27.2(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1、与圆心角、弧、弦、弦心距相关的定理和推理：
在上例中，若∠DOC=∠AOB，则CD=AB，弧CD=弧AB，弦心距OE=弦心距OF；若CD=AB，则∠DOC=∠AOB，弧CD=弧AB，弦心距OE=弦心距OF；若弧CD=弧AB，则∠DOC=∠AOB，CD=AB，弦心距OE=弦心距OF；若弦心距OE=弦心距OF，则∠DOC=∠AOB，CD=AB，弧CD=弧AB.(特别的对于弦心距而言，要么指出“弦心距”三字，要么指出(OE⊥DC或OF⊥AB）.2、典型例题及常见辅助线的添线方法：
解法分析：本题主要利用的推论是同圆中，相等的弦心距所对的弦相等。

(1)(2)两问的添线方法一致，只是根据点在圆外、圆上、圆内分类讨论而已。

因此常见的辅助线的添线方法为作弦心距。

3、与四边形相关的综合练习：
解法分析：本题综合利用了同圆的半径相等、矩形的对角线相等且互相平分，X型基本图形、锐角三角比、三角形的内外角和知识，是一道比较综合的简单综合题。

解法分析：本题综合利用了全等三角形的判定和性质定理，勾股定理，平行四边形的性质定理。

第3问稍有难度，构造全等的直角三角形，利用垂直平分线性质定理解决问题。

解法分析：本题的第1问利用了子母三角形相似得到解析式；本题的第2问分类讨论，利用X型基本图形，列比例关系求解.
4、圆周角相关性质定理的补充：。

三．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【知识要点】（1）圆的对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．圆不仅是轴对称图形，而且还是 图形，圆独有的性质是 ． （2）概念：弦、弦心距弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直线。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

【典型例题】例1．（1）过已知⊙O 中一已知点P 的弦中，最短的弦是 ；最长的弦是 ．（2）已知⊙O 中，AB 是直径，长10cm ，点M 为⊙O 内的一点，OM=4cm ，则⊙O 中过点M 的弦中，最长的弦等于 ．（3）在⊙O 中，弦AB ∥弦CD ，且AB 、CD 的度数分别为︒120和︒60，⊙O 的半径为6cm ，则AB 与CD 之间的距离是 ．（4）如图1，⊙O 中，弦CD 与直径AB 交于E ，且∠AEC=︒30，AE=1cm ，BE=5cm ，则弦CD 的弦心距OF= cm ，弦CD 的长为 cm.（3）概念：弧，圆心角弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

圆心角 ：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

例2．（1）如图2，在△ABC 中，︒=∠︒=∠25,90B BCA ，以C 为圆心，CA 为半径的圆交· A C FE ODB 图1· O 图4AB C图2CBDD A图3· OECAB 于D ，则AD 的度数是 ．（2）在⊙O 中，弦AB 与过B 点的半径夹角为︒55，那么弦AB 所对的优弧AMB 的度数为 。

（3）一条弦的弦心距等于它所在圆的直径的41，则这条弦所对的劣弧的度数是 。

（4）已知⊙O 中，AB=2CD ，则弦AB 2CD ．（填“〉”、“〈”或“=” ） （5）如图3所示，已知C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作弦DE ，使CD=CO ，若AD 的度数为︒40，BE 的度数 。

（6）如图4，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于 。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）数学教案标题：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）
一、教学目标
1. 理解并掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的基本关系。

2. 能够运用这些关系解决实际问题。

3. 培养学生的空间观念和逻辑思维能力。

二、教学重点与难点
重点：理解并掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的基本关系。

难点：运用这些关系解决实际问题。

三、教学过程
1. 导入新课
通过回顾上节课的内容，引导学生复习圆心角、弧、弦的概念，然后引出本节课的主题——圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。

2. 新课讲解
(1) 定义解释：首先对圆心角、弧、弦、弦心距的概念进行再次解释和强调。

(2) 关系阐述：详细阐述这四个元素之间的关系，例如“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。

”等等。

(3) 举例说明：给出一些具体的例子，帮助学生理解和记忆这些关系。

3. 练习巩固
设计一些练习题，让学生运用所学的知识去解答，从而加深对知识的理解和记忆。

4. 总结提升
总结本节课的主要内容，并引导学生思考如何将这些知识应用到实际生活中去。

四、作业布置
布置一些相关的习题，以检验学生的学习效果。

第27章圆与正多边形第一节圆的基本性质§27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系教学目标(1)理解圆心角、弧、弦、弦心距等概念，知道圆是一个旋转对称图形，理解圆的旋转不变性.(2)经历利用圆的旋转不变性探索同圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的过程，掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论，能运用这一定理及其推论解决有关数学问题.教学重点引进圆心角、弧、弦、弦心距等概念，导出同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论，并能进行简单的运用，解决有关数学问题.知识点梳理1.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；联结圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径.以圆心为顶点的角叫做圆心角.(没有特别说明时，本章中的圆心角通常是指大于00且小于0180的角)2.圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.3.圆心到弦的距离叫做弦心距.4.在平面上，一个圆绕着它的圆心旋转任何一个角度(大于00且小于0360)，都能与原来图形重合.所以，圆是以圆心为旋转对称中心的旋转对称图形，旋转角可为大于00且小于0360的任何一个角.5.能够重合的两条弧称为等弧.半径长相等的两个圆一定能够重合，我们把半径长相等的两个圆称为等圆.(等圆可看作同一个圆移动到不同的位置时的图形)6.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.7.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧或优弧、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.8.圆被等分成360份，得到的每一份弧叫做01的弧.圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.经典题型解析(一)圆的基本概念例1.车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征( )A.同弧所对的圆心角相等B.直径是圆中最大的弦C.圆上各点到圆心的距离相等D.圆是中心对称图形随堂练习：下列说法中，正确的是( )A.弦是直径B.弧是半圆C.半圆是弧D.过圆心的线段是直径例2.下列说法中，错误的是( )A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧随堂练习：下列语句中，正确的有( )A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B.平分弦的直径垂直于弦C.长度相等的两条弧相等D.圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴例3.如图，在O中，如果AB CD、是直径，那么图中相等的弧有哪些?为什么?随堂练习：如图，已知在O中，AB CD、.⊥，垂足分别是点E F、分别是弦，OE AB⊥，OF CD请添加一个条件，使得OE OF=.(二)定理与推论例4.已知：如图，O的弦AB与CD相交于点P，OM AB、，⊥，ON DC⊥，垂足分别是点M N 且AD BC=.求证：OM ON=.随堂练习：如图，AB CECD AB.、是O的直径，CD是圆O的弦，//求证：EB AC BD==.例5.已知：如图，AB CD、.、是O的直径，弦//AE CD，联结CE BC求证：BC CE=.随堂练习：已知：如图，AD BC=分别表示弦AB和CD的弦心、是O的弦，AD BC=，OM ON距.求证：OM ON=.例6.已知：如图，AB CD=.、是O的弦，且AB CD求证：ACB DBC∆≅∆.随堂练习：已知：如图，AB是O的直径，AC和AD是分别位于AB两侧的两条相等的弦.求证：AB平分CAD∠.例7.如图，O是ABC∆的形状，并说明∠=∠，探索ABC∠，AOB BOC∆的外接圆，AO平分BAC理由. 等边三角形例8.已知：如图，AB是O的直径，M N⊥.⊥，DN AB、的中点，CM AB、分别是AO BO求证：AC BD=.例9.已知：如图，在O中，弦AB的长是半径OA的3倍，C为AB的中点，AB OC、相交于P.求证：四边形OACB为菱形.例10.已知：如图，AD的度数是090，B C、将AD三等分，弦AD与半径OB OC、.、相交于E F 求证：AE BC FD==.巩固提升一、填空题1.下列说法正确的是_________(填序号)①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦.2.圆是中心对称图形，它的对称中心有_________个.3.如图，AB CD =，OE AB ⊥，OF CD ⊥，025OEF ∠=，则EOF ∠=__________.(第3题) (第4题) (第5题)4.如图，在ABC ∆中，070A ∠=，圆O 截ABC ∆的三边所得的弦长都相等，则BOC ∠=_________.5.如图，半圆O 中，直径2AB =，作弦//DC AB ，设AD x =，四边形ABCD 的周长为y ，则y 与x 的函数关系式为_________，自变量x 的取值范围是_________.6.已知等边ABC ∆的三个顶点在半径为r 的圆上，则ABC ∆的周长为_________.7.已知点(1,0)(4,0)A B 、，P 是经过A B 、两点的一个动圆，当P 与y 轴相交，且在y 轴上两交点的距离为3时，则圆心P 的坐标是_________.二、选择题8.下列命题中正确的是( )A .三点确定一个圆B .在同圆中，同弧所对的圆周角相等C .平分弦的直线垂直于弦D .相等的圆心角所对的弧相等9.下列命题，①直径是弦，但弦不一定是直径；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③半径相等的两个圆是等圆；④一条弦把圆分成的两条弧中，至少有一条是优弧。

27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（3）上海市奉贤区泰日学校张忠华一、教学内容分析：本课是圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的第3课时，主要内容是对圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的灵活运用.二、教学目标1.灵活运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决相关的几何证明与计算.2.通过例题的学习，进一步发展逻辑推理能力.三、教学重点与难点圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的灵活运用.四、教学用具准备课件、多媒体投影仪五、教学流程六、教学过程设计(一) 温故知新回顾定理与推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条劣弧（或优弧），两条弦，两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.（二）应用举例例4 如图（1）已知：点F为圆O内一点，过点F作圆O的两条图（1）图（2）F 图（3）F 弦AB 、CD ，且∠AFO ＝∠DFO求证：（1）AB ＝CD （2）变式1：将例4中条件结论互换，命题是否为真？即已知点F 为圆O 内一点，过点F 作⊙O 的两条弦AB 、CD ，AB ＝CD 求证：∠AFO=∠DFO （学生探索发现）变式2：若点F 为⊙O 上一点，过F 作⊙O 的弦FA 、FD 如图（2） 若∠AFO ＝∠DFO,求证：AF ＝DF （学生探索发现）变式3：如图（3）若点F 为⊙O 外一点，过F 作两条射线分别交⊙O 于点A 、B 、C 、D ，若∠AFO ＝∠DFO ，求证：AB ＝CD （学生探索发现）AC=BD例5 已知，如图（4）：⊙O是△ABC的外接圆，AE平分△ABC 的外角∠DAC，O M⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，且OM ＝ON求证：（1）A E∥BC (2)AO⊥AE图（4）（三）反馈练习1、课本P11页，练习27.2（3）2、将例5条件、结论互换，变式1：把条件OM＝ON与结论AE∥BC互换，命题是否为真？说明理由.3、变式2：把条件OM＝ON与结论AO⊥AE互换，命题是否为真？说明理由.图（5）图（5）（四）归纳小结1.谈谈本堂课的收获2.谈谈本堂课的疑惑（五）布置作业必做题：练习册27.2（3）选做题：如图（6）：已知半圆O中，直径AB＝2，作弦DC∥AB，设AD＝x，四边形ABCD的周长为y，求：y与x的函数关系式，及自变量x的取值范围B图（6）设计说明本节课主要内容是圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的应用，对课本例题做了适当的变式，以问题为主线，探中有究，究中有探，通过例4的变式训练，引导学生灵活创新地运用定理、推论解决问题，根据学生已有的知识基础，设计出具有一定探索价值的问题链，进而让学生去发现、去创造，从而充分调动学生的思维，有效地提高课堂的效率，使整个课堂焕发出思维的活力.。

奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：3651785627.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【学习目标】1.通过观察实验，使学生了解圆心角的概念.2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用．【主要概念】【1】圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．【2】圆心角、弧、弦之间的关系定理在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．【定理拓展】1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分○别相等2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弧也分○别相等综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．【经典例题】【例1】下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等【解析】根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等 1奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的.【答案】B【例2】如图2，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图2A.3∶2B.∶2C.∶2D.5∶4【解析】作OE⊥CD于E，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt△ODE中，OD=2+12=2.在Rt△OEB中，OB=BE2+OE2=4+1=.∴OB∶OD=∶2.【答案】C【例3】半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于( )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0【解析】∵AB为直径，∴OE=0.∴OE∶OF=0.【答案】D【例4】一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 【解析】1×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 4【答案】90°【例5】弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.【解析】OD⊥AB，OD=DB=AD.设OD=x，则AD=DB=x.在Rt△ODB中，∵OD=DB，OD⊥AB,奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=OD2+DB2+x2+x2=2 x.∴AB∶BC=1∶2=2∶2. ∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 【答案】2∶2 90°【例6】如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D.图6(1)求证：AC=DB；(2)如果AB=6 cm，CD=4 cm，求圆环的面积.【分析】求圆环的面积不用求出OA、OC，应用等量代换的方法.事实上，OA、OC的长也求不出来.（1）证明：作OE⊥AB于E，∴EA=EB，EC=ED.∴EA－EC=EB－ED，即AC=BD.（2）解：连结OA、OC.∵AB=6 cm，CD=4 cm，∴AE=11AB=3 cm.CE=CD=2 cm. 22∴S环=π·OA2－π·OC2=π（OA2－OC2）=π［（AE2＋OE2）－（CE2＋OE2）］=π（AE2－CE2）=π（32－22）=5π（ cm2）.【例7】如图7所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C、D是AB上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图7【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA、OB.∵OA=OB，∴∠A=∠B.又∵AC=BD，∴△AOC≌△BOD.∴OC=OD.奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856证法二：如图(2)，过点O作OE⊥AB于E，∴AE=BE.∵AC=BD，∴CE=DE.∴OC=OD. (1) (2)【例8】如图8，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6 cm，EB=2 cm，∠CEA=30°，求CD的长.图8【分析】如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF，构造直角三角形，问题就容易解决.【解】过O作OF⊥CD于F，连结CO.∵AE=6 cm，EB=2 cm，∴AB=8 cm.∴OA=在Rt△OEF中，∵∠CEA=30°，∴OF=1OE=1（cm）. 21AB=4（cm），OE=AE－AO=2（cm）. 2 在Rt△CFO中，OF=1 cm，OC=OA=4(cm)，∴CF=OC2 OF2=(cm). 又∵OF⊥CD，∴DF=CF.∴CD=2CF=2（ cm）.【例9】如图9，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF∥AB时,情况又怎样?奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856图9【分析】考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线.【解】当EF交AB于P时,过O作OM⊥CD于M,则CM=DM.通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF.当EF∥AB时,同理作OM⊥CD于M,可证四边形AEFB为矩形.所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF.【例10】如图10所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？图10【分析】欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.【解】弧AC=弧BE.原因如下：法一：连结AC，∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.法二：∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.【例11】如图11所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图11【分析】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.【证明】∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.【例12】如图12，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图12【分析】应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等. 【解】在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856【例13】为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).【解析】设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.【答案】根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可.【例14】如图14，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)图14【解析】因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.【答案】（1）BE=CE；（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856（10）△ABD≌△ACD；（11）O为△ABC的外心等等.【例15】如图15，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径.图15【分析】圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.【解】过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OCA和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA2－AC2=OP2－CP2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，∴CP=AB－PA－BC=1，AC=5.∴OA2－52=52－1.∴OA=7，即⊙O的半径为7 cm.【例16】⊙O的直径为50 cm，弦AB∥CD，且AB=40 cm，CD=48 cm，求弦AB和CD之间的距离.【分析】（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)【解】（1）当弦AB和CD在圆心同侧时，如图(1),作OG⊥AB于G，交CD于E，连结OB、OD.∵AB∥CD，OG⊥AB，∴OE⊥CD.∴EG即为AB、CD之间的距离.∵OE⊥CD，OG⊥AB，∴BG=11AB=×40=20（cm）， 22奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856DE=11CD=×48=24（cm）. 22在Rt△DEO中，OE=OD2-DE2=252-242=7（cm）.在Rt△BGO中，OG=OB2-BG2=252-202=15（cm）.∴EG=OG－OE=15－7=8（cm）.(2)（2）当AB、CD在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm，OE=7 cm，∴GE=OG＋OE=15＋7=22（cm）.综上所述，弦AB和CD间的距离为22 cm或7 cm.【1】已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？【2】如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。

儒洋教育学科教师辅导讲义6、多边形与圆如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形，提示：1、与圆的确定有关的两个图形一定要学生重点理解。

2、补充两个知识点：线段垂直平分线的性质和角平分线的性质3、和学生一起重点分析课本例题1和2，理解题目考察的细节和解题方法。

二、例题分析：1、以线段AB为弦的圆的圆心的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

cm。

2、已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则扇形的弧长是cm，扇形的面积是23、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆；例1：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，（1）当d=2厘米时，有d r，点在圆（2）当d=7厘米时，有d r，点在圆（3）当d=5厘米时，有d r，点在圆4、下列四边形：①平行四边形，②菱形；③矩形；④正方形。

其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）A、①②③④B、②③④C、②③D、③④5、（07上海中考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块 B．第②块C．第③块 D．第④块6、三角形的外接圆的圆心是（），A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点7、直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为。

（三）巩固练习1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为．2、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；3、三角形的外心一定在该三角形上的三角形（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形，第7题 （第2题） 7、如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=_______8、如图，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）B A CEDOF（第8题） （第11题）9、已知，如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、Ｂ和C 、D 。

圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系--知识讲解（基础）圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系--知识讲解（基础）责编：常春芳【学习⽬标】1.了解圆⼼⾓的概念；2.掌握在同圆或等圆中，四组量：两个圆⼼⾓、两条弦、两条弧，两条弦的弦⼼距之间的关系及其它们在解题中的应⽤．3.理解反证法的意义，并能⽤反证法推理证明简单⼏何题.【要点梳理】要点⼀、圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系1.圆⼼⾓定义如图所⽰，∠AOB的顶点在圆⼼，像这样顶点在圆⼼的⾓叫做圆⼼⾓．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆⼼⾓所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦⼼距相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆⼼⾓以及这两个⾓所对的弧、所对的弦、所对弦的弦⼼距中，有⼀组量相等，那么其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)⼀个⾓要是圆⼼⾓，必须具备顶点在圆⼼这⼀特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这⼀前提.4. 圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆⼼⾓，弦⼼距等⼏何量之间是相互关联的，即它们中间只要有⼀组量相等，(例如圆⼼⾓相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦⼼距以及弦所对的弧也分别相等).如果它们中间有⼀组量不相等，那么其它各组量也分别不等.要点⼆、圆的确定（1）经过⼀个已知点能作⽆数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作⽆数个圆，这些圆的圆⼼在线段AB的垂直平分线上；（3）不在同⼀直线上的三个点确定⼀个圆.（4）经过三⾓形各个顶点的圆叫做三⾓形的外接圆，外接圆的圆⼼叫做三⾓形的外⼼，这个三⾓形叫做圆的内接三⾓形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三⾓形，点O是△ABC的外⼼.外⼼的性质：外⼼是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三⾓形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同⼀直线上的三个点确定⼀个圆.“确定”的含义是“存在性和唯⼀性”.（2）只有确定了圆⼼和圆的半径，这个圆的位置和⼤⼩才唯⼀确定.要点三、反证法反证法定义：在证明时，先假设命题的结论不成⽴，然后经过推理，得出⽭盾的结果，最后断⾔结论⼀定成⽴，这样的证明⽅法叫做反证法.要点诠释：反证法也称归谬法，是⼀种重要的数学证明⽅法，⽽且有些命题只能⽤它去证明．⼀般证明步骤如下：（1）假定命题的结论不成⽴；（2）进⾏推理，在推理中出现下列情况之⼀：与已知条件⽭盾；与公理或定理⽭盾；（3）由于上述⽭盾的出现，可以断⾔，原来的假定“结论不成⽴”是错误的；（4）肯定原来命题的结论是正确的．【典型例题】类型⼀、圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系及应⽤1.（2015秋?吴江市校级期中）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．（1）求证：AC平分∠OAB．（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=2，∠AOE=30°，求OE的长．【答案与解析】（1）证明：∵AB∥OC，∴∠C=∠BAC．∵OA=OC，∴∠C=∠OAC．∴∠BAC=∠OAC．即AC平分∠OAB．（2）解：∵OE⊥AB，∴AE=BE=AB=1．⼜∵∠AOE=30°，∠PEA=90°，∴∠OAE=60°．∴OE=2×=．【总结升华】本题考查了垂径定理，勾股定理等的应⽤，主要考查学⽣综合运⽤性质进⾏推理和计算的能⼒．举⼀反三：【变式】（2015秋?沛县期中）如图，已知点A、B、C、D在圆O上，AB=CD．求证：AC=BD．【答案】证明：∵AB=CD，∴，∴，即，∴AC=BD．类型⼆、圆的确定2．已知：不在同⼀直线上的三点A、B、C，求作：⊙O使它经过点A、B、C.【思路点拨】作圆的关键是找圆⼼得位置及半径的⼤⼩，经过两点的圆的圆⼼⼀定在连接这两点的线段的垂直平分线上，进⽽可以作出经过不在同⼀直线上的三点的圆.【解析】作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3、以O为圆⼼，OB为半径作圆.所以⊙O就是所求作的圆.【总结升华】通过这个例题的作图可以作出锐⾓三⾓形的外⼼（图⼀），直⾓三⾓形的外⼼（图⼆），钝⾓三⾓形的外⼼（图三）.探究各⾃外⼼的位置.举⼀反三：【变式】（1）过____________________上的三个点确定⼀个圆．（2）交通⼯具上的轮⼦都是做圆的，这是运⽤了圆的性质中的_________．【答案】（1）不在同⼀直线；（2）圆的旋转不变性.3．如图，⊙O 的直径为10，弦AB=8，P 是弦AB 上的⼀个动点，那么OP 的长的取值范围是 .【思路点拨】求出符合条件的OP 的最⼤值与最⼩值.【答案】3≤OP ≤5.【解析】OP 最长边应是半径长，为5；根据垂线段最短，可得到当OP ⊥AB 时，OP 最短．∵直径为10，弦AB=8∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得AP=4，由勾股定理的22543-=，∴OP 最短为3.∴OP 的长的取值范围是3≤OP ≤5.【总结升华】关键是知道OP 何时最长与最短.举⼀反三：【变式】已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的⼀个动点，则OP的取值范围是___ ____．【答案】 OP最⼤为半径，最⼩为O到AB的距离．所以5≤OP≤13.类型三、反证法4、（2015春?兴化市⽉考）⽤反证法求证：三⾓形的⼀个外⾓等于与它不相邻的两个内⾓的和．【思路点拨】⾸先假设三⾓形的⼀个外⾓不等于与它不相邻的两个内⾓的和，根据三⾓形的内⾓和等于180°，得到⽭盾，所以假设不成⽴，进⽽证明三⾓形的⼀个外⾓等于与它不相邻的两个内⾓的和．【答案与解析】已知：如图，∠1是△ABC的⼀个外⾓，求证：∠1=∠A+∠B，证明：假设∠1≠∠A+∠B，在△ABC中，∠A+∠B+∠2=180°，∴∠A+∠B=180°﹣∠2，∵∠1+∠2=180°，∴∠1=180°﹣∠2，∴∠1=∠A+∠B，与假设相⽭盾，∴假设不成⽴，∴原命题成⽴即：∠1=∠A+∠B．【总结升华】本题考查了反证法的运⽤，反证法的⼀般解题步骤是：①假设命题的结论不成⽴；②从这个假设出发，经过推理论证，得出⽭盾；③由⽭盾判定假设不正确，从⽽肯定原命题的结论正确．举⼀反三：【变式】⽤反证法证明：“⼀个三⾓形中⾄多有⼀个钝⾓”时，应假设（）A . ⼀个三⾓形中⾄少有两个钝⾓B . ⼀个三⾓形中⾄多有⼀个钝⾓C . ⼀个三⾓形中⾄少有⼀个钝⾓ D. ⼀个三⾓形中没有钝⾓【答案】A．。

27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；联结圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径，以圆心为顶点的角叫做圆心角。

圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的⌒，读弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

如图27-8，以A、C为端点的劣弧记作AC⌒作“弧AC”；以A、C为端点的优弧记作ABC ，读作“弧ABC”。

如图27-9，⊙O的一个圆心角的两边与⊙O分别相交于点A、B，这个圆心角记作∠AOB，这时，相应得到弧AB和弦AB。

反过来看，对于弧AB或弦AB，相应可作∠AOB。

⌒⌒通常的说AB （或弦AB）是∠AOB所对的弧（或弦），∠AOB是AB （或弦AB）所对的圆心角。

圆心到弦的距离叫做弦心距。

在图27-9中，过圆心O作弦AB的垂线，垂足为C，则垂线段OC的长时弦AB的弦心距。

在平面上，一个圆绕着它的圆心旋转任何一个角度（大于0°且小于360°），都能与原来图形重合。

所以，圆是以圆心为旋转对称中心的旋转对称图形，旋转角可为大于0°且小于360°的任何一个角。

问题1⌒和A`B`⌒如图27-10，在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A'OB'时，它们分别所对的AB是否能重合？把扇形OAB绕圆心O旋转，使OA与OA'重合。

因为∠AOB=∠A'OB'，所以OB ⌒和OB'重合；而⊙O的半径长都相等，因此点A与点A'重合，点B与点B'重合，这样AB⌒就一定重合。

与A`B`⌒与能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等，上述AB⌒是等弧，记作AB⌒ =A`B`⌒。

A`B`半径长相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆。

⌒⌒在上述问题中，AB 与A`B` 所对的弦分别是AB和A'B'，通过旋转可知，AB与A'B'重合，两弦的垂线段OC、OC'也重合（为什么），得AB=A'B'，OC=OC'.于是，可以得到圆心角、弦、弦心距之间关系的定理。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系第一课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一)教学目标:(1)理解圆的旋转不变性,把握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用;(2)培育同学试验、观看、发觉新问题,探究和解决问题的力量;(3)通过教学内容向同学渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育,渗透圆的内在美(圆心角、弧、弦、弦心距之间关系),激发同学的求知欲.教学重点、难点:重点:圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论.难点:从感性到理性的熟识,发觉、归纳力量的培育.教学活动设计教学内容设计(一)圆的对称性和旋转不变性同学动手画圆,对折、观看得出:圆是轴对称图形和中心对称图形;圆的旋转不变性.引出圆心角和弦心距的概念:圆心角定义:顶点在圆心的角叫圆心角.弦心距定义:从圆心到弦的距离叫做弦心距.(二)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系应用电脑动画(试验)观看,在同圆等圆中,圆心角变化时,圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系,得出定理的内容.这样既培育同学观看、比较、分析和归纳学问的力量,又可以充分调动同学的学习的乐观性.定理:在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等. (三)剖析定理得出推论问题1:定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,否则也不肯定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.(同学分小组争论、沟通)举出反例:如图,∠aob=∠cod,但ab cd, .(强化对定理的理解,培育同学的思维批判性.)问题2、在同圆等圆中,若圆心角所对的弧相等,将又怎样呢?(同学分小组争论、沟通,老师与同学沟通对话),归纳出推论.推论:在同圆或等圆中,假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.(推论包含了定理,它是定理的拓展)(四)应用、巩固和反思例1、如图,点o是∠epf的平分线上一点,以o为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点a、b和c、d,求证:ab=cd.解(略,教材87页)例题拓展:当p点在圆上或圆内是否还有ab=cd呢?(让同学自主思索,并使图形运动起来,让同学在运动中学习和讨论几何问题)练习:(教材88页练习)1、已知:如图,ab、cd是∠o的两条弦,oe、of为ab、cd的弦心距,依据本节定理及推论填空: .(1)假如ab=cd,那么______,______,______;(2)假如oe=og,那么______,______,______;(3)假如= ,那么______,______,______;(4)假如∠aob=∠cod,那么______,______,______.(目的:巩固基础学问)共3页，当前第1页123。