3.2.2复数的乘法

3.2.2 复数的乘法 3.2.3 复数的除法教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.掌握共轭复数的性质． 知识链接知识点一 复数的乘法思考 怎样进行复数的乘法运算？【答案】两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可． 梳理 (1)复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，定义z 1z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. (2)复数乘法的运算律 ①对任意复数z 1，z 2，z 3，有②对复数z ，z 1，2121n2.(3)共轭复数的性质 设z 的共轭复数为z ，则： ①z ·z ＝|z |2＝|z |2. ②z 2＝(z )2. ③z 1·z 2＝z 1·z 2.知识点二 复数的除法法则思考 类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝(1＋3)(3＋2)(3－2)(3＋2)，你能写出复数的除法法则吗？【答案】设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)， 则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 梳理 (1)复数的倒数已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，如果存在一个复数z ′，使z ·z ′＝1，则z ′叫做z 的倒数，记作1z .(2)复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R 且c ＋d i≠0)．特别提醒：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)． 题型探究类型一 复数的乘除运算 例1 计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i. 解 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i ＝1＋i. (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝－2＋3i1＋2i＝(－2＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－2＋6)＋(3＋4)i 12＋22＝45＋75i.(4)方法一3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i＝(3＋2i )(2＋3i )－(3－2i )(2－3i )(2－3i )(2＋3i )＝6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i 13＝2i.方法二3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i (2－3i )2－3i －－i (2＋3i )2＋3i＝i ＋i ＝2i.反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把i 看作字母，类比多项式的乘法进行．(2)复数的除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，类比实数中的分母有理化进行． 跟踪训练1 计算： (1)(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)；(2)2＋3i3－2i；(3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i. 解 (1)原式＝(1－i)(1＋i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i. (2)原式＝(2＋3i )i (3－2i )i ＝(2＋3i )i2＋3i ＝i.(3)原式＝(i －2)(i －1)i －2＝i －1.类型二 共轭复数的性质及应用例2 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和． 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.反思与感悟 (1)z ·z ＝|z |2＝|z |2是共轭复数的常用性质．(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数． 跟踪训练2 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1. ①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋35i.类型三 i n 的周期性 例3 计算：(1)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)； (2)(－1＋3i )3(1＋i )6－－2＋i1＋2i；(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i . 解 (1)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i) ＝2(12－3i －4i ＋i 2)＋(28－4i －21i ＋3i 2) ＝47－39i.(2)原式＝(－1＋3i )3[(1＋i )2]3－(－2＋i )(1－2i )5＝(－1＋3i )3(2i )3－－2＋4i ＋i ＋25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋i 23－i ＝i －i ＝0. (3)原式＝(－23＋i )(1－23i )(1＋23i )(1－23i )＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 008＋0＝13i 1＋12＋(－i)1 008＝i ＋1. 反思与感悟 (1)i n 的周期性①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N ＋)． ②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N ＋)． (2)记住以下结果，可提高运算速度 ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i. ②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i. ③1i＝－i. ④设ω＝－12＋32i ，则ω2＝－12－32i ，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.跟踪训练3 计算：1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 012.解 ∵i 2＝－1，i 3＝i·i 2＝－i ，i 4＝(i 2)2＝1，i 5＝i 4·i ＝i ， ∴i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1且i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0， ∴1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 012＝1＋(i ＋i 2＋i 3＋i 4)×503＝1. 达标检测1．若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i【答案】B【解析】∵z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选B.2．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝m －i ，若z 1·z 2为纯虚数，则实数m 可以是( ) A ．i B ．i 2 C ．i 3 D ．i 4 【答案】B【解析】z 1·z 2＝(1＋i)(m －i)＝m ＋1＋(m －1)i. ∵z 1·z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＝0，m －1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，m ≠1， 得m ＝－1，∵i 2＝－1， ∴实数m 可以是i 2，故选B.3.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q 【答案】D【解析】由图可知z ＝3＋i.∴复数z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i 表示的点是Q (2，－1)．故选D.4．复数z 的共轭复数记作z .已知(1＋2i)(z －3)＝4＋3i ，则z ＝________. 【答案】5＋i【解析】∵(1＋2i)(z －3)＝4＋3i ， ∴z －3＝4＋3i 1＋2i ，z ＝3＋4＋3i1＋2i ，z ＝3＋(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3＋10－5i5＝5－i ，则z ＝5＋i.5．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·(z －3i)＝101－3i ，求z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i ，由z ·(z －3i)＝101－3i ，得z z －3z i ＝1＋3i ，即a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，所以z ＝－1或z ＝－1－3i.。

复数代数形式的乘除运算说课稿说课教师：张晶晶一教材分析1、教材的地位和作用《§3.2.2 复数代数形式的乘除运算》是高中数学选修2-2（人教A版）第三章的第二小节，其主要内容是复数代数形式的乘除运算。

前面已学习了《§3.1.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义》, 在此基础上，继续学习复数的乘除运算，让学生认识到实数集中的许多性质在复数集中仍然适用，同时也是对学习复数知识的加深和巩固。

它进一步揭示了虚数与实数辩证统一的关系，对培养学生类比学习的观点和转化的思想起到了一定的帮助作用，为提高学生的推理论证能力和解决问题的能力也起到了十分重要的作用。

2．教学重点与难点教学重点：复数代数形式的乘法与除法运算法则.教学难点：对复数除法运算法则的运用(分母实数化的问题)。

3. 教学目标（1）知识与技能：通过类比学习熟练掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，深刻体会复数的除法运算实质是分母实数化的问题。

（2）过程与方法：通过学生自学、兵教兵、探究等教学形式提高学生分析问题和解决问题的能力。

（3）情感与价值观：在教学中要注重培养学生思维的灵活性，辩证性和创新性，活跃课堂气氛，激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心。

二教法分析1、要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化，注意知识前后的联系，形成知识框架；其次要了解学生的现状和认知结构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。

2、根据上述教材分析和目标分析，在教学中采用“洋思模式”，以学生为主体，学生自学为核心构建课堂教学，培养问题意识，孕育创新精神，提出恰当的对学生的数学思维有适度启发的问题，引导学生自学，培养学生良好的学习方法。

3、“先学后教，当堂训练”：通过展示“自学指导”让学生阅读课本，小组内讨论，结合前面学习的知识来解决提出的问题，强化类比转化的思想。

3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：让学生体会自主学习自主探究提高运算能力的过程。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用一、课前预习（一）知识梳理1．复数乘法的运算法则（1）设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积为：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i（2)复数的乘法与多项式乘法是类似的，只是在运算过程中把的2i换成－1，然后实部、虚部分别合并即可.（3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任意z1 , z2 ,z3∈C,有2.共轭复数（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数（2）两个共轭复数的和、积是实数；两个共轭虚数的差是虚数。

3.复数代数形式的除法运算（1）．复数除法的运算法则(a＋bi)÷(c＋di)= （3）求两复数商的步骤在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di) (c＋di≠0)写成的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c－di，化简求得结果．（二）预习评估1．在复平面内，复数z ＝i(1＋2i)对应的点位于（B ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则Z i ＝(A )A ．2－iB ．2＋iC ．－2－iD ．－2＋i3.1-3i 的共轭复数是4．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2等于(D)A. 4＋2iB. 2＋4iC. 2－4iD. 4－2i5．设z ＝3＋i ，则 1Z等于( D )A.3＋iB. 3－iC. 311010i + D. 311010i - 二、新课导学学习探究探究任务一：复数代数形式的乘法运算规定，复数的乘法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++ =()()ac bd ad bc i -++ 即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可.问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i ）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i 2=1+2 i-1=2 i.变式：计算：（1）)（2）2(1)i -（3）(2)(12)i i i --探究任务二：共轭复数新知：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。