一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）1.已知幂函数()f x 的图像过点1,22⎛ ⎝⎭，则()4f =__________. 【答案】2考点：幂函数及解指数方程.2.已知集合{1,2,3,4,5}A =，{1,3,5,7,9}B =，C A B =，则集合C 的子集的个数为__________. 【答案】8 【解析】试题分析：因集合}5,3,1{=C ,故由子集的定义可知其个数为823=. 考点：集合的交集运算． 3.函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为__________.【答案】()()0,11,2【解析】试题分析：由题设可得⎩⎨⎧≠>-1022x x x 可得⎩⎨⎧≠<<120x x ,即()()0,11,2,故答案为()()0,11,2.考点：一元二次不等式及解法.4.由命题“2,20x R x x m ∃∈++≤”是假命题，求得实数m 的取值范围是(),a +∞，则实数a =__________.【答案】1 【解析】试题分析：由题意044<-m ,即1>m ,故实数m 的取值范围是),1(+∞,故1=a . 考点：存在性命题与全称命题之间的关系及运用.5.函数()3log ,09,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则()()1f f -的值为__________.【答案】2- 【解析】试题分析：因919)1(1==--f ,故()()1f f -=291log )91(3-===f . 考点：分段函数的函数值及求法.6.已知实数,x y 满足约束条件203501x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+-的最小值为__________.【答案】3-考点：线性规划表示的区域及运用．【易错点晴】本题考查的是线性规划所表示的区域在求最值中的应用,解答这类问题应首先在平面直角坐标系中画出二元一次不等式组所表示的区域,再将含参数的二元一次方程中的参数设为零,平行移动这条直线,借助图形的直观与题设的要求,进一步观察其变化特征,求出满足题设条件的最大、最小值，体现了数学中数形结合的全过程.7. 函数()log a f x x =在()0,+∞上单调递减，则()2f -__________()1f a +（填“＜”, “＝”，“＞”之一）. 【答案】<考点：复合函数的单调性及运用．8.“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的__________条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）. 【答案】充分不必要 【解析】试题分析：因x a x f sin )(/-=,故当1a >时, 0sin )(/>-=x a x f ,1a >是充分条件；若函数)(x f 是单调增函数,则0sin )(/≥-=x a x f ,即1sin ≤≥x a ,则1≥a ,所以1a >是不必要条件,因此答案用填充分不必要条件. 考点：充分必要条件．9.设奇函数()()y f x x R =∈，满足对任意t R ∈都有()()1f t f t =-，且10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =-，则()332f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值等于__________.【答案】14- 【解析】试题分析：由()()1f t f t =-得)()1(x f x f =+,故41)21()21()231()23(-=-=-=-=-f f f f ,而0)0()1()2()3(====f f f f ,所以()332f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭41-=.考点：函数的奇偶性、周期性及运用．10.已知正数,,a b c 满足42250a b c -+=，则lg lg 2lg a c b +-的最大值为__________. 【答案】2- 【解析】试题分析：因为42250a b c -+=，所以ac ca b 1002254≥+=，即ac b 1002≥，也即10012≤b ac ，又lg lg 2lg a c b +-2lg b ac =，所以21001lg lg 2-=≤bac ，故l g l g 2l g a c b +-的最大值为2-.考点：对数运算性质和基本不等式．【易错点晴】基本不等式是高考重点考查的内容和知识点之一,本题设置的已知条件求最值的问题,解答时要先将问题进行合理的转化,再借助题设条件求解.首先欲求的最大值是对数的形式,要先将其化为2lgb ac 的形式,进而将问题转化为求2bac的最值问题,再后再借助42250a b c -+=变形为ac ca b 1002254≥+=从而将问题解决,体现了化归转化的数学思想的妙用.11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()112x f x m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 有5个零点，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】11,2⎛⎫--⎪⎝⎭考点：函数的零点、函数的图象.12.已知关于x 的不等式240x x t -+≤的解集为A ,若(],t A φ-∞⋂≠，则实数t 的取值范围是__________. 【答案】[]0,3 【解析】试题分析：若4>t ,则Φ=A ,不合题设；若4≤t ,则由240x x t -+≤得t x t -≤-≤--424,即t x t -+≤≤--4242,由题设可得t t ≤--42,解之得30≤≤t ,故实数t 的取值范围是]3,0[. 考点：二次不等式的解法与集合交集的运算.【易错点晴】本题重点考查的是而成不等式的解法,解答时先对参数t 进行分类,再运用中学数学中常常使用的配方法,将不等式240x x t -+≤变形为t x -≤-4)2(2,进而运用开平方法求出该不等式的解集为t x t -+≤≤--4242,然后借助数轴建立了含有参数t 的不等式,最后通过解不等式从而使问题获解.13.设定义域为()0,+∞上的单调函数()f x ，对任意()0,x ∈+∞，都有()()2log 6f f x x -=，若0x 是方程()()4f x f x -'=的一个解，且()()0,1x a a a N *∈+∈，则实数a =__________.【答案】1考点：导数的运用、函数方程思想及推理判断的意识．【易错点晴】解答本题的难点是如何求出函数)(x f 的表达式,解答过程中,先令t x x f =-2lo g )(,再借助题设中对任意()0,x ∈+∞，都有()()2log 6f f x x -=这一信息,令t x =及6)(=t f ,将问题进一步转化为求方程6l o g 2=+t t 的解.这里求方程6l o g 2=+t t 的解也是本题中一个难点,其实本题只要通过观察就不难看出4=t 是其唯一的一个根,从而使问题巧妙获解.14.已知()()13f x x x x =+-．若对于任意x R ∈，总有()()f x f x a ≤+恒成立，则常数a 的最小值是__________.【答案】3+考点：函数的单调性及二次函数的图象和性质．【易错点晴】解答本题的关键是先将函数分段表示出来,即⎪⎩⎪⎨⎧---=x x x x x f 42)(22,0,<≥x x ,在平面直角坐标系中画出函数的图象,借助函数的图象建立不等式x x a x a x 4)(2)(22--≥+-+,从而将问题转化为该不等式对一切实数都成立的问题,借助二次方程的判别式使本题获解.解答本题的难点是如何借助函数的图象建立不等式,如何将问题进行合理转化与化归.二、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（其中0a >），命题:q 实数x 满足12302x x x ⎧-≤⎪⎨+≥⎪-⎩.（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) ()2,3；(2) (]1,2． 【解析】试题分析：(1)借助命题的真假建立不等式求解；(2)借助充分必要条件和已知与题设建立不等式，然后再解不等式即可获解.考点：命题的真假及充分必要条件． 16.（本小题满分14分）已知函数()42x xng x -=是奇函数，函数()()4log 41x f x mx =++是偶函数. （1）求m n +的值； （2）设()()12h x f x x =+，若()()()4log 21g x h a >+对任意x ≥1恒成立，求实数a 的取值集 合. 【答案】(1)21；(2)1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：(1)借助函数的奇偶性建立方程求出n m ,值,再求其和即可获解；(2)依据已知与题设条件中的不等式恒成立建立不等式组，然后通过解不等式组即可获解.试题解析：（1）∵函数()42x x ng x -=是奇函数，且定义域为R ，∴()00g =，则1n =当1n =时，()()411422x x x x f x f x -----===-，函数()42x xng x -=是奇函数. ∵函数()()4log 41x f x mx =++是偶函数，∴()()f x f x -=对任意x R ∈恒成立， 即()210m x +=对任意x R ∈恒成立，∴12m =-. ∴12m n +=. ……………………………………… 6分考点：函数的奇偶性、指数对数函数的图象和性质及不等式恒成立的条件的运用． 【易错点晴】本题重点考查的是函数奇偶性单调性最大最小值等基本性质,解答时充分借助这些函数性质的定义,灵活建构方程或不等式,从而使问题得以巧妙的化归与转化.解答过程中运用演绎推理的形式,先求出参数n m ,的值,再求n m +的值.第二问在处理不等式恒成立问题时,运用常规方法先求)(x g 的最小值,再建立关于参数a 的不等式,最后通过解不等式从而使问题获解.17.（本小题满分14分）如图，某水域的两直线型岸边12,l l 成定角120o，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC （,B C 分别在1l 和2l 上），围出三角形ABC 养殖区，且AB 和AC 都不超过5公里．设AB x =公里，AC y=公里．（1）将y 表示成x 的函数，并求其定义域； （2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？【答案】(1) )545(1≤≤-=x x x y ；(2)3．方法二：S ＝S ΔABD ＋S ΔACD ＝12x sin60º＋12y x ＋1xx -)(第17题)AD l 1l 2BCx y 1120ox ＋111x x -+-)x ＋11x -＋1)[(x －1)＋11x -＋……………10分 当且仅当x －1＝11x -，即x ＝2时取等号．故当x =y =2时，面积S （平方公里） ……………………………12分………………………………14分 考点：函数的性质与基本不等式的运用． 18.（本小题满分16分）设[][]1122A B =-=-，，，,函数()221f x x mx =+-． （1）设不等式()0f x ≤的解集为C ，当()C A B ⊆⋂时，求实数m 的取值范围； （2）若对任意x R ∈，都有()()11f x f x -=+成立，试求x B ∈时，函数()f x 的值域； （3）设()()22g x x a x mx a R =---∈，求()()f x g x +的最小值.【答案】(1)]1,1[-；(2)[]3,15-；(3)当1a ≤-时，()min 22f x a =--，当11a -<<时，()2min 1f x a =-，当1a ≥时，()min 22f x a =-．考点：函数的对称性、二次函数的图象和性质．19.（本小题满分16分）已知函数()xf x e =，()(),g x ax b a b R =+∈. （1）设()()1h x xg x =+.①若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y h x =在0x =处总有相同的切线？ ②当1a =时，求函数()()()h x F x f x =单调区间；（2）若集合()(){}x f x g x <为空集，求ab 的最大值.【答案】(1) ①0,1a a R b ≠∈=且；②当0b >时，函数()y F x =的减区间为(,1)b -∞-，(1,)+∞，增区间为()1,1b -，当0b =时，函数()y F x =的减区间为(,)-∞+∞，当0b <时，函数()y F x =的减区间为(,1)-∞，(1,)b -+∞，增区间为()1,1b -；(2)2e ． 【解析】（2）由集合()(){}x f x g x <为空集，可知不等式()()f x g x ≥对任意x R ∈恒成立，即 ()()0y f x g x =-≥恒成立. ………………………………10分当0a ≤时，函数xy e ax b =--在R 上单调递增，0y ≥不恒成立，所以0a >，此时0x y e a '=-=，解得ln x a =，当ln x a <时，0y '<，函数单调递减，当ln x a >时，0y '>，函数单调递增，所以要使()()0y f x g x =-≥恒成立，只需min ln 0y a a a b =--≥， ………………………………12分所以22ln ,ln ,0b a a a ab a a a a ≤-≤->，令()22ln ,0G x x x x x =->，则()()22ln 12ln G x x x x x x x '=--=-，令()0G x '=解得x =(x ∈时，()0G x '>，函数()G x 单调递增，当)x ∈∞时，()0G x '<，函数()G x 单调递减，所以当x =()22ln G x x x x =-取得最大值2e ，所以22ln 2e ab a a a ≤-≤， 所以ab 的最大值为2e . ………………………………16分 考点：函数的求导公式及在研究函数单调性中的运用和不等式的解法及不等式恒成立的条件的运用．【易错点晴】本题重点考查的是函数奇偶性、单调性、最大最小值等基本性质,同时也检测了运算求解能力、推理论证等能力的运用.解答时充分借助导数这个有效的工具，灵活运用导数的几何意义解决了曲线的切线问题，利用导函数的值的正负推断函数的单调性等等.解答过程中充分运用化归与转化、分类整合等数学思想，体现了数学思想在解决数学问题中的妙用.20.（本小题满分16分）已知函数()(),ln 1xf x eg x x ==+， （1）求函数()()()1h x f x g x =--在区间[)1,+∞上的最小值；（2）已知1y x ≤<，求证：1ln ln x y ex y -->-； （3）设()()()21H x x f x =-，在区间()1,+∞内是否存在区间[](),1a b a >，使函数()H x 在区间[],a b 的值域也是[],a b ？请给出结论，并说明理由.【答案】(1) 0；(2) 1ln ln x y e x y -->-；(3)不存在，理由见解析．设函数()()()211x G x x e x x =-->，则()()211x G x x e '=--， ()()2+21x G x x x e ''=-，当1x >时，()0G x ''>，即函数()()211x G x x e '=--在区间()1,+∞单调递增，又()()2110,2310G G e '=-<'=->，所以存在唯一的()01,2x ∈使得()00G x '=，当()01,x x ∈时，()0G x '<，函数()G x 递减，当()0+x x ∈∞，时，()0G x '>，函数()G x 递增，所以函数()G x 有极小值()()011G x G <=-,()22=20G e ->，所以函数()G x 在()1,+∞上仅有一个零点，这与方程()21x x e x -=有两个大于1的不等实根矛盾，故不存在区间[](),1a b a >，使函数()H x 在区间[],a b 的值域也是[],a b . ……………16分考点：函数的求导公式、不等式的解法及推理论证的能力．。
