椭圆离心率求法培训资料

专题01：椭圆的离心率1：椭圆基本量运算，范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。

2：利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 221⎪⎭⎫⎝⎛-=a b e ）3：运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e例：设椭圆）（0b a 1by a x 2222>>=+的左、右焦点分别为21F F 、，如果椭圆上存在点P ，使︒=∠90PF F 21，求离心率e 的取值范围。

解：设()()()0,c F ,0,c F ,y ,x P 21- 法1：利用椭圆几何范围。

由→→⊥P F P F 21得222c y x =+，将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得2222222b a b ac a x --=2222)(e a c a -=。

由椭圆的性质知22a x 0<≤，得），以122[e ∈。

法2：判别式法。

由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a121222122224+=⇒++=，又因为︒=∠9021PF F ，可得222122214||||||c F F PF PF ==+，则)(2||||2221c a PF PF -=22b =，1PF ∴，2PF 是方程2222=+-b az z 的两个根，则22210)(84222222≥⇒≥=⇒≥--=∆e ac e c a a解法3：正弦定理∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin sin ||||90sin ||sin ||sin ||21212121F F PF PF F F PF PF =++⇒︒==βααβ又因为c F F a PF PF 2||2||||2121==+，，且90=+βα 则)4sin(21cos sin 1sin sin 1πααβα+=∂+=+==a c e20πα<<4344ππαπ<+<∴则1)4sin(22≤+<πα，2)4sin(21≤+<πα 所以122<≤e解法4：利用基本不等式由椭圆定义， 有212a PF PF =+||||平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥所以有，）e ∈[221解法5：巧用平面解析几何的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。

[公开课优质课课件]详解椭圆曲线的离心
率求解
简介
本课程将详细解释椭圆曲线的离心率求解方法。

通过本课程，您将了解离心率的概念、计算方法，以及椭圆曲线上离心率的意义和应用。

椭圆曲线和离心率
椭圆曲线是平面上一组满足特定数学方程的点的集合。

离心率是描述椭圆曲线形状的一个重要参数，它衡量了椭圆曲线的扁平程度。

离心率的取值范围是0到1，离心率越接近0，椭圆曲线越接近圆形；离心率越接近1，椭圆曲线越扁平。

离心率的计算方法
离心率的计算方法可通过椭圆曲线的半长轴和半短轴长度进行求解。

我们可以使用以下公式计算离心率：
离心率 = sqrt(半长轴^2 - 半短轴^2) / 半长轴
其中，sqrt表示计算平方根。

离心率的结果是一个在0到1之间的实数。

离心率的意义和应用
离心率对于椭圆曲线的几何特征和性质具有重要影响。

离心率越大，曲线越扁平，其特征点和形状会有所改变。

离心率的值还可以用来判断椭圆曲线是否为圆形、椭圆或双曲线，并对密码学等领域的算法和保密性产生重要影响。

感谢您参加本次公开课，希望通过本课程的学习，您能更好地理解椭圆曲线的离心率求解方法及其应用。

离心率的五种求法椭圆的商心率0<0<1,双曲线的商心率丘>1,抛物线的离心率e = \. 一、直接求出“、J 求解《巳知圆锥曲线的标准方程或4、e 易求时，可利用率心率公式0 =上来解决。

a例1:已知双曲线^y-y 2 =1 (d>0)的一条淮线与抛物线y 2 =-6x 的准线重合, 则该双曲线的离心率为()A •迺B. 22 2Q 2 解：抛物线y 2 =-6x 的准线是X = -,即双曲线的右准线X =—2c2c 2 — 3c — 2 = 0 > 解得 c = 2 , a = -x/3，e =—=——,故选 r> a 3变式练习1：若椭圆通过原点，且核心为仟(1,0)、竹(3,0),则其商心率为()A. -B. -C. -D.丄43 24解：由片(1,0)、F 2(3,0)知 2c = 3 —1, • • c = 1 ,又T 椭圆过原点,■•a_c = l, a + c = 3 > • • a = 2 , c = 1 ,所以离心率e = — = — •故选C ・a 2变式练习2:若是双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为()A. —B. —C. - D 22 2 2c 3解：由题设a = 2, 2C = 69则c = 3, ^ =-=-,因此选Ca 2变式练习3：点P (-3, 1)在椭圆亠+二=1 (a >b>0)的左准线上，过点P 且方向 a 2b 2为a =(2,-5)的光线，经直线$ = -2反射后通过椭圆的左核心，则这个椭圆的离心率为()Di 2解：由题意知，入射光线为y-l=--(x + 3),关于y = —2的反射光线(对称关系)为 2 尤“c J3c解得 a = \[3 9 c = 1,则 e = — = •故选A云+ 5 = 0"3二、构造"、。

的齐次式，解出fV 6 TB !35x-2y+ 5 = 0,贝ij<按照题设条件，借助〃、b、C之间的关系，构造"、e的关系（特别是齐二次式），进而取得关于0的一元方程，从而解得离心率2 2例2：已知片、化是双曲线二一匚=1 （。

目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。

专题十：椭圆的离心率题型一：（求椭圆的离心率的值）1、椭圆1422=+y x 的离心率为 ．2、椭圆短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，则该椭圆的离心率为 ．3、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(,0),(0,)c b 的 直线的距离为12c ，则椭圆E 的离心率为 ． 4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是B A ,，左、右焦点分别是21,F F ， 若B F F F AF 1211,,成等比数列，则椭圆C 的离心率为 ．5、已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， △21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的的离心率为 ．6、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率是 ．7、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过原点的直线l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点，连接,AF BF ．若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则椭圆C 的离心率为 ． 8上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭 圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)， 则该椭圆的离心率是 ．9、如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点D A ,为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆Q O F 2F 1P y x 上，则该椭圆的离心率为 ．10、如图，已知21,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上， 线段2PF 与圆222b y x =+相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率 为 ．（第9题图） （第10题图） （第11题图）11、如图，在直角△ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过,A B 两点，它的一个焦 点为C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为 ． 12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个 顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰 为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．（第12题图）B CF EA D x y A 1B 2 A 2 O M F TB 113、如图，已知c AB 2=(常数0>c )，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且 CD AB //，若椭圆以B A ,为焦点，且过D C ,两点，则当梯形ABCD 的周长最大时， 椭圆的离心率为 ．（第13题图）题型二：（求椭圆的离心率的取值范围）1、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，短轴的一个端点为P ， 若12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．2、已知焦点在x 轴上的椭圆222:1(0)4x y E b b +=>，短轴的一个端点为M ，点M 到直 线:340l x y -=的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围为 ． 3、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，若 椭圆C 上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线经过点F ，则椭圆C 的离心率的取值范 围为 ．4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．5、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为 A ，点P 是椭圆C 上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q ．若四边形PQFA 为平行四 边形，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．6、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>和圆222x y b+=，若C上存在点P，过点P引圆O的两条切线，切点分别为,A B，满足60APB∠=，则椭圆C的离心率的取值范围为．7、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得12PFePF=，则椭圆C的离心率的取值范围为．8、已知椭圆22:11x yCm m+=+的两个焦点分别是12,F F，若椭圆C上存在点P，使得121PF PF⋅=，则椭圆C的离心率的取值范围为．9、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>右顶为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP 垂直于PA，则椭圆C的离心率的取值范围为．10、如图，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P是椭圆C上一点，点M在1PF上，且满足12F M MP=，2PO F M⊥，O为坐标原点，则椭圆C的离心率的取值范围为．（第10题图）专题十：椭圆的离心率参考答案题型一：（求椭圆的离心率的值）1、2；2、33、2；4、5；5、34；6、2；7、57；8、2；91；10、3；1112、5；131． 题型二：（求椭圆的离心率的取值范围）1、(2；2、；3、1[,1)2；4、1[,1)3；5、1,1)；6、；7、1,1)；8、；9、；10、1(,1)2．。

椭圆离心率的解法一、 运用几何图形中线段的几何意义。

基础题目:如图,O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点,准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上,PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F ，设椭圆的离心率为e ，则①e=错误!②e=错误!③e=错误!④e=错误!⑤e=错误!评:AQP 为椭圆上的点,根据椭圆的第二定义得，①②④。

∵|AO ｜=a ，｜OF ｜=c,∴有⑤;∵|AO ｜=a,｜BO ｜= 错误!∴有③.题目1：椭圆x2 a2+错误!=1（a 〉b 〉0)的两焦点为F1 、F2 ,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆,所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系.解:∵|F1F2｜=2c |BF1｜=c |BF2｜=错误!cc+错误!c=2a ∴e= 错误!= 错误!-1变形1：椭圆错误! +错误!=1（a 〉b 〉0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上,使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率?解：连接PF2 ，则|OF2|=｜OF1｜=｜OP｜，∠F1PF2 =90°图形如上图，e=错误!—1变形2：椭圆错误! +错误!=1(a>b 〉0）的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点,P是椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴,PF2 ∥AB，求椭圆离心率？解:∵|PF1|=错误!错误!｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA|=aPF2 ∥AB ∴错误!= 错误!又∵b= 错误!∴a2=5c2 e=错误!点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率.二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆错误! +错误!=1(a〉b >0），A是左顶点，F是右焦点,B是短轴的一个顶点,∠ABF=90°,求e？解：|AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a |AB｜=错误!a2+b2+a2 =（a+c)2 =a2+2ac+c2 a2—c2—ac=0 两边同除以a2e2+e—1=0 e=错误! e=错误!（舍去）变形：椭圆错误! +错误!=1（a〉b 〉0），e=错误!， A是左顶点,F是右焦点，B是短轴的一个顶点,求∠ABF?点评:此题是上一题的条件与结论的互换,解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。

[公开课优质课课件]解析椭圆的离心率求
法
椭圆是一个重要的几何概念，在数学和物理学中广泛应用。

而椭圆的离心率是描述椭圆形状的一个重要参数。

本文将解析椭圆的离心率求法，帮助读者更好地理解椭圆的性质和特点。

1. 椭圆的定义
椭圆可以定义为到两个焦点距离之和恒定的点构成的图形。

数学上，椭圆可以用一个数学方程来表示，即椭圆的离心率求法的基础。

2. 椭圆的离心率
离心率是描述椭圆形状的一个重要参数。

离心率的定义是椭圆焦点间距离除以长轴长度的比值。

我们可以通过以下步骤计算椭圆的离心率：
1. 确定椭圆的长轴和短轴长度。

2. 计算椭圆的焦点之间的距离。

3. 将焦点之间的距离除以长轴长度，得到离心率的值。

3. 举例说明
例如，假设椭圆的长轴长度为a，短轴长度为b。

椭圆的焦点之间的距离为c。

那么椭圆的离心率可以表示为：
离心率 = c / a
通过以上公式，我们可以计算出任意椭圆的离心率。

4. 总结
本文解析了椭圆的离心率求法。

椭圆的离心率是一个重要的参数，用来描述椭圆形状的特点。

离心率的值越接近于0，椭圆形状越接近于圆形；离心率的值越接近于1，椭圆形状越长而细长。

希望本文对读者理解椭圆的离心率求法有所帮助。

> 注意：以上内容仅供参考，具体情况还需根据实际问题进行具体分析和计算。

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Word Count: 193 words。

椭圆离心率知识点总结椭圆的离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它是一个介于0和1之间的实数，用e表示。

离心率越接近0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近1，椭圆越拉长。

在本文中，我们将深入探讨椭圆离心率的相关知识点，包括椭圆的定义、离心率的计算方法、离心率与椭圆形状的关系、离心率的物理意义等方面。

椭圆的定义椭圆是平面上一点到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的轨迹。

这两个固定点分别称为焦点，记为F1和F2，它们之间的距离是2a。

设椭圆的两个焦点为F1和F2，两个焦点之间的距离是2c，椭圆的长轴是2a，短轴是2b。

椭圆的离心率定义为e=c/a。

由此可见，椭圆的离心率是通过椭圆焦点的位置和长短轴的长度来确定的。

离心率的计算方法椭圆的离心率可以通过焦点和长、短轴的关系来计算。

设椭圆的长轴是2a，短轴是2b，焦点之间的距离是2c。

根据椭圆的定义，可以得到等式：2a=2c由此可得c=a。

根据离心率的定义e=c/a，可以得到椭圆的离心率为e=1。

这说明椭圆的离心率是与长短轴的长短关系相关的一个重要参数。

离心率与椭圆形状的关系椭圆的离心率与其形状之间存在着密切的关系。

当离心率e=0时，表示椭圆的两个焦点和中心重合，此时椭圆的形状接近于圆形。

当离心率e=1时，表示椭圆的两个焦点距离中心的距离等于椭圆的长轴。

此时椭圆的形状呈现出拉长的状态。

因此，离心率可以描述椭圆形状的长短关系，离心率越小，椭圆形状越接近于圆形，离心率越大，椭圆形状越拉长。

离心率的物理意义离心率不仅是描述椭圆形状的重要参数，还具有较为重要的物理意义。

在天体力学中，椭圆的离心率是描述行星轨道形状的一个重要参数。

离心率接近于0的行星轨道呈现出近似圆形的形状，这种轨道称为圆轨道；离心率接近于1的行星轨道呈现出椭圆形的形状，这种轨道称为椭圆轨道。

因此，离心率可以描述行星轨道形状的长短关系，离心率越小，轨道形状越接近于圆形，离心率越大，轨道形状越拉长。

在天文学中，通过测量行星轨道的离心率，可以进一步探索行星的运动规律及轨道形状，从而深入了解行星的运动规律和轨道形状。

专题：椭圆的离心率解法大全椭圆是一种非常常见的几何形状，它在机械设计、电子设计、建筑设计等领域都有广泛的应用。

在实际的设计中，我们经常需要计算椭圆的面积、周长，以及确定其离心率等参数。

在本专题中，我们将介绍椭圆的离心率解法，包括公式推导以及实际应用。

1. 什么是椭圆的离心率椭圆的离心率是用来描述椭圆形状的一个参数，常用字母e表示。

它可以用一个公式来计算：e = √(1 - b²/a²)其中，a和b分别表示椭圆的长轴半径和短轴半径。

在这个公式中，长轴和短轴是椭圆的两个特征轴，通过它们可以确定椭圆的形状。

离心率越小，表示椭圆越接近于圆形；离心率越大，表示椭圆越“瘦长”。

2. 椭圆的离心率计算方法方法1：测量法在实际应用中，我们可以通过测量椭圆的长轴、短轴长度，再利用上面的公式计算离心率。

如果精度要求不高，这种方法比较简单实用，无需过多计算。

方法2：拟合法对于一些特定的数据分布，我们可以通过拟合方法来计算椭圆的离心率。

例如，在二维数据最小二乘拟合中，我们可以用椭圆方程将数据拟合到一个椭圆上，然后计算出长轴、短轴长度，最后利用公式计算离心率。

方法3：图像处理法在一些图像处理领域，我们需要计算图像中椭圆的离心率。

这时，我们可以通过图像处理算法，找到椭圆的长轴、短轴长度，再套用公式计算离心率。

常用的图像处理算法包括Hough变换、数据段拟合等。

3. 椭圆离心率的应用举例椭圆的离心率不仅仅是一个几何参数，它还有广泛的应用。

以下是一些举例：应用1：电子领域在电子电路设计中，椭圆常被用作电容、电感等元件的基础形状。

计算元件的面积和空间占用率时，椭圆的离心率就显得尤为重要。

应用2：机械领域在机械设计中，椭圆的离心率被广泛地应用于轴承和齿轮的设计中。

当确定轴向载荷和径向载荷比例时，离心率是一个非常重要的指标。

应用3：化学领域在化学分子几何构型的确定中，椭圆被广泛地应用于描述化学键角的倾角和轴向取向。

根据椭圆的焦点找长轴求离心率(椭圆的确定)根据椭圆的焦点找长轴求离心率（椭圆的确定）前言在椭圆的几何学中，为了确定椭圆的形状和大小，我们需要找到椭圆的长轴和离心率。

本文将介绍如何根据椭圆的焦点和已知点找到椭圆的长轴，并通过长轴求取椭圆的离心率。

步骤1. 已知椭圆的焦点坐标为 $(x_f, y_f)$ 和 $(x_g, y_g)$。

将该问题转化为求解以两个焦点为焦点的两个坐标为 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的椭圆。

2. 为了确定椭圆的长轴，我们需要找到椭圆上一点（不是焦点），该点离两个焦点的距离和相等。

设该点的坐标为 $(x, y)$。

3. 根据两点之间的距离公式，我们可以得到下列方程：$\sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} = \sqrt{(x - x_2)^2 + (y -y_2)^2}$将方程展开并整理，得到：$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2$展开方程，得到：$x^2 - 2x_1x + x_1^2 + y^2 - 2y_1y + y_1^2 = x^2 - 2x_2x +x_2^2 + y^2 - 2y_2y + y_2^2$化简方程，消去相同的项，得到：$2(x_1 - x_2)x + 2(y_1 - y_2)y + (x_2^2 + y_2^2 - x_1^2 - y_1^2) = 0$这是一个关于 $x$ 和 $y$ 的线性方程，可以求解出 $x$ 和$y$ 的值，即可确定椭圆的长轴。

4. 在求解出 $(x, y)$ 的值后，我们可以计算离心率。

椭圆的离心率定义为焦距除以长轴的比值。

假设焦距的长度为 $d$，则离心率 $e$ 的计算公式为：$e = \frac{d}{2\sqrt{(x^2 - x_f^2) + (y^2 - y_f^2)}}$其中，$(x_f, y_f)$ 为焦点的坐标。

第一篇圆锥曲线专题05离心率的求法一、求离心率值的问题求离心率的值需要构造一个含有,,a b c 或数字的等式，而等式关系如何构造，只能依照题目中给出的条件结合几何形状见招拆招，没套路可言。

1、基本方法：从定义出发，特别注意第一定义中的焦点三角形问题，以椭圆为例，在焦点三角形中三条边中蕴含了,a c 的关系，因此如果能找出三条边的关系也就可以求出离心率的值。

例1：如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=和双曲线2C 的公共焦点，若四边形12AF BF 为矩形，则双曲线的离心率为____________.【解析】关于共焦点的问题，c 相等，在椭圆里面1224AF AF a +==在12RT AF F ∆中满足2221212+=AF AF F F ，解得12AF AF则在双曲线中a c ==62e =例2：设椭圆的两个焦点分别是12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_________.2、几何法，几何方法不是方法，而是分析几何图形的能力，根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如题目中给出的等腰，中垂线，垂直等条件都可能是破解题目的入手点。

例3：已知,A B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形且顶角为120︒，则E 的离心率为_________.上图中A,B 两点不是焦点，2AB a =,且条件中没有b 和c 的量，因此无法构成等量关系，但是注意双曲线的方程本身就是包含,a b 的等式，因此题目的关键不是构造等式而是求出点M 的坐标，代入到双曲线的方程中即可求出离心率。

【解析】从M 点作x 轴的垂线，垂足为C ，因为2,60BM a MBC ︒=∠=所以,BC a MC ==，所以点M 的坐标为(2)a 代入到双曲线中得2222(2)(3)1a a b -=整理得e =例4：设12,F F 分别是椭圆2222:1x y E a b+=的左右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A,B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率。

离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。

例1：已知双曲线1222=-y a x （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A. 23B. 23C. 26 D. 332 解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆通过原点，且核心为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ） A.43 B. 32 C. 21 D. 41解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：若是双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ） A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左核心，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e按照题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而取得关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。