2017年春季学期新版北师大版中考一轮专题复习：第07课时 二次根式

二次根式专题复习【知识与技能】1.了解二次根式的相关概念、性质与运算法则.2.会灵活运用二次根式的性质与运算法则解决问题.【过程与方法】经历回顾二次根式相关知识，并灵活运用相关知识解决问题的过程，发展学生解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过引导学生积极发言表述，培养学生有条理的表达能力，让学生在自我展示中收获喜悦。

【教学重点】二次根式的概念与相关性质【教学难点】二次根式相关性质的灵活运用.一、复习回顾，温故知新（一）概念回顾1．二次根式：一般地，形如______(a≥0)的式子叫做二次根式.2．最简二次根式：一般地，被开方数不含______，也不含____________的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

（特别要求：化简时，通常要求最终结果中分母_________）3．同类二次根式：几个二次根式化成_____________后，如果被开方数_______，则这几个二次根式就叫做同类二次根式。

（二）性质梳理1.双重非负性：_____________.2.()()0______2≥=a a 3.()0______2≥=a a4.)00_(__________≥≥=b a ab ，教学重难点5.)00_____(>≥=b a ba ， （三）运算法则1.乘法法则：)00_______(≥≥=•b a b a ，2.除法法则：)00_______(>≥=b a ba ， 3.加减法则：先将二次根式化成___________，再合并同类二次根式。

4.运算顺序：与实数运算顺序相同。

特别注意：（1）分母有根号时，须将分母有理化；（2）运算结果含有二次根式的必须化为最简二次根式。

二、考点解析，难点突破（一）考点一、二次根式相关概念辨析例1.下列各式：122)1(183523++->--x x a x x a ；；；；；； 中，一定是二次根式的个数有（ ）个 个 个 个例2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A.24B.36C. ab D.4+a 例3.下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ）A.18B.31 C. 54 D.0.3【变式练习1】1.若最简二次根式3412-+x x 和能够合并，则x 的值为___________；2.若代数式382-+a b a 和最简二次根式是同类二次根式，则b a +的值为______；3.已知228255=-+a ，则a 的值为___________；（二）考点二、确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围例4.求下列二次根式中字母a 的取值范围:23)1(+-a a 211)2(- 2)3()3(+a 21)4(--a a【变式练习2】1.若代数式xx -+32有意义，则x 的取值范围为___________； 2.若实数x ，y 满足2623+-+-=x x y ，则=y x ___________；3.已知x 满足x x x =-+-20209201，则x-20232 =_______.（三）考点三、二次根式的性质的运用例5. 若a,b,c 分别是∆ABC 的三边长，且a,b,c 满足关系式013)12(52=-+-+-c b a .（1）求a,b,c 的值；（2）试判断∆ABC 的形状，并说明理由。

2017年中考数学一轮复习二次根式讲学案2017年中考数学一轮复习第4讲《二次根式》【考点解析】二次根式的意义及性质【例题】（2016广西桂林）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【变式】1.要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x= B．x≠ C．x≥ D．x≤【答案】C.【解析】由题意得：5x﹣3≥0，解得：x≥ ，故选C．2.若x、y满足，则的值等于( )A. B. C. D.【答案】B.【解析】∵ ，∴.∴ .故选B.2. 最简二次根式与同类二次根式【例题】（2016四川南充）下列计算正确的是（） A． =2 B． = C． =x D． =x【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】A、 =2 ，正确；B、 = ，故此选项错误；C、 =﹣x ，故此选项错误；D、 =|x|，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．【变式】下列各式与是同类二次根式的是（） A． B． C． D．【答案】D．【解析】A、 =2 ，故不与是同类二次根式，故错误；B、 =2 ，故不与是同类二次根式，故错误；C、 =5 ，故不与是同类二次根式，故错误；D、 =2 ，故，与是同类二次根式，故正确；故选D．二次根式的运算例.(2015黑龙江哈尔滨）计算＝【答案】【分析】原式先化为同类二次根式,然后再合并即可.【解析】原式=2 －3× =2 －【点评】本题考查了二次根式的加减法，正确把握运算法则是解题的关键。

【变式】化简：。

【答案】2.【解析】原式= =4-2=2【典例解析】【例题1】（2016湖北荆门）要使式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1【考点】二次根式有意义的条件．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出x ﹣1≥0，求出答案．【解答】解：要使式子有意义，故x﹣1≥0，解得：x≥1．则x的取值范围是：x≥1．故选：C．【例题2】（2016山东潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（）A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a ＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，则|a|+=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b．故选：A．【例题3】（2016内蒙古包头）计算：6 ﹣（ +1）2= ﹣4 ．【考点】二次根式的混合运算．【分析】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案．【解答】解：原式=6× ﹣（3+2 +1）=2 ﹣4﹣2=﹣4．故答案为：﹣4．【中考热点】1.（2016贵州安顺）在函数中，自变量x的取值范围是x≤1且x≠﹣2 ．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+2≠0，解得：x≤1且x≠﹣2．故答案为：x≤1且x≠﹣2．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．2.（2014福建厦门，第22题6分）先化简下式，再求值：（﹣x2+3﹣7x）+（5x﹣7+2x2），其中x= +1．【分析】二次根式的化简求值；整式的加减．根据去括号、合并同类项，可化简代数式，根据代数式的求值，可得答案．【解答】原式=x2﹣2x﹣4=（x﹣1）2﹣5，把x= +1代入原式，=（ +1﹣1）2﹣5=﹣3．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，先去括号、合并同类项，再求值．3.（2016广西桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：∵a=3，b=4，∴∴事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9（1）用海伦公式求△ABC的面积；（2）求△ABC的内切圆半径r．【考点】三角形的内切圆与内心；二次根式的应用．【分析】（1）先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S= 即可求得S的值；（2）根据公式S= r（AC+BC+AB），代入可得关于r 的方程，解方程得r的值．【解答】解：（1）∵BC=5，AC=6，AB=9，∴p= = =10，∴S= = =10 ；故△ABC的面积10 ；（2）∵S= r（AC+BC+AB），∴10 = r（5+6+9），解得：r= ，故△ABC的内切圆半径r= ．。

第二章 实数7．二次根式惠来县葵潭中学 曾宇涛教学分析本节分为三个课时。

第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．学情分析学生在上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．但所任教班级学生运算能力还不够熟练，在这三节课的学习中，控制上课速度和题目的难度．（第1课时）教学目标：1.认识二次根式和最简二次根式的概念.2.探索二次根式的性质．3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．教学过程：一、回顾导入同学们，观察下列代数式：5，11，2.7，12149，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），这些式子有什么共同特征？答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。

明晰二次根式的概念。

一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。

a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ．那么二次根式怎样进行运算呢？我们本节课要就来解决的这个问题．二、探究性质同学们，认真计算“做一做”练习，回答问题（1）94⨯＝ ，94⨯＝ ；2516⨯＝ ，2516⨯＝ ；94＝ ，94＝ ； 2516＝ ，2516＝ ． （2）用计算器计算：76⨯＝ ，76⨯＝ ；76＝ ，76＝ ． 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？从上面运算结果我们可以达到二次根式的性质：b a b a ∙=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0， b ＞0）． 三、知识巩固例1 化简（1）6481⨯；（2）625⨯；（3）95。

《二次根式》全章复习与巩固
一、 化简
1、无条件的（所有字母取正数）
2、有附加条件的
0)a ＜ 5(03)x x -＜＜
3、 有隐含条件的（有意义的字母的取值范围）
①2 ②
4、 需要分类讨论的
二、 因式分解（实数范围内）
①4a + ②2x x +
③2
215x +-
三、解方程（组）
①3x =
②-=+=
四、填空
1
、20072008(22)
=
2
x ，小数部分为y ，则32x y +=
3
、①20+=
②1(2-⎤=⎦
4
-
5、∆ABC 的三边长为a
、b 、c =
62x =-成立的条件是
=成立的条件是
7
===⎨⎪= 哪个对？
五、计算技巧：
1
=
2
=
3
、
=
4、化简
b ab b a ab a -++
5
、化简
6、已知a+b=-3,ab=1,求
a
b b a 的值.
7、如图所示，有一块边长为1的正方形铁片，将其每个角都剪下一个小等腰三角形，使其成为每条边都相等的八边形，求这个八边形的边长，你能将其结果写成没有分母或分母不带根号的形式吗？
D
C B A。

第四节二次根式二次根式及相关概念1．二次根式形如a(a)的式子叫做二次根式．2．最简二次根式最简二次根式必须同时满足以下条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式几个二次根式化成后，如果相同，这几个二次根式称为同类二次根式．如8与2是同类二次根式．同类二次根式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．二次根式的性质二次根式的性质(1)(a)2＝a(a≥0)．(2)a2＝|a|（a≥0），a（a<0）.(3)ab＝a·b(a≥0，b≥0)．(4)ab＝ab(a≥0，b>0)．(5)双重非负性：二次根式a a≥0二次根式的运算1．二次根式的加减先将各二次根式化为，然后合并同类二次根式．2．二次根式的乘除(1)二次根式的乘法：a·b＝(a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法：ab＝(a≥0，b＞0)；(3)二次根式的运算结果一定要化成．3．二次根式的开方a2（a≥0），a（a＜0）.4．二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点：(1)二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加减，有括号要先去括号；(2)加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和对加法的分配律在二次根式的混合运算中仍然适用；(3)多项式的乘法公式仍然适合于二次根式的运算；(4)二次根式混合运算的结果要化为最简二次根式．二次根式的估值1．确定在哪两个相邻整数之间(1)先对根式平方，如(7)2＝7；(2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如4和9；(3)对以上两个整数开方，如4＝2，9＝3；(4)确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间，如2<7<3.2．确定离哪个整数较近(1)先确定这个根式在哪两个整数之间，如2<7<3；(2)求这两个整数的平均数，如2＋32＝2.5；(3)用平方法比较根式和平均数的大小：若根式的平方大于平均数的平方，则离较大的整数近，否则离较小的整数近．如2.52＝6.25<7，则7离3较近．估算二次根式加上(减去)一个整数的值时，要先估算二次根式的值，然后根据不等式的性质：不等式两边同时加上(减去)一个整数，不等号方向不变来判断，如5＋1，∵2<5<3，∴2＋1<5＋1<3＋1，即3<5＋1<4.利用二次根式的双重非负性解题因为二次根式a (a ≥0)表示a 的算术平方根，所以a ≥0，对于二次根式非负性的应用，常见题型是已知几个非负数之和等于0，求代数式的值．(2019·硚口区月考)已知a ，b ，c 满足2a ＋b －4＋|a ＋1|＝b －c ＋c －b .求－4a ＋b ＋c 的平方根．二次根式的化简求值“给值求值”类型的二次根式求值题是二次根式运算中的常见题型，解答此类问题，一般不宜采取直接代入计算的方法求解，通常的思路是：先仔细分析已知数据与待求值的代数式之间的关系，把已知式和待求式进行适当的变形，然后采取整体代入的方法求值．(2019·吉安二模)已知x －y ＝2，z －y ＝－2，求x 2＋y 2＋z 2－xy －yz －xz 的值．当代数式是由分式和二次根式结合时，常忽略分母不为0而出错(2019·恩施二模)使式子x ＋1x 2－1有意义的x 的取值范围是()A ．x ≥－1B ．x ≥－1且x ≠±1C ．x ＞－1D ．x ＞－1且x ≠1注意二次根式混合运算的结果要写成最简形式逆用公式a 2＝a (a ≥0)时未注意隐含条件将a－1a根号外的因式移到根号内的结果为．1．(2019·大同期末)如图，在矩形ABCD 中，不重叠地放上两张面积分别是5cm 2和3cm 2的正方形纸片BCHE 和AEFG .矩形ABCD 没被这两个正方形盖住的面积是．2．(2019·枣庄)观察下列各式：1＋112＋122＝1＋11×2＝1＋(1－12)，1＋122＋132＝1＋12×3＝1＋(12－13)，1＋132＋142＝1＋13×4＝1＋(13－14)，…请利用你发现的规律，计算：1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142＋…＋1＋120182＋120192，其结果为．海伦—秦九韶公式假设在一个平面内，有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，半周长p ＝a ＋b ＋c2，此三角形的面积S 可由以下公式求得：①S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），古希腊的几何学家海伦(Heron ，约公元50年)，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②S ＝14[a 2b 2－（a 2＋b 2－c 22）2].下面我们对公式②进行变形：14[a 2b 2－（a 2＋b 2－c 22）2]＝（12ab ）2－（a 2＋b 2－c 24）2＝（12ab ＋a 2＋b 2－c 24）（12ab －a 2＋b 2－c 24）＝2ab ＋a 2＋b 2－c 24·2ab －a 2－b 2＋c 24＝（a ＋b ）2－c 24·c 2－（a －b ）24＝a ＋b ＋c 2·a ＋b －c 2·c ＋a －b 2·b ＋c －a 2＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）.这充分说明海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称公式①为海伦—秦九韶公式．3．(2019·新泰期中)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，则该三角形的面积为S ＝14[a 2b 2－（a 2＋b 2－c 22）2].已知△ABC 的三边长分别为6，2，2，则△ABC 的面积为．二次根式的相关概念及性质（2019年安徽阜阳市中考模拟5-4在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是()（2018年安徽六安市中考模拟5-4的运算结果应在（）A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间（2017年安徽淮北市中考模拟12-5分）若14x <<=________．（2013年安徽11-5分）若1－3x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________．（2011年安徽4-4分）设a ＝19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是()A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5二次根式的运算（2019年安徽11-5182的结果是.（2018年安徽合肥包河区中考模拟11-4分）计算18212-的结果是．（2017年安徽合肥庐阳区中考模拟15-8011244(12)38-（2016年安徽淮南市中考模拟12-54827）24的结果为__________________.（2015年安徽2-4分）计算8×2的结果是()A.10B.4C.6D.2（2010年安徽11-5分）计算3×6－2＝________．二次根式的估值（2016年安徽安庆市中考模拟4-4分）下列各式一定是二次根式的是()A.3- B.21x + C.34D.2x -（2014年安徽6-4分）设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为()A.5B.6C.7D.8。

北师大版数学八年级上册第二章实数第七节《二次根式》课时练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各式一定是二次根式的是（ ）AB C D2．若2＜a ＜3 ） A ．5﹣2aB ．1﹣2aC ．2a ﹣1D ．2a ﹣53．若A ==（ ） A ．24a + B ．22a + C ．()222a + D ．()224a + 4．若a ≤1，则√(1−a)3化简后为（ ）A ．(a −1)√a −1B ．(1−a)√a −1C ．(a −1)√1−aD ．(1−a)√1−a5=x 的取值范围是（ ） A ．x ≠2B ．x ≥0C ．x ≥2D ．x ＞26 ） A ．0 B ．42a -C ．24a -D ．24a -或42a -7．下列各式不是最简二次根式的是( )A ．√a 2+1B ．√2x +1C ．√2b 4D ．√0.1y8．对于所有实数a ，b ，下列等式总能成立的是（ ）A ．2a b =+B 22a b =+C a b =+D a b =+9( )A ．它是一个非负数B ．它是一个无理数C ．它是最简二次根式D ．它的最小值为3二、填空题10．计算：的结果是________11a ，那么a 的取值范围是__________123，那么x 的值是____________13．若a =，b =a b 、两数的关系是____________14．当x___________有意义.1520y -=，则x y +=_________.16．当___________.1711m +有意义，则m 的取值范围是___________________18．代数式3-_________19．当x ________.20．把三、解答题21．若y =，求2x y +的值． 22．21++a 的最小值是多少？此时a 的取值是多少？23．计算：2√12+3√113−√513−23√48. 24．有意义，求m 的取值范围？参考答案1．C【分析】根据二次根式的概念和性质，逐一判断．【详解】解：A 、二次根式无意义，故A 错误；B 、是三次根式，故B 错误；C 、被开方数是正数，故C 正确；D 、当b=0或a 、b 异号时，根式无意义，故D 错误．故选C ．【点睛】a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．2．D【分析】根据二次根式的性质解答即可．【详解】解：,∵2＜a ＜3，∴2a -＜0，3a -＞0，＝a ﹣2﹣（3﹣a ）＝a ﹣2﹣3+a ＝2a ﹣5，故选D ．【点睛】此题考查二次根式的性质，关键是根据二次根式的性质解答．3．A【解析】()224A a ==+ 24a ==+.故选A ．4．D 【解析】【分析】将（1﹣a ）3化为（1﹣a ）2•（1﹣a ），利用二次根式的性质进行计算即可．【详解】若a ≤1，有1﹣a ≥0；则√（1−a ）3=√（1−a ）2（1−a ）=（1﹣a ）√1−a ．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的意义与化简．二次根式√a 2规律总结：当a ≥0时，√a 2=a ；当a ≤0时，√a 2=−a ．5．D【分析】根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x 的取值范围即可．【详解】 由题意可得：020x x ≥⎧⎨-⎩＞，解得：x ＞2． 故选D ．【点睛】二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据． 6．D【解析】a =的性质进行化简．原式=2112a a -+-，当2a －1≥0时，原式=2a －1+2a －1=4a －2；当2a －1≤0时，原式=1－2a+1－2a=2－4a ．综合以上情况可得：原式=2－4a 或4a －2．考点：二次根式的性质7．D【解析】试题分析：最简二次根式的被开方数不能含有能开方的数字，不能含有分数，不能有偶数次幂．考点：最简二次根式8．B【详解】解：A 、错误，∵2=+a bB 、正确，因为a 2+b 2≥0a 2+b 2；CD =|a +b |，其结果a+b 的符号不能确定．故选B ．9．B【解析】解：二次根式开方是一个非负数，故A 正确；29x +不能开方，故C 正确；当0x =时29x +有最小值9．故D 正确．故选B ．10．2【解析】解： 3==． 11．a≤0【解析】解：0≥，即0a -≥，解得：0a ≤．故答案为0a ≤.12．3或-3【解析】解： 3x ==，解得：x =±3，故答案为：±3．13．a b =【解析】解：a==所以a=b．故答案为：a=b．14．≥1 3【解析】解：根据二次根式的定义可知，3x-1≥0，解得：13x≥．故答案为13≥．15．1【解析】解：，2y-≥0，∴x+1=0，y-2=0，解得：x= -1，y=2，∴x+y=1．故答案为1．点睛：几个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0．16．-2≤x≤1 2【解析】解：x+2≥0，1-2x≥0解得x≥－2，x≤12，∴-2≤x≤12．故答案为-2≤x≤12．点睛：二次根式有意义的条件是：被开方数≥0．17．：m≤0且m≠﹣1【分析】代数式有意义,要求各项都要有意义,被开方数为非负数,分母不为零．【详解】由题意得：-m≥0且m+1≠0，∴m≤0且m≠-1．故答案是：m≤0且m≠-1．18．－3【解析】0，0，∴－33，∴最大值为－3，故答案为－3.19．为任意实数【解析】解：﹙1－x﹚2是恒大于等于0的，不论x的取值，都恒大于等于0，所以x为任意实数．故答案为为任意实数．20．【解析】解：通过a≤0，，所以．故答案为：．点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．21．4【解析】试题分析：根据被开方数是非负数，可以得到x2-4=0，再根据分母不能为0确定出x的值，从而得到y的值，代入即可.试题解析：因为被开方数为非负数，所以x2-4≥0， 4-x2≥0，x-=，解得x=2或x=—2，所以240当x=—2时，分母x+2=0，所以x=—2（舍去），当x=2时，y=0，所以2x+y=4.22．2 -1.【解析】≥，从而2a的最小值是2；因为负+1+a+≥，从而求出a的取值范围.数没有算术平方根，所以10a+1的算数平方根是非负的，所以当a+1的算术平方根加2时最小值为2，此时a+1=0，即a=-1.23．2【解析】原式=4√3+2√3-43√3-83√3=6√3-4√3=2√324．m≤3【解析】试题分析：根据被开方数为非负数，列不等式即可求得.试题解析：因为被开方数应该为非负的，所以3—m≥0，所以m≤3.【点睛】本题主要考查了算术平方根的被开方数是非负数这一知识点，解决此类问题的关键就是要记住被开方数是非负数.。

新北师大版八年级数学上、下册目录上册第一章勾股定理1 探索勾股定理2 能得到直角三角形吗3 蚂蚁怎样走最近回顾与思考复习题第二章实数1 数不够用了2 平方根3 立方根4 公园有多宽5 用计算器开方6 实数7 二次根式回顾与思考复习题第三章位置与坐标1 确定位置2 平面直角坐标系3 坐标与轴对称回顾与思考复习题第四章一次函数1 函数2 一次函数3 一次函数的图象4 确定一次函数表达式5 一次函数图象的应用回顾与思考复习题第五章二元一次方程组1 认识二元一次方程组2 求解二元一次方程组3 鸡兔同笼4 增收节支5 里程碑上的数6 二元一次方程（组）与一次函数7*三元一次方程组回顾与思考复习题第六章数据的分析1 平均数2 中位数与众数3 从统计图估计数据的代表4 数据的波动回顾与思考复习题第七章证明（一）1 你能肯定吗2 定义与命题3 直线平行的判定4 平行线的性质5 三角形内角和定理回顾与思考复习题综合与实践★计算器功能探索★一次函数的应用总复习新北师大版八年级数学上册目录第一章三角形的证明1 等腰三角形2 直角三角形3 线段的垂直平分线4 角平分线回顾与思考复习题第二章一元一次不等式与一元一次不等式组1 不等关系2 不等式的基本性质3 不等式的解集4 一元一次不等式5一元一次不等式与一次函数6一元一次不等式组回顾与思考复习题第三章图形的平移与旋转1 图形的平移2 图形的旋转3 中心对称4 简单的图案设计回顾与思考复习题第四章因式分解1 分解因式2 提公因数3 公式法回顾与思考复习题第五章分式与分式方程1 认识分式2 分式的乘除法3 分式的加减法4 分式方程回顾与思考复习题第五章平行四边形1平行四边形的性质2 平行四边形的判定3 三角形的中位线4 多边形的内角和与外角和回顾与思考复习题综合与实践★生活中的“一次模型”综合与实践★平面图形的镶嵌总复习运动与健康题目：体育锻炼对运动系统的影响指导老师：欧阳靜仁班级：热能092班姓名：林灿雄学号：200910814223摘要：这篇文章通过对人体运动系统组成的介绍，以及体育锻炼对运动系统的作用和影响的一点点描述，给平时不重视锻炼的人说明了体育锻炼的好处，希望能够有更多的人重视体育锻炼。

《二次根式》（北师大）本节课是在先生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念。

它不只是对前面所学知识的综合运用，也为前面学习二次根式的性质和四那么运算打基础教材先设置了三个实践效果，这些效果的结果都可以表示成二次根式的方式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义。

再经过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的效果，加深先生对二次根式的定义的了解。

【知识与才干目的】了解二次根式的概念。

【进程与方法目的】经过阅历二次根式概念的发作进程，了解二次根式的含义。

【情感态度价值观目的】培育先生观察、类比、讨论、协作的思想。

【教学重点】了解判别一个结论正确与否需求停止推理证明，了解并掌握运用实际停止证明、举反例验证、应用推实际证来验证某些结论能否正确的方法。

【教学难点】应用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式。

先生每人预备好草稿纸、铅笔；教员预备课件。

本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探求性质；第三环节：知识稳固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；第一环节：明晰概念效果1 ：5，11，2.7，12149，))((b c b c -+〔其中b=24,c=25〕，上述式子有什么共同特征？答：都含有开方运算，并且被开方数都是非正数。

引见二次根式的概念。

普通地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。

a 叫做被开方数．强调条件：0≥a 。

效果2：二次根式怎样停止运算呢？答：这是我们本节课要处置的新效果。

意图：经过效果，回忆旧知，为导出新知打好基础。

第二环节：探求性质〔一〕内容：经过探求得出b a b a •=⋅，ba b a=． 详细进程如下：〔1〕94⨯＝ ，94⨯＝ ；〔2〕用计算器计算：效果1：观察下面的结果你可得出什么结论？效果2：从你下面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？效果3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？意图：最终归结出b a b a •=⋅〔a ≥0，b ≥0〕，ba b a=〔a ≥0， b ＞0〕。

课题：第4讲 二次根式教学目标：1．掌握二次根式有意义的条件和基本性质(a )2＝a (a ≥0)； 2．能用二次根式的性质a 2＝|a |来化简根式； 3．能识别最简二次根式、同类二次根式；4．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算． 教学重、难点：重点：熟练掌握二次根式的运算．难点：用二次根式的性质a 2＝|a |来化简根式． 教学准备：多媒体课件 教学过程：一、开门大吉，课前热身活动内容：课前热身习题1、（2014•山东烟台）在函数y 中，自变量x 的取值范围是 ．2、如果a a 21)12(2-=-，则（ ）A ．21<a B ．21≤a C ．21>a D ．21≥a 3、下列二次根式：1,,8,2122+x x x ，其中最简二次根式是 ． 4、（2014•孝感）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）A ．B ．C ．D ．5、（2014•山东聊城）下列计算正确的是（ ）A ．． D6=（2014•湖北荆门）计算：4(０． 处理方式：利用cctv 主要节目名称引入，容易让学生在轻松的心态中进入学习状态，课前热身习题也可以提前让学生做完，上课之初找学生对答案．设计意图：一提到二次函数，大多学生都胆怯.为了让学生克服这种畏惧感，树立自信心，本节课一开始先让学生做几道最基本的题目，为即将的复习做好热身.二、焦点访谈，要点回顾活动内容：二次根式相关知识点梳理1、概念：式子a（）叫做二次根式①次根式a必须注意a___0这一条件，其结果也是一个非数即：a___0．a≥o）中，a可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式.2、二次根式的性质：①（a）2= （a≥0）②()()aaa⎧==⎨-⎩= （a≥0 ,b≥0）= (a≥0，b≥0)二次根式的性质注意其逆用：如比较23和的大小，可逆用（a）2=a(a≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小．3、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件：①被开方数的因数是，因式是整式；②被开方数不含的因数或因式．4、二次根式的运算：①二次根式的加减：先将二次根式化简，再将的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同．②二次根式的乘除：= （a≥0 ,b≥0）（a≥0，b＞0）③二次根式的混合运算顺序：先算再算最后算注意：1、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进行：= = ；2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用；3、二次根式运算的结果一定要化成 ．处理方式：学生依次回答，教师利用ppt 显示知识点，需要教师强调的地方教师要结合具体的例子先简单分析，在后面的例题讲解中再着重强调．设计意图：复习要回归到课本基本知识，对知识点的梳理必须要认认真真完成不可一笔带过，学生能力的提升是在基础扎实的基础上实现的.三、共同关注，考试要求 活动内容：关注考试要求1．掌握二次根式有意义的条件和基本性质(a )2＝a (a ≥0)；2．能用二次根式的性质a 2＝|a |来化简根式；3．能识别最简二次根式、同类二次根式；4．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算． 处理方式：多媒体出示考试要求，学生诵读．设计意图：站在中考的高度，让学生明确本课的考试要求，这样既引起了学生的重视，又能给学生起到很好的导航作用，复习就有了明确的目标.第6点是老师增加上去的，因为几乎每年的压轴题，都是与二次函数有关的综合问题，这往往也是学生们丢分最多的,在此让优秀生们引起注意四、国宝档案，考题再现活动内容：中考试题再现 二次根式有意义的条件 例1 已知： 33124+-+-=x x y ，则变式训练：（2014•甘肃白银）已知x 、y 为实数，且49922+-+-=x x y =则x﹣y = ．二次根式的化简例2 （2014•黔南州）实数a 在数轴上的位置如图，化简=+-a a 2)1( ．变式训练: 把二次根式化简后，结果正确的是( )A ．－aB ．－－aC ．－aD ．a 最简二次根式例3 下列二次根式中，最简二次根式是( ) A ．2x 2B ．b 2＋1 C ．4a D ．1x二次根式的计算例4 已知x 1，x 2x 12+x 22= ． 变式训练：计算：(－3)0－27＋|1－2|＋13＋2例5阅读下列材料，然后回答问题：还可以将其进一步化简：=== (Ⅱ))()2212111⨯===- (Ⅲ)以上这种化简的步骤叫做分母有理化．221111-=== (Ⅳ)(1)①参照(Ⅲ)_______；②参照(Ⅳ)_______．(2)++⋅⋅⋅+处理方式：师生共同完成，学生讲解，不足之处其他同学补充，个别的教师点拨，规范解题思路及步骤设计意图：通过做全国各地中考真题，让学生亲身体会中考热点和命题趋势，进一步把握复习重点.五、回声嘹亮，课堂小结活动内容：总结本节课所学内容1、本机可你有哪些收获，对二次根式又有了哪些新的认识？2、还有哪些内容需要你刻下加强的？设计意图：培养学生知识归纳与整理的习惯与能力，通过师生共同总结，增强学生认识，加深学生印象，强化学生记忆．六、状元360，挑战自我 活动内容：课堂检测题1．函数y 13x -中自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≤2 B ．x ＝3 C ．x ＜2且x ≠3 D ．x ≤2且x ≠32．若a ＜11＝（ ）A ．a ﹣2B ．2﹣aC ．aD ．﹣a .3的结果是( )A ．3B ．－3CD ．4 27－12＋43＝____5．已知22a b =+=试求：a bb a-的值．6．计算：-÷ 设计意图：通过学生独立对随堂练习的解答，及时发现问题、解决问题，让学生熟练解决二次根式的相关问题．七、分层作业，强化目标必做题：中考复习丛书P 18 第11，12，13题． 选做题：中考复习丛书P 18 第14题．设计意图：作业的设计突出层次性，满足不同层次学生的需要，另一方面巩固了本课所学的知识，同时也了解了学生对本课知识的掌握情况.以便为下一节课的教学做准备． 板书设计：。

专题2.17二次根式（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】二次根式相关概念与性质1.二次根式0)a ≥的式子叫做二次根式，如3、7、等式子，都叫做二次根式.要点说明：0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子才有意义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点说明：（1）一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥），如22212;;3x ===（0x ≥）.（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论aa ，再根据绝对值的意义来进行化简.2的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.等都是最简二次根式.要点说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，与=【知识点2】二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =⨯≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点说明：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合(13=+-【考点一】二次根式的概念和性质①二次根式相关概念➽➼二次根式及取值范围【例1】使代数式4x -有意义的x 的取值范围是（）A ．4x ≠B ．3x ≥C ．3x ≥且4x ≠D ．4x ≥【答案】C【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件列不等式组解答即可．解：∵代数式y =有意义，∴3040x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：3x ≥且4x ≠，故选C ．【点拨】本题考查了分式有意义的条件，掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．【举一反三】【变式1】2得（）A ．2B ．﹣4x+4C ．xD ．5x ﹣2【答案】C【分析】根据二次函数的性质求解可得答案.解： 1-3x≥0,x≤13,∴2x-1≤1-3＜0,∴原式-(1-3x)=1-2x-1+3x=x,故选C.【点拨】主要考查了根据二次根式的意义及化简.:当a ＞0时=a;当a<0时,二次根式2=a,(a≥0).【变式2】下列说法正确的是（）A.BC=D 的化简结果是2-【答案】B【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的定义以及二次根式的性质和化简逐项分析判断即可．解：=C.在0a ≥，0b >=2，原说法错误；故选：B ．【点拨】本题考查了最简二次根式、同类二次根式的定义以及二次根式的性质和化简，熟练掌握基础知识是解题的关键．②二次根式相关概念➽➼复合二次根式的化简【例2】如果a =b =）A ．a b =B ．a b >C ．a b<D ．1ab =【答案】A【分析】先把b 分母有理化，再比较．解：∵b =，a =∴a b =．故选：A ．【点拨】此题考查分母有理化，正确计算是解题关键．【举一反三】【变式1】比较大小错误的是（）A B 21C6D ．|11【答案】D【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．解：A 、由于5<7B 2<6+2=8，而121，故正确；C 、由于5>-，则775622--->=-，故正确；D 、由于11=，故11>错误．故选：D【点拨】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．【变式2】x 3a =没有实数根，那么a 的取值范围是．【答案】3a >．3a -，根据方程没有实数根可得30a -<，解不等式即可．3a =3a -，0，∴3a -没有实数根，即30a -<，3a ∴>，故答案为：3a >．【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定a 的取值范围．③二次根式相关概念➽➼最简二次根式★★同类二次根式【例3】阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一==.根据以上材料解决【分析】根据题目所给例子直接利用完全平方公式的逆运算化简即可.【点拨】本题主要考查学生对完全平方公式的逆运算掌握运用能力.属于基础性题目.【举一反三】【变式1】a 的值是．【答案】3【分析】根据同类二次根式的定义得到215a -=，据此求解即可．∴215a -=，∴3a =，故答案为：3．【点拨】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出215a -=是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．【变式2】=．【答案】22【分析】分子，分母同时乘以有理化因式2，计算即可．(22222+=2=，故答案为：2【点拨】本题考查了二次根式的分母有理化，准确找出有理化因式是解题的关键．④二次根式相关概念➽➼分母有理化【例4】【答案】>的大小关系．解：220=+220=+>2020∴++∴故答案为：>．【点拨】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数0>>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．【举一反三】【变式1】若实数a b 、满足2a =，求a b +的平方根．【答案】【分析】根据算术平方根的非负性求出a 、b 的值，根据平方根的概念解答．解：∵4040b b -≥⎧⎨-≥⎩，∴44b b ≥⎧⎨≤⎩，∴4b =，把4b =代入上式得2a =，∴246a b +=+=，∴a b +的平方根为．【点拨】本题考查算术平方根的非负性、平方根的定义，根据非负性求得b 的值是关键．【变式2】先阅读下列的解答过程，然后再解答：a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22m +=，==（a b >）．．【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42，再判断是选择加法还是减法．解： 13,42m n ∴==67=13,67=42+⨯∴原式===【点拨】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式．【考点二】二次根式大小比较【例5】n 是同类二次根式．求m 2+n 2的值．【答案】11【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得m 2、n 2，再代入求值即可；解：由题意得：2232410m m -=-，28m =，212n -=，23n =，28m =，23n =∴m 2+n 2＝8+3＝11；【点拨】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，字母因式是整式，被开方数不含能开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．【举一反三】【变式1】这样的式子，还需做进一步的化简，这种方法叫分母有理化．=①==②21111-====，③参照③【分析】仿照题意进行分母有理化即可．=22-==．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确理解题意是解题的关键．【变式2】比较大小：①52+【答案】①＜；②＜【分析】①利用作差法比较大小即可；②利用分子有理化即可比较大小．解：①(5－(2=3-∵3<∴3-＜0∴5-2+故答案为：＜；==+<故答案为：＜．【点拨】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键．【考点三】二次根式的的运算【例6】计算：(2)011)(2)+-【答案】(1)4(2)2【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案；（2）将原式用平方差公式化简，再求值即可（1（2）011)(2)+-+-=2113=-+-=53=-4=+2=【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则．【举一反三】【变式1】计算：(2)．【答案】(1)0；(2)10【分析】（1）先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可；（2）先将二次根式化为最简，然后进行乘除运算即可．（1）解：原式=-（2）解：原式2=⨯0=．3=÷310=⨯【点拨】本题考查了二次根式的加减乘除运算．解题的关键在于正确的化简计算．【变式2】计算：(1)(2))()2111-+-．【答案】(1)2(2)17-【分析】（1）直接利用二次根式的性质及化简，二次根式的乘法及除法，最后算加减法；（2）利用平方差根式求解，平方根、完全平方公式求解，再算加减法．（1）解：（2）解：)()2111+-+-=314181=--+-2=17=-．【点拨】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．【例7】计算题(1)()101 3.1423π-⎛⎫---+-⎪⎝⎭(2)⎛+⨯ ⎝【答案】(1)4-；(2)10【分析】（1）根据零指数幂，负整数幂以及二次根式的运算，求解即可；（2）根据二次根式的运算求解即可．（1）解：()101 3.1423π-⎛⎫---+-⎪⎝⎭(2231242=--+-(22=-4=-；（2）解：⎛-⨯ ⎝41254=⨯⨯10=+10=【点拨】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．【举一反三】【变式1】计算：（102)；（22【答案】（1）2；（2）【分析】（1）先根据二次根式的基本性质以及二次根式的除法法则、零指数幂法则化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先根据二次根式的基本性质化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可．解：（1）原式11=（2）原式=2=；=【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．也考查了零指数幂法则．【变式2】计算：092+【答案】11-【分析】先根据零指数幂的意义，二次根式的乘法和除法法则，以及去括号法则化简，再算加减即可．解：原式=912⨯+92132=++-+-11=-．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【例8】已知2x =，求代数式2(7(2x x +++的值．【答案】2+【分析】根据x 的值，可以求得22(27x ==-解：∵2x =，∴22(27x =-=-∴2(7(2x x ++++(7(2=+-+++222272=-+-+11=++2=【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算方法及乘法公式是解题的关键．【举一反三】【变式1】已知：y 5【答案】x y -，-4【分析】根据二次根式有意义的条件得到x =4，则y =5，再利用约分得到原式+后通分得到原式x 、y 的值代入计算即可．解：∵x -4≥0且4-x ≥0，∴x =4，∴y =5，=x y -，=45-，=-4．【点拨】本题考查了考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值，做题的关键是要先化简再代入求值．【变式2】先化简再求值：21b =．【答案】【分析】先将原式中二次根式化为最简二次根式再合并，根据二次根式被开方数为非负数的性质分别求出a 、b ，最后代入计算即可．解：∵1b =+，∴20a -≥，20a -≥，∴2a =，∴11b ==，原式132b a b b a=+ ==当2a =，1b =时，原式2==【点拨】本题考查的是二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式有意义的条件．解题的关键是能熟练把二次根式化为最简二次根式．。