2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：3个附加题专项强化练(一) 选修4系列(理科)

3个附加题综合仿真练(四)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 外一点，且AB ＝AC ，BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 的切线交AC 于点E .求证：DE ⊥AC . 解：如图，连结OD .因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C . 由圆O 知OB ＝OD ， 所以∠B ＝∠BDO .从而∠BDO ＝∠C ，所以OD ∥AC . 又DE 为圆O 的切线，所以DE ⊥OD ， 所以DE ⊥AC .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x y 2，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，且AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ，其中x ，y ∈R.(1)求x ，y 的值；(2)若B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2，求(AB )－1.解：(1)AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x y 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y . 因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0. (2)由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤230 2 ，又B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －102 ， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2302⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 404 .设(AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14，即 (AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －12 0 14 .C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，所以ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .将直线l的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ， 即t 2＋82t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2. D ．[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )>2的解集；(2)若∀x ∈R ，f (x )≥t 2－112t 恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1)不等式f (x )>2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x ＋1－x ＋2>2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤2，2x ＋1＋x －2>2或⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1＋x －2>2，解得x <－5或x ＞1，所以所求不等式的解集为{x |x <－5或x >1}．(2)由f (x )＝|2x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >2，3x －1，－12≤x ≤2，－x －3，x <－12，可得f (x )≥－52，若∀x ∈R ，f (x )≥t 2－112t 恒成立，则t 2－112t ≤－52，即2t 2－11t ＋5≤0，解得12≤t ≤5.故实数t 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，5.2.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3.D 是线段BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1-A 1D -C 1的余弦值．解：因为在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，所以分别以AB ，AC ，AA 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,4,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0，3)，C 1(0,4,3)， 因为D 是BC 的中点，所以D (1，2,0)， (1)因为A 1C 1――→＝(0,4,0)，A 1D ―→＝(1,2，－3)， 设平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1C 1――→＝0，n 1·A 1D ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y 1＝0，x 1＋2y 1－3z 1＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝0，z 1＝1，所以平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(3,0,1)，而DB 1―→＝(1，－2,3)，设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈n 1，DB 1―→〉|＝|n 1·DB 1―→||n 1|·|DB 1―→|＝|3＋3|10×14＝33535， 所以直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为33535.(2) A 1B 1――→＝(2,0,0)，DB 1―→＝(1，－2,3)， 设平面B 1A 1D 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1B 1――→＝0，n 2·DB 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，x 2－2y 2＋3z 2＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝3，z 2＝2，所以平面B 1A 1D 的法向量n 2＝(0,3,2)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝210×13＝13065，故结合图象知二面角B 1-A 1D -C 1的余弦值13065. 3．已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)Y 6＝{1,2,3,4,5,6}，S 6中的元素(a ，b )满足：若a ＝1，则b ＝1,2,3,4,5,6；若a ＝2，则b ＝1,2,4,6；若a ＝3，则b ＝1,3,6. 所以f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立．②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立； b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－13，结论成立； c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－23，结论成立； d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋k ＋13，结论成立； e ．若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－13，结论成立； f ．若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－23，结论成立． 综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．。

3个附加题综合仿真练(五)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，D 是弧AC 的中点，DE ⊥AB 于E ，AC 与DE 交于点M ，求证：AM ＝DM .证明：连结AD ，因为AB 为直径，所以AD ⊥BD ，又DE ⊥AB ，所以∠ABD ＝∠ADE .因为D 是弧AC 的中点， 所以∠DAC ＝∠ABD ， 所以∠ADE ＝∠DAC . 所以AM ＝DM .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3,3)，求矩阵A .解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，因为向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －b c －d ＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.①因为点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3，3)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.② 由①②解得a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝1，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎨⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n (n 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：法一：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x .将直线⎩⎨⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n (n 为参数)代入y 2＝8x 得，n 2－82n ＋24＝0，解得n 1＝22，n 2＝6 2. 则|n 1－n 2|＝42， 所以线段AB 的长为4 2.法二：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x,将直线⎩⎨⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)化为普通方程为x －y ＋32＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝8x ，x －y ＋32＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6.所以AB 的长为⎝⎛⎭⎫92－122＋(6－2)2＝4 2.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝3x ＋6，g (x )＝14－x ，若存在实数x 使f (x )＋g (x )>a 成立，求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f (x )＋g (x )＞a 成立，等价于f (x )＋g (x )的最大值大于a ， 因为f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x＝3×x ＋2＋1×14－x ，由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x )2≤(3＋1)(x ＋2＋14－x )＝64，所以f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，故实数a 的取值范围是(－∞，8)．2.如图，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝45°，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求异面直线AB 与MD 所成角的大小；(2)求平面OAB 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值．解：作AP ⊥CD 于点P ，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，22，0，D ⎝⎛⎭⎫－22，22，0， O (0,0,2)，M (0,0,1)．(1)设直线AB 与MD 所成角为θ，由AB ―→＝(1,0,0)，BD ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－1， 则cos θ＝|cos 〈AB ―→，BD ―→〉|＝222＝12，故AB 与MD 所成角为60°.(2)OP ―→＝⎝⎛⎭⎫0，22，－2，OD ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－2，设平面OCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OP ―→＝0，n ·OD ―→＝0，即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，则n ＝(0,4，2).易得平面OAB 的一个法向量为m ＝(0,1,0)，cos 〈n ，m 〉＝432×1＝223，故平面OAB 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值为223.3．设a ＞b ＞0，n 是正整数，A n ＝1n ＋1(a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋a 2b n －2 ＋ab n －1＋b n ) ，B n ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 2n.(1)证明：A 2＞B 2；(2)比较A n 与B n (n ∈N *)的大小，并给出证明．解：(1)证明：A 2－B 2＝13(a 2＋ab ＋b 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝112(a －b )2>0. (2)A n ≥B n ，证明如下： 当n ＝1时，A 1＝B 1；当n ≥3时，A n ＝1n ＋1·a n ＋1－b n ＋1a －b，B n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n ，令a ＋b ＝x ，a －b ＝y ，且x >0，y >0，于是A n ＝1n ＋1·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2n ＋1y＝12n ＋1(n ＋1)y[(x ＋y )n ＋1－(x －y )n ＋1]，B n ＝⎝⎛⎭⎫x 2n ， 因为[(x ＋y )n ＋1－(x －y )n ＋1]＝(2C 1n ＋1x n y ＋2C 3n ＋1·x n －2y 3＋…)≥2C 1n ＋1x ny ， 所以A n ≥12n ＋1(n ＋1)y·2C 1n ＋1x ny ＝x n 2n ＝⎝⎛⎭⎫x 2n ＝B n .。

3个附加题综合仿真练(六)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P为垂足．求证：(1)∠PAC ＝∠CAB ； (2)AC 2＝AP ·AB .证明：(1)因为PC 切半圆O 于点C ，所以∠PCA ＝∠CBA . 因为AB 为半圆O 的直径，所以∠ACB ＝90°. 因为AP ⊥PC ，所以∠APC ＝90°. 因此∠PAC ＝∠CAB .(2)由(1)知，△APC ∽△ACB ，故AP AC ＝AC AB ， 即AC 2＝AP ·AB .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210. (2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x2. 因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α－2(α为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝β，若圆C 与直线l 相切，求直线l 的极坐标方程．解：圆的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝1， 设直线l 对应的直角坐标方程为y ＝kx ， 因为圆C 与直线l 相切， 所以d ＝|2|1＋k 2＝1，得到k ＝±3， 故直线l 的极坐标方程θ＝π3或θ＝2π3.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8. 证明：由柯西不等式可得：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16， 所以(ac ＋bd )2≤64， 因此ac ＋bd ≤8.2.已知正六棱锥S -ABCDEF 的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．(1)求概率P (X ＝3)的值；(2)求X 的概率分布，并求其数学期望E (X )． 解：(1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形， 共有C 37＝35种取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ， 这类三角形共有6个． 因此P (X ＝3)＝635. (2)由题意，X 的可能取值为3，2，6，23，3 3. 其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个；其中X ＝2的三角形有两类，如△SAD (3个)，△SAB (6个)，共有9个； 其中X ＝6的三角形如△SBD ，这类三角形共有6个； 其中X ＝23的三角形如△CDF ，这类三角形共有12个； 其中X ＝33的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个． 因此P (X ＝3)＝635，P (X ＝2)＝935， P (X ＝6)＝635，P (X ＝23)＝1235，P (X ＝33)＝235. 所以随机变量X 的概率分布为：所求数学期望 E (X )＝3×635＋2×935＋6×635＋23×1235＋33×235＝363＋66＋1835. 3．已知数列{a n }满足：a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n .(1)求证：当n ≥2时，a n ≥2；(2)利用“∀x ＞0，ln(1＋x )＜x ”，证明：a n ＜2e 34(其中e 是自然对数的底数)．证明：(1)①由题意，a 2＝⎝⎛⎭⎫1＋12×1＋12＝2，故当n ＝2时，a 2＝2，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立，即a k ≥2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1k (k ＋1)a k ＋12k ＞2.所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①②可知，对所有n ≥2，a n ≥2成立.(2)当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n ≤⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n ＋12n ＋1a n (n ≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x )＜x ，得 ln a n ＋1≤ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n ＋12n 1＋ln a n ＜ln a n ＋1n 2＋n ＋12n ＋1，故ln a n ＋1－ln a n ＜1n 2＋n ＋12n ＋1(n ≥2)， 求和可得ln a n －ln a 2＜12×3＋1 3×4＋…＋1(n －1)n ＋123＋124＋…＋12n ＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋123·1－12n －21－12＝12－1n ＋122－12n <34.由(1)知，a 2＝2，故有ln a n 2＜34，即a n ＜2e 34(n ≥2)，而a 1＝1＜2e 34，所以对任意正整数n ，有a n ＜2e 34.。

3个附加题综合仿真练(四)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 外一点，且AB ＝AC ，BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 的切线交AC 于点E .求证：DE ⊥AC . 解：如图，连结OD .因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C . 由圆O 知OB ＝OD ， 所以∠B ＝∠BDO .从而∠BDO ＝∠C ，所以OD ∥AC . 又DE 为圆O 的切线，所以DE ⊥OD ， 所以DE ⊥AC .B ．[选修4－2：矩阵与变换] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x y2，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，且AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ，其中x ，y ∈R.(1)求x ，y 的值；(2)若B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2，求(AB )－1.解：(1)AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x y 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y . 因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0. (2)由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤230 2 ，又B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －102 ， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2302⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 404 .设(AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14，即 (AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －12 0 14 .C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，所以ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .将直线l的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ， 即t 2＋82t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2. D ．[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )>2的解集；(2)若∀x ∈R ，f (x )≥t 2－112t 恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1)不等式f (x )>2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x ＋1－x ＋2>2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤2，2x ＋1＋x －2>2或⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1＋x －2>2，解得x <－5或x ＞1，所以所求不等式的解集为{x |x <－5或x >1}．(2)由f (x )＝|2x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >2，3x －1，－12≤x ≤2，－x －3，x <－12，可得f (x )≥－52，若∀x ∈R ，f (x )≥t 2－112t 恒成立，则t 2－112t ≤－52，即2t 2－11t ＋5≤0，解得12≤t ≤5.故实数t 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，5.2.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3.D 是线段BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1-A 1D -C 1的余弦值．解：因为在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，所以分别以AB ，AC ，AA 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,4,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0，3)，C 1(0,4,3)， 因为D 是BC 的中点，所以D (1，2,0)， (1)因为A 1C 1――→＝(0,4,0)，A 1D ―→＝(1,2，－3)， 设平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1C 1――→＝0，n 1·A 1D ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y 1＝0，x 1＋2y 1－3z 1＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝0，z 1＝1，所以平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(3,0,1)，而DB 1―→＝(1，－2,3)，设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈n 1，DB 1―→〉|＝|n 1·DB 1―→||n 1|·|DB 1―→|＝|3＋3|10×14＝33535， 所以直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为33535.(2) A 1B 1――→＝(2,0,0)，DB 1―→＝(1，－2,3)， 设平面B 1A 1D 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1B 1――→＝0，n 2·DB 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，x 2－2y 2＋3z 2＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝3，z 2＝2，所以平面B 1A 1D 的法向量n 2＝(0,3,2)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝210×13＝13065，故结合图象知二面角B 1-A 1D -C 1的余弦值13065. 3．已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)Y 6＝{1,2,3,4,5,6}，S 6中的元素(a ，b )满足：若a ＝1，则b ＝1,2,3,4,5,6；若a ＝2，则b ＝1,2,4,6；若a ＝3，则b ＝1,3,6. 所以f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立．②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立； b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－13，结论成立； c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－23，结论成立； d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋k ＋13，结论成立； e ．若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－13，结论成立； f ．若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－23，结论成立． 综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．。

3个附加题专项强化练(一) 选修4系列(理科)A 组1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题,请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图,已知圆O 的直径AB ＝4,C 为AO 的中点,弦DE 过点C 且满足CE ＝2CD ,求△OCE 的面积．解：设CD ＝x ,则CE ＝2x . 因为CA ＝1,CB ＝3,由相交弦定理,得CA ·CB ＝CD ·CE , 所以1×3＝2x 2,解得x ＝62. 取DE 的中点H ,连结OH , 则OH ⊥DE .因为EH ＝32CD ＝364,所以OH 2＝OE 2－EH 2＝22－⎝⎛⎭⎫3642＝58,所以OH ＝104.又因为CE ＝2x ＝6,所以△OCE 的面积S ＝12OH ·CE ＝12×104×6＝154.B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知a ,b 是实数,如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点(2,3)变成点(3,4)．(1)求a ,b 的值；(2)若矩阵A 的逆矩阵为B ,求B 2.解：(1)由题意,得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34,即⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋3a ＝3，2b －6＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝5.(2)由(1),得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2.由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－11－1－5－1 3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3.所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11－54.C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2,ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ2＝x 2＋y 2,且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4,由ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2, 得ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝2, x 2＋y 2－2(x ＋y )＝2,故圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，两式相减,得经过两圆交点的直线方程为x ＋y －1＝0,该直线的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0. D ．[选修4－5：不等式选讲] 解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|＞2.解：当x ≤－2时,不等式化为(2－x )＋x (－x －2)＞2,即－x 2－3x >0,解得－3＜x ≤－2； 当－2＜x ＜2时,不等式化为(2－x )＋x (x ＋2)＞2, 即x 2＋x >0,解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2；当x ≥2时,不等式化为(x －2)＋x (x ＋2)＞2,即x 2＋3x －4>0,解得x ≥2. 所以原不等式的解集为{x |－3＜x ＜－1或x ＞0}． 2．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题,请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图,圆O 是△ABC 的外接圆,点D 是劣弧BC 的中点,连结AD 并延长,与以C 为切点的切线交于点P ,求证：PC PA ＝BDAC. 证明：连结CD ,因为CP 为圆O 的切线, 所以∠PCD ＝∠PAC ,又∠P 是公共角, 所以△PCD ∽△PAC , 所以PC PA ＝CD AC ,因为点D 是劣弧BC 的中点, 所以CD ＝BD ,即PC PA ＝BDAC . B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32 d ,若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84,求矩阵A 的特征值． 解：因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32 d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a ＋62＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84, 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋6＝8，2＋2d ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝1.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1. 所以矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4,令f (λ)＝0,解得矩阵A 的特征值为λ1＝－1,λ2＝4. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1y ＝7－2t (t 为参数)与椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ(θ为参数,a ＞0)的一条准线的交点位于y 轴上,求实数a 的值．解：由题意,直线l 的普通方程为2x ＋y ＝9, 椭圆C 的普通方程为y 29＋x 2a 2＝1(0＜a ＜3),椭圆C 的准线方程为y ＝±99－a 2, 故99－a 2＝9,解得a ＝22(负值舍去)． D ．[选修4－5：不等式选讲]求函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值． 解：y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x ＝3sin x ＋4cos 2 x , 由柯西不等式得y 2＝(3sin x ＋4cos 2x )2≤(32＋42)(sin 2x ＋cos 2x )＝25,当且仅当4sin x ＝3|cos x |,即sin x ＝35,|cos x |＝45时等号成立,所以y max ＝5.所以函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值为5. 3．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题,请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图,△ABC 的顶点A ,C 在圆O 上,B 在圆外,线段AB 与圆O 交于点M .(1)若BC 是圆O 的切线,且AB ＝8,BC ＝4,求线段AM 的长度； (2)若线段BC 与圆O 交于另一点N ,且AB ＝2AC ,求证：BN ＝2MN . 解：(1)设AM ＝t ,则BM ＝8－t (0<t <8), 由切割线定理可得BC 2＝BM ·BA .∴16＝8(8－t ),解得t ＝6,即线段AM 的长度为6. (2)证明：由题意,∠A ＝∠MNB ,∠B ＝∠B , ∴△BMN ∽△BCA ,∴BN BA ＝MNCA, ∵AB ＝2AC ,∴BN ＝2MN . B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T 把平面上的点(3,－4),(5,0)分别变换成(2,－1),(－1,2),试求变换T 对应的矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ,由题意得,⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 5－4 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 2, ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，5a ＝－1，3c －4d ＝－1，5c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－1320，c ＝25，d ＝1120，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15 －1320 25 1120.C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中,求直线θ＝π4(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长．解：法一：在ρ＝4sin θ中,令θ＝π4,得ρ＝4sin π4＝22,即所求弦长为2 2.法二：以极点O 为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线θ＝π4(ρ∈R)的直角坐标方程为y ＝x ,①曲线ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0,②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，故直线θ＝π4(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin θ所截弦长的端点坐标分别为(0,0),(2,2),所以直线θ＝π4(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长为22＋22＝2 2.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ≠b ,求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)． 证明：a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2) ＝a 4＋6a 2b 2＋b 4－4a 3b －4b 3a ＝a 4－4a 3b ＋6a 2b 2－4b 3a ＋b 4 ＝(a －b )4,∵a ≠b ,∴a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)>0, ∴a 4＋6a 2b 2＋b 4>4ab (a 2＋b 2)．4．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题,请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图,AB 是圆O 的直径,弦CA ,BD 的延长线相交于点E ,EF 垂直BA 的延长线于点F ,连结FD .求证：∠DEA ＝∠DFA .证明：连结AD ,∵AB 是圆O 的直径,∴∠ADB ＝90°, ∴∠ADE ＝90°, 又EF ⊥FB , ∴∠AFE ＝90°, ∴A ,F ,E ,D 四点共圆, ∴∠DEA ＝∠DFA .B ．[选修4－2：矩阵与变换] 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 3 b 的一个特征值λ＝－1及对应的特征向量e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1,求矩阵M 的逆矩阵．解：由题知,⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 3b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－a 3－b ＝－1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1,即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝－1，3－b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 2.∴det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 2＝1×2－2×3＝－4, ∴M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 1234 －14.C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2y ＝t (t 为参数),曲线C 的极坐标方程为ρ＝3cos θ,试判断直线l 与曲线C 的位置关系．解：由题意知,直线l 的普通方程为2x －y －2＝0,由ρ2＝x 2＋y 2,且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得曲线C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94,它表示圆． 由圆心⎝⎛⎭⎫32，0到直线l 的距离d ＝15＝55＜32,得直线l 与曲线C 相交． D ．[选修4－5：不等式选讲] 设x ,y ,z 均为正实数,且xyz ＝1,求证：1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x≥xy ＋yz ＋zx . 证明：∵x ,y ,z 均为正实数,且xyz ＝1, ∴1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x ＝z x 2＋x y 2＋y z2, ∴由柯西不等式可得⎝⎛⎭⎫z x 2＋x y 2＋y z 2(xy ＋yz ＋zx )≥⎝⎛⎭⎫xyz x＋xyz y ＋xyz z 2＝⎝⎛⎭⎫xyz x＋xyz y ＋xyz z 2＝(xy ＋yz ＋zx )2.∴1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x≥xy ＋yz ＋zx . B 组1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题,请任选二个作答A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图,已知△ABC 内接于⊙O ,连结AO 并延长交⊙O 于点D ,∠ACB ＝∠ADC .求证：AD ·BC ＝2AC ·CD .证明：∵∠ACB ＝∠ADC ,AD 是⊙O 的直径, ∴AD 垂直平分BC ,设垂足为E ,∵∠ACB ＝∠EDC ,∠ACD ＝∠CED , ∴△ACD ∽△CED , ∴AD CD ＝AC CE, ∴AD ·12BC ＝AC ·CD ,∴AD ·BC ＝2AC ·CD . B ．[选修4－2：矩阵与变换]在平面直角坐标系xOy 中,设点A (－1,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01对应的变换作用下得到点A ′,将点B (3,4)绕点A ′逆时针旋转90°得到点B ′,求点B ′的坐标．解：设B ′(x ,y ),依题意,由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,得A ′(1,2)．则A ′B ――→＝(2,2),A ′B ′――→＝(x －1,y －2)．记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2, 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4. 所以点B ′的坐标为(－1,4)． C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上,设P (2s 2,22s ), 从而点P 到直线l 的距离 d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45.当s ＝2时,d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值455.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ,b ,c ∈R,4a 2＋b 2＋2c 2＝4,求2a ＋b ＋c 的最大值． 解：由柯西不等式,得[(2a )2＋b 2＋(2c )2]·⎣⎡⎦⎤12＋12＋⎝⎛⎭⎫122≥(2a ＋b ＋c )2. 因为4a 2＋b 2＋2c 2＝4,所以(2a ＋b ＋c )2≤10. 所以－10≤2a ＋b ＋c ≤10,所以2a ＋b ＋c 的最大值为10,当且仅当a ＝105,b ＝2105,c ＝105时等号成立． 2．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题,请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图,AB 是圆O 的直径,弦BD ,CA 的延长线相交于点E ,过E 作BA 的延长线的垂线,垂足为F .求证：AB 2＝BE ·BD －AE ·AC .证明：如图,连结AD ,因为AB 为圆O 的直径,所以AD ⊥BD .又EF ⊥AB ,则A ,D ,E ,F 四点共圆, 所以BD ·BE ＝BA ·BF .连结BC ,则∠AFE ＝∠ACB ,∠BAC ＝∠EAF , 得△ABC ∽△AEF , 所以AB AE ＝AC AF , 即AB ·AF ＝AE ·AC ,所以BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB ·(BF －AF )＝AB 2. B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11,并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值．解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ,由题意,M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11,M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋2b －c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244.(2)令特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)·(λ－4)－8＝0, 解得λ1＝8,λ2＝2.矩阵M 的另一个特征值为2. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R),以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin α，y ＝1－cos 2α(α为参数)．求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．解：由题意得,直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ,① 曲线C 的普通方程为y ＝12x 2(x ∈[－2,2]),②联立①②解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6(舍去)． 故P 点的直角坐标为(0,0)． D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ,b ,c 为正实数,求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c . 证明：法一：(基本不等式) ∵a ＋b 2a ≥2b ,b ＋c 2b ≥2c ,c ＋a 2c ≥2a ,∴a ＋b 2a ＋b ＋c 2b ＋c ＋a 2c ≥2a ＋2b ＋2c , ∴b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c . 法二：(柯西不等式)由柯西不等式得(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥(b ＋c ＋a )2,∴b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c . 3．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题,请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图,已知AB 为圆O 的一条弦,点P 为弧AB 的中点,过点P 任作两条弦PC ,PD 分别交AB 于点E ,F .求证：PE ·PC ＝PF ·PD.证明：连结PA ,PB ,CD ,BC . 因为点P 为弧AB 的中点, 所以∠PAB ＝∠PBA . 又因为∠PAB ＝∠PCB ,所以∠PCB ＝∠PBA . 又∠DCB ＝∠DPB ,所以∠PFE ＝∠PBA ＋∠DPB ＝∠PCB ＋∠DCB ＝∠PCD , 所以E ,F ,D ,C 四点共圆． 所以PE ·PC ＝PF ·PD . B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1,矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 210所对应的变换T 把曲线C 变换成曲线C 1,求曲线C 1的方程．解：设曲线C 上的任意一点P (x ,y ),点P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0所对应的变换T 作用下得到点Q (x ′,y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′,即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ′，y ＝x ′－y ′2，代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1,得y ′2＋2y ′·x ′－y ′2＋2⎝⎛⎭⎫x ′－y ′22＝1,即x ′2＋y ′2＝2,所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中,已知点A ⎝⎛⎭⎫2，π2,点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上．当线段AB 最短时,求点B 的极坐标．解：以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系, 则点A ⎝⎛⎭⎫2，π2的直角坐标为(0,2),直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0. AB 最短时,点B 为直线x －y ＋2＝0与直线l 的交点,解⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2＝0，x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.所以点B 的直角坐标为(－1,1). 所以点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4. D ．[选修4－5：不等式选讲]求函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值．解：易知函数f (x )的定义域为[0,4],且f (x )≥0.由柯西不等式得[52＋(2)2][(x )2＋(4－x )2]≥(5·x ＋2·4－x )2, 即27×4≥(5·x ＋2·4－x )2,所以5x ＋8－2x ≤6 3. 当且仅当2×x ＝54－x ,即x ＝10027时取等号． 所以函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值为6 3.4．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题,请任选二个作答A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图,AB 是圆O 的直径,C ,D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB ＝∠D .证明：因为B ,C 是圆O 上的两点,所以OB ＝OC .故∠OCB ＝∠B .又因为C ,D 是圆O 上位于AB 异侧的两点,故∠B ,∠D 为同弧所对的两个圆周角,所以∠B ＝∠D .因此∠OCB ＝∠D .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －20 1,设曲线C ：(x －y )2＋y 2＝1在矩阵A 对应的变换下得到曲线C ′,求C ′的方程．解：设P (x 0,y 0)为曲线C 上任意一点,点P 在矩阵A 对应的变换下得到点Q (x ,y ),则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0,即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x 0－2y 0，y ＝y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 2＋y ，y 0＝y ，又(x 0－y 0)2＋y 20＝1,∴⎝⎛⎭⎫x 2＋y －y 2＋y 2＝1,即x 24＋y 2＝1, ∴曲线C ′的方程为x 24＋y 2＝1. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.设P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求点P 的直角坐标．解：由ρ＝23sin θ,得ρ2＝23ρsin θ,从而有x 2＋y 2＝23y ,所以x 2＋(y －3)2＝3.设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ,又C (0,3), 则PC ＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12, 故当t ＝0时,PC 取得最小值,此时点P 的直角坐标为(3,0)．D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ,b ,c ,d 是正实数,且abcd ＝1,求证：a 5＋b 5＋c 5＋d 5≥a ＋b ＋c ＋d . 证明：因为a ,b ,c ,d 是正实数,且abcd ＝1,所以a 5＋b ＋c ＋d ≥44a 5bcd ＝4a .①同理b 5＋c ＋d ＋a ≥4b ,②c 5＋d ＋a ＋b ≥4c ,③d 5＋a ＋b ＋c ≥4d ,④将①②③④式相加并整理,得a 5＋b 5＋c 5＋d 5≥a ＋b ＋c ＋d .当且仅当“a ＝b ＝c ＝d ＝1”时等号成立．。

3个附加题综合仿真练(五)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，D 是弧AC 的中点，DE ⊥AB 于E ，AC 与DE 交于点M ，求证：AM ＝DM .证明：连结AD ，因为AB 为直径，所以AD ⊥BD ， 又DE ⊥AB ，所以∠ABD ＝∠ADE .因为D 是弧AC 的中点， 所以∠DAC ＝∠ABD ， 所以∠ADE ＝∠DAC . 所以AM ＝DM .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3,3)，求矩阵A .解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，因为向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b c －d ＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.①因为点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3，3)， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.② 由①②解得a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝1，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1.C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎨⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n (n 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：法一：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x .将直线⎩⎨⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n (n 为参数)代入y 2＝8x 得，n 2－82n ＋24＝0，解得n 1＝22，n 2＝6 2. 则|n 1－n 2|＝42， 所以线段AB 的长为4 2.法二：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t (t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x,将直线⎩⎨⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)化为普通方程为x －y ＋32＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝8x ，x －y ＋32＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6. 所以AB 的长为⎝⎛⎭⎫92－122＋(6－2)2＝4 2.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝3x ＋6，g (x )＝14－x ，若存在实数x 使f (x )＋g (x )>a 成立，求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f (x )＋g (x )＞a 成立， 等价于f (x )＋g (x )的最大值大于a ， 因为f (x )＋g (x ) ＝3x ＋6＋14－x＝3×x ＋2＋1×14－x ， 由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x )2≤(3＋1)(x ＋2＋14－x )＝64，所以f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，故实数a 的取值范围是(－∞，8)．2.如图，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝45°，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求异面直线AB 与MD 所成角的大小；(2)求平面OAB 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值． 解：作AP ⊥CD 于点P ，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，22，0，D ⎝⎛⎭⎫－22，22，0， O (0,0,2)，M (0,0,1)．(1)设直线AB 与MD 所成角为θ，由AB ―→＝(1,0,0)，BD ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－1，则cos θ＝|cos 〈AB ―→，BD ―→〉|＝222＝12，故AB 与MD 所成角为60°.(2)OP ―→＝⎝⎛⎭⎫0，22，－2，OD ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－2，设平面OCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OP ―→＝0，n ·OD ―→＝0，即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，则n ＝(0,4，2).易得平面OAB 的一个法向量为m ＝(0,1,0)，cos 〈n ，m 〉＝432×1＝223，故平面OAB 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值为223.3．设a ＞b ＞0，n 是正整数，A n ＝1n ＋1(a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋a 2b n －2 ＋ab n －1＋b n ) ，B n ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 2n.(1)证明：A 2＞B 2；(2)比较A n 与B n (n ∈N *)的大小，并给出证明．解：(1)证明：A 2－B 2＝13(a 2＋ab ＋b 2)－⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝112(a －b )2>0.(2)A n ≥B n ，证明如下： 当n ＝1时，A 1＝B 1；当n ≥3时，A n ＝1n ＋1·a n ＋1－bn ＋1a －b，B n ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 2n ， 令a ＋b ＝x ，a －b ＝y ，且x >0，y >0，于是A n＝1n＋1·⎝⎛⎭⎫x＋y2n＋1－⎝⎛⎭⎫x－y2n＋1y＝12n＋1(n＋1)y[(x＋y)n＋1－(x－y)n＋1]，B n＝⎝⎛⎭⎫x2n，因为[(x＋y)n＋1－(x－y)n＋1]＝(2C1n＋1x n y＋2C3n＋1·x n－2y3＋…)≥2C1n＋1x n y，所以A n≥12n＋1(n＋1)y·2C1n＋1x n y＝x n2n＝⎝⎛⎭⎫x2n＝Bn.。

3 个附带题 综合仿真练 (二 )1． 此题包含 A 、 B 、 C 、 D 四个小题，请任选二个作答A ． [选修 4－ 1：几何证明选讲 ]如图，四边形 ABCD 是圆的内接四边形， BC ＝ BD ， BA 的延伸线交 CD 的延伸线于点 E .求证： AE 是四边形 ABCD 的外角∠ DAF 的均分线 .证明： 由于四边形 ABCD 是圆的内接四边形，因此∠ DAE ＝∠ BCD ，∠ FAE ＝∠ BAC ＝∠ BDC .由于 BC ＝ BD ，因此∠ BCD ＝∠ BDC ，因此∠ DAE ＝∠ FAE ，因此 AE 是四边形 ABCD 的外角∠ DAF 的均分线．B ． [选修 4－ 2：矩阵与变换 ]193已知变换 T 将平面上的点1， 2 ， (0,1)分别变换为点4，－ 2 ， － 2，4 .设变换 T 对应的矩阵为 M .(1) 求矩阵 M ；(2) 求矩阵 M 的特点值．ab，解： (1)设 M ＝cdab 19 ab0 － 3＝ 4则1 ，＝ 2 ，cd2 － 2 cd1419＝ ，a ＋2b ＝ 4，a313 则M ＝33 即c ＋ 2d ＝－ 2，解得b ＝－ 2，－2 .3＝－ 4 ，－ 4 4b ＝－ ，c2d ＝ 4，d ＝ 4，(2) 设矩阵 M 的特点多项式为 f(λ)，3λ－ 32可得 f(λ)＝2 ＝ (λ－3)( λ－ 4)－ 6＝ λ－ 7λ＋ 6， 4λ－ 4令 f( λ)＝ 0，可得 λ＝ 1 或 λ＝ 6.C ． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程 ]在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．x ＝1＋ 3cos t ，(t 为参数 )．直线 l ： 2ρsin θ－π＝ m(m ∈R) ，圆 C 的参数方程为4y ＝－ 2＋ 3sin t当圆心 C 到直线 l 的距离为2时，求 m 的值．π解： 由 2ρsin θ－4 ＝ m ，ππ得 2ρsin θcos 4－ 2ρcos θsin 4 ＝ m ，即 x － y ＋ m ＝ 0， 即直线 l 的直角坐标方程为x － y ＋ m ＝ 0，圆 C 的一般方程为 (x － 1) 2＋ (y ＋ 2)2＝ 9，圆心 C 到直线 l 的距离 d ＝ |1－ － 2 ＋ m|＝ 2，2解得 m ＝－ 1 或 m ＝－ 5.D ． [选修 4－ 5：不等式选讲 ]已知 x ， y ， z 都是正数且 xyz ＝ 8，求证： (2＋x)(2 ＋ y) ·(2＋ z)≥ 64.证明： 由于 x 为正数，因此2＋ x ≥ 2 2x.同理 2＋ y ≥ 2 2y ， 2＋ z ≥ 2 2z.因此 (2＋ x)( 2＋ y)( 2＋ z)≥ 2 2x ·2 2y ·2 2z ＝ 8 8xyz.由于 xyz ＝ 8，因此 (2＋ x)( 2＋ y)( 2＋ z)≥ 64.2.在平面直角坐标系 xOy 中，点 F (1,0)，直线 x ＝－ 1 与动直线 y ＝n 的交点为 M ，线段 MF 的中垂线与动直线 y ＝ n 的交点为 P.(1) 求动点 P 的轨迹 E 的方程；(2) 过动点 M 作曲线 E 的两条切线， 切点分别为 A ，B ，求证： ∠ AMB的大小为定值．解： (1)由于直线 y ＝ n 与 x ＝－ 1 垂直，因此 MP 为点 P 到直线 x ＝－ 1 的距离． 连接PF (图略 )，由于P 为线段MF的中垂线与直线y ＝n 的交点，因此MP ＝PF .因此点P 的轨迹是抛物线．焦点为F(1,0)，准线为x ＝－ 1.因此曲线E 的方程为 y 2＝ 4x.(2) 证明：由题意，过点 M (－ 1， n)的切线斜率存在，设切线方程为y － n ＝ k(x ＋1)，y ＝ kx ＋ k ＋ n ， 联立方程得 ky 2－ 4y ＋ 4k ＋ 4n ＝ 0，y 2＝ 4x ，因此 1＝ 16－ 4k(4k ＋ 4n)＝ 0，即 k 2＋ kn － 1＝ 0(*) ，由于2＝ n 2＋ 4>0，因此方程 (*) 存在两个不等实根，设为k 1， k 2，由于 k 1·k 2＝－ 1，因此∠ AMB ＝ 90° ，为定值．3．关于给定的大于 1 的正整数 2n， ，n ，设 x ＝a 0＋ a 1 n ＋ a 2n ＋ ＋ a n n ，此中 a i ∈ {0,1,2 n － 1}， i ＝ 0,1， 2， ， n － 1，n ，且 a n ≠ 0，记知足条件的全部x 的和为 A n .(1) 求 A 2；(2) 设 A n ＝n nn － 1 f n，求 f (n)．2解： (1)当 n ＝ 2 时， x ＝ a 0＋ 2a 1＋ 4a 2， a 0∈ {0,1}， a 1∈ {0,1}， a 2＝ 1，故知足条件的 x 共有 4 个，分别为 x ＝ 0＋ 0＋ 4，x ＝ 0＋ 2＋ 4，x ＝ 1＋ 0＋ 4，x ＝ 1＋2＋ 4，它们的和是22，因此 A 2＝ 22.(2) 由题意得， a 0， a 1， a 2， ， a n － 1 各有 n 种取法； a n 有 n － 1 种取法，由分步计数原理可得a 0， a 1， a 2 ， a n －1， a n 的不一样取法共有n ·n · ·n ·(n － 1)＝ n n (n －1)，即知足条件的 x 共有 n n(n － 1)个，当 a 0 分别取 0,1,2， ， n － 1 时， a 1， a 2， ， a n － 1 各有 n 种取法， a n 有 n － 1 种取法，－ 1 n nn － 1 2故 A n 中全部含 a 0 项的和为 (0＋ 1＋ 2＋ ＋ n － n； 1) ·n ( n － 1)＝ 2n2同理， A n 中全部含 a 1 项的和为 (0＋ 1＋ 2＋ ＋ n － 1)n n －1(n － 1) ·n ＝n n －1·n ；2A n 中全部含 n －1 2 n n n － 1 2 2； a 2 项的和为 (0＋ 1＋ 2＋ ＋n － 1) ·n (n － 1) ·n ＝ 2 ·nn － 1－n n n － 12 －A n 中全部含 a n － 1 项的和为 (n － n 1·n n 1(0＋ 1＋ 2＋ ＋ n － 1) ·n 1) ·n＝2；当 a n 分别取 i ＝ 1,2， ， n － 1 时， a 0， a 1， a 2， ， a n － 1 各有 n 种取法，n ＋1n － 1故 A n 中全部含 a n 项的和为 (1＋ 2＋ ＋ n － 1)n nn nn·n ＝ 2·n .因此 n n n － 1 2 2n －1)＋n n ＋1 n － 1 n A n ＝2 (1＋ n ＋n ＋ ＋ n2 ·nn n n － 1 2 n n － 1 n n ＋1 n － 1n n n － 1＋＝2· ＋2·n n＝2(nn 1＋ n n－ 1)，n － 1故 f( n)＝ n n ＋1＋ n n － 1.。

江苏新高考高考对本章内容的考查多以“两小一大”的形式出现，小题多考查双曲线、抛物线、圆的方程与性质，而大题主要考查直线与圆(如2013年、2016年)、直线与椭圆(如2014年、2015年、2017年)的位置关系、弦长问题及范围问题等.第1课时解析几何中的基本问题(基础课)[常考题型突破]1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(2)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.[题组练透]1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为____________．解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，所以k l＝－1k PQ＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝02．(2017·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为__________．解析：由题意，kl1＝k，kl2＝－1k，则kl1·kl2＝k·⎝⎛⎭⎫－1k＝－1(k＝0时，两条直线也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点：M(0,2)，N(2,0)．∴两条直线的交点在以MN 为直径的圆上．并且k MN ＝－1，可得MN 与直线x －y －4＝0垂直．∴点M 到直线x －y －4＝0的距离d ＝|0－2－4|2＝32为最大值． 答案：3 23．(2017·苏州考前模拟)在平面直角坐标系中，已知两点P (0,1)，Q (3,6)，在直线y ＝x 上取两点M ，N ，使得MN ＝2a (其中a >0为定值)，则当PM ＋NQ 取得最小值时，点N 的坐标为________．解析：(1)设点A (1,0)，B (1＋a ，a )，则AB ∥MN ，且AB ＝MN ，所以四边形ABNM 为平行四边形，所以AM ＝BN ，又因为点P 与A 关于直线y ＝x 对称，所以PM ＝AM ，所以PM ＋NQ ＝AM ＋NQ ＝BN ＋NQ ，所以当B ，N ，Q 三点共线时，PM ＋NQ 取最小值为BQ ＝(a －2)2＋(a －6)2.此时BQ 方程为(a －6)x －(a －2)y ＋3a ＋6＝0，与直线y ＝x 联立解得N ⎝⎛⎭⎫3a ＋64，3a ＋64.(2)若设A (1,0)，B (1－a ，－a )，同理可得PM ＋NQ 最小值为(a ＋2)2＋(a ＋6)2，因为a >0，所以(a ＋2)2＋(a ＋6)2>(a －2)2＋(a －6)2，不合题意．综上，PM ＋NQ 取得最小值时点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫3a ＋64，3a ＋64. 答案：⎝⎛⎭⎫3a ＋64，3a ＋64 [方法归纳]求直线方程的两种方法[必备知识]1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．[题组练透]1．(2017·南通一模)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为_______________．解析：设圆心为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －3a·33＝－1，(a －2)2＋()b －32＝a 2＋(b －3)2，解得a ＝1，b ＝0，r ＝2.即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4. 答案：(x －1)2＋y 2＝42．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. 答案：(x －2)2＋y 2＝93．与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0外切于原点，且半径为25的圆的标准方程为_______． 解析：由题意，所求圆的圆心在直线y ＝－2x 上，所以可设所求圆的圆心为(a ，－2a )(a <0)，又因为所求圆与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0外切于原点，且半径为25，所以a 2＋(－2a )2＝25，可得a 2＝4，解得a ＝－2或a ＝2(舍去)．所以所求圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x ＋2)2＋(y －4)2＝20 [方法归纳]1．过圆O ∶x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．过圆O ∶x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.3．判断直线与圆的位置关系问题的两种方法(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来判断位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．(2)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．4．判断两圆位置关系时常用几何法即通过判断两圆心距离O 1O 2与两圆半径R ，r 的关系来判断两圆位置关系． (1)外离：O 1O 2>R ＋r ； (2)外切：O 1O 2＝R ＋r ； (3)相交：R －r <O 1O 2<R ＋r ； (4)内切：O 1O 2＝R －r ； (5)内含：0≤O 1O 2<R －r .[提醒] 利用两圆组成的方程组解的个数，不能判断内切与外切、外离与内含．[题组练透]1．(2017·苏锡常镇二模)已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝________.解析：由题意得，C (1,2)，直线l ：m (x －2)＋y －1＝0恒过定点A (2,1)，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，直线l ⊥CA ，因为直线l 的斜率为－m ，直线CA 的斜率为1－22－1＝－1，所以－m ×(－1)＝－1，即m ＝－1.答案：－12．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π. 答案：4π3．若圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，两圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4与x 2＋y 2＝1相交于相异两点，所以1<4a 2＋(a ＋3)2<3，即⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋6a ＋8>0，5a 2＋6a <0，解得－65<a <0.答案：⎝⎛⎭⎫－65，0 4．(2017·扬州考前调研)已知圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0(a 为常数)与直线y ＝x 相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝π3，则实数a ＝________.解析：因为圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1，所以C (a,1)，r ＝a 2－1，因为圆C 与直线y ＝x 相交于A ，B 两点，且∠ACB ＝π3，所以32r ＝|a －1|2，且a 2－1>0，解得a＝－5.答案：－55．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA ―→·PB ―→≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．解析：设P (x ，y )，则PA ―→·PB ―→＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (x ＋12)＋y (y －6)≤20. 又x 2＋y 2＝50，所以2x －y ＋5≤0，所以点P 在直线2x －y ＋5＝0的上方(包括直线上)． 又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1， 结合图象， 可得－52≤x ≤1，故点P 的横坐标的取值范围是[－52，1]． 答案：[－52，1] [方法归纳]1.解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.2.求弦长问题的两种方法(1)利用半径r ，弦心距d ，弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理d 2＋⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2求解；(2)若斜率为k 的直线l 与圆C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[题组练透]1．(2017·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m ＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是__________．解析：由题意得，2m 2＋3m ＝⎝⎛⎭⎫622，所以2m 2＋3m －9＝0，解得m ＝32或－3，因为x 22m 2－y 23m ＝1是双曲线的方程，所以m ＞0，所以m ＝32.所以实数m 构成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫32. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫322.(2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．解析：由题意得，A (a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F (c,0)，所以B 2F ―→＝(c ，－b )，AB 1―→＝(－a ，－b )，因为B 2F ⊥AB 1，所以B 2F ―→·AB 1―→＝0，即b 2＝ac ，所以c 2＋ac －a 2＝0，e 2＋e －1＝0，又椭圆的离心率e ∈(0,1)，所以e ＝5－12. 答案：5－123．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x ＝32与两条渐近线y ＝±33x 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫32，±32.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2， 则F 1(－2,0)，F 2(2,0)， 故四边形F 1PF 2Q 的面积是 12F 1F 2·PQ ＝12×4×3＝2 3. 答案：2 34．(2017·南通三模)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)经过抛物线y 2＝8x 的焦点，则该双曲线的离心率为________．解析：因为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)经过抛物线y 2＝8x 的焦点坐标(2,0)，所以a ＝2，在双曲线中，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，所以双曲线的离心率是e ＝c a ＝52.答案：525．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c . 又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． 答案：26．(2017·南京考前模拟)已知椭圆C ：mx 2＋y 2＝1(0＜m ＜1)，直线l ：y ＝x ＋1，若椭圆C 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点P (x 0，y 0)，∵A ，B 在椭圆C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧mx 21＋y 21＝1，mx 22＋y 22＝1，两式相减，整理得m (x 1＋x 2)y 1＋y 2＝－y 1－y 2x 1－x 2，即－mx 0y 0＝k AB ，故k AB ·k OP ＝－m ，又∵k AB ＝－1，∴k OP ＝m ，∴直线OP 的方程为y ＝mx ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，y ＝x ＋1，得P ⎝⎛⎭⎫1m －1，m m －1，由点P 在椭圆内，∴m ⎝⎛⎭⎫1m －12＋⎝⎛⎭⎫m m －12<1，解得0<m <13，∴离心率e ＝1－b 2a 2＝1－m ∈⎝⎛⎭⎫63，1. 答案：⎝⎛⎭⎫63，1[方法归纳][A 组——抓牢中档小题]1．(2017·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1,1)的直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝________.解析：因为点M (1,1)在圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5上，圆心与点M 的连线的斜率为2－1－1－1＝－12，所以切线l 的斜率为2，又因为切线l 与直线ax ＋y －1＝0垂直，所以a ＝12. 答案：122．(2017·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，直线2x ＋y ＝0为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为__________．解析：因为直线2x ＋y ＝0为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，所以ba ＝2，所以e ＝1＋b 2a2＝ 5. 答案： 53．(2017·无锡期末)设P 为有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2，若3e 1＝e 2，则e 1＝________.解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，由定义知，不妨设P 在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝2a 1，PF 1－PF 2＝2a 2， 所以PF 1＝a 1＋a 2，PF 2＝a 1－a 2， 因为PF 1⊥PF 2，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝4c 2， 整理得1e 21＋1e 22＝2，又因为3e 1＝e 2，所以e 1＝53. 答案：534．(2017·南京考前模拟)在平面直角坐标系xOy 中，M 为圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝169上任意一点，N 为直线l ：ax ＋y ＋3＝0上任意一点，若以M 为圆心，MN 为半径的圆与圆C 至多有一个公共点，则正数a 的最小值为_________．解析：因为圆M 与圆C 至多有一个公共点， 所以MC ≤⎪⎪⎪⎪MN －43， 即⎪⎪⎪⎪MN －43≥43，解得MN ≥83， 又MN 的最小值为a 2＋4a 2＋1－43， 所以a 2＋4a 2＋1－43≥83， 解得a ≥22，所以正数a 的最小值为2 2. 答案：2 25．以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为________．解析：由题设知，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2，因为渐近线与圆相切，故由点到直线的距离公式得bca 2＋b 2＝a ，则a ＝b ，c ＝2a ，故离心率e ＝ 2. 答案： 26．(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．解析：由题意知△ABC 为等腰直角三角形，且AC ＝BC ＝4，AB ＝42， ∴圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝42－(22)2＝22， ∴|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1. 答案：－17．(2017·泰州中学月考)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是________．解析：由圆的方程知圆心(2,3)，半径r ＝2， ∵圆心到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |k 2＋1， ∴MN ＝2r 2－d 2＝24－4k 2k 2＋1≥23，解得4k 2≤k 2＋1，即－33≤k ≤33. 答案：⎣⎡⎦⎤－33，33 8．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．解析：由题意知圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，所以圆心(－2,3)到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235∈(4,6)，故满足题意的点P 有2个．答案：29．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，所以e ＝35或e ＝－1(舍去)．答案：3510．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c ，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233.答案：23311．若抛物线y 2＝8ax (a >0)的准线经过双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点，则椭圆x 2a 2＋y 2＝1的离心率e ＝________.解析：抛物线y 2＝8ax (a >0)的准线方程为x ＝－2a ，双曲线x 2a2－y 2＝1的焦点坐标为(±a 2＋1，0)，则2a ＝a 2＋1，得a 2＝13，所以椭圆的离心率e ＝1－a 2＝63.答案：6312．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则PM ＋PF 1的最大值为________．解析：由椭圆定义知PM ＋PF 1＝PM ＋2×5－PF 2， 而PM －PF 2≤MF 2＝5，所以PM ＋PF 1≤2×5＋5＝15. 答案：1513．(2017·苏州张家港暨阳中学月考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为______________．解析：如图，圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°，在Rt △PAO 中，PO ＝2，又圆M 的半径等于1，圆心坐标M (a ，a －4)， ∴PO min ＝MO －1，PO max ＝MO ＋1， ∵MO ＝a 2＋(a －4)2，∴由a 2＋(a －4)2－1≤2≤a 2＋(a －4)2＋1， 解得2－22≤a ≤2＋22. 答案：⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22 14．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：4x －3y －2＝0上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与以(4,0)为圆心，R 为半径的圆C 有公共点，则R 的最小值是________．解析：由题意，直线4x －3y －2＝0上至少存在一点A ，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，即AC min ＝1＋R ，因为AC min 即为点C 到直线4x －3y －2＝0的距离，为145，所以R 的最小值是95. 答案：95[B 组——力争难度小题]1．(2017·南京考前模拟)在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线x ＝3上一动点，以M 为圆心的圆记为圆M ，若圆M 截x 轴所得的弦长恒为4.过点O 作圆M 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2x ＋y －10＝0的距离的最大值为________．解析：设M (3，t )，P (x 0，y 0)， 因为OP ⊥PM ，所以OP ―→·PM ―→＝0，可得x 20＋y 20－3x 0－ty 0＝0，①又圆M 截x 轴所得的弦长为4，所以4＋t 2＝(x 0－3)2＋(y 0－t )2，整理得x 20＋y 20－6x 0－2ty 0＋5＝0，② 由①②得x 20＋y 20＝5，即点P 在圆x 2＋y 2＝5上，于是P 到直线2x ＋y －10＝0距离的最大值为105＋5＝3 5. 答案：3 52．在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为________．解析：先将圆C 化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，则圆心C (3,0)，半径r ＝2，设过原点O 的动直线l 的方程为y ＝kx ，因为点A 恰为线段OB 的中点，设A (a ，ka )，B (2a,2ka )，得(1＋k 2)a 2－6a ＋5＝0. ①取AB 的中点D ，则D ⎝⎛⎭⎫32a ，32ka ，如图，连结CD ，则CD ⊥AB ，32ka 32a －3＝－1k . ②联立①②，解得a ＝54，k ＝±155，则D ⎝⎛⎭⎫158，±3158，CD ＝364，即圆心C 到直线l 的距离为364.答案：3643．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py 消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案：y ＝±22x4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．解析：如图，A (－a,0)， B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F (c,0)，设点M ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y M .由k AB 2＝k AM ，得b a ＝y Ma 2c ＋a ，所以y M ＝b ⎝⎛⎭⎫a c ＋1.由k FB 1＝k FM ，得b c ＝y Ma2c －c，所以y M ＝b c⎝⎛⎭⎫a2c －c . 从而b ⎝⎛⎭⎫a c ＋1＝b c ⎝⎛⎭⎫a 2c －c ，整理得2e 2＋e －1＝0.解得e ＝12. 答案：12第2课时直线与圆(能力课)[常考题型突破][例1] (2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1,0)，B (1,2)．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．[解] (1)因为圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2,0)，半径为2. 因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－(－1)＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2. 因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫MN 22，所以4＝(2＋m )22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0. (2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )， 则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12， 即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4， 因为|2－2|<(2－0)2＋(0－1)2<2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2. [方法归纳]如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.[例2] ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当CD ＝2时，求直线CD 的方程；(3)求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．[解] (1)设P (2m ，m )，因为∠APB ＝60°，AM ＝1，所以MP ＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解得m ＝0或m ＝45，故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝⎛⎭⎫85，45.(2)易知直线CD 的斜率存在，可设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)， 由题知圆心M 到直线CD 的距离为22， 所以22＝|－2k －1|1＋k 2， 解得k ＝－1或k ＝－17，故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0. (3)证明：设P (2m ，m )，MP 的中点Q ⎝⎛⎭⎫m ，m2＋1， 因为PA 是圆M 的切线，所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为(x －m )2＋⎝⎛⎭⎫y －m 2－12＝m 2＋⎝⎛⎭⎫m2－12， 化简得x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝45，y ＝25.所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0,2)或⎝⎛⎭⎫45，25. [方法归纳]1．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当OP ＝OM 时，求证：△POM 的面积为定值． 解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ―→＝(x ，y －4)，MP ―→＝(2－x,2－y )． 由题设知CM ―→·MP ―→＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)证明：由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于OP ＝OM ，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又OM ＝OP ＝22，O 到l 的距离d 为4105， 所以PM ＝2OP 2－d 2＝4105，所以△POM 的面积为S △POM ＝12PM ·d ＝165.2．已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5,0)，直线l ：x －2y ＝0.(1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2)在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBPA 为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．解：(1)设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ， 即2x ＋y －b ＝0. 因为直线与圆C 相切， 所以|－b |22＋12＝3，解得b ＝±3 5.所以所求直线方程为2x ＋y ±35＝0. (2)法一：假设存在这样的点B (t,0)．当点P 为圆C 与x 轴的左交点(－3,0)时，PB PA ＝|t ＋3|2；当点P 为圆C 与x 轴的右交点(3,0)时，PB PA ＝|t －3|8.依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)或t ＝－95.下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PBPA 为一常数． 设P (x ，y )，则y 2＝9－x 2，所以PB 2PA 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2(x ＋5)2＋y 2＝x 2＋185x ＋9－x 2＋8125x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825·(5x ＋17)2·(5x ＋17)＝925. 从而PB PA ＝35为常数．法二：假设存在这样的点B (t,0)，使得PBPA 为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，所以(x －t )2＋y 2＝λ2[(x＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入，得x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)， 即2(5λ2＋t )x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3,3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0.解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)． 故存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为常数35.[例3] (2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→，求实数t 的取值范围．[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点， 所以5－5≤[(t ＋4)－6]2＋(3－7)2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]． [方法归纳](2017·镇江调研)已知圆O ：x 2＋y 2＝4交y 轴正半轴于点A ，点B ，C 是圆O 上异于点A 的两个动点．(1)若B 与A 关于原点O 对称，直线AC 和直线BC 分别交直线y ＝4于点M ，N ，求线段MN 长度的最小值；(2)若直线AC 和直线AB 的斜率之积为1，求证：直线BC 与x 轴垂直．解：(1)由题意，直线AC 和直线BC 的斜率一定存在且不为0，且A (0,2)，B (0，－2)，AC ⊥BC .设直线AC 的斜率为k ，则直线BC 的斜率为－1k，所以直线AC 的方程为y ＝kx ＋2，直线BC 的方程为y ＝－1k x －2，故它们与直线y ＝4的交点分别为M ⎝⎛⎭⎫2k ，4， N (－6k,4)．所以MN ＝⎪⎪⎪⎪6k ＋2k ≥43，当且仅当k ＝±33时取等号，所以线段MN 长度的最小值为4 3.(2)证明：易知直线AC 和直线AB 的斜率一定存在且不为0，设直线AC 的方程为y ＝kx ＋2，则直线AB 的方程为y ＝1kx ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋y 2＝4解得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋k 2，2(1－k 2)1＋k 2，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋k 2，2(k 2－1)1＋k 2. 因为B ，C 两点的横坐标相等，所以BC ⊥x 轴．[课时达标训练]1．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：(1)证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)因为OM ＝ON ，CM ＝CN ， 所以OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12.所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝55<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝955> 5. 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去． 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.2.如图，已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴交于A ，B 两点，P 是该圆上任意一点，AP ，PB 的延长线分别交直线l ：x ＝2于M ，N 两点．(1)求MN 的最小值；(2)求证：以MN 为直径的圆恒过定点，并求出该定点的坐标． 解：(1)设M (2，t 1)，N (2，t 2)， 则由A (－1,0)，B (1,0)，且AM ⊥BN ， 得AM ―→·BN ―→＝0， 即(3，t 1)·(1，t 2)＝0， 所以3＋t 1t 2＝0，即t 1t 2＝－3.所以MN ＝t 1－t 2＝t 1＋(－t 2)≥2－t 1t 2＝2 3. 当且仅当t 1＝3，t 2＝－3时等号成立． 故MN 的最小值为2 3. (2)证明：由(1)得t 1t 2＝－3.以MN 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －t 1)(y －t 2)＝0， 即(x －2)2＋y 2－(t 1＋t 2)y ＋t 1t 2＝0，也即(x －2)2＋y 2－(t 1＋t 2)y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0，(x －2)2－3＝0，得⎩⎨⎧ x ＝2＋3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2－3，y ＝0.故以MN 为直径的圆恒过定点(2＋3，0)和(2－3，0)．3．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎫a >－52， 则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍去)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，∴直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d . ∵l 被圆C 1截得的弦长为23， ∴d ＝22－(3)2＝1.又由点到直线的距离公式得d ＝|－1－7k |1＋k 2，∴k (24k ＋7)＝0，解得k ＝0或k ＝－724， ∴直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0. (2)设点P (a ，b )满足条件，由题意分析可得直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k (x －a )．∵圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，∴圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k (－3－a )－b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪5＋1k (4－a )－b 1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |. ∴1＋3k ＋ak －b ＝±(5k ＋4－a －bk )，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. ∵ k 的取值有无穷多个，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0.解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝132，故这样的点只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2－32，132. 5.如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，且被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，过点H (0，t )的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)当t ＝1时，求直线l 的方程； (3)求直线OM 的斜率k 的取值范围．解：(1)因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线y ＝1上． 又圆C 与x 轴的交点分别为A ，B ，由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB ＝2π3.所以CA ＝CB ＝2，圆心C 的坐标为(－2,1)． 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)当t ＝1时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，(x ＋2)2＋(y －1)2＝4，消去y ， 得(m 2＋1)x 2＋4x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4m 2＋1，y ＝m 2－4m ＋1m 2＋1.不妨令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1，N (0,1)．因为以MN 为直径的圆恰好经过O (0,0)，所以OM ―→·ON ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1·(0,1)＝m 2－4m ＋1m 2＋1＝0，解得m ＝2±3，故所求直线l 的方程为y ＝(2＋3)x ＋1或y ＝(2－3)x ＋1. (3)设直线OM 的方程为y ＝kx ， 由题意，知|－2k －1|1＋k 2≤2，解得k ≤34.同理得－1k ≤34，解得k ≤－43或k >0.由(2)知，k ＝0也满足题意．所以k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎦⎤0，34. 6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－3,4)，B (9,0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD .(1)若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2)证明：△OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O )． 解：(1)因为A (－3,4)，所以OA ＝(－3)2＋42＝5. 又因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45. 由BD ＝4，得D (5,0)，所以直线CD 的斜率k ＝0－455－⎝⎛⎭⎫－35＝－17.所以直线CD 的方程为y ＝－17(x －5)，即x ＋7y －5＝0.(2)证明：设C (－3m,4m )(0<m ≤1)，则OC ＝5m . 所以AC ＝OA －OC ＝5－5m .因为AC ＝BD ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4， 所以点D 的坐标为(5m ＋4,0)．设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，(5m ＋4)2＋(5m ＋4)D ＋F ＝0.解得D ＝－(5m ＋4)，E ＝－10m －3，F ＝0，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－(5m ＋4)x －(10m ＋3)y ＝0， 整理得x 2＋y 2－4x －3y －5m (x ＋2y )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍去)． 所以△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1)．第3课时椭 圆(能力课)[常考题型突破][例1] (2015·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．[解] (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2 ＝22(1＋k 2)1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)，从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2).因为PC ＝2AB ，所以2(3k 2＋1) 1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1. [方法归纳](2017·广州模拟)定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC ＝CB ，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．解：(1)因为点F (3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内，所以圆N 内切于圆M . 因为NM ＋NF ＝4＞FM ，所以点N 的轨迹E 是以M (－3，0)，F (3，0)为焦点的椭圆，且2a ＝4，c ＝3， 所以b ＝1.所以轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，依题意知，点C 就是椭圆的上、下顶点(或左、右顶点)， 此时S △ABC ＝12·OC ·AB ＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时， 设其斜率为k ，直线AB 的方程为y ＝kx ， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ，可取x 2A ＝41＋4k 2， y 2A ＝4k 21＋4k 2， 所以OA2＝x 2A ＋y 2A ＝4(1＋k 2)1＋4k2.由AC ＝CB 知，△ABC 为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC ⊥AB ，所以直线OC 的方程为y ＝－1k x ，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－1k x ，得x 2C ＝4k 2k 2＋4，y 2C ＝4k 2＋4， 所以OC 2＝4(1＋k 2)k 2＋4.S △ABC ＝2S △OAC ＝|OA |·|OC |＝4(1＋k 2)1＋4k 2·4(1＋k 2)k 2＋4＝4(1＋k 2)(1＋4k 2)(k 2＋4). 由于(1＋4k 2)(k 2＋4)≤(1＋4k 2)＋(k 2＋4)2＝5(1＋k 2)2，所以S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立， 此时△ABC 面积的最小值是85.因为2＞85，所以△ABC 面积的最小值为85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .[例2] (2017·南京考前模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)内一点A (0,1)的动直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，当l 平行于x 轴和垂直于x 轴时，l 被椭圆C 所截得的线段长均为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在与点A 不同的定点B ，使得对任意过点A 的动直线l 都满足AM AN ＝BMBN ？若存在，求出定点B 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)当l 垂直于x 轴时，2b ＝22，从而b ＝ 2. 当l 平行于x 轴时，点(2，1)在椭圆C 上， 所以2a 2＋12＝1，解得a ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设存在与点A 不同的定点B 满足AM AN ＝BMBN .当l 平行于x 轴时，AM ＝AN ，所以BM ＝BN ，从而点B 在y 轴上，设B (0，t )； 当l 垂直于x 轴时，不妨设M (0，2)，N (0，－2)．由AM AN ＝BMBN 可得|t －2||t ＋2|＝|2－1||2＋1|，解得t ＝1(舍去)或t ＝2，即B (0,2)．下面证明对任意斜率存在且不为0的动直线l 都满足AM AN ＝BMBN . 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 22＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx －2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－21＋2k 2.因为AMAN ＝1＋k 2|x 1|1＋k 2|x 2|＝|x 1||x 2|，BM BN ＝x 21＋(y 1－2)2x 22＋(y 2－2)2＝x 21＋(kx 1－1)2x 22＋(kx 2－1)2＝(1＋k 2)x 21－2kx 1＋1(1＋k 2)x 22－2kx 2＋1，要证AM AN ＝BM BN ，只要证|x 1||x 2|＝(1＋k 2)x 21－2kx 1＋1(1＋k 2)x 22－2kx 2＋1，只要证x 21[(1＋k 2)x 22－2kx 2＋1)]＝x 22[(1＋k 2)·x 21－2kx 1＋1)]， 即证2kx 21x 2－2kx 22x 1＋x 22－x 21＝0，即证(x 1－x 2)[2kx 1x 2－(x 1＋x 2)]＝0. 因为2kx 1x 2－(x 1＋x 2)＝2k ×－21＋2k 2－－4k1＋2k 2＝0， 所以AM AN ＝BM BN .所以存在与点A 不同的定点B (0,2)，使得对任意过点A 的动直线l 都满足AM AN ＝BMBN . [方法归纳]1.(2017·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1. (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1OP 2＋1OQ 2的值．。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.求实数a ，b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，P(m ，n)为曲线C 2上任一点，求2m ＋n 的取值范围．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．(1) 求二面角ADFB的大小；(2) 试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°.23.设f(x，n)＝(1＋x)n，n∈N*.(1) 求f(x，6)的展开式中系数最大的项；40＋C n n4－1；(2) n∈N*时，化简C0n4n－1＋C1n4n－2＋C2n4n－3＋…＋C n－1n(3) 求证：C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nC n n＝n×2n－1.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 1x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，若Aα＝Bα，求实数x ，y 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．求线段AB 的长．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动．(1) 求选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数；(2) 记X为选出的4名选手中女选手的人数，求X的概率分布和数学期望．23.已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)过点(2，1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点．点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.(1) 求抛物线C的标准方程；(2) 问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(9，15)，求矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，求曲线C 1与C 2的交点在直角坐标系中的直角坐标．【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立． (1) 求该网民至少购买2种商品的概率；(2) 用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．23.如图，由若干个小正方形组成的k 层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k 层有k 个小正方形．除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k 层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为x 1，x 2，…，x k ，其中x i ∈{0，1}(1≤i ≤k)，其他小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为x 0.(1) 当k ＝4时，若要求x 0为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？(2) 当k ＝11时，若要求x 0为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21. (本小题满分10分)B.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，若矩阵AB －1对应的变换把直线l 变为直线l′：x ＋y －2＝0，求直线l 的方程．C.(本小题满分10分)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝3 2. (1) 把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 已知P 为曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上一点，求P 到直线l 的距离的最大值．22. (本小题满分10分)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12，a ，a(0＜a ＜1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.(1) 求ξ的分布列及数学期望；(2) 在概率P(ξ＝i)(i ＝0，1，2，3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a 的取值范围．23.(本小题满分10分)如图，正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝1，D 1D ＝2，点P 为棱CC 1的中点．(1) 设二面角AA 1BP 的大小为θ，求sin θ的值；(2) 设M 为线段A 1B 上的一点，求AM MP的取值范围．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a24 b 的属于特征值8的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，点P(－1，2)在M 对应的变换作用下得到点Q ，求Q 的坐标．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝6cos α，y ＝2sin α(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋3sin θ)＋4＝0.求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A＝D1D＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2.(1) 在平面ABCD内找一点F，使得D1F⊥平面AB1C；(2) 求二面角CB1AB的平面角的余弦值．23.已知数列{a n}满足a n＝a n＋1－a－n－1a－a－1(n∈N*)，a≠－1，0，1.设b＝a＋1a.(1) 求证：a n＋1＝ba n－a n－1(n≥2，n∈N*)；(2) 当n(n∈N*)为奇数时，a n＝，猜想当n(n∈N*)为偶数时，a n关于b的表达式，并用数学归纳法证明．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 11 3的特征值及对应的特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设P 点是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.(1) 求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；(2) 求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．23. 证明：对一切正整数n，5n＋2·3n－1＋1能被8整除．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1252x 的一个特征值为－2，求M 2.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝7－2t (t 为参数)与椭圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，a ＞0)的一条准线的交点位于y 轴上，求实数a 的值．【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1) 设AD →＝λAB →，异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值为91050，求λ的值；(2) 若点D 是AB 的中点，求二面角DCB 1B 的余弦值．23.已知k ，m ∈N *，若存在互不相等的正整数a 1，a 2，…，a m ，使得a 1a 2，a 2a 3，…，a m －1a m ，a m a 1同时小于k ，则记f(k)为满足条件的m 的最大值．(1) 求f(6)的值；(2) 对于给定的正整数n(n ≥2)：(ⅰ) 当n(n ＋2)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，求f(k)的解析式；(ⅱ) 当n(n ＋1)＜k ≤n(n ＋2)时，求f(k)的解析式．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程．21. (本小题满分10分)B.已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1对应的变换作用下变为直线l′：x －y ＝1，求矩阵A .C.(本小题满分10分)在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值．22. (本小题满分10分)某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m 元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n 元．活动规定：① 参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；② 可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③ 如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止．(1) 如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率；(2) 若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．23.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2x －3x 2，设数列{a n }满足：a 1＝14，a n ＋1＝f(a n )．求证： (1)n ∈N *，都有0＜a n ＜13； (2) 31－3a 1＋31－3a 2＋…＋31－3a n≥4n ＋1－4.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－14，求矩阵A 的特征值和特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋13＝0，已知A ⎝⎛⎭⎫1，3π2，B ⎝⎛⎭⎫3，3π2，P 为圆C 上一点，求△PAB 面积的最小值．【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 是直角三角形，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，点P 是棱BB 1上一点，满足BP →＝λBB 1→(0≤λ≤1)．(1) 若λ＝13，求直线PC 与平面A 1BC 所成角的正弦值； (2) 若二面角PA 1CB 的正弦值为23，求λ的值．23. 已知数列{a n }满足a n ＝3n －2，f(n)＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n，g(n)＝f(n 2)－f(n －1)，n ∈N *.求证：(1) g(2)＞13； (2) 当n ≥3时，g(n)＞13.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a02 1(a ∈R )的一个特征值为2.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线C 在矩阵M 变换下得到的曲线的方程为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，圆E 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋4sin θ，试判断点A 和圆E 的位置关系．【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝2，设BD →＝λDC →(λ∈R )．(1) 若λ＝1，求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值；(2) 若二面角B 1A 1C 1D 的大小为60°，求实数λ的值．23.设集合M ＝{1，2，3，…，n}(n ∈N ，n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .(1) 分别求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6的值； (2) 猜想T n S n 关于n 的表达式，并证明之．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 2，求逆矩阵M －1的特征值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆C 的方程为ρ＝42sin θ(圆心为点C)，求直线AC 的极坐标方程．【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，AD＝AS ＝2，P 是棱SD 上一点，且SP ＝12PD. (1) 求直线AB 与CP 所成角的余弦值；(2) 求二面角APCD 的余弦值．23. 已知函数f 0(x)＝x(sinx ＋cosx)，设f n (x)为f n －1(x)的导数，n ∈N *.(1) 求f 1(x)，f 2(x)的表达式；(2) 写出f n (x)的表达式，并用数学归纳法证明．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0.求圆心的极坐标．【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一批产品共10件，其中3件是不合格品．用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：方式一：一次性随机抽取2件；方式二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件．记抽取的不合格产品数为ξ.(1) 分别求两种抽取方式下ξ的概率分布；(2) 比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由．23.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，设点A(－t ，0)，B(t ，0)(t ＞0)，过点B 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点(P 在Q 上方)．(1) 若t ＝1，直线PQ 的倾斜角为π4，求直线PA 的斜率； (2) 求证：∠PAO ＝∠QAO.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(十三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)． (1) 求a ，b 的值；(2) 若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝32，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cost ，y ＝3sint(t 为参数)． (1) 求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程；(2) 若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．(1) 求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2) 设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．23.设(1－x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2.(1) 设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值；(2) 设b n ＝k ＋1n －k a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求⎪⎪⎪⎪Sm C m n －1的值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.设P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.(1) 证明：平面DFC⊥平面D1EC；(2) 求二面角ADFC的大小．23. 在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如下图所示．(1) 在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2) 已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C r n，C r＋1n，C r＋2n ，C r＋3n不能构成等差数列．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(十五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，设点A(－1，2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1对应的变换作用下得到点A′，将点B(3，4)绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎨⎧x ＝－1＋55t ，y ＝－1＋255t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一个摸球游戏，规划如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励(k∈N*)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．(1) 求概率P(X＝0)的值；(2) 为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．(注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！)23.设S4k＝a1＋a2＋…＋a4k(k∈N*)，其中a i∈{0，1}(i＝1，2，…，4k)．当S4k除以4的余数是b(b＝0，1，2，3)时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m(b)．(1) 当k＝2时，求m(1)的值；(2) 求m(3)关于k的表达式，并化简．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1210所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2.若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．证明过程或演算步骤．22. 从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．(1) 求X是奇数的概率；(2) 求X的概率分布列及数学期望．23.在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，P n(x n0，y n0)，n∈N*.记直线AP n的斜率为k n.(1) 若k1＝2，求P1的坐标；(2) 若k1为偶数，求证：k n为偶数．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知变换T 把平面上的点(3，－4)，(5，0)分别变换成(2，－1)，(－1，2)，试求变换T 对应的矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点M(1，2)，倾斜角为π3.以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C ：ρ＝6cos θ.若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求MA·MB 的值．证明过程或演算步骤．22. 一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．(1) 求恰好摸4次停止的概率；(2) 记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．23. 设实数a1，a2，…，a n满足a1＋a2＋…＋a n＝0，且|a1|＋|a2|＋…＋|a n|≤1(n∈N*且n≥2)，令b n＝a nn(n∈N*)．求证：|b1＋b2＋…＋b n|≤12－12n(n∈N*)．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y －2＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 12对应的变换作用下得到直线x ＋y －b ＝0(a ，b ∈R )，求a ＋b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α＋3，y ＝2sin α(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π6.若直线l 与曲线C交于A ，B 两点，求线段AB 的长．证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)上一点P ⎝⎛⎭⎫34，m 到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F.(1) 求抛物线的方程；(2) 若A 为抛物线上一点(异于原点O)，点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E.试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论．23. 甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n ∈N *)局．根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P(n)．(1) 求P(2)与P(3)的值；(2) 试比较P(n)与P(n ＋1)的大小，并证明你的结论．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，计算A 5α.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin α，y ＝1－cos2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标．明过程或演算步骤．22. 已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．(1) 求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；(2) 若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．23. 在集合A＝{1，2，3，4，…，2n}中，任取m(m≤n，m，n∈N*)个元素构成集合A m.若A m的所有元素之和为偶数，则称A m为A的偶子集，其个数记为f(m)；若A m的所有元素之和为奇数，则称A m为A的奇子集，其个数记为g(m)．令F(m)＝f(m)－g(m)．(1) 当n＝2时，求F(1)，F(2)，F(3)的值；(2) 求F(m)．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．B. (选修4-2：矩阵与变换) 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 m n 1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β. .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝t ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，试判断直线l与曲线C 的位置关系．明过程或演算步骤．22. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为12，甲胜丙、乙胜丙的概率都为23，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．(1) 求第3局甲当裁判的概率；(2) 记前4局中乙当裁判的次数为X ，求X 的概率分布与数学期望．23. 记f(n)＝(3n ＋2)(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2n )(n ≥2，n ∈N *)．(1) 求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2) 当n ≥2，n ∈N *时，试猜想所有f(n)的最大公约数，并证明．实战演练·高三数学附加分参考答案与解析江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(一)21.B. 解：设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应变换下的像是P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax bx ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，(2分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，bx ＋y ＝y′.(5分)因为x′2＋y′2＝1，所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，即(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，(7分)所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2，2b ＝2，由于a ＞0，得a ＝b ＝1.(10分)C. 解：曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t 的直角坐标方程为y ＝3－2x ，与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫32，0.(2分) 曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asin θ，y ＝3cos θ的直角坐标方程为x 2a 2＋y 29＝1，与x 轴交点为(－a ，0)，(a ，0)，(4分)由a ＞0，曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，所以a ＝32.(6分)所以2m ＋n ＝3sin θ＋3cos θ＝32sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，(8分)所以2m ＋n 的取值范围为[－32，32]．(10分)[试题更正：题目中“求m ＋n 的取值范围”改为“求2m ＋n 的取值范围”] 22. 解：(1) 以CD →，CB →，CE →为正交基底，建立空间直角坐标系，则E(0，0，1)，D(2，0，0)，F(2，2，1)，B(0，2，0)，A(2，2，0)，BD →＝(2，－2，0)，BF →＝(2，0，1)．平面ADF 的法向量t ＝(1，0，0)，(2分)设平面DFB 法向量n ＝(a ，b ，c)，则n ·BD →＝0，n ·BF →＝0， 所以⎩⎨⎧2a －2b ＝0，2a ＋c ＝0.令a ＝1，得b ＝1，c ＝－2，所以n ＝(1，1，－2)．(4分)设二面角ADFB 的大小为θ⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2，从而cos θ＝|cos 〈n ，t 〉|＝12，∴ θ＝60°，故二面角ADFB 的大小为60°.(6分)(2) 依题意，设P(a ，a ，0)(0≤a ≤2)，则PF →＝(2－a ，2－a ，1)，CB →＝(0，2，0)． 因为〈PF →，CB →〉＝60°， 所以cos60°＝2（2－a ）2×2（2－a ）2＋1＝12，解得a ＝22，(9分) 所以点P 应在线段AC 的中点处．(10分)23. (1) 解：展开式中系数最大的项是第四项为C 3n x 3＝20x 3.(3分)(2) 解：C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1＝14[C 0n 4n ＋C 1n 4n －1＋C 2n 4n －2＋…＋C n －1n 4＋C n n ] ＝14(4＋1)n ＝5n4.(7分) (3) 证明：因为kC k n ＝nC k －1n －1，所以C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n ＝n(C 0n －1＋C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ×2n －1.(10分)江苏省普通高等学校招生考试高三模拟冲刺测试卷(二)21.B. 解：Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y －22＋xy ，B α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y ，(4分)由Aα＝Bα得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，解得x ＝－12，y ＝4.(10分)C. 解：由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2. 直线l 的方程化成普通方程为x －y ＋1＝0.(6分) 圆心到直线l 的距离为d ＝|－1－1＋1|2＝22，(8分)所求弦长AB ＝22－⎝⎛⎭⎫222＝ 6.(10分)22. 解：(1) 选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为C 12·C 13·C 23＋C 13＝21种．(3分)(2) X 的可能取值为0，1，2，3.(4分) P(X ＝0)＝C 23C 25C 24＝310×6＝120，P(X ＝1)＝C 12C 13C 23＋C 13C 25C 24＝2×3×3＋310×6＝720， P(X ＝3)＝C 23C 13C 25C 24＝3×310×6＝320，P(X ＝2)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝3)＝920.(8分)X 的概率分布为E(X)＝0×120＋1×720＋2×920＋3×320＝1710.(10分)23. 解：(1) 将点(2，1)代入抛物线x 2＝2py 的方程，得p ＝2，所以，抛物线C 的标准方程为x 2＝4y.(4分)(2) 设直线l 的方程为y ＝kx －1，又设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A′(－x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx －1，得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16＞0，x 1·x 2＝4，x 1＋x 2＝4k ，所以k A ′B ＝y 2－y 1x 2－（－x 1）＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14，于是直线A′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)，(8分)。

6个解答题专项强化练(一) 三角函数与解三角形1、已知向量m ＝(cos α,－1),n ＝(2,sin α),其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,且m ⊥n 、 (1)求cos 2α的值；(2)若sin(α－β)＝1010,且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,求角β的值、 解：法一：(1)由m ⊥n 得,2cos α－sin α＝0,即sin α＝2cos α,代入sin 2α＋cos 2α＝1,得cos 2α＝15, 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2, 所以cos α＝55,sin α＝255, 所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝⎛⎭⎫552－⎝⎛⎭⎫2552＝－35、 (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2、 因为sin(α－β)＝1010,所以cos(α－β)＝31010、 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22、 因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,所以β＝π4、 法二：(1)由m ⊥n 得,2cos α－sin α＝0,tan α＝2,故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－41＋4＝－35、 (2)由(1)知,2cos α－sin α＝0,且sin 2α＋cos 2α＝1,α∈⎝⎛⎭⎫0，π2, 所以sin α＝255,cos α＝55, 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2、因为sin(α－β)＝1010,所以cos(α－β)＝31010、 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22、 因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,所以β＝π4、 2、在△ABC 中,∠A ＝60°,c ＝37a 、 (1)求sin C 的值；(2)若a ＝7,求△ABC 的面积、解：(1)在△ABC 中,因为∠A ＝60°,c ＝37a , 所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314、 (2)因为a ＝7,所以c ＝37×7＝3、 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,得72＝b 2＋32－2b ×3×12, 解得b ＝8或b ＝－5(舍去)、所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝63、 3、已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R)、(1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间、解：(1)由题意,f (x )＝－cos 2x －3sin 2x＝－2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6, 故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2、 (2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6、 则f (x )的最小正周期是π、由正弦函数的性质：令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π,k ∈Z, 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π,k ∈Z, 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)、 4、如图,在△ABC 中,D 为边BC 上一点,AD ＝6,BD ＝3,DC ＝2、(1)若AD ⊥BC ,求∠BAC 的大小；(2)若∠ABC ＝π4,求△ADC 的面积、 解：(1)设∠BAD ＝α,∠DAC ＝β、因为AD ⊥BC ,AD ＝6,BD ＝3,DC ＝2,所以tan α＝12,tan β＝13, 所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ＝12＋131－12×13＝1、 又∠BAC ∈(0,π),所以∠BAC ＝π4、 (2)设∠BAD ＝α、在△ABD 中,∠ABC ＝π4,AD ＝6,BD ＝3、 由正弦定理得AD sin π4＝BD sin α,解得sin α＝24、 因为AD ＞BD ,所以α为锐角,从而cos α＝1－sin 2α＝144、因此sin ∠ADC ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22×⎝⎛⎭⎫24＋144＝1＋74、 所以△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ×sin ∠ADC ＝12×6×2×1＋74＝3(1＋7)2、 5、设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2,其中0<ω<3、已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0、 (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位,得到函数y ＝g (x )的图象,求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值、 解：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2, 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3、 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝0,所以ωπ6－π3＝k π,k ∈Z 、 故ω＝6k ＋2,k ∈Z 、又0<ω<3,所以ω＝2、(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3, 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12、 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4, 所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3, 当x －π12＝－π3,即x ＝－π4时,g (x )取得最小值－32、 6、在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边、若向量m ＝(a ,cos A ),向量n ＝(cos C ,c ),且m ·n ＝3b cos B 、(1)求cos B 的值；(2)若a ,b ,c 成等比数列,求1tan A ＋1tan C的值、 解：(1)因为m ·n ＝3b cos B ,所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B 、由正弦定理,得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B , 所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ,所以sin B ＝3sin B cos B 、因为B 是△ABC 的内角,所以sin B ≠0,所以cos B ＝13、(2)因为a ,b ,c 成等比数列,所以b 2＝ac 、由正弦定理,得sin 2B ＝sin A sin C 、因为cos B ＝13,B 是△ABC 的内角,所以sin B ＝223、所以1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos Csin C＝cos A sin C ＋sin A cos C sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin A sin C＝sin B sin A sin C ＝sinB sin 2B ＝1sin B ＝324、。

2018年高考数学江苏专版二轮专题复习附加题高分练1．矩阵与变换1．(2017²常州期末)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2 13 2，列向量X ＝⎣⎡⎦⎤x y ，B ＝⎣⎡⎦⎤47，若AX ＝B ，直接写出A －1，并求出X . 解 由A ＝⎣⎡⎦⎤2 13 2，得到A －1＝⎣⎡⎦⎤ 2 －1－3 2.由AX ＝B ，得到X ＝A －1B ＝⎣⎡⎦⎤ 2 －1－3 2⎣⎡⎦⎤47＝⎣⎡⎦⎤12.也可由AX ＝B 得到⎣⎡⎦⎤2 13 2⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤47，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，3x ＋2y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以X ＝⎣⎡⎦⎤12.2．(2017²江苏淮阴中学调研)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎡⎦⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2.求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．解 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎡⎦⎤11可得，⎣⎡⎦⎤33cd ⎣⎡⎦⎤11＝6⎣⎡⎦⎤11，即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2，可得⎣⎡⎦⎤3 3c d ⎣⎡⎦⎤ 3－2＝⎣⎡⎦⎤3－2，即3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4.即A ＝⎣⎡⎦⎤3 32 4，A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 123．(2017²江苏建湖中学月考)曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在二阶矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1 a b 1的作用下变换为曲线x 2－2y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求M 的逆矩阵M －1.解 (1)设P(x ，y)为曲线x 2－2y 2＝1上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎡⎦⎤1 a b 1⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋ay ′，y ＝bx ′＋y ′，代入x 2－2y 2＝1得(x ′＋ay ′)2－2(bx ′＋y ′)2＝1得(1－2b 2)x ′2＋(2a －4b)x ′y ′＋(a 2－2)y ′2＝1，及方程x 2＋4xy ＋2y 2＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1－2b 2＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2，解得a ＝2，b ＝0. (2)因为M ＝⎪⎪⎪⎪1 20 1＝1≠0，故M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 －210111＝⎣⎡⎦⎤1 －20 1. 4．已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解 设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0， 设P(x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x.又点P(x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y. 2．坐标系与参数方程1．(2017²南通一模)在极坐标系中，求直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长．解 方法一 在ρ＝4sin θ中，令θ＝π4，得ρ＝4sin π4＝22，即弦长为2 2.方法二 以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x ，①曲线ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长为(2－0)2＋(2－0)2＝2 2.2．(2017²江苏六市联考)平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22l ，y ＝22l (l 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 直线的普通方程为2x －2y ＋3＝0，曲线的普通方程为y 2＝8x.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋3＝0，y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6.取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，6，得AB ＝4 2.3．(2017²江苏滨海中学质检)已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，(其中θ为参数)．(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值． 解 (1)极点为直角坐标原点O ，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，其直角坐标方程为x ＋y －1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为M(0，－2)， ∴点M 到直线的距离为d ＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.4．(2017²常州期末)在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6被射线θ＝θ0⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，θ0为常数，且θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2所截得的弦长为23，求θ0的值．解 圆ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，射线θ＝θ0的直角坐标方程可以设为y ＝kx(x ≥0，k ＞0)．圆心(1，3)到直线y ＝kx 的距离d ＝|k －3|1＋k 2. 根据题意，得24－(k －3)21＋k 2＝23，解得k ＝33. 即tan θ0＝33，又θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ0＝π6.3．曲线与方程、抛物线1．(2017²江苏南通天星湖中学质检)已知点A(1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上．(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值；(2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．解 (1)由点A(1,2)在抛物线F 上，得p ＝2，∴抛物线F ：y 2＝4x ，设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1. (2)另设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.2．(2017²江苏赣榆中学月考)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px. ∵点P(1,2)在抛物线上， ∴22＝2p ³1，得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)．∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k PA ＝－k PB ，由A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在抛物线上，得 y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)， ∴y 1＋y 2＝－4，由①－②得直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－44＝－1(x 1≠x 2)．3．(2017²江苏常州中学质检)已知点A(－1,0)，F(1,0)，动点P 满足AP →²AF →＝2||FP →. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M ，N.问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)设P(x ，y)，则AP →＝(x ＋1，y)，FP →＝(x －1，y)，AF →＝(2,0)， 由AP →²AF →＝2|FP →|，得2(x ＋1)＝2(x －1)2＋y 2，化简得y 2＝4x. 故动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x.(2)直线l 方程为y ＝2(x ＋1)，设Q(x 0，y 0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．设过点M 的切线方程为x －x 1＝m(y －y 1)，代入y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4my 1－y 21＝0， 由Δ＝16m 2－16my 1＋4y 21＝0，得m ＝y 12，所以过点M 的切线方程为y 1y ＝2(x ＋x 1)，同理过点N 的切线方程为y 2y ＝2(x ＋x 2)．所以直线MN 的方程为y 0y ＝2(x 0＋x)， 又MN ∥l ，所以2y 0＝2，得y 0＝1，而y 0＝2(x 0＋1)，故点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. 4．(2017²江苏宝应中学质检)如图，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A(x 1，y 1)(y 1＞0)，B(x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．(1)若TA →²TB →＝1，求直线l 的斜率； (2)求∠ATF 的最大值．解 (1)因为抛物线y 2＝4x 焦点为F(1,0)，T(－1,0)．当l ⊥x 轴时，A(1,2)，B(1，－2)，此时TA →²TB →＝0，与TA →²TB →＝1矛盾， 所以设直线l 的方程为y ＝k(x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，①所以y 21y 22＝16x 1x 2＝16，所以y 1y 2＝－4，② 因为TA →²TB →＝1，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝1， 将①②代入并整理得，k 2＝4，所以k ＝±2.(2)因为y 1＞0，所以tan ∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝1y 14＋1y 1≤1，当且仅当y 14＝1y 1，即y 1＝2时，取等号，所以∠ATF ≤π4，所以∠ATF 的最大值为π4.4．空间向量与立体几何1．(2017²苏锡常镇调研)如图，已知正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13.(1)求异面直线MN 与PC 所成角的大小； (2)求二面角N －PC －B 的余弦值．解 (1)设AC ，BD 交于点O ，在正四棱锥P －ABCD 中，OP ⊥平面ABCD ，又PA ＝AB ＝2，所以OP ＝ 2.以O 为坐标原点，DA →，AB →，OP →方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图．则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，2)，AP →＝(－1,1，2)．故OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－13，223，ON →＝13OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，0，所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，－223，PC →＝(－1,1，－2)，所以cos 〈MN →，PC →〉＝MN →²PC →|MN →||PC →|＝32，所以异面直线MN 与PC 所成角的大小为π6.(2)由(1)知PC →＝(－1,1，－2)，CB →＝(2,0,0)，NC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23，0.设m ＝(x ，y ，z)是平面PCB 的法向量，则m ²PC →＝0，m ²CB →＝0，可得⎩⎨⎧－x ＋y －2z ＝0，x ＝0，令y ＝2，则z ＝1，即m ＝(0，2，1)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCN 的法向量，则n ²PC →＝0，n ²CN →＝0，可得⎩⎨⎧－x 1＋y 1－2z 1＝0，－2x 1＋y 1＝0，令x 1＝2，则y 1＝4，z 1＝2，即n ＝(2,4，2)，所以cos 〈m ，n 〉＝m²n |m||n|＝523³22＝53333，则二面角N －PC －B 的余弦值为53333.2．(2017²常州期末)如图，以正四棱锥V －ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O －xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 的中点．正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有cos 〈BE →，DE →〉＝－1549.(1)求ha的值；(2)求二面角B －VC －D 的余弦值．解 (1)根据条件，可得B(a ，a,0)，C(－a ，a,0)，D(－a ，－a,0)，V(0,0，h)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，h 2，所以BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，h 2，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，h 2，故cos 〈BE →，DE →〉＝h 2－6a 2h 2＋10a2.又cos 〈BE →，DE →〉＝－1549，则h 2－6a 2h 2＋10a 2＝－1549， 解得h a ＝32.(2)由h a ＝32，得BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，34a ，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，34a ，且容易得到，CB →＝(2a,0,0)，DC →＝(0,2a,0)． 设平面BVC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1²BE →＝0，n 1²CB →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－32ax 1－a 2y 1＋34az 1＝0，2ax 1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，2y 1＝3z 1，取y 1＝3，z 1＝2，则n 1＝(0,3,2)．同理可得平面DVC 的一个法向量为n 2＝(－3,0,2)． cos 〈n 1，n 2〉＝n 1²n 2|n 1||n 2|＝0³(－3)＋3³0＋2³213³13＝413，结合图形，可以知道二面角B －VC －D 的余弦值为－413.3．(2017²南京学情调研)如图，在底面为正方形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是线段PC 的中点．(1)求异面直线AP 与BE 所成角的大小；(2)若点F 在线段PB 上，且使得二面角F －DE －B 的正弦值为33，求PFPB的值．解 (1)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA ，DC ，DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz.因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ， 不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)． 因为E 是PC 的中点，所以E(0,1,1)， 所以AP →＝(－2,0,2)，BE →＝(－2，－1,1)， 所以cos 〈AP →，BE →〉＝AP →²BE →|AP →||BE →|＝32，从而〈AP →，BE →〉＝π6.因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6.(2)由(1)可知，DE →＝(0,1,1)，DB →＝(2,2,0)，PB →＝(2,2，－2)． 设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)， 从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ²DF →＝0，m ²DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0，取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1.故m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量， 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧n ²DB →＝0，n ²DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1.所以n ＝(1，－1,1)为平面BDE 的一个法向量． 因为二面角F －DE －B 的余弦值的绝对值为63， 即|cos 〈m ，n 〉|＝|m²n ||m||n|＝|4λ－1|3²(2λ－1)2＋2λ2＝63， 化简得4λ2＝1.因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1， 所以λ＝12，即PF PB ＝12.4.(2017²苏北四市一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点． (1)求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；(2)点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．解 (1)因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD. 又因为∠BAD ＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)． 又因为M 为PC 的中点，所以M(1,1,2)． 所以BM →＝(－1,1,2)，AP →＝(0,0,4)， 所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →²BM →|AP →||BM →|＝0³(－1)＋0³1＋4³24³6＝63，所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为63. (2)因为AN ＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN →＝(－1，λ－1，－2)，BC →＝(0,2,0)，PB →＝(2,0，－4)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ²BC →＝0，m ²PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －4z ＝0.令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m ＝(2,0,1)是平面PBC 的一个法向量．因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN →，m 〉|＝|MN →²m ||MN →||m |＝|－2－2|5＋(λ－1)2²5＝45，解得λ＝1∈[0,4]，所以λ的值为1.5．离散型随机变量的概率分布1．(2017²南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布与数学期望E(X)． 解 (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P ＝1－33³3＝23.(2)由题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，P(X ＝k)＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k²⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.所以X 的概率分布为所以X 的数学期望为E(X)＝5³13＝53.2．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立． (1)求该网民至少购买2种商品的概率；(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望． 解 (1)该网民恰好购买2种商品的概率为P(AB C )＋P(A B C)＋P(A BC)＝34³23³12＋34³13³12＋14³23³12＝1124；该网民恰好购买3种商品的概率为P(ABC)＝34³23³12＝14，所以P ＝1124＋14＝1724.故该网民至少购买2种商品的概率为1724.(2)随机变量η的可能取值为0,1,2,3，由(1)知，P(η＝2)＝1124，P(η＝3)＝14，而P(η＝0)＝P(A B C )＝14³13³12＝124，所以P(η＝1)＝1－P(η＝0)－P(η＝2)－P(η＝3)＝14.随机变量η的概率分布为所以随机变量η的数学期望E(η)＝0³124＋1³14＋2³1124＋3³14＝2312.3．(2017²南京学情调研)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的概率分布与数学期望．解 (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A 1(i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥． 甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3.P(A 1)＝25，P(A 2)＝35³13³25＝225，P(A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352³⎝ ⎛⎭⎪⎫132³25＝2125.所以P(A 1＋A 2＋A 3)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 3)＝25＋225＋2125＝62125.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. 则P(X ＝1)＝25＋35³23＝45，P(X ＝2)＝225＋35³13³35³23＝425，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352³⎝ ⎛⎭⎪⎫132³1＝125.即X 的概率分布为所以数学期望E(X)＝1³45＋2³425＋3³125＝3125.4．为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的．(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；(2)设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X 的概率分布和数学期望E(X)． 解 (1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有43＝64种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M ，事件M 共包含A 34＝24个基本事件，则P(M)＝2464＝38，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为38.(2)方法一 X 可能的取值为0,1,2,3. P(X ＝0)＝3343＝2764，P(X ＝1)＝C 13³3243＝2764，P(X ＝2)＝C 23³343＝964，P(X ＝3)＝C 3343＝164.所以X 的概率分布为所以E(X)＝0³2764＋1³2764＋2³964＋3³164＝34.方法二 甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，所以P(X ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k，k ＝0,1,2,3，所以X 的概率分布为所以X 的数学期望E(X)＝3³14＝34.6．计数原理、二项式定理和数学归纳法1．已知等式(1＋x)2n －1＝(1＋x)n －1(1＋x)n.(1)求(1＋x)2n －1的展开式中含x n的项的系数，并化简：C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ；(2)证明：(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2＝nC n2n －1. (1)解 (1＋x)2n －1的展开式中含x n 的项的系数为C n2n －1，由(1＋x)n －1(1＋x)n＝(C 0n －1＋C 1n －1x ＋…＋C n －1n －1xn －1)(C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n )可知，(1＋x)n －1(1＋x)n的展开式中含x n的项的系数为C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n . 所以C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ＝C n2n －1. (2)证明 当k ∈N *时，kC kn ＝k²n ！k ！(n －k )！＝n ！(k －1)！(n －k )！＝n²(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝nC k －1n －1，所以(C 1n)2＋2(C 2n)2＋…＋n(C n n)2＝∑k ＝1n[k(C k n )2]＝k ＝1n (kC k n C kn )＝k ＝1n (nC k －1n －1C kn )＝n k ＝1n (C k －1n －1C kn )＝n k ＝1n (C n －k n －1C kn )．由(1)知C 0n －1C n n ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ＝C n2n －1，即k ＝1n (C n －k n －1C k n )＝C n2n －1，所以(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2＝nC n2n －1.2．(2017²江苏泰州中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知点A(0，－1)，P n (x n0，y n0)，n ∈N *.记直线AP n 的斜率为k n . (1)若k 1＝2，求P 1的坐标； (2)若k 1为偶数，求证：k n 为偶数． (1)解 因为k 1＝2，所以y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2，解得x 0＝1，y 0＝1，所以P 1的坐标为(1,1)．(2)证明 方法一 设k 1＝2p(p ∈N *)，即y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2p.所以x 20－2px 0＋1＝0，所以x 0＝p±p 2－1. 因为y 0＝x 2，所以k n ＝y n0＋1x n 0＝x 2n0＋1x n 0＝x n 0＋1x n 0，所以当x 0＝p ＋p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＋p 2－1n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n. 同理，当x 0＝p －p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n.①当n ＝2m(m ∈N *)时，k n ＝2∑k ＝0mC 2k n pn －2k(p 2－1)k，所以k n 为偶数．②当n ＝2m ＋1(m ∈N )时，k n ＝2∑k ＝0mC 2k n pn －2k(p 2－1)k，所以k n 为偶数．综上，k n 为偶数．方法二 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋10＋1x n ＋10＝x n ＋20＋1x n ＋20＋x n0＋1x n 0，所以k n ＋2＝k 1k n ＋1－k n .k 2＝x 20＋1x 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 02－2＝k 21－2.设命题p(n)：k n ，k n ＋1均为偶数．以下用数学归纳法证明“命题p(n)是真命题”．①因为k 1是偶数，所以k 2＝k 21－2也是偶数．当n ＝1时，p(n)是真命题；②假设当n ＝m(m ∈N *)时，p(n)是真命题，即k m ，k m ＋1均为偶数，则k m ＋2＝k 1k m ＋1－k m 也是偶数，即当n ＝m ＋1时，p(n)也是真命题．由①②可知，对n ∈N *，p(n)均是真命题，从而k n 是偶数．3．(2017²江苏扬州中学模拟)在数列{a n }中，a n ＝cos π3³2(n ∈N *)(1)试将a n ＋1表示为a n 的函数关系式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1－2n²n！(n ∈N *)，猜想a n 与b n 的大小关系，并证明你的结论． 解 (1)a n ＝cos π3³2n －2＝cos 2π3³2n －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3³2n －12－1， ∴a n ＝2a 2n ＋1－1， ∴a n ＋1＝±a n ＋12， 又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1＞0， ∴a n ＋1＝a n ＋12. (2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1＞b 1，当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2， 当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3＜b 3， 猜想：当n ≥3时，a n ＜b n ，下面用数学归纳法证明． ①当n ＝3时，由上知，a 3＜b 3，结论成立． ②假设当n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k ＜b k 成立， 即a k ＜1－2k²k！，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12＜2－2k²k！2＝1－1k²k！， b k ＋1＝1－2(k ＋1)²(k ＋1)！，要证a k ＋1＜b k ＋1，即证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k²k！2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2(k ＋1)²(k ＋1)！2，即证明1－1k²k！＜1－4(k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2，即证明1k²k！－4(k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2＞0，即证明(k －1)2k (k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2＞0，显然成立．∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n ＜b n 成立．综上可得：当n ＝1时，a 1＞b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2， 当n ≥3，n ∈N *时，a n ＜b n .4．已知f n (x)＝C 0n x n －C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k)n ＋…＋(－1)n C n n (x －n)n，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n.(1)试求f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的值；(2)试猜测f n (x)关于n 的表达式，并证明你的结论． 解 (1)f 1(x)＝C 01x －C 11(x －1)＝1，f 2(x)＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x －1)2＋(x －2)2＝2，f 3(x)＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6. (2)猜测f n (x)＝n ！，n ∈N *. 以下用数学归纳法证明．①当n ＝1时，f 1(x)＝1，等式成立． ②假设当n ＝m 时，等式成立，即 f m (x)＝k ＝0m (－1)k C k m (x －k)m＝m ！.当n ＝m ＋1时，则f m ＋1(x)＝k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1²(x－k)m ＋1.因为C k m ＋1＝C k m ＋C k －1m ，kC k m ＋1＝(m ＋1)²C k －1m ，其中k ＝1,2，…，m ， 且C 0m ＋1＝C 0m ，C m ＋1m ＋1＝C mm ，所以f m ＋1(x)＝k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k)m ＋1＝x k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k)m －k ＝0m ＋1(－1)k kC km ＋1(x －k)m＝x k ＝0m (－1)k C k m(x －k)m＋x ∑k ＝1m ＋1²(－1)k Ck －1m(x －k)m－(m ＋1)∑k ＝1m ＋1²(－1)k C k －1m (x －k)m＝x²m！＋(－x ＋m ＋1)k ＝0m (－1)k C km ²[(x－1)－k]m＝x²m！＋(－x ＋m ＋1)²m!＝(m＋1)²m！＝(m＋1)！.即n＝m＋1时，等式也成立．由①②可知，对n∈N*，均有f n(x)＝n！.。

6个解答题专项强化练(二) 空间中位置关系的证明1.在长方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝EC ＝12AA 1.求证： (1)AC 1∥平面BDE ；(2)A 1E ⊥平面BDE .证明：(1)连结AC 交BD 于点O ，连结OE .在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为四边形ABCD 为正方形，所以点O 为AC 的中点，因为AA 1∥CC 1且AA 1＝CC 1，又EC ＝12AA 1， 所以EC ＝12CC 1， 即点E 为CC 1的中点，于是在△CAC 1中，AC 1∥OE .又因为OE ⊂平面BDE ，AC 1⊄平面BDE ，所以AC 1∥平面BDE .(2)连结B 1E .设AB ＝a ，则在△BB 1E 中，BE ＝B 1E ＝2a ，BB 1＝2a .所以BE 2＋B 1E 2＝BB 21 ，所以B 1E ⊥BE .由ABCD -A 1B 1C 1D 1为长方体，得A 1B 1⊥平面BB 1C 1C .因为BE ⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1B 1⊥BE .因为B 1E ∩A 1B 1＝B 1，B 1E ⊂平面A 1B 1E ，A 1B 1⊂平面A 1B 1E ，所以BE ⊥平面A 1B 1E . 又因为A 1E ⊂平面A 1B 1E, 所以A 1E ⊥BE .同理A 1E ⊥DE .又因为BE ∩DE ＝E ，BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以A 1E ⊥平面BDE .2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AP ＝AD ，M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面PAB;(2)AM ⊥平面PCD .证明：(1)因为M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点，所以MN ∥DC,又因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥DC ，所以MN ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)因为AP ＝AD ，M 为PD 的中点，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM .因为CD ∩PD ＝D ，CD ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD .3.如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 的中点，N 是PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAB ；(2)若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：CM ⊥AD .证明：(1)取PB 的中点E ，连结EA ，EN ，在△PBC 中，EN ∥BC 且EN ＝12BC ，由AM ＝12AD ，AD ∥BC ，AD ＝BC ，得EN ∥AM ，EN ＝AM . ∴四边形ENMA 是平行四边形，∴MN ∥AE .又MN ⊄平面PAB ，AE ⊂平面PAB ，∴MN ∥平面PAB .(2)过点A 作PM 的垂线，垂足为H .∵平面PMC ⊥平面PAD ，平面PMC ∩平面PAD ＝PM ，AH ⊥PM ，AH ⊂平面PAD ，∴AH ⊥平面PMC ，又CM ⊂平面PMC ，∴AH ⊥CM .∵PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM .∵PA ∩AH ＝A ，PA ⊂平面PAD ，AH ⊂平面PAD ，∴CM ⊥平面PAD .∵AD ⊂平面PAD ，∴CM ⊥AD .4.如图，在直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，BC ⊥AC ，D ，E 分别是AB ，AC的中点．求证：(1)B 1C 1∥平面A 1DE ；(2)平面A 1DE ⊥平面ACC 1A 1.证明：(1)因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE.又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE.又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，又CC1⊂平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.5.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．解：(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因为D为AC的中点，所以DE＝12PA＝1，BD＝DC＝ 2.由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.所以三棱锥E-BCD的体积V＝16BD·DC·DE＝13.6．由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明：(1)取B1D1的中点O1，连结CO1，A1O1，因为ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，因为O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为E，M分别为AD，OD的中点，所以EM∥AO.因为AO⊥BD，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD，因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，又A1E⊂平面A1EM，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM，又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.。

3个附加题综合仿真练(五)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，D 是弧AC 的中点，DE ⊥AB 于E ，AC 与DE 交于点M ，求证：AM ＝DM .证明：连结AD ，因为AB 为直径，所以AD ⊥BD ， 又DE ⊥AB ，所以∠ABD ＝∠ADE .因为D 是弧AC 的中点， 所以∠DAC ＝∠ABD ， 所以∠ADE ＝∠DAC . 所以AM ＝DM .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3,3)，求矩阵A .解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，因为向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b c －d ＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.①因为点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3，3)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.② 由①②解得a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝1，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1.C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎨⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n (n 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t (t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：法一：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x .将直线⎩⎨⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n (n 为参数)代入y 2＝8x 得，n 2－82n ＋24＝0，解得n 1＝22，n 2＝6 2. 则|n 1－n 2|＝42， 所以线段AB 的长为4 2.法二：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t (t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x,将直线⎩⎨⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)化为普通方程为x －y ＋32＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝8x ，x －y ＋32＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6. 所以AB 的长为⎝⎛⎭⎫92－122＋(6－2)2＝4 2.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝3x ＋6，g (x )＝14－x ，若存在实数x 使f (x )＋g (x )>a 成立，求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f (x )＋g (x )＞a 成立， 等价于f (x )＋g (x )的最大值大于a ， 因为f (x )＋g (x ) ＝3x ＋6＋14－x＝3×x ＋2＋1×14－x ， 由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x )2≤(3＋1)(x ＋2＋14－x )＝64，所以f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，故实数a 的取值范围是(－∞，8)．2.如图，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝45°，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求异面直线AB 与MD 所成角的大小；(2)求平面OAB 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值．解：作AP ⊥CD 于点P ，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，22，0，D ⎝⎛⎭⎫－22，22，0， O (0,0,2)，M (0,0,1)．(1)设直线AB 与MD 所成角为θ，由AB ―→＝(1,0,0)，BD ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－1，则cos θ＝|cos 〈AB ―→，BD ―→〉|＝222＝12，故AB 与MD 所成角为60°.(2)OP ―→＝⎝⎛⎭⎫0，22，－2，OD ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－2，设平面OCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OP ―→＝0，n ·OD ―→＝0，即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，则n ＝(0,4，2).易得平面OAB 的一个法向量为m ＝(0,1,0)，cos 〈n ，m 〉＝432×1＝223，故平面OAB 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值为223.3．设a ＞b ＞0，n 是正整数，A n ＝1n ＋1(a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋a 2b n －2 ＋ab n －1＋b n ) ，B n ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 2n.(1)证明：A 2＞B 2；(2)比较A n 与B n (n ∈N *)的大小，并给出证明．解：(1)证明：A 2－B 2＝13(a 2＋ab ＋b 2)－⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝112(a －b )2>0.(2)A n ≥B n ，证明如下： 当n ＝1时，A 1＝B 1；当n ≥3时，A n ＝1n ＋1·a n ＋1－bn ＋1a －b，B n ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 2n ， 令a ＋b ＝x ，a －b ＝y ，且x >0，y >0，于是A n ＝1n ＋1·⎝⎛⎭⎫x ＋y 2n ＋1－⎝⎛⎭⎫x －y 2n ＋1y＝12n ＋1(n ＋1)y[(x ＋y )n ＋1－(x －y )n ＋1]，B n ＝⎝⎛⎭⎫x 2n ， 因为[(x ＋y )n ＋1－(x －y )n ＋1]＝(2C 1n ＋1x n y ＋2C 3n ＋1·x n －2y 3＋…)≥2C 1n ＋1x ny ，所以A n≥12n＋1(n＋1)y·2C1n＋1x n y＝x n2n＝⎝⎛⎭⎫x2n＝Bn.。

3个附加题综合仿真练(三)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的中点，过C 作圆O 的割线CED (E 在C ，D 之间)．求证：∠CBE ＝∠BDE . 证明：因为CA 为圆O 的切线， 所以CA 2＝CE ·CD ，又CA ＝CB ， 所以CB 2＝CE ·CD ， 即CB CE ＝CD CB， 又∠BCD ＝∠BCD ， 所以△BCE ∽△DCB ， 所以∠CBE ＝∠BDE .B ．[选修4－2：矩阵与变换]设a ，b ∈R.若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0.求实数a ，b 的值．解：法一：在直线l ：ax ＋y －7＝0上取点M (0,7)，N (1，7－a )， 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 07b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 b 7－a －1，可知点M (0,7)，N (1,7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点M ′(0,7b )，N ′(3，b (7－a )－1)，由题意可知：M ′，N ′在直线9x ＋y －91＝0上，∴⎩⎪⎨⎪⎧7b －91＝0，27＋b 7－a －1－91＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝13，∴实数a ，b 的值分别为2,13.法二：设直线l 上任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到Q (x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ，由Q (x ′，y ′)在直线l ′：9x ＋y －91＝0上， ∴27x ＋(－x ＋by )－91＝0， 即26x ＋by －91＝0，∵点P 在ax ＋y －7＝0上， ∴26a ＝b 1＝－91－7， 解得a ＝2，b ＝13.∴实数a ，b 的值分别为2,13. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l 和圆C 的极坐标方程分别为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝a (a ∈R)和ρ＝4sin θ.若直线l 与圆C 有且只有一个公共点，求a 的值．解：由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝a ，得32ρcos θ－12ρsin θ＝a ，故化为直角坐标方程为3x －y －2a ＝0，由圆C 的极坐标方程ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ， 化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，若直线l 与圆C 只有一个公共点，则圆心C 到直线l 的距离等于半径，故d ＝|－2－2a |2＝2，解得a ＝1或a ＝－3. D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ∈R ，a >b >e(其中e 是自然对数的底数)，求证：b a>a b. 证明：∵b a>0，a b>0，∴要证b a>a b， 只要证a ln b >b ln a, 只要证ln b b >ln a a，构造函数f (x )＝ln x x，x ∈(e ，＋∞)．则f ′(x )＝1－ln x x2，x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0在区间(e ，＋∞)上恒成立， 所以函数f (x )在x ∈(e ，＋∞)上是单调递减的， 所以当a >b >e 时，有f (b )>f (a )， 即ln b b >ln a a，故b a >a b得证．2．从0,1,2,3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X 为所组成三位数的各位数字之和．(1)求X 是奇数的概率； (2)求X 的概率分布及数学期望．解：(1)记“X 是奇数”为事件A ， 能组成的三位数的个数是4×4×3＝48.X 是奇数的个数是C 12C 23A 33－C 12C 12A 22＝28，所以P (A )＝2848＝712.故X 是奇数的概率为712.(2)X 的可能取值为3,4,5,6,7,8,9.当X ＝3时，组成的三位数是由0,1,2三个数字组成， 所以P (X ＝3)＝448＝112；当X ＝4时，组成的三位数是由0,1,3三个数字组成， 所以P (X ＝4)＝448＝112；当X ＝5时，组成的三位数是由0,1,4或0,2,3组成， 所以P (X ＝5)＝848＝16；当X ＝6时，组成的三位数是由0,2,4或1,2,3组成， 所以P (X ＝6)＝1048＝524；当X ＝7时，组成的三位数是由0,3,4或1,2,4组成， 所以P (X ＝7)＝1048＝524；当X ＝8时，组成的三位数是由1,3,4三个数字组成， 所以P (X ＝8)＝648＝18；当X ＝9时，组成的三位数是由2,3,4三个数字组成， 所以P (X ＝9)＝648＝18.所以X 的概率分布为：故E (X )＝3×12＋4×12＋5×6＋6×24＋7×24＋8×8＋9×8＝4.3．设P (n ，m )＝ k ＝0n(－1)k C knmm ＋k，Q (n ，m )＝C n n ＋m ，其中m ，n ∈N *.(1)当m ＝1时，求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *，证明：P (n ，m )·Q (n ，m )恒为定值．解：(1)当m ＝1时，P (n,1)＝∑k ＝0n(－1)k C kn11＋k ＝1n ＋1∑k ＝0n (－1)k C k ＋1n ＋1＝1n ＋1， 又Q (n,1)＝C 1n ＋1＝n ＋1，显然P (n,1)·Q (n,1)＝1.(2)证明：P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knmm ＋k＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k(C kn －1＋C k －1n －1)mm ＋k＋(－1)nmm ＋n＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k Ck n －1mm ＋k＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k n m m ＋k＝P (n －1，m )－m nP (n ，m ) 即P (n ，m )＝nm ＋nP (n －1，m )， 由累乘，易求得P (n ，m )＝n ！m ！n ＋m ！P (0，m )＝1C n n ＋m，又Q (n ，m )＝C nn ＋m ， 所以P (n ，m )·Q (n ，m )＝1.。

3个附加题综合仿真练(一)1.本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，A ，B ，C 是圆O 上不共线的三点，OD ⊥AB 于D ，BC 和AC分别交DO 的延长线于P 和Q ，求证：∠OBP ＝∠CQP .证明：连结OA ，因为OD ⊥AB ，OA ＝OB ，所以∠BOD ＝∠AOD ＝12∠AOB ， 又∠ACB ＝12∠AOB ， 所以∠ACB ＝∠DOB ，又因为∠BOP ＝180°－∠DOB ，∠QCP ＝180°－∠ACB ，所以∠BOP ＝∠QCP ，所以B ，O ，C ，Q 四点共圆，所以∠OBP ＝∠CQP .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1.求矩阵C ，使得AC ＝B . 解：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 11 3＝2×3－1×1＝5, 所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35 －15－15 25， 又AC ＝B ，所以C ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 35 －15－15 25⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35 45－15－35. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点⎝⎛⎭⎫32，π4，求圆C 的极坐标方程．解：法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为ρ＝a cos θ，又因为点⎝⎛⎭⎫32，π4在圆C 上，所以32＝a cos π4，解得a ＝6. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.法二：点⎝⎛⎭⎫32，π4的直角坐标为(3,3)， 因为圆C 过点(0,0)，(3,3)，所以圆心C 在直线为x ＋y －3＝0上．又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋y 2＝9.所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知x ，y ，z 为不全相等的正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy >1x ＋1y ＋1z .证明：因为x ，y ，z 都是正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥2z .同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y ，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 由于x ，y ，z 不全相等，因此上述三个不等式中等号至少有一个取不到，所以x yz ＋y zx ＋z xy >1x ＋1y ＋1z. 2．口袋中装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，两张标有数字 3.第一次从口袋中任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.(1)ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由；(2)求随机变量ξ的数学期望E (ξ)．解：(1)依题意，随机变量ξ的取值是2,3,4,5,6.因为P (ξ＝2)＝3×382＝964； P (ξ＝3)＝2×3×382＝932； P (ξ＝4)＝3×3＋2×3×282＝2164； P (ξ＝5)＝2×3×282＝316； P (ξ＝6)＝2×282＝116. 所以当ξ＝4时，其发生的概率最大，最大值为P (ξ＝4)＝2164.(2)由(1)知E (ξ)＝2×964＋3×932＋4×2164＋5×316＋6×116＝154，所以随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝154. 3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3,0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ，且OP ―→·ST ―→＝0.设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1,0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x 轴的交点为N .求证：向量SM ―→与NQ ―→共线．解：(1)设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 .因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3,0)，所以OP ―→＝(x ，y )，ST ―→＝(4，－y )．因为OP ―→·ST ―→＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x .所以曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为直线PQ 过点(1,0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0. 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为⎝⎛⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即M (2m 2＋1,2m )． 又因为S (－1，y 1)，N (－1,0)，所以SM ―→＝(2m 2＋2,2m －y 1)，NQ ―→＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2).因为(2m 2＋2)y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2)y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0.所以向量SM ―→与NQ ―→共线．。

江苏新高考高考对本章内容的考查多以“两小一大”的形式出现，小题多考查双曲线、抛物线、圆的方程与性质，而大题主要考查直线与圆(如2013年、2016年)、直线与椭圆(如2014年、2015年、2017年)的位置关系、弦长问题及范围问题等.第1课时解析几何中的基本问题(基础课)[常考题型突破]1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(2)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.[题组练透]1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为____________．解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，所以k l＝－1k PQ＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝02．(2017·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为__________．解析：由题意，kl1＝k，kl2＝－1k，则kl1·kl2＝k·⎝⎛⎭⎫－1k＝－1(k＝0时，两条直线也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点：M(0,2)，N(2,0)．∴两条直线的交点在以MN 为直径的圆上．并且k MN ＝－1，可得MN 与直线x －y －4＝0垂直．∴点M 到直线x －y －4＝0的距离d ＝|0－2－4|2＝32为最大值． 答案：3 23．(2017·苏州考前模拟)在平面直角坐标系中，已知两点P (0,1)，Q (3,6)，在直线y ＝x 上取两点M ，N ，使得MN ＝2a (其中a >0为定值)，则当PM ＋NQ 取得最小值时，点N 的坐标为________．解析：(1)设点A (1,0)，B (1＋a ，a )，则AB ∥MN ，且AB ＝MN ，所以四边形ABNM 为平行四边形，所以AM ＝BN ，又因为点P 与A 关于直线y ＝x 对称，所以PM ＝AM ，所以PM ＋NQ ＝AM ＋NQ ＝BN ＋NQ ，所以当B ，N ，Q 三点共线时，PM ＋NQ 取最小值为BQ ＝(a －2)2＋(a －6)2.此时BQ 方程为(a －6)x －(a －2)y ＋3a ＋6＝0，与直线y ＝x 联立解得N ⎝⎛⎭⎫3a ＋64，3a ＋64.(2)若设A (1,0)，B (1－a ，－a )，同理可得PM ＋NQ 最小值为(a ＋2)2＋(a ＋6)2，因为a >0，所以(a ＋2)2＋(a ＋6)2>(a －2)2＋(a －6)2，不合题意．综上，PM ＋NQ 取得最小值时点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫3a ＋64，3a ＋64. 答案：⎝⎛⎭⎫3a ＋64，3a ＋64 [方法归纳]求直线方程的两种方法[必备知识]1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．[题组练透]1．(2017·南通一模)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为_______________．解析：设圆心为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －3a ·33＝－1，(a －2)2＋()b －32＝a 2＋(b －3)2，解得a ＝1，b ＝0，r ＝2.即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4. 答案：(x －1)2＋y 2＝42．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. 答案：(x －2)2＋y 2＝93．与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0外切于原点，且半径为25的圆的标准方程为_______． 解析：由题意，所求圆的圆心在直线y ＝－2x 上，所以可设所求圆的圆心为(a ，－2a )(a <0)，又因为所求圆与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0外切于原点，且半径为25，所以a 2＋(－2a )2＝25，可得a 2＝4，解得a ＝－2或a ＝2(舍去)．所以所求圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x ＋2)2＋(y －4)2＝20 [方法归纳]1．过圆O ∶x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．过圆O ∶x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.3．判断直线与圆的位置关系问题的两种方法(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来判断位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．(2)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．4．判断两圆位置关系时常用几何法即通过判断两圆心距离O 1O 2与两圆半径R ，r 的关系来判断两圆位置关系． (1)外离：O 1O 2>R ＋r ； (2)外切：O 1O 2＝R ＋r ； (3)相交：R －r <O 1O 2<R ＋r ； (4)内切：O 1O 2＝R －r ； (5)内含：0≤O 1O 2<R －r .[提醒] 利用两圆组成的方程组解的个数，不能判断内切与外切、外离与内含．[题组练透]1．(2017·苏锡常镇二模)已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝________.解析：由题意得，C (1,2)，直线l ：m (x －2)＋y －1＝0恒过定点A (2,1)，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，直线l ⊥CA ，因为直线l 的斜率为－m ，直线CA 的斜率为1－22－1＝－1，所以－m ×(－1)＝－1，即m ＝－1.答案：－12．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π. 答案：4π3．若圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，两圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4与x 2＋y 2＝1相交于相异两点，所以1<4a 2＋(a ＋3)2<3，即⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋6a ＋8>0，5a 2＋6a <0，解得－65<a <0.答案：⎝⎛⎭⎫－65，0 4．(2017·扬州考前调研)已知圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0(a 为常数)与直线y ＝x 相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝π3，则实数a ＝________.解析：因为圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1，所以C (a,1)，r ＝a 2－1，因为圆C 与直线y ＝x 相交于A ，B 两点，且∠ACB ＝π3，所以32r ＝|a －1|2，且a 2－1>0，解得a＝－5.答案：－55．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA ―→·PB ―→≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．解析：设P (x ，y )，则PA ―→·PB ―→＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (x ＋12)＋y (y －6)≤20. 又x 2＋y 2＝50，所以2x －y ＋5≤0，所以点P 在直线2x －y ＋5＝0的上方(包括直线上)． 又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1， 结合图象， 可得－52≤x ≤1，故点P 的横坐标的取值范围是[－52，1]． 答案：[－52，1] [方法归纳]1.解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.2.求弦长问题的两种方法(1)利用半径r ，弦心距d ，弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理d 2＋⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2求解；(2)若斜率为k 的直线l 与圆C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[题组练透]1．(2017·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m ＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是__________．解析：由题意得，2m 2＋3m ＝⎝⎛⎭⎫622，所以2m 2＋3m －9＝0，解得m ＝32或－3，因为x 22m 2－y 23m ＝1是双曲线的方程，所以m ＞0，所以m ＝32.所以实数m 构成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫32. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫322.(2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．解析：由题意得，A (a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F (c,0)，所以B 2F ―→＝(c ，－b )，AB 1―→＝(－a ，－b )，因为B 2F ⊥AB 1，所以B 2F ―→·AB 1―→＝0，即b 2＝ac ，所以c 2＋ac －a 2＝0，e 2＋e －1＝0，又椭圆的离心率e ∈(0,1)，所以e ＝5－12. 答案：5－123．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x ＝32与两条渐近线y ＝±33x 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫32，±32.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2， 则F 1(－2,0)，F 2(2,0)， 故四边形F 1PF 2Q 的面积是 12F 1F 2·PQ ＝12×4×3＝2 3. 答案：2 34．(2017·南通三模)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)经过抛物线y 2＝8x 的焦点，则该双曲线的离心率为________．解析：因为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)经过抛物线y 2＝8x 的焦点坐标(2,0)，所以a ＝2，在双曲线中，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，所以双曲线的离心率是e ＝c a ＝52.答案：525．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c . 又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． 答案：26．(2017·南京考前模拟)已知椭圆C ：mx 2＋y 2＝1(0＜m ＜1)，直线l ：y ＝x ＋1，若椭圆C 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点P (x 0，y 0)，∵A ，B 在椭圆C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧mx 21＋y 21＝1，mx 22＋y 22＝1，两式相减，整理得m (x 1＋x 2)y 1＋y 2＝－y 1－y 2x 1－x 2，即－mx 0y 0＝k AB ，故k AB ·k OP ＝－m ，又∵k AB ＝－1，∴k OP ＝m ，∴直线OP 的方程为y ＝mx ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，y ＝x ＋1，得P ⎝⎛⎭⎫1m －1，m m －1，由点P 在椭圆内，∴m ⎝⎛⎭⎫1m －12＋⎝⎛⎭⎫m m －12<1，解得0<m <13，∴离心率e ＝1－b 2a 2＝1－m ∈⎝⎛⎭⎫63，1. 答案：⎝⎛⎭⎫63，1[方法归纳][A 组——抓牢中档小题]1．(2017·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1,1)的直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝________.解析：因为点M (1,1)在圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5上，圆心与点M 的连线的斜率为2－1－1－1＝－12，所以切线l 的斜率为2，又因为切线l 与直线ax ＋y －1＝0垂直，所以a ＝12. 答案：122．(2017·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，直线2x ＋y ＝0为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为__________．解析：因为直线2x ＋y ＝0为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，所以ba ＝2，所以e ＝1＋b 2a2＝ 5. 答案： 53．(2017·无锡期末)设P 为有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2，若3e 1＝e 2，则e 1＝________.解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，由定义知，不妨设P 在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝2a 1，PF 1－PF 2＝2a 2， 所以PF 1＝a 1＋a 2，PF 2＝a 1－a 2， 因为PF 1⊥PF 2，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝4c 2， 整理得1e 21＋1e 22＝2，又因为3e 1＝e 2，所以e 1＝53. 答案：534．(2017·南京考前模拟)在平面直角坐标系xOy 中，M 为圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝169上任意一点，N 为直线l ：ax ＋y ＋3＝0上任意一点，若以M 为圆心，MN 为半径的圆与圆C 至多有一个公共点，则正数a 的最小值为_________．解析：因为圆M 与圆C 至多有一个公共点， 所以MC ≤⎪⎪⎪⎪MN －43， 即⎪⎪⎪⎪MN －43≥43，解得MN ≥83， 又MN 的最小值为a 2＋4a 2＋1－43， 所以a 2＋4a 2＋1－43≥83， 解得a ≥22，所以正数a 的最小值为2 2. 答案：2 25．以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为________．解析：由题设知，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2，因为渐近线与圆相切，故由点到直线的距离公式得bca 2＋b 2＝a ，则a ＝b ，c ＝2a ，故离心率e ＝ 2. 答案： 26．(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．解析：由题意知△ABC 为等腰直角三角形，且AC ＝BC ＝4，AB ＝42， ∴圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝42－(22)2＝22， ∴|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1. 答案：－17．(2017·泰州中学月考)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是________．解析：由圆的方程知圆心(2,3)，半径r ＝2， ∵圆心到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |k 2＋1， ∴MN ＝2r 2－d 2＝24－4k 2k 2＋1≥23，解得4k 2≤k 2＋1，即－33≤k ≤33. 答案：⎣⎡⎦⎤－33，33 8．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．解析：由题意知圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，所以圆心(－2,3)到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235∈(4,6)，故满足题意的点P 有2个．答案：29．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，所以e ＝35或e ＝－1(舍去)．答案：3510．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c ，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233.答案：23311．若抛物线y 2＝8ax (a >0)的准线经过双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点，则椭圆x 2a 2＋y 2＝1的离心率e ＝________.解析：抛物线y 2＝8ax (a >0)的准线方程为x ＝－2a ，双曲线x 2a2－y 2＝1的焦点坐标为(±a 2＋1，0)，则2a ＝a 2＋1，得a 2＝13，所以椭圆的离心率e ＝1－a 2＝63.答案：6312．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则PM ＋PF 1的最大值为________．解析：由椭圆定义知PM ＋PF 1＝PM ＋2×5－PF 2， 而PM －PF 2≤MF 2＝5，所以PM ＋PF 1≤2×5＋5＝15. 答案：1513．(2017·苏州张家港暨阳中学月考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为______________．解析：如图，圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°，在Rt △PAO 中，PO ＝2，又圆M 的半径等于1，圆心坐标M (a ，a －4)， ∴PO min ＝MO －1，PO max ＝MO ＋1， ∵MO ＝a 2＋(a －4)2，∴由a 2＋(a －4)2－1≤2≤a 2＋(a －4)2＋1， 解得2－22≤a ≤2＋22. 答案：⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22 14．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：4x －3y －2＝0上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与以(4,0)为圆心，R 为半径的圆C 有公共点，则R 的最小值是________．解析：由题意，直线4x －3y －2＝0上至少存在一点A ，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，即AC min ＝1＋R ，因为AC min 即为点C 到直线4x －3y －2＝0的距离，为145，所以R 的最小值是95. 答案：95[B 组——力争难度小题]1．(2017·南京考前模拟)在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线x ＝3上一动点，以M 为圆心的圆记为圆M ，若圆M 截x 轴所得的弦长恒为4.过点O 作圆M 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2x ＋y －10＝0的距离的最大值为________．解析：设M (3，t )，P (x 0，y 0)， 因为OP ⊥PM ，所以OP ―→·PM ―→＝0，可得x 20＋y 20－3x 0－ty 0＝0，①又圆M 截x 轴所得的弦长为4，所以4＋t 2＝(x 0－3)2＋(y 0－t )2，整理得x 20＋y 20－6x 0－2ty 0＋5＝0，② 由①②得x 20＋y 20＝5，即点P 在圆x 2＋y 2＝5上，于是P 到直线2x ＋y －10＝0距离的最大值为105＋5＝3 5. 答案：3 52．在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为________．解析：先将圆C 化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，则圆心C (3,0)，半径r ＝2，设过原点O 的动直线l 的方程为y ＝kx ，因为点A 恰为线段OB 的中点，设A (a ，ka )，B (2a,2ka )，得(1＋k 2)a 2－6a ＋5＝0. ①取AB 的中点D ，则D ⎝⎛⎭⎫32a ，32ka ，如图，连结CD ，则CD ⊥AB ，32ka 32a －3＝－1k . ②联立①②，解得a ＝54，k ＝±155，则D ⎝⎛⎭⎫158，±3158，CD ＝364，即圆心C 到直线l 的距离为364.答案：3643．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py 消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案：y ＝±22x4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．解析：如图，A (－a,0)， B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F (c,0)，设点M ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y M .由k AB 2＝k AM ，得b a ＝y Ma 2c ＋a ，所以y M ＝b ⎝⎛⎭⎫a c ＋1.由k FB 1＝k FM ，得b c ＝y Ma2c －c，所以y M ＝b c⎝⎛⎭⎫a2c －c . 从而b ⎝⎛⎭⎫a c ＋1＝b c ⎝⎛⎭⎫a 2c －c ，整理得2e 2＋e －1＝0.解得e ＝12. 答案：12第2课时直线与圆(能力课)[常考题型突破][例1] (2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1,0)，B (1,2)．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．[解] (1)因为圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2,0)，半径为2. 因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－(－1)＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2. 因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫MN 22，所以4＝(2＋m )22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0. (2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )， 则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12， 即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4， 因为|2－2|<(2－0)2＋(0－1)2<2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2. [方法归纳]如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.[例2] ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当CD ＝2时，求直线CD 的方程；(3)求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．[解] (1)设P (2m ，m )，因为∠APB ＝60°，AM ＝1，所以MP ＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解得m ＝0或m ＝45，故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝⎛⎭⎫85，45.(2)易知直线CD 的斜率存在，可设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)， 由题知圆心M 到直线CD 的距离为22， 所以22＝|－2k －1|1＋k 2， 解得k ＝－1或k ＝－17，故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0. (3)证明：设P (2m ，m )，MP 的中点Q ⎝⎛⎭⎫m ，m2＋1， 因为PA 是圆M 的切线，所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为(x －m )2＋⎝⎛⎭⎫y －m 2－12＝m 2＋⎝⎛⎭⎫m2－12， 化简得x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝45，y ＝25.所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0,2)或⎝⎛⎭⎫45，25. [方法归纳]1．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当OP ＝OM 时，求证：△POM 的面积为定值． 解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ―→＝(x ，y －4)，MP ―→＝(2－x,2－y )． 由题设知CM ―→·MP ―→＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)证明：由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于OP ＝OM ，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又OM ＝OP ＝22，O 到l 的距离d 为4105， 所以PM ＝2OP 2－d 2＝4105，所以△POM 的面积为S △POM ＝12PM ·d ＝165.2．已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5,0)，直线l ：x －2y ＝0.(1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2)在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBPA 为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．解：(1)设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ， 即2x ＋y －b ＝0. 因为直线与圆C 相切， 所以|－b |22＋12＝3，解得b ＝±3 5.所以所求直线方程为2x ＋y ±35＝0. (2)法一：假设存在这样的点B (t,0)．当点P 为圆C 与x 轴的左交点(－3,0)时，PB PA ＝|t ＋3|2；当点P 为圆C 与x 轴的右交点(3,0)时，PB PA ＝|t －3|8.依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)或t ＝－95.下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PBPA 为一常数． 设P (x ，y )，则y 2＝9－x 2，所以PB 2PA 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2(x ＋5)2＋y 2＝x 2＋185x ＋9－x 2＋8125x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825·(5x ＋17)2·(5x ＋17)＝925. 从而PB PA ＝35为常数．法二：假设存在这样的点B (t,0)，使得PBPA为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，所以(x －t )2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入，得x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)， 即2(5λ2＋t )x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3,3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0.解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)． 故存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为常数35.[例3] (2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→，求实数t 的取值范围．[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点， 所以5－5≤[(t ＋4)－6]2＋(3－7)2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]． [方法归纳](2017·镇江调研)已知圆O ：x 2＋y 2＝4交y 轴正半轴于点A ，点B ，C 是圆O 上异于点A 的两个动点．(1)若B 与A 关于原点O 对称，直线AC 和直线BC 分别交直线y ＝4于点M ，N ，求线段MN 长度的最小值；(2)若直线AC 和直线AB 的斜率之积为1，求证：直线BC 与x 轴垂直．解：(1)由题意，直线AC 和直线BC 的斜率一定存在且不为0，且A (0,2)，B (0，－2)，AC ⊥BC .设直线AC 的斜率为k ，则直线BC 的斜率为－1k ，所以直线AC 的方程为y ＝kx ＋2，直线BC 的方程为y ＝－1k x －2， 故它们与直线y ＝4的交点分别为M ⎝⎛⎭⎫2k ，4， N (－6k,4)．所以MN ＝⎪⎪⎪⎪6k ＋2k ≥43，当且仅当k ＝±33时取等号，所以线段MN 长度的最小值为4 3.(2)证明：易知直线AC 和直线AB 的斜率一定存在且不为0，设直线AC 的方程为y ＝kx ＋2，则直线AB 的方程为y ＝1kx ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋y 2＝4解得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋k 2，2(1－k 2)1＋k 2，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋k 2，2(k 2－1)1＋k 2.因为B ，C 两点的横坐标相等，所以BC ⊥x 轴．[课时达标训练]1．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：(1)证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)因为OM ＝ON ，CM ＝CN ， 所以OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12.所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝55<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝955> 5. 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去． 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.2.如图，已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴交于A ，B 两点，P 是该圆上任意一点，AP ，PB 的延长线分别交直线l ：x ＝2于M ，N 两点．(1)求MN 的最小值；(2)求证：以MN 为直径的圆恒过定点，并求出该定点的坐标． 解：(1)设M (2，t 1)，N (2，t 2)， 则由A (－1,0)，B (1,0)，且AM ⊥BN ， 得AM ―→·BN ―→＝0， 即(3，t 1)·(1，t 2)＝0， 所以3＋t 1t 2＝0，即t 1t 2＝－3.所以MN ＝t 1－t 2＝t 1＋(－t 2)≥2－t 1t 2＝2 3. 当且仅当t 1＝3，t 2＝－3时等号成立． 故MN 的最小值为2 3. (2)证明：由(1)得t 1t 2＝－3.以MN 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －t 1)(y －t 2)＝0， 即(x －2)2＋y 2－(t 1＋t 2)y ＋t 1t 2＝0，也即(x －2)2＋y 2－(t 1＋t 2)y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0，(x －2)2－3＝0，得⎩⎨⎧ x ＝2＋3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2－3，y ＝0.故以MN 为直径的圆恒过定点(2＋3，0)和(2－3，0)．3．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎫a >－52， 则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍去)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，∴直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d . ∵l 被圆C 1截得的弦长为23， ∴d ＝22－(3)2＝1.又由点到直线的距离公式得d ＝|－1－7k |1＋k 2，∴k (24k ＋7)＝0，解得k ＝0或k ＝－724， ∴直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0. (2)设点P (a ，b )满足条件，由题意分析可得直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k (x －a )．∵圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，∴圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k (－3－a )－b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪5＋1k (4－a )－b 1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |. ∴1＋3k ＋ak －b ＝±(5k ＋4－a －bk )，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. ∵ k 的取值有无穷多个，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0.解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝132，故这样的点只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2－32，132. 5.如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，且被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，过点H (0，t )的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)当t ＝1时，求直线l 的方程； (3)求直线OM 的斜率k 的取值范围．解：(1)因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线y ＝1上． 又圆C 与x 轴的交点分别为A ，B ，由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB ＝2π3.所以CA ＝CB ＝2，圆心C 的坐标为(－2,1)． 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)当t ＝1时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，(x ＋2)2＋(y －1)2＝4，消去y ， 得(m 2＋1)x 2＋4x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4m 2＋1，y ＝m 2－4m ＋1m 2＋1.不妨令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1，N (0,1)．因为以MN 为直径的圆恰好经过O (0,0)，所以OM ―→·ON ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1·(0,1)＝m 2－4m ＋1m 2＋1＝0，解得m ＝2±3，故所求直线l 的方程为y ＝(2＋3)x ＋1或y ＝(2－3)x ＋1. (3)设直线OM 的方程为y ＝kx ， 由题意，知|－2k －1|1＋k 2≤2，解得k ≤34.同理得－1k ≤34，解得k ≤－43或k >0.由(2)知，k ＝0也满足题意．所以k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎦⎤0，34. 6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－3,4)，B (9,0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD .(1)若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2)证明：△OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O )． 解：(1)因为A (－3,4)，所以OA ＝(－3)2＋42＝5. 又因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45. 由BD ＝4，得D (5,0)，所以直线CD 的斜率k ＝0－455－⎝⎛⎭⎫－35＝－17.所以直线CD 的方程为y ＝－17(x －5)，即x ＋7y －5＝0.(2)证明：设C (－3m,4m )(0<m ≤1)，则OC ＝5m . 所以AC ＝OA －OC ＝5－5m .因为AC ＝BD ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4， 所以点D 的坐标为(5m ＋4,0)．设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，(5m ＋4)2＋(5m ＋4)D ＋F ＝0.解得D ＝－(5m ＋4)，E ＝－10m －3，F ＝0，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－(5m ＋4)x －(10m ＋3)y ＝0， 整理得x 2＋y 2－4x －3y －5m (x ＋2y )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍去)． 所以△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1)．第3课时椭 圆(能力课)[常考题型突破][例1] (2015·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．[解] (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2 ＝22(1＋k 2)1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)，从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2).因为PC ＝2AB ，所以2(3k 2＋1) 1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1. [方法归纳](2017·广州模拟)定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC ＝CB ，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．解：(1)因为点F (3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内，所以圆N 内切于圆M . 因为NM ＋NF ＝4＞FM ，所以点N 的轨迹E 是以M (－3，0)，F (3，0)为焦点的椭圆，且2a ＝4，c ＝3， 所以b ＝1.所以轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，依题意知，点C 就是椭圆的上、下顶点(或左、右顶点)， 此时S △ABC ＝12·OC ·AB ＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时， 设其斜率为k ，直线AB 的方程为y ＝kx ， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ，可取x 2A ＝41＋4k 2， y 2A ＝4k 21＋4k 2， 所以OA2＝x 2A ＋y 2A ＝4(1＋k 2)1＋4k2.由AC ＝CB 知，△ABC 为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC ⊥AB ，所以直线OC 的方程为y ＝－1k x ，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－1k x ，得x 2C ＝4k 2k 2＋4，y 2C ＝4k 2＋4， 所以OC 2＝4(1＋k 2)k 2＋4.S △ABC ＝2S △OAC ＝|OA |·|OC |＝4(1＋k 2)1＋4k 2·4(1＋k 2)k 2＋4＝4(1＋k 2)(1＋4k 2)(k 2＋4). 由于(1＋4k 2)(k 2＋4)≤(1＋4k 2)＋(k 2＋4)2＝5(1＋k 2)2，所以S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立， 此时△ABC 面积的最小值是85.因为2＞85，所以△ABC 面积的最小值为85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .[例2] (2017·南京考前模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)内一点A (0,1)的动直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，当l 平行于x 轴和垂直于x 轴时，l 被椭圆C 所截得的线段长均为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在与点A 不同的定点B ，使得对任意过点A 的动直线l 都满足AM AN ＝BMBN ？若存在，求出定点B 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)当l 垂直于x 轴时，2b ＝22，从而b ＝ 2. 当l 平行于x 轴时，点(2，1)在椭圆C 上， 所以2a 2＋12＝1，解得a ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设存在与点A 不同的定点B 满足AM AN ＝BMBN .当l 平行于x 轴时，AM ＝AN ，所以BM ＝BN ，从而点B 在y 轴上，设B (0，t )； 当l 垂直于x 轴时，不妨设M (0，2)，N (0，－2)． 由AM AN ＝BMBN 可得|t －2||t ＋2|＝|2－1||2＋1|，解得t ＝1(舍去)或t ＝2，即B (0,2)． 下面证明对任意斜率存在且不为0的动直线l 都满足AM AN ＝BM BN . 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 22＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx －2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－21＋2k 2.因为AMAN ＝1＋k 2|x 1|1＋k 2|x 2|＝|x 1||x 2|，BM BN ＝x 21＋(y 1－2)2x 22＋(y 2－2)2＝x 21＋(kx 1－1)2x 22＋(kx 2－1)2＝(1＋k 2)x 21－2kx 1＋1(1＋k 2)x 22－2kx 2＋1，要证AM AN ＝BM BN ，只要证|x 1||x 2|＝(1＋k 2)x 21－2kx 1＋1(1＋k 2)x 22－2kx 2＋1，只要证x 21[(1＋k 2)x 22－2kx 2＋1)]＝x 22[(1＋k 2)·x 21－2kx 1＋1)]， 即证2kx 21x 2－2kx 22x 1＋x 22－x 21＝0，即证(x 1－x 2)[2kx 1x 2－(x 1＋x 2)]＝0. 因为2kx 1x 2－(x 1＋x 2)＝2k ×－21＋2k 2－－4k1＋2k 2＝0， 所以AM AN ＝BM BN.所以存在与点A 不同的定点B (0,2)，使得对任意过点A 的动直线l 都满足AM AN ＝BMBN . [方法归纳]1.(2017·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1. (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1OP 2＋1OQ 2的值．。

3个附加题综合仿真练(五)1、本题包括A 、B 、C 、D 四个小题,请任选二个作答A 、[选修4－1：几何证明选讲]如图,AB 是半圆的直径,C 是半圆上一点,D 是弧AC 的中点,DE ⊥AB 于E ,AC 与DE 交于点M ,求证：AM ＝DM .证明：连结AD ,因为AB 为直径,所以AD ⊥BD ,又DE ⊥AB ,所以∠ABD ＝∠ADE .因为D 是弧AC 的中点,所以∠DAC ＝∠ABD ,所以∠ADE ＝∠DAC .所以AM ＝DM .B 、[选修4－2：矩阵与变换]已知向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量、在平面直角坐标系xOy 中,点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3,3),求矩阵A .解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ,因为向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量, 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －b c －d ＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，c －d ＝1.① 因为点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3,3),所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.② 由①②解得a ＝1,b ＝2,c ＝2,d ＝1,所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1. C 、[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,已知直线⎩⎨⎧ x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝18t 2，y ＝t (t 为参数)相交于A ,B 两点,求线段AB 的长、解：法一：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x . 将直线⎩⎨⎧ x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)代入y 2＝8x 得, n 2－82n ＋24＝0,解得n 1＝22,n 2＝6 2.则|n 1－n 2|＝42,所以线段AB 的长为4 2.法二：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x, 将直线⎩⎨⎧ x ＝－32＋22n ，y ＝22n (n 为参数)化为普通方程为x －y ＋32＝0, 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝8x ，x －y ＋32＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6. 所以AB 的长为 ⎝⎛⎭⎫92－122＋(6－2)2＝4 2. D 、[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝3x ＋6,g (x )＝14－x ,若存在实数x 使f (x )＋g (x )>a 成立,求实数a 的取值范围、解：存在实数x 使f (x )＋g (x )＞a 成立,等价于f (x )＋g (x )的最大值大于a ,因为f (x )＋g (x ) ＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x , 由柯西不等式得, (3×x ＋2＋1×14－x )2≤(3＋1)(x ＋2＋14－x )＝64,所以f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ≤8,当且仅当x ＝10时取“＝”,故实数a 的取值范围是(－∞,8)、2.如图,在四棱锥O -ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的菱形,∠ABC ＝45°,OA ⊥底面ABCD ,OA ＝2,M 为OA 的中点、(1)求异面直线AB 与MD 所成角的大小；(2)求平面OAB 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值、解：作AP ⊥CD 于点P ,分别以AB ,AP ,AO 所在直线为x 轴,y 轴,z轴建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (1,0,0),P ⎝⎛⎭⎫0，22，0,D ⎝⎛⎭⎫－22，22，0, O (0,0,2),M (0,0,1)、(1)设直线AB 与MD 所成角为θ,由AB ―→＝(1,0,0),BD ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－1, 则cos θ＝|cos 〈AB ―→,BD ―→〉|＝222＝12, 故AB 与MD 所成角为60°.(2)OP ―→＝⎝⎛⎭⎫0，22，－2,OD ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－2, 设平面OCD 的法向量n ＝(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·OP ―→＝0，n ·OD ―→＝0，即⎩⎨⎧ 22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2,则n ＝(0,4,2).易得平面OAB 的一个法向量为m ＝(0,1,0),cos 〈n ,m 〉＝432×1＝223, 故平面OAB 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值为223. 3、设a ＞b ＞0,n 是正整数,A n ＝1n ＋1(a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋a 2b n －2 ＋ab n －1＋b n ) ,B n ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 2n .(1)证明：A 2＞B 2；(2)比较A n 与B n (n ∈N *)的大小,并给出证明、 解：(1)证明：A 2－B 2＝13(a 2＋ab ＋b 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝112(a －b )2>0. (2)A n ≥B n ,证明如下：当n ＝1时,A 1＝B 1；当n ≥3时,A n ＝1n ＋1·a n ＋1－b n ＋1a －b,B n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n , 令a ＋b ＝x ,a －b ＝y ,且x >0,y >0, 于是A n ＝1n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2n ＋1y ＝12n ＋1(n ＋1)y[(x ＋y )n ＋1－(x －y )n ＋1],B n ＝⎝⎛⎭⎫x 2n , 因为[(x ＋y )n ＋1－(x －y )n ＋1]＝(2C 1n ＋1x n y ＋2C 3n ＋1·x n －2y 3＋…)≥2C 1n ＋1x n y , 所以A n ≥12n ＋1(n ＋1)y·2C 1n ＋1x n y ＝x n 2n ＝⎝⎛⎭⎫x 2n ＝B n .。

3个附加题综合仿真练(二)1、本题包括A 、B 、C 、D 四个小题,请任选二个作答 A 、[选修4－1：几何证明选讲]如图,四边形ABCD 是圆的内接四边形,BC ＝BD ,BA 的延长线交CD 的延长线于点E 、求证：AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线、 证明：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形, 所以∠DAE ＝∠BCD ,∠FAE ＝∠BAC ＝∠BDC 、 因为BC ＝BD ,所以∠BCD ＝∠BDC , 所以∠DAE ＝∠FAE ,所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线、 B 、[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T 将平面上的点⎝⎛⎭⎫1，12,(0,1)分别变换为点⎝⎛⎭⎫94，－2,⎝⎛⎭⎫－32，4、设变换T 对应的矩阵为M 、(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值、解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤94－2,⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－324,即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋12b ＝94，c ＋12d ＝－2，b ＝－32，d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，则M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －32－44、 (2)设矩阵M 的特征多项式为f (λ),可得f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 324 λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6,令f (λ)＝0,可得λ＝1或λ＝6、 C 、[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系、直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m (m ∈R),圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)、 当圆心C 到直线l 的距离为2时,求m 的值、 解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m , 得2ρsin θcos π4－2ρcos θsin π4＝m ,即x －y ＋m ＝0,即直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0, 圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9, 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－(－2)＋m |2＝2,解得m ＝－1或m ＝－5、 D 、[选修4－5：不等式选讲]已知x ,y ,z 都是正数且xyz ＝8,求证：(2＋x )(2＋y )·(2＋z )≥64、 证明：因为x 为正数,所以2＋x ≥22x 、 同理2＋y ≥22y ,2＋z ≥22z 、所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥22x ·22y ·22z ＝88xyz 、 因为xyz ＝8,所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥64、2、在平面直角坐标系xOy 中,点F (1,0),直线x ＝－1与动直线y ＝n 的交点为M ,线段MF 的中垂线与动直线y ＝n 的交点为P 、(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过动点M 作曲线E 的两条切线,切点分别为A ,B ,求证：∠AMB 的大小为定值、解：(1)因为直线y ＝n 与x ＝－1垂直,所以MP 为点P 到直线x ＝－1的距离、 连结PF (图略),因为P 为线段MF 的中垂线与直线y ＝n 的交点,所以MP ＝PF 、 所以点P 的轨迹是抛物线、 焦点为F (1,0),准线为x ＝－1、所以曲线E 的方程为y 2＝4x 、(2)证明：由题意,过点M (－1,n )的切线斜率存在,设切线方程为y －n ＝k (x ＋1),联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋n ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4k ＋4n ＝0,所以Δ1＝16－4k (4k ＋4n )＝0,即k 2＋kn －1＝0 (*), 因为Δ2＝n 2＋4>0,所以方程(*)存在两个不等实根,设为k 1,k 2, 因为k 1·k 2＝－1,所以∠AMB ＝90°,为定值、3、对于给定的大于1的正整数n ,设x ＝a 0＋a 1n ＋a 2n 2＋…＋a n n n ,其中a i ∈{0,1,2,…,n －1},i ＝0,1,2,…,n －1,n ,且a n ≠0,记满足条件的所有x 的和为A n 、(1)求A 2；(2)设A n ＝n n (n －1)f (n )2,求f (n )、解：(1)当n ＝2时,x ＝a 0＋2a 1＋4a 2,a 0∈{0,1},a 1∈{0,1},a 2＝1, 故满足条件的x 共有4个,分别为x ＝0＋0＋4,x ＝0＋2＋4,x ＝1＋0＋4,x ＝1＋2＋4,它们的和是22,所以A 2＝22、 (2)由题意得,a 0,a 1,a 2,…,a n －1各有n 种取法；a n 有n －1种取法,由分步计数原理可得a 0,a 1,a 2…,a n －1,a n 的不同取法共有n ·n ·…·n ·(n －1)＝n n (n －1), 即满足条件的x 共有n n (n －1)个,当a 0分别取0,1,2,…,n －1时,a 1,a 2,…,a n －1各有n 种取法,a n 有n －1种取法, 故A n 中所有含a 0项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)＝n n (n －1)22； 同理,A n 中所有含a 1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)n n －1(n －1)·n ＝n n (n －1)22·n ； A n 中所有含a 2项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n 2＝n n (n －1)22·n 2； A n 中所有含a n －1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n n －1＝n n (n －1)22·n n －1； 当a n 分别取i ＝1,2,…,n －1时,a 0,a 1,a 2,…,a n －1各有n 种取法, 故A n 中所有含a n 项的和为(1＋2＋…＋n －1)n n·n n＝n n ＋1(n －1)2·n n、所以A n ＝n n (n －1)22(1＋n ＋n 2＋…＋n n －1)＋n n ＋1(n －1)2·n n＝n n (n －1)22·n n －1n －1＋n n ＋1(n －1)2·n n ＝n n (n －1)2(n n ＋1＋n n －1),故f (n )＝n n ＋1＋n n －1、。