高三文科数学一轮单元卷：第十单元 三角函数、平面向量、解三角形综合 B卷

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题测试试题及答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ）A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 是周期为2π的函数C ．()f x 有对称轴D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点【答案】BD 【分析】先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】因为[][]()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=， 故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确. 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22()sin cos cos 2f x x x x =-=-， 因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而cos y u =-在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数， 故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故A 错误.由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确.若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈， 则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③， 由②③可得cos 2sin 20cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨+=-⎩， 故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π2a或32a π=.若π2a，则21116222f π⎛⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而2713131362226f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-+≠- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 若32a π=，则21913131362226f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-+≠- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾， 故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.2．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（ ）A ．ABC 是等边三角形B ．若23AC =A ，B ，C ，D 四点共圆 C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 533 【答案】AC 【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B ，再利用a b =，可知ABC 为等边三角形，从而判断A ；利用四点A ，B ，C ，D 共圆，四边形对角互补，从而判断B ；设AC x =，0x >，在ADC 中，由余弦定理可得2106cos x D =-，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求ABCD S 四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD ．【详解】由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===， 3(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，2sin ,sin B B =∴=， a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,)2B π∴∈，,3B ABC π∴=∴△是等边三角形，A 正确；B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补， 由A 正确知21,cos 32D D π∠==-，但由于1,3,DC DA AC ===2222221311cos 221332DC DA AC D DA DC +-+-===-≠-⋅⋅⨯⨯，∴B 不正确． C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，(106cos )cos 422ABC S θθ∴=⋅-=-△， 3sin 2ADC S θ=△，3sin 2ABCADCABCD S S Sθθ∴=+=-+四边形13(sin cos 2θθ=⋅-+，3sin()3πθ=-+(0,),sin()(3πθπθ∈∴-∈，3ABCD S <≤+四边形，∴C 正确，D 不正确； 故选：AC.． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．3．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =--C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.4．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．5．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0B ．该函数图象的对称轴方程是132x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()2cos 36x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，23T ππω∴==， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 16πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.0ϕπ<<，5666πππϕ∴-<-<，则62ππϕ-=，23πϕ∴=，()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确；对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，A 选项正确； 对于B 选项，由()36x k k Z πππ+=∈，解得()132x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是132x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；对于C 选项，当71,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3618x ππππ-≤+≤，所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．6．已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()αβ+= ）A ．cos α=B ．sin cos αα-=C ．34πβα-= D ．cos cos αβ= 【答案】BC 【分析】先根据4sin 25α=，判断角α的范围，再根据cos2α求cos α； 根据平方关系，判断sin cos αα-的值；利用公式cos()cos[()2]βααβα-=+-求值，并根据角的范围判断角βα-的值；利用公式()cos βα+和()cos βα-，联合求cos cos αβ.【详解】 ①因为4παπ≤≤，所以222παπ≤≤，又4sin 205α=>，故有22παπ≤≤，42ππα≤≤，解出2231cos 22cos 1cos cos 555αααα=-=-⇒=⇒=，故A 错误； ②()21sin cos 1sin 25ααα-=-=， 由①知：42ππα≤≤，所以sin cos αα>，所以sin cos 5αα-=，故B 正确； ③由①知：42ππα≤≤，而32ππβ≤≤，所以524παβπ≤+≤，又cos()0αβ+=<，所以5342ππαβ≤+≤，解得sin()10αβ+=-，所以34cos()cos[()2]55βααβα⎛⎛⎫-=+-=-+⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭又因为5342ππαβ≤+≤，22ππα-≤-≤-， 所以4πβαπ≤-≤，有34πβα-=，故C 正确；④由cos()cos cos sin sin 1010αβαβαβ+=-⇒-=-，由③知，cos()cos cos sin sin 2βααβαβ-=+=-，两式联立得：cos cos 10αβ=-，故D 错误． 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值4sin 25α=，确定22παπ≤≤，且cos()0αβ+=<，进一步确定5342ππαβ≤+≤，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.7．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->，于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.8．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误； 故选：AB 【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.二、数列多选题9．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式1122n nn a ⎡⎤⎛⎛-⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．10711S a =B ．2021201920182a a a =+C ．202120202019S S S =+D ．201920201S a =-【答案】AB【分析】选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可判断.选项D.由()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.【详解】因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为()()()()()123324354652122n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.故选：AB. 【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a = B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <【答案】ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=， 所以2n ≥时，2422n n n a -=⋅=， 令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和.。

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第十单元 三角函数、平面向量、解三角形综合注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若1sin 3α=，则cos2α=（ ）A ．89B ．79 C ．79-D ．89-2．已知()3,6AB =u u u r，点B 的坐标为()2,3，则点A 的坐标为（ ）A ．()1,3--B ．()3,1--C ．()1,3D ．()5,93．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1=a ，12=b ，则2-=a b （ ）A ．1B C ．2D ．324．已知3sin 45απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，5,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B ． C ． D ．5．若()0,α∈π，()sin cos ααπ-+=，则sin cos αα-的值为（ ）A ．3B ．3C ．43 D ．43-6．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()sin sin sin a A b B c b C =+-， 则角A 的值为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 7．函数()()sin f x A x ωϕ=+020,,A ωϕπ<⎛⎫>> ⎪⎝⎭的图象如图，则ϕ=（ ）A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 8．将函数()()sin 0,22f x x ωϕωϕππ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移56π个单位长度得到cos y x =的图象，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．52,21212k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZB ．52,266k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZC ．5,1212k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZD ．5,66k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z9．关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是（ ） A ．其图象关于直线4x π=-对称 B ．其图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．其值域是[]1,3- D ．其图象可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 10．在ABC △中，4C π∠=，2AB =，6AC =cos B 的值为（ ） A ．12B ．3C ．12或3D ．12或12- 11．已知a ，b 为平面向量，若+a b 与a 的夹角为3π，+a b 与b 的夹角为4π，则=a b （ ）A B C D 12．命题p ：若向量0⋅<a b ，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos cos 1αβ⋅=，则()sin 0αβ+=． 下列命题为真命题的是（ ） A ．p B ．q ⌝C ．p q ∧D ．p q ∨二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知tan 2θ=，则sin cos θθ=____．14．在锐角ABC △中，1cos 3A =，AC ，ABC △BC =__________． 15．若函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(),(0)a b a b ≤<≤π上单调递增，则b a -的最大值为__________．16．设向量1,sin 2α⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，23α⎫=+⎪⎪⎝⎭b ，若∥a b ，则5sin 26απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是___________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量()1,2=a ，(),1x =b ， （1）当2+a b 与2-a b 平行时，求x ； （2）当2+a b 与2-a b 垂直时，求x ．18．（12分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过 点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（1）求()sin α+π的值； （2）若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值．19．（12分）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =． （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC ．20．（12分）已知函数()2sin cos f x x x x =+． （1）求()f x 的值域；（2）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4a =，5b c +=，求ABC △的面积．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos ,sin αα=a ，()sin ,cos ββ=-b ，（1，求()sin αβ-的值； （2，0β<<π，且()+∥a b c ，求β的值．22．（12分）在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，向量()2,a c b =+x ， 向量()cos ,cos B C =y ，且0⋅=x y ． （1）求B 的大小；（2）若b =BA BC +u u u r u u u r的最小值．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ） 第十单元 三角函数、平面向量、解三角形综合一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】227cos212sin 199αα=-=-=，故答案为B ． 2．【答案】A【解析】设点A 的坐标为(),x y ，又由()3,6AB =u u u r ，()2,3B ，则()()2,33,6AB x y =--=u u u r，即2336 x y =-=⎧⎨⎩-，解得1x =-，3y =-，即点A 的坐标为()1,3--，故选A ． 3．【答案】A【解析】因为平面向量a ，b 的夹角为3π，且1=a ，12=b ，所以21-===a b ，故选A ．4．【答案】B【解析】∵5,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 45απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴,44αππ⎛⎫-∈π ⎪⎝⎭，∴4cos 45απ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，或45（舍去）∴34sin sin sin cos cos sin 44444455αααα⎡ππ⎤ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选B ． 5．【答案】C【解析】由诱导公式得()sin cos sin cos ααααπ-+=+=平方得()22sin cos 12sin cos 9αααα+=+=，则72sin cos 09αα=-<，所以()216sin cos 12sin cos 9αααα-=-=，sin cos 4αααπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为()0,α∈π，所以3,444απππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4απ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以4sin cos 3αα-=，故选C ． 6．【答案】C【解析】在ABC △，因为()sin sin sin a A b B c b C =+- 由正弦定理可化简得222a b c bc =+-，所以222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，从而3A π=，故选C ．7．【答案】B 【解析】因为2362T πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭=，所以T =π，22Tωπ==， 因为sin 213ϕπ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以()232k k ϕπππ∈Z 2+=+，()26k k ϕπ=-π∈Z +，因为2ϕπ<，因此6ϕπ=-，故选B ．8．【答案】C【解析】把函数cos y x =的图象向右平移56π个单位，得到函数5cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得函数的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）， 得到函数5cos 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，即函数()()sin 0,22f x x ωϕωϕππ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭的解析式为sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令222232k x k ππππ-≤-≤π+，k ∈Z ， 解得51212k x k πππ-≤≤π+，k ∈Z ， 则函数()f x 的单调增区间为5,1212k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故选C ．9．【答案】B【解析】选项A ，将4x π=-代入2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭中，1y =-为最小值，所以4x π=-是函数的一条对称轴． 选项B ，将12x π=-代入2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭中，3y =，从而1y ≠，所以点,112π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数的一个对称中心．选项C ，函数的最大值为3，最小值为1-，所以值域为[]1,3-． 选项D ，ω从3变为1，所以横坐标变为原来的13．所以选B ． 10．【答案】D 【解析】由题意4C π∠=，2c AB ==，6b AC ==， 由正弦定理sin sin b cB C=，则有6sin34sin 2B π==， 因为0B <<π，所以3B π=或23π， 当3B π=时，1cos 2B =，当23B π=时，1cos 2B =-，故选D ． 11．【答案】D 【解析】如图所示在平行四边形ABCD 中，AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，AC =+u u u ra b ，3BAC π∠=，4DAC π∠=， 在ABC △中，由正弦定理可得，sin4sin 3π===πa b D ． 12．【答案】D【解析】命题p ：若向量0⋅<a b ，则a 与b 的夹角为钝角或平角，因此为假命题； 命题q ：若cos cos 1αβ⋅=，则cos cos 1αβ==±，因此12k α=π，22k β=π，或()121﹣k α=π，()221﹣k β=π，1k ，2k ∈*N ．则()sin 0αβ+=，为真命题．下列命题为真命题的是p q ∨，其余为假命题．故答案为D ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】25【解析】由tan 2θ=，则22sin cos 12sin cos 1sin cos 5tan tan θθθθθθθθ===++，故答案为25．14．【答案】2 【解析】由题得sin 3A =，1sin 2AC AB A AB ⋅ 2331cos 263BC A BC +-==⇒=，故答案为2．15．【答案】512π【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在50,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在511,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1112π⎛⎫,π⎪⎝⎭上单调递增， ∴b a -的最大值为5501212ππ-=或111212πππ-=，即b a -的最大值为512π，故答案为512π．16．【答案】79-【解析】因为∥a b ，所以12cos 23αα⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以11cos 23αα+=，所以1sin 63απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2527sin 2sin 2cos 22sin 116323699ααααπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案是79-．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）12x =；（2）2x =-或72x =． 【解析】由已知得()212,4x +=+a b ，()22,3x -=-a b ， （1）由()()123420x x +⋅-⋅-=得12x =． （2）由()()122430x x +⋅-+⨯=得2x =-或72x =． 18．【答案】（1）45；（2）5665-或1665． 【解析】（1）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-，所以()4sin sin 5αα+π=-=． （2）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±． 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=．19．【答案】（1；（2）5． 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=． 在ABD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯ 25=．所以5BC =．20．【答案】（1）1⎡-+⎢⎣⎦；（2）ABC S △．【解析】（1）由题意知，())21sin cos 1cos2sin 22f x x x x x x =+-+1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭． ∵[]sin 21,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴()sin 213f x x ⎡π⎛⎫=-+-+⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦．（2）∵sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 03A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()0,A ∈π，2,333A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴03A π-=，解得3A π=．∵4a =，5b c +=，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 可得()222163253b c bc b c bc bc =+-=+-=-，解得3bc =，∴11sin 322ABC S bc A ==⨯=△． 21．【答案】（1）12-；（2）π2β=．【解析】（1）因为()cos ,sin αα=a ，()sin ,cos ββ=-b ， ，且()cos sin sin cos sin αβαβαβ⋅=-+=-a b ．2222+⋅+=a a b b c ，所以()12sin 11αβ+-+=，即()1sin 2αβ-=-．（2）因为5π6α=因为()+∥a b c ，所以11cos sin 022ββ⎫⎛⎫+---=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．化简得，11sin 222ββ-=，所以π1sin 32β⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=． 22．【答案】（1）23B =π；（2）1． 【解析】（1）()2cos cos 0a c B bC ⋅=++=x y ，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，∴()2sin cos sin 0A B B C ++=，∴()sin 2cos 10A B +=．∵(),0,A B ∈π，∴1sin 0,cos 2A B ≠=-，∴23B =π， （2）由余弦定理知2222232cos 2313a c ac c a ac ac ac ac ac =+-π=+≥+=⇒≤+． ∴2222222cos 213BA BC c a ac c a ac ac ac ac +=++π=+-≥-=≤u u u r u u u r ． ∴BA BC +u u u r u u u r 的最小值为1，当且仅当1a c ==时取“”．。

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阶段滚动月考卷(二)三角函数、解三角形、平面对量、复数 (时间:120分钟 分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.i 是虚数单位,则复数z=(1+i 1−i)2+i 的共轭复数为( )A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i2.(滚动单独考查)已知集合A={1,3,x},B={1,√x },若A ∩B=B,则x= ( ) A.0或3 B.0或9 C.1或9 D.3或93.(滚动单独考查)(2022·杭州模拟)函数y=√x 2−2x −3+log 3(x+2)的定义域为 ( )A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-2,-1]D.(-2,-1]∪[3,+∞)4.已知向量a ,b 满足|a |=2,|b |=1,且5()2a b ⊥(a +b ),则a 与b 的夹角θ为 ( )A.π6B.π3C.23π D.56π5.(2022·济宁模拟)如图所示,非零向量OA →=a ,OB →=b ,且BC ⊥OA,点C 为垂足,若OC →=λa (λ≠0),则λ= ( )6.(2022·石家庄模拟)已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上两条相邻的对称轴,则φ= ( ) A.π4 B.π3C.π2D.3π47.已知a =(cos θ2,sin θ2),b =(cos θ,sin θ),θ∈(0,π),则|a -b |的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,1]C.(0,√2)D.(0,√2]8.(2022·洛阳模拟)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c , cosC=14,AC →·CB →=-2且a +b =5,则c 等于 ( )A.√5B.√13C.4D.√179.(滚动交汇考查)(2022·泰安模拟)已知f(x)=sin 2(x +π4),若a=f(lg5),b=f (lg 15),则 ( )A.a+b=0B.a-b=0C.a+b=1D.a-b=110.(滚动单独考查)(2022·成都模拟)已知a ≥0,函数f(x)=(x 2-2ax)e x ,若f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则a 的取值范围是 ( )A.(0,34) B.(12,34)C.[34,+∞) D.(0,12)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上) 11.(滚动交汇考查)计算:log 2sin π12+log 2cos π12= .12.(2022·枣庄模拟)已知|a |=2,|b |=4,a 和b 的夹角为π3,以a ,b 为邻边作平行四边形,则该四边形的面积为 .13.在△ABC 中,若sin 2B=sinAsinC,则角B 的最大值为 . 14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2cos 2A−B 2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-35,若a=4√2,b=5,则BA →在BC →方向上的投影为 .15.(滚动单独考查)(2022·锦州模拟)已知函数f(x)=2x 2+(4-m)x+4-m,g(x)=mx,若存在实数x,使f(x)与g(x)均不是正数,则实数m 的取值范围是 . 三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知A,B,C 是△ABC 的三个内角,向量m =(sinA-sinB,sinC),向量n =(√2sinA-sinC,sinA+sinB),且m ∥n . (1)求角B.(2)若sinA=35,求cosC 的值.17.(12分)(2022·临沂模拟)已知函数f(x)=√3sinxcosx-cos 2x-12,x ∈R.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期.(2)已知△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c,且c=3,f(C)=0,若向量m =(1,sinA)与n =(2,sinB)共线,求a ,b 的值.18.(12分)(2022·淮南模拟)已知函数f(x)=sinxcosxcos φ+cos 2xsin φ+12sin(π+φ)(0<φ<π),其图象过点(π4,14).(1)求φ的值.(2)将函数y=f(x)图象向右平移π12个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在[0,π]上的单调增区间.19.(12分)(2022·郑州模拟)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是A,B,C 的对边.若向量m =(2,0)与n =(sinB,1-cosB)所成的角为π3.(1)求角B 的大小.(2)若b =√3,求a +c 的最大值.20.(13分)(滚动单独考查)依据统计资料,某工厂的日产量不超过20万件,每日次品率p 与日产量x(万件)之间近似地满足关系式p={x 2+60540,0<x ≤12,12,12<x ≤20.已知每生产1件正品可盈利2元,而生产1件次品亏损1元.(该工厂的日利润y=日正品盈利额-日次品亏损额)(1)将该工厂日利润y(万元)表示为日产量x(万件)的函数.(2)当该工厂日产量为多少万件时日利润最大?最大日利润是多少万元? 21.(14分)(滚动单独考查)(2022·太原模拟)已知函数f(x)=2lnx-ax. (1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线过点(2,0),求a 的值.(2)求f(x)的单调区间.(3)假如x 1,x 2(x 1<x 2)是函数f(x)的两个零点,f ′(x)为f(x)的导数,证明: f ′(x 1+2x 23)<0.答案解析1.D z=(1+i)2(1−i)2+i=2i −2i+i=-1+i, 所以其共轭复数为-1-i. 2.B 由于A ∩B=B,所以B A,验证易知x=0满足,x=9满足.3.D 由{x 2−2x −3≥0,x +2>0得-2<x ≤-1或x ≥3. 4.B 由题意,得·(a +b )=a 2-32a ·b -52b 2 =4-32a ·b -52=0. 所以a ·b =1, 所以cos θ==12,由于θ∈[0,π],所以θ=π3. 5.A B C →⊥O A →,即B C →⊥O C →, 所以(O C →-O B →)·O C →=0, 所以|O C →|2-O B →·O C→=0,即λ2|a |2-λa ·b =0,又λ≠0,解得λ=6.A2πω=2(5π4−π4),得ω=1,所以f(x)=sin(x+φ),故f (π4)=sin (π4+φ)=±1.由于0<φ<π,所以π4<φ+π4<5π4,所以φ+π4=π2,即φ=π4.7.C 由于a -b=(cos θ2−cosθ,sin θ2−sinθ),所以|a -b |=√(cos θ2−cosθ)2+(sin θ2−sinθ)2=√2−2(cos θ2cosθ+sin θ2sinθ)=√2−2cos (θ2−θ)=√2−2cos θ2,由于θ∈(0,π),所以θ2∈(0,π2),cos θ2∈(0,1).故|a -b |∈(0,√2).8.【解题提示】由已知cosC=14,A C →·C B →=-2,利用数量积公式得到ab =8,再利用余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC 可求c. A 由已知cosC=14,A C →·C B →=-2,得b ·a ·cos(π-C)=-2⇒b ·a ·cosC=2, 所以ab=8,利用余弦定理可得,c 2=a 2+b 2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5. 所以c=√5.【加固训练】在△ABC 中,内角A,B,C 所对边分别为a,b,c,已知m =(1,2),n =(ccosA,b),p =(c,-bcosA),若m ∥n ,m ⊥p ,则△ABC 的外形是 . 【解析】由m ∥n 可得,b=2ccosA.由正弦定理可得sinB=2sinCcosA, 即sin(A+C)=2sinCcosA.从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA,故sinAcosC-cosAsinC=0. 即sin(A-C)=0,又-π<A-C<π, 所以A-C=0,即A=C. 由m ⊥p 可得c-2bcosA=0, 从而sinC-2sinBcosA=0, 故sin(A+B)-2sinBcosA=0. 即sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B. 所以A=B=C.故三角形为等边三角形. 答案:等边三角形 9.Ca =f(lg5)=sin 2(lg 5+π4)=1−cos(2lg5+π2)2=1+sin(2lg5)2,b =f (lg 15)=sin 2(lg 15+π4)=1−cos(2lg 15+π2)2=1−sin(2lg5)2,则可得a +b =1.10.C f ′(x)=(2x-2a )e x +(x 2-2a x)e x =[x 2+(2-2a )x-2a ]e x ,由题意当x ∈[-1,1]时,f ′(x)≤0恒成立,即x 2+(2-2a )x-2a ≤0恒成立.令g(x)=x 2+(2-2a )x-2a ,则有{g (−1)≤0,g(1)≤0. 即{(−1)2+(2−2a)·(−1)−2a ≤0,12+2−2a −2a ≤0,解得a ≥34.11.【解析】原式=log 2(sin π12cos π12)=log 2(12sin π6)=log 214=-2.答案:-212.【解析】S=2×12|a ||b |sin π3=2×4×√32=4√3. 答案:4√313.【解题提示】化角为边,利用基本不等式求解. 【解析】由正弦定理,得b 2=a c, 由余弦定理,得cosB=a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−ac 2ac≥2ac−ac 2ac=12.由于B ∈(0,π),y=cosx 在(0,π)上单调递减, 所以B 的最大值为π3.答案:π314.【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解. 【解析】由2cos 2A −B 2cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-35,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-35,即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35.则cos(A-B+B)=-35,即cosA=-35.由0<A<π,得sinA=45, 由正弦定理,有a sinA =bsinB,所以,sinB=b sinA a =√22.由题知a >b ,则A>B,故B=π4,依据余弦定理,有(4√2)2=52+c 2-2×5c ×(−35),解得c=1或c=-7(舍去).故向量B A →在B C →方向上的投影为|B A →|cosB=√22.答案:√2215.【解析】当m<0时,函数f(x)=2x 2+(4-m)x+4-m 的对称轴为x=-4−m 4=-1+m4<-1,且f(0)>4,直线g(x)=mx 过原点且过其次、四象限,不符合题意;当m=0时,f(x)=2x 2+4x+4恒为正数,不符合题意;当m>0时,函数f(x)=2x 2+(4-m)x+4-m 的对称轴x=-4−m 4=-1+m4>-1,直线g(x)=mx 过原点且过第一、三象限,由题意得{Δ≥0,−1<−4−m 4<0,f(0)>0.或f(0)≤0,解得m ≥4.综上所述,m ≥4. 答案:[4,+∞)16.【解析】(1)依题意得sin 2A-sin 2B =sinC(√2sinA-sinC)=√2sinAsinC-sin 2C,由正弦定理得,a 2-b 2=√2a c-c 2, 所以a 2+c 2-b 2=√2a c. 由余弦定理知,cosB=a 2+c 2−b 22ac=√22,所以B=π4.(2)由于sinA=35,所以sinA<√22,所以A<B. 又B=π4,所以A<π4,所以cosA=45,所以cosC=cos (3π4−A)=cos 3π4cosA+sin 3π4sinA=-√210.17.【解析】(1)f(x)=√3sinxcosx-cos 2x-12=√32sin2x-12cos2x-1=sin (2x −π6)-1.所以f(x)的最小值为-2,最小正周期为π.(2)由于f(C)=sin (2C −π6)-1=0,即sin (2C −π6)=1,又由于0<C<π,-π6<2C-π6<11π6,所以2C-π6=π2,故C=π3.由于m 与n 共线,所以sinB-2sinA=0. 由正弦定理a sinA =bsinB,得b =2a .①由于c=3,由余弦定理,得9=a 2+b 2-2ab cos π3, 即a 2+b 2-ab =9,② 联立①②,解得{a =√3.b =2√3.【加固训练】(2021·洛阳模拟)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a ,b ,c, cos2C+2√2cosC+2=0. (1)求角C 的大小.(2)若b =√2a ,△ABC 的面积为√22sinAsinB,求sinA 及c 的值.【解析】(1)由于cos2C+2√2cosC+2=0, 所以2cos 2C+2√2cosC+1=0, 即(√2cosC+1)2=0,所以cosC=-√22.又C ∈(0,π),所以C=3π4.(2)由于c 2=a 2+b 2-2ab cosC=3a 2+2a 2=5a 2,所以c=√5a ,即sinC=√5sinA,sinA =√5sinC=√1010,由于S △ABC =12ab sinC,且S △ABC=√22sinAsinB,所以12ab sinC=√22sinAsinB, 即a bsinAsinBsinC=√2,由正弦定理得:(csinC)2sinC=√2, 解得c=1.18.【解析】(1)f(x)=12sin2xcos φ+12(1+cos2x)sin φ-12sin φ=12sin2xcos φ+12cos2xsin φ+12sin φ-12sin φ =12(sin2xcos φ+cos2xsin φ) =12sin(2x+φ).由于函数f(x)的图象过点(π4,14), 所以14=12sin (2×π4+φ),得cos φ=12.又由于0<φ<π,所以φ=π3.(2)由(1)知f(x)=12sin (2x +π3),则g(x)=12sin [2(x −π12)+π3]=12sin (2x +π6).由2k π-π2≤2x+π6≤2k π+π2(k ∈Z), 即k π-π3≤x ≤k π+π6,k ∈Z,由于x ∈[0,π],所以g(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0,π6],[2π3,π].19.【解析】(1)由题意得cos π3==2√sin 2B+(1−cosB)2=12, 即√2−2cosB =12,所以2sin 2B=1-cosB,2cos 2B-cosB-1=0, 所以cosB=-12或cosB=1(舍去),由于0<B<π,所以B=2π3.(2)由(1)知A+C=π3,而asinA =csinC =bsinB =√3sin 2π3=2,所以a +c=2sinA+2sinC =2[sin A +sin (π3−A)]=2(sin A +√32cosA −12sinA)=2sin (A +π3),由于0<A<π3,所以π3<A+π3<2π3.所以√32<sin (A +π3)≤1,所以a +c=2sin (A +π3)∈(√3,2],故a +c 的最大值为2.20.【解析】(1)由题意知,当0<x ≤12时, y=2x(1-p)-px,所以y=2x (1−x 2+60540)-x 3+60x 540=53x-x 3180,当12<x ≤20时,y=2x(1-p)-px=2x (1−12)-12x=12x,即y={53x −x 3180,x ∈(0,12],12x,x ∈(12,20].(2)当x ∈(0,12]时,y ′=53-x 260=100−x 260,令y ′=0,得x=10,当0<x<10时,y ′>0;当10<x ≤12时,y ′<0, 所以,当x=10时,y m a x =1009,当x ∈(12,20]时,y=12x 在(12,20]上单调递增,当x=20时,y m a x =10, 由于1009>10,所以当该工厂的日产量为10万件时,日利润最大,最大日利润为1009万元.21.【解题提示】(1)由导数的几何意义求解. (2)分类争辩.(3)构造函数证明不等式.【解析】(1)由于f ′(x)=2x -a (x>0),所以f ′(1)=2-a ,又f(1)=-a ,所以切线方程为y+a =(2-a )(x-1).又切线过点(2,0),所以0+a =(2-a )(2-1),解得a =1. (2)由(1)知f ′(x)=2x -a (x>0),①当a ≤0时,f ′(x)>0恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当a >0时,令f ′(x)>0,有x ∈(0,2a ),f(x)在(0,2a)上单调递增;令f ′(x)<0,有x ∈(2a,+∞),f(x)在(2a,+∞)上单调递减.故当a ≤0时,f(x)的单调增区间为(0,+∞),当a >0时,f(x)的单调增区间为(0,2a),单调减区间为(2a,+∞).(3)由题意知f(x 1)=0,f(x 2)=0. 即2lnx 1-a x 1=0,2lnx 2-a x 2=0,则2lnx 2-2lnx 1=a (x 2-x 1),a =2ln x2x 1x 2−x 1.由于f ′(x)=2x -a ,所以f ′(x 1+2x 23)=6x 1+2x 2-a =6x 1+2x 2-2ln x2x 1x 2−x 1,要证f ′(x 1+2x 23)<0,只需证6x 1+2x 2-2ln x 2x 1x 2−x 1<0,①由于x 2>x 1>0,所以x 2-x 1>0,x 1+2x 2>0, 故①式可化为3(x 2−x 1)x 1+2x 2-ln x2x 1<0,即3(x2x 1−1)2·x 2x 1+1-ln x2x 1<0,令t=x 2x 1,则t>1,构造函数h(t)=3(t−1)2t+1-lnt,则h ′(t)=9(2t+1)2-1t=-(4t−1)(t−1)t(2t+1)2.明显t>1时,h ′(t)<0,即h(t)在[1,+∞)上单调递减,所以h(t)<h(1)=0. 即证得f ′(x 1+2x 23)<0.关闭Word 文档返回原板块。

数学讲义之三角函数、解三角形【主干内容】1 1 21. 弧长公式：l I |r. 扇形面积公式：s扇形尹| r22. 三角函数的定义域：4. 同角三角函数的基本关系式：si^ tan sin2cos21cosk5. 诱导公式：把亍的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”。

重要公式：cos（） cos cos sin sin6•三角函数图象的作法：描点法及其特例一一五点作图法（正、余弦曲线）三点二线作图法（正切曲线）【注意！！！】本专题主要思想方法1. 等价变换。

熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；2. 数形结合。

充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；3. 分类讨论。

【题型分类】题型一：三角运算，要求熟练使用各种诱导公式、倍角公式等。

〖例1〗（10全国卷I文）cos300A.31-C1n .3B.— D. 2222C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】cos300cos36601cos602〖例2〗（10全国卷n文）已知sin2，则cos(x 2 )3A. JB.1C.1D V5D.3993【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式，•••SINA=2/3 , cos( 2 )cos2(12sin 2) -9〖例3〗（10福建文）计算12sin 22.5的结果等于（）A.-B.豆C.D.迈2232【答案】B2故选B.【解原式=cos 45 - 51例4〗（10浙江文）函数f（x） sin2（2x -）的最小正周期是 ___________4最小正周期为2，本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用，属容易题。

题型二：三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质。

是（）D解析：对解析式进行降幕扩角，转化为f x】cos 4x —1，可知其2 2 21例1〗（10重庆文）下列函数中，周期为，且在［壬，？］上为减函数的是A. y sin(2x -)B. y cos(2x )C. y sin(x 【答案】AD.cos(x —)1例2〗（09浙江文）已知 a 是实数，则函数 f （x ） 1 a sin ax 的图象不可能1例3〗为得到y sin2x 的图象A.向左平移丸个长度单位12C.向左平移4个长度单位6分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决.B .向右平移个长度单位12D.向右平移士个长度单位6n解析：函数 y cos 2x sin 2x — —33 2sin 2xsin2 x512故要将函数y sin2x的图象向左平移丸个长度单位，选择答案A.121例4〗(10江西文)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,y sin(x ), y sin(x )各自作出三个函数y sin2x,63的图像如下,结果发现恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是 【答案】C【命题意图】考查三角函数的图像与性质•【解析】作出三个函数图像对比分析即可选择 Co2最小正周期为 -.3(I)求 的最小正周期.〖例6〗(11浙江文)已知函数 f(x) As in (§x ) , x R , A 0 ,0 -. y f (x)的部分图像，如图所示， P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1, A).(I)求f (x)的最小正周期及 (n)若点R 的坐标为(1,0),1例5〗(09重庆文)设函数f(x )2 2(sin x cos x) 2cos x( 0)的(n)若函数y g(x)的图像是由y f(x)的图像向右平移三个单位长度得到，求y g(x)的单调增区间.解：(I)2 2依题意得————，故2 3的最小正周期为由2k 2 解得三k3依题意得：5w 3x w 2k24 2 w x w k 4 3-(kZ) 寻(kZ)\故y g(x)的单调增区间为:拿的值；PRQ —，求A 的值.题型三：三角函数的最值： 最值是三角函数最为重要的内容之一， 其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问 题。

2020届高三数学一轮复习强化训练精品――平面向量解三角形单元综合测试一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分〕1.〔2018·辽宁理〕O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC + CB =0，那么OC = 〔用OA 、OB 表示〕. 答案 2OA -OB2.向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),那么向量a 与b 的夹角为 .答案 90°3.如下图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB =3CD ，M ，N 分不是AB ，CD 的中点，设AB =e 1, AD =e 2,MN 可表示为 (用e 1,e 2表示).答案 e 2-31e 1 4.在△ABC 中，A =105°，C =45°,AB =2，那么AC = .答案 15.〔2018· 湖南理〕设D 、E 、F 分不是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC =2BD ，CE =2EA ，AF =2FB ，那么AD +BE +CF 与BC 的位置关系为 .答案 平行6.〔2018·湖北理〕设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2)，那么(a +2b )·c = .答案 -37.〔2018·重庆理〕假设过两点P 1〔-1，2〕，P 2〔5，6〕的直线与x 轴相交于点P ，那么点P 分有向线段21P P 所成的比λ的值为 .答案 -31 8.非零向量a ,b ,假设a ·b =0,那么b a b a 22+-= .答案 1 9.设平面向量a =(x ,y ),b =(x 2,y 2),c =(1,-1),d =(4191-，),假设a ·c =b ·d =1,那么如此的向量a 的个数是 个. 答案 010.向量a 与b 的夹角为120°，且|a |=3,|a +b |=13，那么|b |= .答案 411.〔2018·北京理，10〕向量a 与b 的夹角为120°,且|a |=|b |=4,那么b ·〔2a +b 〕的值为 .答案 012.〔2018·天津文，14〕平面向量a =(2,4),b =(-1,2).假设c =a -(a ·b )b ，那么|c |= .答案 8213.〔2018·陕西理，15〕关于平面向量a ，b ，c 有以下三个命题：①假设a ·b =a ·c ，那么b =c ；②假设a =(1,k ),b =(-2,6),a ∥b ,那么k =-3;③非零向量a 和b 满足|a |=|b |=|a -b |，那么a 与a +b 的夹角为60°.其中真命题的序号为 .答案 ②14.在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分不是30°、60°，那么塔高为 m.答案 3400 二、解答题〔本大题共6小题，共90分〕15.〔14分〕设a =(-1,1),b =(4,3),c =(5,-2),〔1〕求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值；〔2〕求c 在a 方向上的投影；〔3〕求λ1和λ2，使c =λ1a +λ2b .〔1〕证明 ∵a =(-1,1),b =(4,3),-1×3≠1×4,∴a 与b 不共线，设a 与b 的夹角为θ,cos θ=b a b a ⋅=5234⋅+-=-102. 〔2〕解 设a 与c 的夹角为θ,cos θ=c a c a ⋅=29225⋅--=-58587， ∴c 在a 方向上的投影为|c |cos θ=-227. (3)解 ∵c =λ1a +λ2b ,∴⎩⎨⎧+=-+-=21213245λλλλ，解得λ1=-723,λ2=73.16.(2018·合肥模拟)〔14分〕向量a =(cos x ,sin x ),|b |=1,且a 与b 满足|k a +b |=3|a -k b | (k ＞0).〔1〕试用k 表示a ·b ，并求a ·b 的最小值；〔2〕假设0≤x ≤π,b =)23,21(,求a ·b 的最大值及相应的x 值. 解〔1〕∵|a |=1，|b |=1，由|k a +b |=3|a -k b |,得(k a +b )2=3(a -k b )2,整理得a ·b =k k 412+=)1(41k k +≥21, 当且仅当k =1时，a ·b 取最小值21. 〔2〕由a ·b =21cos x +23sin x =sin 〔x +6π〕. ∵0≤x ≤π，∴6π≤x +6π≤67π， ∴-21≤sin(x +6π)≤1. 当x =3π时，a ·b 取最大值为1. 17.〔2018·海安高级中学测试题〕〔14分〕在△ABC 中，设A 、B 、C 的对边分不为a 、b 、c ，向量m =(cos A ,sin A ), n =(2-sin A ,cos A ),假设|m +n |=2.〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设b =42,且c =2a ，求△ABC 的面积.解 〔1〕m +n =(2+cos A -sin A ,cos A +sin A )|m +n |2=(2+cos A -sin A )2+(cos A +sin A )2 =2+22(cos A -sin A )+(cos A -sin A )2+(cos A +sin A )2 =2+22(cos A -sin A )+2=4-4sin 〔A -4π〕 ∵|m +n |=2,∴4-4sin 〔A -4π〕=4,sin 〔A -4π〕=0.又∵0＜A ＜π,∴-4π＜A -4π＜43π,∴A -4π=0, ∴A =4π. (2)由余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,又b =42,c =2a ,A =4π， 得a 2=32+2a 2-2×42×2a ·22, 即a 2-82a +32=0,解得a =42，∴c =8.∴S △ABC =21b ·c sin A =21×42×8×sin 4π=16. S △ABC =21×(42)2=16. 18.〔2018·重庆理，17〕〔16分〕设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c ，且A =60°,c =3b .求: (1)c a 的值; (2)CB tan 1tan 1+的值. 解 (1)由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =2)31(c +c 2-2·31c ·c ·21=97c 2， 故c a =37. 〔2〕方法一C B tan 1tan 1+=C B B C C B sin sin sin cos sin cos + =C B C B sin sin )sin(+=CB A sin sin sin , 由正弦定理和〔1〕的结论得C B A sin sin sin =A sin 1· bc a 2=32·c c c ⋅31972=3314=9314. 故C B tan 1tan 1+=9314. 方法二 由余弦定理及〔1〕的结论有cos B =ac b c a 2222-+=c c )c (c c ⋅⋅-+3723197222=725，故sin B =B 2cos 1-=28251-=723. 同理可得 cos C =ab cb a 2222-+=c c c c c 3137********⋅⋅-+=-721， sin C =c 2cos 1-=2811-=7233. 从而C B tan 1tan 1+=B B sin cos +CC sin cos =335-391=9314. 19.〔2018·湖南理，19〕〔16分〕在一个特定时段内,以点E 为中心的7海里以内海域被设为戒备水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ,通过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°+θ〔 其中sin θ=2626,0°＜θ＜90°〕且与点A 相距1013海里的位置C .(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)假设该船不改变航行方向连续行驶,判定它是否会进入戒备水域,并讲明理由.解 〔1〕如图〔1〕所示，AB =402，AC =1013，∠BAC =θ，sin θ=2626. 由于0°＜θ＜90°, 因此cos θ=226261⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=26265. 由余弦定理得BC =510222=θ⋅⋅-+cos AC AB AC AB .因此船的行驶速度为6040510=32510=155〔海里/小时〕. 〔2〕方法一 如图〔2〕所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分不是B 〔x 1，y 1〕、C 〔x 2，y 2〕，BC 与x 轴的交点为D .图〔1〕由题设有，x 1=y 1=22AB =40, x 2=AC cos ∠CAD =1013cos(45°-θ)=30,y 2=AC sin ∠CAD=1013sin(45°-θ)=20.因此过点B 、C 的直线l 的斜率k =1020=2,直线l 的方程为y =2x -40.又点E 〔0，-55〕到直线l 的距离d =4140550+-+=35＜7,因此船会进入戒备水域.方法二 如图〔3〕所示，设直线AE与BC 的延长线相交于点Q .在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠ABC =BC AB AC BC AB ⋅-+2222=5102402)1310()510()240(222⨯⨯-⨯ =10103.从而sin ∠ABC =ABC ∠-2cos 1=1091-=1010.在△ABQ 中,由正弦定理得AQ =101021010240)45sin(sin ⨯⨯=∠-︒∠ABC ABC AB =40. 由于AE =55＞40=AQ ,因此点Q 位于点A 和点E 之间,且QE =AE -AQ =15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ,那么EP 为点E 到直线BC 的距离. 在Rt △QPE 中,PE =QE ·sin ∠PQE =QE ·sin ∠AQC=QE ·sin 〔45°-∠ABC 〕=15×55=35＜7.因此船会进入戒备水域.20.〔16分〕如下图，有两条相交成60°角的直路XX ′和YY ′，交点是O ，甲、乙分不在OX 、OY 上，起初甲离O 点3 km ，乙离O 点1 km ，后来两人同时用每小时4 km 的速度，甲沿XX ′方向，乙沿Y ′Y 的方向步行.〔1〕起初，两人的距离是多少？〔2〕用t 表示t 小时后两人的距离；〔3〕什么时候两人的距离最短？解 〔1〕设甲、乙两人起初的位置是A 、B ，那么由余弦定理： |AB |2=|OA |2+|OB |2-2|OA |·|OB |·cos60°=32+12-2×3×1×21=7,∴|AB |=7.因此甲、乙两人起初的距离是7km.〔2〕设甲、乙两人t 小时后的位置分不是P 、Q ，那么|AP |=4t ，|BQ |=4t ，当0≤t ≤43时，由余弦定理|PQ |2=〔3-4t 〕2+〔1+4t 〕2-2〔3-4t 〕〔1+4t 〕·cos60°，当t ＞43时， |PQ |2=〔4t -3〕2+〔1+4t 〕2-2〔4t -3〕〔1+4t 〕cos120°.注意到上面两式实际上是统一的，因此|PQ |2=〔16t 2-24t +9〕+〔16t 2+8t +1〕+〔16t 2-8t -3〕=48t 2-24t +7， 即|PQ |=724482+-t t .〔3〕∵|PQ |=441482+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t ， ∴当t =41时，|PQ |的最小值是2. 即在第15分钟末，两人的距离最短.。

2019高考数学文科总复习第10单元【三角函数、平面向量、解三角形综合】测试B 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.）1．已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知向量，满足，，，则（ ）A ．B ．CD3．设，，．若，则实数的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．4．将函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则函数的图像的一个对称中心是（ ） A ． B ．C ．D ．5．若的三个内角满足，则（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．函数()()sin 0,2f x A x A ωϕϕπ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A ．向右平移个长度单位 B ．向左平移个长度单位 (),x y =a ()1,2=b ()1,1=-c ∥a b ()⊥-b a c a 11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭a b 1=a 2=b -=a b 2+=a b ()1,2=a ()1,1=b k =+c a b ⊥b c k 5353-32-32()2cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12()y g x =()y g x =11,012π⎛⎫⎪⎝⎭,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭ABC △sin :sin :sin 5:11:13＝A B CABC △()f x ()sin 2g x x =6π6πC ．向右平移个长度单位 D ．向左平移个长度单位 7．如图，在平面四边形中，，，，．若点E 为边上的动点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（ ）A ．B ．C ．D9．已知的内角的对边分别是，且，则角（ ） A ．B ．C ．D ．10．中，的对边分别为．已知，， 则的值为（ ） A ．BC ．D ．11．已知函数，，点，都在曲线上，且线段3π3πABCD AB BC ⊥AD CD ⊥120BAD ∠=︒1AB AD ==CD AE BE ⋅21163225163A B A C AC 50m 45ACB ∠=︒105CAB ∠=︒A B m m m m ABC △,,A B C ,,a b c ()()222cos cos a b c a B b A abc +-⋅+=C =30︒45︒60︒90︒ABC △,,A B C ,,a b c 22222c b a =-22sin 1cos22A BC +=+()sin B A -122345()sin 3f x x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>(),A m n ()(),1B m n n +π≠()y f x =AB与曲线有个公共点，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．12．锐角中，为角所对的边，若，则的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知非零向量，满足，，则与夹角为________．14．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．15．函数的部分图象如图，则函数解析式为_______．16．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知平面向量，，，且． （1）若是与共线的单位向量，求的坐标； （2）若，且，设向量与的夹角为，求．18．（12分）设函数图像中相邻的最高点和最低点分别为，． ()y f x =()21k k +∈*N ω2k k 2k1kABC △,,a b c ,,A B C 2225a b c +=cosC 45⎡⎢⎣⎭12⎡⎢⎣⎭45⎡⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭a b 2=ab +=a b a b ()cos (0)6f x x ωωπ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭x ω()sin (0,)2y A x A ϕϕωπ=+><ABC △,,A B C ,,a b c 120ABC ∠=︒ABC ∠AC D 1BD =4a c +a b c ()1,2=a b ab =c ⊥c a 2+a c -a c θcos θ()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕ=+>><π1,212⎛⎫⎪⎝⎭7,212⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求函数的单调递减区间；（2）若函数的图像向左平移个单位长度后关于点对称，求的最小值． 19．（12分）已知:锐角的内角的对边分别为，三边满足关系 ，（1）求内角的大小；（2的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）在中，角的对边为，若，，，求中线的长．21．（12分）向量，，已知，且有函数． （1）求函数的解析式及周期；（2）已知锐角的三个内角分别为，若有，的长及的面积．22．（12分）已知，，函数．（1）求函数零点；()f x ()f x ()0θθ>()1,0-θABC △,,A B C ,,a b c 2220a b c +-=C cos A B +()()22sin cos cos f x x x x x x =-+∈R ()f x ABC △,,A B C ,,a b c ()2f A =5c =1cos 7B =ABC △AD 11,sin 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭a ()1,y =b ∥a b ()y f x =()y f x =ABC △,,A B C 3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭BC sin B =AC ABC △()2cos ,2sin x x =a sin ,cos 66x x ⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b ()cos f x =a,b ()f x（2）若锐角的三内角的对边分别是，且，求的取值范围．第十单元 三角函数、平面向量、解三角形综合卷B一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D 【解析】，，，， ，解得，，故选D ． 2．【答案】D【解析】向量，满足，，，可得，即，解得．22224411617+=++⋅=+=a b a b a b ，．故选D ．3．【答案】C【解析】由题得，因为，所以，．故选C ．4．【答案】B【解析】函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，由，，可得，， 当时，对称中心为，故选B ．ABC △,,A B C ,,a b c ()1f A =b ca+∥a b 2y x ∴=()⊥-b a c ()()1,21,10x y ∴⋅+-=1220x y ∴++-=15x =25y =a b 1=a 2=b -=a b 25-=a b 2225+-=a b ab 0⋅=ab 2+=a b ()()()1,2,1,2k k k k =+=++c ⊥b c ()()1,11,2120k k k k ⋅=⋅++=+++=b c 32k ∴=-()2cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12()2cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭262x k ππ+=+πk ∈Z 62k x ππ=+k ∈Z 0k =,06π⎛⎫⎪⎝⎭5．【答案】C【解析】由正弦定理(为外接圆的半径)及已知条件，可设，，，则，所以为钝角，故为钝角三角形． 故选C ． 6．【答案】B【解析】根据函数()()sin 0,2f x A x A ωϕϕπ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，可得，， ∴，故．再根据五点法作图可得，求得， ∴．故将的图象向左平移个单位，可得的图象，故选B ．7．【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，2sin sin sin a b cA B C===R R ABC △sin :sin :sin 5:11:13＝A B C 5a x =11b x =()130c x x =>()()()222225111323cos 02511110x x x x C x xx +--==<⋅⋅C ABC △1A =127–441234T ωππππ=⋅==2ω=()()sin 2f x x ϕ=+23ϕπ⨯+=π3ϕπ=()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 2g x x =6π()sin 2sin 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎫⎪⎪⎝⎭30,2C ⎛⎫⎪⎝⎭D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭点在上，则，设， 则：，即， 据此可得， 且，， 由数量积的坐标运算法则可得：， 整理可得：， 结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值．本题选择A 选项．8．【答案】A【解析】在中，，，，即，则由正弦定理，得，故答案为A ． 9．【答案】C【解析】中，()()222cos cos a b c a B b A abc +⋅-+=， 由余弦定理可得：，∴，∴，， ∵，∴，又∵，∴．故选C ． 10．【答案】B 【解析】因为22sin 1cos 2A BC +=+，21cos22cos C C +=， ，所以，E CD ()01DE DC λλ=≤≤(),E xy 32x y λ⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭32x y λ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩+32E λ⎫⎪⎪⎝⎭33122AE λ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭332BE λ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭3331222AE BE λλ⎛⎛⎫⋅=-+⨯+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝()()23422014AE BE λλλ⋅=-+≤≤14λ=AE BE ⋅2116ABC△50m AC =45ACB ∠=︒105CAB ∠=︒30ABC ∠=︒sin sin AB ACACB ABC=∠∠50sin 21sin 2AC ACB AB ABC ∠===∠ABC △()2cos cos cos ab C a B b A abc +=()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=()2cos sin sin C A B C +=2cos sin sin C C C =sin 0C ≠1cos 2C =()0,C ∈π3C π=22cos cos 10C C ∴--=1cos 2C =-，． 因为，所以，，所以，．故答案为B ． 11．【答案】A 【解析】因为点，，都在曲线上， 且线段与曲线有()21k k +∈*N 个公共点，(),A m n ，，2,2AB kT T k k ωωππ∴==π==⇒=， 即的值是，故选A ． 12．【答案】C【解析】由题得， （当且仅当时取等）由于三角形是锐角三角形，所以，， ，． ， 设，，． 0C <<π23C ∴=π22222c b a =-222sin 2sin 2sin C B A =-()()3sin sin 8B A B A ∴=+-()()3sin sin 8C B A B A =-=-()sin B A ∴-=(),A m n ()(),1B m n n +π≠()y f x =AB ()y f x =()()1B m n n +π,≠ω2k ()22222222244245cos 2210105a b a b a b a b c ab C ab ab ab ab ++-++-⨯===≥=a b =222222222a b cb c a a c b +>+>+⎧⎪⎨⎪⎩>222222222222555 a b a b a b b a a b a b ⎧++>⎪⎪⎪+∴+>⎨⎪⎪++>⎪⎩222332b a ∴<<b a <<()22222425cos 225a b a b cb a C ab aba b ++-⎛⎫===+ ⎪⎝⎭bx a=x ∈⎝⎭()215f x x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭因为函数在是减函数，在是增函数， 所以的无限接近，中较大的． 所以．所以的取值范围为．故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【答案】【解析】设两向量的夹角为，由题意可得：，即：，则：， 据此有：， 整理计算可得：，． 14．【答案】【解析】因为对任意的实数都成立，所以取最大值，所以，，因为，所以当时，取最小值为． 15．【答案】【解析】根据函数部分图象，可得，127222ωπππ⋅=-，．结合五点法作图可得，求得，()fx ⎫⎪⎪⎝⎭⎛ ⎝⎭()fx f ⎝⎭f ⎝⎭()f x f f →==⎝⎭⎝⎭cosC 45⎡⎢⎣⎭3πθ()227+=a b b 22620-+⋅=a b a b 2262cos 0a b a b θ-⨯+⨯⨯=224622cos 0θ-⨯+⨯⨯=b b b b 1cos 2θ=3θπ=23()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭x 4f π⎛⎫⎪⎝⎭()246k k ωππ-=π∈Z ()283k k ω∴=+∈Z 0ω>0k =ω2312sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin (0,)2y A x A ϕϕωπ=+><2A =13ω∴=1032ϕπ⋅+=6ϕπ=-故函数的解析式为，故答案为．16．【答案】9【解析】由题意可知，，由角平分线性质和三角形面积公式得 111sin1201sin 601sin 60222ac c a ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得，，因此， 当且仅当时取等号，则的最小值为9．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）或；（2． 【解析】（1）与共线，又，则，为单位向量，， ，或，则的坐标为或． （2）， ，， ． 18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题，，周期，∴， 再由，即，12sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭12sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ABC ABDBCD S S S =+△△△ac a c =+111a c +=()11444559c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭23c a ==4a c +⎝⎭⎛⎝⎭a b ()1,2=a (),2x x =b b 1∴=b ()2221x x ∴+=x ∴=x =b ⎝⎭⎛ ⎝⎭()()225522522+⋅-=+⋅-=-=a c a c a a c c ()2222445510+=+⋅+=+=a c a a c c ()2225252544-=-⋅+=+=a c a a c c ()()522cos 522θ+⋅-∴===+⨯-a c a c a c a c()17,1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 132A =71211212T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22T ωπ==π112sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=π⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 16ϕπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：，又，∴，，由，得的单调递减区间为．（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，由题，，∴，， 当时，的最小值为．19．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由已知得：∴，∴． （2）∵是锐角三角形∴，∴， 5cos cos cos sin 6233B A A A π⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos A B +转化成sin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴，∴． 20．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），()262k k ϕππ+=+π∈Z ϕ<π3ϕπ=()2sin 23f x x π⎛⎫=π+ ⎪⎝⎭3222232k x k πππ+π≤π+≤+π()f x ()17,1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x ()0θθ>()()2sin 23g x x θπ⎡⎤=π++⎢⎥⎣⎦()()12sin 2103g θπ⎡⎤-=π-+=⎢⎥⎣⎦()()213k k θππ-+=π∈Z ()526k k θ=+∈Z 1k =-θ13C π=612⎛ ⎝⎭222a b c +-222cos 2a b c C ab +-===C π=6ABC △025062A C A π⎧<<⎪⎪=⎨π⎪<π-<⎪⎩,32A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭25336A π⎛⎫+∈π,π ⎪⎝⎭1sin 32A ⎛π⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭πAD =()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴，∴函数的最小正周期为． （2）由（1）知，∵在中，∴，∴，∴，又，∴， ∴， 在中，由正弦定理，∴，在中，由余弦定理得，∴．21．【答案】（1），；（2）2AC =，．【解析】（1）由得，即， 函数的周期为．（2）由，∵是锐角三角形∴， 由正弦定理：及条件，．又∵，即解得， ∴的面积． 22Tπ==π()f xπ()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ABC △()2f A =sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭262A ππ-=3A π=1cos7B =sin B =()11sin sin 72C A B =++=ABC △sin sin c aC A ==7a =72BD =ABD △222227711292cos 5252274AD AB BD AB BD B ⎛⎫=+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭AD =()2sin 3y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭2T =πS =∥a b 11sin 022y x x ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭()2sin 3y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭()f x 2T =π3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭2sin 33A ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭sin A ABC △3A π=sin sin BC AC A B =BC sin B =sin 2sin BC B AC A ⋅===2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅2174222AB AB =+-⋅⨯⨯3AB =ABC △1sin 2S AB AC A =⋅⋅=22．【答案】（1）；（2． 【解析】（1）由条件可知：，∴， 所以函数零点满足，由，，解得，． （2）由正弦定理得， 由（1），而，得，∴2262A k ππ-=π+，，又，得，∵，代入上式化简得： ， 又在锐角中，有，，∴，，．212k x ππ=+2b ca+<≤2cos sin 2sin cos 2sin 2666x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b ()2sin 26cos sin 226x f x x π⎛⎫- ⎪⋅π⎛⎫⎝⎭====- ⎪⋅⎝⎭a b a,b a b ()f x sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭26x k π-=πk ∈Z 212k x ππ=+k ∈Z sin sin sin b c B Ca A++=()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1f A =sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭k ∈Z ()0,A ∈π3A π=A B C ++=π23C B π∴=-23sin sin sin 36222sin sin sin sin 6B B B B B b c B a A A A ππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+π⎛⎫⎝⎭⎝⎭====+ ⎪⎝⎭ABC △02B π<<2032C B ππ∴<=-<62B ππ<<2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭2b c a +<≤。

三角函数、解三角形(基础巩固卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知＝12，且θ()A.0B.12C.32D.12.黄金分割数5－12的近似值为0.618，这一数值也可表示为a＝2sin18°，若a2＋b＝4，则a2b1－cos72°＝()A.1 2B.2C.5＋12D.43.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝23，B＝45°，C ＝75°，则b＝()A.2B.6C.22D.324.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝根据此公式，若a cos B＋(b－2c)cos A＝0，且b2＋c2－a2＝4，则△ABC的面积为()A.6B.23C.3D.325.为得到函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象，只需将函数g(x)＝sin2x－cos2x的图象()A.向左平移π4个单位长度B.向左平移π2个单位长度C.向右平移π4个单位长度D.向右平移π2个单位长度6.已知αα＝－17，则sin2α－cos2α1＋cos2α的值是()A.－32B.－1 C.1 D.327.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A＋2c sin C＝2b sin C cos A，则角A的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.2π38.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群.故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为()A.3B.4C.6(3－1)D.3(3＋1)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数f(x)＝sin x2，则以下结论恒成立的是()A.f(－x)＝－f(x)B.f(－x)＝f(x)C.f(2π－x)＝f(x)D.f(π＋x)＝f(π－x)10.已知函数f(x)＝cos2x1＋sin x，则()A.f(x＋π)＝f(－x)B.f(x)的最大值为4－22C.f(x)是奇函数D.f(x)的最小值为－1211.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝π4，BC边上的高等于a3，则以下四个结论正确的有()A.cos C＝255B.sin∠BAC＝31010C.tan∠BAC＝3D.b2－c2＝a2312.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，关于此函数的描述下列选项正确的是()A.ω＝2B.φ＝π3C.若x 1＋x 2＝π3，则f (x 1)＝f (x 2)D.若x 1＋x 2＝π3，则f (x 1)＋f (x 2)＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知α是第三象限角，且cos ＝35，则tan α＝________，sin （π－α）cos （π＋α）＝________.14.某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心、QT 长为直径的半圆，QT ＝23dm.QST 的圆心为P ，PQ ＝PT ＝2dm.QRT 与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为________dm 2.15.对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：a *b a －2b ，a ≥b ，b －2a ，a ＜b ，则函数f (x )＝sin x *cosx 的值域为________.16.[2022·江西红色七校联考]在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若4S ＝b 2＋c 2－a 2，b ＝6，2cos 2B ＋cos 2B ＝0，则S ＝________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)下面给出有关△ABC 的四个论断：①S △ABC ＝32；②b 2＋ac ＝a 2＋c 2；③a c ＝2或12；④b ＝3.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若________，则________(用序号表示)；并给出证明过程.18.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角φ的终边与单位圆的交点为A ，圆C ：x 2＋y 2＝3与x 轴正半轴的交点是P 0.若圆C 上一动点从P 0开始，以πrad/s 的角速度逆时针做圆周运动，t s 后到达点P .设f (t )＝|AP |2.(1)若φ＝π3且t ∈(0，2)，求函数f (t )的单调递增区间；(2)若2，π3＜φ＜5π6，求19.(12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，3c sin A ＝4b sin C ，再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题.(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若△ABC 的面积为25，点D 在线段AB 上，且BD ＝2DA ，求CD 的长.条件①：cos C ＝23；条件②：cos A ＝19.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.20.(12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ＞0，ω＞0，|φ|.(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g(x)＝f(x)－cos2x，求函数g(x)在区间0，π2上的单调性.21.(12分)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，从以下三个条件中选取一个解答该题.①2b－ca＝cos Ccos A；②4cos(B＋C)＋2cos2A＝－3；③a3cos A＝bsin（A＋C）.(1)求角A的大小；(2)若a＝14，b＋c＝42，求△ABC的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.(12分)已知f(x)＝x＋12sinx－34.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若2对任意的x∈π4，π3恒成立，求实数a的取值范围.参考答案1.D [由θ，得－π6＜θ－π6＜π3，又＝12，所以θ－π6＝π6，解得θ＝π3，故cos 0＝1，故选D.]2.B[把a ＝2sin 18°代入a 2＋b ＝4，得b ＝4－a 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，a 2b 1－cos 72°＝4sin 218°·4cos 218°1－cos 72°4sin 236°1－（1－2sin 236°）＝2.故选B.]3.C[由题意A ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin Bsin A＝23×sin 45°sin 60°＝22，故选C.]4.C[因为a cos B ＋(b －2c )cos A ＝0，所以由余弦定理可得a ×a 2＋c 2－b 22ac＋(b －2c )×b 2＋c 2－a 22bc ＝0，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，又b 2＋c 2－a 2＝4，所以bc ＝4，由△ABC的面积公式得S 1216－4＝3，故选C.]5.A [f (x )＝2sinx g (x )＝2sin x g (x )的图象→f (x )的图象，即g (x )的图象向左平移π4个单位长度.故选A.]6.B [由α＝－17，可得tan 2α＋11－tan 2α＝－17，解得tan 2α＝－43，又由2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝－12，或tan α＝2(舍去)，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－1.故选B.]7.A[由正弦定理可得a 2＋2c 2＝2bc cos A ，根据余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos A ＋2c 2＝2bc cos A ，整理得4bc cos A ＝b 2＋3c 2≥23bc ，当且仅当b ＝3c 时等号成立，所以cos A ≥32，又A ∈(0，π)，所以0＜A ≤π6，故选A.]8.C[如图，根据题意得∠ACB ＝15°，∠ACD ＝105°，∠ADC ＝30°，CD ＝24，所以∠CAD ＝45°，所以在△ACD 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC，即24sin 45°＝ACsin 30°，解得AC ＝122，所以在Rt △ACB 中，sin ∠ACB ＝ABAC ，即sin 15°＝AB 122，解得AB ＝122sin 15°＝122sin(60°－45°)＝122×22－12×122×6－24＝32(6－2)＝63－6.故选C.]9.ACD [对于A ，B ，f (－x )＝sin x2＝－f (x )，所以A 正确，B 错误；对于C ，f (2π－x )＝sin 2π－x 2＝sin x2＝f (x )，所以C 正确；对于D ，因为f (π＋x )＝sin π＋x 2＝cos x2，f (π－x )＝sin π－x 2＝＝cos x2，所以f (π＋x )＝f (π－x )，所以D 正确，故选ACD.]10.AB [由题意，函数f (x )＝cos 2x 1＋sin x ，可得f (x ＋π)＝cos[2（x ＋π）]1＋sin （x ＋π）＝cos 2x1－sin x ，f (－x )＝cos （－2x ）1＋sin （－x ）＝cos 2x1－sin x，所以A 正确；f(x)＝cos2x1＋sin x＝1－2sin2x 1＋sin x＝4＋2sin x4－22，当且仅当sin x＝22－1时等号成立，故B正确；由f(－x)＝cos（－2x）1＋sin（－x）＝cos2x1－sin x，得f(－x)≠－f(x)，所以C不正确；1＋＝－121－32＝－2－3＜－12，所以D不正确.故选AB.]11.ABD[∵sin B＝a3c＝a3c＝22，∴c＝23a.由余弦定理知，cos B＝a2＋c2－b22ac＝＝22，解得b＝53a，b2－c2＝13a2，选项D正确；b＝53a，由正弦定理得sin B＝53sin∠BAC＝22，则sin∠BAC＝31010，选项B 正确；易知c＝105b，B＝π4，则C＜π4⇒∠BAC＞π2，tan∠BAC＝－3，选项C错误；sin C＝105sin B＝105×22＝55⇒cos C＝255，选项A正确.故选ABD.]12.AC[对于A，由题图知，f(x)的最小正周期T＝25π12－π，所以ω＝2πT ＝2，故A正确；对于B，由A知f(x)＝2sin(2x＋φ)，－π12，得2＋φ＝2kπ(k∈Z)，结合|φ|＜π解得φ＝π6，故B错误；对于C 、D ，由B 知f (x )＝x令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的一条对称轴，由x 1＋x 2＝π3，知x 1，x 2关于直线x ＝π6对称，所以f (x 1)＝f (x 2)，故C 正确，D 错误.综上所述，正确的结论为A 、C.]13.34－45[因为＝35，所以－sin α＝35，所以sin α＝－35.又因为α是第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34，sin （π－α）cos （π＋α）＝－sin αcos α－sin α＝cos α＝－45.]14.3＋π6[连接PO ，可得PO ⊥QT ，因为sin ∠QPO ＝QO PQ ＝32，所以∠QPO ＝π3，∠QPT ＝2π3，所以月牙的面积为S ＝12×π×(3)222×2π3－12×23×2.故答案为3＋π6.]15.[0，22][由题知a *b ＝2|a －b |，则f (x )＝sin x *cos x ＝2|sin x －cos x |＝22|∈[0，22].]16.3＋32[在△ABC 中，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，因为4S ＝b 2＋c 2－a 2，S ＝12bc sin A ，所以cos A ＝4S 2bc ＝4×12bc sin A 2bc＝sin A ，所以tan A＝1.又AA ＝π4由2cos 2B ＋cos 2B ＝0得2cos 2B ＋2cos 2B －1＝0，即cos 2B ＝14，又BB ＝π3，由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，a ＝b sin A sin B ＝6×2232＝2.因为sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×12＋22×32＝6＋24，所以S ＝12ab sin C ＝3＋32.]17.解方案一若①②③，则④.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，又B ＝60°，故ac ＝2.由③a c ＝2或12，不妨取a c＝2，与ac ＝2联立，得a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2＋c 2－ac ＝4＋1－2＝3，得b ＝3，④成立.方案二若①②④，则③.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，又B ＝60°，故ac ＝2.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，可得a 2＋c 2－ac ＝3，从而(a ＋c )2＝9，a ＋c ＝3，与ac ＝2联立，＝2，＝1＝1，＝2，故a c ＝2或12，③成立.方案三若①③④，则②.(错误选择，零分)由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，由③a c ＝2或12，不妨取a c ＝2，得c 2sin B ＝32，即sin B ＝32c2.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，a c＝2，可得5c 2－4c 2cos B ＝3，从而cos B ＝5c 2－34c 2.又sin 2B ＋cos 2B ＝1，得3c 4－10c 2＋7＝0，得c ＝1或73，当c ＝1时，得a ＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＝3，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°).即B ＝60°，即b 2＝a 2＋c 2－ac 成立，②成立；当c ＝73时，得a ＝273，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＝3，得cos B ＝1314，故B ＝60°不成立，即b 2＝a 2＋c 2－ac 不成立，②不成立.方案四若②③④，则①.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，得a 2＋c 2－ac ＝3.由③a c ＝2或12，不妨取a c＝2，代入a 2＋c 2－ac ＝3中可得，3c 2＝3，得c ＝1，a ＝2，从而得12ac sin B ＝32，即S △ABC ＝32，①成立.18.解由已知条件和三角函数的定义得，A (cos φ，sin φ)，P (3cos πt ，3sin πt )，∴f (t )＝|AP |2＝(cos φ－3cos πt )2＋(sin φ－3sin πt )2＝4－23cos(πt －φ).(1)若φ＝π3，则f (t )＝4－23cos t 令2k π≤πt －π3≤π＋2k π(k ∈Z )，得13＋2k ≤t ≤43＋2k (k ∈Z ).又t ∈(0，2)，∴函数f (t )的单调递增区间是13，43.(2)由2，及π3＜φ＜5π6，得＝33，－π2＜π3－φ＜0，∴＝－63，∴4－23cos＝4＋23sin 4－2 2.19.解选择条件①cos C ＝23.(1)证明由3c sin A ＝4b sin C 和正弦定理得3a ＝4b ，由cos C ＝23和余弦定理得23＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25b 2－9c 224b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)得3a ＝4b ，b ＝c ，∵cos ∠ACB ＝23，且∠ACB 为△ABC 一内角，∴sin ∠ACB ＝53，∴S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝259c 2＝25，∴c ＝b ＝3，a ＝4.∵BD ＝2DA ，∴BD ＝2，DA ＝1，∴CD 2＝a 2＋BD 2－2a ·BD cos B ＝42＋22－2×4×2×23＝283，∴CD ＝2213.选择条件②cos A ＝19.(1)证明由3c sin A ＝4b sin C 和正弦定理得3a ＝4b ，由cos A ＝19和余弦定理得19＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9c 2－7b 218bc ，∴b ＝c 或b ＝－97c (舍去)，∴△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)得3a ＝4b ，b ＝c ，∵cos A ＝19，且A ∈(0，π).∴sin A ＝459，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝259b 2＝25，∴c ＝b ＝3，a ＝4.∵BD ＝2DA ，∴BD ＝2，DA ＝1，∴CD 2＝b 2＋AD 2－2b ·AD cos A ＝283，∴CD ＝2213.20.解(1)由图可得A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，当x ＝π6时，f (x )＝1，可得2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，而|φ|＜π2，于是有φ＝π6，所以f (x )的解析式为f (x )＝x π.(2)g (x )＝f (x )－cos 2x ＝x cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6－cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝x 由0≤x ≤π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，当－π6≤2x －π6≤π2有0≤x ≤π3，g (x )单调递增，当π2＜2x －π6≤5π6有π3＜x ≤π2，g (x )单调递减，所以g (x )在0，π3单调递增，在，π2单调递减.21.解若选①，(1)根据正弦定理知，2b －c a ＝2sin B －sin C sin A＝cos C cos A ，即2sin B ·cosA ＝cos C ·sin A ＋sin C ·cos A ，即2sinB ·cos A ＝sin(A ＋C )，因为A ＋C ＝π－B ，所以2sin B ·cos A ＝sin B ，又B ∈(0，π)，故sin B ≠0，解得cos A ＝12.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.若选②，(1)由题意可得4cos(B ＋C )＋2(2cos 2A －1)＝－3，又cos(B ＋C )＝－cos A ，所以－4cos A ＋2(2cos 2A －1)＝－3，所以4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.若选③，(1)由正弦定理及a 3cos A ＝b sin （A ＋C ），得sin A 3cos A ＝sin B sin （A ＋C ），又sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，所以sin A 3cos A ＝sin B sin B ，得tan A ＝ 3.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.22.解(1)化简得f (x )＝cosx ＋32cos2x ＋32cos 2－34＝14sin 2x ＋32×1＋cos 2x 2＋14sin 2x ＋34cos 2x －34＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝x 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以单调递增区间为－512π＋k π，π12＋k π，k ∈Z .(2)由(1)可得a sin x －cos x ≥2，即a ≥2＋cos x sin x，对任意的x ∈π4，π3恒成立，只需要amax 即可，2＋cos x sin x＝2sin x 2cos x 22sin x 2cos x 2令t＝sin x2cos x2＝tanx2，因为x∈π4，π3，则x2∈π8，π6，所以t＝tan x2∈2－1，33，所以2＋cos xsin x＝3＋t22t＝32t＋t2，由对勾函数性质可得，当t∈2－1，33时，y＝32t＋t2为减函数，所以当t＝2－1max＝22＋1，所以实数a的取值范围是[22＋1，＋∞).。

一轮单元训练金卷?高三?数学卷（B）第十单元三角函数、平面向量、解三角形综合注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量a x,y，b1,2，c1,1，若满足a∥b，b a c，则向量的坐标为（）A．11,24B．63,55C．21,55D．12,552．已知向量a，b满足a1，b2，a b3,2，则a2b（）A．22B．25C．15D．17 3．设a1,2，b1,1，c a k b．若b c，则实数k的值等于（）A．53B．53C．32D．324．将函数f x2cos x图像上所有点的横坐标缩短到原来的612倍（纵坐标不变），得到函数y g x的图像，则函数y g x的图像的一个对称中心是（）A．1112,0B．,06C．,012D．512,05．若△ABC的三个内角满足sin A:sin B:sin C＝5:11:13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．函数f x Asin x A0,的部分图象如图所示，为了得到函数f x的图象，只需2将函数g x sin2x的图象（）个长度单位B．向左平移A．向右平移个长度单位66个长度单位D．向左平移C．向右平移个长度单位337．如图，在平面四边形ABCD中，AB BC，AD CD，BAD120，AB AD1．若点E为边CD上的动点，则AE BE的最小值为（）A．2116B．32C．2516D．38．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．502m B．503m C．252m D．2522m9．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且222cos cosa b c a B b A abc，则角C（）A．30B．45C．60D．9010．△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c．已知22222c b a，A B22sin1cos2C，2则sin B A的值为（）A．12B．34C．23D．4511．已知函数sinf x x，0，点A m,n，B m,n n1都在曲线y f x上，3且线段AB与曲线y f x有2k1k*N个公共点，则的值是（）A．2k B．k C．2kD．1k12．锐角△ABC中，a,b,c为角A,B,C所对的边，若2252a b c，则cosC的取值范围为（）A．422,53B．122,23C．46,53D．12,1二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知非零向量a，b满足a2b，a b7b，则a与b夹角为________．14．设函数f x cos x(0)，若6f x f对任意的实数x都成立，则的最小值为4__________．15．函数y Asin x(A0,)的部分图象如图，则函数解析式为_______．216．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4a c的最小值为________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知平面向量a，b，c，且a1,2．（1）若b是与a共线的单位向量，求b的坐标；（2）若5c，且c a，设向量a2c与a c的夹角为，求cos．218．（12分）设函数f x Asin x A0,0,图像中相邻的最高点和最低点分别为1 12,2，712,2．（1）求函数f x的单调递减区间；（2）若函数f x的图像向左平移0个单位长度后关于点1,0对称，求的最小值．19．（12分）已知:锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，三边满足关系22230a b c ab，（1）求内角C的大小；（2）求3cos A cos B的取值范围．20．（12分）已知函数22f x sin x cos x23sin x c os x x R．（1）求f x的最小正周期；（2）在△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c，若f A2，c5，cos 1B，求△ABC中线AD的7长．21．（12 分）向量1 1 3a，b1,y ，已知a∥b，且有函数y f x ．, sin x cos x2 2 2（1）求函数y f x 的解析式及周期；（2）已知锐角△ABC 的三个内角分别为A,B,C ，若有 f A 3 ，边BC 7 ，3 sin21B ，7求AC 的长及△ABC 的面积．22．（12 分）已知a2cos x,2sin x ，b sin x ,cos x ，函数 f x cos a,b．6 6（1）求函数 f x 零点；（2）若锐角△ABC 的三内角A, B,C 的对边分别是a,b,c ，且 f A 1 ，求b ca的取值范围．一轮单元训练金卷?高三?数学卷答案（B）第十单元三角函数、平面向量、解三角形综合一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】D【解析】a∥b，y 2x ，b a c，1,2 x 1,y 1 0 ，x 1 2y 2 0 ，解得1x ，52y ，故选D．52．【答案】D【解析】向量a，b满足a 1 ，b 2 ，a b3, 2 ，可得 2a b 5 ，即2 2a b2ab5，解得a b0 ．2 2 2a2b a 4 b4a b 1 16 17 ，a2b17 ．故选D．3．【答案】C【解析】由题得c1,2 k,k 1 k,2 k ，因为b c，所以b c1,1 1 k,2 k 1 k 2 k 0 ，3k ．故选C．24．【答案】B【解析】函数 f x 2cos x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的6 12倍（纵坐标不变），得到g x 2cos 2x ，6由2x k ，k Z，可得6 2kx ，k Z，6 2当k 0 时，对称中心为,06，故选B．5．【答案】Ca b c【解析】由正弦定理2R( R为△ABC 外接圆的半径) 及已知条件si n A s i B n s C i nsin A:sin B :sin C＝5:11:13 ，可设 a 5x ，b 11x ，c 13x x 0 ，则2 2 2 25x 11x 13x 23xcos C 022 5x 11x 110x，所以C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．故选C．6．【答案】B【解析】根据函数 f x A s in x A 0, 的部分图象，可得 A 1，2T 1 2 7–4 4 12 3 4，∴ 2 ，故 f x sin 2x ．再根据五点法作图可得 2，求得，33个单位，可得∴f x sin 2x ．故将g x sin 2x的图象向左平移3 6f x sin 2 x sin 2x 的图象，故选B．6 37．【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则1A 0, ，23B ,0 ，23C 0, ，23D ,0 ，2点E 在CD 上，则DE DC 0 1 ，设 E x, y ，则：3 3 3x , y , ，即2 2 2xy3 32 232，据此可得3 3 3E , ，2 2 2且3 3 3 1AE , ，2 2 2 23 3BE 3, ，2 2由数量积的坐标运算法则可得：3 3 3 3 3 1 AE BE 3 ，2 2 2 2 2 2整理可得： 32AE BE 4 2 2 0 1 ，4结合二次函数的性质可知，当14 时，AE BE 取得最小值2116．本题选择 A 选项．8．【答案】A【解析】在△ABC 中，AC 50 m ，ACB 45 ，CAB 105 ，即ABC 30 ，则由正弦定理AB ACsin ACB sin ABC ，得AB250AC sin ACB 2 50 2 m12sin ABC，故答案为A．9．【答案】C【解析】△ABC 中， 2 2 2a b c a cos B b cos A abc ，由余弦定理可得：2ab cosC a cosB b cos A abc ，∴2cos C sin Acos B sin B cos A sin C ，∴2cos C sin A B sin C ，2cos C sin C sin C ，∵sin C 0 ，∴1cosC ，又∵C 0, ，∴2C ．故选C．310．【答案】 B【解析】因为A B22sin 1 cos C ，221 cos2 C 2cos C ，22cos C cosC 1 0 ，所以1 cosC ，20 C ，2C ．3因为 2 2 2 2 2c b a ，所以2 2 2sin C 2sin B 2sin A，38sin B A sin B A ，所以3 3sin C sin B A sin B A ，8 2sin3B A ．故答案为B．411．【答案】 A【解析】因为点 A m,n ，B m , n n 1 ，都在曲线y f x 上，且线段AB 与曲线y f x 有2k 1 k *N个公共点，A m,n ，B m n n 1 ，2AB kT ,T 2kk，即的值是2k ，故选 A ．12．【答案】 C【解析】由题得cosC2 2a b2 2 2 2a b a b2 2 2 5 4 4 2 4a b c ab2ab 2ab 10ab 10ab 5，（当且仅当 a b 时取等）2 2 2a b c2 2 2b c a2 2 2a cb ，2 2a b2 2a b52 2a b2 2b a52 2a b2 2a b5由于三角形是锐角三角形，所以，22 b 323 a 2 ，6 b 63 a 2．cos C42 2a b2 2 2a b c 2 b a52ab 2ab 5 a b，设ba x ，6 6x , ，3 22 1f x x5 x．因为函数 f x 在63,1 1,是减函数，在62是增函数，所以 f x 的无限接近6f ，36f 中较大的．2所以6 6 6f x f f ．2 3 3所以cosC 的取值范围为4 6,5 3．故选C．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【答案】3【解析】设两向量的夹角为，由题意可得： 2 7 2a b b，即： 2 6 2 2 0a b a b，则：2 2a 6b 2 a b cos 0 ，据此有： 2 24 b 6 b 2 2 b b cos 0 ，整理计算可得：cos 12，．314．【答案】2 3【解析】因为f x f 对任意的实数x 都成立，所以4 f 取最大值，所以 2k k Z，44 628k k Z，因为0 ，所以当k 0 时，取最小值为3 23 ．15．【答案】1y 2sin x3 6【解析】根据函数sin ( 0, )y A x A 部分图象，2可得A 2 ，1 2 72 2 2，13．结合五点法作图可得13 2 0 ，求得，6故函数的解析式为 1y 2sin x ，故答案为3 61y 2sin x ．3 616．【答案】9【解析】由题意可知，S△S△S△，由角平分线性质和三角形面积公式得ABC ABD BCD1 1 1ac c a ，化简得ac a c ，sin120 1 sin60 1 sin602 2 2 1 1a c1 ，因此1 1 c 4a c 4a4a c 4a c 5 5 2 9a c a c a c，当且仅当 c 2a 3时取等号，则4a c 的最小值为9 ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）5 2 5,5 5或5 2 5,5 5；（2）1010．【解析】（1）a与b共线，又a1,2，则b x,2x，b为单位向量，b1，2221 x x，5x或55x，则b的坐标为5525,55或525,55．（2）2255a2c a c a a c2c5，22222a2c a4a c4c5510，2525 22a c a2a c c5，445cos a c a c22105a c a c210102．18．【答案】（1）17k,k k Z；（2）121213．【解析】（1）由题，A2，周期71T21，∴12122T2，再由11f2sin22，即sin1 12126，得：2k k Z，又，∴623，f x2sin2x，3由2232k x k，得f x的单调递减区间为23217k,k k Z．1212（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）（2）函数f x的图象向左平移0个单位长度后，得g x2sin2x，3由题，g12sin210，3∴213k k Z，k526k Z，当k1时，的最小值为13．19．【答案】（1） C6；（2）13,22．【解析】（1）由已知得：222a b c3ab∴cos C22233a b c ab2ab2ab2，∴C6．（2）∵△ABC是锐角三角形∴CA562，∴A,，325cos B cos A cos A sin A，将3cos A cos B转化成6233sin A，∴325A，∴33613sin A,．32220．【答案】（1）；（2）129 AD．2【解析】（1）f x cos2x3sin2x2sin2x，6∴2T，∴函数f x的最小正周期为．2（2）由（1）知f x2sin2x，6∵在△ABC中f A2，∴sin2A1，6∴2A，∴62A，又31cos B，∴7sin43B，7∴3114353 sin C sin A B，272714在△ABC中，由正弦定理c asin C sin A ，得5a533142，∴a7，∴7BD，2在△ABD中，由余弦定理得22222771129AD AB BD2AB BD cos B525，∴2274129 AD．221．【答案】（1）2siny f x x，T2；（2）AC2，333 S．2【解析】（1）由a∥b得113y sin x cos x0，即y f x2sin x，2223函数f x的周期为T2．（2）由f A3得2sin A3，即333sin3A，2。

全国百所名校高考数学一轮复习试卷专题五：三角函数、平面向量、解三角形满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=A B C ．2 D ．3 2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转6π后经过点()3,4-，则cos α=（ ）A B C D ．3．已知向量()1,2a =，2b =，且a b ⊥，则2a b +=（ ）A B C ．13 D ．17 4．若3tan 24α=-，则22sin 2cos 12sin ααα+=+（ ） A ．14-或14 B ．34或14C ．34D ．14 5．已知函数22()cos 2sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则关于该函数性质的说法中，正确的是（ ）A ．最小正周期为2πB ．将其图象向右平移6π个单位，所得图象关于y 轴对称C ．对称中心为(),0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 6．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深对今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响.下图就是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为8m ，代表阴阳太极图的圆的半径为2m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A ．242mB ．237mC ．232mD ．284m 7．函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，已知()()120f x f x +=，且212x x π-<，则()12f x x +=（ ）A B ．1 C ．D ．1-8．如图，O 为ABC ∆的外心，4,2,AB AC BAC ==∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的图象是( ) A ． B ．。

高三文科数学三角函数专题测试题a sin A … “1. 在△ ABC 中，已知b = COSB ，贝V B 的大小为（）A. 30°B . 45° C. 60° D . 90°2. 在△ ABC 中，已知 A = 75°, B = 45°, b = 4,贝V c =（）A ：6B. 2；6 C. 4 ;3 D. 23. 在△ ABC 中，若/ A = 60°,/ B = 45°, BC= 3 .-'2,贝V AC=()/ ABC=n，AB= 2, BC = 3」sin / BAC=()B ¥a = 1, b=“J 3, c = 2,贝V B 等于()在厶 ABC 中，b 2+ c 2- a 2=- bc ,贝V A 等于（） A. 60°B. 135°C. 120°D. 90° 10 .在厶ABC 中，/ B = 60°, b 2= ac ,则A ABC —定是()在厶ABC 中，汨B =聶， “ BC- sin B AC= = sin A4. 在厶ABC 中，若/ A = 30° ,/ B = 60°，贝y a : b : c =()5. A. 1 : .''3 : 2 B. C. 2 : 3 : 4 D. 1 ： ,'2 <△ ABC 中，若 sin A>sin B ，则A 与B 的大小关系为（） A. A>B B.A<BC. A > BD. A 、B 的大小关系不能确定A. 30° C. 60°边长为5, A. 90° B. D. 7,B. 45°120°8的三角形的最大角与最小角的和是 （120° C. 135° D. 150° 在厶ABC 中, 在厶ABC 中,23 .16 .在厶 ABC 中，A = 45 ° , a = 2, b = ；：2,则角B 的大小为 17 .在厶ABC 中，c + b = 12, A = 60°, B = 30°，贝V b =18.在△ ABC 中，若a = 3, b^3,Z A =^，则川 的大小为 __________________ .2 2 219 . (2013 •上海卷)已知△ ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为 a , b , c ,若3a + 2ab + 3b — 3c = 0, 贝 y cos C =20 .厂9在厶ABC 中，若 AB= ：5, AC = 5,且 cos C =亦，贝V BC = 21 . <△ ABC 中，化简 b • cos C + c • cos B = 22 . 在厶ABC 中，a = 1, b = ,：3, A + C = 2B ,则 sin C =a 2+b 2 —c 2已知△ ABC 的三边a , b , c ,且面积S = 4 ，则角C =解答题24 . 在厶ABC 中，a =.3, b = 2, B = 45°,解这个三角形.14 .在厶ABC 中，a = 15, b = 10, A = 60°，贝V cos B =()二.填空题A = 30°,B = 120°,则厶ABC 的面积为25•设△ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知a = 1, b = 2, A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形11 •三角形的两边分别为 5和3,它们夹角的余弦是方程 5x 2— 7x — 6= 0的根，则三角形的另一边长为 ()A. 52B. 2 13C. 16D. 412 .在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若 (a 2+ c 2— b)tan B = .：3ac ,则/ B =()C n或罟叱13.在△ ABC 中，a sin A sin B + b cos 2A = ：2a ，则 £=()A. 2 :'3B. 2 '2CQ 3 D 匹15 .已知△ ABC 中，AB= 6,cos C =-41⑴求厶ABC的周长；(2)求cos(A - C)的值.n n26. 在△ ABC中，a cos — - A = b cos — - B，判断△ ABC 的形状.27. 在△ ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,且A+ C= 2B.⑴求cos B的值；(2)若b2= ac,求sin A sin C 的值.28. 在△ ABC中，B= 120°,若b= 13, a + c = 4，求△ ABC的面积.参考答案:1.B 解析：由正弦定理亠=旦得a=沁sin A sin B b sin B'sin2.B解析:3.B解析:4.A解析:5.A解析:6.C解析：sin A sin AB cos B，即sin B = cos B ,• B=45°4 c由正弦定理得sin 45 ° = sT60即 c =2 .；6.利用正弦定理解三角形.由正弦定理得 a : b : c= sin A :sin A >sin B? 2R Sin A >2R sinsinB?B : sinC = 1 : ：'3 :2.a>b? A> B(大角对大边).BC 由余弦定理得A&=BA2+Be 2B A- BCcos Z ABC=5,• AC=诂.再由正弦定理爲Z CAC=ACsin Z ABC可得sin Z BAC=葺0107.C 解析：cos Bc2+ a2—b2 4+ 1 —3 1 = = =2.2ac8.B9.C ••• B=60°解析：设边长为7的边所对的角为e52+ 82—721。

高三文科数学阶段复习卷（三角函数与三角形、平面向量）一、选择题（此题共12道小题，每题5分，共60分）1.已知sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ） （A ）16 （B ）13 （C ）12 （D ）232.sin 47sin17cos30cos17-（A ）-B ）12-（C ）12 （D 3.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 4.在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定5.（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）457.若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α=A. -34B. 34C. -43D. 438.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC∆的面积为（ ）（A ）232+ （B ）31+ （C ）232- （D ）31- 9.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A 3,1- B 2,2- C 33,2- D 32,2-10.设向量a,b 满足：3||1,,||222a ab a b =⋅=+=则，|b|=A ．1B ．32C ．2D ．811.已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 ( )A ．17B ．18C ．19D ．2012.已知向量(cos ,2),(sin ,1),//tan()4a b a b πααα=-=-且，则等于（ ）A.3B.-3C. 31D. 31- 评卷人 得分二、填空题（此题共4道小题，每题5分，共20分）13.已知向量)0,3(),1,2(-=-=b a ，则a 在b 方向上的投影为_______. 14.已知向量a=（1,0），b=（1,1），则（Ⅰ）与2a+b 同向的单位向量的坐标表示为____________； （Ⅱ）向量b-3a 与向量a 夹角的余弦值为____________。

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题复习题及答案一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ） A ．22S a bc +的最大值为3B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形 C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为223+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为31- 【答案】ACD 【分析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A ；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B ；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C ；由已知条件可得ABC 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AOB 的面积即可判断选项D. 【详解】 对于选项A ：2221sin 1sin 222cos 2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc Ac b==⨯++-+++- 1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin A y =，cos A x =，故21242S ya bc x ≤-⨯+-， 因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点12H ⎛ ⎝⎭，即60A =时，取得最小值-故可得,023yz x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎪-⎣⎭，又21242S yx bc x ≤-⨯+-，故可得2124S a bc ⎛≤-⨯= +⎝⎭， 当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确； 对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得c =，故选项B 错误； 对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b c B C=，即()2sin π3sin c c C C =-， 所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6C =，π3A =，因为2a =，所以3c =，b =，所以ABC 的周长为2+，故选项C 正确； 对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =，π6C =，π3A =，3c =，b =，所以ABC 的内切圆半径为1212333r ⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以ABC 的面积为11122cr ⎛== ⎝⎭所以选项D 正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A 利用面积公式和余弦定理，结合不等式得21sin 1sin 224cos 222cos S A Ab c a bc A A c b=⨯≤-⨯+-++-，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.2．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ）A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD 【分析】 根据3()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC外接圆半径为7【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin 7c R C===，ABC ，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.4．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<，56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．5．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.6．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭； 由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误；对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.7．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值； 【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-，对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减， 所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误； 对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；8．在ABC 中，下列说法正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤【答案】ABC【分析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD.【详解】A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a b A B =，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.二、数列多选题9．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ）A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数列【答案】AB【分析】 对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确．【详解】对于A ，若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，所以122(2)nn S n -=-≥，所以12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a = 则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确．故选：AB【点睛】方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.10．将()23n n ≥个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：11a 12a 13a ……1n a21a 22a 23a ……2n a31a 32a 33a ……3n a……1n a 2n a 3n a ……nn a该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知113a =，61131a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．2m =B ．767132a =⨯C ．()1212j ij a i -=+⨯D ．()()221n S n n =+- 【答案】ACD【分析】 由题中条件113a =，61131a a =+，得23531m m +=+解得m 的值可判断A ；根据第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列可判断BC ；由等差数列、等比数列的前n 项和公式可判断D.【详解】由113a =，61131a a =+，得23531m m +=+，所以2m =或13m =-（舍去），A 正确； ()666735132a m m =+=⨯，B 错误；()()112132212j j ij a i i --=-+⨯=+⨯⎡⎤⎣⎦，C 正确；()()()111212122212n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++1121(12)(12)(12)121212n n n nn a a a ---=+++--- ()()()11211332(1)21212n n n n a a a n ++-⎛⎫=+++-=⨯- ⎪⎝⎭()()221n n n =+-，D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列、等差数列的通项公式、求和公式求解，考查了学生的推理能力、计算能力.。