2020届甘肃省天水一中高三下学期复学诊断考试数学(理)试题(含答案)

天水市第二学期第二次模拟考试数学试卷（理科）第I卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（）2．A. B.C.D.2．设为虚数单位，，若是纯虚数，则A. 2B.C. 1D. 3．已知条件：，条件：，则是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．已知是锐角，若，则A. B.C. D.5．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（）A. B.C. 或D.或6．设向量满足，则 ( ) A. 6 B. C. 10 D.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 64B. 32C. 96D. 488．已知随机变量服从正态分布，且，（）A. B.C. D.9．《九章算术》上有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”假设墙厚尺，现用程序框图描述该问题，则输出（）A. B.C. D.10．函数的图象大致为（）A. B.C. D.11．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足b=c，=，若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2，OB=1，则平面四边形OACB面积的最大值是（）A． B．C．3 D．12．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为（）A. B.C. D.1第II卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．设实数，满足则的取值范围是__________.14．的展开式中，的系数是_____________.（用数字作答）15．甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是_____________.16．如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的正方形的中心为，，，，为圆上的点，，，，分别以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得，，，重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（本小题满分12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，且有. （1）求角的大小；（2）当时，求的最大值.18．（本小题满分12分）四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面,,,是中点,点在侧棱上.（Ⅰ）求证:; （Ⅱ）若是中点,求二面角的余弦值;（Ⅲ）是否存在,使平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.19．（本小题满分12分）第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.附表及公式：.20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点，圆，点是圆上一动点，线段的中垂线与线段交于点. （1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且存在点（其中不共线），使得被轴平分，证明：直线过定点..21．（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，试判断函数的单调性；（2）若，求证：函数在上的最小值小于.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（1）写出曲线的参数方程和直线的普通方程；（2）已知点是曲线上一点，求点到直线的最小距离.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.参考答案1．C2．C3．A4．D5．C6．D7．A8．C9．D10．C11．B 12．C 【解析】试题分析：设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则212,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u u u r u u u u r u u u r Q()222max 22,,2121223633,,1222121,,22332OM OM p p p p p x t x t t k t k pt pt t t t y y t ⎧⎧-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴==≤==∴=⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩当且仅当时取等号，，故选C.【考点】抛物线的简单几何性质，平面向量的线性运算【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率k 用参数t 表示出后，可根据表达式形式选用函数或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值． 13．4,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．5-15．乙16．5003π3cm 【解析】如图：连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x ()0x >，则OI=2x ，IE 62x=-. 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以246222x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭n，解得4x =，设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，则OC 22OP 16423==-=，()(2223R2R =+，解得R 3=，外接球的体积345003V 33ππ==3cm 17．(1)4C π=；(2)12解析：（1）由cos cos 2cos 0a B b A c C +-=及正弦定理， 得sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C C +-=，即()sin 2sin cos 0A B C C +-=，即sin 2sin cos 0C C C -=. 因为在ABC ∆中，0A π<<，0C π<<， 所以sin 0A ≠，所以2cos 2C =，得4C π=. （2）由余弦定理，得222222cos 2c a b ab C a b ab =+-=+-， 即()224222a b ab ab =+-≥-， 故()22222ab ≤=+-，当且仅当422a b ==+时，取等号.所以()112sin 22212222ABC S ab C ∆=≤⨯+⨯=+，即ABC S ∆的最大值为12+. 18．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）21.（Ⅲ）23λ=. 解析：（Ⅰ）取AD 中点O ,连接,,OP OB BD . 因为PA PD =,所以PO AD ⊥.因为菱形ABCD 中,60BCD ∠=o ,所以AB BD =. 所以BO AD ⊥.因为BO PO O ⋂=,且,BO PO ⊂平面POB ,所以AD ⊥平面POB . 所以AD PB ⊥.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,BO AD PO AD ⊥⊥,因为侧面PAD ⊥底面ABCD ,且平面PAD ⋂底面ABCD AD =,所以PO ⊥底面ABCD . 以O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系O xyz -.。

天水市一中2020届高考一轮复习第六次质量检测数学试题（理科）命题：王传刚刘金卫审题：韩云亮（满分：150分时间：120分钟）一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分）1.已知集合M={|ln(1)x y x =-}，集合N={|,x y y e x R =∈}，(e 为自然对数的底数)则M N ⋂=（）A.{|1x x <} B.{1x x } C.{|01x x <<} D.∅【答案】C 【解析】试题分析：{|ln(1)}{|1}x y x x x =-=<，，故＝．考点：集合的运算．2.已知复数11iz i+=-，则复数z 的模为（）A.2B.C.1D.0【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z i =，然后再求出||||1z i ==即可．【详解】由题意得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，∴||||1z i ==．故选C ．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数z ，属于基础题．3.若命题p 为：[)1,,sin cos x x x p ∀∈+∞+≤⌝为（）A.[)1,,sin cos x x x ∀∈+∞+>B.[),1,sin cos x x x ∃∈-∞+>C.[)1,,sin cos x x x ∃∈+∞+>D.(),1,sin cos x x x ∀∈-∞+≤【答案】C 【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.【详解】根据p ⌝的构成方法得，p ⌝为[)1,,sin cos x x x ∃∈+∞+>.故选C.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.4.一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.9636π+B.7248π+C.4896π+D.2448π+【答案】D 【解析】【分析】该几何体是由两部分组成的，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式可以求解.．【详解】该几何体是由左右两部分组成的锥体，左半部分是四分之一圆锥，其体积V 左=211π6843⨯⨯ =24π，右半部分是三棱锥，其体积1166832V =⨯⨯⨯⨯右=48，所以该几何体的体积2448V 总π=+.故选D.【点睛】本题考查了组合体的三视图问题，以及锥体体积公式，需要平常多强化空间想象能力．5.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是（）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【答案】D 【解析】【分析】先求出从五个节日中随机选取两个节日的所有基本事件数，再求出春节和端午节至少有一个被选中的基本事件数，然后根据古典概型概率公式求解即可．【详解】由题意得，从五个节日中随机选取两个节日的所有情况有2510C =种，设“春节和端午节至少有一个被选中”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为123227C C +=．由古典概型概率公式可得12322527()0.710C C P A C +===．故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：一是判断出所求概率的类型，本题中结合题意可得属于古典概型；二是正确求出所有的基本事件数和所求概率的事件包含的基本事件数．求事件的个数时可根据排列组合的知识求解，本题考查分析判断能力和计算能力，属于基础题．6.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a 为（）A.4B.2C.0D.14【答案】B 【解析】【分析】根据循环结构的特点，先判断、再根据框图中的程序依次执行，分别计算出,a b 的值，即可得到结论．【详解】依次运行框图中的程序：①由于14,18a b ==，满足a b <，故18144b =-=；②由于14,4a b ==，满足a b >，故14410a =-=；③由于10,4a b ==，满足a b >，故1046a =-=；④由于6,4a b ==，满足a b >，故642a =-=；⑤由于2,4a b ==，满足a b <，故422b =-=．此时2a b ==，故输出2a =．故选B ．【点睛】程序框图的填充和判断算法的功能是算法问题在高考中的主要考查形式，和函数、数列的结合是算法问题的常见载体，解决问题的关键是搞清算法的实质，模拟运行算法以得到结果，考查理解和运用能力．7.在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =()A.8B.16C.22D.44【答案】C 【解析】【分析】本道题利用()11n a a n d +-=,得到62a =,再利用()12n n a a n S +=,计算结果,即可得出答案.【详解】利用等差数列满足()11n a a n d +-=,代入8101+12a a =,得到()1117912a d a d +=++,解得1652a d a +==()111611112112222a a a S +⋅===,故选C.【点睛】本道题考查了等差数列的性质,利用好()11n a a n d +-=和()12n n a a n S +=,即可得出答案.8.已知函数()sin()(0,)2f x x πωφωφ=+><图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（）A.关于点(,0)12π对称 B.关于点(,0)12π-对称C.关于直线12x π=对称 D.关于直线12x π=-对称【答案】A 【解析】【分析】由函数y=f（x）的图象与性质求出T、ω和φ，写出函数y=f（x）的解析式，再求f（x）的对称轴和对称中心．【详解】由函数y=f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，可知其周期为π，所以ω=2Tπ=2，所以f（x）=sin（2x +φ）；将函数y=f（x）的图象向左平移3π个单位后，得到函数y=sin [2（x+3π）+φ]图象．因为得到的图象关于y 轴对称，所以2×3π+φ=kπ+2π，k∈Z，即φ=kπ﹣6π，k∈Z；又|φ|＜2π，所以φ=﹣6π，所以f（x）=sin（2x﹣6π），令2x﹣6π=kπ，k∈Z，解得x=2k π﹣12π，k∈Z；k=0时，得f（x）的图象关于点（12π，0）对称，A 正确．【点睛】解决函数()()sin f x A x ωϕ=+综合性问题的注意点（1）结合条件确定参数,,A ωϕ的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将x ωϕ+看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．9.在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（）A.1B.2C.-2D.-1【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则(0,2)A ．设点P 的坐标为(,)x y ，则(,2),(,)PA x y PO x y =--=--，故22()22(2)PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+-222[(1)]22x y =+--≥-，当且仅当0,1x y ==时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为2-．选C．10.已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，PA PD ==P ABCD -外接球的表面积为（）A.10πB.4πC.16πD.8π【答案】D【详解】因为PAD ∆为等腰直角三角形，PA PD ==故,则点到平面ABCD 的距离为,而底面正方形的中心到边的距离也为,则顶点正方形中心的距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形ABCD 的中心是球心,则球的半径为,所以该几何体外接球的表面积,应选D ．11.抛物线C 1：y ＝12px 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：23x －y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝()．A.16B.8 C.3D.3【答案】D 【解析】试题分析：由已知可求得抛物线1C 的焦点F 坐标及双曲线2C 的右焦点F 1的坐标，从而就可写出直线FF 1的方程，联立直线方程与抛物线的方程可求得点M 的横坐标，从而由导数的几何意义可用p 将1C 在点M 处的切线的斜率表示出来，令其等于双曲线2C 渐近线的斜率从而可解出p 的值．因为抛物线1C ：212y x p=()0p >的焦点F （0，），双曲线2C ：2213x y -=的右焦点F 1（2，0），渐近线方程为；所以直线FF 1的方程为：代入212y x p=并化简得，解得，由于点M 在第一象限，所以点M 的横坐标为：，从而1C 在点M 处的切线的斜率=，解得：；故选D ．考点：1．抛物线的性质；2．双曲线的性质；3．导数的几何意义．【此处有视频，请去附件查看】12.已知函数f（x）＝e ﹣x﹣2x﹣a，若曲线y＝x 3+x+1（x∈[﹣1，1]）上存在点（x 0，y 0）使得f（y 0）＝y 0，则实数a 的取值范围是（）A.（﹣∞，e ﹣3﹣9]∪[e+3，+∞） B.[e ﹣3﹣9，e+3]C.（e ﹣3﹣9，e 2+6）D.（﹣∞，e ﹣3﹣9）∪（e+3，+∞）【答案】B 【解析】因为曲线31y x x =++在[]()1,1x ∈-上递增，所以曲线[]()311,1y x x x =++∈-上存在点()00,x y ，可知[]01,3y ∈-，由()00f y y =，可得000002,3y y y e y a a e y --=--∴=-，而003ya e y -=-在[]1,3-上单调递减，39,3a ee -⎡⎤∴∈-+⎣⎦，故选B.二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.53)x的展开式的常数项为__________．【答案】15-【解析】【分析】在53x ⎫⎪⎭展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求出r 的值，即可求出展开式的常数项．【详解】解：由于53x ⎫-⎪⎭展开式的通项公式为55415·(1)·3·r r r r r T C x -+=-，令550r -=，解得1r =，故展开式的常数项是15-，故答案为15-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14.已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．【答案】6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线322zy x =-，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由32z x y =-可得322zy x =-．平移直线322z y x =-，结合图形可得，当直线322zy x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值．由题意得A 点坐标为(2,0)，∴min 326z =⨯=，即32z x y =-的最小值是6．故答案为6．【点睛】求目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值时，可将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y xb b =-+，通过求直线的纵截距z b 的最值间接求出z 的最值．解题时要注意：①当0b >时，截距zb取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；②当0b <时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．15.设1F 、2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，满足()220OP OF PF +⋅= （O 为坐标原点），且1234PF PF =，则双曲线的离心率为．【答案】5【解析】试题分析：由于点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得122PF PF a -=，12124863PF PF PF a PF a =∴==，，，222222200OP OF PF OP OF OF OP OP OF +⋅=∴+⋅-=∴= （），（）（），，则12PF F ∆中，21OP OF OF ==，则1290F PF ∠=︒，由勾股定理得2221212||||PF PF F F +=，即有22264364a a c +=，55c a e ∴=∴=，．考点：双曲线的简单性质16.设函数()(21)x f x e x ax a =--+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是_________【答案】3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由()0f x <得到()2122xex ax a -<-，设()()21x g x e x =-，22y ax a =-，从而由题意可得存在唯一的整数0x ，使得()0g x 在直线22y ax a =-的下方．利用导数得到函数()g x 的单调性，然后根据两函数的图象的相对位置关系得到关于实数a 的不等式组，进而得到所求范围．【详解】由()()21220xf x e x ax a =--+<，得()2122xex ax a -<-,其中1a <，设()()21xg x e x =-，22y ax a =-，∵存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，∴存在唯一的整数0x ，使得()0g x 在直线22y ax a =-的下方．∵()()21xg x e x '=+，∴当21x <-时，()0,()g x g x '<单调递减；当12x >-时，()0,()'>g x g x 单调递增．∴当12x =-时，12min 1()()22g x g e -=-=-，又当0x =时，(0)1,(1)0g g e =-=>，直线22y ax a =-过定点()1,0，斜率为2a ，所以要满足题意，则需()()12011322a g g e a a -⎧->=-⎪⎨-=-≥--⎪⎩，解得3142a e ≤<，∴实数a 的取值范围是31,42e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故答案为31,42e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查用导数研究函数的性质和函数图象的应用，具有综合性和难度，考查理解能力和运算能力，解题的关键是正确理解题意，将问题转化为两函数图象的相对位置关系来处理，进而借助数形结合的方法得到关于参数的不等式（组），进而得到所求．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必答题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =+．()1求角A ；()2若a =，ABC ，求ABC 的周长．【答案】(1)23π；(2)4+【解析】试题分析：(1)利用将边化成角即可；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理得出关于的方程.规律总结：解三角形问题，往往要综合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式以及三角恒等变形等知识，综合性较强，主要思路是利用有关定理实现边、角的合理互化.注意点：1.转化成，是学生思维的难点；2.第二问中，要注意整体思想的运用，而不是分别解出的值，可减少计算量.试题解析：(1)由及正弦定理，得,又,,.(2)因为三角形的面积公式所以，由余弦定理，得：，三角形的周长为.考点：1.正弦定理;2.余弦定理3.三角形的面积公式18.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；（ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）答案见解析；（ii ）67．【解析】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=34337C CCk k-⋅（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为()127E X=．（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为6 7．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=34337C CCk k-⋅（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为X0123P 13512351835435随机变量X的数学期望()11218412 0123353535357E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=6 7．所以，事件A发生的概率为6 7．点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．19.如图,在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，1AB BC PA ===，2AD =，90PAD DAB ABC ∠=∠=∠=︒，点E 在棱PC 上，且CE CP λ=.（Ⅰ）求证：CD AE ⊥；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得二面角C AE D --的余弦值为105？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）105.【解析】试题分析：(1)由边长和勾股定理得CD AC ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，由定理证得CD ⊥平面PAC CD AE ∴⊥(2)建立空间直角坐标系,得出平面AEC 的一个法向量为()1,1,0n CD==-，设平面AED 的一个法向量为m ，由题意计算得出结果解析：（Ⅰ）过点C 作CF AB 交AD 于D ，1AB BC == ，2AD =，90DAB ABC∠=∠=四边形ABCF 为正方形，且1AF FD ==，2AC =在Rt CFD 中，2CD =，在ACD 中，2224CD AC AD +==CD AC ∴⊥90,PAD PA AD∠=∴⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD=PA ∴⊥平面ABCD PA CD∴⊥,PA AC ⊂ 平面PAC ，且PA AC A⋂=CD ∴⊥平面PAC CD AE∴⊥（Ⅱ）90PAD PA AD∠=∴⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD=PA ∴⊥平面ABCD PA CD ∴⊥，PA AB⊥以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，()()()()()()0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,2,0,1,1,0,0,2,0A P C D CD AD =-=假设存在实数λ使得二面角C AE D --的余弦值为5，令CE CP λ= 点E 在棱PC 上，[]0,1λ∴∈设()()(),,,1,1,1,1,1E x y z CE CP x y z λλ=∴--=--()1,1,E λλλ∴--则()1,1,AEλλλ=--，CD ⊥ 平面PAC ，∴平面AEC 的一个法向量为()1,1,0n CD==-设平面AED 的一个法向量为()111,,m x y z =由00m AE m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩得()()11111100x y z y λλλ⎧-+-+=⎨=⎩令1z =得()1,0,1,0,111m λλλλλ-⎛⎫==-- ⎪--⎝⎭ 取(),0,1m λλ=--10cos ,5m n m n m n⋅∴==化简得23840λλ-+=又[]0,1λ∈23λ∴=存在实数23λ=使得二面角C AE D --的余弦值为105.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，点33,2M ⎫⎪⎭在椭圆C 上.（I）求椭圆C 的标准方程；（II）若不过原点的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，与直线OM 交于点N ，并且点N 是线段AB 的中点，求OAB 面积的最大值.【答案】（1）椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）OAB 3.【解析】【分析】（1）根据离心率为12，点33,2M ⎫⎪⎪⎭在椭圆C 上，结合性质222a b c =+，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（2）先判断直线的斜率存在，设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，与22143x y +=联立消y ，得()2223484120k x kmx m +++-=，由N 在直线12y x =上求得32k =-，利用弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式求得()223126OAB S m m∆=-，利用基本不等式可得结果.【详解】（1）由椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点33,2M ⎫⎪⎪⎭在椭圆C 上，得2222222123314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）易得直线OM 的方程为12y x =.当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线12y x =上，故直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，与22143x y +=联立消y ，得()2223484120k x kmx m +++-=，所以()()()2222226443441248340k m k mk m ∆=-+-=+->.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+.由()121226234m y y k x x m k +=++=+,所以AB 的中点2243,3434kmm N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,因为N 在直线12y x =上，所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =-，所以()248120m∆=->，得m -<<，且0m ≠，21AB x =-=2=又原点O 到直线l的距离d =12OABS ∆==≤=，当且仅当2212mm -=，即m=时等号成立，符合m -<<，且0m ≠，所以OAB ∆.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值.21.已知()ln a f x x x=+．()1求()f x 的单调区间和极值；()2若对任意0x >，均有()2ln ln x a x a -≤恒成立，求正数a 的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）0a e <≤.【解析】试题分析：（1）求导通分后，对a 分成0,0a a ≤>两类，讨论函数的单调区间和极值.（2）化简圆不等式为2ln ln aa x x≤+对任意0x >成立.由（1）知ln ln 1,ln 1a a a ≤+≤，由此求得0a e <≤.试题解析：解：（1）()221'a x a f x x x x-=-=.i)0a -≥时，()'0f x >，即()0,a f x ≤在()0+∞，为增函数，无极值ii)()()0,0,'0,,'0a x a f x x a f x ><，()f x 在()0+∞，有极小值，无极大值()f x 的极小值()ln 1f a a =+.（2）2ln ln ,2ln ln a x a x x a a x x-≤-≤，2ln +ln aa x x≤对0x >恒成立由（1）可知∴2ln ln 1,ln 1a a a ≤+≤.∴0a e <≤.点睛：本题主要考查导数与函数单调区间、极值的求法，考查不等式恒成立问题的转化方法.第一问要求函数的单调区间和极值，先求函数的定义域，然后求导并通分，通分后分子是含有参数a 的一次函数，故要对a 进行分类讨论.第二问可将原不等式转化为第一问的结论来证明.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2cos 124πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，求点M 到,A B 两点的距离之积.【答案】（1）2213x y +=，20x y -+=；（2）1.【解析】【分析】（1）直接利用参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的关系写出曲线C 和直线l 的方程即可；（2）将直线l 的代数方程代入椭圆C 的直角坐标方程，整理成一个关于t 的方程，然后利用韦达定理找到12•t t 的值，因为12MA MB t t ⋅=即可得到最后结果．【详解】（1）曲线C 化为普通方程为：2214x y +=,由cos 124πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得cos sin 2ρθρθ-=-，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=.（2）直线1l的参数方程为1,2.2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2214x y +=化简得：25302t -=，设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则1265t t =-，∴1265MA MB t t ⋅==.【点睛】本题考查直角坐标方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，重点掌握三种方程之间的关系，从而利用参数方程和极坐标方程来解决解析几何的题目．23.已知()215f x x ax =-+-(a 是常数，a R ∈)．(1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若函数()f x 恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{x |4x ≤-或2x ≥}；（2）(2,2)-【解析】【分析】（1）当a=1时，f（x）14,2136,2x x x x ⎧--<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，把1240x x ⎧<⎪⎨⎪--≥⎩或12360x x ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩的解集取并集，即得所求；②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax +5的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a 的取值范围．【详解】(1)当1a =时，()215f x x ax =-+-=14,2136,2x x x x ⎧--<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，由()0f x ≥，得1240x x ⎧<⎪⎨⎪--≥⎩或12360x x ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得4x ≤-或2x ≥，故不等式()0f x ≥的解集为{x |4x ≤-或2x ≥}．(2)令()f x =0，得215x ax -=-，则函数()f x 恰有两个不同的零点转化为21y x =-与5y ax =-+的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当22a -<<时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当22a -<<时，函数()f x 恰有两个不同的零点，故实数a 的取值范围为()2,2-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

【高三】甘肃省天水一中届高三下学期第一次诊断考试数学（理）试题Word版试卷说明：甘肃省天水市第一中学三年级数学（科学）试题命题人：审稿人：卷一（选择题，共60分）一、选择题：每道小题5分，共60分。

在每个小问题中给出的四个选项中，只有一个符合问题的要求。

1.（a和B都是实数，I是虚数单位），然后a+B=a.1b。

-1c。

7d.-72.给定命题p:，a>0，是的，命题q:，那么以下判断是正确的：a.p是假命题，B.q是真命题，C.是真命题，D.是真命题3，如图所示，设D为边长为L的平方面积，E是函数和D中的（阴影部分）形成的面积。

取D中的任意点，则E中的点的概率为a.b.c.D.4。

设m为边BC上的任意点，n为am的中点，如果λ+μ的值为a.b.c.d.15，则执行图中所示的程序框图，输出值为a.b.c.d.6八个相同的小球排成一行，并涂上红色和白色。

五个涂有红色，一个涂有白色，涂有红色的小球正好是三个连续的。

然后有a.36种绘画方法，b.30种绘画方法，c.24种绘画方法，d.20种绘画方法。

7.给定函数，使函数具有零点的实数的取值范围为a.b.c.d.8。

如果在三角形ABC中，sin（a+b）sin（a-b）=sin2c，那么这个三角形的形状是a.等腰三角形b.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形9。

如果图中显示了金字塔的三个视图（单位：cm），则金字塔的体积等于a.10cm3b。

30立方厘米。

20cm3d。

40cm3，焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线准直与轴线的交点为，该点位于抛物线上，则△ 是a.4 b.8c。

16 d.3211，序列的前和为，序列的一般项公式为，那么的最小值为ab.c.d.（0，+）中有一个定义。

对于给定的正数k，定义函数，取函数，常数，然后a.k的最大值是，b.k的最小值是，C.k的最大值是2，D.k的最小值是第二卷（非多项选择题，共90分）填空：这道大题中有4个小问题，每个小问题5分，总共20分。

2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|y =lgx}，则A ∪B =( )A. RB. (0,+∞)C. [0,+∞)D. [1,+∞)2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 已知平面向量a ⃗ =(k,3),b ⃗ =(1,4)，若a ⃗ ⊥b⃗ ，则实数k 为( ) A. −12 B. 12C. 43D. 344. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 作斜率为k 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=3p ，则k =( )A. √2B. −√2C. ±√2D. ±25. 函数f(x)=x4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.6. 已知圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,√3)B. (1,2)C. (√3,+∞)D. (2,+∞)7. 具有线性相关关系的两变量x ，y 满足的一组数据如表，若y 与x 的回归直线方程为y ̂=3x −32，则m 的值为( )x0123y−11m7A. 4B. 92C. 5D. 68.若m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，则“m⊥n”是“n//α”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)是定义在上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=log 2(1−x).若f(a2−1)<1，则实数a的取值范围是()A. (−√2,0)∪(0,√2)B. (−√2,√2)C. (−1,0)∪(0,1)D. (−1,1)10.将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数的一个对称中心可以是()A. (0,0)B. (π6,0) C. (π3,0) D. (π2,0)11.在(1+x)6(1−2x)展开式中，含x5的项的系数是A. 36B. 24C. −36D. −2412.已知函数f(x)=a(2a−1)e2x−(3a−1)(x+2)e x+(x+2)2有4个不同的零点，则实数a的取值范围为( )A. (12,e) B. (12,e+12)C. (12,1)∪(1,e) D. (12,1)∪(1,e+12)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．14.某班星期二的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要安排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理各1节，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则共有___________种安排方法(用数字作答)．15.在ΔABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若ccosB+bcosC=2acosA，M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是________．16.类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a的正四面体的内切球半径为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.若一个数列的奇数项与偶数项分别都成等比数列，则称该数列为“亚等比数列”，已知数列{a n}：a n=2 [n2]，n∈N∗其中[x]为x的整数部分，如[5.9]=5，[−1.3]=−2(1)求证：{a n}为“亚等比数列”，并写出通项公式；(2)求{a n}的前2014项和S2014．18.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．(1)求直线EC与AF所成角的余弦值．(2)求二面角E−AF−B的余弦值．19.在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A，B，C，D四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务．(1)若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(2)设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．20.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆C所截线段的长及中点坐标21.函数f(x)=−lnx+12ax2+(a−1)x−2(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a>0，求证：f(x)≥−32a．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知函数f(x)=|x+1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x−1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m，且2a+b=m(a>0,b>0)，求2a +1b的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}， B ={x|y =lgx}={x|x >0}， 则A ∪B ={x|x ≥0}=[0,+∞)． 故选：C ．化简集合A 、B ，根据并集的定义写出A ∪B ． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z =4+i4−i =(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ． 故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题． 由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得k 的值． 解：∵平面向量a ⃗ =(k,3)，b ⃗ =(1,4)，a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ·b⃗ =k +12=0， 解得k =−12， 故选A ．4.答案：C解析：本题考查了抛物线的定义，性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．依题意，设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得x 1+x 2=k 2p+2p k 2，根据|AB|=x 1+x 2+p ，即可求得结果． 解：设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，联立方程{y =k (x −p2)y 2=2px ，消y 得k 2x 2−(k 2p +2p )x +k 2p 24=0，Δ>0恒成立，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=k 2p+2p k 2，因为|AB|=x 1+x 2+p ， 所以k 2p+2p k 2+p =3p ，解得k 2=2⇒k =±√2．故选C ．5.答案：A解析：本题主要考查函数图象的识别，利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键．属于基础题． 判断函数的奇偶性，判断函数的对称性，利用特殊值法进行排除判断即可． 解：由4x 2−1≠0，得x 2≠14，得x ≠±12，所以函数f(x)的定义域为{x |x ≠±12}，关于原点对称，函数f(−x)=−x4(−x)2−1=−x4x 2−1=−f(x)，则函数为奇函数，可排除C ，D ， 当x =1时，f(1)=14−1=13>0，排除B ． 故选：A ．6.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 先求出切线的斜率，再利用圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，可得ba >√3，即可求出双曲线C 的离心率的取值范围． 解：由题意，圆心到直线的距离d =√k 2+1=√32， ∴k =±√3，∵圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，∴ba >√3， ∴1+b 2a 2>4， 即c 2a 2>4，∴e >2， 故选：D ．7.答案：C解析：本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．由表中数据计算x −、y −，把样本中心点代入线性回归方程中，求得m 的值．解：由表中数据，计算x −=14×(0+1+2+3)=1.5， y −=14×(−1+1+m +7)=m+74，把样本中心点(1.5,m+74)代入线性回归方程y ̂=3x −32中，得m+74=3×1.5−32，解得m =5． 故选C ．8.答案：B解析：解：∵m ，n 是两条不同的直线，m ⊥平面α， ∴“m ⊥n ”推不出“n//α”， “n//α”⇒“m ⊥n ”，∴“m⊥n”是“n//α”的必要不充分条件．故选：B．“m⊥n”推不出“n//α”，“n//α”⇒“m⊥n”．本题考查命真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．9.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性、函数的单调性，一元二次不等式的解法，属于中档题．当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数，结合偶函数f(x)满足f(−1)=1，可得答案．解：当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数．令f(x)=1，即log2(1−x)=1，解得x=−1．又函数f(x)是定义在上的偶函数，若f(a2−1)<1，则a2−1∈(−1,1)，解得a∈(−√2,0)∪(0,√2).故选A．10.答案：D解析：解：将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得y=sin(x+π3)的图象；再向左平移π6个单位，可得y=sin(x+π6+π3)=cosx的图象，故它的一个对称中心可以是(π2,0)，故选：D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得平移后函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：D解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 把(1+x)6按照二项式定理展开，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数．解：∵(1+x)6展开式中，x 4系数为C 64，x 5系数为C 65，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数为1×C 65+(−2)×C 64故展开式中含x 5的系数为6−30=−24， 故选D ．12.答案：D解析：本题考查了函数零点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，属于中档题． 由题意可得a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，求导，利用导数可得g(x)max =g(−1)=e ，可得，解不等式即可． 解：由得即a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，g′(x)=−(x+1)e x，所以g(x)在(−∞, −1)上单调递增，在(−1, +∞)上单调递减，g(−2)=0， 所以g(x)max =g(−1)=e ，当x >−2, g(x)>0.x →−∞, g(x)→−∞，x →+∞, g(x)→0+， 要使方程有4个不同的零点，则{0<a <e,0<2a −1<e, 2a −1≠a ⇒12<a <1+e2, a ≠1, 即实数a 的取值范围为(12,1)∪(1,e+12)．故选D ．13.答案：−72解析：作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ， 则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72． 故答案为：−72．14.答案：408解析：本题考查排列组合的综合应用，属基础题目． 对数学是否排在上午第一节进行分类即可．解：上午第一节排数学，有A 55=5×4×3×2×1=120种排法， 上午第一节不排数学，也不排体育，数学又必须在上午，所以有A 41×A 31×A 44=4×3×4×3×2×1=288．所以共有120+288=408种方法． 故答案为408种．15.答案：4√33解析：本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于综合题，先由正弦定理和ccosB +bcosC =2acosA ，求得，再由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，b 2+c 2=2+a 22消去a 得(b +c)2=4+bc ，再利用基本不等式可得．解：∵ccosB +bcosC =2acosA ，，，解得，在ΔABC 中，由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，①在ΔAMC 中，， 在ΔAMB 中，，∴b 2+c 2=2+a 22，②由①②消去a 得(b +c)2=4+bc ， ∴(b +c)2=4+bc ≤4+(b+c)24，当且仅当b =c 取“=”，∴b +c ≤4√33，即b +c 的最大值是4√33． 故答案为4√33． 16.答案：√612a解析：本题考查了类比推理，平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，证明时连接球心与正四面体的四个顶点，把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．解：设正四面体的内切球半径为r ，各面面积为S ，正四面体的高为h ， 所以13×ℎ×S =4×13×r ×S ，．故答案为√612a ．17.答案：解：(1)若n 为偶数，不妨设n =2k ，k ∈Z ，则[n2]=[k]=k =n2，此时a n =2 [n2]=2n2． 此时a n+2a n =2n+222n 2=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 2=2的等比数列．若n 为奇数，不妨设n =2k −1，则[n 2]=[2k−12]=k −1=n+12−1=n−12，则a n =2[n2]=2n−12．此时a n+2a n=2n+2−122n−12=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 1=1的等比数列．即{a n }为“亚等比数列，且a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z．(2)∵a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z，奇数项是公比为2，首项a 1=1的等比数列，偶数项是公比为2，首项a 2=2的等比数列， ∴{a n }的前2014项和S 2014=S 奇+S 偶=1×(1−21007)1−2+2×(1−21007)1−2=3⋅21007−3．解析：(1)根据条件求数列的通项公式，利用{a n }为“亚等比数列的条件分别证明奇数项和偶数项是等比数列即可得，(2)利用分组求和和将数列分为奇数项和偶数项，然后利用等比数列的求和公式即可求{a n }的前2014项和S 2014．本题主要考查等比数列的通项公式以及数列求和，根据定义求出数列的通项公式是解决本题的关键．18.答案：解：(1)如图建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，F(0,1，0)，C(0,2，0)，E(2,1，2)， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,2)． ∴cos <AF,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CE⃗⃗⃗⃗⃗ >=22222=−√53， 故直线EC 与AF 所成角的余弦值为√53．(2)平面ABCD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)． 设平面AEF 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，∴{−2x +y =0y +2z =0, 令x =1，则y =2，z =−1⇒n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−1)， ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4+1=−√66． 由图知二面角E −AF −B 为锐二面角，所以其余弦值为√66．解析：本题考查利用空间向量求异面直线夹角及二面角的余弦值，属于中档题．(1)通过建立空间直角坐标系，得到AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用它们的夹角公式即可得到异面直线EC 与AF 所成角的余弦值；(2)利用线面垂直的性质及空间向量求出平面ABCD 与平面AEF 的一个法向量，利用法向量的数量积公式即可得到二面角的余弦值．19.答案：解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件M ，则P(M)=A 44C 52A 44=110，所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P(M)=1−P(M)=910， 答：甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是910； (2)ξ的可能取值为ξ=0,1,2,3,4,5， P(ξ=0)=3545=(34)5， P(ξ=1)=C 51⋅3445=5⋅3445， P(ξ=2)=C 52⋅3345=10⋅3345， P(ξ=3)=C 53⋅3245=10⋅3245，P(ξ=4)=C 54⋅3145=1545，P(ξ=5)=C 55⋅3045=145，ξ的分布列为：所以E (ξ)=∑i ⋅P i 5i=0=54．解析：本题考查离散型随机变量的期望的求解及古典概型．(1)利用古典概型求出甲、乙两人同时承担同一项任务的概型，然后利用对立事件的概率公式求解即可；(2)分析ξ的取值，求出各自的概率，得出分布列，再求期望．20.答案：解：(1)由题意得：b =4,c a =35，又因为a 2=b 2+c 2，解得a =5，椭圆C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)， 设直线被椭圆C 所截线段的端点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 中点为M(x 1+x 22,y 1+y 22)，y =45(x −3)与x 225+y 216=1联立消元得：x 2−3x −8=0，△=41>0，x 1+x 2=3，x 1x 2=−8，x 1+x 22=32,y 1+y 22=45(32−3)=−65，所以，直线被椭圆C 所截线段中点坐标为(32,−65)； |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+1625)(x 1−x 2)2=√415√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，|AB|=√415√9+32=415，直线被椭圆C 所截线段长为415．解析：本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点，转化求解椭圆方程即可．(2)求出直线方程，利用椭圆方程联立通过中点坐标，弦长公式转化求解即可．21.答案：解：(1)f′(x)=−1x +ax +(a −1)=ax 2+(a−1)x−1x=(ax−1)(x+1)x(x >0).①当a ≤0时，f ′(x)<0，则f(x)在(0,+∞)上单调递减；②当a >0时，由f ′(x)>0解得x >1a ，由f ′(x)<0解得0<x <1a ．即f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增；综上，a ≤0时，f(x)的单调递减区间是(0,+∞)，没有单调递增区间； a >0时，f(x)的单调递减区间是(0 , 1a )，f(x)的单调递增区间是(1a ,+∞)． (2)由(1)知f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增， 则f(x)min =f(1a )=lna −12a −1．要证f(x)≥−32a ，即证lna −12a −1≥−32a ，即lna +1a −1≥0， 构造函数μ(a)=lna +1a −1，则μ′(a)=1a −1a 2=a−1a 2，由μ′(a)>0解得a >1，由μ′(a)<0解得0<a <1， 即μ(a)在(0,1)上单调递减；μ(a)在(1,+∞)上单调递增； ∴μ(a)min =μ(1)=ln1+11−1=0， 即lna +1a −1≥0成立． 从而f(x)≥−32a 成立．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出f(x)的最小值，问题转化为lna +1a −1≥0，构造函数μ(a)=lna +1a −1，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0． 法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0， 得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0， ∴方程(∗)有两个不等的实数解． ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内， ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由(1)可知t1+t2=2cosα，t1t2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t1+t2|=2|cosα|=1，∴cosα=±12．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2，因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，解得1≤x≤2或2<x≤4．故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]．(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3．因为2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13×(2×2+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，故2a +1b的最小值是3．解析：(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再分类讨论去掉绝对值，解不等式组后取并集即可得到解集；(2)由(1)知，2a+b=3，再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值．本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．。

绝密★启用前甘肃省普通高中2020届高三年级下学期第一次高考诊断性考试数学(理)试题(解析版)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}1A x x =<，{}21x B x =<，则AB =（ ） A. ()1,0-B. ()0,1C. ()1,-+∞D. (),1-∞ 【答案】D【解析】【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集. 【详解】解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210x B x x x =<=< A B =(),1-∞故选：D【点睛】考查集合的并集运算，基础题.2.已知()32z i i =-,则z z ⋅=（ ）A. 5B.C. 13D.【答案】C【解析】【分析】先化简复数()32z i i =-,再求z ,最后求z z ⋅即可.【详解】解：()3223z i i i =-=+,23z i =-222313z z ⋅=+=,故选：C【点睛】考查复数的运算,是基础题.3.已知平面向量a ,b 满足()1,2a =-,()3,b t =-,且()a a b ⊥+,则b =（ ）A. 3B.C.D. 5 【答案】B【解析】【分析】先求出a b +,再利用()0a a b ⋅+=求出t ,再求b .【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+由()a a b ⊥+,所以()0a a b ⋅+= ()()()12220t ⨯-+-⨯-=,1t =,()3,1b =-,10=b故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算,是基础题.4.已知抛物线()220y px p =>经过点(M ,焦点为F ,则直线MF 的斜率为（ ）A. B. 4 C. 2 D. -【答案】A【解析】。

天水市一中2020届高三第三次模拟考试理科试题（满分：150分时间：120分钟）一、单选题（每小题5分，共60分）1．若集合，集合，则等于（）A． B． C．D．2．为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m=( )A． B．0 C．1 D．0或13．若满足约束条件，则的最小值为( )A．1 B．2 C．-2 D．-14．数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的分别为8、2，则输出的（）A．2 B．3C．5 D．45．“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≥26．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A． B． C． D．7．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A．30种 B．50种 C．60种D．90种8．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C．D．9．外接圆的半径为，圆心为，且，，则A． B． C． D．10．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，以为边作一个等边三角形，若点在抛物线的准线上，则（）A．1 B．2 C．2D．211.一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A．1 B． C． D．12．定义在上的函数，满足，为的导函数，且，若，且，则有（）A．B．C．D．不确定二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于________.14．已知曲线在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则的值为________．15．设＝，则二项式展开式中含项的系数是16．在实数集中定义一种运算“”，具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，；（3）对任意，。

甘肃省天水市第一中学2019-2020学年度第二学期高三诊断考试理科数学天水一中2019-2020学年第二学期高三诊断考试理科数学试题答案一、单选题（每小题5分，共60分）1．A 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．D 9．C 10．A 11．B 12．C二、填空题13．200 14．[4,3)(1,1]--⋃- 15．22 16．4π 三、解答题17．（1）13-=n n a ；（2）2312n n -+ （1）当1n =时，1112231S a a ==-，所以11a =，当2n ≥时，因为231n n S a =-，所以11231n n S a --=-，两式作差得13n n a a -=，即13n n a a -=，因为11a =， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，故13n n a -=；（2）令n n n c b a =-，则1111c b a =-=，3331495c b a =-=-=，所以数列{}n c 的公差3151222c cd --===，故21n c n =-， 所以1213n n n n b c a n -=+=-+，所以()212113312132n n n n n T n +---=+=+-. 18．（1）证明见解析；（2）77. （1）证明：取PC 中点M ，连结BD ，设BD 交AC 于O ，连结OM ，EM ，在菱形ABCD 中，OD AC ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ，∴OD PA ⊥，又PA AC A =I ，PA ，AC ⊂平面PAC ，∴OD ⊥平面PAC ，∵O ，M 分别是AC ，PC 的中点，∴//OM PA ，12OM PA =， 又//DE PA ，12DE PA =，∴//OM DE ，且OM DE =， ∴四边形OMED 是平行四边形，则//OD EM ，∴EM ⊥平面PAC ，又EM ⊂平面PCE ，∴平面PAC ⊥平面PCE .（2）由（1）中证明知，OM ⊥平面ABCD ，则OB ，OC ，OM 两两垂直，以OB ， OC ，OM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由222PA AB BF DE ====及ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒得，2AC =，23BD =，则()3,0,0B ， (0,1,0)C ，(0,1,2)P -，()3,0,1E -， (0,2,2)PC =-u u u r ，()3,1,2PB =-u u u r ，()3,1,1PE =--u u u r ，设平面PBC 的一个法向量为(,,)m a b c =u r ，则00m PB m PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即320220a b c b c ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩， 取1a =，求得3b c ==，所以()133m =u r ,,， 同理，可求得平面PCE 的一个法向量为(0,1,1)n =r ，设平面PBC 与平面PCE 构成的二面角的平面角为θ，则||2342|cos ||cos ,|||||772m n m n m n θ⋅=<〉===⋅⋅r r r r r r ，又[]0,θπ∈，sin 0θ≥， ∴27sin 1cos 7θθ=-=， ∴平面PBC 与平面PCE 构成的二面角的正弦值为77. 19．（Ⅰ）（Ⅱ）最少为元（Ⅰ）选出种商品一共有种选法,选出的种商品中至多有一种是家电商品有种所以至多有一种是家电商品的概率为（Ⅱ）奖券总额是一随机变量,设为,可能值为,,,81 81所以所以,因此要使促销方案对商场有利，则最少为元20．（1）22184x y +=（2）(0,22] （1）当点A 的坐标为141,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，73212OA =+=，所以32AB =． 由对称性，2AF BF a +=，所以2723242a =-=，得22a =将点141,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程 中，解得24b =，所以椭圆方程为22184x y +=. （2）当直线AB 的斜率不存在时，22CD =，此时1222222ACD S ∆=⨯= 当直线AB 的斜率存在时，设直线CD 的方程为(2)(0)y k x k =+≠．由22(2),28,y k x x y =+⎧⎨+=⎩消去y 整理得：2222(12)8880k x k x k +++-=． 显然∆>0， 设()()1122,,,C x y D x y ，则212221228,1288,12k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩故2121CD k x x +-222222888141212k k k k k ⎛⎫-=+-⨯ ⎪++⎝⎭()222232+32112k k k =++)222112k k +=+．因为CD AB λ=u u u v u u u v ()R λ∈，所以//CD AB ，所以点A 到直线CD 的距离即为点O 到直线CD的距离d =， 所以12ACD S CD d ∆=⨯⨯)22112k k +=+===， 因为2121k +>，所以()2210112k <<+，所以0ACDS ∆<<ACD S ∆∈．21．（1）213a <<；（2）(],2-∞. 设x>0时，结合函数的奇偶性得到：()()()ln 1ln ex x f x f x x x +=--== （1）当x>0时，有()()2211ln 1ln x x x x f x x x'⋅-+⋅==-， ()0ln 001f x x x <'>⇔⇔<<；()0ln 01f x x x ⇔⇔>'所以()f x 在（0，1）上单调递增，在()1,∞上单调递减，函数()f x 在1x =处取得唯一的极值．由题意0a >，且113a a <<+，解得所求实数a 的取值范围为213a << （2）当1x ≥时，()()()11ln 1ln 11x x k x k f x k x x x x+++≥⇔≥⇔≤++ 令()()()()11ln 1x x g x x x ++=≥，由题意，()k g x ≤在[)1,+∞上恒成立 ()()()()()'2211ln 11ln ln x x x x x x x x g x x x'⎡⎤++⋅-++⋅-⎣⎦==' 令()()ln 1h x x x x =-≥，则()110h x x=-≥'，当且仅当1x =时取等号． 所以()ln h x x x =-在[)1,+∞上单调递增，()()110h x h ≥=>因此，()()20h x g x x ='> ()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()min 12g x g ==．所以2k ≤．所求实数k 的取值范围为(],2-∞22．（1）点P22⎛ ⎝⎭，；22122x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2试题解析:（1）点P的直角坐标为,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭； 由2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得2cos sin ρθθ=+① 将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入①，可得曲线C的直角坐标方程为221x y ⎛⎛+= ⎝⎭⎝⎭． （2）直线:l2cos 4sin ρθρθ+=240x y +-=，设点Q的直角坐标为cos sin θθ⎫⎪⎪⎝⎭，则cos sin 22M θθ⎫⎪⎭， 那么M 到直线l 的距离：d ===d ∴≥=（当且仅当()sin 1θϕ+=-时取等号）， 所以M 到直线:2cos 4sin l ρθρθ+=． 23．(1) 1a =-.(2) 52m ≤. 详解：（1）显然0a ≠，当0a >时，解集为13,a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，133,1a a -=-=，无解； 当0a <时，解集为31,a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，131,3a a -==-，1a =-， 综上所述1a =-. (2)当1a =时，令()()()2,0,2112232,02,2,2x x h x f x f x x x x x x x --≤⎧⎪=+--=--=-<≤⎨⎪+>⎩由此可知()h x 在(],0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，当0x =时，()h x 取到最小值-2，由题意知，322m -≥-，52m ∴≤.。