高三 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题

圆锥曲线的定点、定值问题1、已知平面内的动点P 到定直线l ：22x =的距离与点P 到定点()2,0F 之比为2．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若点N 为轨迹C 上任意一点（不在x 轴上），过原点O 作直线AB 交（1）中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为1k 、2k ，问21k k •是否为定值？（3）若点M 为圆O ：422=+y x 上任意一点（不在x 轴上），过M 作圆O 的切线，交直线l 于点Q ，问MF 与OQ 是否始终保持垂直关系？2、已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为12，一条准线为:4l x =，若椭圆C 与x 轴交于,A B 两点，P 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线PA 交直线l 于点M ，直线PB 交直线l 于点N ，记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k .（1）求椭圆C 的方程；（2）求12,k k 的值；（3）求证：以MN 为直径的圆过x 轴上的定点，并求出定点的坐标.3、已知圆22:9C x y +=，点(5,0)A -，直线:20l x y -=.⑴求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；⑵在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PAPB为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标.4、已知椭圆E ：22184x y +=的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点. （1）求圆C 的方程；（2）若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长； （3）在平面上是否存在定点P ，使得12GF GP =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.5、已知221(5)5(13)C x y A ++=-e :，点，． （Ⅰ）求过点A 与1C e 相切的直线l 的方程；（Ⅱ）设21C C e e 为关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得P 到两圆的切？荐存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．6、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，其半焦距为c ，圆M 的方程为.916)35(222c y c x =+-（Ⅰ）若P 是圆M 上的任意一点，求证：21PF PF 为定值；（Ⅱ）若椭圆经过圆上一点Q ，且1611cos 21=∠QF F ，求椭圆的离心率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若O OQ (331=为坐标原点），求圆M 的方程。

专题：圆锥曲线中的最值、范围、定点、定值问题题型一：定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决.例1、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：（1）2214x y +=；（2）0k <<或0k <<（3）(1,0)例2、在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． （1）求轨迹C 的方程；（2）当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解析：（1）2214x y +=；（2）k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点例3、已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．解析: （1）22143x y +=（2）直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7题型二：定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索. 例1、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+与共线.（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解析：（1）36=e （2）122=+μλ例2、已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为（－1，0），（1，0）.（1）求椭圆C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.解析：（1）22143x y += （2）12例3、已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.（1）求椭圆的标准方程和离心率e ；（2）若F '为焦点F 关于直线32y =的对称点，动点M 满足MF e MF ||='||，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.解析：（1）椭圆的标准方程为2211612y x +=. 离心率21.42e ==（2）存在一个定点7(0,)3A ，使M 到A 点的距离为定值，其定值为2.3题型三：最值、范围问题例1、设椭圆E ：x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点M ，使∠=︒F PF 1290（1）求离心率e 的取值范围;（2）当离心率取最小值是，点N （0,3）到椭圆上的点的最远距离为 ①求椭圆E 的方程;②设斜率为(0)k k ≠的直线与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B 两点能否关于过点(0,3P -、Q 的直线对称. 解析：（1）1e ∈） 解法1：利用椭圆自身的范围求解 解法2：利用根的判别式求解 解法3：利用三角函数有界性求解 解法4：利用焦半径公式求解 解法5：利用基本不等式求解 解法6：利用平面几何知识求解解法7：利用椭圆中的焦点三角形求解 解法8：利用椭圆中的焦点三角形面积公式（2）①2213216x y +=②((0,22-⋃例2、设椭圆：x a y ba b 222210+=>>（）的左顶点为A 、上顶点为D ，点P 是线段AD 上任一点，左、右焦点分别为F F 12、，且12PF PF 的最大值为1，最小值为115- （1）求椭圆方程;（2）设椭圆右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的一点，直线AS 、BS 与直线34:15l x =分别交于M 、N 两点，求|MN|的最小值.解析：（1）2214x y +=（2）1615例3、已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=+（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.专题：椭圆中的最值、范围、定点、定值问题题型一：定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

圆锥曲线中的最值、定值和范围问题与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。

下面我们探讨与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题的常用方法。

一. 最值问题求解的基本策略有二：一是从几何角度考虑，当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时，可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。

例1：如图所示，设点1F ，2F 是22132xy+=的两个焦点，过2F 的直线与椭圆相交于A 、B两点，求△1F AB 的面积的最大值，并求出此时直线的方程。

分析：12112F F B F AB F FAS S S =+ ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11212121||||||(1)2F AB F F y y y y c S =⋅-=- =设直线A B 的方程为1x ky =+代入椭圆方程得22(23)440k y ky ++-=12122244,2323k y y y y k k --⇒+==++即122||123y y k - ==+令1t =≥，∴12FA Bt tS +=12t t+（1t ≥）利用均值不等式不能区取“＝”∴利用1()2f t t t=+（1t ≥）的单调性易得在1t =时取最小值1F AB S 在1t =即0k =时取最大值为3，此时直线A B 的方程为1x =例2．设椭圆方程为1422=+yx ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA + )O B ，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||N P的最小值与最大值.解（1）法1：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1.记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122yx kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx -3=0， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x于是).44,4()2,2()(21222121kkk y y x x OB OA OP ++-=++=+=设点P 的坐标为(x,y ), 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y kk x 消去参数k 得4x 2+y 2-y =0 ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y =0解法二：设点P 的坐标为(x ,y )，因A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上，所以,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以.0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y xy y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x 2+y 2-y =0 ⑧ 当x 1=x 2时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为 （0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x（2）由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以 127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x xx y x NP故当41=x ，||NP 取得最小值，最小值为1;4① ②当16x =-时，||NP 取得最大值，最大值为.621对于()*，有∆=m 2+4b =10-m 2>0，所以m <<。

常考问题15与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题03 - 专题提升训练提升解题技能对接蒿老（建议用时：50分钟）2 21. （2013济南模拟）若双曲线拿—器=1（a>0, b>0）与直线尸3x无交点，则离心率e的取值范围是（）.A. （1, 2）B. （1, 2]C. （1, 5）D. （1, .5]解析因为双曲线的渐近线为y=£x，要使直线y= .3x与双曲线无交点，贝U直线y= 3x应在两渐近线之间，所以有b< ,3,即b< 3a,所以b2< 3a2, ac2—a2< 3a2,即卩c2< 4a2, e2<4,所以1<e<2.答案 B2•直线4kx—4y—k= 0与抛物线y2= x交于A, B两点，若|AB|= 4,则弦AB的1中点到直线x+勺=o的距离等于（）.7 9A. B. 2 C. D. 44 4解析直线4kx—4y—k= 0,即y= k x—4，即直线4kx —4y—k= 0过抛物线A ） 1y2=x 的焦点^4，0 .设A（X1, y1）, B（X2, y2）,则|AB|=X1+ x2 + ?= 4, 故X1 + x27 7 1 7 1=7，则弦AB的中点横坐标是”，弦AB的中点到直线x + 0的距离是94.答案C3•已知抛物线卜4x,圆F: （x—1）2 + — 1,过点F 作直线I,自上而下顺次与上述两曲线交于点A, B,C,D（如图所示），则AB| |CD|的值正确的是（）.A •等于1B •最小值是1C •等于4D •最大值是4解析设直线I: x= ty+ 1,代入抛物线方程，得y 一4ty一 4 = 0.设A(x1, y1), D(x2, y2),根据抛物线定义|AF|= X1 + 1, |DF|= X2 + 1,故|AB|= X1, |CD|= x2,2所以|AB||CD匸沁二(yy° ,而y1y2= —4,代入上式，得|AB| |CD|= 1.故选 A.答案 A2 24.已知椭圆：+治=1（0<b<2）与y轴交于A, B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则厶ABF面积的最大值为（）.A . 1B . 2 C. 4 D . 8解析不妨设点F的坐标为f '4 —b2,0）,而|AB匸2b「S^BF=gx 2b* ■'4—b2取等号），故MBF面积的最大值为2. 答案B =2(当且仅当b2= 4—b2,即b2=2 (4— b ) <5•过抛物线y 2二2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线I 与抛物线分别交于A , B 两点，则BF|的值等于C . 3解析 设 A(x i , y i ), B(X 2, y 2),且 x i >X 2,~23p ,代入抛物线方程y 2= 2px ,可得x i + X 2 p 3p p x i +2 y +2= =3. p+p6 +2答案 C2 26.抛物线x 2= 2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线号一卷=1相交于A , B 两点, 若厶ABF 为等边三角形，则p = ________________ .解析由题意知B L 3,—2，代入方程§ — y3=1得P =6. 答案 62 27. (2013镇江模拟)已知点F 是双曲线字一器=1(a>0, b>0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点，若 △ ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 _________ .解析 由题意知，AABE 为等腰三角形.若△ ABE 是锐角三角形，则只需要n/ AEB 为锐角.根据对称性，只要/ AEF<4即可.直线AB 的方程为x = — c , 代入双曲线方程得y 2=字，取点A — c ,牛，则AF|= ba , |EF|= a + c ,只要|AF|v|EF|就能使/ AEF<n,即-<a + c ,即 b 2<a 2+ ac ,即卩 c 2— ac — 2a 2<0,即 4 a e 2— e — 2<0，即—1<e<2.又 e>1,故 1<e<2.答案(1, 2)28•设F i 是椭圆X4 + 1的左焦点，0为坐标原点，点P 在椭圆上，则P P i • P O的最大值为 _________ .易知直线AB 的方程为y = . 3x — =|p , X i x 2=牛，可得 x i ^P ,x2二 6,可得 |BF|= pX 2+ 2解析设P(x o, y o),依题意可得F i( —3, 0),则PF i PO= x o + y o^. 3x o= X0+,x2门3x0 门，3 2 3 21 —~4 + 怒=壬 + 3x o + 1= 4x0+-^ .又一2<x o< 2,所以当x o = 2时，PF i PO取得最大值4+ 2 3.答案4+ 2 3.x 229.(20i3北京卷)已知A, B, C是椭圆W: 4 + y = i上的三个点，O是坐标原占八、、・(i)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；⑵当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.2x解⑴由椭圆W: - + y2= i,知B(2, 0).因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分，所以可设A(i, t), 代入^4+y2= i,得t= ±2^.•••|A牛2|t|= .3.i i因此菱形的面积S= 2OB| • AC|=2X2x 3= 3.⑵假设四边形OABC为菱形.因点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y= kx+ m(kM 0, mM0).< 2 2x + 4y = 4,由y= kx+ m消y 并整理得(1+ 4k2)x2+ 8kmx+ 4m2— 4 = 0.设A(x i, y i), C(x2, y2),则x i + X2 4km y i + y2 , x i + X2 m=—2, = k •+ m= 2,2 1 + 4k' 2 2 1 + 4k', ( 4km m '•••线段AC中点M —i+k2, 1+靠.1因为M为AC和OB的交点，二k°B= —4^.又k • —4k = —4工—1，・' AC与OB不垂直.故四边形OABC不是菱形，这与假设矛盾.所以，当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.10.(2013浙江卷)已知抛物线C的顶点为0(0, 0),焦点为F(0, 1).(1)求抛物线C的方程；直线AO，BO分别交直线I : y= x —2于M， N 两点，求|MN|的最小值.解(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0)，则2= 1,所以抛物线C的方程为x2=4y.⑵设A(x1, y1)，B(x，y2)，直线AB 的方程为y= kx+ 1. kx+ 1, 2由彳2 消去y,整理得x2—4kx—4 = 0,x = 4y所以X1 + X2= 4k, X1X2= — 4. 从而凶—X2= 4 k2+ 1. 又y=知，且y=x—2, 解得点M的横坐标X M = 2X1= 2X1 2= —.X1 —y1 X1 4 —X1(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点.若X1 — 4所以|MN|= .2|X M—X N|同理点N的横坐标X N=令 4k — 3 = t , 0,贝U k =字.当 t>0 时,|MN|= 2 2 . '25+ 6 + 1>2 ,2.综上所述，当t =—彳，即k = — 4时,8|MN 取到最小值52.11. (2013郑州模拟)已知椭圆的焦点坐标为F i (—1, 0), F 2(1, 0),过F 2垂直于 长轴的直线交椭圆于P , Q 两点，且|PQ 匸3.(1) 求椭圆的方程；(2) 过F 2的直线I 与椭圆交于不同的两点 M , N,则厶F 1MN 的内切圆的面积是 否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请 说明理由.2 2解(1)设椭圆方程为拿+ ^2= 1(a>b>0), 2b2c = 1.由 |PQ|= 3,可得一= a又 a 2 — b 2= 1,得 a = 2, b = -j 3.2 2故椭圆方程为+ £ = 1. ⑵设 M(x 1, y 1), N(x 2, y 2), 不妨令 y 1>0, y 2<0, 设厶F 1MN 的内切圆的半径R ,1则厶 F 1MN 的周长为 4a = 8, S A F 1MN = Q(|MN|+ IF 1MI + |F 1N|)R = 4R ,因此要使厶F 1MN 内切圆的面积最大，则 R 最大，此时&F1MN 也最大.1S A F 1MN =2尸们2|"1 — y 2|= y 1 — y 2,由题知，直线I 的斜率不为零，可设直线I 的方程为x = my + 1,当 t<0 时，|MN|= 2 22.由焦点坐标可得3.|4k — 3| '1625+3 5+x= my + 1,由」x 2 y 2 得(3m 2 + 4)y 2 + 6my — 9= 0, <4 + 3 = 1，—3m + 6 m ?+ 1— 3m —6・ m ?+ 1得 y i =，防 —，令 t = m 2 + 1,则 t > 1,12 m +112t12则&F1MN=药k=E 灵1 1 令 f(t)= 3t + f ，则 f't)(= 3—孑，当 t > 1 时，f ' (t)>0,所以f(t)在［1 ,+x)上单调递增，12有 f(t)> f(1)= 4, S A F 1MN < ~ = 3,当 t = 1, m = 0 时，S ^F 1MN = 3,又 S\F 1MN = 4R , --R max =9故厶F 1MN 内切圆面积的最大值为16 n ，且此时直线I 的方程为x = 1.则 S A F i MN12 m 2+ 1 3m 2 + 4，这时所求内切圆面积的最大值为 16n -。

高考专题 圆锥曲线中的最值和范围问题★★★高考要考什么1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)．②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)．③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解．(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法．(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。

代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。

直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。

因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。

圆锥曲线与最值问题【知识点分析】方法一、圆锥曲线的的定义转化法借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3）抛物线：到定点与定直线距离相等。

【相似题练习】1．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2+y 2+2x ﹣8y +13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x ＝﹣2的距离为d ，则|PQ |+d 的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 1．已知双曲线C ：的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M （0，2），则△PFM 周长最小值为 ．【知识点分析】 方法二、函数法二次函数2y ax bx c =++顶点坐标为24b ac b ⎛⎫-- ⎪，1．已知F 1，F 2为椭圆C ：+＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，1•2的最大值、最小值分别为（ ） A ．9，7 B ．8，7 C ．9，8 D ．17，8【知识点分析】方法三、利用最短路径【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇．【问题2】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为 线段P ＇P ＇＇的长．【问题3】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】 作法图形原理作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交l 于A ．点到直线，垂线段最短． P A +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．l B A lPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P l 1l 2N MP'Q'Q P l 1l 2P Q l 1A P'Pl 1l 2P小．【问题5】 作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【相似题练习】1．已知双曲线x 2﹣y 2＝1的右焦点为F ，右顶点A ，P 为渐近线上一点，则|PA |+|PF |的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．【知识点分析】方法四、利用圆的性质【相似题练习】1．已知椭圆，圆A ：x 2+y 2﹣3x ﹣y +2＝0，P ，Q 分別为椭圆C 和圆A 上的点，F （﹣2，0），则|PQ |+|PF |的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．l 2l 1ABNMl 2l 1M N A'B'AB【知识点分析】 方法五、切线法【相似题练习】1．如图，设椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，点B ，F 2关于F 1对称，且AB⊥AF 2（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知P 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，若△AF 1F 2的面积为，求点P 到直线l ：x ﹣y ﹣3＝0距离的最大值．【知识点分析】 方法六、参数法1．圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .2. 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .3． 抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==.【相似题练习】已知点A （2，1），点B 为椭圆+y 2＝1上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【知识点分析】方法七、基本不等式1、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，2、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．【相似题练习】1．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB ＝，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M ′，则的最大值为 ．方法七、利用三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

圆锥曲线中的定值、定点、定直线问题目录题型1 圆锥曲线中的定值问题题型2 圆锥曲线中的定点问题题型3 圆锥曲线中的定直线问题题型归纳【题型1圆锥曲线中的定值问题】1(2023·江西·高三南昌第三中学校考阶段练习)设x ，y ∈R ，向量i ，j分别为平面直角坐标内x轴，y 轴正方向上的单位向量，若向量a =x +3 i +y j ，b =x -3 i +y j ，且a+b =4.(1)求点M x ,y 的轨迹C 的方程；(2)设椭圆E ：x 216+y 24=1，曲线C 的切线y =kx +m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：△OAB 的面积为定值.2(2023·全国·模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，其离心率为32，直线y =12被椭圆截得的弦长为23．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)圆x 2+y 2=45的切线交椭圆C 于A ，B 两点，切点为N ，求证：AN ⋅NB 是定值．3(2023·内蒙古·高三校联考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，离心率e =12，过点1,32.(1)求C 的方程；(2)直线l 过点M 0,1 ，交椭圆于A 、B 两点，记N 0,3 ，并设直线NA 、直线NB 的斜率分别为k NA 、k NB ，证明：k NA +k NB =0.4(2023·辽宁大连·高三大连市金州高级中学校考期中)已知抛物线C 1的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过-1,1 ，1,2 ，2,-2 ，-1,-2 四点中的两点.(1)求抛物线C 1的方程；(2)若直线l 与抛物线C 1交于M ,N 两点，与抛物线C 2：y 2=4x 交于P ,Q 两点，M ,P 在第一象限，N ,Q 在第四象限，且NQ MP=2，求PQ MN的值.5(2023·河北保定·统考二模)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆C经过点P2,2，(1)求椭圆C的方程；(2)若A,B是椭圆上不同于点P的两个动点，直线PA,PB与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，证明：直线AB的斜率为定值．6(2023·上海·高三上海市进才中学校考期中)双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为3，圆O:x2+y2=2与x轴正半轴交于点A，点T2,2在双曲线C上．(1)求双曲线C的方程；(2)过点T作圆O的切线交双曲线C于两点M、N，试求MN的长度；(3)设圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N，试判断PM⋅PN是否为定值?若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．7(2023·全国·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一个顶点为A 2,0 ，D ，E 是C 上关于原点O 对称的两点，且直线AD ，AE 的斜率之积为14．(1)求C 的标准方程．(2)设Q 是C 上任意一点，过Q 作与C 的两条渐近线平行的直线，与x 轴分别交于点M ，N ，判断x 轴上是否存在点G ，使得GM GN 为定值．【题型2圆锥曲线中的定点问题】8(2023·湖南·校联考模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的长轴长为26，且其离心率小于22，P 为椭圆C 上一点，F 1、F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，△F 1PF 2的面积的最大值为22.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)A 为椭圆C 的上顶点，过点D 0,-1 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，直线l 1为过点D 且与AM 平行的直线，设l 1与直线y =-52的交点为Q .证明：直线QN 过定点.9(2023·云南大理·统考一模)已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 ，其渐近线方程为x ±2y=0，点22,1 在Γ上.(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点A 2,0 的两条直线AP ，AQ 分别与双曲线Γ交于P ，Q 两点(不与点A 重合)，且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ 过定点.10(2023·江西南昌·高三江西师大附中校考期中)在平面直角坐标系XOY 中，已知两定点P (1，1)、Q (1，4)，点R 满足OR =13OQ +23OP且在焦点在x 轴正半轴的抛物线E 上. 过Q 作一斜率存在的直线交E 于A 、B 两点，连接BP 交抛物线E 于点C .(1)求抛物线E 的标准方程;(2)判断直线AC 是否恒过定点，若是请求出该定点坐标，若不是请说明理由.11(2023·广东惠州·高三校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线C 经过点2,4 .(1)求C 的方程；(2)若C 关于x 轴对称，焦点为F ，过点4,2 且与x 轴不垂直的直线l 交C 于M ，N 两点，直线MF 交C 于另一点A ，直线NF 交C 于另一点B ，求证：直线AB 过定点.12(2023·福建泉州·统考模拟预测)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率是22，上、下顶点分别为A ，B .圆O :x 2+y 2=2与x 轴正半轴的交点为P ，且PA ⋅PB=-1.(1)求E 的方程；(2)直线l 与圆O 相切且与E 相交于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆恒过定点.13(2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1，F2，左顶点的坐标为-2,0，离心率为7 2.(1)求双曲线C的方程；(2)A1,A2分别是双曲线的左右顶点，T是双曲线C上异于A1，A2的一个动点，直线TA1,TA2分别于直线x=1交于Q1,Q2两点，问以Q1,Q2为直径的圆是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由.14(2023·江西九江·统考一模)已知过点P(2,0)的直线l与抛物线E:y2=2px(p>0)交于A,B两点，过线段AB的中点M作直线MN⊥y轴，垂足为N，且PM⊥PN.(1)求抛物线E的方程；(2)若C为E上异于点A,B的任意一点，且直线AC,BC与直线x=-2交于点D,R，证明：以DR为直径的圆过定点.【题型3圆锥曲线中的定直线问题】15(2023·四川成都·校联考二模)已知A 1-3,0 和A 23,0 是椭圆η:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点，直线l 与椭圆η相交于M ，N 两点，直线l 不经过坐标原点O ，且不与坐标轴平行，直线A 1M 与直线A 2M 的斜率之积为-59．(1)求椭圆η的标准方程；(2)若直线OM 与椭圆η的另外一个交点为S ，直线A 1S 与直线A 2N 相交于点P ，直线PO 与直线l 相交于点Q ，证明：点Q 在一条定直线上，并求出该定直线的方程．16(2023·江苏常州·校考一模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的短轴长为22，离心率为22．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 4,1 的动直线l 与椭圆C 相交于不同的A ,B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足AP ⋅QB =AQ ⋅PB ，证明：点Q 总在某定直线上．17(2023·广东广州·高三统考阶段练习)已知在平面直角坐标系中，动点Q x ,y 到F 3,0 的距离与它到直线x =53的距离之比为355，Q 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点P 53,1作直线l 与曲线C 交于不同的两点M 、N (M 、N 在y 轴右侧)，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，且满足MP PN=MH HN，证明：点H 恒在一条直线上.18(2023·全国·高三专题练习)已知双曲线E ：x 2a 2-y 24=1a >0 的中心为原点O ，左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为355.(1)求实数a 的值.(2)若点P 坐标为0,4 ，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM PN=MH HN.证明：点H 恒在一条定直线上.19(2023·吉林长春·统考一模)过抛物线E:y2=2px(p>0)焦点F，斜率为-1的直线l与抛物线交于A、B两点，|AB|=8．(1)求抛物线E的方程；(2)过焦点F的直线l ，交抛物线E于C、D两点，直线AC与BD的交点是否在一条直线上．若是，求出该直线的方程；否则，说明理由．20(2023·全国·模拟预测)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线M:y=mx2的焦点F与椭圆C:x2 a2+y2b2=1a>b>0的一个顶点重合，抛物线M经过点Q1,14，点P是椭圆C上任意一点，椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2，且∠F1PF2的最大值为2π3．(1)求椭圆C和抛物线M的标准方程；(2)过抛物线M上在第一象限内的一点N作抛物线M的切线，交椭圆C于A,B两点，线段AB的中点为G，过点N作垂直于x轴的直线，与直线OG交于点E，求证：点E在定直线上．。

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。

设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。

解得。

∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN 的长为15. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4-【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222=MN t t k t t t t -=-+， 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+--()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，由()221{ 143y k x x y =-+=，消元得()22223484120k x k x k +-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x k k x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=- ()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 24y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ；（2）求证： OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =- ()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u v u u u v， ∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++u u u v u u u v，()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-， ∴OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为6,右焦点为(2,0).(1)求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 3【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OA ⊥OB 知x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m ) (k x 2+m )=(1+k 2) x 1x 2+k m (x 1+x 2)=0 代入,得4 m 2=3 k 2+3原点到直线AB 的距离231m d k ==+ ， 当AB 的斜率不存在时, 11x y = ,可得, 13x d == 依然成立.所以点O 到直线的距离为定值32. 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x y b a a b-=>>渐近线方程为3y x =， O 为坐标原点，点(3,3M 在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q 为双曲线上不同两点，点O 在以PQ 为直径的圆上，求2211OPOQ+的值．【答案】（Ⅰ）22126x y -=；（Ⅱ） 221113OP OQ+=. 【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M 的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OP OQ ⊥，可设出直线,OP OQ 的方程，代入双曲线方程求得点,P Q 的坐标可求得221113OPOQ+=。

探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题，是解析几何中的综合问题，是一种典型题型，将函数与解析融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下。

一、 定值问题解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。

例1 A 、B 是抛物线22y px =（p ＞0）上的两点，且OA ⊥OB ，求证： （1）A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值； （2）直线AB 经过一个定点。

证明：（1）设A （11,x y ）、B （22,x y ），则2112y px =，2222y px =。

∵22121222y y px px ⋅=⋅=22121244p x x p y y =-，∴2124y y p =-为定值，212124x x y y p =-=也为定值。

（2）∵2221212112()()2()y y y y y y p x x -=+-=-，∵12x x ≠，∴2121122y y px x y y -=-+ ∴直线AB 的方程为：211112122y p y y x y y y y y -=-+++2121224p p x y y y y =-++ 122(2)px p y y =-+，∴直线AB 过定点（2p ，0）。

例2 已知抛物线方程为212y x h =-+，点A 、B 及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA 与PB 的倾斜角互补。

（1）试证明直线AB 的斜率为定值；（2）当直线AB 的纵截距为m （m ＞0）时，求△PAB 的面积的最大值。

分析：这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。

解析：（1）证明：把P(2，4)代入212y x h =-+，得h=6。

所以抛物线方程为：y －4=k(x －2)，由24(2)162y k x y x -=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得22440x kx k +--=。

圆锥曲线专题(一)范围、最值问题1.已知(4,0),(2,2)A B 是椭圆221259x y +=内的两个点,M 是椭圆上的动点,则a 的最大值为 ,最小值为 .2.已知动点P (x ,y )在椭圆1162522=+y x 上,若A (3,0),0,1=⋅=AM PM AM ,的最小值为3.已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ,B 两点,抛物线C 在A ,B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4.(1)求抛物线C 的方程.(2)设M ,N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点,且满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅,求OMN ∆面积的取值范围.4.在平面直角坐标系中，过椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>右焦点的直线03=-+y x 交椭圆C 与A ,B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为21. (1)求椭圆C 的方程.(2)C ,D 为椭圆C 上两点,若四边形ACBD 的对角线AB CD ⊥,求四边形ACBD 面积的最大值.5.设圆015222=-++x y x 的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ,D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（1）证明：EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程.（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A交于P ,Q 两点，求四边形MNPQ 面积的取值范围.6.已知F 为椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线024=+y x 与椭圆E 有且仅有一个交点M . （1）求椭圆E 的方程.（2）设直线024=+y x 与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于两个不同点A,B ，若PB PA PM =2λ，求实数λ的取值范围.(二)定值问题7.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线-0x y +=相切.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点,且22=-OA OB b k k a⋅,求证: AOB ∆的面积为定值.8.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>经过点A (0,-1),且离心率为2,经过点(1,1),且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点P ,Q (均异于点A ),求证:直线AP 与AQ 的斜率之和为定值.9.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为23,A (a ,0),B (0,b ),O (0,0).OAB ∆的面积为1.设P 是椭圆C 上一点,直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.（1）求证：BM AN ⋅为定值.（2）求四边形ABMN 面积的最小值.10.已知离心率为22的椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>，过点M ），（16. （1）求椭圆C 的方程.（2）已知圆3822=+y x 相切的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，证明：OB OA ⋅为定值.11.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为23,过点A (2,1). （1）求椭圆C 的方程；（2）若P ,Q 是C 上的两个动点,且使PAQ ∠的角平分线总是垂直于x 轴,试判断直线PQ 的斜率是否为定值.12.已知抛物线关于x 轴对称,顶点在原点,P (2,4)在抛物线上.（1）求抛物线的标准方程及准线方程;（2）过点P 作两条倾斜角互补的直线与抛物线分别交于不同点A ,B ,求证:直线AB 的斜率为定值.13.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为23,过点M (2,1),O 为原点,平行于OM 的直线l 交C 于不同的两点A ,B .（1）求椭圆C 的方程；（2）证明:MA ,MB 的斜率之和为定值.14.(2018·合肥二模)已知点A (1,0)和动点B ,以线段AB 为直径的圆内切于圆4:22=+y x O .（1）求动点B 的轨迹方程;（2）已知点P (2,0),Q (2,-1),经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ,N ,求证:直线PM 和直线PN 的斜率之和为定值.15.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，且以焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 相交于A,B ，在y 轴上是否存在点D ，使直线AD 与BD的斜率之和为定值？若存在，求出点D 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.16.已知圆C ：422=+y x 与x 轴交于21,F F (2F 在原点右侧),动点P 到21,F F 的距离之和为定值)2(2>a a ,且21cos PF F ∠的最小值为31-. (1)求动点P 的轨迹方程;(2)过2F 且斜率不为0的直线l 与点P 的轨迹交于A ,B ,若存在点E ,使得AB EA EA ⋅+2是与直线l 的斜率无关的定值,则称E 为“恒点”,问在x 轴上是否存在这样的“恒点”?若存在,求出该点坐标;若不存在,请说明理由.(三)定点问题17. 已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>过点M e =. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）已知点0)P ,若AB 为椭圆上的两个动点,且2PA PB ⋅=-,求证:直线AB 恒过定点.18.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22,左右焦点分别为21,F F ,点P )3,2(,点2F 在线段1PF 的中垂线上.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）设直线m kx y l +=:与C 交于M ,N ,直线M F 2与N F 2的倾斜角互补,求证:直线l 过定点.19.(2018·合肥三模)已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ,以抛物线上动点M 为圆心的圆过点F ,若圆M 的面积最小值为π.（1）求p 的值;（2）当点M 的横坐标为1且位于第一象限时,过M 作抛物线的两条弦MA ,MB ,且满足BMF AMF ∠=∠,若直线AB 恰好与圆M 相切,求直线AB 的方程.20. 已知离心率为e 的椭圆M : 22221(0)x y a b a b+=>>,过点A (-2,0)和(1,)P e . (1)求椭圆M 的标准方程.(2)设点B 是椭圆M 的右顶点,直线1l 过点B 且垂直于x 轴,点Q 是椭圆上异于A ,B 的任意一点,直线AQ 交1l 于点N ,设经过N 且垂直于BQ 的直线为2l ,求证:直线2l 过定点.21.在平面直角坐标系中,直线02=+-m y x 不过原点,且与椭圆12422=+x y 有两个不同的公共点A ,B .（1）求m 的取值集合M .（2）是否存在定点P 使得M m ∈∀,都有直线P A ,PB 的倾斜角互补,若存在,求出所有定点P的坐标;若不存在,请说明理由.(四)定直线问题22.已知)0,1(),0,1(21F F -,动点M 到点2F 的距离是22,线段1MF 的中垂线交线段2MF 于点P .（1）当点M 变化时,求动点P 的轨迹G 的方程;（2）直线l 与曲线G 相切于点N ,过2F 作2NF 的垂线与直线l 相交于点Q ,求证:点Q 落在一条定直线m 上,并求直线m 的方程.23.设点P 是抛物线y x E 2:2=上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与椭圆14:22=+y x C 交于不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（1）求证:点M 在定直线;（2）直线l 与y 轴交于点G ,求PDMPFG S S ∆∆的最大值及取得最大值时点P 的坐标.24.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为21,A A ,左右焦点分别为21,F F ,离心率为21,2F 为线段B A 1的中点. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）若过点B 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,已知直线M A 1与N A 2相交于点G ,试判断点G 是否在定直线上?若是,求出定直线的方程;若不是,请说明理由.。

高三数学专题复习圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。

解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。

以下从五个方面予以阐述。

一．求距离的最值或范围：例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ，解析：抛物线y=x 2的焦点为F （0 ，41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=41-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +43≥21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值411， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。

练习：1、(2008海南、宁夏理)已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （41，－1） B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2） 2、（2008安徽文）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B两点，求证：22AB COS θ=-;（Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值解 ：（1）由题意得：2222222844c a a c b a b c=⎧⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎩∴ ∴椭圆C 的方程为22184x y += (2)方法一：由（1）知1(2,0)F -是椭圆C的左焦点，离心率2e =设l 为椭圆的左准线。