圆形有界磁场中“磁聚焦”规律(有答案)

磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型1.高考命题中，带电粒子在有界磁场中的运动问题，常常涉及到临界问题或多解问题，粒子运动轨迹和磁场边界相切经常是临界条件。

带电粒子的入射速度大小不变，方向变化，轨迹圆相交与一点形成旋转圆。

带电粒子的入射速度方向不变，大小变化，轨迹圆相切与一点形成放缩圆。

2.圆形边界的磁场，如果带电粒子做圆周运动的半径如果等于磁场圆的半径，经常创设磁聚焦和磁发散模型。

一、分析临界极值问题常用的四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速率v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长,(3)当速率v 变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨远圆半径大于区域圆半径时，入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。

二、“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。

可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法三、“旋转圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R =mv 0qB。

如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R =mv 0qB的圆上界定方法将一半径为R =mv 0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法四、“平移圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则半径R =mv 0qB，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R =mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法五、“磁聚焦”模型1．带电粒子的会聚如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R =r )，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)证明：四边形OAO ′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO ′(即竖直方向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．2．带电粒子的发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，从P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O 1A (O 2B 、O 3C )均平行于PO ，即出射速度方向相同(即水平方向)．(建议用时：60分钟)一、单选题1地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O为地球球心、R为地球半径，假设地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内(边界上有磁场)，磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。

圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习高三物理当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子规律一：图如甲的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，所示。

圆规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果上磁场形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从边界乙，如平行的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向图所示。

【典型题目练习】的匀强磁R的圆形区域内充满磁感应强度为B1．如图所示，在半径为场射入大P垂直磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点虑粒子间的粒子，不考量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v）（的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上A B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长qBR上D．只要速度满足，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN v m ebbceadabOad、abed为圆心=0.6m，宽的中点，以=0.3m的长，分别是、2．如图所示，长方形eOdO一圆弧组成为圆心为半径的四分之一圆弧和以为半径的四分之感应强度(边界上无磁场磁)的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B=-7-3、电荷量kgq=+2×100.25TC。

一群不计重力、质量m=3×10adv2方向且垂直m/s的带正电粒子以速度=5×10于磁场射人沿垂直磁场区域，则下列判断正确的是（）OaOd边射入的粒子，出射点全部分布在A．从边abaO B．从边边射入的粒子，出射点全部分布在abOd C．从边边射入的粒子，出射点分布在bad D边射人的粒子，出射点全部通过．从点），圆内分布有垂直纸面向里的aO（，0如图所示，在坐标系3．xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为1，一质x轴负方向的匀强电场，场强大小为E的上方和直线y=ax=2a的左侧区域内，有一沿匀强磁场，在直线轴方向时，粒子x）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿>0+量为m、电荷量为q（q O点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：恰好从1 B的大小；1（）磁感应强度y（2）粒子离开第一象限时速度方向与轴正方向的夹角；轴正x点垂直于磁场方向、并与O从v轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度y）若将电场方向变为沿3（．0射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t=30。

圆形磁场中的几个典型问题的相关规律练习一、当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，即“磁聚焦”存在两条特殊规律规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。

规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。

【典型题目练习】1．如图所示，在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P 垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q ，质量为m ，速度为v 的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（ ）A ．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN 上B ．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C ．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D ．只要速度满足qBR v m，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上 2．如图所示，长方形abed 的长ad =0.6m ，宽ab =0.3m ，O 、e 分别是ad 、bc 的中点，以e 为圆心eb 为半径的四分之一圆弧和以O 为圆心Od 为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T 。

一群不计重力、质量m=3×10-7kg 、电荷量q=+2×10-3C 的带正电粒子以速度v =5×102m/s 沿垂直ad 方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（ ）A ．从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边B ．从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边C ．从Od 边射入的粒子，出射点分布在ab 边D ．从ad 边射人的粒子，出射点全部通过b 点3．如图所示，在坐标系xOy 内有一半径为a 的圆形区域，圆心坐标为O 1（a ，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y =a 的上方和直线x =2a 的左侧区域内，有一沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E ，一质量为m 、电荷量为+q （q >0）的粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x 轴方向时，粒子恰好从O 1点正上方的A 点射出磁场，不计粒子重力，求：（1）磁感应强度B 的大小；（2）粒子离开第一象限时速度方向与y 轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变为沿y 轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t。

圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律演习之马矢奏春创作时间：二O二一年七月二十九日当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时,消掉两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场鸿沟上某点射入磁场,假如圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等,则粒子的出射速度标的目标与圆形磁场上入射点的切线标的目标平行,如甲图所示.规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子,假如圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等,则所有粒子都从磁场鸿沟上的同一点射出,并且出射点的切线与入射速度标的目标平行,如乙图所示.【范例标题演习】1．如图所示,在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场,MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电,电荷量为q,质量为m,速度为v的粒子,不推敲粒子间的互相传染感动力,关于这些粒子的运动以下说法精确的是（）A．只要对着圆心入射,出射后均可垂直打在MN上B．对着圆心入射的粒子,其出射标的目标的反向延长线不必定过圆心C．对着圆心入射的粒子,速度越大在磁场中经由过程的弧长越长,时间也越长D．只要速度知足qBR,沿不合标的目标入射的粒子出射后均可vm垂直打在MN上2．如图所示,长方形abed的长ad=0.6m,宽ab=0.3m,O、e辨别是ad、bc的中点,以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(鸿沟上无磁场)磁感应强度B=0.25T.一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad标的目标且垂直于磁场射人磁场区域,则下列判断精确的是（）A．从Od边射入的粒子,出射点全部分布在Oa边B．从aO边射入的粒子,出射点全部分布在ab边C．从Od边射入的粒子,出射点分布在ab边D．从ad边射人的粒子,出射点全部经由过程b点3．如图所示,在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域,圆心坐标为O1（a,0）,圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场,在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内,有一沿x轴负标的目标的匀强电场,场强大小为E,一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场标的目标射入,当入射速度标的目标沿x轴标的目标时,粒子正好从O1点正上方的A点射出磁场,不计粒子重力,求：（1）磁感应强度B的大小；（2）粒子分隔第一象限时速度标的目标与y轴正标的目标的夹角；（3）若将电场标的目标变成沿y轴负标的目标,电场强度大小不变,粒子以速度v从O点垂直于磁场标的目标、并与x轴正标的目标夹角θ=300射入第一象限,求粒子从射入磁场到最终分隔磁场的总时间t.4．如图所示的直角坐标系中,从直线x=−2l0到y轴区域消掉两个大小相等、标的目标相反的有界匀强电场,个中x轴上方的电场标的目标沿y轴负标的目标,x轴下方的电场标的目标沿y轴正标的目标.在电场左鸿沟从A（−2l0,−l0）点到C（−2l0,0）点区域内,中断分布着电量为+q、质量为m的粒子.从某时刻起,A点到C点间的粒子依次中断以相同速度v0沿x轴正标的目标射入电场.从A点射入的粒子正好从y轴上的A'（0,−l0）点沿沿x轴正标的目标射出电场,其轨迹如图所示.不计粒子的重力及它们间的互相传染感动.（1）求从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t和匀强电场的电场强度E的大小.（2）求在A、C间还有哪些坐标地位的粒子经由过程电场后也能沿x轴正标的目标运动？（3）为便于收集沿x轴正标的目标射出电场的所有粒子,若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形磁场区域内,设计分布垂直于xOy平面向里的匀强磁场,使得沿x轴正标的目标射出电场的粒子经磁场偏转后,都能经由过程x=2l0与圆形磁场鸿沟的一个交点.则磁场区域最小半径是多大？响应的磁感应强度B是多大？5．如图所示,在xoy坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r=0.1m的圆形磁场区域,磁感应强度B1=1T,标的目标垂直纸面向里,该区域同时与x轴、y轴相切,切点辨别为A、C；第四象限中,由y轴、抛物线FG（2y x x=-+-,单位：m）和直线DH100.025（0.425=-,单位：m）组成的区域中,消掉着标的目标竖直向下、y x强度E=2.5N/C 的匀强电场；以及直线DH 右下方消掉垂直纸面向里的匀强磁场B2=0.5T.现有大量质量m=1×10-6 kg （重力不计）,电量大小为q=2×10-4 C,速度均为20m/s 的带负电的粒子从A 处垂直磁场进入第一象限,速度标的目标与y 轴夹角在0至1800之间.（1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；（2）试证实这些粒子经由x 轴时速度标的目标均与x 轴垂直；（3）经由过程计算说明这些粒子会经由y 轴上的同一点,并求出该点坐标.6．如图所示,真空中一平面直角坐标系xOy 内,消掉着两个边长为L 的正方形匀强电场区域Ⅰ、Ⅱ和两个直径为L 的圆形磁场区域Ⅲ、Ⅳ.电场的场强大小均为E,区域Ⅰ的场强标的目标沿x 轴正标的目标,其下鸿沟在x 轴上,右鸿沟正好与区域Ⅱ的鸿沟相切；区域Ⅱ的场强标的目标沿y 轴正标的目标,其上鸿沟在x 轴上,左鸿沟正好与正好与区域Ⅳ的鸿沟相切.磁场的磁感应强度大小均为22mE qL ,区域Ⅲ的圆心坐标为（0,2L ）、磁场标的目标垂直于xOy 平面向外；区域Ⅳ的圆心坐标为（0,2L -）、磁场标的目标垂直于xOy 平面向里.两个质量均为m 、电荷量均为q 的带正电粒子M 、N,在外力约束下静止在坐标为（32L -,2L ）、（32L -,234L +）的两点.在x 轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板,板面垂直于xOy 平面.将粒子M 、N 由静止释放,它们最终打在感光板上并连忙被吸收.不计粒子的重力.求：（1）粒子分隔电场Ⅰ时的速度大小.（2）粒子M 击中感光板的地位坐标.（3）粒子N 在磁场中运动的时间.7．如图所示,半圆有界匀强磁场的圆心O1在x 轴上,OO1距离等于半圆磁场的半径,磁感应强度大小为B1.虚线MN 平行x 轴且与半圆相切于P 点.在MN 上方是正交的匀强电场和匀强磁场,电场场强大小为E,标的目标沿x 轴负向,磁场磁感应强度大小为B2.B1,B2标的目标均垂直纸面,标的目标如图所示.有一群相同的正粒子,以相同的速度沿不合标的目标从原点O 射入第I 象限,个中沿x 轴正标的目标进入磁场的粒子经由P 点射入MN 后,正好在正交的电磁场中做直线运动,粒子质量为m,电荷量为q （粒子重力不计）.求：（1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径.（2）若撤去磁场B2,则经由P 点射入电场的粒子从y 轴出电场时的坐标.（3）试证实：题中所有从原点O 进入第I 象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动.8．如图甲所示,真空中有一个半径r=0.5m 的圆形磁场,与坐标原点相切,磁场的磁感应强度大小B=2.0×10−3T,标的目标垂直于纸面向里,在x=r 处的虚线右侧有一个标的目标竖直向上的宽度L=0.5m 的匀强电场区域,电场强度E=1.5×103N/C,在x=2m 处有一垂直x 标的目标的足够长的荧光屏,从O 点处向不合标的目标发射出速度相同的比荷91.010/q C kg m=⨯带负电的粒子,粒子的运动轨迹在纸面内.一个速度标的目标沿y 轴正标的目标射入磁场的粒子M,恰能从磁场与电场的相切处进入电场.不计重力及阻力的传染感动.求：（1）粒子M 进入电场时的速度.（2）速度标的目标与y 轴正标的目标成30°（如图中所示）射入磁场的粒子N,最后打到荧光屏上,画出粒子N 的运动轨迹并求该发光点的地位坐标.9．如图甲所示,质量m=8.0×10−25kg,电荷量q=1.6×10−15C 的带正电粒子从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限内,且在与x 标的目标夹角大于等于30°的范围内,粒子射入时的速度标的目标不合,但大小均为v0=2.0×107m/s.现在某一区域内加一垂直于xOy 平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小B=0.1T,若这些粒子穿过磁场后都能射到与y 轴平行的荧光屏MN 上,并且当把荧光屏MN 向左移动时,屏上光斑长度和地位保持不变.(π=3.14)求：（1）粒子从y 轴穿过的范围.（2）荧光屏上光斑的长度.（3）打到荧光屏MN 上最高点和最低点的粒子运动的时间差.（4）画出所加磁场的最小范围（用斜线暗示）.参考答案1．当v⊥B 时,粒子所受洛伦兹力充当向心力,做半径和周期辨别为mv R qB =、2m T qBπ=的匀速圆周运动；只要速度知足qBR v m=时,在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等,不合标的目标入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上,选项D 精确.2．由0.3mv R m qB==知,在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等,从Oa 入射的粒子,出射点必定在b 点；从Od 入射的粒子,经由四分之一圆周后到达be,因为鸿沟无磁场,将沿be 做匀速直线运动到达b 点；选项D 精确.3．解析：（1）当粒子速度沿x 轴标的目标入射,从A 点射出磁场时,几何关连知：r=a ； 由2v qvB m r =知：mv mv B qr qa == （2）从A 点进入电场后作类平抛运动；沿程度标的目标做匀加速直线运动：2x Eq v a m= 沿竖直标的目标做匀速直线运动：vy=v0；∴粒子分隔第一象限时速度与y 轴的夹角：202tan xy v Eqa v mv θ== （3）粒子从磁场中的P 点射出,因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等,OO1PO2组成菱形,故粒子从P 点的出射标的目标与OO1平行,即与y 轴平行；轨迹如图所示；∴粒子从O 到P 所对应的圆心角为θ1=600,粒子从O 到P 用时：163T a t vπ==. 由几何常识可知,粒子由P 点到x 轴的距离13sin 2S a a θ==； 粒子在电场中做匀变速运动的时间：22mv t Eq =； 粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间：32()(23)a S a t v v --==；粒子由P 点第2次进入磁场,从Q 点射出,ＰO1QO3组成菱形；由几何常识可知Q 点在x 轴上,即为（2a,0）点；粒子由P 到Q 所对应的圆心角θ2=1200,粒子从P 到Q 用时：4233Ta t vπ==； ∴粒子从射入磁场到最终分隔磁场的总时间：12342amv t t t t t v Eqπ=+++=+. 4．解析：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动,沿程度标的目标匀速运动,有002l t v = 从A 点入射的粒子在竖直标的目标匀加速运动,由轨迹对称性性可知201()22Eq t l m = 解得2002082ml mv E qt ql == （2）设距C 点为y ∆处入射的粒子经由过程电场后也沿x 轴正标的目标,第一次达x 轴用时t ∆,有程度标的目标0x v t ∆=∆ 竖直标的目标21()2qE y t m∆=∆ 欲使粒子从电场射出时的速度标的目标沿x 轴正标的目标,有022l n x =⋅∆（n =1,2,3,…） 解得：2002201()2qE l l y n m v n∆== 即在A 、C 间入射的粒子经由过程电场后沿x 轴正标的目标的y 坐标为021y l n=-（n =1,2,3,…） （3）当n=1时,粒子射出的坐标为10y l =当n=2时,粒子射出的坐标为2014y l =- 当n≥3时,沿x 轴正标的目标射出的粒子分布在y1到y2之间（如图）y1到y2之间的距离为12054L y y l =-=； 则磁场的最小半径为0528L l R == 若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点,粒子的运动半径与磁场圆的半径相等（如图）,轨迹圆与磁场圆订交,四边形PO1QO2为棱形,由200mv qv B R = 得：0085mv B ql = 5．解析：（1）由211v qvB m R =知：110.1mv R m B == （2）考察从A 点以随便率性标的目标进入磁场的的粒子,设其从K 点分隔磁场,O1和O2辨别是磁场区域和圆周运动的圆心,因为圆周运动半径和磁场区域半径相同,是以O1AO2K 为菱形,分隔磁场时速度垂直于O2K,即垂直于x 轴,得证.（3）设粒子在第四象限进入电场时的坐标为（x,y1）,分隔电场时的坐标为（x,y2）,分隔电场时速度为v2；在电场中运动过程,动能定理：2221211()22Eq y y mv mv -=- 个中21100.0025y x x =-+-,20.425y x =- 解得v2=100x在B2磁场区域做圆周运动的半径为R2,有22222v qv B m R =解得R2=x因为粒子在B2磁场区域圆周运动的半径正好为x 坐标值,则粒子做圆周运动的圆心必在y 轴上；又因v2的标的目标与DH 成45º,且直线HD 与y 轴的夹角为450,则所有粒子在此磁场中正好经由四分之一圆周后正好到达H 处,H 点坐标为（0,–0.425）.6．解析：（1）粒子在区域Ⅰ中运动,由动能定理得2012EqL mv = 解得02EqL v m= （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动,有200v qv B m r =,又有22mEB qL =,解得02mv L r qB == 因M 运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相同,故M 在磁场Ⅲ中运动四分之一个周期后经由原点进入磁场Ⅳ,再运动四分之一个周期后平行于x 轴正标的目标分隔磁场,进入电场Ⅱ后做类平抛运动.假设M 射出电场后再打在x 轴的感光板上,则M 在电场Ⅱ中运动的的时间0L t v =（1分） 沿电场标的目标的位移 22011()2242Eq L L L y at m v ==⨯⨯=<（2分）假设成立,运动轨迹如图所示.沿电场标的目标的速度2y qEL v at m==速度的偏向角01tan 2yv v θ== 设射出电场Ⅱ后沿x 轴标的目标的位移x1,有124tan 2L L L x θ-== M 击中感光板的横坐标122L x L x L =++=,地位坐标为（2L,0）（1分）（3）N 做圆周半径与圆形磁场区域的半径相同,阐发可得N 将从b 点进入磁场Ⅲ,从原点O 分隔磁场Ⅲ进入磁场Ⅳ,然后从d 点分隔磁场Ⅳ,沿程度标的目标进入电场Ⅱ.轨迹如图.在磁场Ⅲ中,由几何关连334cos 22L L θ== 则θ=300,圆弧对应的圆心角φ=1800−300=1500粒子在磁场中运动的周期0222L mL T v qEππ⨯==粒子在磁场Ⅲ中运动的时间10360t T ϕ== 由对称关系得粒子在磁场Ⅲ、Ⅳ中运动时间相等；故粒子在磁场中运动的时间12t t ==7．解析：（1）粒子在正交的电磁场做直线运动,有02Eq qv B = 解得02E v B =粒子在磁场B1中匀速圆周运动,有2001v qv B m R= 解得0112mv mE R qB qB B == 由题意知粒子在磁场B1中圆周运动半径与该磁场半径相同,即12mE R qB B = （2）撤去磁场B2,,在电场中粒子做类平抛运动,有 程度标的目标匀加速212Eq R t m=竖直标的目标匀速0y v t == 从y轴出电场的坐标为0211(mE y y R v t qB B '=+== （3）证实：设从O 点入射的任一粒子进入B1磁场时,速度标的目标与x 轴成θ角,粒子出B1磁场与半圆磁场鸿沟交于Q 点,如图所示,找出轨迹圆心,可以看出四边形OO1O2Q 四条边等长是平行四边形,所以半径O2Q 与OO1平行.所以从Q 点出磁场速度与O2Q 垂直,即与x 轴垂直,所以垂直进入MN 鸿沟.进入正交电磁场E 、B2中都有02Eq qv B =故做直线运动.8．解析：（1）由沿y 轴正标的目标射入磁场的粒子,恰能从磁场与电场的相切处进入电场可知粒子M 在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r=0.5m.粒子M 在磁场中匀速圆周运动有：2v qvB m R = 解得6110/qBR v m s m==⨯ （2）由圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等粒子N 在磁场中转过120°角后从P 点垂直电场线进入电场,运动轨迹如图所示.在电场中运动的加速度大小1221.510/Eq a m s m==⨯ 穿出电场的竖直速度57.510/y L v at a m s v===⨯ 速度的偏转角tan 0.75yv v α==在磁场中从P 点穿出时距O 点的竖直距离1 1.50.75y r m ∆==在电场中运动沿电场标的目标的距离22211()0.187522Eq L y at m m v∆=== 射出电场后匀速直线运动,在竖直标的目标上3()tan 0.75y x r L m α∆=--=最好达到荧光屏上的竖直坐标123()0.1875y y y y m =∆-∆+∆=-故发光点的地位坐标（2m,−0.1875m ）9．解析：粒子在磁场中匀速圆周运动,有2v qvB m R =解得0.1mv R m qB== 当把荧光屏MN 向左移动时,屏上光斑长度和地位保持不变,说明粒子是沿程度标的目标从磁场中出射,则所加的磁场为圆形,同时圆形磁场的半径与电子在磁场中匀速圆周运动的半径相等,即R=0.1m ；且圆形磁场的圆心在y 轴上O 点正上方,如图所示的O1点.（1）初速度沿y 轴正标的目标的粒子直接从原点穿过y 轴；初速度与x 轴正标的目标成300的粒子,在磁场中转过1500后沿程度标的目标射出,设该粒子圆周运动的圆心为O2,则∠OO2B=1500；设此粒子从y 轴上的A 点穿过y 轴,由几何关连知∠OAO2=300,则有02cos30OA R ==.粒子从y 轴穿过的范围为0~. （2）初速度沿y 轴标的目标入射的粒子经四分之一圆周后速度程度,如图所示,打在光屏上的P 点,有P y R =；初速度与x 轴正标的目标成300入射的粒子,在磁场中转过1500后沿程度标的目标射出,如图所示,打在光屏上的Q 点,有0s 60Q y R R in R =+=+；荧光屏上光斑的长度Q P l y y =-== （3）粒子在磁场中运动的周期8210m T s qB ππ-==⨯打到最高点和最低点的粒子在磁场中运动多用的时间815111012466t T T T s π-∆=-==⨯ 打到最高点和最低点的粒子在磁场外运动多用的时间8211024R t s v -∆==⨯ 打到最高点和最低点的粒子运动的时差间89121()107.71064t t t s s π--∆=∆+∆=+⨯=⨯ （4）所加磁场的最小范围如图所示,个中从B 到C 的鸿沟无磁场分布.。

圆形磁场中的几个典型问题许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手, 分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题” 体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明.一、最值问题的解题关键一一抓弦长 1 .求最长时间的问题例1真空中半径为 R=3X 10 m 的圆形区域内，有一磁感应强 度为B=0.2T 的匀强磁场，方向如图 1所示一带正电的粒子以初速 度v o =106m / s 从磁场边界上直径 ab 一端a 点处射入磁场，已知 该粒子比荷为q/m=108c / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁 场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以V 。

与Oa 的夹角二表示）最长运动时间多长？小结：本题涉及的是一个动态问题， 即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动， 但因其初速度方向变化， 使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化， 并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化， 同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大.2 .求最小面积的问题例2 一带电质点的质量为 m ，电量为q ,以平行于 Ox 轴 的速度v 从y 轴上的a 点射人如图3所示第一象限的区域.为 了使该质点能从 x 轴上的b 点以垂直于x 轴的速度v 射出，可 在适当的地方加一个垂直于 xoy 平面、磁感应强度为 B 的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区 域的最小面积，重力忽略不计.小结：这是一个需要逆向思维的问题， 而且同时考查了空间想象能力， 即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置.解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁 场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的1 /4圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径.上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长. 二、汇聚发散问题的解题关键一一抓半径当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律； 规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场， 如杲圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入 射点的切线方向平行，如甲图所示。

电磁场中磁聚焦和有界问题1、如图所示在xoy 坐标平面内以O ’为圆心，半径r=0.1m 的圆形区域内存在垂直纸面向外的磁感应强度B=0.1T 的匀强磁场，圆形区域的下端与x 轴相切于坐标原点O 。

现从坐标原点O 沿xoy 平面在y 轴两侧各30º角的范围内，发射速率均为v 0=1.0×106m/s 的带正电粒子，粒子在磁场中的偏转半径R 也为0.1m ，不计粒子的重力，粒子对 磁场的影响及粒子间的相互作用力，求①粒子的比荷q/m ，②沿y 轴正方向射入磁场的粒子在磁场中运动的时间。

③若在x ≥0.1m ，y>0的区域有竖直向下的匀强电场，其电场强度E=1.0×105N/C 则粒子到达x 轴的范围。

2.如图，在第二象限的圆形区域I 存在匀强磁场，区域半径为R ，磁感应强度为B ，且垂直于Oxy 平面向里;在第一象限的区域II 和区域III 内分别存在垂直Oxy 平面向外和垂直Oxy 平面向里的匀强磁场，磁场宽度相等，磁感应强度大小分别为B 和2B 。

质量为m 、带电荷量q （q ＞0）的粒子a 于某时刻从圆形区域I 最 高点Q （Q 和圆心A 连线与y 轴平行）进入区域I ，其速度v ＝qBR m。

已知a 在离开圆形区域I 后，从某点P 进入区域II 。

该粒子a 离开区域II 时，速度方向与x 轴正方向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a 相同的粒子b 从P 点进入区域II ，其速度沿x 轴正向，大 小是粒子a 的31。

不计重力和两粒子之间的相互作用力。

求：（1）区域II 的宽度；（2）当a 离开区域III 时，a 、b 两粒子的y 坐标之差。

3、如图所示,在xoy 平面内,以O'(0,R ）为圆心、R 为半径的圆内有垂直平面向外的匀强磁场，x 轴下方有垂直平面向里的匀强磁场，两区域磁感应强度大小相等。

第四象限有一与x 轴成45°角倾斜放置的挡板PQ ，P 、Q 两点在坐标轴上,且OP 两点间的距离大于2R,在圆形磁场的左侧0<y<2R 的区间内、均匀分布着质量为m 、电荷量为＋q 的一簇带电粒子,当所有粒子均沿x 轴正向以速度v 射入圆形磁场区域时,粒子偏转后都从O 点进入x 轴下方磁场，结果有一半粒子能打在挡板上。

圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。

规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。

【典型题目练习】1. 如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板.从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q,质量为m速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是( )A. 只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上B. 对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C. 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D. 只要速度满足v qBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上m2. 如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m, O e分别是ad 、be的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心0(为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T。

一群不计重力、质量m=3< 10 -7 kg、电荷量q=+2x 10 -3C的带正电粒子以速度v=5x 102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是( )A.从Oc边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B. 从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C. 从0c边射入的粒子，出射点分布在ab边D. 从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点3. 如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为0(a, 0),圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E, —质量为m电荷量为+q (q>0)的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：(1)磁感应强度B的大小；(2)粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；(3)若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角0 =300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的(2)求在A 、C 间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x 轴正方向运动?(3)为便于收集沿 x 轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x =2l o 上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设计分布垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场， 使得沿x 轴正方向射出电场的粒 子经磁场偏转后，都能通过x =2l 0与圆形磁场边界的一个交点。

关于圆形有界磁场的几个结论
1．圆形有界磁场的磁感应是沿着圆形有界磁场的中心点放射且向偏离中心点的位置递减的。

2．圆形有界磁场的磁感应强度受圆形有界磁场的半径的影响，当半径变大时磁感应强度变小。

3．圆形有界磁场的磁场强度沿着圆形磁场的中心点向偏离中心点方向递减，但在距离磁场中心太远时磁场强度几乎不受影响。

4．由于圆形有界磁场的磁感应强度和磁场强度是沿着圆形磁场的中心点向偏离中心点方向递减的，因此圆形有界磁场可用两个独立的、以原点为中心的坐标系统来确定。

圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。

规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。

【典型题目练习】1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D．只要速度满足qBRvm，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上2．如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T。

一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（）A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点3．如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：（1）磁感应强度B的大小；（2）粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t 。

高中物理 带电粒子在圆形有界磁场中的运动之--磁聚焦与磁发散模型概述带电粒子在圆形有界匀强磁场中运动时，会出现一束平行粒子经磁场偏转后会聚于边界一点，此现象为磁聚焦；一束粒子从边界一点向不同方向经磁场偏转后平行射出，此现象为磁发散。

等半径原理：圆形磁场半径与粒子运动半径相等时，会出现菱形，如下图所示。

当粒子入射方向指向磁场区域圆心，或粒子入射方向不指向磁场区域圆心，根据几何关系，易证明四边形AOCO'为菱形。

物理建模：模型：如图所示。

当圆形磁场区域半径R 与轨迹圆半径r 相等时，从磁场边界上任一点向各个方向射入圆形磁场的粒子全部平行射出，出射方向与过入射点的磁场圆直径垂直(磁发散)；反之，平行粒子束射入圆形磁场必会聚在磁场边界上某点，且入射方向与过出射点的磁场圆直径垂直(磁聚焦)。

O A证明：如图所示，任意取一带电粒子以速率v从A点射入时，粒子在磁场中的运动轨迹圆半径为R，有界圆形磁场的半径也为R，带电粒子从区域边界C点射出，其中O为有界圆形磁场的圆心，B为轨迹圆的圆心。

图中AO、OC、CO'、O'A的长度均为R，故AOCO'为菱形。

由几何关系可知CO'∥AO，即从C点飞出的粒子速度方向与OA垂直，因此粒子飞出圆形有界磁场时速度方向均与OA垂直。

反之也成立。

解题切入点：分析发现粒子轨道半径与磁场区域圆半径的关系，二者相等为磁聚焦或磁发散，否则不满足该关系，但满足怎么进入怎么出去的角度关系，借助几何关系解答。

【典例1】(磁聚焦)如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。

在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。

在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带电微粒。

发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内．已知重力加速度大小为g。

(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。

圆形有界磁场中磁聚焦集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#高三物理圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。

规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。

【典型题目练习】1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D．只要速度满足qBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上vm2．如图所示，长方形abed的长ad=，宽ab=，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=。

一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad 方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（）A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点3．如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：（1）磁感应强度B的大小；（2）粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t。

圆形边界磁场三个结论是什么？
圆形边界磁场三个结论如下：
这三个结论分别是：
在圆形有界匀强磁场区域内，沿径向射入的粒子，一定沿径向射出。

磁场圆与轨迹圆公共弦最长时等于其中一个的直径。

轨迹圆半径等于（匀强）磁场圆半径的粒子会平行离开磁场。

圆形边界磁场运动的特点：
带电粒子在有界匀强磁场中做不完整的圆周运动，由于磁场区域边界可能是圆形的、三角形的、矩形的等各种几何形状及粒子射入的速度不同，造成它在磁
场中运动的圆弧轨迹﹑偏转角度、运动时间等各不相同，这成为学生学习的一个难点。