微积分全英课件chapter5.3

i0 n
n
i1 n
n
Example
Ex. Determine a region whose area is equal to the given
limit
(1) lim
n
2 (5 2i )10
n n i1
n
n i
(2) lim
tan
n i1 4n 4n
Definition of definite integral
Ex. Use the definition of definite integral to prove that b f (x) c is integrable on [a,b], and find cdx. a
Interpretation of definite integral
b
If f (x) 0, the integral f (x)dx is the area under the a curve y=f(x) from a to b
Idea: first, divide the time interval [a,b] into n subintervals;
then, approximate the distance di in each subinterval [ti-1,ti]
by di¼(ti-ti-1)v(xi) since v(t) does not vary toonmuch and
lim
n
i1
Si
always exists and has same value.
The distance problem
Problem: find the distance traveled by an object during the time period [a,b], given the velocity function v=v(t).

多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
20
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
23
在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度 之间的关系，通过微积分可以精 确地计算物体的运动轨迹和速度 变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律 ，微积分可用于求解牛顿第二定 律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规 律，微积分可用于求解麦克斯韦 方程组等电磁学基本方程。
2024/1/25
9
微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积 微分法则、商微分法则等 。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有 理化分母等，用于简化复 杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函 数和参数方程，可通过微 分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领 域中的应用，如求曲线的 切线、求速度加速度、求 边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖 于Δx, Δy而仅与x,y有关，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。

初等函数在定义区间上有原函数
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定理 . 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
故
(x) F(x) C0 (C0 为某个常数)
即 (x) F(x) C0 属于函数族 F(x) C .
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
x
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(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
或 arccot x C
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arccos x C
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
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例. 求 解:
dx a 1 (ax)2
d
(
x a
)
1
(
x a
)2
想到
d u arcsinu C 1u2
f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(直接配元)
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例4. 求 解:
例1. 求
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
注: 当
时
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数学中的每一个定理，不论验证了多少实例，只有当 它在逻辑上被严格证明时，才能在数学中
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成立. 在数学中要证明一个定理，必须是从条件和 已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出 结论.
(3)广泛的应用性
高等数学具有广泛的应用性. 例如，掌握了导数 概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的 切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻 画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用 它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等 等经济量；……
③ 对应法则f , 使对 xX,有唯一确定的
yf(x)与之对应. (2) 对 xX,元素 x 的像y是唯一的; 而对 yRf ,元素 y 的原像不一定是唯一的; 映射 f 的值域 R f 是Y 的一个子集, 即Rf Y, 不一定 Rf Y.
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2. 几类重要映射 设映射 f : X Y. 若Rf Y,即Y 中任一元素y 都是X中某
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同学们要注意抓好学习的六个环节
高等数学这门课是同学们进入大学后的一门最 重要的基础课. 由于在教学方法上、在对学生能力 的培养目标上与中学时有很大的不同，因此，同学 们在一开始可能会感到有些不适应. 为了尽快适应 新的学习环境，要注意抓好以下六个学习环节.
(1)预习 为了提高听课效果，每次上课前应对教师要讲的
一个法则f , 使得对 xX,通过f , 在Y中有唯一
确定的元素 y 与之对应, 则称f 为 从 X 到 Y 的映
射 (或算子), 记作
f : XY,
并称y为x(在映射f下)的 像, 并记作 f (x), 即
yf(x), x称为y的 原像.
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解析：f(t)＝∫10(1－2x＋2t)dx＝[(1＋2t)x－x2]|10＝2t. 答案：2t
[迁移探究 2] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(2tx2－ t2x)dx，则 f(t)的最大值是________．
解析：因为∫10(2tx2－t2x)dx＝23tx3－12t2x2|10＝ 23t－12t2，所以 f(t)＝23t－12t2＝－12t－232＋ 29， 所以，当 t＝23时，f(t)有最大值为29. 答案：29
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 答案：[－2，0]
[迁移探究 1] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(1－2x＋ 2t)dx，则 f(t)＝________．
温馨提示 在找被积函数的原函数时，必须熟练掌握 导数的运算法则，否则易出错．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面 积为 S 下，则：
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图①所示， 则∫baf(x)dx＝S 上．
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②所示， 则∫baf(x)dx＝－S 下．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 计算下列定积分： (1)∫325x4dx； (2)∫31(1＋x＋x2)dx； (3)∫31 x＋ 1x26xdx. 解：(1)因为(x5)′＝5x4，
所以∫325x4dx＝x5|32＝35－25＝243－32＝211.

Methods for finding limits using algebra
Types of Limits
One-sided limits
Limits approached
from one direction
Limits at infinity
Behavior of functions at
infinity
● 02
第2章 Limits and Continuity
01 Definition of a limit
Explanation of what a limit is
02 Properties of limits
Key characteristics of limits
03 Calculating limits algebraically
Graphing functions by analyzing their derivatives and key points
Higher Order Derivatives
Second derivative
Rate of change of the rate of
change
nth derivative
● 03
第3章 Differentiation
Derivatives and Rates of
Change
A derivative is defined as the rate of change of a function at a given point. Notation for derivatives includes symbols such as f'(x) or dy/dx. Derivatives can be interpreted as rates of change in various realworld applications.

Properties: Continuity, differentiation, integrity, etc
Limits and continuity
Definition: A limit is the value that a function approaches as the input approaches a certain point Continuity means that the function doesn't have any breaks or jumps at any point
Course structure
03
The course is divided into several modules, each focusing on a specific topic in calculus Learners can complete the course at their own pace and in any order of the modules
Properties: One side limits, absolute continuity, uniform continuity, etc
Differentiation
Definition: The derivative of a function at a point is the slope of the tangent line to the graph of the function at that point It can be used to find the rate of change of a function
Integral definition: The integral of a function is a measure of the area under its curve It is calculated by finding the limit of the sum of areas of rectangles under the curve as the width of the rectangles approaches zero

极限和连续性的关系：极限是连续 的必要条件，但不是充分条件
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
连续性：函数在某点或某区间上的 连续性
极限和连续性的应用：在微积分中， 极限和连续性是解决许多问题的基 础
导数：函数在 某一点的斜率， 表示函数在该
点的变化率
微分：函数在 某一点的增量， 表示函数在该
点的变化量
定义：含有两个未知函数 及其导数的方程
形式：ax^2+bx+c=0
解：通过求解特征方程得 到
应用：广泛应用于物理、 工程等领域
高阶微分方程：含有未知函数及其高阶导数的方程 线性微分方程组：含有未知函数及其导数的线性方程组 求解方法：包括积分法、幂级数法、拉普拉斯变换法等 应用领域：广泛应用于物理、化学、工程等领域
级数的形式
应用：在微积 分、数学分析、 物理等领域有
广泛应用
例子：泰勒级 数在求解微分 方程、积分方 程、傅里叶变 换等方面有重
要应用
感谢您的观看
汇报人：PPT
物理概念：力、速度、加速度、质量、能量等
几何概念：直线、平面、曲线、曲面、体积、面积等
物理和几何的结合：力与运动的关系、力与能量的关系、力与几何形状的关系等
微积分在物理和几何中的应用：微积分在力学、光学、电磁学等领域的应用，以及在几何学、 拓扑学等领域的应用。
微积分基本概念
极限：函数在某点或某区间上的极 限值
微积分在物理中 的应用：微积分 在物理中的应用 广泛，如力学、 电磁学、热力学 等
微积分在工程中 的应用：微积分 在工程中的应用 广泛，如建筑、 机械、电子等
微分方程
定义：含有一个未 知函数和一个未知 函数的导数的方程

Applications of Derivatives
Local Extrema
Discover how derivatives help identify local maximums and minimums of functions.
Mean Value Theorem
Explore the mean value theorem and its applications in calculus.
Gradients and Directional Derivatives
2
derivatives and their applications in multivariable calculus.
Learn about gradients and
directional derivatives for
Derivatives
1
Definition of a Derivative
Uncover the definition and
Differentiability and Continuity
2
fundamental properties of derivatives.
Understand the relationship
Discover the conditions for a function to be continuous and its implications.
Explore the different types of discontinuities and their characteristics.
Conclusion
Review of Key Concepts

Solution
y
y2 x (1,1)
By solving the system of equations
y x2
o
1
x
y2 x
y
x
2
We find that the points of intersection are(0, 0) and (1, 1).So
A
1
(
0
x x2 )dx
[
Chapter 5 Applications of integrals
Areas between curves
y
y f (x)
A
y g(x)
a
b
x
The area A of the region bounded by the curves y f (x), y g(x) And the lines x a, x b , where f and g are continuous and f (x) g(x) for all
and are continuous and (y) (y) for all
y in [c,d] is
d
A c [( y) ( y)]dy
y
d
x (y)
x ( y)
c
o
x
Example 3 Find the area enclosed by the curves
y2 x and y x2
2 3
3
x2
x3 3
]
1 1 03
or
1
A ( 0
y y2 )dy
[
2 3
3
y2
]y3
3
1 0
1 3

不定积分的性质
包括线性性质、积分区间可加性 、常数倍性质和积分与微分互逆 性质。
基本积分公式与法
则
包括幂函数、三角函数、指数函 数、对数函数等基本初等函数的 不定积分公式，以及分部积分法 、换元积分法等基本积分法则。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，表达形式为 ∫[a,b]f(x)dx，表示函数f(x)在区间[a,b]上的面积。
根据未知函数及其导数的次数划 分
一阶微分方程及其解法
可分离变量法
通过变量分离，将微分方程转化为可积分的 形式
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将一阶线性微分方程转化为 可积分的形式
二阶微分方程及其解法
二阶线性微分方程
具有常系数的二阶线性微分方程的通解结构
振动与波动方程
描述振动与波动现象的二阶线性微分方程
欧拉方程
通过变量替换，将欧拉方程转化为二阶线性微分方程进行求解
高阶微分方程的降阶法
通过变量替换或积分法，将高阶微分方程降阶为一阶或二阶微分方程进行求解
05
多元函数微积分学
多元函数的基本概念
01 02
多元函数的定义
设$D$为一个非空的$n$ 元有序数组的集合， $f$为某一 确定的对应规则。若对于每一个有序数组$( x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实 数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$ 元函数。
三重积分的定义
设三元函数$f(x,y,z)$在可求体积的有界闭区域$Omega$上连续，将$Omega$任意分成$n$个小闭区域$Delta V_1,Delta V_2,…,Delta V_n$，记各小闭区域的直径中的最大值为$lambda $。若不论对$Omega $如何分割 及如何选取点$(xi_i,eta_i,zeta_i)$，只要当$lambda to 0 $时，和式$sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i,zeta_i)Delta V_i $的极限存在且唯一，则称此极限为函数 $f(x,y,z) $在区域 $Omega $上的三重积分。

▪ 5.1 Areas and Distances
The area problem
Area of rectangle Area of trapezoid 1. Areas of curved trapezoid Suppose the curved trapezoid is bounded by
Next we assume that f(x) is not a constant function. Since f(x) is continuous on [a, b], f(x) takes on the minimum and the maximum values on [a, b]. Let f(u) = m and f(v) = M be the
1 0
x2
dx
lim
0
n
i 1
i
2xi
y
y x2
lim
n
1 3
o
i 1x
n
Example 2. Use the definition to evaluate Solution: Use
to divide [1, 3] into n subintervals of equal width. We choose
and Find the area of A .
y f (x)
A?
Method:
1) Partition:
a x0 x1 x2 xn1 xn b
Use the lines x xi to divide A into small curved trapezoid;
2) Approximation: i [xi1 , xi ]
letter in place of x without changing the value of

实际应用
极值问题在经济学、物理学等领域有广泛应 用，如成本最小化、利润最大化等。
曲线的长度
曲线长度公式
利用微积分计算曲线的长度。
参数方程
通过参数方程将曲线表示为参数的函数，便于计算长度。
实际应用
在工程、地理等领域，需要计算各种曲线的长度，如河流长度、 道路长度等。
面积和体积
面积和体积公式
利用微积分计算平面图形的面积和空间图形的体积。
结合律
微积分运算还具有结合律，即函数的微积分运算顺序不影响结果。
交换律
此外，微积分运算还满足交换律，即函数的微积分运算满足交换律 。
微积分运算的法则
分部积分法
分部积分法是微积分运算中的一 种重要方法，它将两个函数的乘 积的导数转化为两个函数的导数 的乘积，从而简化了计算过程。
换元法
换元法是微积分运算中的另一种 重要方法，它通过引入新的变量 来简化计算过程。
如何提高微积分的计算能力？
总结词：掌握计算方法 总结词：细心谨慎 总结词：多做练习题
详细描述：提高微积分的计算能力需要熟练掌握各种计 算方法，如极限的计算、导数的计算和积分的计算等。 掌握这些方法可以更快更准确地完成计算。
详细描述：在微积分的计算过程中，需要细心谨慎，避 免因粗心大意而导致的错误。仔细检查每一步的计算过 程，确保准确性。
微分
微分的定义与性质
微分是函数在某一点附近的小变化量，它描述了函数在该点附近的变化趋势。微分具有一些重要的性质，如线性性、 可加性和可乘性。
微分的计算方法
包括微分的四则运算法则、复合函数的微分法则、隐函数的微分法则等。这些方法可以帮助我们快速准确地计算函数 的微分。
微分的应用
微分在许多领域都有广泛的应用，如近似计算、误差估计、优化问题等。例如，在近似计算中，微分可 以用来估计函数在某一点的近似值；在优化问题中，微分可以用来寻找函数的极值点。