2019届一轮复习人教A版 对数与对数函数 学案

第六节 对数与对数函数对数与对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点． (3)知道对数函数是一类重要的函数模型．(4)了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，且a ≠1)． 知识点一 对数及对数运算 1．对数的定义一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a _N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质 (1)log a 1＝0，log a a ＝1. (2)a log a N ＝N ，log a a N ＝N . (3)负数和零没有对数． 3．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N . (2)log aMN＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(4)换底公式log a b ＝log m blog m a (a >0且a ≠1，b >0，m >0，且m ≠1).必记结论1．指数式与对数式互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N . 2．对数运算的一些结论：①log am b n ＝nm log a b .②log a b ·log b a ＝1.③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .易误提醒 在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M ＞0.[自测练习]1．(2015·临川一中模拟)计算⎝⎛⎭⎫lg 1125－lg 82÷4－12＝________. 解析：本题考查指数和对数的运算性质．由题意知原式＝(lg 5－3－lg 23)2÷2－1＝(－3lg 5－3lg 2)2×2＝9×2＝18.答案：18 2．lg427－lg 823＋lg 75＝________. 解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：12知识点二 对数函数定义、图象与性质定义函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫作对数函数图 象a >10<a <1性 质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)当0<x <1时， y ∈(－∞，0)； 当x >1时， y ∈(0，＋∞) 当0<x <1时， y ∈(0，＋∞)； 当x >1时， y ∈(－∞，0) 在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数易误提醒 解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域． (2)对数底数的取值范围． 必记结论1．底数的大小决定了图象相对位置的高低；不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．[自测练习]3．已知a ＞0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有B. 答案：B4．函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．解析：(1)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝1，所以a ＝2. (2)当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 24＝1，所以a ＝12.由(1)(2)知a ＝2或a ＝12.答案：2或12考点一 对数式的化简与求值|1．(2015·内江三模)lg51 000－823＝( )A.235 B ．－175 C ．－185 D ．4 解析：lg 51 000－823＝lg 1035－(23)23＝35－4＝－175.答案：B2.(log 23)2－4log 23＋4＋log 2 13＝( )A ．2B ．2－2log 2 3C ．－2D ．2log 2 3－2解析：(log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2＝2－log 23，又log 213＝－log 23，两者相加即为B.答案：B3．(2015·高考浙江卷)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 解析：原式＝2log 4 3＋2－log 4 3＝3＋13＝433.答案：433对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考点二 对数函数图象及应用|(1)(2016·福州模拟)函数y ＝lg |x －1|的图象是( )[解析] 因为y ＝lg |x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x ＞1，lg (1－x )，x ＜1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意． [答案] A(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] 法一：构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，可知，f ⎝⎛⎭⎫12＜g ⎝⎛⎭⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.法二：∵0＜x ≤12，∴1＜4x ≤2，∴log a x ＞4x ＞1，∴0＜a ＜1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有412＝2，log 12 12＝1，显然4x ＜log a x 不成立，排除选项A.[答案] B应用对数型函数的图象可求解的两类问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：作出f (x )的大致图象，不妨设a ＜b ＜c ，因为a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，由函数的图象可知10＜c ＜12，且|lg a |＝|lg b |，因为a ≠b ，所以lg a ＝－lg b ，可得ab ＝1，所以abc ＝c ∈(10,12)．答案：C考点三 对数函数性质及应用|已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集． [解] (1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数， 所以f (x )＞0⇔x ＋11－x ＞1，解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1)．利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．2．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，求实数a 的取值范围．解：当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数， 由f (x )＞1恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－2a )＞1， 解之得1＜a ＜83.若0＜a ＜1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函数， 由f (x )＞1恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－a )＞1， 且8－2a ＞0，∴a ＞4，且a ＜4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83. 5.插值法比较幂、对数大小【典例】 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.3 0.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b(2)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝⎛⎭⎫15log 30.3，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b(3)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞a ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b[思路点拨] (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 3 0.3＝log 3 103的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解． [解析] (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5＜0.50.5＜10.5＝1，即b ＜a ＜1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性， 可得log 0.30.2＞log 0.30.3＝1，即c ＞1. 所以b ＜a ＜c .(2)c ＝⎝⎛⎭⎫15log 3 0.3＝5－log 3 0.3＝5log 3 103. 法一：在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2 x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知： log 2 3.4＞log 3 103＞log 43.6. 法二：∵log 3 103＞log 33＝1，且103＜3.4， ∴log 3103＜log 3 3.4＜log 2 3.4. ∵log 4 3.6＜log 4 4＝1，log 3103＞1，∴log 4 3.6＜log 3 103. ∴log 2 3.4＞log 3103＞log 4 3.6. 由于y ＝5x 为增函数，∴5log 2 3.4＞5log 3103＞5log 4 3.6. 即5log 2 3.4＞⎝⎛⎭⎫15log 3 0.3＞5log 4 3.6，故a ＞c ＞b . (3)因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称， 所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时， [xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＜0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减； 因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减． 因为1＜20.2＜2,0＜log π3＜1，log 39＝2，所以0＜log π 3＜20.2＜log 3 9，所以b ＞a ＞c ，选A. [答案] (1)C (2)C (3)A[方法点评] (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[跟踪练习] 设a ＞b ＞0，a ＋b ＝1且x ＝⎝⎛⎭⎫1a b，y ＝log ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ab ，z ＝log 1b a ，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ．y ＜x ＜zB ．z ＜y ＜xC ．y ＜z ＜xD ．x ＜y ＜z解析：用中间量比较大小．由a ＞b ＞0，a ＋b ＝1，可得0＜b ＜12＜a ＜1，所以1b ＞2＞1a ＞1，所以x ＝⎝⎛⎭⎫1a b＞1，y ＝log ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ab ＝log ⎝⎛⎭⎫1ab ab ＝－1,0＞z ＝log 1b a ＞log 1bb ＝－1，则y＜z ＜x ，故选C.答案：CA 组 考点能力演练1．函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )解析：由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x ＞0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x ＜0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位即得f (x )的图象，结合图象知选A.答案：A2．设a ＝30.5，b ＝0.53，c ＝log 0.5 3，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：因为a ＝30.5＞30＝1,0＜b ＝0.53＜0.50＝1，c ＝log 0.5 3＜log 0.5 1＝0，所以c ＜0＜b ＜1＜a ，故选C.答案：C3．(2015·郑州二检)若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6 (a ＋b )，则1a ＋1b 的值为( )A ．36B ．72C ．108D.172解析：设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k ，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝6k 2k －23k －3＝108.所以选C. 答案：C4．(2015·长春质检)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)＜f (－2)＜f (1) B ．f (1)＜f (－2)＜f (3) C ．f (－2)＜f (1)＜f (3) D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)解析：因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)． 又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)． 答案：B5．已知函数f (x )＝log 2 ⎝⎛⎭⎫21－x ＋t 是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：由f (－x )＝－f (x )得log 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x ＋t ＝－log 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋t ，所以21＋x ＋t ＝121－x ＋t，整理得1－x 2＝(2＋t )2－t 2x 2，可得t 2＝1且(t ＋2)2＝1，所以t ＝－1，则f (x )＝log 21＋x1－x＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋x1－x＞01＋x 1－x ＜1，解得－1＜x ＜0.答案：A6．(2015·深圳一模)lg 2＋lg 5＋20＋⎝⎛⎭⎫5132×35＝________. 解析：lg 2＋lg 5＋20＋⎝⎛⎭⎫5132×35＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝132. 答案：1327．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵a 2＋1＞1，log a ()a 2＋1＜0，∴0＜a ＜1. 又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.答案：⎝⎛⎭⎫12，18．(2015·成都摸底)关于函数f (x )＝lg x 2＋1x，有下列结论： ①函数f (x )的定义域是(0，＋∞)；②函数f (x )是奇函数；③函数f (x )的最小值为lg 2；④当x ＞0时，函数f (x )是增函数．其中正确结论的序号是________(写出所有你认为正确的结论的序号)．解析：函数f (x )＝lg x 2＋1x的定义域为(0，＋∞)，其为非奇非偶函数，即得①正确，②不正确；由f (x )＝lg x 2＋1x ＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥lg ⎝⎛⎭⎫2 x ×1x ＝lg 2，得③正确；函数u ＝x ＋1x 在x ∈(0,1)时为减函数，在x ∈(1，＋∞)时为增函数，函数y ＝lg u 为增函数，所以函数f (x )在x ∈(0,1)时为减函数，在x ∈(1，＋∞)时为增函数，即得命题④不正确．故应填①③.答案：①③9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，∴函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，求a的取值范围．解：由已知f (x )＝log a x ，当0＜a ＜1时，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13－|f (2)|＝log a 13＋log a 2＝log a 23＞0， 当a ＞1时，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13－|f (2)|＝－log a 13－log a 2＝－log a 23＞0，故⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13＞|f (2)|总成立．则y ＝|f (x )|的图象如图． 要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ， 当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3； 当0＜a ＜1时，得a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)． B 组 高考题型专练1．(2014·高考福建卷)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )解析：由y ＝log a x 的图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.对于选项A ：y ＝3－x ＝⎝⎛⎭⎫13x 为减函数，A 错误；对于选项B ：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C ：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误；对于选项D ：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.答案：B2．(2014·高考山东卷)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1解析：由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a ＜1.又当x ＝0时，y ＞0，即log a c ＞0，所以0＜c ＜1.答案：D3.(2015·高考北京卷)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2 (x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：在平面直角坐标系中作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象如图所示．所以f (x )≥log 2 (x ＋1)的解集是{x |－1＜x ≤1}，所以选C.答案：C4．(2015·高考浙江卷)log 2 22＝________，2log 2 3＋log 4 3＝________. 解析：log 222＝log 22－12＝－12，2log 2 3＋log 4 3＝232log 2 3＝2log 2 332＝27＝3 3. 答案：－12 3 3 5．(2015·高考北京卷)2－3,312，log 25三个数中最大的数是________． 解析：因为2－3＝123＝18，312＝3≈1.732，而log 24＜log 25，即log 25＞2，所以三个数中最大的数是log 25.答案：log 25。

对数及对数函数复习导学案【高考要求】对数函数（B ）【教学目标】1. 理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式,知道一般对数可以转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数模型的实际案例；了解对数函数的概念；理解对数函数的性质,会画对数函数的图象.3.了解指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数（a > 0,a ≠1）（不要求一般地讨论反函数的定义,不要求求已知函数的反函数）.【教学重难点】对数函数的性质及其应用【知识梳理】1.对数（1）对数的定义：（2）指数式与对数式的等价关系为： .两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a （MN ）= ②log aNM = ③log a M n = （M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N = （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.（4）特别的 a a log = 1log a =2.对数函数（1）对数函数的定义（2）对数函数的图象※底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 轴对称.（3）对数函数的性质:①定义域：②值域：③过点 ，即当x = 时，y = .④当a ＞1时，在 上是增函数；当0＜a ＜1时，在 上是减函数.【自学质疑】1. 已知35,a b m ==且112,a b+=则m =2. 已知()log (1)(0,1),a f x x a a =->≠那么()f x 的定义域为 ，当(0,1)a ∈时，()f x 为 （填增、减函数）；当(0,1)a ∈，且x ∈ 时，()0f x <3. 已知[]732log log (log )0,x =则1x -=4. 设函数2log (1),2()1()1,22x x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若0()1f x >，则0x ∈ 【交流展示与互动探究】例1、（1）求值11lg 9lg 24021;2361lg 27lg 35+-+-+（2）已知23log 3,log 7,m n ==求42log 56变式：计算：15log 25= ；1lg9lg 22100-= 例2、当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -≤恒成立，则a ∈【迁移应用】1、若0.70.7 1.1log 0.8,log 0.8, 1.1,a b c ===则,,a b c 的大小关系是2、若函数22()log f x x =的值域是[]0,1,则()f x 的定义域是3、设0,1,a a >≠函数2lg(23)()x x f x a -+=有最大值，则不等式2log (57)0a x x -+>的解集为4、若函数2()lg(21)f x ax x =++的定义域是R ，则实数a 的取值范围 ；若函数2()lg(21)f x ax x =++的值域是R ，则实数a 的取值范围 ；5、（20XX 年陕西数学文3）若a 、b 、c 均为不等于0的实数，则下列等式恒成立的是（ ）A ．b a log b c log =a c log B. b a log a c log =b c logC ．)(log bc a =b a log c a log D. )(log c b a +=b a log +c a log。

第六节 对数与对数函数[考纲传真] (教师用书独具)1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．(对应学生用书第22页)[基础知识填充]1．对数的概念如果a (a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数． 2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R 且m ≠0)． (2)对数的性质①a log a N ＝N ；②log a a N＝N (a ＞0，且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的定义、图像与性质定义 函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫作对数函数图像a ＞1 0＜a ＜1性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数4.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．[知识拓展] 对数函数的图像与底数大小的比较多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y＝1交点的横坐标进行判定．如图2­6­1，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.图2­6­1[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．( )(2)log2x2＝2log2x.( )(3)当x＞1时，log a x＞0.( )(4)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )(5)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图像不在第二、三象限．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(log29)·(log34)＝( )A ．14 B ．12 C ．2D ．4D [原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.]3．已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2－13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＞log 1212＝1，∴c ＞a ＞b .]4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．] 5．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，a ≠1)的图像恒过的定点是________．(2,2) [当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，a ≠1)的值为2，所以图像恒过定点(2,2)．](对应学生用书第23页)对数的运算(1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A ．10B ．10C ．20D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. 【导学号：79140049】(1)A (2)－20 [(1)∵2a ＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m ＝10.(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 122·52×10＝(lg 10－2)×10＝－2×10＝－20.][规律方法] 对数运算的一般思路 1拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并. 2合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 3转化：a b＝N ⇔b ＝log a N a ＞0，且a ≠1是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.[跟踪训练] (1)(2018·云南二检)已知函数f (x )＝lg(1＋4x 2－2x )＋1，则f (3)＋f (－3)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2(2)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________.(1)D (2)54 [(1)f (3)＋f (－3)＝lg(37－6)＋lg(37＋6)＋2＝lg[(37－6)(37＋6)]＋2＝lg 1＋2＝2，故选D ．(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.]对数函数的图像及应用(1)(2017·广东韵关南雄模拟)函数f (x )＝x a满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图像大致为( )(2)(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x－a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140050】(1)C (2)(1，＋∞) [(1)法一：∵f (2)＝4，∴2a＝4，解得a ＝2，∴g (x )＝|log 2(x＋1)|＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，－log 2(x ＋1)，－1＜x ＜0，∴当x ≥0时，函数g (x )单调递增，且g (0)＝0；当－1＜x ＜0时，函数g (x )单调递减．故选C ．法二：由f (2)＝4，即2a＝4得a ＝2，∴g (x )＝|log 2(x ＋1)|，函数g (x )是由函数y ＝|log 2x |向左平移一个单位得到的，只有C 项符合，故选C ．(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图像，其中a 表示直线在y 轴上截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．][规律方法] 利用对数函数的图像可求解的两类问题 1对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性单调区间、值域最值、零点时，常利用数形结合思想求解.2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解. a 则下列结论成立的是( )图2­6­2A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0＜a ＜1，∵图像与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c ＜1.]对数函数的性质及应用◎角度1 比较对数值的大小(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( ) A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c＜b cD ．c a＞c bB [∵0＜c ＜1，∴当a ＞b ＞1时，log a c ＞log b c ，A 项错误； ∵0＜c ＜1，∴y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，又a ＞b ＞0， ∴log c a ＜log c b ，B 项正确；∵0＜c ＜1，∴函数y ＝x c在(0，＋∞)上单调递增， 又∵a ＞b ＞0，∴a c＞b c，C 项错误；∵0＜c ＜1，∴y ＝c x 在(0，＋∞)上单调递减， 又∵a ＞b ＞0，∴c a＜c b ，D 项错误．] ◎角度2 解简单的对数不等式若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，当g (lg x )＞g (1)时，则x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞) [当g (lg x )＞g (1)时，f (|lg x |)＞f (1)，由f (x )为增函数得|lg x |＞1，从而lg x ＞1或lg x ＜－1，解得0＜x ＜110或x ＞10.]◎角度3 探究对数型函数的性质已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3， 函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.[规律方法] 对数值大小比较的主要方法 1化同底数后利用函数的单调性. 2化同真数后利用图像比较. 3借用中间量0或1等进行估值比较.易错警示：利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，注意对数性质的正用、逆用、变形用. [跟踪训练] (1)已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝2＋log 213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．(1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 [(1)a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c ，故选B ．(2)当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－2a )＞1，故1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是增函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－a )＞1，即a ＞4，且8－2a ＞0，a ＜4，显然这样的a 不存在．故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.]。

第9节对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数.知识梳理1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [常用结论与微点提醒] 1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log ba ；(2)log a mb n ＝nm log a b .其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错.(4)当x ＞1时，log a x ＞log b x ，但a 与b 的大小不确定，故(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(必修1P73T3改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b . 答案 D3.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D4.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C5.计算：log 222＝________；2log 23＋log 43＝________.解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12； 2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.答案 －12 3 3考点一 对数的运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.(2)(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2xD.3y <2x <5z解析 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5. ∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z . 答案 (1)－20 (2)D规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】 (1)(2016·浙江卷)已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.(2)(2018·日照调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.8解析 (1)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52， 所以t ＝2，则a ＝b 2. 又a b＝b a，所以b 2b＝b b2，即2b ＝b 2，解得b ＝2，a ＝4.(2)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24. 答案 (1)4 2 (2)A考点二 对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2018·郑州一模)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)(2018·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距.由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点.答案 (1)B (2)(1，＋∞)规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 (1)(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( ) A.0<a －1<b <1 B.0<b <a －1<1 C.0<b －1<a <1 D.0<a －1<b －1<1(2)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为()A.3B.2C.1D.0解析(1)由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，又y＝2x＋b－1在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，即log a a－1<log a b<log a1，所以，a－1<b<1.综上有0<a－1<b<1.(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示.∵f(2)＝2ln 2>g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.答案(1)A(2)B考点三对数函数的性质及应用(多维探究)命题角度1比较对数值的大小【例3－1】(2016·全国Ⅰ卷)若a>b>0，0<c<1，则()A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c<b cD.c a>c b解析由y＝x c与y＝c x的单调性知，C，D不正确；∵y＝log c x是减函数，得log c a<log c b，B正确；log a c＝lg clg a，log b c＝lg clg b，∵0＜c＜1，∴lg c＜0.又a＞b＞0，∴lg a＞lg b，但不能确定lg a，lg b的正负，∴log a c与log b c的大小不能确定.答案 B命题角度2 解对数不等式【例3－2】 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)解析 由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 C命题角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎨⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A.a >c >b B.b >c >a C.c >b >aD.c >a >b(2)(2018·长春模拟)若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )有最小值12，则实数a 的值等于________.解析 (1)a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1， 又c ＝log 23>log 22＝1， 所以c 最大.由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)令g (x )＝x 2－26x ＋a ，则f (x )＝log a [g (x )]. ①若a >1，由于函数f (x )有最小值12， 则g (x )应有最小值a ，而g (x )＝x 2－26x ＋a ＝(x －6)2＋a －6，当x ＝6时，取最小值a －6， 因此有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ＝a －6，解得a ＝9.②若0<a <1，由于函数f (x )有最小值12， 则g (x )应有最大值a ，而g (x )不存在最大值，不符合题意，综上，实数a ＝9. 答案 (1)D (2)9基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·濮阳检测)“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 log 2(2x －3)<1⇔32<x <52.又4x >8⇔x >32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，故“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的充分不必要条件. 答案 A2.设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10B.10C.20D.100解析 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.答案 A3.(2018·成都诊断)函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )解析 由f (2)＝2a ＝4，得a ＝2.所以g (x )＝|log 2(x ＋1)|，则g (x )的图象由y ＝|log 2x |的图象向左平移一个单位得到，C 满足.答案 C4.(2018·广东省际名校联考)已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≤0时，f (x )＝1e x ＋k (k 为常数)，则f (ln 5)的值为( )A.4B.－4C.6D.－6解析 易知函数f (x )是奇函数，故f (0)＝e 0＋k ＝1＋k ＝0，即k ＝－1， 所以f (ln 5)＝－f (－ln 5)＝－(e ln 5－1)＝－4.答案 B5.已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A.(a －1)(b －1)<0B.(a －1)(a －b )>0C.(b －1)(b －a )<0D.(b －1)(b －a )>0解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1.由log a b >1得log a b a >0.∴a >1，且b a >1或0<a <1且0<b a<1， 则b >a >1或0<b <a <1.故(b －a )(b －1)>0.答案 D二、填空题6.lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 解析 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1. 答案 －17.(2018·山西康杰中学联考)设函数f (x )＝lg(x 2－x )－lg(x －1)，且f (x 0)＝2，则x 0＝________.解析 易知x >1，且f (x )＝lg(x 2－x )－lg(x －1)＝lg x ，∴f (x 0)＝lg x 0＝2，则x 0＝100. 答案 1008.若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________.解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).答案 (0，＋∞)三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1，3).(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ). 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4).又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·合肥调研)已知函数f (x )＝ln(a x ＋b )(a >0且a ≠1)是R 上的奇函数，则不等式f (x )>a ln a 的解集是( )A.(a ，＋∞)B.(－∞，a )C.当a >1时，解集是(a ，＋∞)，当0<a <1时，解集是(－∞，a )D.当a >1时，解集是(－∞，a )，当0<a <1时，解集是(a ，＋∞)解析 依题意，f (0)＝ln(1＋b )＝0，解得b ＝0，于是f (x )＝ln a x ＝x ln a .∴f (x )>a ln a ⇔x ln a >a ln a .当a >1时，x >a ；当0<a <1时，x <a .答案 C12.(2018·九江七校联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，则a 2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4，4).答案 [－4，4)13.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ). ∴f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数. (2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）恒成立， ∴x ＋1x －1>m （x －1）（7－x ）>0， ∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立.令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减，即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0，7).。

2019-2020学年高考数学一轮复习 对数和对数函数教案教学内容学习指导 即使感悟 【学习目标】1、理解对数的概念及其运算性质。

2、理解对数函数的概念和性质。

并能利用对数函数的图像研究性质。

3、使学生形成“自主学习”与“合作学习”的良好习惯。

【学习重点】对数函数的图形和性质。

x【学习难点】对数函数的图像和性质及应用。

【回顾预习】 一回顾知识： 1、对数(1)定义：一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做 ，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 ． （2）、几种常见对数 对数形式 特点 记法一般对数 以a (a ＞0，且a ≠1)为底的对数自然对数 以 为底的对数常用对数 以 为底的对数（3）对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN )＝ ②nma log ＝ ； ③log a M n ＝ (n ∈R )；④nm b a log ＝ ⑤=n a a log ；⑥log a a N ＝ ⑦换底公式：=N M log 2、对数函数图像 1>a 10<<a定义域 值域过定点 单调性回顾知识3、对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)和指数函数互为反函数，它们的图象在同一坐标系中关于直线 对称． 基础自测：1．以下等式(其中a ＞0，且a ≠1；x ＞y ＞0)：①log a 1＝0；②log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；③log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y ；④log a a ＝1⑤()yaxa y x alog log log =-⑥()y x a yxa -=log log 其中正确命题的个数是 ( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．(2009年湖南卷)若log 2a ＜0，121>⎪⎭⎫⎝⎛b则 ( D )A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜03已知111222log log log b a c <<,则 ( A )A.222b a c >>B.222a b c >>C.222c b a >>D.222c a b>> 4、()2321log -=x y 函数的定义域是 ⎥⎦⎤⎝⎛1，32【自主合作探究】 例1、计算：（1）222(lg 2)lg 2lg5(lg 2)lg 21++-+； =1（2）321lg5(lg8lg1000)(lg 2)lg lg 0.066++++. =1例2、已知函数1()log 1axf x x+=-(0,1)a a >≠(1)求()f x 的定义域; (2)讨论()f x 的单调性;(3)求使()0f x 的x 的取值范围.解析：（1）(1+x)/(1-x)>0 (x+1)/(x-1)<0 ∴-1<x<1定义域为(-1,1)（2）f(x)+f(-x)=loga[(1+x)/(1-x)+loga[(1-x)/(1+x)] =loga[(1+x)/(1-x)*(1-x)/(1+x)] =loga(1)=0 ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数t=(1+x)/(1-x)=[2-(1-x)]/(1-x) =-1+2/(1-x)=x ∈(-1,1)时，x 增大，1-x 递减， 1/(1-x)递增，-1+1/(1-x)递增 ∴t=(1+x)/(1-x)是增函数 当a>1时，y=logat 递增，f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]是增函数 当0<a<1时，y=logat 是减函数∴ f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]是减函数 例3、已知f (x )＝log 4(2x ＋3－x 2)，求： (1)求函数的定义域（2）求函数f (x )的单调区间； 解：（1）∵∴-1＜x ＜3∴函数f （x ）的定义域为（-1，3）（2）函数f （x ）在（-1，1）上单调递增；函数f （x ）在（1,3）上单调递减。

对与对函一、知识梳：（阅读教材必修1第62页—第76页）1、对与对的运算性质（1）、一般地，如果 (a>0,且) 那么x叫做以a为底的对，记做x= ,其中a叫做对的底，叫做对的真。

（2）、以10为底的对叫做常用对，并把记为lgN, 以e为底的对称为自然对，并把记为lnN.（3）、根据对的定义，可以得到对与指和关系：（4）、零和负没有对； =1； =0；=N（5）、对的运算性质：如果，M>0,N>0 ，那么=+==n（n）换底公式：=对恒等式：=N2、对函与对函的性质（1）、一般地，我们把函f(x)=)叫做对函，其中x是自变量，函的定义域是（0，+。

（2）、对函的图象及性质图象的性质：①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a1 与a<1两种情况。

3、反函：对函f(x)=)与指函f(x)=)互为反函。

原函的定义域是反函的值域，原函的值域是反函的定义域。

互为反函的图象在同一坐标系关于直线y=x 对称。

【关于反函注意大纲的要求】二、题型探究 探究一：对的运算例1：（15年安徽文科）=-+-1)21(2lg 225lg 。

【答案】-1 【解析】试题分析：原式＝12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+- 考点：对运算.例2：【2014辽宁高考】已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>例3：【2015高考浙江】若4log 3a =，则22a a -+= ． 【答案】334.【考点定位】对的计算 探究二：对函及其性质例4：【2014江西高考】函)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ） A.)1,0( B. ]1,0[ C. ),1()0,(+∞-∞ D.),1[]0,(+∞-∞例5：下列关系 中，成立的是 （A ）、lo>> (B) >> lo (C) lo> > (D) lo>探究三、应用对函的单调性解方程、不等式问题例7：【15年天津文科】已知定义在R 上的函||()21()x m f x m -=-为实数为偶函,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D)b c a <<【答案】B 【解析】试题分析：由()f x 为偶函得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函奇偶性；2.对运算.例8：【2014陕西高考】已知,lg ,24a x a ==则x =________.三、方法提升： 1、处对函问题时要特别注意函的定义域问题，尤其在大题中【最后的导题】，一定要首先考虑函的定义域，然后在定义域中研究问题，以避免忘记定义域出现错误； 2、在2015年高考小题中，考察主要是针对对的大小比较、指与对的关系，中档难度。

2019-2020年高三数学一轮复习 对数与对数函数1（学生）导学案 新人教版一、学习目标：（1）理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数及相应的对数式的化简。

（2）理解对数函数的概念，体会对数函数是另一类重要的函数模型，掌握对数函数的单调性与特殊点。

二、自主学习：1．计算：（1）= ；（2）1324lg 2493-= （3）= （4）=2．设，且，则3. 方程的解是4.已知，则 ; 已知=5. 已知，那么等于 ;三、合作探究例1 设，，且，求的最小值．例2．设、、为正数，且满足．（1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b+-+++= （2）若，，求、、的值．例3．比较与的大小。

log log ()a a x x a 2122<<变式： 若，且，，都是正数，试比较，，的大小．四、课堂总结（1）对数与对数运算：1．； 2.. 3.，.4.当0,0,1,0>>≠>N M a a 时：()(1)log log log a a a MN M N =+(2)log log log a a a M M N N ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； .5.换底公式： ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .6. .（2）不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；重视指数式与对数式的互化； 运用对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．五、检测巩固1. 若(a>0) ，则2． 已知，下面四个等式中：①；②； ③ ； ④．其中正确命题的个数为 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. （xx 年山东文科卷）已知，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++的值等于 ．4. 已知，且1log (1),log ,1a a x m n x+==-等于（ ） A ． B ． C ． D ．5. 设且那么等于（ ）A ．B ．C ．D ．.。

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节对数与对数函数学案文含解析新人教A 版第六节 对数对数函数2019考纲考题考情1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

(2)几种常见对数(1)对数的性质 ①alog aN＝N (a >0且a ≠1，N >0)。

②log a a N＝N (a ＞0，且a ≠1)。

(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零，且不等于1，N >0)。

②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。

(3)对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N 。

②log a M N＝log a M －log a N 。

③log a M n＝n log a M (n ∈R )。

④log am M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R )。

3．对数函数的图象与性质4.y ＝a x与y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的关系指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称。

1．指数与对数的等价关系：a x＝N ⇔x ＝log a N 。

2．换底公式的三个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log am b n＝n mlog a b ；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。

3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。

第9讲对数与对数函数课前双击巩固1.对数概念如果a x=N(a>0且a≠1),那么x叫作以a为底N的,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数,logaN叫作对数式性质底数的限制:a>0且a≠1对数式与指数式的互化:a x=N⇔负数和零没有loga1=logaa=1对数恒等式:=运算性质loga(M·N)=a>0且a≠1,M>0,N>0loga=logaM n=(n∈R)换底公式换底公式:logab=(a>0且a≠1,c>0且c≠1,b>0)推论:lo b n=,logab=2.对数函数的概念、图像与性质概念函数y=logax(a>0,a≠1)叫作函数底数a>10<a<1图像定义域值域性质过定点,即x=1时,y=0在区间(0,+∞)上是函数在区间(0,+∞)上是函数3.反函数指数函数y=a x(a>0且a ≠1)与对数函数互为反函数,它们的图像关于直线对称.常用结论1.指数与对数的等价关系:a x=N ⇔x=log a N.2.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x 对称.3.只有在定义域上单调的函数才存在反函数.题组一常识题1.[教材改编]化简log a b log b c log c a 的结果是.2.[教材改编]设a=,b=,c=log 32,则a ,b ,c 的大小关系是.3.[教材改编]若函数y=f 是函数y=2x的反函数,则f=.4.[教材改编]函数y=lo (x 2-4x+5)的单调递增区间是.题组二常错题◆索引:对数的性质及其运算掌握不到位;记混对数函数的定义域;对数函数的性质不能充分运用;忽略对底数的讨论致误.5.有下列结论:①lg=0;②lg =0;③若lg x=1,则x=10;④若log 22=x ,则x=1;⑤若log m n ·log 3m=2,则n=9.其中正确结论的序号是.6.函数f (x )=log 2(2-x )的定义域是.7.设a=,b=log 9,c=log 8,则a ,b ,c 的大小关系是.8.函数y=log a x (a>0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a=.课堂考点探究探究点一对数式的化简与求值1(1)已知2log a (M-2N )=log a M+log a N ,则的值为.(2)已知2a =5b=10,则+=.[总结反思](1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形.(2)利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.式题(1)求值:=.(2)设函数f (x )=3x+9x,则f (log 32)=.探究点二对数函数的图像及应用2(1)[2017·成都九校联考]函数y=ln cos x -<x<的大致图像是()图2-9-1(2)已知函数f (x )=x 2-log m x 在0,上恒有f (x )<0成立,则实数m 的取值范围为.[总结反思](1)在研究对数函数图像时一定要注意其定义域,注意根据基本的对数函数图像作出经过平移、对称变换得到的函数的图像.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.式题(1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时,f (x )=ln(x+1),则函数f (x )的大致图像为()图2-9-2(2)函数f (x )=2x|log 0.5x|-1的零点个数为()A .1B .2C .3D .4探究点三对数函数的性质及应用考向1比较大小3(1)[2017·鹰潭二模]已知a=log 0.34,b=log 43,c=0.3-2,则a ,b ,c 的大小关系是()A .c<a<bB .b<a<cC .a<c<bD .a<b<c(2)[2017·德州二模]设a=log 36,b=log 48,c=log 510,则()A .a>b>cB .b>c>aC .a>c>bD .b>a>c[总结反思]比较对数式的大小,一是将对数式转化为同底的形式,再根据对数函数的单调性进行比较,二是采用中间值0或1等进行比较,三是将对数式转化为指数式,再将指数式转化为对数式,通过巡回转化进行比较.考向2解简单对数不等式4(1)已知0<a<1,0<b<1,若<1,则x 的取值范围为.(2)设函数f (x )=若f (a )<f (-a ),则实数a 的取值范围是.[总结反思]对于形如log a f (x )>b 的不等式,一般转化为log a f (x )>log a a b,再根据底数的范围转化为f (x )>a b 或0<f (x )<a b.而对于形如log a f (x )>log b g (x )的不等式,一般要转化为同底的不等式来解.考向3对数函数性质的综合问题5(1)若函数f (x )=lo (-x 2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)上单调递增,则实数m 的取值范围为()A .B .C .D .(2)[2017·宜春中学、新余四中联考]已知函数f (x )=若f (x )的值域为R,则实数a 的取值范围是()A .(1,2]B .(-∞,2]C .(0,2]D .[2,+∞)[总结反思]利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.强化演练1.【考向1】已知a=log 23+log 2,b=log 29-log 2,c=log 32,则a ,b ,c 的大小关系是()A .a=b<cB .a=b>cC .a<b<cD .a>b>c2.【考向1】若实数a ,b ,c 满足log a 2<log b 2<log c 2,则下列关系中不可能成立的是()A .a<b<cB .b<a<cC .c<b<aD .a<c<b3.【考向2】已知f (x )是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,若f (lg x )>f (2),则x 的取值范围是()A .B .∪(1,+∞)C .D .(0,1)∪(100,+∞)4.【考向3】若函数f (x )=log a (ax-3)在[1,3]上单调递增,则a 的取值范围是()A .(1,+∞)B .(0,1)C .D .(3,+∞)5.【考向3】函数f (x )=log 2·lo (2x )的最小值为.。

板块一.对数运算题型一：对数的定义与对数运算【例1】 ⑴将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：①45625=；②61264-=；③1 5.733m⎛⎫= ⎪⎝⎭；④12log 164=-；⑤lg 0.012=-；⑥ln10 2.303=.⑵求下列各式中x 的值：①642log 3x =-；②log 86x =；③lg100x =；④2ln e x -=.【答案】⑴①5log 6254=；②21log 664=-；③13log 5.73m =；④41()162-=；⑤2100.01-=； ⑥ 2.30310e =. ⑵①()2232331644416x ---====；②68x =，又0x >，∴11136628(2)22x ====； ③21010010x ==，∴2x =；④2x e e -=，∴2x =-.【例2】 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=；（2）2log 1287=；（3）lg 0.012=-； （4）ln10 2.303=【答案】（1）16)21(4=-（2）72128=；（3）2100.01-=；（4）303.2e =10【例3】 已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）.A. 1B. 2C. 8D. 12【解析】 A【例4】 计算：()2151515log 5log 45log 3⋅+【答案】1【例5】 若2510a b ==，则11a b+= . 【答案】1【例6】 求下列各值：⑴221log 36log 32-；⑵3log 3；⑶lg1；⑷3log 53；⑸3log 59；⑹3log 33；⑺33log 3；⑻22(lg5)lg2lg25(lg2)+⋅+；⑼827log 9log 32⋅.【答案】⑴1；⑵12；⑶0；⑷5；⑸25；⑹9；⑺32；⑻1；⑼109对数与对数函数【例7】 求值：⑴2572lg3lg7lglg 94++-；⑵；⑷32516log 4log 9log 5⋅⋅.【答案】⑴2，⑵5312题型二：对数运算法则的应用【例8】 求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a MM N N-=. 【例9】 试推导出换底公式：log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）. 【例10】 已知32a =，用 a 表示33log 4log 6- 【答案】1a -【例11】 已知3log 2a =，35b =用a b ，表示3log 【答案】1(1)2a b ++【例12】 设,,x y z 均为实数，且34x y =，试比较3x 与4y 的大小. 【答案】34x y >题型三：对数方程【例13】 求底数：（1）533log -=x , （2）872log =x【答案】（1）353-=x ，（2）2=x【例14】 证明：b xxa ab a log 1log log +=【例15】 设a 为实常数，解关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-.【答案】当a ≤1或4133<<a 时方程无实根； 当1＜a ≤3或413=a 时方程有一实根分别为24135a x --=或25=x ； 当4133<<a 时，方程有两个实根24135a x -±= 板块二.对数函数题型一 对数函数的基本性质【例16】 图中的曲线是log a y x =的图象，已知a43，310，15，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A. 2，43，15，310 B. 2，43，310，15 C. 15，310，43，2 D. 43，2，310，15【答案】A【例17】 当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.A B C D 【答案】C【例18】 指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？【答案】两个函数图象关于直线y x =对称.【例19】 如果log 2log 20a b <<，那么a ，b 的关系及范围. 【答案】01b a <<<【例20】 比较下列各数大小：1．0.30.4log 0.7log 0.3与2．120.6 3.41log 0.8,log 0.73-⎛⎫⎪⎝⎭和3．0.30.2log 0.1log 0.1和【答案】1. 0.30.4log 0.7log 0.3<2.123.40.61log 0.7log 0.83-⎛⎫<< ⎪⎝⎭3.0.30.2log 0.1log 0.1>0 x C 1C 2 C 4C 3 1yxy1 1oxyo 1 1oyx11 oyx1 1题型二 对数型符合型复合函数的定义域值域【例21】 求下列函数的定义域：（1）y = (2)y 【答案】⑴{}0x x >， ⑵314x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤【例22】 求下列函数的定义域：⑴2log a y x =； ⑵log (4)a x -； ⑶y .【答案】⑴{|0}x x ≠⑵{|4}x x <⑶(12], 【例23】 求下列函数的定义域、值域：1．y =2．22log (25)y x x =++3．213log (45)y x x =-++4．y 【答案】1.定义域：11x -≤≤，值域：102y ≤≤。