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材料力学第六版PPT-第七章 应力和应变分析 强度理论

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材料力学第七章应力状态和强度理论

材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y

x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2

x
y

2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c

x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2

40

x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )

C
C

C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa

材料力学课件第7章 应力、应变分析及强度理论

材料力学课件第7章 应力、应变分析及强度理论
第7章 应力、应变
分析及强度理论
1
太原科技大学应用科学学院
第7章 应力、应变分析及强度理论
7.1 应力状态的概念 7.2 应力状态的实例 7.3 二向应力状态分析——解析法 7.4 二向应力状态分析——图解法 7.5 三向应力状态 7.7 广义胡克定律 7.8 复杂应力状态下的应变能密度 7.9 强度理论概述 7.10 四种常用强度理论
xy
a
dA
yx
y
t
F 0
t
dA xy (dAcos ) cos x (dAcos ) sin yx (dAsin ) sin y (dAsin ) cos 0
15
目录
太原科技大学应用科学学院
7.3 二向应力状态分析——解析法
例题2 分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说 明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。 低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态
x


x y

x
2
x
2

x y
2
cos 2 xy sin 2
45
45
0

2 x y 2 sin 2
x y 2 2
28
2
x y 2 xy 2
太原科技大学应用科学学院
2
7.4 二向应力状态分析——图解法
x y 2 观察方程 2
2
x y 2 xy 2
1 2 3
该单元体称为主应力单元体。
8
太原科技大学应用科学学院
7.1 应力状态的概念

ch7应力和应变分析强度理论 山东建筑大学材料力学课件

ch7应力和应变分析强度理论 山东建筑大学材料力学课件
2
§7. 1 应力状态概述
1.引言： 铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
P 铸铁拉伸 M 低碳钢
铸铁压缩 P
铸铁
P
3
知识回顾： （1） 拉杆截面应力分析
n
m
F
F
横截面上应力分析 F
m
n
σ FN A
斜截面上应力分析 F
4
知识回顾： （2）受扭圆轴横截面应力分析
m
M
M
m 横截面上应力分析
cos 2
39
二向应力状态分析——解析法
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
1 2
(
x
y ) sin 2
xy
cos 2
正应力极值就是主应力！！
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin 2
d d
( x y ) sin 2 2 xy cos 2
设α＝ α 0 时，上式值为零，即
20
2xy x
y
60 0.6
60 40
代入 表达式可知
0 15.5, 0 15.5 90 105.5
主应力 1 方向： 0 15.5
主应力 3 方向： 0 105.5
47
二向应力状态分析——解析法
1 68.3MPa, 3 48.3MPa, 0 15.5
y xy
x
（3）主应力单元体：
dA
dA
yx dAsin
x
a
a
x
dA
y
y
使微元顺时针方向转动为正；反之为负。
角： 由x 轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；

材料力学-第七章-强度理论

材料力学-第七章-强度理论
脆性断裂,最大拉应力准则
r1 = max= 1 [] 其次确定主应力
ma xx 2y 1 2 xy2 4x 2y 2.2 9 M 8 P
m inx 2y 1 2 xy2 4x 2y 3 .7M 2 P
1＝29.28MPa,2＝3.72MPa, 3＝0
r113M 0 Pa
根据常温静力拉伸和压缩试验,已建立起单向应力状态下的弹 性失效准则;
考虑安全系数后，其强度条件
根据薄壁圆筒扭转实验,可建立起纯剪应力状态下的弹性失 效准则;
考虑安全系数后，强度条件
建立常温静载复杂应力状态下的弹性失效准则: 强度理论的基本思想是:
确认引起材料失效存在共同的力学原因,提出关于这一 共同力学原因的假设;
像铸铁一类脆性材料均具有 bc bt 的性能，
可选择莫尔强度理论。
思考题:把经过冷却的钢质实心球体,放入沸腾的热油锅 中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。
答:经过冷却的钢质实心球体,放入沸腾的热油锅中, 钢 球的外部因骤热而迅速膨胀,其内芯受拉且处于三向均 匀拉伸的应力状态因而发生脆性爆裂。
思考题: 水管在寒冬低温条件下,由于管内水结冰引起体 积膨胀,而导致水管爆裂。由作用反作用定律可知,水 管与冰块所受的压力相等,试问为什么冰不破裂,而水管 发生爆裂。
局限性:
1、未考虑 2 的影响，试验证实最大影响达15%。
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象, 此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则
4. 畸变能密度理论（第四强度理论） 材料发生塑性屈服的主要因素是 畸变能密度;
无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到 与材料性质有关的某一极限值,材料就发生屈服。
具有屈服极限 s
铸铁拉伸破坏

材料力学刘鸿文第六版最新课件第七章 应力和应变分析 强度理论

材料力学刘鸿文第六版最新课件第七章 应力和应变分析 强度理论
不相同，此即应力的点的概念。
5
7-1 应力状态的概述
直杆拉伸斜截面上的应力
k
F
{ F
p cos cos2
k
F
k p
k
p sin cos sin sin 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各
不相同的，此即应力的面的概念。
6
7-1 应力状态的概述
点的应力状态：
虚线：主压应力迹线 实线：主拉应力迹线
思考：在钢筋混泥土梁中，钢筋怎么放置最佳。 30
内容小结：
（1）根据已知点的应力状态求任意截面的应力。 （2）根据已知点的应力状态求主应力、主平面。 （3）结合前五章内容，掌握梁在拉、压、剪、扭、弯 等状态下，求某点的应力，并计算主应力和主平面。
31
第七章 应力和应变分析
58.3MPa 22
7-3 二向应力状态分析-解析法
（2）主应力、主平面
y xy
max
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
x
min
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
23
7-3 二向应力状态分析-解析法
y
主平面的方位：
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy （切应力互等）
化简得出：
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2

材料力学课件第7章 应力状态分析

材料力学课件第7章 应力状态分析
α+
2
（2）主应力值计算 ） 方法一： 方法一： σ x +σ y σ x −σ y + cos 2α 0 − τ xy sin 2α 0 σ α =
2 2 0 σ x +σ y σ x −σ y π π σ = + cos 2 α 0 + − τ xy sin 2 α 0 + α0 + π 2 2 2 2 2
2τ xy
σ x −σ y
2τ xy 1 可取： 可取： α 0 = arctan − σ −σ 2 x y
1 2τ xy , arctan − σ −σ x y 2
π + 2来自3、主应力： 、主应力： （1）性质： ）性质： ①主应力为各截面上正应力的极值。 主应力为各截面上正应力的极值。
∗ FS Sz τ= bIz
五、主平面、主应力 主平面、 1、主平面 、 •τ= 0的截面 的截面; 的截面 •过一点有三个相 过一点有三个相 互垂直的主平面. 互垂直的主平面 2、主应力 、 •主平面上的正应力 主平面上的正应力; 主平面上的正应力 •表示符号 1 、σ2、σ3（ σ1 ≥σ2≥σ3 ） 。 表示符号σ 表示符号 应力状态分类： 六、应力状态分类： 1、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 2、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 3、三向应力状态 ：三个主应力都不为零。 三个主应力都不为零。 、 4、简单应力状态：单向应力状态。 、简单应力状态：单向应力状态。 5、复杂应力状态：二向和三向应力状态。 、复杂应力状态：二向和三向应力状态。

材料力学07应力与应变分析 强度理论PPT文档58页

13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取——雨果
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
材料力学07应力与应变分析 强度理论
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)

材料力学课件第7章 应力和应变分析 强度理论

"
p
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2 l plD 0 2
π
P’
P p
y x
承受内压圆柱型薄壁容 器任意点的应力状态:
二向不等值拉伸应力状态
内点P‘点的应力状态？ σ
y
σx σz=p
（续）承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态 （壁厚为t，内直径为D，t<<D，内压为p）
例题3 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态 （壁厚为δ，内直径为D，t<<D，内压为p）
L
ｐ
m
n

z
y
p
D
m
l
n
n
（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
πD 2 F p 4
′
p
薄壁圆筒的横截面面积
A πD
πD 2 p F pD 4 A πD 4
n
D
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按 代数值大小的顺序来排列, 即
1 2 3
三、应力状态的分类
1.空间应力状态 三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零 2.平面应力状态 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零 3.单向应力状态 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
cos 2 xy sin 2
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
二、最大正应力及方位
2 2 x y sin 2 xy cos 2 2

材料力学第七章__应力和应变分析__强度理论(2).ppt


所以
m Wtt
d 3
16Biblioteka 1E45o
例 边长为10mm的铝质方块，紧密无隙 地嵌入一个深度和宽度都是10mm的钢槽 中，如图所示。当铝块受到P=60MPa的
• 在小变形及线弹性范围内，线应变 只与正应力有关，而与剪应力无关；
• 剪应变只与剪应力有关，而与正应 力无关，满足应用叠加原理的条件。
• 所以，我们利用单向应力状态和纯 剪切应力状态的虎克定律，分别求 出各应力分量相对应的应变，
• 然后，再进行叠加。
正应力分量在不同方向对应的应变
sx
s y
sz
s 1
(s 2
s 3 )
2
1 E
s 2
(s 3
s 1 )
3
1 E
s 3
(s 1
s 2 )
二、体积应变及应力的关系 1．体积应变
变形前单元体的体积为
V dxdydz
变形后，三个棱边的长度变为
dx 1dx (1 1)dx dy 2dy (1 2 )dy dz 3dz (1 3 )dz
x
y
xy
x
y
sin 2
xy
cos 2
22
2
二、应变圆
x
y
x
y cos2 xy sin 2
2
2
2
x
y
sin 2
xy
cos 2
22
2
(
x
y
)2
(
)2
x
y
sin
2
(
xy
)
2
22
2
t x'y'
R 1 2
sx s y

材料力学-07-应力分析和强度理论


§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力
y
σx
a
τ yx
τ xy
σx α
τa
n
τ xy
σa
dA
x
σy
n
τ yx
σy
t
t
∑F = 0
∑F =0
13
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
tan 2α0 = − 2τ xy
σ x −σ y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面， 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。 为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为： 所以，最大和最小正应力分别为：
σmax = σ x +σ y
2 1 + 2 − 1 2
单元体
单元体——构件内的点的代表物， 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的 ——构件内的点的代表物 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 单元体的性质—— 平行面上，应力均布； 单元体的性质——1) 平行面上，应力均布； —— 2) 平行面上，应力相等。 平行面上，应力相等。
2 2
σy
τ xy
α
60 − 40 60 + 40 = + cos(−60o ) + 30 sin(−60o ) 2 2
σx
= 9.02 MPa
τα =
σ x −σ y
2 60 + 40 = sin(−60o ) − 30 cos(−60o ) 2
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Ft 0
dA ( xy dAcos ) cos ( x dA cos )sin
( yx dA sin ) sin ( ydA sin ) cos 0
化简以上两个平衡方程最后得
2 2 x y sin 2 xy cos 2 2 不难看出 90 x y
1.截面法（Section method） 假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象
y n
e
yx x
f
e

x
x
x
xy
α
α
n α
xy
α
f
a
a
yx
y
(Analysis of stress-state and strain-state)
y n
e
1 2 3
(Analysis of stress-state and strain-state)
三、应力状态的分类 （The classification of stresses-state）
1.空间应力状态（Triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ） 三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零 2.平面应力状态（Biaxial stress-state or plane stress-state） 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零 3.单向应力状态（Uniaxial stress-state or simple stress-state） 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
得到max和min (主应力）
x y 2 2 max x y ( ) xy 2 2 min
下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角
(Analysis of stress-state and strain-state) 若约定 | 0 | < 45°即0 取值在±45°范围内 则确定主应力方向的具体规则如下 （1）当x> y 时,0 是x与max之间的夹角 （2）当x<y 时,0 是x与min之间的夹角 （3）当x=y 时,0 =45°,主应力的方向可由单元体上切应 力情况直观判断出来
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力
(Analysis of stress-state and strain-state) 2.最大正应力（Maximum normal stress） 将 0和 0+90°代入公式

x y
2

x y
2
cos 2 xy sin 2
5 4 3 2 1
S平面
5 4 3 2 1
2 x1
1
3 x2 2
3
x1
x2
2
3
(Analysis of stress-state and strain-state) 例题 2 画出如图所示梁 危 险截面危险点的应力状态单 元体
y S 1 2 z 3 x 4 l
F
FS
2 4 3
2
3
2
1 1
1 3 2
1
1
2
1
(Analysis of stress-state and strain-state) 例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5 S平面 4 3 l/2 l/2 l/2 l/2 2 1
(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-1 应力状态概述 (Concepts of stress-state) §7-2 平面应力状态分析-解析法 (Analysis of plane stress-state) §7-3 平面应力状态分析-图解法 (Analysis of plane stress-state) §7-4 三向应力状态分析 (Analysis of three dimensional stres点？ 哪一点？ 哪个方向面？
4.一点的应力状态（state of stresses of a given point） 过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状
态（state of stresses of a given point）,亦指该点的应力
全貌.
(Analysis of stress-state and strain-state)
yx x
f

x
e
x
x
xy
α
α
n α
xy
a
α
f
a
yx
y
t
2.符号的确定（Sign convention） （1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正 （2）正应力仍规定拉应力为正 （3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正
(Analysis of stress-state and strain-state)
2
3 1
1 3 2
(Analysis of stress-state and strain-state) 4.主平面（Principal plane） 切应力为零的截面 5.主应力（Principal stress） 主面上的正应力 说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按 代数值大小的顺序来排列, 即
(Analysis of stress-state and strain-state) 低碳钢和铸铁的拉伸
低碳钢 （low- carbon steel）
铸铁 （cast-iron）
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
(Analysis of stress-state and strain-state) 低碳钢和铸铁的扭转
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、最大切应力及方位 (Maximum shearing stress and it’s direction) x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-5 平面应变状态分析 (Analysis of plane strain-state) §7-6 广义胡克定律 (Generalized Hook’s law) §7-7 复杂应力状态的变形比能 (Strain-energy density in general stress-state ) §7-8 强度理论 ( Failure criteria) §7-9 莫尔强度理论 (Mohr’s failure criterion)
低碳钢 （low- carbon steel）
铸铁 （cast-iron）
为什么脆性材料扭转时沿45°螺旋面断开？
(Analysis of stress-state and strain-state) 3.重要结论（Important conclusions） （1）拉中有剪,剪中有拉; （2）不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力; （3）同一面上不同点的应力各不相同; （4） 同一点不同方向面上的应力也是各不相同
a
z
Mz
T
(Analysis of stress-state and strain-state)
y
y
FS
1 2 z 3 x 4 z 2 4 3
Mz
T
x
1
z
3 2
Mz T 1 x1 Wt Wz
T 4 FS 2 Wt 3 A
x3
T Mz 3 Wt Wz
(Analysis of stress-state and strain-state) 例题3 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
Chapter7 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria
(Analysis of stress-state and strain-state)
第七章 应力和应变分析 强度理论 Chapter7 Analysis of Stress and Strain Strength Theories

x y

x y
cos 2 xy sin 2
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、最大正应力及方位 （Maximum normal stress and it’s direction） x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
m n y

z
p
D
m
l
n
n
（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
πD 2 F p 4
′
p
薄壁圆筒的横截面面积
A πD
πD 2 F p 4 pD A πD 4
n
D
(Analysis of stress-state and strain-state) （2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
"
p
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2 l plD 0 2
π
(Analysis of stress-state and strain-state)