器开始交会时的相对状态和交会结束时的相对状态,最优交会问题就是求解最优轨道,使得交会所需燃料最少。
在连续的有限推力情况下,推力大小是固定的,最优交会就是求解最优推力方向u x 和u y 使得飞行的时间最少。
性能指标可写为min J =t f -t 0 推力方向满足等式约束u 2x +u 2y =1 假设推力加速度大小为0.3m /s 2,初始状态为(70000,-30000,-40,30),终端状态为(0,0,0,0)。
按照三种方式来求解最优交会问题:1)飞行轨迹分为5个区间,总的积分步数相应取为5步。
2)飞行轨迹分为5个区间,在每个区间内积分5步,即总的积分步数为25步。
区间内的控制参数通过节点处的参数分段线性插值得到。
3)飞行轨迹分为25个区间,积分步数也相应为25步。
采用罚函数法求解得到的非线性规划问题,结果如图1～3所示,图例中的序号分别代表三种计算方式。
图1 轨道坐标系中相对位置随时间变化曲线图2 轨道坐标系中相对速度随时间变化曲线54 中国空间科学技术 2003年10月图3 轨道坐标系中控制方向随时间变化曲线从图1～3中可以看出,比较少的节点得到的结果(相对位置、相对速度和控制方向)比较粗糙,但表示出了最优轨迹、速度和控制的大致趋势。
如果只需要从趋势上了解最优轨迹,那么比较少的节点数目在通常情况下是可行的。
节点数目的增多,带来的好处就是计算结果的精确和整个轨迹曲线的平滑,但是随之而来的问题就是转化后的数学规划问题维数增高,所需的计算时间增加很多,而且导致数学规划算法的收敛更加困难。
我们曾经将控制节点的数目取为125个,但是计算过程表明,转化后的非线性规划问题维数过高,数值计算的初始参数难于估计,导致计算难于继续进行。
从图1～3中同样可以看出,对于同样的节点数目来说,积分步数越多,计算的结果近似度越好,这是因为积分步长的变小,使得积分误差减小了。
相应的,对于同样的积分步数来说,节点数越多,结果越好,但是也带来了数学规划维数的增高。
5 结论求解最优轨迹问题的直接打靶法是将整个飞行轨迹按照时间分为若干段,然后用节点处的控制变量和时间作为优化变量,将轨迹优化问题转化为数学规划问题来解决。
