理论力学 第四章 扭转

得：
D 1.022
d1 1.192
16 16
A空 A实
D2 (1 0.582 )
4
d12
0.783
0.512
4
例：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空 心圆管，承受扭矩T=180 kN·m 。试求管中 的最大剪应力，使用： (1)薄壁管的近似理论； (2)精确的扭转理论。
解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得
16
极惯性矩：
d4
实心圆： I p 32
空心圆：I p
(D4 d 4) 32
D4
32
(1 4 )
抗扭截面模量：
实心圆：
Wt
d3
16
空心圆：
Wt
D3
16
(1 4 )
三、强度计算
1、强度条件：引起扭转破坏的因素是剪应力。
max
Tm a x Wt
[ ]
2、强度计算的三类问题
① 强度校核及验算
4）对于小锥度圆杆可作近似计算
2、当扭矩和横截面都是变量时，则用分段积分式。
T dx T dx T dx
l1 GI p
l2 GI p
ln GI p
阶梯轴的扭转角等于其每一段相对扭转角之和
三、刚度条件：工程中常用单位长度转
d
dx
T GI p
角表示扭转程度
[] rad
/
m
T 180 [] GI p
max
抗扭截面模量
T I
p
max
T Wt
max
max
CL5TU9
二、截面的几何性质：
1、极惯性矩：某面积到某极点距离平方与面积的 乘积。其表示该截面对扭矩的惯性的大小。

2024年3月15日
1. 轮C作平面运动，
C1为其速度瞬心，C。
2. BD作平面运动，
C2为其速度瞬心，BD。
3. AB作平面运动，
C3为其速度瞬心，AB。
43
平面图形在任一瞬时的运动可以 视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬 心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若点C 为速度瞬心，则任意一点A的速
度大小为 vA AC ω 方向A C，指
16
车轮的运动分解
车轮的平面运动可以看成 是车轮随同车厢的平移和 相对车厢的转动的合成．
车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）
车厢（动系 A x y ) 相对定系的平移（牵连运动） 车轮相对车厢（动系 A x y )的转动（相对运动）
2024年3月15日
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2024年3月15日
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转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。
aB cos 300 aBnA
式中
aBnA
AB
2 AB
15 3 ( 2 )2 20 3 2cm/s2
3
3
aB aBnA / cos 300
40 2cm/s2
3
aB 8 2cm/s2
R9
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例2. 已知 : OA = r AB = l、ω
求: vc、ac 解： 各联接点速度如图.
将 vB vA vBA 在AB连线上投影
vBA AB
有 [vB ]AB [vA ]AB
基点法投影式.
或 vB cos vA cos
2024年3月15日
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结 论：S上任意两点的速度在这两点
连线上投影相等. 意 义：刚体上两点距离不变. 注 意：仅在两点连线上成立.

,
题解：
由于B端固定，φB¹ 则有: =0
B
T1 a GI P T2 (a b) GI P TB (a b c) GI P
2
0
T1 2
式中设TB与T1同向，代入 T 其中： a c 得 T 5T1 B
8
4
b
2
（与假设方向相反）
画出图如图所示。
12tl
2
题13：图示一实心钢轴插入一铜管中，设彼此之间无摩 擦力，A端用一销钉连接，此时B端轴与管的销钉相差φ 角，施加外力偶使轴与管相对转动，插入另一销钉，已 知：轴长为l，实心钢轴的抗扭刚度为GIp，铜管的抗扭刚 度为轴的2倍，求移去外力偶后轴与管的内力。
题解：
设轴和管的扭矩分别为T1 和T2
39、题解:
M x 0
有
T 0
Dt
D 2

2T
D t
2
'
由剪应力互等定律，纵截面上的 纵向截面上的总剪力

'
，
Q l t l t
n Q A 2T
由铆钉的剪切强度条件，有
D A
2
一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。
x
4
1 32T l 1 1 d d d d 3 d 3 0 GI x 3G b p a a b Tdx
题7：若圆截面轴AB，其左端固定，承受 均布力矩 t 作用，试导出该轴B端的扭转 角。 题解：
二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（a），厚 度中点处，应力为零。
当h/b>10时，截面为狭长矩形： =1/3

注意以下几点：
1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的； 2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角 速度的正负； 3. 系统中有转动和平动，
转动物体——转动定律 平动物体——牛顿定律 .
例题1 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两
端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图所
O 'P 2 ＝ x2y＋ d2
P对Z轴的转动惯量
m O 'P 2 = m x 2 y ＋ d 2= m x 2 y 2 ＋ d 2 2 yd
= m O 2 ＋ d P 2 2 yd
J＝ m O 'P 2= m O2 ＋ P d22yd
＝ m O2 P m d2 m 2yd
，问它经过多少时间才停止转动？
w
d r R
dr
e
解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元
的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
.
此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
M = rdmg= grreddr
dt dθ dt d θ
有 ωdω=3gsinθdθ 2l
m,l FN
θ mg
对上式积分，利用初始条件， O
w 0wdw=032gl sind
解得： ω= 3g(1cosθ) l
.
例题3 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗
糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆 盘最初以角速度w0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转
动惯量不同。
.
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
.