名师辅导：2012考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学(七)

2012考研《数学》大纲综述及备考指导2011年9月15日教育部考试中心发布了2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲，与去年相比考试内容和考试要求上没有变化，具体如下：试卷题型结构为：单项选择题 8小题，每小题4分，共32分;填空题 6小题，每小题4分，共24分;解答题(包括证明题) 9小题，共94分.数学一高等数学部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.线性代数部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.概率论与数理统计部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.数学二高等数学部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.线性代数部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.数学三2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.线性代数部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.概率论与数理统计部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.农学数学高等数学部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.线性代数部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.概率论与数理统计部分：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试内容和考试要求与2011年相同.大纲在考试要求和考试内容上没有变化，对于考生来说可以按照既定的复习计划，按部就班的进行备考了。

与此同时，同学们最好能够根据考试大纲上的知识点再系统的复习一下相应的考试点，一方面可以起到巩固提高的作用，另外一方方面，可以形成知识体系脉络。

2012考研数学重要题型攻略—线性代数(七)万学海文为了帮助广大2012年考生更好地复习数学线性代数部分，万学海文数学考研辅导专家在此介绍一下判定向量组的线性相关性方法。

一、定义法．这是判别向量组线性相关性的基本方法．一般步骤为：对于向量组12,,,m ααα ，设11220m m k k k ααα+++= ，若上式当且仅当120m k k k ==== 时才成立，则12,,,m ααα 线性无关，否则，若存在不全为零的数12,,,m k k k ，使得上式成立，则12,,,m ααα 线性相关．二、利用矩阵的秩判别．把向量组的向量作为矩阵的行(列)得矩阵m n A ⨯，通过初等变换求出矩阵的秩，设()m n r A r ⨯=，则()r m m =<A ⇔的行向量组线性无关(相关)；()r n n =<A ⇔的列向量组线性无关(相关)．三、利用行列式判别．这种方法只适用于向量的个数和维数相等的情形．把向量组的向量作为矩阵的行(列)得到方阵n n A ⨯．0(0)A ≠=A ⇔的行、列向量组均线性无关(相关)．四、利用一些重要的结论：1) 若12,,,m ααα 线性无关，则它的任一个部分组必线性无关；2) 若12,,,m ααα 线性相关，则包含12,,,m ααα 的任一向量组均线性相关；3) 若12,,,m ααα 线性无关，则它的任一延长组必线性无关；4) 两两正交、非零的向量组必线性无关；5) 1n +个n 维向量必线性相关．【例】n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是 ( )(A) 存在不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++≠(B) 12,,,s ααα 中任意两个向量都线性无关(C) 12,,,s ααα 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示(D) 12,,,s ααα 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示【答案】(D)【解析】12,,,s ααα 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示，说明D 正确，C 不正确；对于A ，比如1(1,0,0),T α=2(0,1,0),T α= 3(0,0,0)T α=，存在不全为零的数1,1,1，使得12111(1,1,0)0T s ααα⋅+⋅+⋅=≠，但是123,,ααα线性相关，故A 不正确；部分无关，整体不一定无关，比如向量组123(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)T T T ααα===，任意两个向量121323,;,;,αααααα都线性无关，但123,,ααα线性相关，故B 不正确，只有D 正确．。

2012钻石卡考研数学强化阶段重要题型攻略——线性代数（二）万学海文行和相等或列和相等的行列式为行列式中常考数字型行列式，另一类考察相对较多的数字型行列式为三条线型行列式. 下面，万学海文数学钻石卡考研辅导老师们就再次为广大2012年的考生们详细地分析一下。

形如“”，“”，“”，“”的行列式称为爪型行列式．这属于三条线型的行列式，计算方法为：当这类行列式的主(或副)对角线元素不为零时，利用主(或副)对角线元素将其化为上三角形(或下三角形)行列式．形如的行列式称为三对角线型行列式，这也属于三条线型的行列式，计算方法为：①当这类行列式的主(或副)对角线元素不为零时，利用主(或副)对角线元素将其化为上三角形(或下三角形)行列式．②当n D 和r D 结构一致时，利用递推法计算数字型行列式．由行列式按行(或按列)展开定理，将一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系式：21--+=n n n bD aD D 或b aD D n n +=-1，再根据此关系式递推求得所给n 阶行列式的值．【例1】计算行列式dcb a D 002002002222=，其中0≠abcd ．分析 这是形如“”的爪型行列式，即只有三条线上的元素不为零，其余元素均为零的行列式．要化为上三角形(或下三角形)行列式，只需将a 所在的列(或行)中的2化为0即可．解 第2,3,4行分别提出b ，c ，d ，得,100201020012222dc babcd D = 再把第i 行(2,3,4i =)的2-倍加至第1行，得100201020012000444dc bd c b a bcdD ---=bc bd cd abcd dc b a bcd 444)444(---=---=． 评注 求解本题的方法可以推广到求解形如“”、“”、“”的行列式，思路是一样的，都是利用某条线上的元素将另一条线上的元素化为零，从而化为上三角形(或下三角形)行列式． 【例2】计算5阶行列式5100011001100011011a a a a D a aa a a---=------．分析 按照行列式按行(或按列)展开定理，将5D 按第1行展开，找到5D 和4D ，3D 之间的关系，再根据此关系式递推求出5D ．解法一 将5D 按第1行展开，得54100010(1)011011a a a D a D aa a a--=------，将右端的行列式按第1列展开，得54343(1)(1)(1)D a D a D a D aD =---=-+．一般地，可得12(1)(3)n n n D a D aD n --=-+≥，将上式变形，得另一递推公式112n n n n D aD D aD ---+=+，于是得11223211n n n n n n D aD D aD D aD D aD -----+=+=+==+=，即11(2)n n D aD n -=-≥，于是得2543311(1)1D aD a aD a a D =-=--=-+ 223221(1)1a a aD a a a D =-+-=-+-，而 221111a a D a a a-==-+--，所以 232325211(1)D a a a D a a a a a =-+-=-+--+23451a a a a a =-+-+-．评注 本题主要考查行列式按行(或按列)展开定理及递推关系式的应用．用递推法计算行列式n D ，适用于m D 与n D 的结构相同或相似的一类行列式，建立递推关系式的基础是利用行列式按行(或按列)展开定理将行列式降阶．。

2012考研数学强化阶段重要题型攻略—线性代数（十二）万学海文为了帮助广大2012年考生更好地复习数学线性代数部分，万学海文数学考研辅导专家在此介绍一下“求解具体方程组。

” 设A 为n m ⨯矩阵，当n r r <=)(A 时，方程组=0Ax 有非零解．求解非零解的具体步骤为：(1)对系数矩阵A 作初等行变换，化为行阶梯形矩阵．(2)在每个阶梯上选出一列，剩下的)(A r n -列对应的变量就是自由变量．(3)依次对自由变量中的一个赋值为1，其余赋值为0，代入阶梯形方程组中求解，得到)(A r n -个解，设为)(21,,,A ζζζr n - ，即为基础解系．=0Ax 的通解为)()(2211A A ζζζr n r n k k k --+++ ，其中)(21,,,A r n k k k - 为任意常数．当n ,r r <=)()(b A A 时，方程组=Ax b 有无穷多解．设η为=Ax b 的一个特解，则=Ax b 的通解为ηζζζA A ++++--)()(2211r n r n k k k ，其中)(21,,,A r n k k k - 为任意常数．当系数矩阵A 为方阵，且行列式0||≠A 时，方程组=Ax b 有唯一解，可用克莱姆法则求出其唯一解．【例1】a 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++022,02,0321321321x x x x x ax x ax x只有零解？有非零解？在有非零解时求其所有解．分析 系数矩阵A 为3阶方阵，方程组=0Ax 只有零解0||≠⇔A ；方程组=0Ax 有非零解0||=⇔A ．解 2222422122111||a a a a a ---++==A)12)(2(2522+--=-+-=a a a a ．当0||≠A ，即2≠a 且21≠a 时，方程组=0Ax 只有零解；当0||=A ，即2=a 或21=a 时，方程组=0Ax 有非零解． (1)2=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=212212121A ．对系数矩阵A 作初等行变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00001010*******121000030121212212121A ，令13=x ，解得210,1x x ==-，于是得到Τ(1,0,1)=-ζ．原方程组的通解为k =x ζ，其中k 为任意常数． (2)21=a 时，11121122212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ． 对系数矩阵A 作初等行变换：11122121241241001121240360120122212000000000212⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→--→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭A ， 令31x =，解得212,0x x =-=，于是得到T (0,2,1)=-ζ．原方程组的通解为k =x ζ，其中k 为任意常数．。

2012考研数学强化阶段重要题型攻略——高等数学（十一）万学海文在历届考研试题中，含有变限积分与原函数的综合题是比较多的，它的基础知识是需要掌握的，万学海文数学考研辅导专家们在此给出相关做题方法，便于2012年考研的考生复习。

下面，我们来看一下“多元函数的条件极值”。

求目标函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x ϕ下的极值(或（最值）)．拉格朗日乘数法先作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，其中λ为参数，先求(,,)F x y λ的驻点，即解方程组(,)(,)0(,)(,)0(,)0xx x y y y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕϕ⎧'=+=⎪⎪'=+=⎨⎪'==⎪⎩由此解出,x y ，其中),(y x 就是函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下可能取的极值点．注：此方法适用于多个变量多个约束条件的极值例题解析：【例】 求函数22u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值【解析】作拉格朗日函数2222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022010040x y z F x x F y y F F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==--故所求的最大值为16，最小值为4.。

107第七章 多元函数积分学§7.1 二重积分(甲) 内容要点一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题模型I ：设有界闭区域{})()(,),(21x y x b x a y x D ϕϕ≤≤≤≤=其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，(,)f x y 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Dbax x Ddyy x f dx dxdy y x f d y x f )()(21),(),(),(ϕϕσ模型II ：设有界闭区域{})()(,),(21y x y d y c y x D ϕϕ≤≤≤≤=其中12(),()y y ϕϕ在[,]c d 上连续，(,)f x y 在D 上连续则21()()(,)(,)(,)y dDDcy f x y d f x y dxdy dy f x y dx ϕϕσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰关于二重积分的计算主要根据模型I 或模型II ，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D 如果既不符合模型I 中关于D 的要求，又不符合模型II 中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I 或模型II 中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。

二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。

模型I 设有界闭区域{}12(,),()()D γθαθβϕθγϕθ=≤≤≤≤108 其中12(),()ϕθϕθ在[,]αβ上连续，(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。

考研数学强化阶段用书一、《高等数学（下册）》《高等数学（下册）》是考研数学强化阶段的重要参考书之一。

下册主要包括多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、常微分方程等内容。

通过学习该书，可以系统地掌握数学分析的基本概念、理论和方法，提升解题能力。

该书详细介绍了多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分、多元函数的泰勒展开式等重要概念和定理，帮助考生建立起扎实的数学基础。

同时，该书还涵盖了曲线积分与曲面积分的计算方法，以及常微分方程的基本理论和常见解法，为考生提供了全面的数学知识。

二、《线性代数及其应用》《线性代数及其应用》是考研数学强化阶段不可或缺的参考书之一。

该书主要介绍了线性代数的基本概念、线性方程组的解法、矩阵的运算与性质、特征值与特征向量、线性变换和二次型等内容。

通过学习该书，考生可以系统掌握线性代数的基本理论和方法，培养抽象思维能力和解决实际问题的能力。

同时，该书还通过大量的例题和习题，帮助考生巩固所学知识，并提供了一些典型的应用问题，使考生能够将线性代数的理论应用到实际问题中去。

三、《概率论与数理统计》《概率论与数理统计》是考研数学强化阶段的必备用书之一。

该书主要介绍了概率论和数理统计的基本概念、理论和方法，包括概率、随机变量、概率分布、参数估计、假设检验等内容。

通过学习该书，考生可以系统掌握概率论和数理统计的基本理论和方法，培养分析问题、解决问题的能力。

同时，该书还通过大量的例题和习题，帮助考生理解和应用所学知识，并提供了一些实际问题的应用，使考生能够将概率论和数理统计的理论运用到实际问题中去。

四、《数学分析习题解析》《数学分析习题解析》是考研数学强化阶段的重要辅助书籍。

该书主要收录了大量的数学分析习题及其解析，涵盖了数学分析的各个章节和各个知识点。

通过学习该书，考生可以通过大量的习题来巩固所学知识，提高解题能力。

同时，该书还提供了详细的解题思路和方法，帮助考生理解和掌握解题的技巧和方法。

2012年考研数学复习妙招：数学复习一步到位2009年—2011年的全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的考试要求与考试内容完全相同，这3年试题题型分布及分值也没有变化，依然是选择题8个，填空题6个，每题4分，共56分，解答题9个，每题9~12分不等。

考研命题组老师提出——从这3年真题的出题特点及命题方向来看，抓住以下两点可复习一步到位!无论在什么时候，无论在什么阶段，基础都是本、都是纲，一定不能轻视，也不能放松。

把这个本与纲抓住了，冲刺也就不成问题了，拿到基本的100分是没什么问题的。

如果对数学中的基本概念、方法和原理不清楚，解题时肯定会碰到各种各样的问题，容易丢失一些基本分。

研究生考试主要还是考察考生的基本功，在这个基础上才会是更深能力的考察，如果连基础都抓不住，那么其他的难题基本上是无从谈起。

但是从历年的复习情况和阅卷情况来看，考生考得不理想的主要原因还是基本功不扎实，这方面可以参考一下蔡子华的《复习大全》，在基本概念、基本方法和基本定理的梳理上颇有独到之处，而且与实战演练做了一定的结合，比较适合三科整体复习。

对于各种类型的题目，都要掌握其解题方法，这里面有一些规律，有的没有规律，有规律的一定要熟悉解题规律，以便在复习后期能够加速解题。

比如二重积分的求法，首先要把积分区域画出来，画清楚边界函数曲线，要确定是对X积分还是对Y积分，在这个区域画一条平行于坐标轴的直线，如果是对X 积分你做一条平行于X轴且与X轴同向的直线穿过这个区域。

穿进就是积分的下限，穿出就是积分的上限。

另外就是要努力提高解题能力，尤其是解综合性试题和应用题能力，是在考研数学中拿到高分的必要条件。

复习时考生要搞清有关知识的纵向、横向联系，形成一个有机的体系。

高等数学部分试题重复率还是比较高的，历年试卷更能反映出考研数学的出题思路和出题重点，通过对考研试题的类型、特点、思路进行系统的归纳总结，对于提高解题能力是大有帮助的。

线性代数与概率统计的考点有一定的稳定性，近年来出题重点基本未变。

2012高等数学专升本复习资料（刘昌）第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。

会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。

会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。

会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

[主要知识内容]（一）数列的极限1.数列定义按一定顺序排列的无穷多个数称为无穷数列，简称数列，记作{x n}，数列中每一个数称为数列的项，第n项x n为数列的一般项或通项，例如（1）1，3，5，…，（2n-1），…（等差数列）（2）（等比数列）（3）（递增数列）（4）1，0，1，0，…，…（震荡数列）都是数列。

它们的一般项分别为（2n-1）,。

对于每一个正整数n，都有一个x n与之对应，所以说数列{x n}可看作自变量n的函数x n=f（n），它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。

在几何上，数列{x n}可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1,x2,x3,...x n,…。

2.数列的极限定义对于数列{x n}，如果当n→∞时，x n无限地趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列{x n}以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作比如：无限的趋向0，无限的趋向1否则，对于数列{x n}，如果当n→∞时，x n不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{x n}没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。

比如：1，3，5，…，（2n-1），…1，0，1，0，…数列极限的几何意义：将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列{x n}以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点x n可以无限靠近点A，即点x n与点A之间的距离|x n-A|趋于0。

2012年考研数学备考有些考⽣已进⼊⾸轮复习阶段，建议考⽣要做的是全⾯整理基本概念、定理、公式，初步总结复习重点，把握命题基本题型，为强化期的复习打下坚实基础。

下⾯是⾼等数学、线性代数、概率论与数理统计三个部分⽐较重要的知识点。

微积分 ⼀、函数、极限、连续 1.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 2.复合函数、反函数、分段函数和隐函数 3.基本初等函数的性质及其图形 4.数列极限与函数极限的定义及其性质 5.函数的左极限和右极限 6.⽆穷⼩量和⽆穷⼤量的概念及其关系 7.⽆穷⼩量的性质及⽆穷⼩量的⽐较 8.极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 9.两个重要极限 10.函数连续的概念 11.函数间断点的类型 12.闭区间上连续函数的性质 ⼆、⼀元函数微分学 1.导数和微分的概念 2.函数的可导性与连续性之间的关系 3.平⾯曲线的切线和法线⽅程 4.导数和微分的四则运算 5.基本初等函数的导数 6.复合函数、反函数、隐函数数的微分法 7.⾼阶导数⼀阶微分形式的不变性 8.微分中值定理 9.洛必达（L’Hospital）法则 10.函数单调性、极值 11.函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 12.函数的值与最⼩值 三、⼀元函数积分学 1.原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质 2.基本积分公式 3.定积分的概念和基本性质，定积分中值定理 4.积分上限的函数及其导数 5.⽜顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 6.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 7.反常（⼴义）积分 8.定积分的⼏何应⽤（平⾯图形的⾯积、旋转体的体积） 四、多元函数微积分学 1.⼆元函数的极限与连续的概念 2.多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件 3.多元复合函数、隐函数的求导法 4.⼆阶偏导数 5.多元函数的极值和条件极值 6.多元函数的值、最⼩值及其简单应⽤ 7.⼆重积分的概念、性质、计算 五、⽆穷级数 1.常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念 2.级数收敛的基本性质与收敛的必要条件 3.⼏何级数与级数及其收敛性 4.正项级数收敛性的判别法 5.交错级数与莱布尼茨定理 6.任意项级数的绝对收敛与条件收敛 7.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 8.幂级数在其收敛区间内的基本性质 9.简单幂级数的和函数的求法 10.初等函数的幂级数展开式 六、常微分⽅程与差分⽅程 1.变量可分离的微分⽅程 2.齐次微分⽅程 3.⼀阶线性微分⽅程 4.线性微分⽅程解的性质及解的结构定理 5.⼆阶常系数齐次线性微分⽅程 6.简单的⼆阶常系数⾮齐次线性微分⽅程 7.差分⽅程的通解与特解 8.⼀阶常系数线性差分⽅程 线性代数 ⼀、⾏列式 1.⾏列式的概念和基本性质 2.⾏列式按⾏（列）展开定理 ⼆、矩阵 1.矩阵的线性运算、乘法运算 2.⽅阵的幂 3.⽅阵乘积的⾏列式 4.矩阵的转置 5.逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件 6.伴随矩阵 7.矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的等价 8.矩阵的秩 9.分块矩阵及其运算 三、向量 1.向量的线性组合与线性表⽰ 2.向量组的线性相关与线性⽆关 3.向量组的极⼤线性⽆关组 4.等价向量组 5.向量组的秩 6.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 7.向量的内积 8.线性⽆关向量组的的正交规范化⽅法 四、线性⽅程组 1.线性⽅程组的克莱姆（Cramer）法则 2.齐次线性⽅程组有⾮零解的充分必要条件 3.⾮齐次线性⽅程组有解的充分必要条件 4.线性⽅程组解的性质和解的结构 5.齐次线性⽅程组的基础解系和通解 6.⾮齐次线性⽅程组的通解 五、矩阵的特征值和特征向量 1.矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 2.相似矩阵的概念及性质 3.矩阵可相似对⾓化的充分必要条件及相似对⾓矩阵 4.实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对⾓矩阵 六、⼆次型 1.合同变换与合同矩阵 2.⼆次型的秩，⼆次型的标准形和规范形 3.⽤正交变换和配⽅法化⼆次型为标准形 4.⼆次型及其矩阵的正定性 概率论与数理统计 ⼀、随机事件和概率 1.事件的关系与运算，完备事件组 2.概率的概念、基本性质 3.古典型概率 4.⼏何型概率 5.条件概率 6.概率的基本公式 7.事件的独⽴性 8.独⽴重复试验 ⼆、随机变量及其分布 1.随机变量分布函数的概念及其性质 2.离散型随机变量的概率分布 3.连续型随机变量的概率密度 4.常见随机变量的分布 5.随机变量函数的分布 三、多维随机变量及其分布 1.⼆维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 2.⼆维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 3.随机变量的独⽴性和不相关性 4.常⽤⼆维随机变量的分布 5.两个及两个以上随机变量简单函数的分布 四、随机变量的数字特征 1.随机变量的数学期望（均值）、⽅差、标准差及其性质 2.随机变量函数的数学期望 3.矩、协⽅差、相关系数及其性质 五、⼤数定律和中⼼极限定理 1.切⽐雪夫（Chebyshev）不等式 2.切⽐雪夫⼤数定律、伯努利（Bernoulli)⼤数定律、⾟钦（Khinchine）⼤数定律 3.棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理、列维－林德伯格（Levy-Lindberg）定理 六、数理统计的基本概念 1.总体、个体、简单随机样本，统计量 2.样本均值、样本⽅差和样本矩 3. 分布、分布、分布 4.分位数 5.正态总体的常⽤抽样分布 七、参数估计 1.矩估计法 2.似然估计法 最后祝愿复习2012年考研的同学们能够复习顺利！。