2016年高考数学 中等生百日捷进提升系列(综合提升篇)专题04 立体几何解答题 理(含解析)

专题04 立体几何解答题（理）【背一背重点知识】1．用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两个不共线向量线性表示．2．面面平行：①证明两个平面的法向量平行；②转化为线面平行，线线平行．3．用向量证明线面垂直的方法有：①证明直线的方向向量与平行的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理，转化为线线垂直．4．面面垂直的证明发法：①两个平面的法向量垂直；②转化为线面垂直，线线垂直．【讲一讲提高技能】必备技能：1．用向量证明空间中的平行关系①设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则1l ∥2l (或1l 与2l 重合)⇔ 1v ∥2v ． ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量1v 和2v ，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数,x y ，使12v xv yv =+．③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u ．④设平面α和β的法向量分别为1u ，2u ，则α∥β⇔1u ∥2u ．2．用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为1v 和2v ，则l 1⊥l 2⇔1v ⊥2v ⇔1v ．2v ＝0．②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u ③设平面α和β的法向量分别为1u 和2u ，则α⊥β⇔1u ⊥2u ⇔1u ·2u ＝0． 典型例题：例1．【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试数学试题】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD，且PA PD AD ==，若E 、F分别为PC 、BD 的中点．（I ）求证：EF ∥平面PAD ；（II ）求证：EF ⊥平面PDC ．【答案】（I ）详见解析（II ）详见解析（II ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，CD ⊂平面ABCD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD ， …………………………………………………………………………………8分 又PA ⊂平面PAD ，∴CD ⊥PA ，因为EF//PA ， ∴CD ⊥EF ……………………………………10分又AD ，所以△PAD 是等腰直角三角形，且2APD π∠=，即PA ⊥PD 又EF//PA ， ∴PD ⊥EF ………………………………………………………………13分而CD ∩PD=D ，∴ PA ⊥平面PDC ，又EF ∥PA ，所以EF ⊥平面PDC ………………………14分考点：线面平行判定定理，线线垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理【方法点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型．（I ）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（II ）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（III ）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．例2．【江苏省南京市2017届高三上学期学情调研卷数学试题】（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．（I ）求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；（II ）若D 在边BC 上，AD ⊥DC 1，求证：MN ⊥AD ．【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析．A BCD M N1B 1C 1 （第16题）（II ）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ．又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD ． …………………… 8分 因为AD ⊥DC 1，DC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1∩DC 1＝C 1，所以AD ⊥平面BB 1C 1C ． …………………… 10分 又BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC ． …………………… 12分 又由（I ）知，MN ∥BC ，所以MN ⊥AD ．【练一练提升能力】1．【2017年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）（理）】如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =．（I ）求证：BC ⊥平面ACFE ；（II ）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围．【答案】（I ）由余弦定理求出2AC ，由勾股定理的逆定理证明BC AC ⊥即可；（II ）分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立所示空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤，求出平面MAB 与平面FCB 的法向量(用λ表示)即可求cos θ的范围．令(0FM λλ=≤≤，则(0,0,0),(0,1,0),(,0,1)C A B M λ， ∴(3,1,0),(,1,1)AB BM λ=-=-． 设1(,,)n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n BM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，2．【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试数学试题】如图，正方形ABCD 所在的平面与△CDE 所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且2AB AE =．（I ）求证：//AB 平面CDE ；（II ）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ．【答案】（I ）详见解析（II ）详见解析利用空间向量求空间角【背一背重点知识】1．求两条异面直线所成的角，设,分别是直线21,l l 的方向向量，则21,l l 所成角为θ，,的夹角为><b a ,，则b a <=,cos cos θ2．求直线与平面所成的角，设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，<=cos sin θ3．设,是二面角βα-l -的法向量，则,的夹角大小就是二面角的平面角的大小，<=,cos cos θ再根据平面是锐角还是钝角，最后确定二面角的平面角的大小．【讲一讲提高技能】1．必备技能：用法向量求角（I ）用法向量求二面角如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量1n 与2n ，则平面α与β所成的角跟法向量1n 与2n 所成的角2n 相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角．（II ）法向量求直线与平面所成的角要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的夹角的余弦a ，易知a 或者a 2-π．2．典型例题： 例1．【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考数学（理）试题】(本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的中心为O ，四边形ODEF 为矩形，平面ODEF ⊥平面ABCD ，DE=DA=DB=2（I ）若G 为DC 的中点，求证：EG//平面BCF ；（II ）若HC DH 2=，求二面角O EH D --的余弦值．【答案】（I ）详见解析（II ）85【易错点睛】本题主要考查了空间平行判定与性质、二面角的计算、空间想象能力和推理论证能力，考查学生综合应用知识的能力和应变能力，属综合题．其解题过程中最容易出现以下错误：其一是对于第一问不能熟练运用线线平行、线面平行和面面平行的判定定理和性质定理，进而不能正确处理线面平行的问题；其二是对于第二问不能正确运用空间向量求二面角的大小，其关键是正确地求出各面的法向量．例2．【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考数学（理）试题】（本小题15分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=，E 是DP 中点． （I ）证明：//PB 平面ACE ；（II ）若AP PB ==，2AB PC ==，求二面角A PC D --的余弦值．【答案】（I ）详见解析；（II．平面APC 中，(1,0,1)AP =-，(0,CP =；设平面APC 的法向量为()1111,,n x y z =，则有1111111010x x z y z z ⎧⎧=-+=⎪⎪⇒=⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎩，即1(3,1,n =；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 设平面DPC 的法向量为2222(,,)n x y z =，∵(2,0,0)CD =，(0,CP =，则有22220x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩可取2n =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分∴121227cos ,7n n n n n n <=⨯，∴ 二面角A PC D --的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分【练一练提升能力】1．【广东省珠海市2017届高三9月摸底考试数学（理）试题】（本小题满分12分） 在如图所示的圆台中，C A 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆/O 的直径，FB 是圆台的一条母线．（I ）已知H G ，分别为 FB E ,C 的中点，求证： ABC GH 面//； （II ）已知221===AC FB EF ， BC AB =，求二面角O BC F --的余弦值．【答案】（I ）详见解析；(Ⅱ)77．（II ）连接/OO ，则ABC OO 平面⊥/，又BC AB =，且AC 是圆O 的直径，所以AC BO ⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -(OA 方向为x 轴，OB 方向为y 轴，/OO 方向为z 轴，图略)由题意得:()()002-,0,2,0，，C B ，过点F 作OB FM ⊥于点M，故()310322，，F BM FB FM ∴=-=，故()()3,1,0,0,2,2-=--=→→BF BC ，设()z y x n ,,=→是平面BCF 的一个法向量，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→0BF n BC n ⎩⎨⎧=+-=--∴03022z y y x ，取1-=z ，则()1,3,3--=→n ， 又平面ABC 的一个法向量()3,0,0/=→OO ，故77,cos ///-=⋅>=<→→→→→→OO n OOn OO n ，所以二面角O BC F --的余弦值为77． 2．【四川省成都市2017届高中毕业班摸底测试数学（理）试题】（本小题满分12分） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知090BAC ∠=，1AB AC ==，12BB =，0160ABB ∠=．（I ）证明：1AB B C ⊥；（II ）若12B C =，求二面角11B CC A --的余弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ．由11100AC n AC n ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩1111111000y y x y x ==⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨-++==⎪⎪⎩⎩． 令11z =，则平面1ACC 的一个法向量为1(3,0,1)n =．设平面11B CC 的法向量为2222(,,)n x y z =．由1222221222220000B C n y y CC n x x ⎧⎧⎧∙=-==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨∙=-==⎪⎪⎪⎩⎩⎩． 令21z =，则平面11B CC的一个法向量为2(3,n =． 设二面角11B CC A --的平面角为θ，易知θ为锐角．∴1212cos n n n n θ∙==∙解答题（共10题）1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，090ADC ∠=，1PD AD AB ===，2DC =．（I ）求证：BC ⊥平面PBD ； （II ）求二面角A PB C --的大小．【答案】（I ）证明见解析；（II ）56π． 【解析】（II ）由（I ）可知：(0,1,0)AB =，(1,1,1)PB =--，(1,1,0)BC =-．设1111(,,)n x y z =，2222(,,)n x y z =分别是平面PAB 和平面PBC 的一个法向量，则1100AB n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩且220BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即 111100y x y z =⎧⎨--+=⎩，2222200x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩ 不妨设121x x ==，则1(1,0,1)n =，2(1,1,2)n =∴1212212cos ,||||1n n n n n n ⋅<>===由图已知二面角A PB C --为钝二面角，二面角A PB C --的大小为56π． 2．如图，正方形CD AB 和四边形C F A E 所在平面互相垂直，C C E ⊥A ，F//C E A ，AB =C F 1E =E =．（I ）求证：F//A 平面D B E ； （II ）求证：CF ⊥平面D B E ； （III ）求二面角D A -BE -的大小．【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析；（III ）6π．【解析】（II ）证明：因为正方形CD AB 和四边形C F A E 所在的平面互相垂直，且C C E ⊥A ， 所以C E ⊥平面CD AB ．如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -．则()C 0,0,0，)A，()B ，)D，()0,0,1E ，F ⎫⎪⎪⎭．2CF ⎛⎫= ⎪⎪⎭，()0,BE =，()D E =． CF 0110⋅BE =-+=，CF D 1010⋅E =-++=，所以CF ⊥BE ，CF D ⊥E ，又D BE E =E ，所以CF ⊥平面D B E ．3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．（I ）求证：//AB EF ；（II ）若PA PD AD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（I）详见解析；（II 【解析】)P ，又∵//AB EF ，点E是棱PC 中点，∴点F 是棱PD 中点，∴(E a -，(2a F -，∴3(2a AF =-，(,2a EF =，设平面AFE 的法向量为(,,)n x y z =，则有0n AF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令3x =，则平面AFE的一个法向量为(3,3,3n =，∵BG ⊥平面PAD ，∴,0)GB =是平面PAF 的一个法向量，∵313 cos,13393n GB a<n GB>an GB⋅===⋅⋅，∴平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为1313．zyxGAEPCDBF4．已知在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，且2AD=，1AB=，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．（I）证明：PF FD⊥（II）在线段PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD，若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由．（III）若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角A PD F--的余弦值（Ⅲ）∵AB PAD ⊥平面，∴AB 是平面PAD 的法向量，易得()1,0,0AB =， 又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角， 得45PBA ∠=，1PA =，平面PFD 的法向量为11,,122n ⎛⎫=⎪⎝⎭∴cos ,1AB n AB n AB n⋅===⋅故所求二面角APD F --解法二：（Ⅰ）证明：连接AF ，则AF =，DF =，又2AD =，∴ 222DF AF AD +=，∴ DF AF ⊥ 又PA ABCD ⊥平面，∴ DF PA ⊥，又PA AF A =，∴}DF PAF DF PF PF PAF⊥⇒⊥⊂平面平面（Ⅱ）过点E 作//EH FD 交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD ，且有14AH AD = 再过点H 作HG ∥DP 交PA 于点G ，则HG ∥平面PFD 且14AG AP =，∴ 平面EHG ∥平面PFD …7分 ∴ EG ∥平面PFD ．从而满足14AG AP =的点G 即为所求．（Ⅲ）∵PA ⊥平面ABCD ，∴PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角，且45PBA ∠=． ∴ 1PA AB == 取AD 的中点M ，则FM ⊥AD ，FM ⊥平面PAD ， 在平面PAD 中，过M 作MN PD N ⊥于，连接FN ，则PD FMN ⊥平面，则MNF ∠即为二面角A PD F --的平面角，∵Rt MND ∆∽Rt PAD ∆，∴ MN MD PA PD=，∵1,1,PA MD PD ===，且90o FMN ∠=，∴ MN =，FN ==，∴cos MN MNF FN ∠==．5．如图，四棱锥ABCD P -中，底面是以O 为中心的菱形，⊥PO 底面ABCD ，3,2π=∠=BAD AB ，M 为BC 上一点，且AP MP BM ⊥=,21． （Ⅰ）求PO 的长；（Ⅱ）求二面角C PM A --的正弦值．分析：（Ⅰ）连结AC 、BD ，因为是菱形ABCD 的中心，ACBD O =，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据题设条件写出,,O A M 的坐标，并设出点P 的坐标()0,0,a ，根据空间两点间的距离公式和勾股定理列方程解出a 的值得到PO 的长；．（Ⅱ）设平面APM 的法向量为()1111,,n x y z =，平面PMC 的法向量为()2222,,n x y z =，首先利用向量的数量积列方程求出向量12,n n 的坐标，再利用向量的夹角公式求出12cos ,n n <>，进而求出二面角C PM A --的正弦值．从而3,04OM OB BM ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，即3,0.4M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭设()0,0,,0,P a a >，则()333,0,,,,.4AP a MP a ⎛⎫=-=-⎪⎪⎭因为MP AP ⊥，故0,MP AP ⋅=即2304a -+=，所以a a ==（舍去），即PO =．6．如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明：PA //平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C DE B --的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？证明你的结论．【解析】法一：（I ）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，则(2,0,0)A ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(2,2,0)B ，)0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-=DB DE PA设 1(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则由 110n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0220y z x y +=⎧⎨+=⎩ 取1y =-，得1(1,1,1)n =-．∵1220PA n ⋅=-=，1,//PA n PA BDE PA BDE ∴⊥⊄∴，又平面平面（II ）由（Ⅰ）知1(1,1,1)n =-是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量． 设二面角C DE B --的平面角为θ，由图可知>=<21,n n θ ∴33,cos cos 21>=<=n n θ故二面角B DE C --的余弦值为．（II ）PD ⊥底面ABCD ，∴ 平面PDC ⊥底面ABCD ，CD 为交线，BC ⊥CD∴平面BCE ⊥平面PDC ，PC 为交线， PD =DC ，E 是PC 的中点∴DE ⊥PC∴DE ⊥平面PBC ，∴ DE ⊥BE ∴BEC ∠即为二面角B DE C --的平面角．设PD DC a ==，在Rt BCE ∆中，33cos ,26,,22=∠∴===BEC a BE a BC a CE故二面角B DE C --的余弦值为． （Ⅲ）由（II ）可知DE ⊥平面PBC ，所以DE ⊥PB ，所以在平面PDE 内过D 作DF ⊥PB ，连EF ，则PB ⊥平面DEF ．在Rt PDB ∆中， PD a =，BD =，PB =，a PF 33=．所以在棱PB 上存在点F ，PB PF 31=，使得PB ⊥平面DEF ．7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动． （Ⅰ）证明:11D E A D ⊥；（Ⅱ）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离；（Ⅲ）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4π．（Ⅲ）设平面1CD E的法向量(,1,)m m n =， 而11(1,2,0),(0,2,1),(0,0,1)CE x D C DD =-=-=， 由10m D C m CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020n m x -=⎧⎨+-=⎩，得(2,1,2)m x =-，依题意得: 112cos4m DD mDD π⋅==，=12x =+ (不合，舍去)，22x = ∴2AE =时，二面角1D EC D --的大小为4π．8．直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，,E F 分别是1,CC BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点．ABCDA 1B 1C 1D 1E（I ）证明：AC AB ⊥ ； （II ）证明：DF AE ⊥；（III ）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由．【答案】（I ）证明见解析；（II ）存在，点D 为11A B 中点． 【解析】则有()()()111110,0,0,0,1,,,,0,0,0,1,1,0,1222A E F A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()111,,,D x y z A D A B λ=且()0,1λ∈，即(),,1(1,0,0)x y z λ-=，则11(,0,1),,,122D DF λλ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，∵1110,1,,0222AE DF AE ⎛⎫=∴⋅=-= ⎪⎝⎭，所以DF AE ⊥；9．在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 是等边三角形，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，E 是AD 的中点，F 是PC 的中点．（I ）求证：BE ⊥平面PAD ； （II ）求证：EF ∥平面PAB ；（III ）求直线EF 与平面PBE 所成角的余弦值．（I ）0310=⋅+⋅=⋅ ，⊥∴，即EB EA ⊥，0300300=⋅+⋅+⋅=⋅ ，⊥∴，即EP EB ⊥，EP EA , 是平面PAD 内的两相交直线，⊥∴EB 平面PAD ．（II ）取PB 中点为H ，连接AH FH ,，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,230，H ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,231，EF ，()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,23100123,230，，，，AH ， AH EF //∴， 又⊄EF 平面PAB ，⊂AH 平面PAB ，//EF ∴平面PAB ．10．如图1，直角梯形ABCD 中，AD ∥,BC 90ABC ∠=，BC AB AD 21==，E 是底边BC 上的一点，且BE EC 3=．现将CDE ∆沿DE 折起到DE C 1∆的位置，得到如图2所示的四棱锥,1ABED C -且AB A C =1．（I ）求证：⊥A C 1平面ABED ；（II ）若M 是棱E C 1的中点，求直线BM 与平面DE C 1所成角的正弦值．【答案】（I ）见解析；（II ）49． 【解析】（II ）由（I ）知：⊥A C 1平面ABED 且AD AB ⊥，分别以1AC AD AB 、、为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图：则)0,1,0(),0,21,1(),1,0,0(),0,0,1(1D E C B M 是E C 1的中点∴111,,242M ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴111,,242BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

专题六 导数解答题导数与函数的单调性的综合题【背一背重点知识】1.利用导数求函数区间的步骤：一求定义域，二求导数为零的根，三在定义域内分区间研究单调性；2.利用函数单调性与对应导数值关系，进行等价转化.如增函数可转化为对应区间上导数值非负；减函数可转化为对应区间上导数值非正；3.利用导数积与商运算法则规律，构造函数研究函数单调性，如()()0xf x f x '+>可转化为(())0xf x '>()()0xf x f x '->可转化为()()0f x x'> 【讲一讲提高技能】1. 必备技能：会根据导数为零是否有解及解是否在定义域内进行正确分类讨论；会根据函数单调性确定导数在对应区间上符号规律；会根据导数积与商运算法则规律构造函数. 2. 典型例题：例1已知函数1()(1)ln ,()f x ax a x a R x=+-+∈． （1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）当0a <时，求()f x 的单调区间；（3）方程()0f x =的根的个数能否达到3，若能，请求出此时a 的范围，若不能，请说明理由．【答案】（1）极小值1，无极大值；（2）当10a -<<时，()f x 的单调递减区间是1(0,1),(,)a-+∞，单调递增区间是1(1,)a -，当1a =-时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，当1a <-时，()f x 的单调递减区间是1(0,)a-，(1,)+∞，单调递增区间是1(,1)a -；（3）不能，理由见解析． 【解析】试题解析：（1）()f x 其定义域为(0,)+∞． 当0a =时，221111()ln ,()x f x x f x x x x x-'=+=-=． 令()0f x '=，解得1x =，当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>． 所以()f x 的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞． 所以1x =时，()f x 有极小值为(1)f =，无极大值．例2已知22()(0)(1)ax f x a x +=>+.（Ⅰ）若1a =，求)(x f 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）确定函数)(x f 的单调区间，并指出函数()f x 是否存在最大值或最小值． 【答案】（Ⅰ）1524y x =-+；（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅱ）24(1)(2)2(1)()(1)a x ax x f x x +-++'=+=4(1)(4)(1)x ax a x -+-++其中0a >，x ∈(,1)(1,)-∞--+∞ …………2分 令()0f x '=，得41x a=- 1） 当411-<-，即02a <<时，()f x 的增区间是 4(1,1)a --，减区间是4(,1)a -∞-和(1,)-+∞，当41x a=-时，取得极小值4(1)f a -。

2015中等生百日捷进提升篇第三章导数【背一背重点知识】1。

求函数单调区间的步骤：（1）确定()f x的定义域，（2）求导数'()f x，（3)令'()0f x>时，()f x<），解出相应的x的范围.当'()0f x>(或'()0f x在相应区间上是增函数;当'()0f x<时,()f x在相应区间上是减函数2. 求极值常按如下步骤:① 确定函数的定义域;② 求导数；③ 求方程'()0f x=的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法，检查在可能极值点的左右两侧的符号，如果左正右负,那么()f x在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x在这个根处取得极小值．。

3。

求函数)(x fy=在[],a b上的最大值与最小值的步骤（1）求函数)(x fy=在(),a b内的极值；(2)将函数)(x ff a f b比较，其中最大的y=的各极值与端点处的函数值(),()一个是最大值,最小的一个是最小值．【讲一讲提高技能】1.必备技能：函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质，函数的单调区间是函数的定义域的子区间,求函数的单调区间时千万不要忽视函数的定义域．如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“,”或“和”字隔开．利用导数研究函数最值问题讨论思路很清晰，但计算比较复杂，其次有时需要二次求导研究导函数的最值来判断导函数的正负． 根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时,导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论． 2。

典型例题： 例1 函数3411()34f x x x =-在区间[]3,3-上的极值点为________．分析：因为3411()34f x x x =-，所以232()(1)f x x x x x '=-=--,令()0f x '=,则0x =或1x =，因为[]3,3x ∈-，所以1x =，并且在1x =左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，所以函数3411()34f x xx =-在区间[]3,3-上的极值点为1．例2已知不等式02≥++c bx ax的解集[]3,1-，则函数m cx ax bx x f +++-=2361)(单调递增区间为( ）A. (-），（∞+∞3),1-,B 。

2016年数学立体几何高考试题及答案1.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.2如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．解答证明：（Ⅰ）连接CE，则∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，∵F为线段PC的中点，∴PA∥OF，∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，∴AP∥平面BEF；（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD，∴BE⊥AP，∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，∴四边形ABCE是菱形，∴BE⊥AC，∵AP∩AC=A，∴BE⊥平面PAC．3如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．解答：证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．4如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD 的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求四面体PEFC的体积．解答：解：（1）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，∵F为PD的中点，E为AB的中点，∴FG CD，AE CD∴FG AE，∴AF∥GE∵GE⊂平面PEC，∴AF∥平面PCE；（2）证明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD，∵GE⊂平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD；（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，又GF∥CD，所以GF⊥PD，EG=AF=，GF=CD=，S△PCF=PD•GF=2．得四面体PEFC的体积V=S△PCF•EG=．5如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF ②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．6如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．解答：证明：（I）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点．∴A1F=DE，A1F∥DE，所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；（III）过B作BG⊥A1D交A1D于G，∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，BG⊥A1D，∴BG⊥面A1CD，则∠BCG为所求的角，设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，在直角△BGC中，sin∠BCG==，∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．7如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．8如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O 为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．解答：解：（I）证明：连接BD，MO在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM所以PB∥平面ACM（II）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC （III）解：取DO中点N，连接MN，AN因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，，所以，∴，在Rt△ANM中，==即直线AM与平面ABCD所成的正切值为9三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．解答：（1）证明：∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB．∵CD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD⊥AB．又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．（2）解：取AP的中点O，连接CO、DO．∵PC=AC=2，∴C0⊥PA，CO=，∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DO⊥PA．∴∠COD为二面角C﹣PA﹣B的平面角．由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，又∵AB=BC，AC=2，求得BC=PB=，CD=∴cos∠COD=．1111AD上一点，且AP＝a3，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________.2．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ADC＝90°，且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD，当D1M⊥平面A1C1D时，DM＝________.3．如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；(2)求点B 到平面PCD 的距离；4．如图，PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，EA ∥PO ，四边形ABCD 为直角梯形，BC ⊥AB ，BC ＝CD ＝BO ＝PO ，EA ＝AO ＝12CD .(1)求证：BC ⊥平面ABPE ；(2)直线PE 上是否存在点M ，使DM ∥平面PBC ，若存在，求出点M ； 若不存在，说明理由．5．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1； (2)求证：EF ⊥B 1C ；(3)求三棱锥B 1－EFC 的体积．6．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°(1)求证：PC⊥BC(2)求点A到平面PBC的距离．1. 223a∵B1D1∥平面ABCD，平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，∴B1D1∥PQ，又B1D1∥BD，∴BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ，∴PQPM＝PDAP＝2，即PQ＝2PM，又△APM∽△ADP，∴PMBD＝APAD＝13，∴PM＝13BD，又BD ＝2a ，∴PQ ＝223a .2.[答案] 22 ∵DA ＝DC ＝DD 1且DA 、DC 、DD 1两两垂直，故当点M 使四边形ADCM为正方形时，D 1M ⊥平面A 1C 1D ，∴DM ＝2 2.(2)过A 作AF ⊥PD ，垂足为F .在Rt PAD 中，PA ＝2，AD ＝BC ＝4，PD ＝42＋22＝25，AF ·PD ＝PA ·AD ，∴AF ＝2×425＝455，即点B 到平面PCD 的距离为455.4.[解析] (1)∵PO ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥PO ，又BC ⊥AB ，AB ∩PO ＝O ，AB ⊂平面ABP ，PO ⊂平面ABP ，∴BC ⊥平面ABP ， 又EA ∥PO ，AO ⊂平面ABP ，∴EA ⊂平面ABP ，∴BC ⊥平面ABPE . (2)点E 即为所求的点，即点M 与点E 重合．取PO 的中点N ，连结EN 并延长交PB 于F ，∵EA ＝1，PO ＝2，∴NO ＝1， 又EA 与PO 都与平面ABCD 垂直，∴EF ∥AB ，∴F 为PB 的中点，∴NF ＝12OB ＝1，∴EF ＝2，又CD ＝2，EF ∥AB ∥CD ，∴四边形DCFE 为平行四边形，∴DE ∥CF ， ∵CF ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ，∴DE ∥平面PBC .∴当M 与E 重合时即可． 5. (1)证明：连结BD 1，在△DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，DB 的中点，则EF ∥D 1B ，又EF ⊄平面ABC 1D 1，D 1B ⊂平面ABC 1D 1，∴EF ∥平面ABC 1D 1.(2)证明：∵B 1C ⊥AB ，B 1C ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ， ∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1，又BD 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥BD 1， 又EF ∥BD 1，∴EF ⊥B 1C .(3)解：∵CF ⊥BD ，CF ⊥BB 1，∴CF ⊥平面BDD 1B 1， 即CF ⊥平面EFB 1，且CF ＝BF ＝2∵EF ＝12BD 1＝3，B 1F ＝BF 2＋BB 12＝(2)2＋22＝6，B 1E ＝B 1D 12＋D 1E 2＝12＋(22)2＝3，∴EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°， ∴VB 1－EFC ＝VC －B 1EF ＝13·S △B 1EF ·CF＝13×12·EF ·B 1F ·CF ＝13×12×3×6×2＝1.6.[解析] (1)∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°知，BC ⊥DC ，∵PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC ，∴BC ⊥PC . (2)设点A 到平面PBC 的距离为h ， ∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°， ∵AB ＝2，BC ＝1，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝1，∵PD ⊥平面ABCD ，PD ＝1，∴V P －ABC ＝13S △ABC ·PD ＝13，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD＝DC＝1，∴PC＝2，∵PC⊥BC，BC＝1，∴S△PBC＝12PC·BC＝22，∵V A－PBC＝V P－ABC，∴13S△PBC·h＝13，∴h＝2，∴点A到平面PBC的距离为 2.。

专题04 立体几何解答题（文）【背一背重点知识】平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． ①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0︒的角．直线与平面所成角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．异面直线所成的角如图，已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线','a a b b ．则把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦．二面角的平面角如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角．二面角的范围是[]0,π． 【讲一讲提高技能】 必备技能：异面直线所成的角的范围是]2,0(π．求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角； ④补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ．直线与平面所成的角的范围是]2,0[π．求线面角方法:①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径． ②利用三棱锥的等体积，省去垂足，在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键．确定垂足，是常规方法．可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法．从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角．因为垂线段的长度实际就是点面距h ，利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h=θsin 进行求解．③妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC ．其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角．这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用．但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴．（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a ．如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b ．如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c ．如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心．DBA C α二面角的范围[]0,π，解题时要注意图形的位置和题目的要求．求二面角的方法: ①直接法．直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算．即先作(找)出表示二面角大小的平面角，并证明这个角就是所求二面角的平面角，然后再计算这个角的大小．用直接法求二面角的大小，其关键是确定表示二面角大小的平面角．而确定其平面角，可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角，自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角，自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；②射影面积法．利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等． 典型例题：例1．【河南百校联盟2017届高三11月质检，19】在如图所示的直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是BC ，11A B 的中点．（Ⅰ）求证：DE 平面11ACC A ；（Ⅱ）若ABC ∆为正三角形，且1AB AA =，M 为AB 上的一点，14AM AB =，求直线DE 与直线1A M 所成角的正切值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）tan DEG ∠=【解析】试题分析：（Ⅰ）取AB 中点F ，连接DF ，EF ．，推导出DF AC ，从而DF 平面11ACC A ．；再推导出EF 平面11ACC A ，进而平面DEF 平面11ACC A ．由此能证明DE 平面11ACC A ．（Ⅱ）推（Ⅱ）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以平面ABC ⊥平面11ABB A ．连接CF ，因为ABC ∆为正三角形，F 为AB 中点，所以CF AB ⊥，所以CF ⊥平面11ABB A ，取BF 的中点G ，连接DG ，EG ，可得DG CF ，故DG ⊥平面11ABB A ， 又因为14AM AB =，所以1EG A M ， 所以DEG ∠即为直线DE 与直线1A M 所成角．设4AB =，在Rt DEG ∆中，12DG CF ==，EG ==．所以tan DEG ∠==【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，属中档题；文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算，空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主． 例2．【炎德英才大才大联考湖南师大2017届高三上学期第3次月考，18】（本小题满分12分）如图1，在Rt ABC ∆中，60,90ABC BAC ∠︒∠︒==，AD 是BC 上的高，沿AD 将ABC ∆折成60°的二面角B AD C --，如图2． (Ⅰ)证明：平面ABD ⊥平面BCD ；(Ⅱ)设E 为BC 的中点，求异面直线AE 与BD 所成的角．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)060． 【解析】(Ⅱ)取CD 的中点F ，连结EF ，则EF ∥BD ， 所以AEF ∠为异面直线AE 与BD 所成的角．连结AF DE 、．设2BD =，则1,6,3EF AD CD DF ====．在Rt ADF ∆中，AF ==在BCD ∆中，由题设60BDC ∠=︒，则222228BC BD CD BD CDcos BDC =-⋅∠=+，即BC =【练一练提升能力】1．【湖南省长沙市长郡中学2017届高三入学考试数学（文）试题】（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD AB ，2AB BC CP BP ====，1CD =．（1）求点B 到平面DCP 的距离；（2）点M 为线段AB 上一点（含端点），设直线MP 与平面DCP 所成角为α，求sin α的取值范围．【答案】；(2)．2．【天津市耀华中学2017届高三上学期开学考试（暑假验收考试）数学（文）试题】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45ADC ∠=︒，1AD AC ==，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，2PO =，M 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面ACM ； （2）证明： AD ⊥平面PAC ；（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3．以立体几何中的距离、体积问题相关的综合题【背一背重点知识】 （1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段AB 为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与b ，a 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．④根据异面直线间的距离公式EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定）求距离．（2）点到平面的距离点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离．在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离． （5）多面体的面积和体积公式bE表中S 表示面积，',c c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h′表示斜高，l 表示侧棱长． （6）旋转体的面积和体积公式表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，12,r r 分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径． 【讲一讲提高技能】 1．必备技能：求距离的关键是化归．即空间距离向平面距离化归，具体方法如下： （1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形．（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法．（3）求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之．异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定） 求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置． ②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理．③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视．二面角的平角的常用作法有三种：根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线．解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面．作二面角的平面角应把握先找后作的原则．此外在解答题中一般不用公式“cosθ＝SS'”求二面角否则要适当扣分．④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质．而间接法中常用的是等积法及转移法．⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离．求体积常见方法①直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方．求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体．补形：三棱锥⇒三棱柱⇒平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等．求体积常见技巧当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素． 组合体的表面积和体积的计算方法实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体的表面积或体积的基本方法就是“分解”，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积或体积”的和或差．[易错提示] 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算，组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和． 求解几何体体积的策略及注意问题(1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系． (2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．(3)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征． 2．典型例题：例1．【河北沧州一中2017届高三11月考，20】（本小题满分12分）如图1，已知矩形ABCD中，点E 是边BC 上的点，DE 与AC 相交于点H ，且1CE =，AB =，3BC =，现将ACD ∆沿AC 折起，如图2，点D 的位置记为D '，此时ED '=．（1）求证：D H AE '⊥；（2）求三棱锥B AED '-的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)23． 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用线面垂直的性质定理推证；(2)借助题设运用三棱锥的体积公式探求． 试题解析：（2）由（1）知D H '⊥平面ABC，1112332B AED D ABE ABE V V S D H ''--∆'∴==⋅=⨯⨯=【易错点晴】本题考查的是空间的直线与平面垂直的性质定理的运用及点到面的距离的计算问题．第一问的解答时，务必要依据线面垂直的判定定理证明D H '⊥平面ABC ，再借助AE ⊂平面ABC ，运用性质定理证明线线垂直D H AE '⊥；第二问三棱锥的体积的计算时，要运用等积转化法将问题进行转化，再运用可三棱锥的体积公式进行计算，从而使得问题获解．例2．【重庆巴蜀中学2017届高三上学期期中，19】（本小题满分12分）如图1 ，正方形ABCD的边长为E F 、分别是DC 和BC 的中点，H 是正方形的对角线AC 与EF 的交点，N 是正方形两对角线的交点，现沿EF 将CEF ∆折起到PEF ∆的位置，使得PH AH ⊥，连结,,PA PB PD （如图2）．（1）求证：BD AP ⊥； （2）求三棱锥A BDP -的高．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】试题分析：（1）首先由中位线定理及已知条件推出PH ⊥平面ABFED ，然后由线面垂直的性质定理BD ⊥平面APH ，从而可使问题得证；（2）分别把ABD ∆和BDP ∆当做底面求出棱锥的体积，由此列出方程求解即可．【练一练提升能力】1．【四川自贡2017届高三第一次诊断考试，20】（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ABC ⊥底面，112AA A C AC ===，AB BC =且AB BC ⊥．（Ⅰ）求证：1AC A B ⊥；（Ⅱ）求三棱锥1C ABA -的体积．．【答案】（Ⅰ）见解析；． 【解析】试题分析：（Ⅰ）欲证1AC A B ⊥，只要证1AC A OB ⊥平面即可，取AC 中点O ，连接1A O ，BO ，可证1A O AC ⊥，BO AC ⊥，从而可证1AC A OB ⊥平面；（Ⅱ）由等体积转化即1111C ABA C ABA A ABC V V V ---==，此时1OA 为三棱锥1A ABC -的高，求出底面ABC 的面积即可．2.【广西陆川县中学2017届高三上学期模拟二，19】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ，PD ⊥底面ABCD ，90ADC ∠=，2AD BC =，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点.（I ）证明：PA 平面BMQ ；（II ）已知2PD DC AD ===，求P 点到平面BMQ 的距离.【答案】(I)证明见解析；(II)22. 【解析】试题解析：（I ）证明：如图，连接AC 交BQ 于N ，连接MN .2AD BC =，Q 为AD 的中点，AQ BC ∴且AQ BC =；∴四边形AQCB 为平行四边形. N ∴为AC 的中点. …………………（3分）又M 为PC 的中点，MN PA ∴.…………………（5分）又MN ⊂平面BMQ ，PA ∴平面BMQ .…………………（6分）（II ）由（I ）可知，PA 平面BMQ .点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离,所以P-BMQ A-BMQ M-ABQ V =V =V , 取C D 的中点K ,连接MK ,所以MK PD ,1MK=12PD =,………（7分） 又PD ⊥底面ABCD ,所以MK ⊥底面ABCD .又112BC AD ==,PD=C 2D =,所以1AQ =,2BQ =,MQ =,1NQ =,………（10分）所以P-BMQ A-BMQ M-ABQ 111V =V =V 323BQM AQ BQ MK S =∙∙∙∙==,………（11分）则点P 到平面BMQ的距离P-BMQ 3V d=BMQS………（12分）解答题（共10题）1．【湖北孝感2017届高三上学期第一次统考，18】（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， ,,PA AD PA AB AB AD ⊥⊥=，AC 与BD交于点O ．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）直线PD 与过直线AC 的平面α平行，平面α与棱PB 交于点M ，指明点M 的位置，并证明．【答案】（I ）证明见解析；（II ）点M 是棱PB 的中点，证明见解析． 【解析】2．【河南中原名校2017届高三上学期第三次质检，20】（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE 中，四边形ABCF 为平行四边形，F 为DE 的中点，BCE ∆为等腰直角三角形，BE 为斜边，BDE ∆为正三角形，2CD CE ==． （1）证明：CD BE ⊥； （2）求四面体ABDE 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）43．【解析】连接BF，则13A BDE D ABF E ABF ABF V V V DE S ---∆=+=⋅1142323 =⋅⋅=所以四面体ABDE体积为43．3．【河北沧州一中2017届高三11月考，19】（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，90BAC ∠=o ，1AA BC ⊥，124AA AC AB ===，且11BC AC ⊥．（1）求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC ；（2）设D 是11A C 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使//DE 平面1ABC ，若存在，求点E 到平面1ABC 的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)E 为1BB ． 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；(2)借助题设运用线面平行的判定定理及等积法探求． 试题解析：（2）解法一：当E 为1BB 的中点时，连接1,,AE EC DE ， 如图1，取1AA 的中点F ，连接,EF FD ，//EF AB Q ，1//DF AC ，又EF DF F =I ，1AB AC A =I ，所以平面//EFD 平面1ABC ，又DE ⊂平面EFD ，//DE ∴平面1ABC ，又因为11E ABC C ABE V V --=，11C A ⊥平面ABE ， 设点E 到平面1ABC 的距离为d ，111122243232d ∴⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，d ∴=，所以点E 到平面1ABC ．…………………………………12分解法2．当E 为1BB 的中点时，连接DE ，如图2，设1AC 交1AC 于点G ，连接,BG DG ，//BE DG Q 且BE DG =，∴四边形DEBG 为平行四边形，则//DE BG ，又DE ⊄平面1ABC ，BG ⊂平面1ABC ，∴//DE 平面1ABC ．求距离同解法一．4．【河南百校联盟2017届高三11月质检，21】如图，在四棱锥P ABCD -中，ABC ∆为正三角形，AB AD ⊥，AC CD ⊥，PA AC =，PA ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）若E 为棱PC 的中点，求证：PD ⊥平面ABE ； （Ⅱ）若3AB =，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）点B 到平面PCD ． 【解析】AC PA =，E 是PC 的中点，∴AE PC ⊥．又PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，∴AE PD ⊥．∵PA ⊥底面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥， 面面垂直的性质定理可得BA ⊥平面PAD ，AB PD ⊥．又∵AB AE A =，∴PD ⊥平面ABE ．…（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AC ⊥，所以 PC =． 由（Ⅰ）的证明知，CD ⊥平面PAC ，所以CD PC ⊥．因为AB AD ⊥，ABC ∆为正三角形，所以30CAD ∠=︒，因为AC CD ⊥，所以tan 30CD AC =︒=7分设点B 到平面PCD 的距离为d ，则1132B PCD V d -=⨯⨯=．在BCD ∆中，150BCD ∠=︒，所以11133222BCD S ∆=⨯︒=⨯=．所以133P BCD V -==．因为B PCD P BCD V V --==，解得d =即点B 到平面PCD 5．【辽宁葫芦岛普通高中作协体2017届高三上学期第二次考试，21】（本小题满分12分） 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为正三角形，E 、F 、G 分别是BC 、1CC 、1BB 的中点．⑴若1BC BB =，求证：1BC ⊥平面AEG ；⑵若D 为AB 中点，145CA D ∠=︒，四棱锥11C A B BD -F AEC -的表面积．【答案】⑴证明见解析；⑵S =． 【解析】试题解析： ⑴证明：如图，因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AE BB ⊥， 又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE BC ⊥，又1BC BB B =，所以AE ⊥平面11B BCC ，则1AE BC ⊥，……………………3分 连接1B C ，易知四边形11B BCC 为正方形，则11BC B C ⊥， 又1GE B C ∥，则1BC GE ⊥，因为GEAE E =，所以1BC ⊥平面AEG ．……6分⑵解：因为ABC △是正三角形，所以CD AB ⊥， 又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CD AA ⊥，所以CD ⊥平面11A ABB ，所以1CD A D ⊥．………………………………7分设AB a =，由题可知，145CA D ∠=︒，所以1A D CD AB ===．………………8分在1Rt AA D △中，1AA ==，所以()1111111133262C A B BD V CD BD A B AA a -=⨯⨯⨯+⨯=⨯=，∴2a =．……10分 故三棱锥F AEC-的表面积11111212222S =⨯+⨯+⨯=12分 6．【河北武邑中学2017届高三上学期第四次调研，19】（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C —中，1A A -⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1A 3A =．（1）过BC 的截面交1A A 于P 点，若PBC ∆为等边三角形，求出点P 的位置； （2）在（1）条件下，求四棱锥11P BCC B -与三棱柱111ABC B C —A 的体积比．【答案】（1）点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近1A 处；（2）23． 【解析】7．【河北石家庄2017届高三第一次质检，18】（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，//,,2,3,4,AD BC CD BC AD AB BC PA M ⊥====为AD 的中点，N 为PC 上一点，且3PC PN =．（1）求证：//MN 平面PAB ； （2）求点M 到面PAN 的距离．【答案】（1）见解析；（2 【解析】试题解析：(1)在平面PBC 内作NH ∥BC 交PB 于点H ，连接AH ，在△PBC 中，NH ∥BC ，且 ，…………2分又，∴NH ∥AM 且NH=AM ，∴四边形AMNH 为平行四边形， ……………4分∴MN ∥AH ，，MN平面PAB∴MN ∥平面PAB ．…………………6分 （2）连接AC ，MC ，PM ，平面即为平面，设点到平面的距离为．由题意可求，，，，………………8分由………………10分得：，即，，点到面的距离为． ……………………12分8．【山东菏泽一中2017届高三上学期第3联考，18】（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形， M N G ，，分别是棱1 CC AB BC ，，的中点，且1CC =．（Ⅰ）求证：1CN AMB ∥平面； （Ⅱ）求证：1B M AMG ⊥平面；【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析． 【解析】试题解析：（Ⅰ）设1AB 的中点为P ，连接NP ，MP ，………………1分 ∵112CM AA ∥=，112NP AA ∥=，∴ CM NP CM NP =∥，……2分 ∴CNPM 是平行四边形，∴CN MP ∥………………3分 ∵1CN AMB ⊄平面，1MP AMB ⊂平面， ∴1CN AMB ∥平面…………4分9．【湖南师大附中2017届高三上学期第4次月考，19】如图，在底面是菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，60ABC ∠=︒，12AA AC ==，11A B A D ==，点E 在1A D上．（1）求证：1AA ⊥平面ABCD ； （2）当1A EED为何值时，1//A B 平面EAC ，并求出此时直线1A B 与平面EAC 之间的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)当11A EED=，1//A B 平面EAC 【解析】试题分析：(1)利用线面垂直的判定定理进行证明；(2)连结BD 交AC 于O ，当点E 为1A D 的中点时，连结OE ，则1//OE A B ，得出1//A B 平面EAC ，利用等体积法求出直线1A B 与平面EAC 之间的距离．试题解析：（1）证明：因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，所以2AB AD AC ===， 在1AA B ∆中，由22211AA AB A B +=知1AA AB ⊥， 同理1AA AD ⊥， 又因为ABAD A =，所以1AA ⊥平面ABCD ．10．已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（Ⅰ）求证：1B N CN ⊥；（Ⅱ）求直线1C N 与平面1B CN 所成角的余弦值；（Ⅲ）设M 为AB 中点，在棱BC 上是否存在一点P ，使MP ∥平面1B CN ？若存在，求PCBP的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）37；（Ⅲ）31=PC BP ． 【解析】（Ⅲ）假设存在一点P ，使MP ∥平面1B CN ，又取BH 中点Q ，由题意得四边形1ANB H 是平行四边形，可证明MQ ∥平面1CNB ，在结合假设可证明所以平面MPQ ∥平面1CNB ，根据两平行平面被平面C C BB 11所截，那么交线1PQ CB ∥，根据平行线比例线段得到线段比值．试题解析：（Ⅰ）证明：由三视图可知4AN =，18BB =． 在直角梯形1ANB B 中，取1BB 的中点H ，连结NH ． 可得1NH BB ⊥，则ABHN 是正方形．所以BN =，14NH BH HB ===，1NB =．B 1C 1CBAN·可得22211BN NB BB +=，所以1BN NB ⊥． 因为BNBC B =，所以1B N ⊥平面BCN ，则1B N CN ⊥．（Ⅱ）解：因为1NH BB ⊥，NH BC ⊥，1BB CB B =，所以NH ⊥平面11BB C C ，设1C 到平面1CNB 的距离为h ，由于1111N CB C C CNB V V --=，所以111CB C CNB S NH S h ⋅=⋅△△，解得h =．设直线1C N 与平面1B CN 所成角为θ，可知1sin h C N θ==， 所以直线1C N 与平面1B CN．。

2015中等生百日综合提升篇专题一 三角解答题三角函数与三角恒等变换综合题【背一背重点知识】1。

熟悉诱导公式、同角关系式、两角和与差、倍角公式是化简求值的关键2。

熟悉三角函数的图像是解决有关性质问题的前提 3。

切化弦、变角处理是三角化简与求值的常用手段 【讲一讲提高技能】1。

必备技能：高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数的性质之中.常需要利用这些公式，先把函数解析式化为B x A y ++=)sin(ϕω的形式,再进一步讨论其定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性和对称性等性质。

2.典型例题：例1已知函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>满足(0)f =()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π。

(1）求a 与ω的值；(2）若()1f α=，(,)22ππα∈-，求5cos()12πα-的值。

分析：（1）由(0)f =a =因此根据辅助角公式可得()sin 2sin()3f x x x x πωωω==+，再由()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π可推出()f x 的周期为π，故1ω=；(2）由（1）及条件()1f α=,从而可得1sin()32πα+=，再由(,)22ππα∈-可得5(,)366πππα+∈-，从而6πα=-，因此57cos()cos1212ππα-=,考虑到71234πππ=+，因此用两角和的余弦公式，即可求得7cos12π= 【解析】（1）∵(0)f =sin 0cos 0a a +==，∴()sin 2sin()3f x x x x πωωω==+，由()f x 相邻两条对称轴间的距离为π,∴22||T ππω==，∴||1ω=，又∵0ω>,∴1ω=;（2）∵()1f α=，∴1sin()32πα+=， 又∵(,)22ππα∈-，∴5(,)366πππα+∈-,∴36ππα+=，即6πα=-，∴57cos()cos cos()121234ππππα-==+cos cos sin sin 34344ππππ=⋅-⋅=。

2016年高考数学中等生百日捷进提升系列专题08 立体几何（含解析）【背一背重点知识】1．柱、锥、台、球的结构特征（1）柱：棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.（2）锥：棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面.（3）台：棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点.圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴（4）球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径.(5)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(6)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．2．空间几何体的直观图（1）斜二测画法①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX ，OY ，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O ’X ’,O ’Y ’,使'''X OY =450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）.画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.（2）平行投影与中心投影：平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.3.几种常凸多面体间的关系4.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质几种特殊四棱柱的特殊性质5．多面体的面积和体积公式表中S表示面积，',c c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长. 6．旋转体的面积和体积公式表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，12,r r分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径.7.空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形.他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度.三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐，长对正：主视图与俯视图的长应对正，宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）解决三视图问题的技巧：空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图和侧视图的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”．也就是说正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”．（2）求体积常见方法①直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥⇒三棱柱⇒平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.（3）求体积常见技巧当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．①几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．②几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．③有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．（4）组合体的表面积和体积的计算方法实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体的表面积或体积的基本方法就是“分解”，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积或体积”的和或差．[易错提示] 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算，组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和．（5）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.（6）求解几何体体积的策略及注意问题(1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系．(2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．(3)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征．1.典型例题：例1圆台上、下底面面积分别为π、π4, 侧面积是π6, 这个圆台的高为分析：本小题主要涉及圆台侧面积公式，解直角三角形的知识.【解析】例2一个正方体的内切球1O 、外接球2O 、与各棱都相切的球3O 的半径之比为（ ） （A ）1:3:2 （B ）1:1:1 （C ）1:3:2 （D ）1:2:3 【答案】C 【解析】试题分析：设正方体的棱长为1，那么其内切球的半径21，外接球的半径23（对角线的一半），与各棱都相切的球的半径22（面对角线的一半），所以比值是231：：，故选C ． 【练一练提升能力】1. 一个44h ⨯⨯的长方体能装卸8个半径为1的小球和一个半径为2的大球，则h 的最小值为 （ ）A ．262+B ．272+C ．422+D ．8 【答案】B 【解析】2. 点D C B A ,,,均在同一球面上，且AB 、AC 、AD 两两垂直，且，1=AB ，2=AC 3=AD ,则该球的表面积为（ ）A ．π7B ．π14C ．27πD ．3147π【答案】B【解析】以A 为顶点构造长方体，则该球为长方体的外接球，故2R =2R =，从而球的表面积为π14． 异面直线所成的角 【背一背重点知识】 1.异面直线所成的角（1）定义：设,a b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线','a a b b P P ，把'a 与'b 所成的小于或等于090.叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）范围：(0,]2π【讲一讲提高技能】 1.必备技能：异面直线所成的角的范围是]2,0(π.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角; ④补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ.2.典型例题：例1已知在直三棱柱111C B A ABC -中，CB CC CA 21==，ο90=∠ACB ，则直线1BC 与1AB 夹角的余弦值为( )A ．55 B ．35 C ．552 D ．53【答案】A 【解析】例2直三棱柱ABC －A 111C B 的底面为等腰直角三角形ABC ，∠C ＝900，且,1a AA BC AC ===则1AB 与1BC 所成角为（ ）A.300B.450C.600D.900分析：过1BB 得中点F ，分别作1BC ,1AB 的平行线，解三角形可得 【解析】过1BB 得中点F ，分别作1BC ,1AB 的平行线因为,2DF EF DF ===.222DE DF EF =+.所以090DFE ∠=.故选D. 【练一练提升能力】1.【从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ） A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 【答案】C2. 在正四棱锥P-ABCD 中，PA=2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为（ ） A ．ο90 B ．ο60 C ．ο45 D ．ο30【答案】C【解析】连接,AC BD 交于点O ，连接OE ,OP .因为E 为PC 中点，所以OE ∥PA ，所以OEB ∠即为异面直线PA 与BE 所成的角.因为四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD所成的角，即=60PAO ∠o，因为2PA =，所以1OA OB ==，1OE =.所以在直角三角形EOB 中=45OEB ∠o，即面直线PA 与BE 所成的角为45o. 直线、平面平行、垂直的判定与性质 【背一背重点知识】 1.直线与平面平行（1）判断定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行）即：,a b αα⊄⊂，且a b P ⇒a αP . 其它判断方法：,a a αβαβ⊂⇒P P（2）性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（线面平行⇒线线平行）即：,,a a l a l αβαβ⊂=⇒P I P 2.平面与平面平行（1）判断定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行⇒面面平行）.即：,,,,a b a b M a b ββαααβ⊂⊂=⇒I P P P .（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行⇒线线平行）.即：,,a b a b αβγαγβ==⇒P I I P 3.直线与平面垂直：（1）定义：若直线l 与平面α内的任一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直.（2）判断定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（线线垂直线面垂直）.即：,,,,a b l a l b a b P l ααα⊂⊂⊥⊥=⇒⊥I（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：,a b a b αα⊥⊥⇒P 4.平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. （2）判断定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.即：,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥（3）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直.即：,,,a b a b a αβααββ⊥⊂=⊥⇒⊥I【讲一讲提高技能】 必备技能：1. 证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.线面平行的证明思考途径：线线平行⇔线面平行⇔面面平行. 证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.//,////αβαγβγ⇒；⑤向量法：证明两个平面的法向量平行.4.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.5.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直.6.面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.7.证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理.已知两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直的性质定理；在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式（如勾股定理）证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直．2典型例题：例1已知,a b 是两条不同直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若//a b ．b α⊂，则//a αB ．若//a α，b α⊂，则//a bC ．若a α⊥，b α⊥，则//a bD ．若a b ⊥，b ⊥α，则//a α【答案】C【解析】例2平面α//平面β，直线a //α，直线b ⊥β，那么直线a 与直线b 的位置关系一定是 （ ）A ．平行 B.异面 C.垂直 D.不相交分析：由于面面平行以及直线垂直平面可得两直线垂直关系.解析：由于平面α//平面β，直线b ⊥β，所以a ⊥平面α，又因为直线a //α，所以b a ⊥.故选C.【练一练提升能力】1. 设n m ,是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（ ）A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥B ．若//m α，m β⊥，则αβ⊥C ．若,αβαγ⊥⊥，则βγ⊥D ．若,m n αγβγ==I I ，则//αβ【答案】B【解析】试题分析：A 中如果m 是,αβ的交线时，m α⊥不成立，A 错；B 中，由于//m α，因此平面α内存在与m 平行的直线n ，又m β⊥，则n β⊥，所以αβ⊥，B 正确；让一本书的书脊与桌面垂直，则书里每页纸所在平面都是与桌面垂直，但它们之间不垂直，C 错；三棱柱的两个侧面与第三个侧面都相交，但这两个侧面也相交，D 错．故选B ．2. 如图，PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AE ⊥PC ，AF ⊥PB ，给出下列结论：①AE ⊥BC ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC ，其中真命题的序号是________．【答案】①②④直线与平面所成的角【背一背重点知识】1.直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.（2）线面角θ的范围：[0,]2πθ∈. 【讲一讲提高技能】1必备技能： 直线与平面所成的角的范围是]2,0[π.求线面角方法:①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径.②利用三棱锥的等体积，省去垂足,在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h =θsin 进行求解. ③妙用公式，直接得到线面角课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴. ④万能方法，空间向量求解不用找角设AB 是平面α的斜线，BO 是平面α的垂线，AB 与平面α所成的角BAO θ∠=,向量AB u u u v 与n 的夹角ABO ψ∠=，则sin cos AB n AB nθψ⋅==⋅u u u v u u u v . 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤；（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；2典型例题：例1如图，在长方体1111ABCD A B C D - 中，2==BC AB ，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】例2已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （ ）DB A CA ．23B ．33C ．23D ．13分析：通过等体积法求出点C 到面的距离，从而解出正弦值. 【解析】设AB=1，CE ⊥平面1BDC ,所以CDE ∠为CD 与平面所成的角.又因为11C BDC C BCD V V --=,所以23c h =.所以2sin 3CDE ∠=.故选A. 【练一练提升能力】 1. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）A ．3[,1]B ．6[,1]C ．622[,]3D ．22[,1]3【答案】B2.长方体1111ABCD A B C D -中，已知二面角1A BD A --的大小为π6，若空间有一条直线l 与直线1CC 所成角为π4，则直线l 与平面1A BD 所成角的取值范围是（ ） （A ）π5π[,]1212 （B ）ππ[,]122 （C ）5ππ[,]122 （D ）5π[0,]12【答案】A【解析】试题分析：如图所示，过点A 作BD AO ⊥，连接O A 1，则O A BD 1⊥，则1AOA ∠为二面角，所以61π=∠AOA ，因为11//AA CC ，取角AO A 1的角平分线AM ，此时AM 即为直线l ，过点A 做O A AP 1⊥，即⊥AP 平面BD A 1，此时直线l 与平面BD A 1所成角的最大角是πππ125641=+=∠+∠=∠MOA MAO AMA ，另外一种情况是41π=∠AN A ，N OP AN =I ，此时直线AN 为直线l ，则直线AN 与平面平面BD A 1所成最小角为124311πππ=-=∠-∠=∠AN A A PA ANP ，所以直线l 平面BD A 1所成角的范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ12512，，故选A ． （一） 选择题（12*5=60分）1. 设n m 、是不同的直线，βα、是不同的平面，有以下四个命题： ①若βα⊥，α//m ，则β⊥m ②若α⊥m ，α⊥n ，则n m //③若α⊥m ，n m ⊥，则α//n ④若α⊥n ，β⊥n ，则αβ// .其中真命题的序号为（ ）A . ①③B . ②③C . ①④D . ②④【答案】D2.如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D【解析】3.已知三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面AC AB AC AB ⊥==,4,3，121=AA 则球O 的半径为（ ）A ．2173B ．102C ． 213 D ．103 【答案】C【解析】试题分析：由已知条件可知,直三棱柱的上下底面是两个相等的小圆所在的平面，且BC 和11B C 分别是两小圆的直径，则5BC =，设球的半径为R ，则R ===132,故选C ． 4. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为 （ ）A ．4B ．24C ．34D ．8【答案】A【解析】 试题分析：由三视图知该几何体是四棱锥，其底面面积为1(24)262S =⨯+⨯=，高为2h ==，所以1162433V Sh ==⨯⨯=．故选A ．5. 点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==2AC =，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为 （ ） A ．1256π3 B ．8π C ．254π D ．2516π 【答案】C6. ABCD －1111D C B A 为正方体，下列结论错误的是（ ）A.BD ∥11D CB 平面B.BD AC ⊥1C.111D CB AC 平面⊥D. 11BD AC ⊥【答案】D7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为 （ ）A 2B 65D ．3【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知该几何体的直观图如图所示:此四棱锥中面AED ⊥面BCDE ，底面BCDE 为边长为1的正方形，四棱锥的高为1．111211,122222AED ABC ABE S S S ∆∆∆=⨯⨯===⨯=，151522ACD S ∆=⨯=．所以C 正确．8. 已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是 （ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且m α∥P （C ）m n P 且n β⊥ （D ）m n ⊥且αβP【答案】C【解析】本题考查线面垂直的问题，,A B 中直线m 与平面α的位置关系不确定，平行，垂直，相交，线在面内都有可能，C 是线面垂直的判定定理，D 中直线与平面没有一点点的关系，应选C ．9. 三棱柱111ABC A B C -侧棱与底面垂直，体积为94，3底面是正三角形，若P 是111A B C ∆中心，则PA 与平面ABC 所成的角大小是（ ） A. 12π B. 3π C. 4π D. 6π 【答案】B10. 已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则,AE SD 所成的角的余弦值为（ ）A ．13B ．23C ．33D ．23 【答案】C【解析】11. 如图，三棱柱111A B C ABC -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB AC ．11//AC 平面1AB ED ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥ A 1B 1C 1ABE C【答案】D【解析】试题分析：A 不正确，因为1CC 与1B E 在同一侧面中，故不是异面直线；B 不正确，由题意得知，上底面ABC 是一个正三角形，故不可能存在AC ⊥平面11ABB A ；D 不正确，因为11,AE B C 为在两个平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，故选D ．12. 设,m n 是两条不同的直线, ,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的是（ ）A ．,,m n m n αβαβP P P P 且则B ．,m n α⊥⊥β且α⊥β,则m n ⊥C ．,,,? m n m n αβαβ⊥⊂⊥⊥则D ．,,,m n m n ααββ⊂⊂P P ,则α∥β【答案】B【解析】（二） 填空题（4*5=20分）13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【答案】200【解析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知()284V 102002+⨯=⨯=．14. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为 【答案】2【解析】由题意，正方体在正四面体的内切球内，求出内球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长，设球的半径为r ，由正四面体的体积得2222633664331643314⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=⨯⨯⨯r ，解得26=r ，设正方体的最大棱长为x ，则63=x ，解得2=x ，故答案为2.。

专题四 立体几何与空间向量专题过关²提升卷 第Ⅰ卷(选择题)一、选择题1．(2015²浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323 cm 3 D.403cm 32．设a ，b 是两条直线，α，β表示两个平面，如果a ⊂α，α∥β，那么“b ⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．(2015²山东高考)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3D ．2π 4．(2015²北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A．2＋ 5 B．4＋ 5C．2＋2 5 D．55．(2015²北京朝阳区质检)在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，2)，若S1，S2，S3分别表示三棱锥D－ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则( )A．S1＝S2＝S3B．S1＝S2且S3≠S1C．S1＝S3且S3≠S2D．S2＝S3且S1≠S36．(2015²杭州中学模拟)一个四棱锥的三视图如图所示，下列说法中正确的是( )A．最长棱的棱长为 6B．最长棱的棱长为3C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形7．(2015²嘉兴模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB＝2，若棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是( )A．[1，2) B．(1，2]C．(0，1] D．(0，2)8．某市博物馆邀请央视《一槌定音》专家鉴宝，其中一藏友持有的“和田玉”的三视图如图所示，若将和田玉切割、打磨、雕刻成“和田玉球”，则该“玉雕球”的最大表面积是( )A ．4πB ．16πC ．36πD ．64π第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题9．(2015²舟山中学模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝32，BC ＝2，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A －BCD 的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥A －BCD 侧视图的面积为________．10．如图所示，ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，AC ⊥CB ，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点．若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与CF 1所成角的正弦值是________．11．(2015²杭州二中调研)在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，PA ＝3，则该三棱锥外接球的表面积为________．12．(2014²山东高考)在三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________．13．多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则AM 的长为________．14．(2015²天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.15．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起后，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后的三棱锥D －ABC 中，给出下列四个命题：①AC ⊥BD ；②侧棱DB 与平面ABC 成45°的角；③△BCD 是等边三角形；④三棱锥的体积V D－ABC＝26. 那么正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．三、解答题16．如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求直线A1B与平面A1CD所成角．17．(2015²福建高考)如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE ⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．(1)求证：GF∥平面ADE；(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．18．(2015²四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN∥平面BDH；(3)求二面角A－EG－M的余弦值．19．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝120°，AB＝2，E是CD 的中点．平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PC与平面ABCD所成的角为45°.(1)求证：CD ⊥平面PAE ； (2)试问在线段A B (不包括端点)上是否存在一点F ，使得二面角A －P F －E 的大小为45°？若存在，请求出AF 的长；若不存在，说明理由．20．(2015²天津高考)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点．(1)求证：MN ∥平面ABCD ； (2)求二面角D 1－AC －B 1的正弦值；(3)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．专题过关²提升卷1．C [该几何体为正方体与正四棱锥的组合体，∴体积V ＝23＋13³22³2＝323(cm 3)．]2．A [若b ⊥β，α∥β，则b ⊥α，又a ⊂α，∴a ⊥b ， 但a ⊥b ，a ⊂α，α∥β时，得不到b ⊥β. ∴“b ⊥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．]3．C [如图，由题意，得BC ＝2，AD ＝AB ＝1.绕AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．所求体积V ＝π³12³2－13π³12³1＝5π3.]4．C [该三棱锥的直观图如图所示：过D 作DE ⊥BC ，交BC 于E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，AE ＝5，BD ＝CD ＝5，S 表＝S △BCD ＋S △ACD ＋S △ABD ＋S △ABC＝12³2³2＋12³1³5³2＋12³2³ 5 ＝2＋2 5.]5．D [由图可知S 2＝S 3＝2，S 1＝2，所以S 1≠S 3.]6．D [由三视图知，该四棱锥的直观图如图所示，其中PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为直角梯形． 则最长棱PB ＝22＋22＝22，A 错，B 错． 棱锥中的四个侧面中：由PA ⊥底面ABCD ，知△PAB ，△PAD 为直角三角形． 又DC ⊥AD ，PA ⊥DC ，知DC ⊥平面PAD ， 则DC ⊥PD ，从而△PDC 为直角三角形．又PD ＝5，DC ＝1，所以PC ＝12＋（5）2＝ 6.在梯形ABCD 中，易求BC ＝2，故PB 2＝PC 2＋BC 2，△PBC 为直角三角形．]7．C [如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则D 1(0，0，2)，C (0，2，0)，设P (x ，y ，0)(x >0，0<y <2)，则D 1P →＝(x ，y ，－2)，PC →＝(－x ，2－y ，0)．由D 1P ⊥PC ，得D 1P →²PC →＝－x 2＋y (2－y )＝0， ∴x ＝2y －y 2(0<y <2)，所以0<x ≤1.]8．B [由三视图知，“和田玉”为直三棱柱，底面是直角三角形，高为12，如图所示．其中AC ＝6，BC ＝8，BC ⊥AC ，则AB ＝10，若使“玉雕球”的半径最大，则该球与直三棱柱的三个侧面都相切． ∴球半径r ＝6＋8－102＝2，则S 球＝4πr 2＝16π.]9.1825 [由正视图及俯视图知，在三棱锥A －BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD (如图所示)，因此三棱锥的侧视图为等腰直角三角形．在△ABD 中，AB ＝32，AD ＝BC ＝2.∴BD ＝AB 2＋BC 2＝52.因此AA ′＝AB ²AD BD ＝32³252＝65.所以等腰直角三角形的腰长为65.故侧视图的面积为12³⎝ ⎛⎭⎪⎫652＝1825.]10.66[如图所示，建立以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴的空间直角坐标系．设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则B (0，2，0)、D 1(1，1，2)、F 1(1，0，2)．则BD 1→＝(1，－1，2)，CF 1→＝(1，0，2)，∴cos 〈BD 1→，CF 1→〉＝BD 1→²CF 1→|BD 1→||CF 1→|＝530＝306. 设BD 1与CF 1所成的角为α.11．5π [如图所示，将三棱锥P －ABC 补成长方体ADBC －PD ′B ′C ′.则三棱锥P －ABC 的外接球就是长方体的外接球．∴2R ＝PA 2＋AC 2＋AD 2＝5，故外接球的表面积S 球＝4πR 2＝5π.]12.14 [分别过E ，C 向平面PAB 作高h 1，h 2，由E 为PC 的中点得h 1h 2＝12，由D 为PB 的中点得S △ABD ＝12S △ABP ，所以V 1∶V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13S △ABD ²h 1∶⎝ ⎛⎭⎪⎫13S △ABP ²h 2＝14.]13. 6 [如图所示为多面体MN －ABCD ， 作MH ⊥AB 交AB 于H .由侧视图可知MH ＝12＋22＝ 5.根据正视图知MN ＝2，AB ＝4，且正视图为等腰梯形． ∴AH ＝4－22＝1，从而AM ＝AH 2＋MH 2＝ 6.]14.8π3 [由三视图知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成的组合体，且圆锥的底面分别与圆柱的两个底面重合．∵圆柱的底面圆的半径R ＝1，高h ＝2，且圆锥的高h ′＝1. ∴V 圆柱＝πR 2²h ＝2π，V 圆锥＝13πR 2h ′＝π3.因此该几何体的体积V ＝V 圆柱＋2V 圆锥＝8π3.]15．①②③ [取AC 的中点O ，连接OB ，OD ，则OD ⊥AC ，OB ⊥AC .OD ∩OB ＝O ，AC ⊥平面OBD ，从而AC ⊥BD ，①正确．又平面ADC ⊥平面ABC ，DO ⊥AC ， 所以DO ⊥平面ABC ，因此DO ⊥OB ，且∠OBD 为棱BD 与底面ABC 所成的角． 由OB ＝OD ，知∠OBD ＝45°， 所以②正确，从而BD ＝2²OB ＝1，故BC ＝CD ＝BD ＝1， 因此△BCD 是等边三角形，命题③正确． 根据DO ⊥平面ABC .得V 三棱锥D －ABC ＝13²S △ABC ²OD ＝212，∴④错误．]16．(1)证明 在题图1中，因AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点， ∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，且A 1O ∩OC ＝O ， 从而BE ⊥平面A 1OC ，又在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝12AD ，E 为AD 中点，所以BC 綉ED ，所以四边形BCDE 为平行四边形， 故有CD ∥BE ， 所以CD ⊥平面A 1OC .(2)解 由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角， 所以∠A 1OC ＝π2，如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系， 因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B ⎝⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，于是A 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，－22，A 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－22，CD →＝BE →＝(－2，0，0)．设直线A 1B 与平面A 1CD 所成的角为θ，平面A 1CD 的法向量n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧n ²CD →＝0，n ²A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＝0，22y －22z ＝0，取n ＝(0，1，1)．∴cos 〈A 1B →，n 〉＝A 1B →²n |A 1B →|²|n |＝－221³2＝－12.因此sin θ＝|cos 〈A 1B →，n 〉|＝12，故直线A 1B 与平面A 1CD 所成的角为π6.17．(1)证明 如图，取AE 的中点H ， 连接HG ，HD ，又G 是BE 的中点， 所以GH ∥AB ，且GH ＝12AB .又F 是CD 的中点， 所以DF ＝12CD .由四边形ABCD 是矩形得，AB ∥CD ，AB ＝CD ， 所以GH ∥DF ，且GH ＝DF ， 从而四边形HGFD 是平行四边形， 所以GF ∥DH .又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ， 所以GF ∥平面ADE .(2)解 如图，在平面BEC 内，过B 点作BQ ∥EC . 因为BE ⊥CE ，所以BQ ⊥BE .又因为AB ⊥平面BEC ，所以AB ⊥BE ，AB ⊥BQ .以B 为原点，分别以BE →，BQ →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0，0，2)，B (0，0，0)，E (2，0，0)，F (2，2，1)．因为AB ⊥平面BEC ，所以BA →＝(0，0，2)为平面BEC 的法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面AEF 的法向量．又AE →＝(2，0，－2)，AF →＝(2，2，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ²AE →＝0，n ²AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2z ＝0，2x ＋2y －z ＝0. 取z ＝2，得n ＝(2，－1，2)．从而cos 〈n ，BA →〉＝n ²BA →|n |²|BA →|＝43³2＝23. 所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23.18．(1)解 点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明 连接BD ，设O 为BD 的中点， 因为M ，N 分别是BC ，GH 的中点， 所以OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，HN ∥CD ，且HN ＝12CD ，所以OM ∥HN ，OM ＝HN ，所以MNHO 是平行四边形，从而MN ∥OH . 又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ，所以MN ∥平面BDH .(3)解 如图，以D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DH →方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D －xyz ，设AD ＝2，则M (1，2，0)，G (0，2，2)，E (2，0，2)，O (1，1，0)，所以，GE →＝(2，－2，0)，MG →＝(－1，0，2)， 设平面EGM 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ²GE →＝0，n 1²MG →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，－x ＋2z ＝0，取x ＝2，得n 1＝(2，2，1)， 在正方体ABCD －EFGH 中，DO ⊥平面AEGC ，则可取平面AEG 的一个法向量为n 2＝DO →＝(1，1，0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1²n 2|n 1|²|n 2|＝2＋2＋04＋4＋1²1＋1＋0＝223，故二面角A －EG －M 的余弦值为223.19．(1)证明 连接AC ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥AD . 又PA ⊂平面PAD ，面PAD ∩面ABCD ＝AD .∴PA ⊥平面ABCD ，故PA ⊥CD . 在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∴∠ADC ＝60°，从而△ACD 为等边三角形．又∵E 为CD 的中点， ∴AE ⊥CD ，由于PA ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面PAE ，(2)解 假设存在，由(1)知，PA 、AB 、AE 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AB 、AE 、AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz (如图所示)．由PA ⊥平面ABCD ，则∠PCA 为PC 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PCA ＝45°，因此PA ＝AC ＝AB ＝2.则P (0，0，2)，A (0，0，0)，E (0，3，0)∴PE →＝(0，3，－2)． 设AF ＝a (0<a <2)，则F (a ，0，0)，∴PF →＝(a ，0，－2)，设平面PEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧m ²PE →＝0，m ²PF →＝0.得⎩⎨⎧3y －2z ＝0，ax －2z ＝0， 取x ＝2，则m ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，2a 3，a .又向量AE →＝(0，3，0)是平面PAF 的一个法向量．∴|cos 〈m ，AE →〉|＝|m ²AE →||m |²|AE →|＝2a3²4＋7a 23因此2a 3²4＋7a 23＝cos 45°＝22，解之得a ＝2 3. 由于23∉(0，2)，故不存在点F ，使得二面角A －PF －E 为45°. 20．解 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A (0，0，0)，B (0，1，0)，C (2，0，0)，D (1，－2，0)，A 1(0，0，2)，B 1(0，1，2)，C 1(2，0，2)，D 1(1，－2，2)． 又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N (1，－2，1)． (1)证明 依题意，可得n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，MN →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，0，由此可得MN →²n ＝0，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)AD 1→＝(1，－2，2)，AC →＝(2，0，0)，设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ACD 1的法向量，则1110,0,n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2y 1＋2z 1＝0，2x 1＝0. 不妨设z 1＝1，可得n 1＝(0，1，1)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面ACB 1的法向量，则1220,0,n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩又AB1→＝(0，1，2)，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2z 2＝0，2x 2＝0不妨设z 2＝1，可得n 2＝(0，－2，1)． 因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1²n 2|n 1|²|n 2|＝－1010，于是sin 〈n 1，n 2〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－10102＝31010. 所以，二面角D 1－AC －B 1的正弦值为31010.(3)依题意，可设1A E ＝λ11A B，其中λ∈[0，1]，则E (0，λ，2)，从而NE →＝(－1，λ＋2，1)，又n ＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量，故|cos 〈NE →，n 〉|＝|NE →²n ||NE →|²|n |＝1（－1）2＋（λ＋2）2＋12＝13. 整理得λ2＋4λ－3＝0，解得λ＝－2±7， 又因为λ∈[0，1]，所以λ＝7－2， 所以，线段A 1E 的长为7－2.。

专题五解析几何解答题直线与圆锥曲线的位置关系【背一背重点知识】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即(,)0Ax By CF x y++=⎧⎨=⎩消去y后得ax2＋bx＋c＝0.通过这个方程解的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系，具体如下表所示。

(1)圆锥曲线的弦长的定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算：设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1－x2|·|y1－y2|.（抛物线错误！未找到引用源。

的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝22sinpθ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．【讲一讲提高技能】1、利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元转化成一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，即方程为一次方程；若不为0，则方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解。

例1已知椭圆C ：2224x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.分析：（1）把椭圆C ：2224x y +=化为标准方程，确定2a ，2b ，利用ace =求得离心率；（2）设点),(00y x A ，)2,(t B ，其中00≠x ，由OB OA ⊥，即0=∙OB OA ，用0x 、0y 表示t ，当t x =0或t x ≠0分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系. 【解析】故22168|4|4|22|20204020202020200200=+++=++-=xx x x x xy y x x y x d .故此直线AB 与圆222=+y x 相切.2、利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |·|x 1－x 2||y 1－y 2|，而|x 1－x 2|立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．例2已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，其中12,F F 为左、右焦点，且离心率3e =，直线l 与椭圆交于两不同点()()1122,,,P x y Q x y .当直线l 过椭圆C 右焦点F 2且倾斜角为4π时，原点O 到直线l 的距离为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）若OP OQ ON += ，当OPQ ∆面积为2||||ON OP ⋅ 的最大值.【答案】（1）22132x y +=；（2）5. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出点斜式的直线l 的方程，再结合椭圆的离心率解出a ，b ，c ，从而写出椭圆的方程；第二问，分直线l 的斜率是否存在两种情况讨论，当斜率不存在时，可数形结合得到结论，当斜率存在时需直线与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理两点间距离公式，代入到面积公式中，找出k 与m 的关系，再计算22||||ON OP ⋅ ，利用基本不等式求最值.由前知123kx x m +=-，2121232()22k y y k x x m m m m +=++=-+=， 22221212222941()()2(3)k ON x x y y m m m=+++=+=- .22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m +-+=+==++ 11分 2222114(3)(2)25ON PQ m m =-+ ≤，当且仅当221132m m-=+，即m =时等号成立，故5ON PQ≤. 综上可知ON PQ的最大值为5. 13分3、利用点差法求解圆锥曲线问题点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的。

高考数学提高题专题复习立体几何多选题练习题附解析一、立体几何多选题1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）A ．异面直线1AB 与1AD 所成的角是3πB ．1BD ⊥平面11AC DC ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为3D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23【答案】ABD 【分析】选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】A ：正方体1111ABCD ABCD -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113A BC π∠=，正确；B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111DC B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，即111AC B B ⊥，又1111AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确；C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为134ACB S=，错误；D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()()2222226++=2的正四面体11A BDC -的高为22222262213⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭，故正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23，正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断C 、D 的正误.2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||5AE =，AC DF ⊥，则（ ）A ．点E 的轨迹是一个圆B ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 21-D ．AE 与平面1A BD 21530+【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =+=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；对于C:在平面1111D C B A 内，1A 到直线11B D 的距离为2,d=当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正确； 对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩ 不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：2|||sin|cos,|||||n AEn AEn AEπθα⎛⎫++⎪====⨯当且仅当4πθ=时，sinα15=，故D正确故选：CD【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．3．已知四面体ABCD的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（）A．异面直线AC与BD所成角为60︒B．点A到平面BCDC．四面体ABCDD．动点P在平面BCD上，且AP与AC所成角为60︒，则点P的轨迹是椭圆【答案】BC【分析】在正四面体中通过线面垂直可证得AC⊥BD，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P的轨迹为双曲线方程即可得D错误.【详解】取BD中点E,连接,AE CE,可得BD⊥面ACE,则AC⊥BD,故A错误；在四面体ABCD中，过点A作AF⊥面BCD于点F,则F为为底面正三角形BCD的重心，因为所有棱长均为2,AF==即点A到平面BCD的距离为3,故B正确；设O为正四面体的中心则OF为内切球的半径，OA我外接球的半径，因为11433A BCD BCD BCDV S AF S OF-=⋅=⨯⋅△△，所以4AF OF=，即OF AO=所以四面体ABCD的外接球体积334433V R OAππ===,故C正确；建系如图：,A C⎛⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭,设(,,0)P x y，则,,AP x y AC→→⎛⎛==⎝⎭⎝⎭，因为cos 60AP AC AP AC →→→→⋅=，所以222324812241393972y x y +=++⨯+⨯， 即222388=33y x y +++，平方化简可得：22323400399y x y ----，可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误. 故选：BC ．【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.4．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，以下结论正确的是（ ） A ．四边形1BFD E 不一定是平行四边形 B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等 C ．平面α与平面1DBB 不可能垂直 D ．四边形1BFD E 2 【答案】BD 【分析】由平行平面的性质可判断A 错误;利用正方体的对称性可判断B 正确;当E ､F 为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可判断C 错误;当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积最大,2,可判断D 正确. 【详解】 如图所示,对于选项A,因为平面1111//ABB A CC D D ,平面1BFD E 平面11ABB A BE =,平面1BFD E平面111CC D D D F =,所以1//BE D F ,同理可证1//D E BF ,所以四边形1BFD E 是平行四边形,故A 错误; 对于选项B,由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等,故B 正确; 对于选项C,在正方体1111ABCD A B C D -中,有1,AC BD AC BB ⊥⊥, 又1BD BB B ⋂=,所以AC ⊥平面1BB D , 当E ､F 分别为棱11,AA CC 的中点时, 有//AC EF ,则EF ⊥平面1BB D , 又因为EF ⊂平面1BFD E ,所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ,故C 错误;对于选项D,四边形1BFD E 在平面ABCD 内的投影是正方形ABCD , 当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积有最大值, 此时1212S D E BE =⋅=⋅=,故D 正确; 故选:BD. 【点睛】本题考查了正方体的几何性质与应用问题,也考查了点线面的位置关系应用问题,属于中档题.5．如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则（ ）A ．若//MN 平面PAB ，则//AB RQ B ．存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQC ．存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+= D ．111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 13SC PC =时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断； 对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A ， 若//MN 平面PAB ，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ，又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，∴//MN RQ ，点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，∴MN ⊂平面ABC ，又//MN 平面PAB ，平面ABC平面PAB AB =，∴//MN AB ， ∴//AB RQ ，故A 正确； 对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即13SC PC =， 此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明： 在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ，∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，点O 为ABC 的中心，//MN AB ，∴由正三角形中的性质，易得23CN CM a ==， 在CNS 中，23CN a =，13SC a =，3SCN π∠=，∴由余弦定理得，SN a ==， ∴222249SC SN a CN +==，则SN PC ⊥， 同理，SM PC ⊥，又SM SN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，∴PC ⊥平面SRQ ，∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，故B 正确； 对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=， 设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=，∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，∴PC AB ⊥，又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上，∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立， 故C 错误； 对于选项D ，易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ， 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数， 则点S 到PQR 的距离为sin PS α， 又13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQRV PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅， 又13sin23PSRSPS PR PS PR π=⋅=⋅， 13sin 234PSQSPS PQ PS PQ π=⋅=⋅，13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅， ()3S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V d PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅， ∴()33sin 1212PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅， ∴111sin d PQPRPSα++=为常数，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.6．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）A ．MN ∥平面ABDB ．异面直线AC 与MN 所成的角为定值C ．在二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径先变小后变大D ．若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】利用线面平行的判定即可判断选项A ；利用线面垂直的判定求出异面直线AC 与MN 所成的角即可判断选项B ；借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,分ABC ∠为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D.【详解】对于选项A:因为M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，所以MN 为BCD ∆的中位线，所以//MN BD ,因为MN ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ,故选项A 正确；对于选项B ：取AC 的中点O ，连接,DO BO ,作图如下：则,AC DO AC BO ⊥⊥,BO DO O =,由线面垂直的判定知，AC ⊥平面BOD ,所以AC BD ⊥,因为//MN BD ,所以AC MN ⊥,即异面直线AC 与MN 所成的角为定值90，故选项B 正确；对于选项C:借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，球心离开平面ABC ，但是球心在底面的投影仍然是ABC ∆外接圆圆心，故二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径不可能先变小后变大， 故选项C 错误；对于选项D:过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,若ABC ∠为锐角，H 在线段BC 上；若ABC ∠为直角，H 与B 重合；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上；若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，因为AH BC ⊥，所以CB ⊥平面AHD ,由线面垂直的性质知,CB HD ⊥,若ABC ∠为直角，H 与B 重合，所以CB BD ⊥,在CBD ∆中，因为CB CD =, 所以CB BD ⊥不可能成立，即ABC ∠为直角不可能成立；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上，则在原平面图菱形ABCD 中，DCB ∠为锐角，由于立体图中DB DO OB <+,所以立体图中DCB ∠一定比原平面图中更小，，所以DCB ∠为锐角，CB HD ⊥，故点H 在线段BC 与H 在线段BC 的延长线上矛盾，因此ABC ∠不可能为钝角；综上可知，ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选项D 正确; 故选：ABD【点睛】本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.7．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．A ．棱的高与底边长的比为22B ．侧棱与底面所成的角为4πC ．棱锥的高与底面边长的比为2D ．侧棱与底面所成的角为3π 【答案】AB【分析】 设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a =，然后可得侧面积为242108a a+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案.【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a可得21183V a h ==，即254h a= 所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a⋅⋅+=+=+令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a ⨯'=- 令()233210840f a a a ⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减 当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小此时3h = 所以棱锥的高与底面边长的比为2，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO =所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误 故选：AB【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.8．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2，则（ ）A ．BF ⊥平面EABB ．该二十四等边体的体积为203C ．该二十四等边体外接球的表面积为8πD ．PN 与平面EBFN 所成角的正弦值为22【答案】BCD【分析】 A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】解：对于A ，假设A 对，即BF ⊥平面EAB ，于是BF AB ⊥，90ABF ∠=︒，但六边形ABFPQH 为正六边形，120ABF ∠=︒，矛盾，所以A 错；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体， 则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以B 对；对于C ，取正方形ACPM 对角线交点O ，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为2R =，其表面积为248R ππ=，所以C 对；对于D ，因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ，所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠，其正弦值为22PS PN ==，所以D 对． 故选：BCD ．【点睛】本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题．。

专题05 解析几何解答题【背一背重点知识】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即(,)0Ax By CF x y++=⎧⎨=⎩消去y后得ax2＋bx＋c＝0．通过这个方程解的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系，具体如下表所示．（I）圆锥曲线的弦长的定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．（II）圆锥曲线的弦长的计算：设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x2|＝·|y1－y2|．（抛物线错误！未找到引用源。

的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝22sinpθ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．【讲一讲提高技能】1．利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元转化成一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，即方程为一次方程；若不为0，则方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．例1．【炎德英才大才大联考湖南师大2017届高三上学期第3次月考，20】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()121,0,10F F -，，点A 在椭圆C 上． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M N 、时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(Ⅰ)2212x y +=；(Ⅱ)点Q 不在椭圆上．【解析】(Ⅱ)椭圆C 上不存在这样的点Q ，证明如下：设直线l 的方程为2y x t =+，2．利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |·|x 1－x 2|＝|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．例2．【广西陆川县中学2017届高三上学期12月考，20】（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =，且椭圆C 经过点1,A ⎛ ⎝．直线:l y x m =+与椭圆C 交于不同的,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若AOB ∆的面积为1（O 为坐标原点），求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=；（2）y x =±． 【解析】试题分析：（I ）根据题意可以得到,,a b c 的方程组，解方程可以求出,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程；（2）将直线y x m =+与椭圆联立得到2258440x mx m ++-=，设出()()1122,,,A x y B x y ，利用点到直线距离表示d m ．试题解析：（1）∵离心率c e a ==2234c a =，得224a b =，①∵椭圆C 经过点1,A ⎛ ⎝，∴221314a b +=，② 联立①②，解得224,1a b ==∴椭圆C 的方程为2214x y +=．3．利用点差法求解圆锥曲线问题点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的．点差法的基本过程为：设点、代入、作差、整理代换．例3【山东省实验中学2017届高三第一次诊，20】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(1,0)F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒． （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)T t ，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）1(0,)4t ∈直线TR 的方程为：222314()3434k k y x k k k+=--++ ， ……………9分 令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++， ……………10分因为2(0,)k ∈+∞， 所以234(4,)k +∈+∞，所以1(0,)4t ∈．……………12分 所以线段OF 上存在点(,0)T t 使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中1(0,)4t ∈．……………13分 【练一练提升能力】1．【重庆巴蜀中学2017届高三12月考，20】已知椭圆C ：22221(a b 0)x y a b+=>>的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交于椭圆M ，N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．【答案】(I)22162x y +=；(II)2)y =-．【解析】（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(x 2)y k =-，点11(x ,y )A ，22(x ,y )B ．33(x ,y )M ，33N(x ,y )--，由221,62(x 2),x y y k ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)x 121260k k x k +-+-=． 所以21221213k x x k +=+，因为121224(x 4)13ky y k x k -+=+-=+．所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++．因此直线OD 方程为30(k 0)x ky +=≠．考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．2．【重庆巴蜀中学2017届高三上学期期中，20】（本小题满分12分）已知椭圆222:1x E y a+=（常数1a >），过点(),0A a -且以t 为斜率的直线与椭圆E 交于点B ，直线BO 交椭圆E 于点C （O 坐标原点）．（1）求以t 为自变量，ABC ∆的面积()S t 的函数解析式； （2）若12,,12a t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求()S t 的最大值．【答案】（1）()()22220,11a tS t t a a t =>>+；（2）2． 【解析】试题分析：（1）首先设出直线AB 的方程，然后联立椭圆的方程求得点B 的纵坐标，由此利用三角形的面积公式得到()S t 的函数解析式；（2）首先结合（1）得出当2a =时，()S t 的解析式，然后利用基本不等式求出最大值． 试题解析：（1）设直线AB 的方程为：()y t x a =+，由()2221y t x a x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222120a t y aty +-=，∴0y =或2221at y a t =+，则点B 的纵坐标为2221B aty a t =+， ∴()()222220,11ABC AOB B a tS t S S OA y t a a t ∆∆====>>+ ．（2）当2a =时，()2881414t S t t t t==++，∵1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴144t t t t +≥=， 当且仅当114,t 2t t==时，上式等号成立，∴()882144S t t t=≤=+，即()S t 的最大值()max 2S t =．3．【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，20】（本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率12e =，过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过椭圆E 的右焦点2F ，且与x 轴不重合，交椭圆E 于,M N 两点，过点2F 且与l 垂直的直线与圆22:2150C x y x ++-=交于,P Q两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=（2）⎡⎣（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设l 的方程()()()()11221,0,,,,y k x k M x y N x y =-≠，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=，则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，()22212143k x k +=+，过点()21,0F 且与l 垂直的直线()1:1m y x k =--，圆心()1,0C -到m，所以PQ ==． 故四边形MPNQ面积12S MN PQ ==．可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(．当l 与x 轴垂直时，其方程为1,3,8x MN PQ ===，四边形MPNQ 面积为12，综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为⎡⎣．轨迹与轨迹方程【背一背重点知识】1．曲线与方程的概念：在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x ，y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求轨迹方程的基本步骤：（1）建系设点：建立适当的坐标系，用有序实数对（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）列出关于动点的几何等量关系是：写出适合条件的p （M ）的集合P={M|p(M)}；（3）坐标化:用坐标表示条件p(M)，列出方程F(x ，y)=0；（4）化简：化方程f(x ，y)=0为最简形式；（5）检验：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上，同时检验前后化简的等价性．3．求轨迹方程的基本方法：直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法等．【讲一讲提高技能】1．直接法求轨迹方程当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程，称之直接法．例1．【湖北孝感2017届高三上学期第一次统考，20】（本小题满分12分）双曲线()222:103x y C a a +=>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作x 轴垂直的直线交双曲线C 于A B 、两点，1F AB ∆的面积为12，抛物线()2:20E y px p =>以双曲线C 的右顶点为焦点．（Ⅰ）求抛物线E 的方程； （Ⅱ）如图，点(),02P P t t ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭为抛物线E 的准线上一点，过点P 作y 轴的垂线交抛物线于点M ，连接PO 并延长交抛物线于点N ，求证：直线MN 过定点．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()1,0P t t -≠，则2,4t M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线PO 的方称为y tx =-，代入抛物线E 的方程有：244,N t t ⎛⎫-⎪⎝⎭ 当24t ≠时，22244444MNt t t k t t t +==--，∴直线MN 的方程为：22444t t y t x t ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，即()2414ty x t =--，∴此时直线MN 过定点()1,0，当24t =时，直线MN 的方称为：1x =，此时仍过点()1,0 即证直线MN 过定点．【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现． 2．定义法求轨迹方程如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法．例2．【河北石家庄2017届高三第一次质检，20】（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点()1,0F ，直线:1l x =-，动直线l '垂直l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l '于点P ，设点P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）以曲线C 上的点()()000,0P x y y >为切点作曲线C 的切线1l ，设1l 分别与,x y 轴交于,A B 两点，且1l 恰与以定点()(),02M a a >为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求ABF ∆与PAM ∆面积的比．【答案】（1）24y x =；（2）14． 【解析】（2）解法一：由题意知切线的斜率必然存在，设为，则 ．由，得，即由，得到．∴，……………………6分解法二：由，当时，，以为切点的切线的斜率为以为切点的切线为即，整理………………6分令则，令则，………………7分点到切线的距离(当且仅当时，取等号)．∴当时，满足题意的圆的面积最小．………………9分∴，．，．……………11分∴．△与△面积之比为．………………12分3．相关点法求轨迹方程相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法．例3．【广东省惠州市2017届第二次调研考试数学（理）试题】（本小题满分12分） 已知点()1,0A ，点P 是圆C :()2218x y ++=上的任意一点，线段PA 的垂直平分线与直线C P 交于点E ．（Ⅰ）求点E 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以Q P 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）⎛ ⎝（Ⅱ）设()11,x y P ，()22Q ,x y ，则将直线与椭圆的方程联立得：2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，得：()222214220k x kmx m +++-=，0∆>，2221m k <+………①122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+…………………6分 原点O 总在以Q P 为直径的圆的内部∴Q 0OP ⋅O <即12120x x y y +<……7分而()()2212122221m k y y kx m kx m k -=++=+∴2222222202121m m k k k --+<++……9分即22223k m +<∴223m <，且满足①式m 的取值范围是⎛ ⎝…12分 4．交轨法求轨迹方程求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法．例4．【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）数学（理）试题】（本小题满分12分）以边长为4的等比三角形ABC 的顶点A 以及BC 边的中点D 为左、右焦点的椭圆过,B C 两点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过点D 且x 轴不垂直的直线l 交椭圆于,M N 两点，求证直线BM 与CN 的交点在一条直线上．【答案】（1）22196x y +=（2）x =（II ） ① 当MN 不与x 轴重合时，设MN的方程为x my =+B，2)C -联立椭圆与直线MN 2223180x y x my ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩消去x可得22(23)120m y ++-=，即12y y +=，1221223y y m -=+ 设11(,)M x y ，22(,)N x y 则BM：2y x -=①5．参数法求轨迹方程当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一变数t 的关系，得(),(),x g t x t ϕ=⎧⎨=⎩再消去参变数t ，得到方程(,)0f x y =，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法．例 5．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21+=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．).44,4()2,2()(21222121kk k y y x x ++-=++=+=设点P 的坐标为),,(y x 则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方 程为.0422=-+y y x【练一练提升能力】1．【河北武邑中学2017届高三上学期第四次调研，21】已知椭圆2222:1x y C a b +=，()0a b >>⎛ ⎝． (Ⅰ）求椭圆C 的方程； (Ⅱ)设与圆223:4O x y +=相切的直线l 交椭圆C 与A ，B 两点，求OAB ∆面积的最大值及取得最大值时直线l 的方程．【答案】（1）2213x y +=；（21y x =±．【解析】AB ==2=≤当且仅当2219kk=，即k=11222OABS AB r∆∴=⨯≤⨯=，OAB∴∆1y=±．2．【河南南阳一中2017届高三上学期第4次月考，20】如图，已知点A是离心率为的椭圆C：22221(0)y xa ba b+=>>上的一点，的直线BD交椭圆C于B、D 两点，且A、B、D三点互不重合．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．【答案】（1）22142y x+=；（2）证明见解析．【解析】试题解析：（1）由题意，可得c e a ==得22211a b+=，又222a b c =+，解得2a =，b =，c =所以椭圆C 的方程为22142y x +=．分别将①②式代入（*），得0m+=-=，所以0AD ABk k+=，即直线AB，AD的斜率之和为定值0．3．【广西陆川县中学2017届高三上学期模拟二，20】已知椭圆D：()222101yx bb+=<<的左焦点为F，其左、右顶点为A、C，椭圆与y轴正半轴的交点为B，FBC的外接圆的圆心(),P m n在直线0x y+=上．（I）求椭圆D的方程；（II）已知直线l：x=，N是椭圆D上的动点，NM l⊥，垂足为M，是否存在点N，使得FMN为等腰三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(I)2221x y+=；(II)N⎛⎝或0,⎛⎝．【解析】即12cm -=，22b c n b -=因为(),P m n 在直线0x y +=上，所以21022c b cb--+=………（4分）即()()10b b c +-= 因为()10b +>，所以b c = 再由221b c =-求得2212b c ==所以椭圆D 的方程为2221x y +=………（7分）圆锥曲线中的范围、最值问题【背一背重点知识】1、求圆锥曲线最值范围问题常见的方法有两种（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图像性质结合曲线的定义来解决，这是几何法．（2）代数法：题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．求函数的最值范围常见的代数方法有:配方法、判别式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等．2、求有关圆锥曲线的最值问题市应注意以下几点：（1）圆锥曲线上本身存在的最值问题．如 ①椭圆上两点间最大距离为a 2；②椭圆的焦半径的取值范围为[]c a c a +-,，c a -和c a +分别表示椭圆的焦点到椭圆上的最短距离和最长距离等．（II ）圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常把两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题解决； （III ）圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法；(4)由直线(系)和圆锥曲线的位置关系，求直线中或圆锥曲线中某个参数(系数)满足的范围，解决方法是把所求参数化为另一变元的函数关系求解．【讲一讲提高技能】圆锥曲线中的范围和最值问题的求解方法：求解有关圆锥曲线的最值、参数范围的问题：一是注意题目中的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想．建立目标函数，求解最值．在利用代数法解决最值和范围问题时常从以下几个方面入手:(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的范围； (5)利用函数的值域的求法，从而确定参数的取值范围．例1．【湖南永州市2017届高三第一次模拟，20】（本小题12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>的焦距为2，离心率为，y 轴上一点Q 的坐标为()03，．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）若对于直线:l y x m =+，椭圆C 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且332QA QB ⋅<，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．（Ⅱ）由题意设()11A x y ，，()22B x y ，，直线AB 方程为：y x n =-+．联立2212y x nx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 整理可得：2234220x nx n -+-=， 由()()222412222480n n n ∆=---=->，解得n <<……………………………………………5分（法二：请酌情给分）由题意设()11A x y ，，()22B x y ，，直线AB 的中点为()P x y ，， 则121222x x x y y y =+=+，， 将A ，B 两点分别代入椭圆方程，并联立22112222220220x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，两式相减得：()2222121220x x y y -+-=， 即()()()()1212121220x x x x y y y y -++-+=， 又AB l ⊥，所以，12121AB y y k x x -==--，所以，AB 的中点P 的轨迹方程为：12y x =，【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．例2．【四川巴中市2017届“零诊”，20】 (本小题满分12分) 已知椭圆M ：13222=+y a x (0>a )的一个焦点为)0,1(-F ，左右顶点分别为B A ,，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于D C ,两点．（1）求椭圆方程；（2）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求||21S S -的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2．【方法点睛】求解范围问题的常见求法：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．【练一练提升能力】1．．【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，20】（本小题满分12分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点． （1）若3AF FB =，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．【答案】（1或；（2）4．2．【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，20】（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆()222x y b a +-=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知椭圆C 的左顶点A 的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,M N 两点，且12l l ⊥，求证: 直线MN 过定点，并求出定点坐标；（III ） 在（II ） 的条件下求AMN ∆面积的最大值．【答案】（I ）2214x y +=；（II ）过定点6(,0)5-，证明见解析；（III ）1625．（2）(2,0)A -设1:2l x my =-，21:2l x y m=-- 由222440x my x y =-⎧⎨+-=⎩得22(4)40m y my +-=222284(,)44m m M m m -∴++解答题（共10题）1．【江西南昌市2017届摸底考试，20】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）过圆22:2E x y +=上任意一点P 作圆E 的切线l ，l 与椭圆C 交于,A B 两点，以AB 为直径的圆是否过定点，如过，求出该定点；不过说明理由．【答案】（1）22163x y +=（2）坐标原点（Ⅱ）圆E 的方程为222x y +=，设O 为坐标原点 当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x =，则A B -， 所以2AOB π∠=……………6分所以AB 为直径的圆过坐标原点当直线l 的斜率存在时，设其方程设为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y因为直线与相关圆相切，所以d ==2222m k \=+联立方程组22163x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()6x kx m ++=，即222(12)4260k x kmx m +++-=， …………7分2222222164(12)(26)8(63)8(41)0k m k m k m k D =-+-=-+=+>，12221224122612km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩……………9分 22222221212121222(1)(26)4(1)()1212k m k m x x y y k x x km x x m mk k +-∴+=++++=-+++222366012m k k --==+ OA OB ∴⊥ ………………… 11分所以AB 为直径的圆恒过坐标原点O ．………………………… 12分2．【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，20】本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()()2,0,0,1A B 两点．（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．【答案】（1）2214x y +=，e =2）面积为23．【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，20】（本小题满分12分） 已知抛物线2:2(0)E y px p =>，直线3x my =+与E 交于A ，B 两点，且6OA OB =，其中O 为坐标原点． （1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为（-3，0），记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：22212112m k k +-为定值．【答案】（1）2y x =；（2）详见解析 【解析】试题解析：（1）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程组223y px x my ⎧=⎨=+⎩，消元得2260y pmy p --=，所以122y y pm+=，126y y p =-．……………………………………………………………………………2分又2121212122()9664y y OA OB x x y y y y p p=+=+=-=，……………………………………………………6分 所以12p =，从而2y x =．………………………………………………………………………………………5分4．已知椭圆C ：2224x y +=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论．分析：（1）把椭圆C ：2224x y +=化为标准方程，确定2a ，2b ，利用ace =求得离心率；（2）设点),(00y x A ，)2,(t B ，其中00≠x ，由OB OA ⊥，即0=∙OB OA ，用0x 、0y 表示t ，当t x =0或t x ≠0分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系．解析：（1）由题意椭圆C 的标准方程为12422=+y x ， 所以42=a ，22=b ，从而224222=-=-=b a c ，所以22==a c e ．5．如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C ． （1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l的方程．【答案】（1）2a =，1b =；（II ） 8(1)3y x =-- 【解析】（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为221(0)4y x y +=≥，(1,0)B 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =-≠ 代入1C 的方程中，整理得：2222(4)240k x k x k +-+-= （*）设点P 的坐标(,)P P x y由韦达定理得2224P B k x x k +=+又(1,0)B ，得2244P k x k -=+，从而求得284P ky k -=+所以点P 的坐标为22248(,)44k kk k --++同理，由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ----22(,4)4kAP k k ∴=+，(1,2)AQ k k =-+ 因为AP AQ ⊥0AP AQ ∴⋅=，即222[4(2)]04k k k k --+=+ 0k ≠，4(2)0k k ∴-+=，解得83k =-经检验，83k =-符合题意，故直线l 的方程为8(1)3y x =--6．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =．当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ， （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（I ）24y x =．（II ）（ⅰ）直线AE 过定点(1,0)F ．（ⅱ）ABE ∆的面积的最小值为16．由2004y x =，整理可得0204(1)4y y x y =--， 直线AE 恒过点(1,0)F ．当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，所以直线AE 过定点(1,0)F ．（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ， 所以000011||||||(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++， 设直线AE 的方程为+1x my =， 因为点00(,)A x y 在直线AE 上， 故001x m y -=，7．如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|||2,AB CD AC BD（Ⅰ）求点M 的轨迹方程；（Ⅱ）过M 作AB 的垂线，垂足为N ，若存在正常数0λ，使0MP PN λ=，且P 点到A 、B 的距离和为定值，求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅲ）过1(0,)2的直线与轨迹E 交于P 、Q 两点，求OPQ ∆面积的最大值． 【答案】（Ⅰ）()221,0x y x +=≠；（Ⅱ）0 2.λ=()2291,0x y x +=≠；【解析】（Ⅱ）设(),P x y ，则()0(1),M x y λ+，代入M 的轨迹方程有2220(1)1(0).x y x λ++=≠ 即221(0)12()10x y x λ+=≠+，∴P 的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）．要P 到,A B 的距离之和为定值，则以,A B为焦点，故1212(1)0λ-=+．∴0 2.λ= 从而所求P 的轨迹方程为()2291,0x y x +=≠． 9分（Ⅲ）易知l 的斜率存在，设方程为1.2y kx =+ 联立()2291,0x y x +=≠，有223(9)0.4k x kx ++-= 设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212223,.94(9)k x x x x k k -+=-=++2x ∴=令29t k =+，则2x 且9.t ≥21122OPQ S x ∆∴=⨯=，119,0.9t t ≥∴<≤所以当119t =，即9,t =也即0k =时，OPQ ∆．8．已知,A B 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上两动点，12,F F 分别为其左右焦点，直线AB 过点()2,0F c ，且不垂直于x 轴，1ABF ∆的周长为8，且椭圆的短轴长为32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 为椭圆C 的左端点，连接PA 并延长交直线4:=x l 于点M ．求证：直线BM 过定点．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明详见解析． 【解析】1122111212||||||||||||||(||||)(||||)4AB AF BF AF BF AF BF AF AF BF BF a++=+++=+++=所以⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==3232284b a b a ，则椭圆C 的方程为22143x y +=直线:4l x =，可得点164,M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即234,2M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而直线BM 的方程为()22222222212334234682434m m m y x m m m ++=----+，化简得()2233442y m x m =---，即()2324y m x =--，从而直线BM 过定点()2,0 9．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左焦点)0,3(-F ，且离心率23=e ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ：m kx y +=（0≠k ）与椭圆C 交于不同的两点M ，N （M ，N 不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）1422=+y x ；（2）证明见解析，定点的坐标为)0,56(． 【解析】（2）由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 得0448)41(222=-+++m kmx x k ，0)44)(41(4)8(222>-+-=∆m k km ， 整理得01422>+-m k ，设),(11y x M ，),(22y x N ，则221418k kmx x +=+，22214144k m x x +-=由已知，AN AM ⊥，即0=⋅AN AM ，又椭圆的右顶点为)0,2(A ，所以0)2)(2(2121=+--y y x x ，∵2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=， ∴04))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k ，即04418)2(4144)1(22222=+++⋅-++-⋅+m kkmkm k m k ． 整理得01216522=++k mk m ， 解得k m 2-=或56km -=均满足01422>+-m k ． 当k m 2-=时，直线l 的方程为k kx y 2-=，过定点)0,2(，与题意矛盾，舍去；当56k m -=时，直线l 的方程为)56(-=x k y ，过定点)0,56(， 故直线l 过定点，且定点的坐标为)0,56(．10．【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）数学（理）试题】（本小题满分15分）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点12E ⎫⎪⎭在椭圆上，设点11,A B 分别是椭圆的右顶点和上顶点，过 点11,A B 引椭圆C 的两条弦1A E 、1B F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线1A E 与1B F 的斜率是互为相反数．①直线EF 的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由； ②设1A EF ∆、1B EF ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S +的取值范围．【答案】（I ）2214x y +=；（II ）①是定值21；②(0,． 【解析】试题分析：（I ）借助题设条件建立方程组求解；（II ）借助题设运用直线与椭圆的位置关系探求． 试题解析：②设直线1:2EF y x b =+，联立方程组221244y x bx y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得：222220x bx b ++-=， ()()2222422840,b b b b ∆=---=-><<212122,2x x b x x b +=-=设12d d 分别为点11,A B 到直线EF的距离，则12d d ==，(12112S S d +=+当1b<<时，()1220,1S S += ；当11b-≤≤时，122,S S ⎡+=⎣；当1b <<-时，()1220,1S S +=- ；12S S∴+的取值范围是(0,．。

第 一 章 集合与常用逻辑用语集合的基本运算【背一背重点知识】指定的某些对象的全体称为一个集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.a 是集合A 的元素记作: a A ∈a 不是集合A 的元素记作: a A ∉ (1) 集合的性质 确定性 无序性 互异性 (2) 集合的表示：列举法、描述法、韦恩图法、区间法(3) 常见的数集：N （ 自然数集 ）、 *N 或+N （ 正整数集 ）、Z （ 整数集 ）、Q （ 有理数集 ）R （ 实数集 ） 2.集合与集合的关系：交集，并集，补集A B ⋂={}x x A x B ∈∈且A B ⋃={}x x A x B ∈∈或{}U x A x x A C U ∉∈=且|3.真子集：集合A 是集合B 的真子集，记作 A ≠⊂B 【讲一讲提高技能】1. 必备技能：集合的表示，集合的概念，集合的运算.2. 典型例题：例1.设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤，则MN =（ ）A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3] 【答案】A【分析】：通过数轴表示可求两个集合的公共部分.例2.集合{}24,031x y x Q x x xP -==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=，则=⋂Q P （）A ．(12]，B ．[12]，C ．),1()3,(+∞⋃--∞D ．[12)， 【答案】 A【练一练提升能力】1. 已知集合已知集合{}{}22,0,2,20A B x x x =-=--=，则A B =（ ）A ．∅B ．{}2C ．{}0D ．{}2- 【答案】B【分析】：分别求出集合A 和集合B ，最后求交集. 【解析】：由题意知{}{}2,0,2,21A B =-=-，，因此{}{}{}2,0,221=2AB =-⋂-，2.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，则()U C A B =（ ）A ．{}3B ．{}3,4C ．{}2,3,4D ．{}4 【答案】D【解析】由题()U C A B {}{}{}2,43,44=⋂=，选D .利用关系或条件求解参数X 围问题【背一背重点知识】 1.A B B A ⊆⊆⇒且A B = 2.A B A ⋂=⇒A B ⊆A B A ⋃=⇒B A ⊆【讲一讲提高技能】1.必备技能：借助数轴，将集合间的相互关系在数轴上表示出来，先作出不变的集合，再在数轴上将变动的集合作出，使之满足条件. 2.典型例题：例1.集合}{{}20,,A x x B x x a =+<=<若A B A = ,则实数a 的取值X 围是（ ）A ．(]2--，∞ B ．[)∞+，2- C ．(]2-，∞ D ．[)∞+，2 【答案】B【解析】由题意得，}{{}2,,A x x B x x a =<-=<要使得AB A =，即A B ⊆，则2a ≥-，故选B ．例2已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22,B x m x m m R =-≤≤+∈． (Ⅰ)若A B A ⋃=，某某数m 的取值；(Ⅱ)若{}03A B x x ⋂=≤≤，某某数m 的取值X 围. 【答案】：(Ⅰ)1m =；(Ⅱ) 12m ≤≤【练一练提升能力】{}{}11,1A x x B x x a =-≤≤=-≤≤，且()()A B A B ⋃⊆⋂，则实数a =（ ）A .0B .1C .2D . 3【答案】B【解析】由(A ∪B )⊆(A ∩B )易得A ∪B ＝A ∩B ，则A ＝B ，∴a ＝12.已知全集U R =，集合{|13}A x x =-≤≤，2{|log ()1,}B x x a a R =-<∈．（Ⅰ）若2a =，求；（Ⅱ）若AB A =，某某数a 的取值X 围．【答案】（Ⅰ）(){}21|≤≤-=x x B C A U ；（Ⅱ）11≤≤-a考点：集合的交运算；子集；补集；利用逻辑联结词探求参数问题【背一背重点知识】原命题：若P 则Q ； 逆命题：若Q 则P 否命题： 若P ⌝则Q ⌝ 逆否命题：若Q ⌝则P ⌝2.命题的条件与结论间的属性：若P Q ⇒，则P 是Q 的 充分条件 ，Q 是P 的 必要条件 .全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个， 每一个等； 存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等； 全称命题P :,()x M p x ∀∈ 否定为:,()p x M p x ⌝∃∈⌝ 特称命题P :(),x M p x ∃∈ 否定为():,p x M p x ⌝∀∈⌝. 【讲一讲提高技能】1必备技能：四种命题以及相互关系；充分条件与必要条件的理解；全称命题与特称命题. 2典型例题：例1.在ABC △中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c . 若1,30,a A ==则“60B =”是“3b =”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件. 【答案】A例2：已知两个关于x 的一元二次方程2440mx x -+=和2244450x mx m m -+--=，求两方程的根都是整数的充要条件． 【答案】1=m试题分析：由两方程都有实数解得到1200∆>⎧⎨∆>⎩，得到m 的取值X 围，由方程的根为整数可结合根与系数的关系可知两根和，两根之积为整数，从而得到m 的限定条件，从而求得m 的值试题解析：∵2440mx x -+=是一元二次方程，∴m ≠0．又另一方程为2244450x mx m m -+--=，且两方程都要有实根，∴21222(4)160164(445)0m m m m ⎧∆=--≥⎪⎨∆=---≥⎪⎩解得5,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴244445Z m m Z m m Z ⎧∈⎪⎪∈⎨⎪--∈⎪⎩∴m 为4的约数． 又∵⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦5,14m ，∴m ＝－1或1． 当m ＝－1时，第一个方程0442=-+x x 的根不是整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， ∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【练一练提升能力】p ：实数x 满足22430x ax a -+< (其中0a >)，命题q ：实数x 满足12302x x x ⎧-≤⎪⎨+≥⎪-⎩. （Ⅰ）若1a =，且p q ∧为真，某某数x 的取值X 围； （Ⅱ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，某某数a 的取值X 围． 【答案】（Ⅰ）()2,3；（Ⅱ）(]1,2（Ⅱ）由(Ⅰ)知p ：3a x a <<则:3p x a x a ⌝≤≥或，:23q x <≤，则:23q x x ⌝≤>或，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则,p q q p ⌝⇒⌝⌝≠>⌝且∴0233a a <≤⎧⎨>⎩解得12a <≤，故实数a 的取值X 围是(]1,2． 2.已知a R ∈，命题[]2:1,2,-0p x x a ∀∈≥，命题2q :22,-0x R x ax a ∃∈++=.（1）若命题p 为真命题，某某数a 的取值X 围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，某某数a 的取值X 围.. 【答案】（1）a ≤1（2）1a >或21a -<<.（一） 选择题（12*5=60分）1.已知,a b 为实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】,a b 是实数，∴“0a > 且0b >”⇒“0a b +>且0ab >”；“0a b +>且0ab >”则0ab >得a 与b 同号，又0a b +>，所以必有“0a > 且0b >”，∴“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >” 的充要条件，故选C ．{}23,A a =，集合{}0,,1B b a =-，且{}1A B ⋂=，则A B ⋃=( )A .{}0,1,3B ．{}1,2,4C .{}0,1,2,3D ．{}0,1,2,3,4【答案】C3.设集合{}2320M x x x =++<，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N ，则 MN =（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >- C ．{}1x x <-D ．{}2x x ≤-【答案】A 【解析】试题分析：{}21M x x =-<<-，{}2N x x =≥-，故{}2MN x x =≥-，选A ．.4．已知:p R x ∀∈，210x x -+>，:q ()0,x ∃∈+∞，sin 1x >，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ．()p q ⌝∨C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】A5.命题“[]21,2,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A .4a ≥B ．4a ≤C ．5a ≥D ．5a ≤【答案】C【解析】原命题等价于“2a x ≥对于任意[]1,2x ∈恒成立”，其充要条件是4a ≥，所以C正确．6.设全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}1,3,5M =，{}2,5N =，则Venn 图中阴影部分表示的集合是（ ）【答案】B【解析】Venn 图中阴影部分表示的集合是(){}{}{}1,3,41,3,51,3U C M N ⋂=⋂=,故选B{}{}1,3,,1,,A m B m A B A ==⋃=，则m =（ ）A .03或B ．03或C .13或D ．13或【答案】B【解析】由A B A ⋃=得B A ⊆，有m A ∈，所以有3m m m ==或，即3m =或1m =或0m =，又由集合中元素互异性知1m ≠，故选B .8．已知x 为实数，条件2:p x x <，条件1:2q x>，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B9．以下说法错误的是 ( )A .命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”.B .“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C .若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题.D .若命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:,p x R ⌝∀∈则210x x ++≥.【答案】C【解析】若p q ∧为假命题，则只需,p q 至少有一个为假命题即可．10. “222a b ab+≤-”是“0a >且0b <”的( ) A .必要不充分条件 B .充要条件 C .充分不必要条件 D .既不充分也不必要 【答案】A【解析】()22220a b a b ab ab +++=≤00000a a ab b b <>⎧⎧⇔<⇔⎨⎨><⎩⎩或，则选A. :p R ϕ∃∈，使(x)sin(x )f ϕ=+为偶函数；命题:,cos 24sin 30q x R x x ∀∈+-<，则下列命题中为真命题的是 （ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()p q ∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】C【解析】当2k πϕπ=+时，函数()f x 是偶函数，故命题p 是真命题；2cos 24sin 32sin 4sin 2x x x x +-=-+-22(sin 1)0x =--≤，故命题q 是假命题，故选C ．1:22x x p y R -=-函数在上为增函数，2:22x x p y -=+函数在R 上为减函数，则在命题()112212312:,:,:q p p q p p q p p ∨∧⌝∨和()412:q p p ∧⌝中，真命题的是（ ） A .13,q q B .23,q q C .14,q q D .24,q q【答案】C【解析】因为1p 为真命题，2p 为假命题，因此12p p ∨、()12p p ∧⌝为真，其余为假命题. （二） 填空题（4*5=20分）13.若命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值X 围是________． 【答案】[]3,0-14..已知集合()()(){}0,1,1,1,1,2A =-，(){},10,,B x y x y x y Z =+-=∈，则A B ⋂=______.【答案】{}|1x x >-【解析】因为{}{}{}211|3|12,log 01|93|x A x x x B x x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<<=-<<=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎩⎭>>，所以 A B ={}|1x x >-．15. 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p ⌝是s ⌝的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是____ ____．【答案】①②④【解析】由题意知，∴s q ⇔，①正确；p r s q ⇒⇒⇒，∴p q ⇒，但q p ≠>，②正确；同理判断③⑤不正确，④正确．16.下列说法中①命题“21,1x x ==若则”的否命题为“21,1x x =≠若则”②“1x >”是“0x >”的充分不必要条件③对于常数,m n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线是双曲线”的充要条件 ④“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的充分不必要条件其中说法正确的有（写出所有真命题的编号）．【答案】②③17. 下列命题中真命题为．（1）命题“20,0x x x ∀>-≤”的否定是“20,0x x x ∃≤->”（2）在三角形ABC 中，A>B,则B A sin sin >．（3）已知数列{n a }，则“12,,n n n a a a ++成等比数列”是“212n n n a a a ++=”的充要条件 （4）已知函数()1lg lg f x x x=+，则函数()f x 的最小值为2 【答案】（2）。

2016 年全国各地高考数学试题及解答分类大全（立体几何 ）一、选择题1.（2016北京理）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.16 B.13 C.12D.1 【答案】A【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱 锥P ABC -，其体积111111326V =⋅⋅⋅⋅=，故选A. 考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.2.（2016全国Ⅰ文、理）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是( ) （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【解析】试题分析：该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ． 考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以 三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.3.（2016全国Ⅰ文、理）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1, ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面，则m 、n 所成角的正弦值为 ( )(A)3 (B )2 (C)3 (D)13【答案】A【解析】试题分析：如图,设平面11CB D 平面ABCD ='m ,平面11CB D 平面11ABB A ='n ,因为//α平面11CB D ,所以//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角. 延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm , 同理11B F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成 的角即为1,A B BD 所成的角,即为60︒,故,m n 所成角的 正弦值为32,选A. 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.4.（2016全国Ⅱ文）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）（A ）12π （B ）323π（C ）8π （D ）4π 【答案】A【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球面的表面积为24(3)12ππ⋅=，故选A. 考点： 正方体的性质，球的表面积.【名师点睛】棱长为a 的正方体中有三个球： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球.其半径分别为3a 、2a 和22a .5.（2016全国Ⅱ文、理）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【答案】C考点：三视图，空间几何体的体积.【名师点睛】以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:6.（2016全国Ⅲ文、理）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）18365+（B ）54185+（C）90 （D）81【答案】B考点：空间几何体的三视图及表面积．【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．7. （2016全国Ⅲ文、理） 在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π 【答案】B 【解析】试题分析：要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．8.（2016山东文、理）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π （B ）123+π （C ）123+π （D ）21+π 【答案】C考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.9.（2016上海文）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）(A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1 (C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1【答案】D【解析】只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A ，B ，C 中直线与EF 都是异面直线，故选D ． 考点：1.正方体的几何特征；2.直线与直线的位置关系.【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.10.（2016天津文）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）【答案】B【解析】试题分析：由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B 考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．11.（2016浙江文、理） 已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则（ ）A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n 【答案】C【解析】试题分析：由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．考点：空间点、线、面的位置关系．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．二、填空1. （2016北京文）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.【答案】3.2考点：三视图【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.2.（2016全国Ⅱ理）,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④考点： 空间中的线面关系.【名师点睛】求解本题应注意在空间中考虑线、面关系.3、（2016上海理）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________. 【答案】22【解析】试题分析：由题意得111122tan 223332DD DBD DD BD ∠==⇒=⇒=.考点：1.正四棱柱的几何特征；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】涉及立体几何中的角的问题，往往要将空间问题转化成平面问题，做出角，构建三角形，在三角形中解决问题；也可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解，应根据具体情况选择不同方法，本题难度不大，能较好地考查考生的空间想象能力、基本计算能力等.4. （2016四川文）已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积.侧视图俯视图【答案】3【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为112S =⨯=1，所以该几何体的体积为11133V Sh ===考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．5.（2016四川理）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是.正视图33【答案】3【解析】试题分析：由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为1，底面边长为2,2，则底面等腰三角形的顶角为120︒，所以三棱锥的体积为1122sin1201323V =⨯⨯⨯⨯︒⨯=.考点：三视图，几何体的体积.【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．6.（2016浙江文、理）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.【答案】80；40． 【解析】试题分析：由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了 一个小正方体， 22262244242280S =⨯+⨯+⨯⨯-⨯=表，3244240V =+⨯⨯=．考点：三视图.【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积． 7．（2016浙江文）如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD =5，∠ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△CD 'A ，直线AC 与D 'B 所成角的余弦的最大值是______． 【答案】69【解析】试题分析：设直线AC 与'BD 所成角为θ．设O 是AC 中点，由已知得6AC =，如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由6(0,,0)A ，30(,0,0)B ，6(0,,0)C -，作DH AC ⊥于H ，翻折过程中，'D H 始终与AC 垂直， 2666CD CH CA ===，则63OH =，153066DH ⨯==，因此可设30630'(cos ,,sin )636D αα-， 则3030630'(cos ,,sin )BD αα=--， 与CA 平行的单位向量为(0,1,0)n =，所以cos cos ',BD n θ=<>''BD n BD n⋅=＝6395cos α-，HD'DCBA zyO所以cos 1α=时，cos θ取最大值69． 考点：异面直线所成角.【思路点睛】先建立空间直角坐标系，再计算与C A 平行的单位向量n 和D 'B ，进而可得直线C A 与D 'B 所成角的余弦值，最后利用三角函数的性质可得直线C A 与D 'B 所成角的余弦值的最大值．8.（2016天津理）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3. 【答案】2【解析】试题分析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形 的底为2，高为1，因此体积为1(21)323V =⨯⨯⨯=．故答案为2． 考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．三、解答题1.（2016北京文）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面； （II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III ）存在.理由见解析.（III ）棱PB 上存在点F ，使得//PA 平面C F E ．证明如下： 取PB 中点F ，连结F E ，C E ，CF ． 又因为E 为AB 的中点， 所以F//E PA ． 又因为PA ⊄平面C F E ， 所以//PA 平面C F E ．考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.2. （2016北京理）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==.（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）33；（3）存在，14AM AP =（3）设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得AP AM λ=.因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-BM M .因为⊄BM 平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅n BM ， 即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时41=AP AM . 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.3.（2016江苏）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ， BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析考点：直线与直线、平面与平面位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.4. （2016江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1PO 的四倍. （1）若16,PO 2,AB m m ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2）123PO =考点：函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏应用题，往往需结合导数知识解决相应数学最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.5.（2016全国Ⅰ文）如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,P A =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明G 是AB 的中点；（II ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面P AC 内的 正投影F （说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积． 【答案】（I ）见解析（II ）作图见解析,体积为43试题解析：（I ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D , 所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ,所以.AB DE ⊥ 所以AB ⊥平面PED ,故.AB PG ⊥又由已知可得,PA PB =,从而G 是AB 的中点.（II ）在平面PAB 内,过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ,F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA ⊥,⊥PB PC ,又//EF PB ,所以EF PC ⊥,因此EF ⊥平面PAC ,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连接CG ,因为P 在平面ABC 内的正投影为D ,所以D 是正三角形ABC 的中心. 由（I ）知,G 是AB 的中点,所以D 在CG 上,故2.3=CD CG 由题设可得⊥PC 平面PAB ,⊥DE 平面PAB ,所以//DE PC ,因此21,.33==PE PG DE PC 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ,可得2,2 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中,可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114222.323=⨯⨯⨯⨯=V 考点：线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.PABD CGE6.（2016全国Ⅰ理）如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．【答案】（I ）见解析（II ）219-试题解析：（I ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ⊂平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（I ）知DG ⊥平面F ABE ．以G 为坐标原点,GF 的方向为x 轴正方向,GF 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（I ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =,则DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -,(D 3．由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ． 又平面CDAB 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE-的平面角,C F 60∠E =．从而可得(C 3-．所以(C 3E =,()0,4,0EB =,(C 3,3A =--,()4,0,0AB =-． 设(),,n x y z =是平面C B E 的法向量,则C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩,即3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩, 所以可取(3,0,3n =-．设m 是平面CD AB 的法向量,则C 0m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩,同理可取()0,3,4m =．则219cos ,n m n m n m ⋅==-．CBDEF故二面角C E-B -A 的余弦值为21919-．考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决.7.（2016全国Ⅱ文） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，AE CF =，EF交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折到'D EF ∆的位置. （Ⅰ）证明：'AC HD ⊥； （Ⅱ）若55,6,,'224AB AC AE OD ====,求五棱锥D ABCEF '-体积.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）694. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证//.AC EF 再证//.'AC HD （Ⅱ）根据勾股定理证明OD H '∆是直角三角形，从而得到.'⊥OD OH 进而有⊥AC 平面BHD '，证明'⊥OD 平面.ABC 根据菱形的面积减去三角形DEF 的面积求得五边形ABCFE 的面积，最后由椎体的体积公式求五棱锥D ABCEF '-体积. 试题解析：（I ）由已知得，,.⊥=AC BD AD CD又由=AE CF 得=AE CFAD CD，故//.AC EF 由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD .五边形ABCFE 的面积11969683.2224=⨯⨯-⨯⨯=S 所以五棱锥'ABCEF D -体积16923222.34=⨯⨯=V 考点： 空间中的线面关系判断，几何体的体积.【名师点睛】立体几何中的折叠问题，应注意折叠前后线段的长度、角哪些变了，哪些没变.8.（2016全国Ⅱ理）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ， 5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，10OD '=．（Ⅰ）证明：D H'⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）9525.又D H EF '⊥，而OH EF H ⋂=， 所以D H ABCD '⊥平面.ABDD'E H Oz xyF（II ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -， 则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则0m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩， 所以可以取()4,3,5m =-.设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可以取()0,3,1n =-.于是75cos ,||||5010m n m n m n ⋅<>===⋅⨯， 295sin ,25m n <>=.因此二面角B D A C '--的正弦值是29525. 考点：线面垂直的判定、二面角.【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．9.（2016全国Ⅲ文）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，ADBC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN平面PAB ；（II ）求四面体N BCM -的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）453． 试题解析：（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN . ......3分 又BC AD //，故TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //. 因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ， 所以//MN 平面PAB . ........6分（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为PA 21. ....9分 取BC 的中点E ，连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥，522=-=BE AB AE .由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故525421=⨯⨯=∆BCM S ， 所以四面体BCM N -的体积354231=⨯⨯=∆-PA S V BCM BCM N . .....12分考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又推出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．10.（2016全国Ⅲ理）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =， N 为PC 的中点．（I ）证明MN平面PAB ；（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）8525．【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MNAT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以A 为坐标原点，以,AD AP 所在直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN 的方向向量与平面PMN 法向量的夹角来处理AN 与平面PMN 所成角．试题解析：（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN .又BC AD //，故TN AM，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .设(,,)n x y z =为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PN n PM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ，可取(0,2,1)n =，于是||85|cos ,|25||||n AN n AN n AN ⋅<>==.考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．11.（2016山东文）在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB . （I ）已知AB =BC ，AE =EC .求证：AC ⊥FB ；（II ）已知G ,H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC . 【答案】（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ））根据BD EF //，知EF 与BD 确定一个平面， 连接DE ，得到AC DE ⊥，AC BD ⊥，从而⊥AC 平面BDEF ， 证得FB AC ⊥.（Ⅱ）设FC 的中点为I ，连HI GI ,，在CEF ∆，CFB ∆中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面//GHI 平面ABC ，进一步得到//GH 平面ABC . 试题解析：（Ⅰ））证明：因BD EF //，所以EF 与BD 确定一个平面，连接DE ，因为E EC AE ,=为AC 的中点，所以AC DE ⊥；同理可得AC BD ⊥，又因为D DE BD = ，所以⊥AC 平面BDEF ，因为⊂FB 平面BDEF ，FB AC ⊥。

专题四 立体几何专题过关·提升卷(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为________．2．设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”成立的________条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)．3．在下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形序号是________．4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是________(填序号)．①若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n ；②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；③若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β；④若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β.5．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为________． 6.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．7．棱长为a 的正四面体的外接球半径为________．8．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝22，若四面体ABCD 体积的最大值为43，则该球的表面积为________．9．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体A －BCD ，则四面体A －BCD 的外接球的体积为________．10．到正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点：①有且只有1个；②有且只有2个；③有且只有3个；④有无数个．其中正确答案的序号是________．11．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．12．三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________．13．若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．①若直线m ⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线； ②若直线m ⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直；③若直线m ⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线； ④若直线m ⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．14.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上．若EF ＝1，A 1E ＝x ，DQ ＝y ，DP ＝z (x ，y ，z 大于零)，则关于四面体PEFQ 的体积，下列说法正确的是______(填序号)．①与x ，y ，z 都有关；②与x 有关，与y ，z 无关；③与y 有关，与x ，z 无关；④与z 有关，与x ，y 无关．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，AC ，BD 相交于点O ，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF ＝CF ，点G 为BC 的中点．(1)求证：直线OG ∥平面EFCD ； (2)求证：直线AC ⊥平面ODE .16．(本小题满分14分)(2015·苏北四市模拟)如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA的中点，F为BC的中点，求证：(1)平面BDO⊥平面ACO；(2)EF∥平面OCD.17．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝4，M是棱CC1上的一点．(1)求证：BC⊥AM；(2)若N是AB的中点，且CN∥平面AB1M，求CM的长度．18．(本小题满分16分)在三棱锥P－ABC中，D为AB的中点．(1)与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由；(2)若PA＝PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC.19．(本小题满分16分)(2015·青岛模拟)如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；(2)求证：PM∥平面AFC；(3)求多面体CD－AFEB的体积V.20．(本小题满分16分)(2015·衡水调研考试)如图，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是边AC 和BC 的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B .(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求棱锥E －DFC 的体积；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BP BC的值；如果不存在，请说明理由．专题过关·提升卷1．4 2 [求出斜高．由题意可得斜高为2，则侧面积为4×12×22＝4 2.]2．充要 [因为m 是平面α内的任意一条直线，若l ⊥m ，则l ⊥α，所以充分性成立；反过来，若l ⊥α，则l ⊥m ，所以必要性成立，故“l ⊥m ”是“l ⊥α”成立的充要条件．] 3．①② [由线面平行的判定定理知图①②可得出AB ∥平面MNP .]4．④ [①中，m 与n 可相交、可异面、可平行，故①错误；②中m 与n 可平行、可异面，故②错误；③中，若α∥β，仍然满足m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，故③错误；故④正确．] 5.3π3[利用面积、体积公式求解．设圆锥的母线长为l ，又底面半径为1，侧面积是底面积的2倍即为πl ＝2π，l ＝2，所以该圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，体积为13πr 2h ＝33π.]6.16[利用三棱锥的体积公式直接求解． VD 1－EDF ＝VF －DD 1E ＝13S △D 1DE ·AB ＝13×12×1×1×1＝16.]7.64a [棱长为a 的正四面体可以放入棱长为22a 的正方体内，所以其外接球直径为2R ＝62a ，则该外接球的半径为64a .] 8.9π [如图，O 为球心，O 1为△ABC 外接圆圆心．∵AB ＝BC ＝2，AC ＝22，∴AB ⊥BC 且S △ABC ＝2，当点D 与点O ，O 1三点共线时，四面体ABCD 的体积最大，此时DO 1＝2，设球的半径为R ，O 1B ＝2，由球的截面性质得，R 2＝2＋(2－R )2，解得R ＝32，∴球的表面积为9π.] 9.125π6[设AC 与BD 相交于O ，折起来后仍然有OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴外接球的半径r ＝32＋422＝52，从而体积V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π6.] 10．④ [注意到正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 上的每一点到直线AB ，CC 1，A 1D 1的距离都相等，因此到ABCD －A 1B 1C 1D 1的三条棱AB ，CC 1，A 1D 1所在直线距离相等的点有无数个，其中正确答案的序号是④.]11．24π [设正四棱锥的高为h ，则13×(3)2h ＝322，解得高h ＝322.则底面正方形的对角线长为2×3＝6，所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝6，所以球的表面积为4π(6)2＝24π.]12.14[如图：∵V 1＝V D －ABE ＝V E －ABD ，V 2＝V P －ABC ＝V C －ABP ，∴V 1＝13S △ABD ·h 1，V 2＝13S △APB ·h 2.∵E 为AC 中点，∴h 1h 2＝12，又∵D 为PB 中点，∴S △ABD S △ABP ＝12， ∴V 1V 2＝13S △ABD ·h 113S △APB ·h 2＝14.] 13．②④ [利用定理逐一判断．若m ⊥α，α⊥β，则在平面β内存在与直线m 平行的直线，①是假命题；若m ⊥α，则在平面β内存在无数条与α，β的交线平行的直线与直线m 垂直，②是真命题；在平面β上一定存在与直线m 垂直的直线，③是假命题，④是真命题．所以真命题的序号是②④.]14．④ [因为四面体PEFQ 的体积只与底面面积和高有关，若以△PEF 为底面，则边长EF 为定值，△PEF 的高为A 1P ＝4＋（2－z ）2，四面体的高为点Q 到平面PEF 的距离．因为DC ∥EF ，所以点Q 到平面PEF 的距离为直线CD 到平面PEF 的距离，与Q 的位置无关．综上所述，四面体的体积与E ，F 及Q 的位置无关，所以与x ，y 无关．] 15．证明 (1)∵四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ， ∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点，∴OG ∥CD ， 又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ， ∴直线OG ∥平面EFCD .(2)∵BF ＝CF ，点G 为BC 的中点，∴FG ⊥BC . ∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF ∩平面ABCD ＝BC ，FG ⊂平面BCF ，FG ⊥BC ，∴FG ⊥平面ABCD .∵AC ⊂平面ABCD ，∴FG ⊥AC .∵OG ∥AB ，OG ＝12AB ，EF ∥AB ，EF ＝12AB ，∴OG ∥EF ，OG ＝EF ，∴四边形EFGO 为平行四边形，∴FG ∥EO .∵FG ⊥AC ，FG ∥EO ，∴AC ⊥EO . ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥DO .∵AC ⊥EO ，AC ⊥DO ，EO ∩DO ＝O ，EO ，DO 在平面ODE 内， ∴AC ⊥平面ODE .16.证明 (1)∵OA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OA ⊥BD ，∵ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，又OA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面OAC ， 又∵BD ⊂平面OBD ， ∴平面BDO ⊥平面ACO . (2)取OD 中点M ，连接EM ，CM ， 则ME ∥AD ，ME ＝12AD ，∵ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∵F 为BC 的中点，∴CF ∥AD ，CF ＝12AD ，∴ME ∥CF ，ME ＝CF .∴四边形EFCM 是平行四边形， ∴EF ∥CM ，又∵EF ⊄平面OCD ，CM ⊂平面OCD . ∴EF ∥平面OCD .17．(1)证明 因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC .又因为AC ⊥BC ，CC 1∩AC ＝C ，CC 1，AC ⊂平面ACC 1A 1， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.又因为AM ⊂平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AM .(2)解 法一 如图，取AB 1的中点P ，连接NP ，PM .因为N 是AB 的中点， 所以NP ∥BB 1.因为CM ∥BB 1，所以NP ∥CM ，所以NP 与CM 共面． 因为CN ∥平面AB 1M ， 平面CNPM ∩平面AB 1M ＝MP ， 所以CN ∥MP .所以四边形CNPM 为平行四边形， 所以CM ＝NP ＝12CC 1＝2.法二 如图，设NC 与CC 1确定的平面交AB 1于点P ，连接NP ，PM . 因为CN ∥平面AB 1M ，CN ⊂平面CNPM ，平面AB 1M ∩平面CNPM ＝PM ，所以CN ∥MP . 因为BB 1∥CM ，BB 1⊄平面CNPM ，CM ⊂平面CNPM ， 所以BB 1∥平面CNPM .又BB 1⊂平面ABB 1，平面ABB 1∩平面CNPM ＝NP ，所以BB 1∥NP ， 所以CM ∥NP ，所以四边形CNPM 为平行四边形． 因为N 是AB 的中点，所以CM ＝NP ＝12BB 1＝12CC 1＝2.18．(1)解 E 为AC 的中点．理由如下：平面PDE 交AC 于点E ，即平面PDE ∩平面ABC ＝DE ， 而BC ∥平面PDE ，BC ⊂平面ABC ，所以BC ∥DE . 在△ABC 中，因为D 为AB 的中点，所以E 为AC 中点． (2)证明 因为PA ＝PB ，D 为AB 的中点，所以AB ⊥PD ， 因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD ∩平面ABC ＝CD ，在锐角△PCD 所在平面内作PO ⊥CD 于点O ，则PO ⊥平面ABC . 因为AB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥AB ，又PO ∩PD ＝P ，PO ，PD ⊂平面PCD ，则AB ⊥平面PCD ， 又PC ⊂平面PCD ，所以AB ⊥PC .19．(1)证明 ∵矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，且CB ⊥AB ， ∴CB ⊥平面ABEF ，又AF ⊂平面ABEF ，∴CB ⊥AF ，又AB ＝2，AF ＝1，∠BAF ＝60°，由余弦定理知BF ＝3， ∴AF 2＋BF 2＝AB 2，得AF ⊥BF ， 又BF ∩CB ＝B ， ∴AF ⊥平面CFB ， 又∵AF ⊂平面ADF ， ∴平面ADF ⊥平面CBF .(2)证明 连接OM 并延长交BF 于H ，则H 为BF 的中点， 又P 为CB 的中点，∴PH ∥CF ，又∵CF ⊂平面AFC ，PH ⊄平面AFC ， ∴PH ∥平面AFC ， 连接PO ，则PO ∥AC ，又∵AC ⊂平面AFC ，PO ⊄平面AFC ， ∴PO ∥平面AFC ，又∵PO ∩PH ＝P ， ∴平面POH ∥平面AFC ， 又∵PM ⊂平面POH ， ∴PM ∥平面AFC .(3)解 多面体CD －AFEB 的体积可分成三棱锥C －BEF 与四棱锥F －ABCD 的体积之和．过E 作EE 1⊥AB ，垂足为E 1.在等腰梯形ABEF 中，计算得EF ＝1，两底间的距离EE 1＝32. 所以V C －BEF ＝13S △BEF ×CB ＝13×12×1×32×1＝312，11 V F －ABCD ＝13S 矩形ABCD ×EE 1＝13×2×1×32＝33， 所以V ＝V C －BEF ＋V F －ABCD ＝5312. 20．解 (1)AB ∥平面DEF ，理由如下：在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF ∥AB .又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF .∴AB ∥平面DEF .(2)∵AD ⊥CD ，BD ⊥CD ，将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B ，∴AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BCD .取CD 的中点M ，这时EM ∥AD ，∴EM ⊥平面BCD ，EM ＝1.V E －DFC ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12S △BDC ×EM ＝ 13×12×12×2×23×1＝33. (3)在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE .证明如下：在线段BC 上取点P ，使BP ＝BC3， 过P 作PQ ⊥CD 于Q .∵AD ⊥平面BCD ，PQ ⊂平面BCD ，∴AD ⊥PQ .又∵AD ∩CD ＝D ，∴PQ ⊥平面ACD ，∴DQ ＝DC 3＝233，∴tan ∠DAQ ＝DQ AD ＝2332＝33， ∴∠DAQ ＝30°，在等边△ADE 中，∠DAQ ＝30°，∴AQ ⊥DE ，∵PQ ⊥平面ACD ，DE ⊂平面ACD ，∴PQ ⊥DE ，AQ ∩PQ ＝Q ，∴DE ⊥平面APQ ， ∴AP ⊥DE .此时BP ＝BC 3，∴BP BC ＝13.。

专题四 立体几何解答题（文）以直线与平面所成的角相关的综合题 【背一背重点知识】平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． ①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0︒的角．直线与平面所成角的X 围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.异面直线所成的角如图，已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线','a a b b .则把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的X 围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 二面角的平面角如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角．二面角的X 围是[]0,π. 【讲一讲提高技能】 必备技能：异面直线所成的角的X 围是]2,0(π.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角;④补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ.直线与平面所成的角的X 围是]2,0[π.求线面角方法:①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. ②利用三棱锥的等体积，省去垂足,在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h=θsin 进行求解.③妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能X 冠李戴.（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影DBACα是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心.二面角的X 围[]0,π，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:①直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；②射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 典型例题：例1如图3，已知二面角MN αβ--的大小为60，菱形ABCD 在面β内，,A B 两点在棱MN 上，60BAD∠=，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.分析:(1)题目已知DO α⊥,利用线面垂直的性质可得DO ⊥AB ,已知角DAE 和2DA AE =,利用余弦定理即可说明AB DE ⊥,即AB 垂直于面DOE 内两条相交的直线,根据线面垂直的判断即可得到直线AB 垂直于面DEO .(2)菱形ABCD 为菱形可得//AD BC ,则BC 与OD 所成角与角ADO 大小相等,即求ADO 角的余弦值即可,利用菱形ABCD 所有边相等和一个角为060即可求的DE 的长度,根据(1)可得AB ⊥面DOE ,即角DEO 为二面角MN αβ--的平面角为060,结合∆DEO 为直角三角形与DO 的长度,即可求的,DO OE 长度,再直角AOD ∆中,,AD OD已知,利用直角三角形中余弦的定义即可求的角ADO 的余弦值,进而得到异面直线夹角的余弦值. 【解析】例2已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（Ⅰ）求证：1B N CN ⊥；（Ⅱ）求直线1C N 与平面1B CN 所成角的余弦值；（Ⅲ）设M 为AB 中点，在棱BC 上是否存在一点P ，使MP ∥平面1B CN ？若存在，求PCBP的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）37；（Ⅲ）31=PC BP ． P B 1C 1CBAN·【解析】（Ⅱ）解：因为1NH BB ⊥，NH BC ⊥，1BB CB B =，所以NH ⊥平面11BB C C ，设1C 到平面1CNB 的距离为h ，由于1111N CB C C CNB V V --=，所以111CB C CNB S NH S h ⋅=⋅△△， 解得46h =．设直线1C N 与平面1B CN 所成角为θ，可知12sin h C N θ==， 所以直线1C N 与平面1B CN 7．【练一练提升能力】1．如图，四棱锥ABCD P -，PA ⊥底面ABCD ，CD AB //，AD AB ⊥，221===CD AD AB ，2=PA ，F E ,分别是PD PC ,的中点．（1） 证明：EF ∥平面PAB ；（2） 求直线AC 与平面ABEF 所成角的正弦值．【解析】证明：(1)F E , 分别是PD PC ,的中点，CD EF //∴，又CD AB // ，EF AB //∴，又⊄EF 平面PAB ，⊂AB 平面PAB ，//EF ∴平面PAB（2）取线段PA 中点M ，连接EM ，则AC EM //故AC 与平面ABEF 所成的角等于ME 与平面ABEF 所成的角的大小，作AF MH ⊥，垂足为H ，连接EH ， ⊥PA 底面ABCD ，AB PA ⊥∴，又A AD PA AD AB =⊥ ,⊥∴AB 平面PAD ，⊥∴EF 平面PAD ，⊂MH 平面PAD ，MH EF ⊥∴，⊥∴MH 平面ABEFMEH ∠∴是ME 与平面ABEF 所成的角，在EHM Rt ∆中，521==AC EM ，22=MH ， 1010sin ==∠∴EM MH MEH ，∴AC 与平面ABEF 所成角的正弦值1010. 2. 如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=2，AC=AA 1=4，∠ABC=90°． （1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积S ； （2）求异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值．【解析】以立体几何中的距离、体积问题相关的综合题 【背一背重点知识】（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段AB 为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与b ，a 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．④根据异面直线间的距离公式EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定）求距离.（2）点到平面的距离点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可.常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣabF的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离. （5）多面体的面积和体积公式表中S 表示面积，',c c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h′表示斜高，l 表示侧棱长. （6）旋转体的面积和体积公式 表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，12,r r 分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径. 【讲一讲提高技能】 1.必备技能：求距离的关键是化归.即空间距离向平面距离化归，具体方法如下：（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形.（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法.（3）求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之.异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定）求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置. ②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理.③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种： 根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线.解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面.作二面角的平面角应把握先找后作的原则.此外在解答题中一般不用公式“cos θ＝S S'”求二面角否则要适当扣分.④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积法及转移法.⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离.求体积常见方法①直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥⇒三棱柱⇒平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.求体积常见技巧当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．组合体的表面积和体积的计算方法实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体的表面积或体积的基本方法就是“分解”，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积或体积”的和或差．[易错提示] 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算，组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和．求解几何体体积的策略及注意问题 (1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系．(2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．(3)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征．2.典型例题：例1如图,直三棱柱111C B A ABC -中，⊥AD 平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．P 为AC的中点（1）求证： C B 1∥平面A 1PB（2）若3=AD ，2==BC AB ，AC=22 ，求三棱锥BC A P 1-的体积．分析：（1）证明：三棱柱 111C B A ABC -为直三棱柱，∴连接1AB 与B A 1交于点E, 可知E 为B A 1中点，连接PE ，P 为AC 的中点，得到PE ∥C B 1；即得C B 1∥平面A 1PB.（2）在直三棱柱111C B A ABC -中，2==BC AB ，AC =22 由222AC BC AB =+知BC AB ⊥ 计算2222121=⨯⨯=⋅=⋅∆BC AB S ABC ；进一步求“高”计算体积111123123333A BCP BCP V S A A -∆=⋅=⨯⨯=. 【解析】在Rt ABD ∠∆中，3AD =，AB BC ==2，3sin 2AD ABD AB ∠==,060ABD ∠= 在1Rt ABA ∠∆中，tan AA AB =⋅=016023 ，∴=-BC A P V 1111123123333A BCP BCP V S A A -∆=⋅=⨯⨯=. 例2如图，在正三棱柱111CB A ABC -（侧面垂直于底面，且底面是正三角形）中，61==CC AC ，M 是棱1CC 上一动点．（1）若M ，N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：∥CN 平面M AB 1；（2）求证：三棱锥11AMB A -的体积为定值，并求出该定值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，183．【解析】因为平面⊥111C B A 平面11A ACC ，平面1111111C A A ACC C B A = ，⊂Q B 1平面111C B A ，所以⊥Q B 1平面11A ACC ．易知33236,611=⨯==Q B AA ， 又M 是棱1CC 上一动点，故不论M 在何位置，都有3183366213131111111=⨯⨯⨯⨯=⋅==∆--Q B S V V M AA M AA B AMB A 三棱锥三棱锥． 【练一练提升能力】1. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB //平面AEC ；（Ⅱ）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离. A DBC PE【解析】O ADB C PEH2. 如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）求证：∥PB 平面AEC ；（2）设1=AP ，2=AD ， 60=∠ABC ，求点A 到平面PBD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）22． 【解析】故⊥AH 平面PAO ，又22=⋅=PO AO PA AH ， 所以A 到平面PBD 的距离为22．解答题（共10题）1.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为 4的菱形，4PD PB ==，060BAD ∠=，E 为PA 中点．（1）求证：//PC 平面EBD ；（2）求证：平面EBD ⊥平面PAC ；（3）若PA PC =，求三棱锥C ABE -的体积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4．【解析】试题分析：（1）利用条件可证明//EO PC ，再利用线面平行的判定即可得证；（2）根据线面垂直的判定可证明BD ⊥平面PAC ，再根据面面垂直的判定即可得证；（3）利用C ABE E ABC V V --=求得底面积和高即可求解．2. 如图，已知O 的直径AB ＝3，点C 为O 上异于A ，B 的一点，VC ⊥平面ABC ，且VC ＝2，点M 为线段VB 的中点.(1)求证：BC ⊥平面VAC ；(2)若AC ＝1，求直线AM 与平面VAC 所成角的大小.【解析】(1)∵VC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴VC BC ⊥ ，∵点C 为O 上一点，且AB 为直径，∴AC BC ⊥ ，又,VC AC ⊂平面VAC ，VC AC C =，∴BC ⊥平面VAC ；(2)如图，取VC 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥BC ，由(1)得，BC ⊥平面VAC ，∴MN ⊥平面VAC ∴∠MAN 为直线AM 与平面VAC 所成的角，∵221131222MN BC ==-=2222112AN AC CN =+=+=，∴tan 1MAN ∠=，∴4MAN π∠=，∴直线AM 与平面VAC 所成角的大小为4π .3.如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）求证：∥PB 平面AEC ；（2）设1=AP ，2=AD ， 60=∠ABC ，求点A 到平面PBD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（22． 【解析】故⊥AH 平面PAO ，又22=⋅=PO AO PA AH ， 所以A 到平面PBD 的距离为22．4. 如图，多边形ABCDE 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，△ADE 是正三角形，AD ＝2，AB ＝BC ＝1，沿直线AD 将△ADE 折起至△ADP 的位置，连接PB ，BC ，构成四棱锥P －ABCD ，使得∠PAB ＝90°.点O 为线段AD 的中点，连接PO .(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求异面直线CD 与PA 所成角的余弦值.【解析】(1)证明：∵∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，222,AB AD PB PA AB PA AB BA PAD PO PD BA PAD PAD O AD PO AD PAD AB A PO ABCD ∴⊥⎫⎬=+∴⊥⎭⇒⊥⎫⎬⊂⎭⇒⊥⎫⎪∴⊥⎬⎪=⎭⇒⊥面面面正中是中点,面5. 如图甲，的直径2AB =，圆上两点C 、D 在直径AB 的两侧，使C 4π∠AB =，D 3π∠AB =．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为C B 的中点，E 为AO 的中点．根据图乙解答下列各题：PA BC D OEAB C D O（1）求证：C D B ⊥E ；（2）在BD 弧上是否存在一点G ，使得FG//平面CD A ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）G 为BD 弧的中点【解析】6. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠= E 、F 分别是PB 、CD 的中点，且4PB PC PD ===.（1）求证：PA ABCD ⊥平面；（2）求证：//EF 平面PAD ;（3）求二面角A PB C --的余弦值.A DBC PEFB C A D PEF NG H M【解析】（1）取BC 的中点,M 连结,.AM PM ,60AB BC ABC =∠=,ABC ∴∆为正三角形， .AM BC ∴⊥又 ,,PB PC PM BC =∴⊥,AM PM M =BC ∴⊥平面PAM , PA ⊂平面PAM ,同理可证 ,PA CD ⊥又,BC CD C PA =∴⊥平面.ABCD .7. 在如图所示的空间几何体中，平面⊥ACD 平面ABC ，ACD ∆与ACB ∆是边长为2的等边三角形，2=BE ，BE 和平面ABC 所成的角为60，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上．（1）求证：∥DE 平面ABC ；（2）求二面角A BC E --的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）1313 【解析】试题解析：（1）由题意知，ABC ∆，ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接BO ，DO ，则AC BO ⊥，AC DO ⊥，又∵平面⊥ACD 平面ABC ，∴⊥DO 平面ABC ，作⊥EF 平面ABC ，那么DO BF ∥，根据题意，点F 落在BO 上，∵BE 和平面ABC 所成的角为 60，∴ 60=∠EBF ，∵2=BE ，∴3==DO EF ，∴四边形DEFO 是平行四边形，∴OF DE ∥， ∵DE 不包含于平面ABC ，⊂OF 平面ABC ，∴∥DE 平面ABC ．（2）作BC FG ⊥，垂足为G ，连接EG ，∵⊥EF 平面ABC ，∴BC EF ⊥，又F FG EF = ，∴⊥BC 平面EFG ，∴BC EG ⊥，∴EGF ∠就是二面角A BC E --的平面角． EFG RT ∆中，3,2130sin ==⋅=EF FB FG ，213=EG ，∴1313cos ==∠EG FG EGF ， 即二面角A BC E --的余弦值为1313．8. 如图，底面是正三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，12AA AB ==. （Ⅰ）求证：1//AC 平面1AB D ；（Ⅱ）求的A 1 到平面1AB D 的距离.【解析】 解法二：由①可知11//A C AB D 平面，∴点1A 到平面1AB D 的距离等于点C 到平面1AB D 的距离1AD B ∆为Rt ∆，115ADB S ∆∴=1322ADC ABC S S ∆∆==C 到面1AB D 的距离为h 11C AB D B ADC V V --=，即1151323232h ⨯⋅=⨯⨯，解得55h =.9.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD CD =，E 为PB 的中点．（1）求异面直线PA 与DE 所成的角；（2）在底边AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥平面PBC ？证明你的结论．【答案】（1）90；（2）存在点F 为AD 的中点，使EF ⊥平面PBC ，理由见解析．【解析】10.如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB △为等边三角形，AC BC ⊥，且2AC BC ==，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．（Ⅰ）求证：VB ∥平面MOC ；（Ⅱ）设N 是线段AC 上一点，满足平面MON ∥平面VBC ，试说明点的位置N ； （Ⅲ）求三棱锥V ABC -的体积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）中点；（Ⅲ）33=V ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理，因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以MO VB //，即可证明//VB 平面MOC ；（Ⅱ）根据面面平行的性质定理，两个平行平面被第三个平面所截，则交线平行，根据已知平面MON ∥平面VBC ，与平面VAC 交于VC MN ,，所以VC MN //，则能推出点N 的位置．。

专题七 选讲部分几何证明选讲【背一背重点知识】 1、比例线段有关定理(1如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等。

经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

（2,所得的对应线段成比例。

(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

2、相似三角形的判定及性质（1相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）.,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等，两三角形相似。

个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。

简述为:三边对应成比例,两三角形相似.（2相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

3、直角三角形的射影定理中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.4、圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半.周角所对的弧相等.弦是直径.5、圆内接四边形的性质与判定定理..圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。

如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.6、圆的切线的性质及判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

7、弦切角的性质8、与圆有关的比例线段（圆幂定理)圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

从园外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.与圆交点的两条线段长的比例中项.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

【讲一讲提高技能】1、相似三角形的判定与性质的应用（1）判定两个三角形相似的方法：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的定义．（2）证明线段成比例，若已知条件中没有平行线,但有三角形相似的条件（如角相等，有相等的比例式等），常考虑相似三角形的性质构造比例式或利用中间比求解．(3）相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等．例1如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=,AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF 。

高中数学提高题专题复习立体几何多选题练习题含答案一、立体几何多选题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，18AA =，点P 在线段11A C 上，M为AB 的中点，则（ ） A ．BD ⊥平面PACB ．当P 为11AC 的中点时，四棱锥P ABCD -外接球半径为72C ．三棱锥A PCD -体积为定值D ．过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为4π 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥，求出该四棱锥的外接球半径，可判断B 选项的正误；利用等体积法可判断C 选项的正误；计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为AB BC =，所以，矩形ABCD 为正方形，所以，BD AC ⊥， 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD AA ∴⊥，1AC AA A ⋂=，AC 、1AA ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，A 选项正确；对于B 选项，当点P 为11A C 的中点时，PA ===同理可得PB PC PD ===因为四边形ABCD 为正方形，所以，四棱锥P ABCD -为正四棱锥， 取AC 的中点N ，则PN 平面ABCD ，且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN上，设该四棱锥的外接球半径为R ，由几何关系可得222PN R AN R -+=， 即2288R R -+=，解得92R =，B 选项错误； 对于C 选项，2114822ACDSAD CD =⋅=⨯=， 三棱锥P ACD -的高为18AA =，因此，116433A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△，C 选项正确；对于D 选项，设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ，则E 为1BD 的中点， 连接EN 、MN ，则1142EN DD ==，122MN AD ==，E 、N 分别为1BD 、BD 的中点，则1//EN DD ， 1DD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，EN MN ∴⊥，2225EM EN MN ∴=+=.过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α，点E 到平面α的距离为d ，直线EM 与平面α所成的角为θ，则sin 25sin 25d EM θθ==≤， 当且仅当2πθ=时，等号成立，长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为222126AB AD AA R ++'==，所以，截面圆的半径()()222226252r R d '=-≥-=，因此，截面圆面积的最小值为4π，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.2．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确的有（ ）A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值C ．点A 到平面BEF 的距离为定值D ．三棱锥A BEF -的体积是定值 【答案】ACD 【详解】由AC BD ⊥，1AC DD ⊥可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确； 取特例，当E 与1D 重合时，F 是F '，AE 即1AD ，1AD 平行1BC ，异面直线,AE BF '所成的角是1C BF '∠，当F 与1B 重合时，E 是E '，BF 即1BB ，异面直线,AE BF '所成的角是1A AE '∠，可知1C BF '∠与1A AE '∠不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不是定值，故B 错误；连结BD 交AC 于O ，又AC ⊥平面11D DBB ，点A 到平面11BDD B 的距离是2AO ，也即点A 到平面BEF 的距离是22，故C 正确； 2=2AO 为三棱锥A BEF -的高，又1111224BEF S =⨯⨯=△，故三棱锥A BEF -的体积为112234224⨯⨯=为定值，D 正确. 故选：ACD 【点睛】求空间中点到平面的距离常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，求垂线；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离； （3）向量法：计算斜线在平面的法向量上的投影即可.3．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4π C ．当1PM =时，截面的面积为52D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V 【答案】BCD 【分析】点M 是侧棱PC 上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可. 【详解】A 选项中，如图，连接BD ，当M 是PC 中点时，2MC =，由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形，所以DM PC ⊥,BM BC ⊥，又DM ，BM 在面MBD 内，且相交，所以PC ⊥平面PBD ，三角形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是三角形，点M 向下移动时，2MC <，如图，仍是三角形；若点M 由中点位置向上移动，2MC >，在平面PDC 内作EM PC ⊥，交PD 于E ，在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ，平面MEF 交平面PAD 于EG ，交PAB 于FH ，即交平面ABCD 于GH ，则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是五边形； 故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误；B 选项中，因为截面总与PC 垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABCD 所成的锐角为定值，不妨取M 是中点，连接AC ，BD ，MB ，MD ，设AC ，BD 交点是N ，连接PN ，由题意知，四边形ABCD 是边长为4的菱形，BD AC ⊥，因为MB =MD ，所以MN BD ⊥，故MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角，过点M 作MQ AC ⊥，垂足Q.在三角形PAC中，MN =2，2，故在直角三角形MNQ 中，2cos 2NQ MNC MN ∠==，故4MNC π∠=，故B 正确；C 选项中，当PM =1时，M 是PC 中点，如图，五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，依题意，直角三角形PME 中，2cos PMPE EPM==∠，故E 为PD 的中点，同理，F是PB 的中点，则EF 是三角形PBD 的中位线，1222EF BD ==G ，H 分别在,AD AB 的中点上，证明如下，当G ，H ，也是中点时，1//,2GH BD GH BD =，有//,22GH EF GH EF ==EFHG 是平行四边形.依题意，三角形PAC 中4,42PA PC AC ===，故PA PC ⊥，故PC GE ⊥，易见，正四棱锥中BD ⊥平面PAC ，故BD PC ⊥，GH PC ∴⊥，因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内，且相交，所以PC ⊥平面EFHG ，故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ，有GH ⊥面平面PAC ，GH GM ⊥，根据对称性有GH GE ⊥，四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，平面图如下:依题意，22GH EF ==2EG FG ==，三角形高为()()22321h =-=，面积是122122⨯=，四边形面积是22242=，故截面面积是52 故C 正确；D 选项中，若PM =2，看B 选项中的图可知，21124M BCD P BCD P ABCD V V V V ---===，故剩余部分134P ABCD V V -=，所以123=V V ，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题.4．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为2D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A 5 【答案】AC 【分析】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，易证得平面1//B MN 平面1A BE ，可得点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥，即有11B F CD ⊥，A 正确；当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，可判断B 错误；根据平面1//B MN 平面1A BE ，11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，计算可知C 正确；【详解】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，1//MN A B ，从而平面1//B MN 平面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=1tan 3023︒<=，所以B 错误； 平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11111tan B C B FC C F∠==22C 正确；因为当F 为1C E 与MN 的交点时，截面为菱形1AGC E （G 为1BB 的交点），面积为62D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题．5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =.则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥A BEF -的体积为定值B ．当E 向1D 运动时，二面角A EF B --逐渐变小C ．EF 在平面11ABB A 内的射影长为12D ．当E 与1D 重合时，异面直线AE 与BF 所成的角为π4【答案】AC 【分析】对选项分别作图，研究计算可得. 【详解】选项A:连接BD ,由正方体性质知11BDD B 是矩形，11122122BEF S EF BB ∆∴=⋅=⨯⨯=连接AO 交BD 于点O由正方体性质知AO ⊥平面11BDD B ,所以，AO 是点A 到平面11BDD B 的距离，即22AO =11221334212A BEF BEF V S AO -∆∴=⨯=⨯⨯=A BEF V -∴是定值.选项B:连接11A C 与11B D 交于点M ，连接11,AD AB ， 由正方体性质知11AD AB =,M 是11B D 中点，AM EF ∴⊥ ,又1BB EF ⊥,11//BB AAA EFB ∴--的大小即为AM 与1AA 所成的角，在直角三角形1AA M 中，12tan 2MAA ∠=为定值. 选项C:如图，作1111,,,FH A B EG A B ET EG ⊥⊥⊥ 在直角三角形EFT 中，221cos 45222FT EF =⨯=⨯= 12HG FT ∴==选项D:当E 与1D 重合时，F 与M 重合，连接AC 与BD 交于点R ，连接1D R ,1//D R BM 异面直线AE 与BF 所成的角,即为异面直线1AD 与1D R 所成的角, 在三角形1AD R 中，22111132,2AD D R MB BB M B ===+=22AR = 由余弦定理得13cos 6AD R ∠= 故选：AC 【点睛】本题考查空间几何体性质问题.求解思路：关键是弄清(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.6．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α.下面说法正确的是（）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为322⎣⎦B ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C ．点M 为1CC 的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点 【答案】AC 【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可判断A 选项的正误；证明出1AC ⊥平面1A BD ，分别取棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ，比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小，可判断B 选项的正误；利用空间向量法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ，判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误；将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC ，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤，AM ⊥平面α，则AM 为平面α的一个法向量，且()2,2,AM a =-，()0,2,0AB =， 2232cos ,,32288AB AM AB AM AB AMa a ⋅<>===⎢⋅⨯++⎣⎦， 所以，直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为32⎣⎦，A 选项正确； 对于B 选项，当M 与1CC 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD CC ∴⊥，四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥，1CC AC C =，BD ∴⊥平面1ACC ，1AC ⊂平面1ACC ，1AC BD ∴⊥，同理可证11AC A D ⊥， 1A D BD D ⋂=，1AC ∴⊥平面1A BD ，易知1A BD 是边长为22(12322234A BD S =⨯=△为22362=.设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点，易知六边形EFQNGH 是边长为2的正六边形，且平面//EFQNGH 平面1A BD ， 正六边形EFQNGH 的周长为62，面积为()236233⨯⨯=，则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，B 选项错误； 对于C 选项，设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ，点()0,2,1M ，()2,2,1AM =-，AM ⊥平面α，DE ⊂平面α，AM DE ∴⊥，即220AM DE b ⋅=-+=，得1b =，()1,0,2E ∴，所以，点E 为棱11A D 的中点，同理可知，点F 为棱11A B 的中点，则()2,1,2F ，()1,1,0EF =，而()2,2,0DB =，12EF DB ∴=，//EF DB ∴且EF DB ≠， 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=()()()2222212205BF =-+-+-=，DE BF ∴=，所以，四边形BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；对于D 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，如下图所示：若AM MN +最短，则A 、M 、N 三点共线，11//CC DD ，2222222MC AC DN AD ∴===-+， 11222MC CC =-≠，所以，点M 不是棱1CC 的中点，D 选项错误.故选：AC. 【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.7．如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则（ ）A ．若//MN 平面PAB ，则//AB RQ B ．存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQC ．存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+= D ．111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 13SC PC =时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断； 对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A ， 若//MN 平面PAB ，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ，又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，∴//MN RQ ，点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，∴MN ⊂平面ABC ，又//MN 平面PAB ，平面ABC平面PAB AB =，∴//MN AB ， ∴//AB RQ ，故A 正确； 对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即13SC PC =， 此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明： 在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ，∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，点O 为ABC 的中心，//MN AB ，∴由正三角形中的性质，易得23CN CM a ==， 在CNS 中，23CN a =，13SC a =，3SCN π∠=，∴由余弦定理得，3SN a ==， ∴222249SC SN a CN +==，则SN PC ⊥，同理，SM PC ⊥， 又SMSN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，∴PC ⊥平面SRQ ，∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，故B 正确； 对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=， 设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=，∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，∴PC AB ⊥，又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上，∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立， 故C 错误； 对于选项D ，易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ， 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数， 则点S 到PQR 的距离为sin PS α， 又13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin33S PQR PQRV PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅， 又13sin 234PSRSPS PR PS PR π=⋅=⋅， 13sin 234PSQS PS PQ PS PQ π=⋅=⋅， 13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅，()12S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V d PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅，∴()3sin PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅，∴111sindPQ PR PSα++=为常数，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.8．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2，则（）A．BF⊥平面EABB．该二十四等边体的体积为20 3C．该二十四等边体外接球的表面积为8πD．PN与平面EBFN所成角的正弦值为2 2【答案】BCD【分析】A用反证法判断；B先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C先找到球心与半径，再计算表面积判断；D先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】解：对于A，假设A对，即BF⊥平面EAB，于是BF AB⊥，90ABF∠=︒，但六边形ABFPQH为正六边形，120ABF∠=︒，矛盾，所以A错；对于B，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=，所以B 对；对于C ，取正方形ACPM 对角线交点O ， 即为该二十四等边体外接球的球心， 其半径为2R =，其表面积为248R ππ=，所以C 对；对于D ，因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ， 所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠， 其正弦值为22PS PN ==，所以D 对． 故选：BCD ．【点睛】本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题．。