最新-2018年上学期同步测控优化训练高二数学同步检测四第六章单元测试(A卷)(附答案) 精品

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最新-2018年上学期高二优化训练数学：第六章不等式二B

高中同步测控优化训练(四)第六章不等式(二)(B 卷)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.若a 、b 都是正数，则关于x 的不等式－b ＜x1＜a 的解集是 A.(－b 1,0)∪(0,a1) B.(－a1,0)∪(0,b 1)C.(－∞,－b 1)∪(a 1,+∞)D.(－a 1,b1)解析:－b ＜x 1＜a ⇔－b ＜x1＜0或0＜x ＜a⇔x ＜－b 1或x ＞a1.答案:C2.若满足|x －2|＜a 的x 都适合不等式|x 2－4|＜1，则正数a 的取值范围是 A.(0，5－2］ B.(5－2，+∞) C.［5－2,+∞)D.(5－2,5+2)解析:|x －2|＜a 的解是2－a ＜x ＜2+a ,|x 2－4|＜1的解是－5＜x ＜－3或3＜x ＜5.由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-≤-32,25a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤.52,23a a 由于a 是正数，前一不等式组无解，后一不等式组的解是0＜a ≤5－2.答案:A3.当x ∈［－1,3］时，不等式a ≥x 2－2x －1恒成立，则a 的最大值和最小值分别为 A.2，－1 B.不存在，2 C.2，不存在 D.－2，不存在分析:分离参数法求参数的最值，转化求函数的最大值. 解:记f (x )=x 2－2x －1=(x －1)2－2.当x ∈［－1,3］时，f (x )最大值为2，故a ≥2.故选B. 答案:B4.当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，则实数a 的取值范围是 A.［2,+∞) B.(1,2］ C.(1,2) D.(0,1) 分析:本题考查数形结合.解:y =(x －1)2，当1＜x ＜2时，y ∈(0,1),xyO∴a ＞1在x ∈(1,2)时才有log a x ＞0, 而且log a 2≥1.∴a ≤2,即1＜a ≤2. 答案:B5.若log x (2x 2+1)＜log x (3x )＜0成立，则x 的取值范围是A.(0，31) B.(0，21) C.(31，1)D.(31，21)解析:对于log x (3x )＜0，若x ＞1,则3x ＜1,矛盾，故0＜x ＜1. 又2x 2+1＞3x ＞1,∴31＜x ＜21. 答案:D 6.如果不等式x 1<2和|x |>31同时成立,那么x 满足 A.－31<x <21 B.x >21或x <－31 C.x >21D.x <－31或x >31分析:本题考查简单分式不等式及绝对值不等式的解法.解:由x 1<2得xx 21-<0.解得x <0或x >21(如上图).① 由|x |>31得x <－31或x >31.②323-0由①∩②,得{x |x <－31或x >21}.答案:B 7.不等式x +12+x >2的解集是A.(－1,0)∪(1,+∞)B.(－∞,－1)∪(0,1)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－∞,－1)∪(1,+∞)分析:本题考查分式不等式的解法.解法一:通过移项、整理,原不等式可变为12+-x xx >0,即1)1(+-x x x >0.利用“穿线法”解此不等式,如下图.得不等式的解集为{x |－1<x 解法二:利用数形结合法.原不等式可化为12+x >2－x , 构造两个函数f (x )=12+x ,g (x )=2－x ,看当x 取什么范围时,f (x )的图象在g (x )的上方.如下图所示.y不等式的解集为{x |－1<x <0或x >1}. 答案:A8.若不等式x ＞mx +23的解集为4＜x ＜n ,则m 、n 的值分别是 A.m =81,n =36 B.m =61,n =32C.m =41,n =28D.m =21,n =24分析:本题考查同解不等式的意义，方程与不等式的关系. 解:将x =4代入方程x =mx +23，得m =81.利用排除法可得A. 答案:A9.若不等式|x +1|≥kx 对x ∈R 均成立,则实数k 的取值范围是 A.(－∞,0) B.［－1,0］ C.［0,1］ D.［0,+∞)分析:本题主要考查利用数形结合法求参变量的取值范围.1|y =k x解:在同一坐标系中作出函数y =|x +1|与y =kx 的图象. 如上图,观察可知,直线y =kx 的k 满足0≤k ≤1. 答案:C10.若f (x )是R 上的减函数,且f (x )的图象经过点A (0,4)和点B (3,－2),则不等式|f (x +a )－1|<3的解集为(－1,2)时,a 的值为A.0B.－1C.1D.－2分析:本题综合运用函数单调性及绝对值不等式的解法求解参数的值. 解:由|f (x +a )－1|<3,得－2<f (x +a )<4. 由题设可知f (0)=4,f (3)=－2. 所以f (3)<f (x +a )<f (0).又因f (x )是R 上的减函数,所以0<x +a <3, 即－a <x <3－a . ① 因不等式的解为－1<x <2, ② 所以比较①②可得a =1. 答案:C第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.不等式1-x ax＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2},那么a 的值为__________. 解析:原不等式等价于［(a －1)x +1］(x －1)＜0，所以x =2是方程(a －1)x +1=0的根. 答案:21 12.若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>+->0,1a x ax 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________.解析:对a 分三种情况:(1)当a =0时，解为x ＞0； (2)当a ＞0时，解为x ＞max{－a1,－a }； (3)当a ＜0时，原不等式组变为⎪⎩⎪⎨⎧->-<.,1a x a x有解的充要条件是－a ＜－a1(a ＜0), 即－1＜a ＜0.综上知a ＞－1. 答案:a ＞－113.在下列各命题中: ①|a +b |－|a －b |≤2|b |； ②a 、b ∈R +,且x ≠0,则|ax +xb|≥2ab ； ③若|x －y |<ε,则|x |<|y |+ε；④当且仅当ab <0或ab =0时,|a |－|b |≤|a +b |中的等号成立.其中真命题的序号为__________.分析:本题主要考查绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |的应用. 解:∵|a +b |－|a －b |≤|(a +b )－(a －b )|=|2b |=2|b |, ∴①是真命题.∵a 、b ∈R +,x ≠0,∴ax 与xb同号. ∴|ax +x b |=|ax |+|xb|≥2||||x b ax ⋅=2ab .∴②是真命题.∵|x －y |<ε,∴|x |－|y |≤|x －y |<ε. ∴|x |－|y |<ε.移项得|x |<|y |+ε,∴③是真命题. 当a =－1,b =2时,有ab <0.|a |－|b |=1－2=－1,|a +b |=|－1+2|=1,则此时|a |－|b |≠|a +b |. ∴④是假命题.∴真命题的序号为①②③. 答案:①②③14.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过 2200 km ，如果它每天的行程比原来少12 km,那么它行驶同样的路就得花9天多时间.这辆汽车原来每天行程的千米数满足__________.分析:建立模型，列出相应不等式组.解:设每天行程为x km,则⎪⎩⎪⎨⎧>-+>+912)19(82200)19(8x x x⇔⎩⎨⎧<>,260,256x x 即256＜x ＜260. 答案:(256,260)三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分)解关于x 的不等式|2x +m |<x －m (x ∈R ).分析:本题考查含有绝对值不等式的解法.解题关键是对m 进行分类讨论. 解:∵|2x +m |<x －m , ∴m －x <2x +m <x －m . ∴0<x <－2m .∴当m <0时,－2m >0,此时原不等式的解集为{x |0<x <－2m }；当m ≥0时,－2m ≤0,原不等式的解集为∅.16.(本小题满分10分)当P 为何值时，对任意实数x ,不等式－9＜16322+-++x x Px x ≤6恒成立.分析:将原不等式等价转化为一元二次不等式组.解:原不等式⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-++->+-++.6163,91632222x x Px x x x Px x又∵x 2－x +1＞0，∴上式⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≤++-+->++66663999632222x x Px x x x Px x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥+->+-+.0)6(3,015)9(122x P x x P x 2由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≤⨯⨯-+=<⨯⨯--=.0034)6(Δ,015124)9(Δ2221P P 故联立解得P =－6.17.(本小题满分12分)已知c >0,设 P :函数y =c x 在R 上单调递减.Q :不等式x +|x －2c |>1的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确,求c 的取值范围.分析:本题综合考查函数、不等式、最值及简易逻辑等知识,提高综合应用数学知识解决问题的能力.解:函数y =c x 在R 上单调递减⇔0<c <1.不等式x +|x －2c |>1的解集为R ⇔函数y =x +|x －2c |在R 上恒大于1.∵x +|x －2c |=⎩⎨⎧<≥-,2 2,2 22c x c c x c x∴函数y =x +|x －2c |在R 上的最小值为2c . ∴不等式x +|x －2c |>1的解集为R ⇔2c >1⇔c >21. 如果P 正确,且Q 不正确,则0<c ≤21；如果P 不正确,且Q 正确,则c ≥1. 所以c 的取值范围为(0,21］∪［1,+∞). 18.(本小题满分12分)某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)？ (2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种:①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 问哪一种方案较为合算，请说明理由.解:(1)设捕捞n 年后开始盈利，盈利为y 元，则y =50n －［12n +2)1(-n n ×4］－98 =－2n 2+40n －98.由y ＞0，得n 2－20n +49＜0. ∴10－51＜n ＜10+51 (n ∈N ). ∴3≤n ≤17.∴n =3,即捕捞3年后，开始盈利. (2)①平均盈利为n y =－2n －n98+40≤－2n n 982⋅+40=12，当且仅当2n =n98,即n =7时，年平均利润最大. ∴经过7年捕捞后年平均利润最大，共盈利12×7+26=110万元. ②∵y =－2n 2+40n －98=－2(n －10)2+118， ∴当n =10时，y 的最大值为118,即经过10年捕捞盈利额最大，共盈利118+8=110万元.故两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算.19.(本小题满分12分)设不等式mx 2－2x －m +1<0对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立,求x 的取值范围.分析:本题考查含参数的不等式,关键是对参数的处理.从形式上看,这是一个关于x 的一元二次不等式,可以换个角度,把它看成关于m 的一元一次不等式,并且已知它的解集为［－2,2］,求参数x 的范围.解:设f (m )=(x 2－1)m +(1－2x ),它是一个以m 为自变量的一次函数,其图象是直线,由题意知该直线当－2≤m ≤2时的线段在y 轴下方,∴⎩⎨⎧<<-,0)2(,0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<--<+--.0122,032222x x x x 解①,得x <271--或x >271+-, 解②,得231-<x <231+.由①∩②,得271+-<x <231+.∴x 的取值范围为{x |271+-<x <231+}(如下图).-1- 71- 3-1+ 71+ 3①②。

人教版数学高二知能优化训练同步检测

1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.2．已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．a ≥3 B ．a >3 C ．a ≤3 D ．a <3 解析：选A.∵f ′(x )＝3x 2－a ，又f (x )在(－1,1)上单调递减， ∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立． ∴a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立，又0≤3x 2<3，∴a ≥3，经验证当a ＝3时，f (x )在(－1,1)上单调递减．3．(2011年高考江苏卷)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析：令f ′(x )＝12(2x ＋1)ln5>0，得x ∈(－12，＋∞)．答案：(－12，＋∞)4．求下列函数的单调区间：(1)y ＝x －ln x ；(2)y ＝12x .解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．其导数为y ′＝1－1x.令1－1x >0，解得x >1；再令1－1x <0，解得0<x <1.因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，函数的单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． y ′＝－12x 2，所以当x ≠0时，y ′＝－12x 2<0，而当x ＝0时，函数无意义，所以y ＝12x 在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数，即y ＝12x的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．一、选择题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞) 解析：选D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.2．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(12，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C.∵y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，∴x >12.即函数的单调递增区间为(12，＋∞)．3．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定解析：选A.因f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，b )上是增函数，所以f (x )>f (a )≥0. 4．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝2－3x 2 B ．y ＝ln xC ．y ＝1x －2D ．y ＝sin x解析：选C.对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1(x －2)2＜0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C.5．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B.()π，2π C.⎝⎛⎭⎫3π3，5π2D.()2π，3π 解析：选B.y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此间内y ′恒大于或等于0即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立． 6．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立，即3ax 2≤1恒成立．当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，若a ≤13x 2恒成立，则a ≤0.综上可得a ≤0.二、填空题7．y ＝x 2e x 的单调递增区间是________．解析：∵y ＝x 2e x ，∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝e x x (2＋x )>0⇒x <－2或x >0. ∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(0，＋∞) 8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 解析：∵y ′＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知[－1,2]是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集，∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，由根与系数的关系得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－69．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×(－4)×a >0， ∴a >0.答案：(0，＋∞) 三、解答题10．求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝x 3＋3x；(2)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)．解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x 2)，由f ′(x )>0，解得x <－1或x >1，由f ′(x )<0，解得－1<x <1且x ≠0， ∴递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间为(－1,0)，(0,1)．(2)f ′(x )＝cos x (1＋cos x )＋sin x (－sin x ) ＝2cos 2x ＋cos x －1 ＝(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵0≤x ≤2π，∴由f ′(x )＝0得x 1＝π3，x 2＝π，x 3＝53π，∴f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)的单调递增区间为[0，π3]，[53π，2π]，单调递减区间为[π3，53π]． 11．求函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1在区间[－4,4]上的单调性．解：∵f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2－6x －9.令f ′(x )>0，结合－4≤x ≤4，得－4≤x <－1或3<x ≤4. 令f ′(x )<0，结合－4≤x ≤4，得－1<x <3.∴函数f (x )在[－4，－1)和(3,4]上为增函数，在(－1,3)上为减函数．12．已知函数f (x )＝ax －ax－2ln x (a ≥0)，若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围．解：∵f ′(x )＝a ＋a x 2－2x，要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数，则在(0，＋∞)内f ′(x )恒大于等于0或恒小于等于0.当a ＝0时，f ′(x )＝－2x<0在(0，＋∞)内恒成立；当a >0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a≥0恒成立，则a －1a ≥0，解得a ≥1.综上，a 的取值范围为a ≥1或a ＝0.。

高考最新-2018年上学期高三同步测控优化训练数学A：期

高中同步测控优化训练(十四)期末测试(B 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题，共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.(i +12)6+(i -12)6的值为 A.2i B.－2i C.0 D.i分析:本题考查复数的代数运算.记住一些常见形式的运算法则,可极大地方便解题.如(1±i)2=±2i,i i -+11=i,ii+-11=－i 等. 解:原式=［(i +12)2］3+［(i -12)2］3=(i 1)3+(－i 1)3=－i 1+i1=0.答案:C2.采用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,个体前两次未被抽到而第三次被抽到的概率是A.21 B.31 C.61 D.51 分析:本题考查与抽样有关的概率问题. 解:由概率乘法公式可知P =65·54·41=61. 答案:C3.函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤　 22,2cos πππx x x 在x =2π处A.连续且可导B.导数连续C.不连续D.连续但不可导分析:本题考查连续与可导的定义及连续是可导的必要不充分条件这一关系. 解:如下图所示.∵-→2lim πx f (x )=cos2π=0,+→2lim πx f (x )=－2π,∴-→2lim πx f (x )≠+→2lim πx f (x ).∴函数f (x )在x =2π处不连续，也不可导.答案: C4.下列极限中，值等于21的是 A.+∞→x lim 432622++x x B.0lim →x 432632++x x C.1lim -→x (111633+-++x x x )D.∞→n lim 12102421-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++n nnn n n C C C C 分析:本题考查数列与函数的极限.解: +∞→x lim 432622++x x =2;0lim→x 21432632=++x x ; 1lim -→x (111633+-++x x x )=1lim -→x 152+--x x x =2; ∞→n lim 12102421-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++n nnn n n C C C C =∞→n lim 122-n n =1. 答案: B5.函数y =x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数?A.(23,2ππ) B.(π,2π) C.(25,23ππ)D.(2π,3π)分析:本题考查函数的性质——增减性.对于较复杂函数的单调性一般可用导数去解决. 解:y ′=cos x －x sin x －cos x =－x sin x .若y =f (x )在某区间是增函数,只需在此区间上y ′恒大于0即可.显然只有B 成立,即只有当x ∈(π,2π)时,y ′>0恒成立.答案:B则E ξ的值为 A.181 B.91 C.920 D.209 分析:本题考查离散型随机变量ξ的分布列的性质及数学期望的求法. 解:由离散型随机变量分布列的性质，得 2x +3x +7x +2x +3x +x =1, 即18x =1,∴x =181. ∴E ξ=0×182+1×183+2×187+3×182+4×183+5×181=1840=920. 答案: C7.若∞→n lim )1(2222++n nan =2,那么a 的值等于A.2B.4C.3D.2或4分析:本题考查常见数列的极限.若分子与分母是关于n 的次数相同的多项式,则它的极限等于分子与分母的最高次数项的系数之比.解:∵∞→n lim 22222++n n an =∞→n lim 2222a nn a =++, ∴2a=2.∴a =4. 答案:B 8.若复数3452+--x x x +(x 2－8x +15)i 是实数,则实数x 的值是 A.1,3,5 B.5 C.3,5 D.1,3 分析:本题考查复数概念的划分,但要注意检验. 解:由题意,得x 2－8x +15=0,解得x =3或x =5. 由于当x =3时,分式3452+--x x x 无意义,所以x =5.答案:B 9.已知曲线y =x4在点P (1，4)处的切线与直线l 平行且距离等于17，则直线l 的方程是A.4x －y +9=0或4x －y +25=0B.4x －y +9=0C.4x +y +9=0或4x +y －25=0D.以上答案都不对分析:本题考查常见函数的导数及导数的几何意义，以及两条平行直线的距离公式. 解:∵y ′=－24x， ∴y ′|x =1=－4.∴在P (1，4)处曲线的切线方程为y －4=－4(x －1)，即l 1:4x +y －8=0. ∵l 与l 1平行，∴可设l 的方程为4x +y +m =0. 由两平行直线的距离公式，得1714|8|22=++m ,解得m =9或－25.∴l 的方程为4x +y +9=0或4x +y －25=0. 答案: C10.若∞→n lim (2n +bn n an 222++)=－1,则点(a ,b )在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:本题考查当n →∞且数列{a n }的极限存在时，求参数a 、b 的值.显然化简后的分式的分子、分母的最高项的次数应相同，它的极限即是最高项的系数的比值.解: ∞→n lim (2n +bn n an 222++)=∞→n lim bn n n b a 22)2(2+++=－1.∴⎪⎩⎪⎨⎧-==+.12,02bb a 解得⎩⎨⎧-==.2,4b a答案: D第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)11.设随机变量ξ的概率分布列为P (ξ=k )=λk (k =1,2,3,…,n ,…),则λ的值为__________. 分析:本题考查离散型随机变量的分布列的性质及无穷等比数列各项和的运算.解:由题意得0<λ<1且λ+λ2+λ3+…+λn+…=1,由∞→n lim λλλ--+11n =1，即λλ-1=1，得λ=21.答案: 2112.一个学校有职工160人，其中教师120人，管理人员16人，后勤人员24人，为了了解某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本.采用分层抽样的方法抽取样本时，各层应该分别抽取__________，__________，__________人.分析:本题考查利用分层抽样抽取样本的方法.解:因为样本容量与总体个数的比值为8116020=，所以从事三种职业的职工依次应被抽取的数量为 120×81=15，16×81=2，24×81=3. 答案: 15 2 313.函数f (x )=ax 5+x 3－2(a >0)在R 上是__________(增或减)函数. 分析:本题考查常见函数的导数及导数与函数单调性的关系. 解:∵f (x )=ax 5+x 3－2，∴f ′(x )=5ax 4+3x 2. ∵x ∈R 且a >0，∴5ax 4+3x 2≥0.∵当x =0时，5ax 4+3x 2=0是一孤立点， ∴函数f (x )=ax 5+x 3－2在R 上是增函数. 此外，本题也可用特殊值代入法验证. 答案: 增14.若三数a ,1,c 成等差数列，且a 2,1,c 2成等比数列，则∞→n lim (22c a c a ++)n的值为__________.分析:本题考查数列的性质及数列的极限. 解:由题意得⎩⎨⎧==+1222c a c a ⇔⎩⎨⎧==+1,2ac c a 或⎩⎨⎧-==+.1,2ac c a当⎩⎨⎧==+1,2ac c a 时, ∵2422)(222-=-++=++ac c a c a c a c a =1, ∴∞→n lim (22c a c a ++)n=1;当⎩⎨⎧-==+1,2ac c a 时，∵3124222=+=++c a c a , ∴∞→n lim (22c a c a ++)n =∞→n lim (31)n=0.答案: 0或1三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题10分)有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5.从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ξ，求E ξ与D ξ.分析:本题考查离散型随机变量的期望与方差.准确地写出离散型随机变量的分布列是计算期望与方差的关键环节之一，熟练、准确地应用公式也是一个重要环节.解:这3张卡片上的数字和ξ这一随机变量的可能取值为6，9，12，且“ξ=6”表示取出的3张卡上都标有2，则P (ξ=6)=15731038=C C .2分“ξ=9”表示取出的3张卡片上两张为2，一张为5，则P (ξ=9)=1573101228=C C C .4分“ξ=12”表示取出的3张卡片上两张为5，一张为2，则P (ξ=12)=1513102218=C C C .6分∴ξ的分布列为则期望E ξ=6×157+9×157+12×151=7.8, 8分方差D ξ=157(6－7.8)2+157(9－7.8)2+151(12－7.8)2=3.36.10分16.(本小题10分)当x >0时，证明不等式ln(1+x )>x －21x 2. 分析:本题考查导数的应用.由于本例所给不等式属超越不等式，用常见不等式的证明方法难以奏效.因此通过构造函数f (x )=ln(1+x )+21x 2－x 对f (x )求导,由f ′(x )确定函数在给定区间上的单调性.由f (x )在给定区间上的单调性构造不等式，进一步转化成要求证的不等式.证明: 设f (x )=ln(1+x )+21x 2－x ,可求得定义域为(－1,+∞).2分由f ′(x )=11+x +x －1=12+x x ≥0(∵x =0时，f ′(x )=0),可知f (x )在(－1，+∞)上是增函数.6分∵x >0,∴f (x )>f (0)=0, 即ln(1+x )+21x 2－x >0. 9分 ∴ln(1+x )>x －21x 2对一切x >0都成立.10分17.(本小题10分)已知各项为正数的等比数列{a n }的首项为1，公比为x ,前n 项和为S n .设f (x )=∞→n lim1+n nS S ,求：f (x )的解析式，并作出图象. 分析:本题是数列、极限与函数的综合题，主要考查∞→n lim q n (|q |<1)的极限，使学生掌握分类讨论的思想方法.解:(1)当x =1时，S n =n .∴f (x )=∞→n lim1+n n S S =∞→n lim 1+n n=1. 2分(2)当0<x <1时，S n =xx n--11,∴f (x )=∞→n lim 1+n n S S =∞→n lim 1111111111+--=+----x x x x x x n n =x -21.5分(3)当x >1时，S n =xx n--11.∴f (x )=∞→n lim 1+nnS S =∞→n lim 11111+----x x x x n n=∞→n lim x x x n n-+--111=∞→n lim 1211---n x xx =1.8分由(1)、(2)、(3)可知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<<-≥.1021,11x xx x作出函数f (x )的图象如上图所示. 10分18.(本小题12分)已知函数f (x )=2ax (1)若f (x )在x ∈(0,1］上是增函数，求a 的取值范围；(2)求f (x )在区间(0，1］上的最大值.分析:本题考查导数的应用:①确定函数在给定区间上的单调性，求参数的范围;②求函数在给定区间上的最值.解:(1)由已知，可得f ′(x )=2a +32x. 1分∵f (x )在x ∈(0,1］上是增函数， ∴有f ′(x )>0,即a >－31x . 而函数g(x )=－31x 在x ∈(0,1]上是增函数，且［g(x )］max =g(1)=－1, ∴a >－1.4分当a =－1时，f ′(x )=－2+32x. 在x ∈(0,1)上也有f ′(x )>0,满足f (x )在x ∈(0,1]上是增函数， ∴a ≥－1即为所求.6分 (2)由(1)知a ≥－1时，f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，∴当a ≥－1时，［f (x )］max =f (1)=2a －1.8分当a <－1时，令f ′(x )=2a +32x=0,得x=31a -.9分注意到0<31a -<1，∴当0<x <31a-时，f ′(x )>0;当31a-<x ≤1时，f ′(x )<0.∴当a <－1时，［f (x )］max =f (31a -)=2a ·31a-－(3a -)2=－332a .11分故对x ∈(0,1],当a ≥－1时，［f (x )］max =2a －1; 当a <－1时，［f (x )］max =－332a . 12分19.(本小题12分)甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选试题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.(1)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.分析:本小题主要考查概率统计的基础知识和运用数学知识解决问题的能力.可利用随机事件的概率公式确定分布列,利用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的概率乘法公式解决此类问题.解:(1)依题意,知甲答对试题数ξ的概率分布列如下表:4分甲答对试题数ξ的数学期望E ξ=0×301+1×103+2×21+3×61=59.(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ,则P (A )=321202060310361426=+=+C C C C , P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C . 8分∵事件A 、B 相互独立,方法一:∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P (A ·B )=P (A )P (B )=(1－32)(1－1514)=451. 10分∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P =1－P (A ·B )=1－4544451=. ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 12分方法二:∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P =P (A ·B )+P(A ·B )+P (A ·B )=P (A )P (B )+P (A )P (B )+P (A )P (B ) =32×151+31×1514+32×1514=4544. ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.。

高考最新-2018年上学期高三同步测控优化训练数学A：综

高中同步测控优化训练(十二)综合练习(B 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知方程x 2－2i x +b =0有实根,则复数b 在复平面内所对应的点的轨迹是 A.一条射线 B.一条直线 C.两条相交直线 D.抛物线分析:本题考查复数相等的概念及消参数等知识.解:设b =m +n i(m 、n ∈R )代入原方程,得(x 2+m )+(n －2x )i=0,∴⎩⎨⎧=-=,2,2x n x m 消去x ,得m =－41n 2.故轨迹为抛物线.答案:D2.设等比数列{a n }(n ∈N )的公比q =－21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1)=38,则a 1等于 A.1B.2C.31D.41分析:本题考查等比数列的前n 项和、极限等基础知识.可利用等比数列的前n 项和公式、极限的运算法则解决此类问题.解:a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1=2211])(1[q q a n --.∵q =－21,∴q 2=41.∴上式=411])41(1[1--n a . ∴∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1)= ∞→n lim384141])41(1[11=-=--a a n . ∴a 1=2.答案:B3.下列求导正确的一个是 A.(x xln )′=21ln xx - B.(x 2x -e )′=2x -e ·(1+2x ) C.(x x )′=x ·x x －1(x >0)D.(x +ln x )′=xx 22+ 分析:本题考查常见函数及复合函数的导数.解题的关键是分清函数的复合关系，选好中间变量.解:(x x ln )′=;ln 1ln ')'(ln x xx x x x x -=-⋅ (x 2x -e )′=x ′2x -e +x ·(2x -e )′=2x -e －2x 22x -e =2x -e (1－2x 2); C 中把指数x 看作常数求导，显然是错误的. 答案: D4.若曲线y 1=x 2－1与y 2=1+x 3在x =x 0处的切线互相垂直，则x 0等于A.6363B.－6363C.32D.0或－32 分析:本题考查导数的几何意义及两条垂直直线斜率间的关系. 解:由y 1′=2x ,y 2′=3x 2, ∴y 1′0|x x ==2x 0,y 2′0|x x ==3x 18.依题意，得2x 0·3x 18=－1,解得x 0=－6363. 答案: B5.已知b 为二项式(9+x )n展开式中各项系数的和，且∞→n lim aa b a b n n 1101=+++,则实数a 的取值范围是A.(－∞, －10)∪［10,+∞)B.( －10,10]C.(－∞, －10]∪(0,+∞)D.(－∞, －10]∪［10,+∞)分析:本题考查当n →∞时，∞→n lim q n 的极限及二项式定理展开式的性质.解:(9+x )n 展开式中各项系数和为10n , 即∞→n lima a a n n nn 11010101=+⋅++.当|a |<10时，∞→n lim101)10(10)10(1=++n n a a a ,这与已知相矛盾.当|a |>10时，∞→n lim .1)10(101)10(aa aa n n=+⋅+∵|a10|<1,∴a <－10或a >10,而a =10也满足题意. 答案: A6.i i i i 212)1()31(63++--++-等于 A.0B.1C.－21D.31i分析:本题考查复数的代数运算.解:原式=.05242)2(8)21)(21()21)(2(])1[()2321(233==+++--=-+-+--++-i -i i i i i i i i i i 答案:A7.已知f (x )=2x 3－6x 2+m (m 为常数)在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是A.－37B.－29C.－5D.－11 分析:本题考查用求导的方法求函数的最小值、最大值. 解:f ′(x )=6x 2－12x ，令f ′(x )=0,得x =0或x =2. 由f (0)=m ,f (2)=m －8,f (－2)=m －40，可知［f (x )］max =f (0)=m =3,［f (x )］min =f (－2)=3－40=－37. 答案: A8.下图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N (0,σ2)的图，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是xA.σ1>1>σ2>σ3>0 σ3 C.σ1>σ2>1>σ3>0 σ3分析:本题考查正态曲线的性质. 解:由正态曲线f (x )=σπ2122)σμ-x (-e ,可知当μ=0时，f (x )= σπ21222σx -e .令x =0,得f (0)=σπ21当σ=1时，f (0)=π21;当0<σ<1时，它与y 轴交点的纵坐标大于f (0); 当σ>1时，它与y 轴交点的纵坐标小于f (0). 答案: D9.甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为51、31、41，则此密码能被译出的概率为A.53 B.52 C.6059D.601 分析:本题考查互斥事件和的概率与相互独立事件积的概率.解:设甲、乙、丙能独立破译密码的事件分别记作A 、B 、C ，此密码能被破译出的概率是ABC ，A B C ，AB C ，A BC ，A B C ，A B C ，A B C 这7个事件和的概率，而它的对立事件是A B C ，∴P =1－P (A B C )=1－(1－51)(1－31)(1－41)=53. 答案: A10.甲有1只放有x 个红球、y 个白球、z 个黄球的箱子(x ≥0,y ≥0,z ≥0,x +y +z =6)，乙有1只放有3个红球、2个白球、1个黄球的箱子.两人各自从自己的箱子中任取1球，规定当两球同色时甲胜，异色时乙胜，并规定甲乙同取红、白、黄色球而胜的得分依次为1，2，3分，则甲得分的期望的最大值是A.21 B.43 C.54 D.32 分析:本题考查离散型随机变量的期望.甲得分的概率模型是相互独立事件同时发生的概率.解:甲胜的分布列为E ξ=361 (3x +4y +3z )=361 (18+y ). 当x =0,z =0,y =6时，E ξ最大，最大值为32. 答案: D第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填上题中横线上)11.某校有教师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本,已知从女生中抽取的人数为80,则n =__________.分析:本题考查抽样过程中每个个体被抽取的概率问题.解:因为无论采取哪种抽样方法,每个个体被抽取的概率都相等,所以每个人被抽取的概率是1008100080. 则从教师和男生中分别抽取200×1008=16人,1200×1008=96人. 所以n =16+96+80=192(人).答案:19212.某厂有三个顾问，假定每个顾问发表的意见是正确的概率为0.8.现就某事可或否征求各顾问的意见，并按顾问中多数人的意见作出决策，作出正确决策的概率为__________.分析:本题考查相互独立事件和的概率和独立重复试验的概率.解:作出正确决策是指至少有两个顾问发表正确的意见，其概率P =23C 0.82·0.2+33C ·0.83=0.896.答案: 0.89613.函数f (x )=x －2sin x 在(0，2π)上的单调区间为__________.分析:本题考查用导数求函数的单调区间. 解:f ′(x )=1－2cos x ,如下图，令f ′(x )=1－2cos x >0,得cos x <21,即增区间为(3π,35π);令f ′(x )=1－2cos x <0，得cos x >21,答案: 减区间为(0，3π)∪(35π,2π),14.若1lim →x 12-++x ba x =1,则a =__________,b =__________.分析:本题考查当x →x 0时，函数的极限.当把x =1代入函数解析式时，分母为零，故需进行分子有理化，使分子出现(x －1)因式，约去该因式后，再代入求值即可.解: 1lim→x 1-++x b a x = 1lim →x ))(1)(1(2b a x x x b a x -++--+=1, 则b 2－a =1，且(1+1)(a +1－b )=1.解得a =－1615,b =－41.答案: －1615 －41三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题10分)一批产品中有9个正品、3个次品，从这批产品中每次任取一个，如果取出的是次品就不再放回去.设在取得正品之前已取出的次品数为ξ，求：(1)ξ的分布列； (2)ξ的数学期望.分析:本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望.解题的关键是由等可能事件的概率模型求得ξ取每一个值的概率.解:(1)取得正品之前取出的次品数ξ的可能取值为0，1，2，3.其中“ξ=0”的概率为P (ξ=0)=43129=，1分 “ξ=1”的概率为P (ξ=1)=123·119=449，3分 “ξ=2”的概率为P (ξ=2)=123·112·109=2209，5分 “ξ=3”的概率为P (ξ=3)=123·112·101=2201.7分所以ξ的分布列为8分(2)E ξ=0×43+1×449+2×2209+3×2201=103, 即ξ的数学期望是103.10分16.(本小题10分)如下图所示,动物园要建造一面靠墙的两间面积相同的矩形熊猫居室.如果可供建造围墙的材料总长是30 m ，那么宽x (单位：m)为多少时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少？x分析：像这种在一定条件下，求“面积最大”的问题在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题常常归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用导数求函数的最值,但不论采用何种办法都必须在函数的定义域内进行.解:设矩形熊猫居室的宽为x m,面积为y m 2,则长为2330x- m,那么 2分 y =x ·2330x -=－23x 2+15x (0<x <10),4分 y ′=－3x +15.6分令y ′=0,即－3x +15=0,求得唯一极值点x =5.8分因为y 只有一个极值,所以它是最大值，即y =－23×52+15×5=37.5(m 2)，即宽为5m 时才能使所建造的熊猫居室面积最大,最大面积是37.5m 2. 10分 17.(本小题10分)如下图，把边长为a 的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖直六棱柱的盒子(不计接缝)，如果使所做成的盒子体积最大，问应如何裁剪？分析:V 的目标函数，借助导数求最值.解:圆心).又设BO 长为x ,则S △DBE =43x 2,2那么，底面是正六边形的无盖直六棱柱的体积V (x )=6×43x 2(a －x )×23=49(a －x )x 2=49(ax 2－x 3),0<x <a . 4分 ∴V ′(x )=49(2ax －3x 2).6分令V ′(x )=49(2ax －3x 2)=0,得x =32a ,x =0(舍).∵V (x )只有一个极值，∴它是最大值,即x =32a 时，［V (x )］max =33a .8分因此，只要连结AO ，在AO 上取AB 长为3a,再过B 作BC 垂直于正六边形的边长于C ，BD 垂直于正六边形的边长于D ，剪去四边形ADBC .同样可剪去另外五角，这样折成的无盖直六棱柱盒子的体积最大. 10分18.(本小题12分)求函数y =342+-+x x 的值域.分析:求函数的值域是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值.此题的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易.解:由⎩⎨⎧≥+≥+03,042x x 得x ≥－2,即函数的定义域为［－2，+∞).3分 y ′=34224232321421+⋅++-+=+-+x x x x x x .6分又23+x －42+x =423282++++x x x ,∴当x ≥－2时，y ′>0.9分∴函数y =342+-+x x 在［－2，+∞)上是增函数，而f (－2)=－1, ∴y =342+-+x x 的值域是［－1，+∞).12分19.(本小题12分)交5元钱,可以参加一次摸奖.一袋中有同样大小的球10个,其中有8个标有1元钱,2个标有5元钱, 摸奖者只能从中任取2个球,他所得奖励是所抽2球的钱数之和.求抽奖人获利的数学期望.分析:抽到的2个球上的钱数之和ξ是个随机变量,其每一个ξ取值时所代表的随机事件的概率值是容易获得的,但此题所求为另一个随机变量,即参加摸奖的人获利η的数学期望.ξ与η关系为η=ξ－5,利用公式η=a ξ+b ,由E η=aE ξ+b 可获解答.解:设ξ为抽到的2球钱数之和,则ξ的可能取值如下: ξ=2,抽到2个1元;ξ=6,抽到1个1元,1个5元; ξ=10,抽到2个5元. 3分所以,由题可知:P (ξ=2)=45281028=C C ,P (ξ=6)=4516101218=C C C ,P (ξ=10)=,45121022=C CE ξ=2×4528+6×4516+10×451=45162. 9分又设η为抽奖者获利的可能值,则η=ξ－5,所以获利的期望为 E η=E ξ－5=45162－5=－57=－1.4.12分。

测控设计高二数学人教A选修同步练习：第四章框图测评含解析

第四章测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.在下面的图示中,是结构图的是()解析:选项A表示流程图;选项C表示频率分布直方图;选项D表示从B到A的路径图;选项B 表示结构图.答案:B2.如图所示,引入复数后,数系的结构图为()解析:根据知识结构图的画法,“复数”的下位要素应是并列的,只有选项A符合要求.答案:A3.下图是一个结构图,在处应填入()A.图象变换B.对称性C.奇偶性D.解析式解析:奇偶性属于函数的性质,解析式是函数概念的一部分,图象变换和对称性是函数图象的内容.故选C.答案:C4.要解决下面的四个问题,只用顺序结构画不出其流程图的是()A.利用公式1+2+…+n=,计算1+2+…+10的值B.当圆面积已知时,求圆的周长C.当给定一个数x时,求其绝对值D.求函数f(x)=x2-4x+5的函数值解析:求|x|必须判断x的符号.答案:C5.如图是求12+22+32+…+1002的程序框图,则图中的①②分别是()A.①S=S+i②i=i+1B.①S=S+i2②i=i+1C.①i=i+1②S=S+iD.①i=i+1②S=S+i2解析:各个加数的指数应为2,故①中应为S=S+i2,②应为i=i+1.答案:B6.根据下面的流程图可得结果为()A.19B.67C.51D.70解析:该流程图的作用是求s=1+4+7+10+…+19=70.故选D.答案:D7.如图所示的流程图,输出d的含义是()A.点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离B.点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离的平方C.点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离的倒数D.两条平行线间的距离解析:由流程图,得d=,表示点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离.故选A.答案:A8.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的s值等于()A.-3B.-10C.0D.-2解析:(1)k=1,1<4,s=2×1-1=1;(2)k=2,2<4,s=2×1-2=0;(3)k=3,3<4,s=2×0-3=-3;(4)k=4,直接输出s=-3.答案:A9.某市质量技术监督局计量认证审查流程图如图所示,从图中可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有()A.1处B.2处C.3处D.4处解析:观察流程图可知有3处判断框,即3处环节可能不被审查通过.答案:C10.如图,小黑点表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连,连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量是()A.26B.24C.20D.19解析:由A→B有四条线路.单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19.故选D.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.下图是向量运算的知识结构图,如果要加入“向量共线的充要条件”,则应该是在的下位.解析:向量共线的充要条件是其中一个向量能用另一个非零向量的数乘形式表示.答案:数乘12.如图为有关函数的结构图,由图我们可以知道基本初等函数包括.答案:指数函数,对数函数,幂函数13.定义运算⊗,s=a⊗b的运算原理如图所示,则式子5⊗3+2⊗4=.解析:由流程图可知5⊗3+2⊗4=5×(3-1)+4×(2-1)=10+4=14.答案:1414.执行下图所示的程序框图,若输入x=4,则输出y的值为.解析:当x=4时,y=1,此时|1-4|=3>1,所以x=1;当x=1时,y=-,此时>1,所以x=-;当x=-时,y=-,此时<1.故此时输出y=-.答案:-15.某工程由A,B,C,D四道工序组成,完成它们需用时间依次为2,5,x,4天,四道工序的先后顺序及相互关系是:A,B可以同时开工;A完成后,C可以开工;B,C完成后,D可以开工.若完成该工程共需9天,则完成工序C需要的时间最多为.解析:由题意可画出工序流程图如下图所示.∵总工期为9天,∴2+x≤5.∴x≤3.∴完成工序C的最长时间为3天.答案:3天三、解答题(本大题共4小题,共25分)16.(6分)试画出《选修1-2》“推理与证明”一章的知识结构图.解:17.(6分)在选举过程中常用差额选举(候选人数多于当选人数),某班选举班长,具体方法是:筹备选举,由班主任提名候选人,同学投票(同意,不同意,弃权),验票统计.若有得票多者,则被选为班长;若票数相同,则由班主任决定谁当选.请用流程图表示该选举过程.分析:按照工序流程图的画法进行作图即可.解:18.(6分)某自助餐厅准备进行优惠酬宾活动:80岁以上老人免费;70岁以上老人享受5折优惠;60岁以上老人享受6折优惠;其余嘉宾享受9折优惠.餐厅经理想要一个程序,可以输入用餐者的年龄、消费额,能够输出应付金额.试设计该程序流程图.解:程序流程图如图所示.19.(7分)对任意函数f(x),x∈D,可按如图所示,构造一个数列发生器,其工作原理如下:①输入数据x0∈D,经数列发生器输出x1=f(x0);②若x1∉D,则数列发生器结束工作;若x1∈D,将x1反馈回输入端,再输出x2=f(x1),并依此规律进行下去.现定义f(x)=.(1)若输入x0=,则由数列发生器产生数列{x n},写出数列{x n}的所有项;(2)若要使数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据x0的值.分析:(1)可按照f(x)的解析式先求出定义域D,然后再代入x0=,即可得数列{x n}的所有项.(2)中产生无穷常数列,则意味着x0=f(x0)成立.解:(1)函数f(x)的定义域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞),所以x1=f(x0)=f,x2=f(x1)=f,x3=f(x2)=f=-1,而x3∉D,所以数列{x n}只有3项x1=,x2=,x3=-1.(2)令f(x)==x,即x2-3x+2=0,解得x=2或x=1.故当x0=2或x0=1时,x n+1==x n,所以输入的初始数据x0=1时,得到常数列{x n}且x n=1;x0=2时,得到常数列{x n}且x n=2.。

全国高二高中数学同步测试带答案解析

全国高二高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是________．2.已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6,7}，C ＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成集合的个数为________．3.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种类是________(用数字作答)．4.210的正约数有________个．5.计算C 82＋C 83＋C 92=________.6.平面内有两组平行线，一组有m 条，另一组有n 条，这两组平行线相交，可以构成________个平行四边形．7.7名志愿者安排6人在周六、周日参加上海世博会宣传活动，若每天安排3人，则不同的安排方案有________种(用数字作答)．8.若C 12n ＝C 122n-3，则n ＝________.9.从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________种．10.某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图)．则从A 点走到B 点最短的走法有________种．11.某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．12.某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种(结果用数值表示)．13.从4名教师与5名学生中任选3人，其中至少要有教师与学生各1人，则不同的选法共有________种．二、解答题1.要从12人中选出5人参加一项活动，其中A 、B 、C 3人至多2人入选，有多少种不同选法？2.平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？3.在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？ 4.求20C n+55＝4(n ＋4)C n+3n-1＋15A n+32中n 的值．5.从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，分别按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)男、女同学各2名；(2)男、女同学分别至少有1名；(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．6.6个人进两间屋子，①每屋都进3人；②每屋至少进1人，问：各有多少种分配方法？7.某运输公司有7个车队．每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同抽法有多少种？全国高二高中数学同步测试答案及解析一、填空题1.某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是________．【答案】41【解析】分三类：一年级比赛的场数是C 52，二年级比赛的场数是C 82，三年级比赛的场数是C 32，再由分类计数原理求得总赛场数为C 52＋C 82＋C 32＝41.2.已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6,7}，C ＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成集合的个数为________．【答案】26【解析】由C 41·C 31＋C 31·C 21＋C 41·C 21＝26.3.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种类是________(用数字作答)．【答案】266【解析】由题知，按钱数分10元钱，可有两大类，第一类是买2本1元，4本2元的共C 32C 84种方法；第二类是买5本2元的书，共C 85种方法． ∴共有C 32C 84＋C 85＝266(种)．4.210的正约数有________个．【答案】16【解析】由于210＝2×3×5×7，则2、3、5、7中的任意一个数，或两个数之积，或三个数之积，或四个数之积，都是210的约数．又1也是一个约数，所以约数共有C 41＋C 42＋C 43＋C 44＋1＝16(个)．5.计算C 82＋C 83＋C 92=________. 【答案】120【解析】C 82＋C 83＋C 92＝(C 82＋C 83)＋C 92 ＝C 93＋C 92＝C 103＝＝120.6.平面内有两组平行线，一组有m 条，另一组有n 条，这两组平行线相交，可以构成________个平行四边形．【答案】C m 2·C n 2【解析】分别从一组m 条中取两条，从另一组n 条中取两条，可组成平行四边形，即共有C m 2·C n 2个平行四边形．7.7名志愿者安排6人在周六、周日参加上海世博会宣传活动，若每天安排3人，则不同的安排方案有________种(用数字作答)．【答案】140【解析】分两步：第一步，安排周六，有C 种方案；第二步，安排周日，有C 43种方案，故共有C 73C 43＝140(种)不同的安排方案．8.若C 12n ＝C 122n-3，则n ＝________. 【答案】3或5【解析】由C 12n ＝C 122n-3，得n ＝2n －3或n ＋2n －3＝12，解得n ＝3或n ＝5.9.从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________种．【答案】140【解析】当甲、乙两人都参加时，有C 82＝28(种)选法；当甲、乙两人中有一人参加时，有C 83·C 21＝112(种)选法．∴不同的挑选方法有28＋112＝140(种)．10.某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图)．则从A 点走到B 点最短的走法有________种．【答案】210【解析】每条东西向街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段是走南北方向的)，共有C 106＝C 104＝210(种)走法．11.某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．【答案】16【解析】分两类：①含有甲C 21C 42，②不含有甲C 43，共有C 21C 42＋C 43＝16种．12.某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种(结果用数值表示)．【答案】7【解析】设餐厅至少还需准备x 种不同的素菜．由题意，得C 52·C x 2≥200，从而有C x 2≥20. 即x(x －1)≥40.∴x 的最小值为7.13.从4名教师与5名学生中任选3人，其中至少要有教师与学生各1人，则不同的选法共有________种．【答案】70【解析】满足题设的情形分为以下2类：第一类，从4名教师选1人，又从5名学生中任选2人，有C 41C 52种不同选法；第二类，从4名教师选2人，又从5名学生中任选1人，有C 42C 51种不同选法．因此共有C 41C 52＋C 42C 51＝70(种)不同的选法．二、解答题1.要从12人中选出5人参加一项活动，其中A 、B 、C 3人至多2人入选，有多少种不同选法？【答案】756【解析】解：法一可分三类：①A ，B ，C 三人均不入选，有C 95种选法； ②A ，B ，C 三人中选一人，有C 31·C 94种选法； ③A ，B ，C 三人中选二人，有C 32·C 93种选法．由分类计数加法原理，共有选法C 95＋C 31·C 94＋C 32·C 93＝756(种)．法二先从12人中任选5人，再减去A ，B ，C 三人均入选的情况，即共有选法C 125－C 92＝756(种)．2.平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？【答案】216【解析】解：我们把从共线的4个点取点中的多少作为分类的标准：第一类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有C 42·C 81＝48(个)不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有C 41·C 82＝112(个)不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有C 83＝56(个)不同的三角形．由分类计数原理，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．3.在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？【答案】（1）161700 （2）9506 （3）9604 （4）57036【解析】解：(1)所求不同的抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组合数，共有C 1003＝＝161700(种)．(2)抽出的3件中恰好有一件是次品这件事，可以分两步完成：第一步，从2件次品中任取1件，有C 21种方法；第二步，从98件正品中任取2件，有C 982种方法．根据分步计数原理，不同的抽取方法共有 C 21·C 982＝2×＝9506(种)．(3)法一抽出的3件中至少有一件是次品这件事，分为两类：第一类：抽出的3件中有1件是次品的抽法，有C 21C 982种；第二类：抽出的3件中有2件是次品的抽法，有C 21C 981种．根据分类计数原理，不同的抽法共有C 21·C 982＋C 22·C 981＝9506＋98＝9604(种)．法二从100件产品中任取3件的抽法，有C 1003种，其中抽出的3件中没有次品的抽法，有C 983种．所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法，共有C 1003－C 983＝9604(种)． (4)完成题目中的事，可以分成两步：第一步，选取产品，有C 21C 982种方法；第二步，选出的3个产品排列，有A 33种方法．根据分步计数原理，不同的排列法共有 C 21C 982A 33＝57036(种)．4.求20C n+55＝4(n ＋4)C n+3n-1＋15A n+32中n 的值．【答案】n ＝2 【解析】解：20×＝4(n ＋4)×＋15(n ＋3)(n ＋2)即：＝＋15(n ＋3)(n ＋2)∴(n ＋5)(n ＋4)(n ＋1)－(n ＋4)(n ＋1)·n ＝90，即5(n ＋4)(n ＋1)＝90，∴n 2＋5n －14＝0，即n ＝2或n ＝－7， ∵n≥1且n ∈Z ，∴n ＝2.5.从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，分别按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)男、女同学各2名；(2)男、女同学分别至少有1名；(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．【答案】（1）60 （2）120 （3）99 【解析】解：(1)C 52·C 42＝60. (2)C 51·C 43＋C 52·C 42＋C 53·C 41＝120. (3)120－＝99.6.6个人进两间屋子，①每屋都进3人；②每屋至少进1人，问：各有多少种分配方法？【答案】（1）20 （2）62【解析】解：(1)先派3人进第一间屋，再让其余3人进第二间屋，有：C 63·C 33＝20(种)．(2)按第一间屋子内进入的人数可分为五类：即进一人、进2人、进3人、进4人、进5人，所以方法总数：C 61C 55＋C 62C 44＋C 63C 33＋C 64C 22＋C 65C 11＝62(种)．7.某运输公司有7个车队．每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同抽法有多少种？【答案】84【解析】解：由于每队至少抽1辆，故问题转化为从7个车队中抽3辆车，可分类计算．第一类：3辆车都从1个队抽，有C 71种；第二类：3辆车从2个队抽，有A 72种；第三类：3辆车从3个队抽，有C 73种．由分类计数原理，共有C 71＋A 72＋C 73＝84(种)．。

高三数学-2018年上学期同步测控优化训练高三数学第一章单元检测B卷(附答案) 精品

高三数学同步检测(四)第一章单元检测(B)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟. 第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.抛掷2颗骰子,所得点数之和ξ是一个随机变量,则P (ξ≤4)为( ) A.21 B.31 C.51 D.61分析本题考查离散型随机变量和的概率.解 ξ=2对应(1,1)；ξ=3对应(1,2),(2,1)；ξ=4对应(1,3),(2,2),(3,1).故ξ=2,3,4时分别对应1,2,3个基本事件.而整个事件包含36个基本事件,由等可能事件的概率公式,得 P (ξ≤4)=P (ξ=2)+P (ξ=3)+P (ξ=4)=361+362+363=61. 答案 D2.一班有学员54人,二班有学员42人,现在要用分层抽样的方法从两个班抽出一部分人参加4×4方队进行军训表演,则一班和二班分别被抽取的人数是( ) A.9人、7人 B.15人、1人 C.8人、8人 D.12人、4人解析由题意知,各班所抽人数应按各班所占人数的比例来抽取,一班被抽取的人数为16×425454=9(人);二班被抽取的人数为16-9=7(人).答案 A3.某一天供电网络,有n 个用电单位,每个单位在一天中使用电的机会都是p ,供电网络中一天平均用电的单位个数是( )A.np (1-p )B.npC.nD.p (1-p ) 解析因为每天用电单位的个数ξ服从二项分布,所以E ξ=np . 答案 B4.设随机变量ξ服从正态分布N (0,1),记Φ(x )=P (ξ＜x ),则下列结论不正确的是( ) A.Φ(0)=0.5 B.Φ(x )=1-Φ(-x )C.P (|ξ|＜a )=2Φ(a )-1D.P (|ξ|＞a )=1-Φ(a ) 分析本题考查正态分布的运算.解由正态分布的相关概念易知A 、B 、C 正确,P (|ξ|＞a )=1-P (|ξ|＜a )=1-［2Φ(a )-1］=2-2Φ(a ). 答案 D5.有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若ξ表示取得次品的个数,则E ξ等于( ) A.53 B.158 C.1514 D.1 分析本题考查离散型随机变量的数学期望,解题的关键是找到与每个ξ的值相对应的概率P 的值.解由题意,知ξ取0,1,2,它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式,即P (ξ=0)=21027C C =157,P (ξ=1)= 2101317·C C C =157, P (ξ=2)= 21023C C =151.于是E ξ=0×157+1×157+2×151=53. 答案 A6.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号则取到号码为偶数的频率是()A.0.53B.0.5C.0.47D.0.37 解析.47.0100471009101378＝＝++++答案 C7.★某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年可获利12%;一旦失败,一年后将丧100例类似项目开发的实施结果: 则该公司一年后估计可获收益的期望是( )A.4 000元B.4 520元C.25 000元D.4 760元分析本题考查概率的基本知识和数学期望概念,应用概率知识解决实际问题的能力. 解收益的期望为5×12%×10096-5×50%×1004=0.476 0(万元)=4 760(元). 答案 D8.每次从0~9这10个数字中随机取一个数字（取后放回），连续取n 次，得到n 个数字组成的数字序列.若使该序列中的数字6至少出现一次的概率为0.8，则n 的最小值是（） A.14 B.15 C.16 D.17 分析本题考查等可能性事件概率的应用.解有放回地排列n 个数字，得10n 个基本事件，其中不含6的基本事件为9n .由题意得n n1091－≥0.8,即0.9n ≤0.2,∴n ≥9.0lg 2.0lg ≈15.3. ∴n 最小取16.答案 C9.已知随机变量ξ~B (9,51),则使P (ξ=k )取得最大值的k 值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5分析 ξ~B (n ,p )为二项分布,要熟记二项分布的公式P (ξ=k )=k n C p k(1-p )n -k ,求P (ξ=k )的最大值,还要注意对不等式组⎩⎨⎧+=≥=-=≥=)1()(),1()(k P k P k P k P ξξξξ的运算.解 ∵ξ服从二项分布,∴P (ξ=k )=k C 9(51)k (54)9-k , 要使P (ξ=k )最大,则只需⎩⎨⎧+=≥=-=≥=),1()(),1()(k P k P k P k P ξξξξ即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-++-----.)54()51()54()51(,)54()51()54()51(8119991011999k k k k k k k k k k k k C C C C 解得k =2.答案 A10.右图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N （0,σ2)的图，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是( )A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ3 分析本题考查正态曲线的性质. 解由正态曲线222)(21)(σμπσ--=x ex f ,可知当μ=0时，2221)(σπσx ex f -=.令x =0,得πσ21)0(=f .当σ=1时，π21)0(=f ;当0<σ<1时，它与y 轴交点的纵坐标大于f (0); 当σ>1时，它与y 轴交点的纵坐标小于f (0). 答案 D第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)11.设一次试验成功的概率为p ,现进行16次独立重复试验.当p = 时,成功次数的标准差最大,其最大值为 .分析本题考查服从二项分布的随机变量的标准差.解题的关键是构造目标函数. 解由于成功的次数ξ服从二项分布,所以D ξ=npq =16p (1-p ).∴σξ=16p(1-p)=4p(1-p)≤4×p+1-p[]2=2.当且仅当p=1-p,即p=1[]2时取等号,此时(σξ)max=2. 另解 σξ=41)21(42+--p , ∵0≤p ≤1,∴当p =21时,(σξ)max =2.答案21 2 12.右图是一样本的频率分布直方图,其中(4,7)内的频数为4,数据在［1,4)∪［7,16)内的频率为 ,样本容量为 .分析本题考查一样本在给定区间内的频率及该样本的容量.注意用相应的直方图面积来表示在各个区间内取值的频率时,所有小矩形的面积和等于1.解在(4,7)内的频率为P 1,且31P =332, 所以P 1=112. 所以数据在［1,4)∪［7,16)内的频率为119. 设样本容量为n ,则n 4=112,解得n =22. 答案11922 13.一批产品,分为一、二、三级,其中一级品是二级品的两倍,二级品是三级品的两倍,从这批产品中随机抽取一个检验质量,其级别为随机变量ξ,则ξ的分布列为及P (ξ＞1)= .解析由题意知ξ=1,2,3.ξ取1,2,3的概率依次是4a ,2a ,a ,因为4a +2a +a =1,所以a =71,即ξ取1,2,3的概率依次是74,72,71.P (ξ＞1)=7. 14.将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下:0 001,0 018,0 018,…,1 000,打算从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法分成50个部分,如果第一部分编号为0 001,0 018,0 018,…,0 180,在第一部分随机抽取一个号码为0 015,则抽取的第40个号码为.解析由系统抽样的要求可知,所抽取的号码是首项为a 1=0 015,公差为d =20的等差数列.所以a 40=a 1+(40-1)d =0 015+39×20=0 795.答案 0 795三、解答题(本大题共5小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分)进行某种试验,设试验成功的概率为43,失败的概率为41,以ξ表示试验首次成功所需试验的次数,试写出ξ的分布列,并计算ξ取偶数的概率.分析本题考查如何布列离散型随机变量的分布列,以及如何求它的和的概率.其中ξ=k 表示前(k -1)次试验失败而第k 次试验成功这一事件,ξ服从几何分布.它是相互独立事件同时发生的概率模型.设事件A 1,A 2,…,A n 相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P (A 1·A 2·…·A n )=P (A 1)·P (A 2)·…·P (A n ). 解随机变量ξ的取值是1,2,3,…,k ,…. 2分 ∵P (ξ=1)=43, P (ξ=2)=43·(41), P (ξ=3)=43·(41)2, … P (ξ=k )=43·(41)k -1, …∴ξ的分布列为5分取偶数的概率为分＝分＋＝）（8.51161141437 )414141(43 4143)41(4341431231-2m 3=-⨯⋯+⋯++⨯⋯+⨯+⋯+⨯+⨯=-m P16.(本小题满分8分)人寿保险中的某一年龄段,在一年的保险期内,每个被保险人需交纳保险费a 元,被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元,出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率为p 1,非意外死亡的概率为p 2,则保险费a 需满足什么条件,保险公司才可能盈利？分析本题考查离散型随机变量的期望在现实生活中的应用.要使保险公司盈利,需使它所收总保险费大于总赔付费,即它的期望大于零.解题的关键是列出分布列,求出数学期望.解设ξ为保险公司对每一投保人的盈利数,则ξ的可能取值为a ,a -30 000,a -10 000. 2分且P (ξ=a )=1-p 1-p 2,P (ξ=a -30 000)=p 1,P (ξ=a -10 000)=p 2. 5分6分Eξ=a (1-p 1-p 2)+(a -30 000)p 1+(a -10 000)p 2 =a-30 000p1-10 000p2.保险公司要盈利,必须使E ξ＞0.于是a ＞30 000p1+10 000p2.8分[]17(本小题满分8分)从全校参加科技知识竞赛的学生试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布.将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如右图)，图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1∶3∶6∶4∶2，最右边一组的频数是6. 请结合直方图提供的信息，解答下列问题： (1)样本的容量是多少？ (2)列出频率分布表；(3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求该小组的频数、频率； (4)估计这次竞赛中，成绩不低于60分的学生占总人数的百分率.分析当样本中的个体取不同的值较多时，通常用频率分布直方图的面积来表示各个区间内取值的概率，所有小矩形的面积之和等于1.解 (1)由于各组的组距相等，所以各组的频率与各小长方形的高成正比且各组频率的和等于1，那么各组的频率分别为161,163,166,164,162.设样本容量为n ,则n 6=162,所以样本容量n =48.2分(2)5分(3)成绩落在70.5~80.5之间的人数最多，该组的频数和频率分别是18和83. 6分(4)不低于60分的学生占总人数的百分率为1-161≈94%. 8分 18.(本小题满分10分)设一汽车在前进途中要经过4个路口,汽车在每个路口遇到绿灯的概率为43,遇到红灯(禁止通行)的概率为41.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进,ξ表示停车时已经通过的路口数,求: (1)ξ的概率的分布列及期望E ξ;(2)停车时最多已通过3个路口的概率.分析本题重点考查概率与分布的基础知识.正确确定随机变量的所有可能取值以及取每一个值的概率是解决本题的关键. 解 (1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.用A k 表示“汽车通过第k 个路口时不停(遇绿灯)”,则P (A k )=43(k =1,2,3,4),且A 1,A 2,A 3,A 4独立. 故P (ξ=0)=P (1A )=41, 2分P (ξ=1)=P (A 1·2A )=43×41=163,P (ξ=2)=P (A 1·A 2·3A )=(43)2×41=649,P (ξ=3)=P (A 1·A 2·A 3·4A )=(43)3×41=25627,P (ξ=4)=P (A 1·A 2·A 3·A 4)=(43)4=25681. 5分从而6分E ξ=0×41+1×163+2×649+3×25627+4×25681=256525. 8分 (2)P (ξ≤3)=1-P (ξ=4)=1-25681=256175. 答:停车时最多已通过3个路口的概率为256175. 10分(1)画出散点图;(2)求化学成绩(y )对数学成绩(x )的回归直线方程.分析本题考查如何求回归直线的方程.分清自变量与因变量是正确解题的关键. 解 (1)3分5分;624869.02.735271748.672.7352505421221=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==ni i ni ii xn x yx n yx b .0596.222.73624869.08.67=⨯-=-=x b y a 9分所以y 对x 的回归直线方程为yˆ=0.62x +22.18. 10分。

最新-2018年上学期高二优化训练数学：期中测试B卷(附

高中同步测控优化训练(八)期中测试(B 卷)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.命题A :|x －1|<3,命题B :(x +2)(x +a )<0,且A 是B 的充分而不必要条件,则a 的取值范围是 A.(4,+∞) B.［4,+∞) C.(－∞,－4) D.(－∞,－4］分析:本题主要考查不等式的解法以及充分、必要条件的概念. 解:由|x －1|<3,得－2<x <4.∵A 是B 的充分而不必要条件,∴不等式|x －1|<3的解集为不等式(x +2)(x +a )<0的解集的子集,如下图所示.-24-a∴4<－a ,即a <－4. 答案:C 2.若a1＜b 1＜0,则①a 2＞b 2；②ab ＜b 2；③a +b ＞2ab ；④a 2+b 2＞|a |+|b |. 这四个式子中恒成立的个数是 A.1B.2C.3D.4解析:取b =－2，a =－1，满足a1＜b 1＜0，代入题中四个不等式，可知①③④不成立. ∵a1＜b 1＜0,∴b ＜a ＜0. ∴ab ＜b 2.∴②成立.答案:A3.如果f (x )=mx 2+(m －1)x +1在区间(－∞,1］上为减函数，则m 的取值范围是A.(0，31］ B.［0，31) C.［0，31］D.(0，31) 解析:当m =0时，f (x )=－x +1符合条件；当m ≠0时，f (x )为二次函数，f (x )在(－∞,1］上为减函数⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-->.121,0mm m 解之得0＜m ≤31.答案:C4.已知直线l 1:x sin α+2y =1,l 2:2x +y sin α=2,若l 1到l 2的角为60°，则sin α的值为 A.23－4B.4－23C.23±4D.4±23解析:由线到线所成角的公式得2)sin (12sin sin 2αααα⋅--+-=tan60°.化简得sin 2α－43sin α－4=0.解得sin α=23－4或sin α=23+4(舍去). 答案:A5.直线ax +by －1=0在y 轴上的截距为1,且它的倾斜角是直线3x －y －33=0的倾斜角的2倍,则A.a =3,b =1B.a =－3,b =－1C.a =－3,b =1D.a =3,b =－1分析:本题主要考查直线的有关概念.解:∵直线ax +by －1=0在y 轴上的截距为1, ∴b1=1,即b =1. 又直线3x －y －33=0的倾斜角为3π,∴ax +by －1=0的倾斜角为32π. ∴－ba =tan 32π.∴a =3.答案:A6.在△ABC 中，A 、B 、C 分别为a 、b 、c 所对的角，若a 、b 、c 成等差数列，则B 的范围是A.0＜B ≤4πB.0＜B ≤3πC.0＜B ≤2πD.2π＜B ＜π解析:cos B =acbc a 2222-+=acc a c a 2)2(222+-+ =ac c a 8)(322+－41≥ac ac 86－41=21.而余弦函数在(0，2π)内为减函数，故0＜B ≤3π.答案:B7.设a 、b 、c 、d 、m 、n ∈R +，P =ab +cd ,Q =nc ma +·ndm b +，则有 A.P ≥Q B.P ≤Q C.P ＞QD.P ＜Q解析:∵P 2－Q 2=(ab +cd +2abcd )－(ab +cd +n m ad +mn bc ) =2abcd －n m ad －mnbc =－(ad n m －bc mn )2≤0， ∴P 2≤Q 2.又∵P ＞0,Q ＞0,∴P ≤Q . 答案:B8.某农场可以种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物,且产品全部供应距农场d km 的中当距离d 达到n km 以上时,四种农作物中以种植稻米的经济效益最高(注:经济效益=市场售价－生产成本－运输成本).则n 的值为A.50B.70C.250D.320 分析:本题主要考查不等式的应用. 解:设四种农作物均种植1个单位面积.水果经济效益=(8－3)×1×10－0.18×1×10×n =50－0.6n ；蔬菜经济效益=(3－2)×1×15－0.02×1×15×n =15－0.3n ；稻米经济效益=(2－1)×1×40－0.01×1×40×n =40－0.4n ；甘蔗经济效益=(1－0.4)×1×30－0.01×1×30×n =18－0.3n .依题意有40－0.4n ≥50－0.6n ；40－0.4n ≥15－0.3n ,40－0.4n ≥18－0.3n . 分别解得n ≥50,n ≤250,n ≤320,故n ≥50. 答案:A9.当a 为任意实数时,直线(a －1)x －y +2a +1=0恒过的定点是 A.(2,3) B.(－2,3)C.(1,－21) D.(－2,0)分析:本题主要考查过定点的直线系方程.解法一:设(a －1)x －y +2a +1=0恒过定点M (x 0,y 0), 则(a －1)x 0－y 0+2a +1=0.∴a (x 0+2)+(－x 0－y 0+1)=0对于任意a ∈R 恒成立. ∴x 0+2=0,－x 0－y 0+1=0. ∴x 0=－2,y 0=3,即M (－2,3).解法二:对于a 取不同的两个实数,则方程表示两条不同直线, 则这两直线的交点即为所求. 令a =1,得y =3.① 令a =0,得－x －y +1=0.②解由①②组成的方程组,得⎩⎨⎧=-=,3,2y x即直线恒过点(－2,3). 答案:B10.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格与3枝康乃馨的价格比较，结果是A.2枝玫瑰价格高B.3枝康乃馨价格高C.价格相同D.不确定解法一:设一枝玫瑰的价格为x 元，一枝康乃馨的价格为y 元，则由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>><+>+.0,0,2254,2436y x y x y x 设2枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之差为z 元，由线性规划可知在可行域内，z 恒大于0.解法二:由⎩⎨⎧<+>+2254,2436y x y x 得.2254,2436->-->+y x y x①+②得x ＞1+y .③∴2x －3y ＞2(1+y )－3y =2－y . 又由①有2x +y ＞8, ∴－2x －y ＜－8. ④ 与4x +5y ＜22相加，得x +2y ＜7. ⑤③+⑤，得y ＜2.∴2x －3y =2－y ＞0. 答案:A第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11.已知－2π＜α＜2π,－π＜β＜2π，则2α－31β的取值范围是__________. 解析:∵－2π＜α＜2π,∴－π＜2α＜π.又－π＜β＜2π,得－3π＜31β＜6π,－6π＜－31β＜3π, ①②可得－67π＜2α－31β＜34π. 答案:(－67π,34π)12.已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边.若点(m ,n )在直线ax +by +2c =0上，则m 2+n 2的最小值是__________.解析:按点与直线的位置关系的几何意义可求得m 2+n 2≥(222b a c +)2=4.答案:413.m 、n ∈R ，则13661++m m__________65－n +32n .(用“≥”或“≤”连接)解析:∵13661++m m=1)6(621++m m ≤1626+⨯m m =121，又∵65－n +32n = 31 (n －23)2+121≥121,∴13661++m m ≤65－n +32n .答案:≤14.配制A 、B 两种药剂,需要甲、乙两种原料,已知配一剂A 种药需甲料3 mg,乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg,乙料4 mg.今有甲料20 mg,乙料25 mg,若A 、B 两种药至少各配一剂,应满足的条件是__________,可行域为__________.分析:本题主要考查简单线性规划的应用、列线性约束条件、作可行域. 解:设A 、B 两种药分别配x 、y 剂(x 、y ∈N ),得x=30250=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥.2545,2053,1,1y x y x y x 答案:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥.2545,2053,1,1y x y x y x三直线x =1、x －4y +3=0、3x +5y －25=0所围成的区域三、解答题(本大题共4小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)已知△ABC 的三边方程是AB :5x －y －12=0,BC :x +3y +4=0,CA : x －5y +12=0,求:(1)∠A 的大小；(2)∠A 的平分线所在的直线方程； (3)BC 边上的高所在的直线的方程.解:(1)∵k AB =5，k AC =51, ∴tan A =5151515⋅+-=512,∠A =arctan 512. (2)由角平分线AD 上任意一点到AC 、AB 的距离相等,得2251|125|++-y x =2215|125|+--y x ，化简得x +y －6=0或y =x ,由画图可知结果应为y =x .(3)由⎩⎨⎧=+-=--,0125,0125y x y x 解得⎩⎨⎧==.3,3y x∴点A 坐标为(3，3)，BC 边上的高所在直线的方程为y －3=3(x －3),即3x －y －6=0. 16.(本小题满分10分)某种设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9000元，这种生产设备的维修费各年为:第一年2000元，第二年4000元，第三年6000元，而且以后以每年2000元的增量逐年递增.问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)？解:设使用x 年的年平均费用为y 万元.由已知得y =x xx x 22.02.09.0102+++，即y =1+x 10+10x (x ∈N *).由均值不等式知y ≥1+21010xx ⋅=3，当且仅当x 10=10x ，即x =10时取等号. 因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元.17.(本小题满分12分)某村共有20个劳动力，种50亩地，每亩地上分别可种瓜、果、菜三种作物.根据统计，每亩所需劳动力及预计产值如下表所示:(1)每亩都种上作物； (2)所有劳动力都有工作； (3)年产值最高.解:设安排x 人种瓜，y 人管理果子，则有20－x －y 人种菜.依题意有x ＞0,y ＞0，20－ x －y ＞0.由于x 人可种2x 亩瓜，y 人可管理3y 亩果子，而且50亩地全有农作物，所以2x +3y + 4(20－x －y )≥50，即⎪⎩⎪⎨⎧∈≤+≤+>>.,,302,20,0,0Z y x y x y x y x 表示区域如下图. xy +=20∴年总产值C =0.6×2x +0.5×3y +3y =5C －75.结合上图，易见，当直线l :3x +3y 即2x +y =30与x +y =20交点)时,l 在y 轴上的截距最大，这也使得C 因此10人种瓜，1027万元.18.(本小题满分12分)设a 为实数,试解关于x 的不等式:x ≥122-+-x ax x .分析:本题主要考查含参数的分式不等式的解法,关键是找到合理的分类标准. 解法一:由x ≥122-+-x a x x 得1--x ax ≥0,即⎩⎨⎧>-≥-01,0x a x 或⎩⎨⎧<-≤-.01,0x a x 当a >1时,解集为{x |x ≥a 或x <1}；当a =1时,解集为{x |x ∈R 且x ≠1)；当a <1时,解集为{x |x >1或x ≤a }.解法二:由x ≥122-+-x a x x 得1--x ax ≥0,即⎩⎨⎧≠≥--.1,0)1)((x x a x当a >1时,解集为{x |x ≥a 或x <1}；当a =1时,解集为{x |x ∈R 且x ≠1}；当a <1时,解集为{x |x >1或x ≤a }.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=ax 2+2(b +1)x ,g (x )=2x －c ,其中a ＞b ＞c ,且a +b +c =0. (1)求证:31＜c a a -＜32； (2)求证:f (x )与g (x )的图象总有两个不同的公共点；(3)设f (x )与g (x )的图象的两个公共点为A 、B ，记S =|AB |. 求证:15＜S ＜215.证明:(1)c a a -－31=)(33c a c a a -+-=)(32c a c a -+ =)(3c a a c a -++=)(3c a b a --. ∵a ＞b ＞c ,∴a －b ＞0,a －c ＞0.∴c a a -＞31. c a a -－32=)(3223c a c a a -+-=)(32c a c a -+=)(3c a c c a -++=)(3c a b c --. ∵a ＞b ＞c ,∴c －b ＜0,a －c ＞0.∴c a a -－32＜0.∴c a a -＜32. ∴31＜c a a -＜32. (2)解方程组⎩⎨⎧-=++=c x y x b ax y 2,)1(22消去y 得ax 2+2bx +c =0.(*)∵a ＞b ＞c ,且a +b +c =0,∴a ＞0,c ＜0.∴方程(*)是一元二次方程.∵Δ=4b 2－4ac =4［(a +c )2－ac ］=4［a 2+ac +c 2］=4［(a +21c )2+43c 2］＞0, ∴原方程组有两个不同的解.故f (x )与g (x )的图象总有两个不同的公共点. (3)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2),则x 1+x 2=－a b2,x 1x 2=a c .∴S 2=|AB |2=5(224a b －ac 4).又b =－a －c ,代入得S 2=5［22)(4a c a --－ac4］=20［(a c + 21)2+43］.又－2＜ac ＜－21,∴15＜S 2＜60.故15＜S ＜215.。

高考最新-2018年上学期高三同步测控优化训练数学A：数系的扩充——复数B卷(附答案) 精品

高中同步测控优化训练(十)第四章数系的扩充—复数(B 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知ii +-1)1(3=a +3i,则a 等于A.－iB.－5iC.－2－3iD.2－3i分析:本题考查复数代数形式的除法运算，及有关i 的性质，如(1±i)2=±2i,先把二项式化成单项式，再运算.解:∵2])1[()1)(1()1(1)1(2243i i i i i i -=-+-=+-=2)2(2i -=－2，∴a +3i=－2.∴a =－2－3i.答案: C 2.设复数ω=－21+23i,则1+ω等于 A.－ωB.ω2C.－ω1D.21ω分析:本题考查复数的代数运算.记住ω的运算性质是迅速解决本题的关键. 解:∵1+ω+ω2=0,∴1+ω=－ω2. 而ω2=ω1,∴1+ω=－ω1.答案:C3.复数ii 31)31(5++-的值是A.－16B.16C.－41 D.41－43i分析:本题考查复数的代数运算.把条件转化成与ω的性质有关的问题是解决本题的关键.解:.161616)2321(2)2321(231)31(325555-=-=⨯-=---+-=++-ωωωi i i i答案:A4.复数(1+i1)4的值是A.4iB.－4iC.4D.－4分析:本题考查复数代数形式的运算.解:(1+i1)4=(i i +1)4=44)1(i i +=(1+i)4=(2i)2=－4.答案:D5.已知z 1=m 2－3m +m 2i,z 2=4+(5m +6)i,其中m 为实数,i 为虚数单位,若z 1－z 2=0,则m 的值为 A.4 B.－1 C.6 D.0 分析:本题考查两个复数相等的概念. 解:∵z 1－z 2=0,∴z 1=z 2.根据两个复数相等的定义,得方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==-.65,4322m m m m解得⎩⎨⎧=-==-=.61,41m m m m 或或所以m =－1. 答案:B 6.设f (n )=(i i -+11)n +(ii +-11)n,n ∈N,如果A ⊆{f (n )},则满足条件的集合A 有 A.8个B.7个C.3个D.无穷多个分析:本题考查复数的代数运算及i 的周期性.关键是化简i i -+11=i,ii+-11=－i,将多项式运算转化为虚数单位i 的周期性的运算.解:∵f (n )=(i i -+11)n +(ii +-11)n =i n+(－i)n (n ∈N )= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+=∈+=-∈+=∈=,,34,0,,24,2,,14,0,,4,2N N N N k k n k k n k k n k k n 当当当当 ∴{f (n )}={0,2,－2}.∵A ⊆{f (n )}={0,2,－2},∴A 的个数是23=8. 答案: A7.设z ∈C ,若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在 A.实轴上 B.虚轴上 C.直线y =±x (x ≠0)上 D.以上都不对分析:本题考查复数的几何意义及复数的运算. 解:设z =x +y i(x 、y ∈R ),则z 2=(x +y i)2=x 2－y 2+2xy i.∵z 2为纯虚数，∴⎩⎨⎧≠=-.0,022xy y x ∴y =±x (x ≠0).答案: C 8.2)3(31i i+-等于A.4341+iB.－4341-iC.21+23i D.－21－23i分析:本题考查复数代数形式的运算.解题中可把化简后的分式的分子、分母同乘以分母的共轭复数，再进行化简.解:)31)(31(2)31(32231)3(3122i i i i i i i -+-=+-=+- =43418322--=--i i. 答案:B9.当z =－21i-时,z 100+z 50+1的值等于A.1B.－1C.iD.－i分析:本题主要考查复数代数形式的运算.由于(1±i)2=±2i,所以可把z 视为一个整体.利用z 2=－i 这一特点,将本题的运算转化为虚数单位i 的运算,巧妙简明.解:∵z 2=(－21i -)2=22i-=－i,∴z 100+z 50+1=(－i)50+(－i)25+1 =i 50－i 25+1=i 2－i+1=－i. 答案:D10.已知复数z 满足zz+-11=i,则1+z 等于 A.1－i B.1+i C.1+21iD.1－21i 分析:本题主要考查复数的基础知识及运算能力.解题的关键是先分离出z ,再化简.解:∵zz +-11=i,∴z =i i+-11.∴z +1=ii+-11+1=)1)(1()1(212i i i i -+-=+=1－i. 答案:A第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上) 11.复数z 满足(1+2i)z =4+3i,那么z =__________. 分析:本题主要考查复数代数形式的除法运算.解:z =5510)21)(21()21)(34(i 2134ii i i i i -=-+-+=++=2－i. 答案: 2－i12.已知复数(2k 2－3k －2)+(k 2－k )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围是__________.分析:本题主要考查复数与复平面内点的对应关系. 解:∵复数对应的点在第二象限，∴⎪⎩⎪⎨⎧>-<--,0,023222k k k k 即⎪⎩⎪⎨⎧><<<-.10,221k k k 或 ∴k 的取值范围为(－21，0)∪(1，2). 答案: (－21,0)∪(1,2) 13.定义运算dc b a =ad －bc ,则对复数z =x +y i(x 、y ∈R )符合条件 i21z z =3+2i 的复数z 等于__________.分析:本题主要考查两个复数相等的概念.关键是从定义运算中提取相关信息.解法一:由定义运算，得 i21z z =2z i －z =3+2i. 设z =x +y i(x 、y ∈R ),则2(x +y i)i －(x +y i)=3+2i,即－(x +2y )+(2x －y )i=3+2i.由复数相等，得⎩⎨⎧=-=+.22,3)2y x y x －（解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==58,51y x ∴z =5851-i.解法二:由定义运算,得 i21z z =2z i －z =3+2i, 则z ==--+---+=+-+)21)(21()21)(23(2123i i i i i i 5851-i.答案:5851-i 14.已知z ∈C ,且(3+2z )i 2018=1(i 为虚数单位),则z =__________.分析:本题主要考查虚数单位i 的运算性质.解题的关键是把复数z 分离出来. 解:∵(3+2z )i 2018=1,∴3+2z =20051i .∴z =21(－3+i 1)=－23－21i. 答案:－23－21i三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题8分)已知z =i312+-,求1+z +z 2+…+z 2018的值.分析:本题考查复数ω的运算.数列中的诸性质在复数中也成立.将z 转化为我们熟悉的ω，利用我们已经掌握的ω性质解之较为简单.解:z =i i i23214)31(2312+-=--=+-=ω,4分原式=ωωω--=--=--1111)(11166832004z z =0.8分16.(本小题10分)已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=--++-+=++ii i i 89)4()2(,)3()12(b x y ay x y y x 有实数解，求a 、b 的值(其中x 、y 、a 、b ∈R ).分析:本题主要考查复数相等的充要条件.先求解①式得x 、y 的值，再代入②式求解a 、b .解:∵x 、y ∈R ,据复数相等的充要条件，由方程①式得⎩⎨⎧-==+.31,12y y x 4分∴⎪⎩⎪⎨⎧==.2,21y x 将其代入方程②, 5分得(1+2a )－b i=9－8i. ∵a 、b ∈R ,∴⎩⎨⎧-=-=+.8,921b a9分∴a =4,b =8. 10分 17.(本小题12分)若复数x +y i=(1+cos θ)+(t －cos2θ)i(其中x 、y 、θ∈R ),且点(x ,y )在抛物线y =x 2上,试求实数t 的最大值与最小值.分析:本题以复数的几何意义为载体考查如何建立目标函数及求函数的最值问题.解:根据两个复数相等的条件,得⎩⎨⎧-=+=.2cos ,cos 1θθt y x2分因为点(x ,y )在抛物线上,所以t －cos2θ=(1+cos θ)2.4分故t =(1+cos θ)2+cos2θ=1+2cos θ+cos 2θ+2cos 2θ－1=3cos 2θ+2cos θ=3(cos θ+31)2－31. 8分由于cos θ∈［－1,1］, 所以当cos θ=－31时,t 有最小值－31; 当cos θ=1时,t 有最大值5. 12分18.(本小题12分)已知关于x 的方程x 2+(k +2i)x +2+k i=0有实根，求这个实根以及实数k 的值.①②分析:本题考查两个复数相等的充要条件.方程的根必适合方程，设x =m 为方程的实根，代入、整理后得a +b i 的形式，再由复数相等的充要条件得关于k 、m 的方程组，求解便可.解:设x =m 是方程的实根，代入方程得 2分 m 2+(k +2i)m +2+k i=0,即(m 2+km +2)+(2m +k )i=0. 7分由复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=+=++.02,022k m km m9分解得⎪⎩⎪⎨⎧-==22,2k m 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=.22,2k m11分∴方程的实根为x =2或x =－2,相应k 的值为－22或22. 12分19.(本小题12分)若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z +z5是实数； ②z +3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在？若存在，求出z ;若不存在，请说明理由.分析:本题考查复数的运算及复数的概念.它是一个探索性问题，解题的思路是首先假设结论是成立的，若导出矛盾，说明假设不成立，否则假设成立.解: 设z =a +b i(a 、b ∈R 且b ≠0), 1分则z +z 5=(a +b i)+i b a +5 =a (1+225b a +)+b (1－225ba +)i ∈R . 5分又z +3=a +3+b i,依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-.3,0)51(22b a ba b 7分又由于b ≠0,因此⎩⎨⎧--==+.3,522a b b a解之得⎩⎨⎧-=-=2,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,2b a11分 ∴z =－1－2i 或－2－i.12分。

最新-2018年上学期高二优化训练数学：第七章直线和圆

高中同步测控优化训练(六)第七章直线和圆的方程(一)(B 卷)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.直线x cos α+y +b =0(α、b ∈R )的倾斜角范围是A.［0,π)B.［4π,2π)∪(2π,43π］C.［4π,43π］D.［0,4π］∪［43π,π) 分析:运用斜率的概念，倾斜角的范围，三角函数的性质解决. 解:∵直线的斜率k =－cos α,又α∈R , ∴－1≤cos α≤1.又倾斜角的范围为［0，π), ∴－1≤tan α≤1(α为倾斜角). 答案:D2.直线l 沿y 轴正方向平移m 个单位(m ≠0，m ≠1)，再沿x 轴负方向平移m －1个单位得直线l ′，若l 和l ′重合，则直线l 的斜率为A.m m-1 B.m m 1- C.mm -1D.1-m m 分析:本题考查直线的平移问题.解:设方程l 为y =kx +b ，平移后得到y =k (x +m －1)+b +m 与l 重合， ∴k =mm-1. 答案:C3.两条直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是 A.A 1A 2+B 1B 2=0 B.A 1A 2－B 1B 2=0 C.2121B B A A =－1 D.2121A A B B =－1 解析:由于要判断两直线垂直的充要条件，故要分两种情况加以讨论. 当两直线斜率都存在时，有2121B B A A =－1或A 1A 2+B 1B 2=0. 当两条直线有一条斜率不存在且另一条直线斜率为0时，有⎩⎨⎧==0,021B A 或⎩⎨⎧==.0,012B A 此时B 1B 2=0不能为分母，故选A. 答案:A4.直线ax +3y +1=0与直线2x +(a +1)y +1=0平行,则a 的值是 A.－3 B.2 C.－3或2 D.3或－2 分析:本题主要考查两条直线的位置关系. 解:当a =0或－1时,不合题意, 所以两直线平行,有2a =13+a ≠11, 即a 2+a －6=0.解得a =－3或a =2(舍). 答案:A5.当－1≤x ≤1时，y =ax +2a +1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是 A.a <0或a >1 B.0<a ≤1 C.－1<a <－31D.a ≤－1或a ≥－31 解析:y =ax +2a +1表示过P (－2，1)的一条直线, ∴－1≤x ≤1时，y =ax +2a +1表示一条线段.函数y =f (x )=a (x +2)+1为单调递增或单调递减函数，且f (－2)=1.若y =f (x )为单调递增函数，则对x ∈［－1,1］有f (x )>f (2)=1,即y >1与条件y 的值有正也有负矛盾.∴y =f (x )为单调递减函数. ∴f (－1)≥f (x )≥f (1).∵y 有正也有负，∴f (－1)>0,f (1)<0. ∴f (－1)=a +1,f (1)=3a +1,即a +1>0,3a +1<0.∴－1<a <－31. 答案:C6.已知P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)分别是直线l 上和l 外的点，若直线l 的方程是f (x ,y )=0，则方程f (x ,y )－f (x 1,y 1)－f (x 2,y 2)=0表示A.与l 重合的直线B.过P 1且与l 垂直的直线C.过P 2且与l 平行的直线D.不过P 2但与l 平行的直线解析:∵P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)分别是直线l 上和直线l 外的点，l 方程为f (x ,y )=0, ∴f (x 1,y 1)=0,f (x 2,y 2)=c ≠0. ∴f (x ,y )－f (x 1,y 1)－f (x 2,y 2)=0, 即f (x ,y )=c .∵f (x ,y )=0与f (x ,y )=c 表示两条平行线,∴f (x ,y )=c 表示过P 2(x 2,y 2)且与l 平行的直线.∴f (x ,y )－f (x 1,y 1)－f (x 2,y 2)=0表示过P 2且与l 平行的直线. 答案:C7.若直线3x －y －1=0到直线x －ay =0的角为6π,则实数a 等于A.0B.3C.0或3D.－33 分析:本题考查直线的到角的概念.解:直线3x －y －1=0的斜率为3,倾斜角为60°.由题设可知直线x －ay =0的倾斜角为90°,不存在斜率,所以a =0. 答案:A8.直线l 1:x +3y －7=0,l 2:kx －y －2=0与x 轴的正半轴及y 轴正半轴所围成的四边形有外接圆,则k 的值为A.－3B.3C.1D.2 分析:本题主要考查综合分析问题的能力.解:要使题目条件中的四边形有外接圆,必须l 1⊥l 2,即k ·(－31)=－1,得k =3. 答案:B9.若方程x +y －6y x ++3k =0仅表示一条直线，则实数k 的取值范围是 A.k ≤3 B.k ＜0或k =3 C.k =3D.k ≤0或k =3解析:原方程可变形为(y x +－3)2=9－3k , ∴y x +=±k 39-+3.①显然，k =3时，x +y =9；当0≤k ＜3时，①式右边有两值，则直线不唯一；当k ＜0时，①式右边一正一负，负值不合理，故所求k 的取值范围是k ＜0或k =3.答案:B10.已知点A (5，2)、B (1，1)、C (1，522)、P (x ,y )在△ABC 表示的区域内(包括边界)且目标函数z =ax +y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为A.41 B.53 C.4D.35 分析:线性规划、斜率公式综合应用.解:由目标函数整理得y =－ax +z ,要使其取得最大值的最优解有无穷多个，则直线的斜率－a =k AB =512522--=－53.∴a =53.答案:B第Ⅱ卷(非选择题共70分) 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.直线l 的斜率为k =－1,经过点M 0(2，－1),点M 在直线上，以M M 0的数量t 为参数，则直线l 的参数方程为__________.解析:∵直线的斜率为k =－1,∴倾斜角α=43π. 因此得cos α=－22,sin α=22. ∴直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 221,222(t 为参数). 答案:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 221,222(t 为参数) 12.两条平行直线分别过点A (6，2)和B (－3，－1)，各自绕A 、B 旋转.若这两平行线距离取最大值时，两直线方程是__________.解析:根据题意，当这两条平行直线旋转到与直线AB 垂直时，距离取得最大值.∵k AB =31,∴两直线方程分别为 y －2=－3(x －6)和y +1=－3(x +3), 即3x +y －20=0和3x +y +10=0. 答案:3x +y －20=0,3x +y +10=0 13.已知A (3，7)、B (－2，5)，线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上，则C 的坐标为__________. 解析:设C 的坐标为C (x ,y )，则AC 中点为M (23+x ,27+y ),BC 中点为N (22-x ,25+y ). ∵23+x ≠22-x ,27+y ≠25+y ,且AC 、BC 的中点M 、N 都在坐标轴上， ∴M 、N 不在同一坐标轴上. 当M 在x 轴上、N 在y 轴上时，y N =27+y =0,x M =22-x =0, 即x =2,y =－7；当M 在y 轴上、N 在x 轴上时，x M =23+x =0,y N =25+y =0, 即x =－3,y =－5.∴C 点坐标为(－3，－5)或(2，－7). 答案:(－3，－5)或(2，－7)14.由方程|x |+|y －1|=2确定的曲线所围成的图形的面积是__________. 分析:分情况去绝对值确定图形.解:当x ≥0,y －1≥0时，方程为x +y －3=0.又方程确定的曲线关于y 轴、直线y =1对称，故所围成的图形为矩形. 答案:8三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分)已知直线l :x +y －2=0,一束光线过点P (0,3+1),以120°的倾斜角投射到l 上,经过l 反射,求反射光线所在直线的方程.分析:欲求反射光线所在直线的方程,可考虑以下途径: (1)求出倾斜角； (2)求出斜率；(3)求出它经过的两个特殊点； (4)考虑对称关系.解法一:建立坐标系如下图,设入射光线交l 于Q 点,交x 轴于M 点,反射光线交x 轴于P 2点,l 交x 轴于N 点.xl∵∠QMP 2=120°,∠QNP 2=135由光的反射定理知∠MQN =∠+30°=150°.∴所求直线的斜率为－33.由⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=,2,133y x x y 得Q 故反射光线所在直线的方程为y －1=－33(x －1), 即x +3y －3－1=0.解法二:k λ=－3,设反射光线的斜率为k ,由入射光线到l 的角等于l 到反射光线的角,所以有)3()1(1)3(1-⋅-+---=)1(1)1(-⋅+--k k .解之得k =－33. 由⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=,2,133y x x y 得Q (1,1).故反射光线所在直线的方程为y －1=－33(x －1),即x +3y －3－1=0. 解法三:设P (0,3+1),关于l 的对称点是P ′(x ′,y ′),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++'+'=-'+-'22)13(210)13(y x x y ⇒P ′(1－3,2). 又⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=2133y x x y ⇒Q (1,1).由两点式得反射光线所在直线的方程为x +3y －3－1=0.16.(本小题满分10分)M 是正方形ABCD 内的一点，∠MDA =∠MAD =15°,求证:△MBC是等边三角形.证明:以DA 所在直线为x 轴、DA 中点为坐标原点建立直角坐标系，设A (a ,0)、B (a ,2a ),则C (－a ,2a )，D (－a ,0).在Rt △AOM 中，∵tan15°=OAOM,tan15°=2－3， ∴OM =OA tan15°=(2－3)a ,M 点的坐标为(0，(2－3)a ). 因而|BM |=[]222)32()0(aa a --+-=2a .同理可得|CM |=2a .又|BC |=2a , ∴△MBC 为等边三角形.17.(本小题满分12分)如左下图，在一段直的河岸同侧有A 、B 两个村庄，相距5 km ，它们距河岸的距离分别为3 km 、6 km.现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水.如果预计修建抽水站需8.25万元(含设备购置费和人工费)，铺设输水管每米需用24.5元(含人工费和材料费).现由镇政府拨款30万元，问A 、B 两村还需共同自筹资金多少，才能完成此项工程?(准确到100元)(参考数据:65 =8.18，97=9.85，77.10=3.28，13.43=6.57)ABE FBx解:如右上图所示，建立直角坐标系，则A (0，3).由|AB |=5，可知B (4，6)，那么点A 关于x 轴的对称点A ′连结A ′B 交x 轴于C .由平面几何知识可知，当抽水站建在C ∵|AC |+|BC |=|A ′B |,∴|A ′B |=22)36()04(++-=97=9.85(km). ∴铺设管道所需资金为24.5×9.85×1000=241325≈241400(元)，总费用8.25×10000+241400=323900(元). ∴323900－300000=23900(元).答:需要两村共同自筹资金23900元.18.(本小题满分12分)某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180 t 支援物资的任务，该公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天成本费为A 型卡车320元，B 型卡车518元.请你给出该公司调配车辆的方案，使公司所花的成本费最低.分析:列出线性的约束条件和目标函数.解:设调用A 、B 型卡车各x 、y 辆，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈≥+≤+≤≤,,,1803024,10,4,8**N N y x y x y x y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥+≤+≤≤.,3054,10,4,8*N y x y x y x y x 、xyy =4x =845=30x+y x+y =10O所花成本费z =320x +518y .作直线l 0:320x +518y =0,平移l 0,又x 、y ∈N *，使z 最小可能为(7，1)、(8，0)，经检验过(8，0)时z 最小,z 最小=2560元.∴应调用8辆A 型卡车，不调B 型卡车，成本费最小为2560元. 19.(本小题满分12分)已知过点A (1，1)且斜率为－m (m >0)的直线l 与x 、y 轴分别交于P 、Q 两点，过P 、Q 两点作直线2x +y =0的垂线，垂足为R 、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值.解:设l 方程为y －1=－m (x －1),则P (1+m1,0),Q (0，1+m )从而可得直线PR 和QS 的方程分别为x －2y －mm 1+=0和x －2y +2(m +1)=0. 又PR ∥QS ，∴|RS |=5|1122|m m +++=5123m m ++. 又|PR |=522m +,|QS |=51+m ,四边形PRSQ 为梯形，∴S PRSQ =21(522m ++51+m )·5123m m ++=51(m +m 1+49)2－801≥51(2+49)2－801=3.6.∴四边形PRSQ 的面积的最小值为3.6.。

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第三章导数第一单元导数●知识网络导数导数的概念导数的运算导数的几何意义常见函数的导数函数的和、差、积、商的导复合函数的导数指数、对数函数的导数●范题精讲【例1】已知曲线y =x 和这条曲线上的一点P (2,2),判断曲线y =x 在点P 处是否有切线,如果有,求出切线方程.分析一:本题考查导数的几何意义.对斜率存在的情况,可将切线是否存在的问题转化为研究割线PQ 的斜率的极限问题,因而可先求出函数的增量Δy ,写出k PQ ,再讨论k PQ 的极限.解法一:在曲线y=x 上点P 附近取一点Q .设Q 点的横坐标为2+Δx ,则点Q 的纵坐标为x ∆+2.∴函数的增量Δy =2∆+x ∴割线PQ 的斜率∆∆=x y k PQ∴Δx →0时,k PQ 有极限为42,这表明曲线y =x 在点P 处有切线,且切线的斜率是42,由点斜式可得切线方程为y －2=42(x －2),即2x －4y +22=0.分析二:函数y =x 是可导的.对y =x 求导,就得到曲线y =x 的切线的斜率.在x =2处切线的斜率就是导函数在该点处的函数值.解法二:y ′=(x )′=x21. ∴y ′|x =2=42221=. 由点斜式可得在P 点处切线的方程为y －2=42(x －2), 即2x －4y +22=0. 评注:本题主要考查导数的几何意义.过曲线上一点P ,若存在切线,则切线是过该点的割线PQ 的极限位置,从而反映了事物之间量变到质变的辩证关系.【例2】求函数y =lg(1+cos2x )的导数.分析:求复合函数的导数关键在于分清函数的复合关系,选好中间变量.复合函数的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.解题的过程不必写出中间步骤,可直接运算.解:由y =lg(1+cos2x )得.2sin 2cos 1e lg 2)2)(2sin 1(2cos 1e lg )2(cos 2cos 1elg )2cos 1(2cos 1e lg x x x x x x xx x y +-='-+='+='++='说明:可先把1+cos2x 化简为2cos 2x ,再求导.评注:对复合函数的求导,关键是要分清函数的复合过程.中间变量选取的依据是该变量是我们熟悉的导数公式的形式.我们要牢记导数的运算法则和常见函数的导数.注意观察分析函数的结构形式,有的题目经过同解变形后再求导更简单.【例3】物体的运动方程是s =－91t 3+3t 2－2,求物体在t =3时的速度.分析:以题目的物理意义为切入点,即瞬时速度是位移函数s (t )对时间t 的导数,同时应掌握常见函数的导数及导数的运算法则.解:∵s =－91t 3+3t 2－2, ∴s ′=－91×3t 2+3×2t =－31t 2+6t .∴s ′|t =3=－31×32+6×3=15, 即物体在t =3时的速度为15.评注:掌握导数的物理意义,即s (t )对t 的导数是t 时刻的瞬时速度.v (t )对t 的导数是t 时刻的加速度.学会用数学的方法解决物理问题,以培养学生的应用能力.●试题详解高中同步测控优化训练(五) 第一单元导数(A 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.已知函数y =f (x )=x 2+1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为 A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 分析:本题主要考查如何求函数的增量.解:由函数值的增量公式Δy =f (x 0+Δx )－f (x 0), 得Δy =f (2+0.1)－f (2)=(2+0.1)2+1－(22+1)=0.41. 答案:B2.若曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为2x +y +1=0,则A.f ′(x 0)>0B.f ′(x 0)=0C.f ′(x 0)<0D.f ′(x 0)不存在分析:本题考查导数的几何意义.曲线在点x =x 0处的导数,即为切线的斜率.解:切线的方程为2x +y +1=0,即y =－2x －1, 斜率为－2,故曲线在x =x 0处的导数为－2, 即f ′(x 0)=－2<0. 答案:C3.设函数f (x )在点x 0附近有定义,且有f (x 0+Δx )－f (x 0)=a Δx +b (Δx )2(a 、b 为常数),则 A.f ′(x )=a B.f ′(x )=b C.f ′(x 0)=a D.f ′(x 0)=b 分析:本题主要考查导数的概念.解:∵f (x 0+Δx )－f (x 0)=a Δx +b (Δx )2(a 、b 为常数),∴xx f x x f ∆-∆+)()(0=a +b Δx .∴f ′(x 0)=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00=0lim →∆x (a +b Δx )=a . 答案:C4.下列四个命题中,正确命题的个数为①若f (x )=x ,则f ′(0)=0 ②若函数f (x )=2x 2+1,图象上点(1,3)的邻近一点为(1+Δx , 3+Δy ),则xy∆∆=4+2Δx ③加速度是动点位移函数s (t )对时间t 的导数 ④曲线y =x 3在(0,0)处没有切线A.1B.2C.3D.4 分析:本题考查导数的定义及导数的几何意义、物理意义.解:①中,f ′(x )=x21在x =0处无导数;③中,s (t )对时间t 的导数为动点在某时刻的瞬时速度; ④中,曲线在(0,0)处的切线为x 轴. 故只有②正确. 答案:A5.函数y =x cos x －s i n x 的导数为 A.x s i n x B.－x s i n x C.x cos x D.－x cos x分析:本题主要考查两个函数的差的导数的运算法则,即两个函数差的导数等于它们的导数的差.解:y ′=(x cos x )′－(sin x )′=x ′cos x +x (cos x )′－cos x =cos x －x s i n x －cos x =－x s i n x . 答案:B6.已知函数y =f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2=0平行,则y ′|x =2等于 A.－3 B.－1 C.3 D.1分析:本题主要考查导数的几何意义,即函数y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率是y = f ′(x 0).解:∵函数在点(2,1)处的切线的斜率等于直线3x －y －2=0的斜率,∴y ′|x =2=3. 答案:C7.设f (x )=1)1(22+-x x (x ≠－1),则f ′(x )等于A.3x 2－2x +1B.3x 2+2x +1C.3x 2－2x －1D.x 2－2x +1 分析:本题主要考查积、商函数的导数.可直接求导,也可先将函数变形,化成更便于求导的形式,这样可减少运算量.解法一:f ′(x )=2222222)1()1()1()1(])1[(]1)1([+'+--+'-='+-x x x x x x x 22222222)1(])1()1(4[)1()1()1()1()1)(1(2+---+=+--+'--=x x x x x x x x x x =3x 2－2x －1.解法二:∵f (x )=1)1()1(22++-x x x =(x +1)(x －1)2=x 3－x 2－x +1, ∴f ′(x )=3x 2－2x －1.答案:C8.数y =sin2x 在点M (23,6π)处的切线斜率为 A.－1 B.－2 C.1 D.2分析:本题主要考查常见函数的导数及导数的几何意义.解:∵y ′=(sin2x )′=cos2x (2x )′=2cos2x , ∴1)62cos(2|6=⨯='=ππx y .答案:C9.函数y =e x ln x 的导数是A.y ′=xxeB.y ′=e x ln xC.y ′=e xln x +x xe D.y ′=xx x ln e分析:本题主要考查两个函数积的导数.我们要准确记忆指数与对数函数的导数. 解:y ′=(e x)′ln x +e x(ln x )′=e xln x +xxe .答案:C10.若曲线y =x 2－1与y =1－x 3在x =x 0处的切线互相垂直,则x 0等于A.6363B.－6363C.32D.32或0分析:本题主要考查导数的几何意义及两直线垂直的位置关系,即若两直线的斜率都存在,则它们垂直的条件是斜率的乘积等于－1.解:因为两直线垂直且导数都存在且分别为y ′=2x ,y ′=－3x 2,所以(2x )·(－3x 2)=－1,即x =6363. 答案:A第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在横线上) 11.已知曲线y =x 1－1上两点A (2,－21)、B (2+Δx ,－21+Δy ),当Δx =1时,割线AB 的斜率为__________.分析:本题考查直线斜率的求法,割线的斜率k =xy∆∆.解:)2(2)2(2)2(22121)121()121(x xx x x x y ∆+∆-=∆+∆+-=-∆+=---∆+=∆. ∴)2(21)2(2x x x x x y ∆+-=∆∆+∆-=∆∆, 即k =)2(21x x y ∆+-=∆∆.∴当Δx =1时,k =－)12(21+⨯=－61.答案:－61 12.设f (x )=sin 2x 1,则f ′(x )=__________.分析:本题主要考查复合函数的导数.解题的关键是搞清函数的复合关系.解:f ′(x )=2sin x 1·(sin x 1)′=2sin x 1cos x 1(x 1)′=－21x sin x2.答案:x x2sin 1-13.若曲线y =－x 3+3与直线y =－6x +b 相切,则b 为__________.分析:本题考查导数的几何意义.关键是确定曲线上哪一点的导数等于－6. 解:y ′=－3x 2.令y ′=－3x 2=－6,得x =±2.把x =2代入曲线方程中,得y =3－22. 把x =－2代入曲线方程中,得y =3+22.因为曲线与直线y =－6x +b 相切,所以切点也在直线y =－6x +b 上.分别把(2,3－22)、(－2,3+22)代入直线方程中,得b 1=3+42,b 2=3－42. 答案:3±42 14.若f ′(x 0)=1,则kx f k x f k 2)()(lim000--→=__________.分析:本题考查导数的定义及极限的运算法则.根据导数的定义式,把原式进行一系列变形,凑定义式的结构形式.至于用什么字母或符号表示自变量增量无关紧要.解:21121)(21)()(lim 212)()(lim0000000-=⨯-='-=----=--→→x f k x f k x f k x f k x f k k .答案:－21三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题10分)求函数y =24x 的导数. 分析:本题主要考查导数的概念.可直接运用导数的运算法则求解,也可用导数的定义求解,若用定义求解时,应先求函数值的增量Δy ,再求平均变化率xy∆∆,最后求极限,得导数. 解法一:∵y =24x ,∴y ′=3488xx x -=-. 解法二:∵Δy =2222)()2(44)(4x x x x x x x x x ∆+∆+∆-=-∆+, 4分∴22)(24x x x xx x y ∆+∆+⋅-=∆∆.6分∴0lim →∆xx y∆∆=0lim →∆x ［－4·)(2x x x x x ∆+∆+］=－38x .∴y ′=－38x . 10分16.(本小题10分)设函数f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ′(－1)=4,试求a 的值.分析:本题考查利用导数求参数的值.解题的关键是利用导数会列参数的方程. 解:∵f (x )=ax 3+3x 2+2,∴f ′(x )=(ax 3)′+(3x 2)′ 4分 =3ax 2+6x . 6分 ∵f ′(－1)=4,∴3a －6=4. 8分 ∴a =310. 10分17.(本小题10分)求函数y =(x +1)(x1－1)的导数. 分析:本题主要考查函数的和、差、积的导数,培养灵活地处理问题的能力.可以整体运用u ·v 型求导公式,也可先把函数式展开变形后再求导.做一做,比较一下.解法一:∵y =(x +1)(x 1－1),∴y ′=(x +1)′(x 1－1)+(x +1)(x1－1)′ 5分=x21(x 1－1)－(x +1)x x 21 7分=－x21(1+x 1). 10分解法二:y =(x +1)(x1－1)=2121-+-x x .∴)11(2121212321x xx x y +-=--='--. 18.(本小题12分)设f (x )=⎩⎨⎧>+≤,1,12x bx a x x 试讨论当a 、b 为何值时,f (x )在x =1处可导.分析:本题考查分段函数在接点处的导数.需依据导数的定义,分别求解此函数在接点处的左导数与右导数.解:要使f (x )在x =1处可导,则f (x )在x =1处必连续,则+→1lim x f (x )=f (1),即a +b =1. 3分又若0lim→∆x x y ∆∆存在,则当x =1时,有-→∆0lim x xy ∆∆=+→∆0lim x x y∆∆.6分∵-→∆0lim x x y∆∆=-→∆0lim x xx ∆-∆+1)1(2=-→∆0lim x (2+Δx )=2, +→∆0lim x x y ∆∆=+→∆0lim x xb a x b a ∆--∆++)1(=b , 9分∴b =2,a =－1,即当a =－1,b =2时,函数f (x )在x =1处可导. 12分19.(本小题12分)已知抛物线y =ax 2+bx +c 通过点(1,1),且在点(2,－1)处与直线y =x －3相切,求a 、b 、c 的值.分析:本题考查导数的几何意义.函数在x =2处的导数等于直线y =x －3的斜率.由题意构造出关于a 、b 、c 的方程组,然后求解.解:∵f (1)=1,∴a +b +c =1. ① 2分又f ′(x )=2ax +b ,∵f ′(2)=1,∴4a +b =1. ② 5分又切点(2,－1),∴4a +2b +c =－1. ③ 8分把①②③联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=++.124,14,1c b a b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==,9,11,3c b a11分即a =3,b =－11,c =9.12分。

高考最新-2018年上学期高三同步测控优化训练数学A：极限B卷(附答案) 精品

高中同步测控优化训练(四)第二章极限(B 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.设f (x )=⎩⎨⎧>≤+),0(e ),0(2x x b x 若0lim →x f (x )存在,则常数b 的值是A.0B.1C.－1D.e分析:本题考查0lim x x →f (x )=a 的充要条件是：-→0lim x x f (x )=+→0lim x x f (x )=a .解:∵-→0lim x (2x +b )=b ,+→0lim x e x =1, 又条件0lim →x f (x )存在,∴b =1.答案:B 2.数列1,211+,3211++,43211+++,…,n +⋯++++43211,…的前n 项和为S n ,则∞→n lim S n 等于A.0B.21C.1D.2分析:本题考查数列极限的求法.要求数列{a n }的前n 项和,应首先确定它的通项公式.解:∵a n =)111(2)1(23211+-=+=+⋯+++n n n n n , ∴S n =a 1+a 2+…+a n =2(1－312121-++…+12)111+=+-n nn n . ∴∞→n lim S n =∞→n lim12+n n=2. 答案:D 3.1lim -→x (13113+-+x x )等于 A.0B.－1C.1D.不存在分析:本题考查函数0lim x x →f (x )的极限.若把x =－1代入函数解析式,解析式无意义,故应化简函数解析式,约去使它的分母为0的因式,再求解.解:1lim -→x (13113+-+x x )=1lim -→x )1)(1(3122+-+-+-x x x x x =1lim-→x )1)(1()2)(1(2+-+-+x x x x x =1lim -→x )1()2(2+--x x x=1)1()1(212+-----=－1.答案:B4.若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim (a 1+a 2+…+a n )等于A.2411 B.2417 C.2419 D.2425 分析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),( 22323),(2)23(23为偶数为奇数n n nn n n n n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).( 3),(2为偶数为奇数n n n n∴a 1+a 2+…+a n =(2－1+2－3+2－5+…)+(3－2+3－4+3－6+…).∴∞→n lim (a 1+a 2+…+a n )=241991-19141-1213-132-122-2-2-1-=+=+.答案:C 5.设P (n )=1+3121++…+121-n,在用数学归纳法证明P (n )＞2n的过程中,从P (k )到P (k +1)要添加的项是A.1211-+kB.k 21C.121211-++k kD.12121++k k +…+1211-+k 分析:本题考查数学归纳法的应用.解题的关键是分清不等式左边的构成情况,显然它的分母由自变量取k 时的第一项1按公差为1依次递增到2k －1共(2k －1)项.故当n =k +1时,它的分母应由1依次递增到2k +1－1共(2k +1－1)项,增加了2k 项.解:∵P (k )=1+3121++…+121-k, ∴P (k +1)=1+3121++…+12121121+++-k k k +…+1211-+k =P (k )+k 21121++k +…+1211-+k .答案:D6.用记号“○+”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算, 即a ○+b =2ba +.已知数列{x n }满足x 1=0,x 2=1,x n =x n －1○+x n －2(n ≥3),则+∞→n lim x n 等于A.0B.21 C.32 D.1分析:本题考查数列的极限.此题是信息迁移题,关键是如何求出数列{x n }的通项公式x n . 解:由题意,可知x n =221--+n n x x ,即2x n =x n －1+x n －2. 整理、变形为2(x n －x n －1)=－(x n －1－x n －2), 令b n －2=x n －1－x n －2,则b n －1=x n －x n －1. ∴2b n －1=－b n －2,b 1=x 2－x 1=1－0=1.∴数列{b n }是以1为首项,－21为公比的等比数列. ∴b n =(－21)n -1,即x n +1－x n =(－21)n -1.∴x 2－x 1=(－21)0,x 3－x 2=(－21)1,x 4－x 3=(－21)2,…… x n －x n －1=(－21)n －2. 将这n －1个等式两边分别相加,得x n －x 1=(－21)0+(－21)1+…+(－21)n －2=)21(1)21(11-----n .∴x n =32［1－(－21)n -1］. ∴+∞→n lim x n =+∞→n lim 32［1－(－21)n -1］=32. 答案：C7.设函数f (x )=⎩⎨⎧><-),0(),0()(lg x x x x 则下列结论不正确的是A.10lim -→x f (x )=1B.0lim →x f (x )=0C.-→1lim x f (x )=1D.+→2lim x f (x )=2 分析:本题考查函数的左、右极限.因为f (x )的图象易得,可根据它的图象求解.其中y = lg(－x )与y =lg x 的图象关于y 轴对称.xy11解:由图象可知+→0lim x f (x )=0, 而-→0lim x f (x )不存在,所以0lim →x f (x )不存在. 答案:B 8.∞→n lim (aa 21-)n=0,则a 的取值范围是 A.a =1B.a ＜－1或a ＞31 C.－1＜a ＜31D.a ＜－31或a ＞1 分析:本题考查极限∞→n lim q n =0,|q |＜1.要求a 的范围,可列a 的不等式,要注意分式不等式的解法.解法一:∵∞→n lim (a a 21-)n =0,∴|aa21-|＜1 ⇔⎩⎨⎧≠<-0|2||1|a a a ⇔⎩⎨⎧≠->0)1(422a a a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠>-<.0,311a a a 或 ∴a ＜－1或a ＞31. 解法二:本题可利用特殊值代入法,当a =1时成立,排除C 、D. 再令a =21,∵∞→n lim (1－21)n =0成立,∴排除A. 答案:B9.已知f (x )=x 2,则0lim →∆x xx f x x f ∆∆)()(-+等于A.xB.2xC.2x D.－x 21 分析:本题考查函数0lim x x →f (x ).当把x =x 0代入函数解析式f (x )有意义时,可采用直接代入法求极限.解:0lim →∆x x x f x x f ∆∆)()(-+=0lim →∆x x x x x ∆∆22)(-+ =0lim →∆x xx x x ∆∆∆2)(2+=0lim →∆x (2x +Δx )=2x . 答案:B10.∞→n lim 22322222C C C 321nn ⋯+++⋯+++等于 A.0 B.1 C.2 D.3分析:本题考查数列的极限.要掌握二项式系数的一个性质：m n m n m n 11C C C +-=+.解:∵分子1+22+32+…+n 2=61n (n +1)(2n +1), 分母22C +23C +…+2C n =33C +23C +24C +…+2C n=34C +24C +25C +…+2C n =35C +25C +…+2C n=…=31C +n =6)1()1(-+n n n ,∴∞→n lim 22322222C C C 321nn +⋯+++⋯+++=∞→n lim )1)(1()12)(1(-+++n n n n n n=∞→n lim112-+n n =2. 答案:C第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在横线上) 11.∞→n lim (1+-n n )=__________.分析:本题考查数列极限的运算.此题属于“∞－∞”型,应先分子有理化,再求极限.解:∞→n lim (1+-n n )=∞→n lim 1)1(+++-n n n n =∞→n lim 11++-n n =0. 答案:0 12.2limπ→x )(cos sin2x x-π=__________.分析:本题考查函数0lim x x →f (x )的极限.若把x =2π代入函数解析式,解析式无意义,故应化简函数解析式,约去使它的分母为0的因式,再求极限.解:2limπ→x )cos(sin2x x -π=2lim π→x x xx cos cos sin 2-=－2lim π→x 2sin x =－2.答案:－213.已知1lim →x 25222+--ax x x =65-,则a 的值为__________. 分析:本题考查0lim x x →f (x )的极限.因为把x =x 0代入分式的分子,分子不为0.又因为0lim x x →f (x )存在,所以把x =x 0代入分母,分母必不为0.故采用直接代入法即可求极限.解:∵1lim →x 6525121252222-=+-⨯-=+--a ax x x ,∴a =526.答案:526 14.如下图所示,在杨辉三角中,斜线AB 上方的数组成数列1,3,6,10,…,记这个数列前n 项的和为S n ,则∞→n lim nS n 3等于__________.1 1 1 11 1 11 1 1 123 34 45 56 10 10 AB ………分析:本题考查数列的极限.关键是由数列的前n 项归纳数列的通项公式,然后用求和的基本方法求S n .解法一:由a 2－a 1=2,a 3－a 2=3,a 4－a 3=4, ……a n －a n －1=n . 把这n －1个等式两边分别相加,得a n －a 1=2+3+…+n .∴a n =1+2+3+…+n =n n n n 21212)1(2+=+. ∴S n =21(12+22+…+n 2)+21(1+2+…+n )=21×61n (n +1)(2n +1)+21×=+2)1(n n 4)1(12)12)(1(++++n n n n n . ∴∞→n lim n S n 3=∞→n lim 4)1(12)12)(1(3++++n n n n n n =6. 解法二：由图可知,斜线AB 上方的数分别是二项展开式(a +b )n .当n =2,3,4,…时的二项式系数22C ,23C ,24C ,…,2C n ,…,即这些数组成数列的通项公式为21C +n =2)1(+n n . 以下解法同上. 答案:6三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题8分)f (x )为多项式且∞→x lim 234)(x x x f -=1,0lim →x xx f )(=5,求f (x )的表达式.分析:本题要求深刻理解函数极限定义.根据已知的极限,设出f (x )－4x 3的表达式,利用待定系数法求解.解:∵f (x )是多项式,且∞→x lim 234)(xx x f -=1, ∴可设f (x )－4x 3=x 2+ax +b (a ,b 为待定系数),即f (x )=4x 3+x 2+ax +b . 5分又0lim→x x x f )(=5,即0lim →x (4x 2+x +a +xb)=5.得⎩⎨⎧==.0,5b a 故f (x )=4x 3+x 2+5x .8分16.(本小题10分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a n =5S n －3(n ∈N ),求∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1)的值.分析：由式子a n =5S n －3,易得到a n 与S n 的关系式.由a n =S n －S n －1(n ≥2),利用此式,再对n 进行合适的赋值,便可消去S n ,得到{a n }的递推关系式,进而确定数列{a n },再求∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1).解:a 1=S 1,a n =S n －S n －1(n ≥2). 又已知a n =5S n －3,∴a n －1=5S n －1－3(n ≥2).两式相减,得a n －a n －1=5(S n －S n －1)=5a n (n ≥2). ∴a n =－41a n －1(n ≥2). 3分由a 1=5S 1－3及a 1=S 1,得a 1=43. 可见{a n }是首项为43,公比q =－41的等比数列. 6分 ∴a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1是首项为43,公比为q 2=(－41)2=161的等比数列.8分由于|q 2|<1,∴∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1)=54161143121=-=-q a .10分17.(本小题12分)平面内有n 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,求证:这n 条直线把平面分成f (n )=222++n n 个部分.分析:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当n =k +1时利用归纳假设结合几何知识证明命题成立.证明:①当n =1时,一条直线将平面分成两个部分,而f (1)=22112++=2.∴命题成立.2分②假设当n =k 时,命题成立,即k 条直线把平面分成f (k )=222++k k 个部分.则当n =k +1时,即增加一条直线l ,因为任何两条直线不平行,所以l 与k 条直线都相交有k 个交点；又因为任何三条不共点,所以这k 个交点不同于k 条直线的交点,且k 个交点也互不相同.如此这k 个交点把直线l 分成k +1段,每一段把它所在的平面区域分为两部分,故新增加的平面为k +1个部分. 8分 ∴f (k +1)=f (k )+k +1=222++k k +k +1=22)1()1(2)1(2222++++=++++k k k k k .∴n =k +1时命题成立. 11分由①②知当n ∈N *时,命题成立. 12分 18.(本小题12分)已知数列{a n }、{b n },其中a n =1+3+5+…+(2n +1),b n =2n +4(n ≥5),试问是否存在这样的自然数n ,使得a n =b n 成立？分析：对n 赋值后,比较几对a n 与b n 的大小,可作出合理猜测,再用数学归纳法予以证明. 解:a n =1+3+5+…+(2n +1)=(n +1)2,当n =5时,a 5=36,b 5=25+4=36,此时a 5=b 5; 当n =6时,a 6=49,b 6=26+4=68,此时a 6<b 6; 当n =7时，a 7=64,b 7=27+4=132,此时a 7<b 7; 当n =8时,a 8=81,b 8=28+4=260,此时a 8<b 8. 猜想:当n ≥6时,有a n <b n . 5分下面用数学归纳法证明上述猜想.①当n =6时,显然不等式成立,∴n =6时,不等式a n <b n 成立;②假设当n =k (k ≥6)时,不等式成立,即a k <b k ,也即(k +1)2<2k +4;当n =k +1时，b k +1=2k +1+4=2(2k +4)－4>2(k +1)2－4=2k 2+4k －2,而(2k 2+4k －2)－(k +2)2=k 2－6>0(∵k ≥6,∴k 2≥6), 即2k 2+4k －2>(k +2)2=［(k +1)+1］2.由不等式的传递性,知b k +1>［(k +1)+1］2=a k +1. ∴当n =k +1时,不等式也成立. 11分由①、②可知,对一切n ∈N ,且n ≥6,都有a n <b n .综上所述,可知只有当n =5时,a n =b n ,因此,存在使a n =b n 成立的自然数. 12分 19.(本小题12分)已知数列{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n lim21=n n b a .求极限∞→n lim (332211111b a b a b a +++…+nn b a 1)的值. 分析:首先需求出a n 、b n 的表达式,以确定所求极限的表达式,为此,关键在于求出两个数列的公差,“b 2是a 2与a 3的等差中项”已给出一个等量关系,“a n 与b n 之比的极限为21”又给出了另一个等量关系,故可考虑先设出公差用二元方程组求解.解:设{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2, ∵2b 2=a 2+a 3,即2(2+d 2)=(3+d 1)+(3+2d 1), ∴2d 2－3d 1=2. ①3分又∞→n limn n b a =∞→n lim ,21)1(2)1(32121==-+-+d d d n d n 即d 2=2d 1,②6分联立①、②解得d 1=2,d 2=4.∴a n =a 1+(n －1)d 1=3+(n －1)·2=2n +1, b n =b 1+(n －1)d 2=2+(n －1)·4=4n －2.8分∵)121121(41)24)(12(1+--=-+n n n n , ∴∞→n lim (221111b a b a ++…+n n b a 1)=∞→n lim 41 (1－41)121=+n . 12分。

2018年数学同步优化指导北师大版选修4-4练习：模块综合检测含解析精品

模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程为ρcos θ＋2ρsin θ＝1的直线不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意可知，该直线的直角坐标方程为x ＋2y ＝1，∴该直线不过第三象限．答案：C2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A ．23B ．－23C ．32D ．－32解析：k ＝y －2x －3＝3t －2t ＝－32，故选D.答案：D3．在极坐标系中，点A 的极坐标是(1，π)，点P 是曲线C ：ρ＝2sin θ上的动点，则|P A |的最小值是( )A ．0B ． 2C ．2＋1D ．2－1解析：A 的直角坐标为(－1,0)，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，其圆心为C (0,1)，半径为1，所以|AC |＝2，则|P A |min ＝2－1.答案：D4．曲线x 23＋y 22＝1经过变换φ：⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y后的曲线的参数方程为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3cos θ，y ′＝2sin θ(θ为参数)B.⎩⎨⎧x ′＝3cos θ，y ′＝2sin θ(θ为参数)C ．⎩⎨⎧x ′＝13cos θ，y ′＝12sin θ(θ为参数)D.⎩⎨⎧x ′＝33cos θ，y ′＝22sin θ(θ为参数)解析：设点P (x ， y )为曲线x 23＋y 22＝1上的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y的作用下点P (x ，y )对应的点为P ′(x ′，y ′)，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′，代入x 23＋y 22＝1得3x ′2＋2y ′2＝1，即经过变换后的曲线的方程为x ′213＋y ′212＝1，其参数方程为⎩⎨⎧x ′＝33cos θ，y ′＝22sin θ(θ为参数)．答案：D5．设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是( ) A ．－2 2 B ．－533C ．－3D ．－72解析：a 2＋2b 2＝6，化为a 26＋b 23＝1，化为参数形式⎩⎨⎧a ＝6cos θ，b ＝3sin θ(θ为参数)．∴a ＋b ＝6cos θ＋3sin θ＝3sin(θ＋φ)，其中tan φ＝ 2. ∴a ＋b 的最小值为－3. 答案：C6．已知点(4,2)是直线l 被曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝3sin θ所截的线段中点，则l 的方程是( )A ．x ＋2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝0解析：法一 ∵(4,2)在直线l 上，∴点的坐标满足方程，把点(4,2)的坐标代入四个选项中的直线方程，排除A ，B ，C ．法二曲线化为普通方程是x 236＋y 29＝1.设曲线与l 的交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1， ①x 2236＋y229＝1. ②①－②得136(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－19(y 1－y 2)(y 1＋y 2)． ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－936·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－936×2×42×2＝－12.∴直线l 的斜率为－12，由点斜式方程可得l 的方程．答案：D7．在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎫2，π6与B ⎝⎛⎭⎫2，－π3之间的距离为( ) A ．1 B ．2 2 C ．3D ．4解析：由A ⎝⎛⎭⎫2，π6与B ⎝⎛⎭⎫2，－π3，知∠AOB ＝π2， ∴△AOB 为等腰直角三角形．∴|AB |＝2 2. 答案：B8．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( ) A ．ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4 B ．ρ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4 C ．ρ＝2cos(θ－1)D ．ρ＝2sin(θ－1)解析：由已知得圆心在相应的直角坐标系下的坐标为(cos 1，sin 1)，所以圆在直角坐标下的方程为(x －cos 1)2＋(y －sin 1)2＝1，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，得ρ2－2ρcos(θ－1)＝0.所以ρ＝0或ρ＝2cos(θ－1)，而ρ＝0表示极点，适合方程ρ＝2cos(θ－1)，即圆的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．答案：C9．已知曲线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos 2α2，y ＝12sin α(α为参数)，若以此曲线所在的直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为( )A ．ρ＝sin θB ．ρ＝2sin θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝cos θ解析：由⎩⎨⎧x ＝cos 2α2＝12＋12cos α，y ＝12sin α(α为参数)得普通方程⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，即x 2＋y 2－x ＝0，所以ρ2－ρcos θ＝0.所以极坐标方程为ρ＝cos θ.故选D. 答案：D10．在极坐标系中，直线2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2＋2与圆ρ＝2sin θ的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解析：直线2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2＋2与圆ρ＝2sin θ的直角坐标方程分别为x ＋y ＝2＋1，x 2＋(y －1)2＝1，圆心C (0,1)到直线x ＋y －(2＋1)＝0的距离d ＝|1－(2＋1)|2＝1，所以直线与圆相切．答案：B11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．4解析：把参数方程化为直角坐标方程，直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s 消去s 为x ＝2y ＋1，整理为x －2y －1＝0；直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1消去t 为2x ＝ay ＋a ，整理为2x －ay －a ＝0.若l 1∥l 2，则12＝2a ，得a ＝4.故选D.答案：D12．已知过曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ⎝⎛⎭⎫θ为参数且0≤θ≤π2上一点P 与原点O 的距离为13，则点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫332，52B ．⎝⎛⎭⎫322，522C ．⎝⎛⎭⎫32，532D ．⎝⎛⎭⎫125，125解析：设P (3cos θ，5sin θ)，则|OP |2＝9cos 2θ＋25sin 2θ＝9＋16sin 2θ＝13，得sin 2θ＝14.又0≤θ≤π2，所以sin θ＝12，cos θ＝32.所以x ＝3cos θ＝332，y ＝5sin θ＝52.所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫332，52.故选A ．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________. 解析：由C 1，C 2的普通方程分别为(x －3)2＋y 2＝1， x 2＋y 2＝1，得|AB |的最小值为(3－0)2＋02－2＝1. 答案：114.在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________.解析：将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心坐标为(0,2)．将θ＝π6(ρ∈R )化成直角坐标方程为x －3y ＝0.由点到直线的距离公式可知，圆心(0,2)到直线x －3y ＝0的距离d ＝|0－23|2＝ 3.答案： 315．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点(－2,3)的距离等于2的点的坐标是____________________．解析：由题意，得(－2－2t ＋2)2＋(3＋2t －3)2＝(2)2，解得t ＝±22，代入直线参数方程可得所求的点为(－3,4)或(－1,2)．答案：(－3,4)或(－1,2)16．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32⎝⎛⎭⎫舍去－32. 答案：32三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，5π4，C (ρ，θ)(ρ＞0,0≤θ＜2π)为等边三角形ABC 的三个顶点，求顶点C 的极坐标．解：易知点A ，B 的直角坐标分别为(2，2)，(－2，－2)．设点C 的直角坐标为(x ，y )．由于△ABC 为等边三角形，因此|AB |＝|BC |＝|AC |.∴⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝(2＋2)2＋(2＋2)2，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝(2＋2)2＋(2＋2)2.解得⎩⎨⎧ x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝6，∴点C 的直角坐标为(6，－6)或(－6，6)． ∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－1. ∴θ＝7π4或θ＝3π4.故点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，7π4或⎝⎛⎭⎫23，3π4. 18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m (m ∈R )． (1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．解：(1)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9.由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0. 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. (2)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|1－(－2)＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2. 19．(本小题满分12分)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝3，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝1＋t (t为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．解：曲线C 的直角坐标方程是x 23＋y 2＝1，直线l 的普通方程是x ＋3y －3＝0.设点M 的直角坐标是(3cos θ，sin θ)，则点M 到直线l 的距离是 d ＝|3cos θ＋3sin θ－3|2＝3⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－12.因为－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，即θ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即θ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，d 取得最大值．此时3cos θ＝－62，sin θ＝－22. 所以点M ⎝⎛⎭⎫－62，－22，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6. 综上，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6时，该点到直线l 的距离最大． 20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝3 3.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若射线OM ：θ＝π3(ρ≥0)与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3. 设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2(sin θ2＋3cos θ2)＝33，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝3，θ2＝π3. 由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝2. 所以线段PQ 的长为2.21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t是参数，0≤α＜π)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)当α＝π4时，曲线C 1和C 2相交于M ，N 两点，点P 是直线l ：y ＝－x ＋5与曲线C 1交点，求|PM |＋|PN |的值．解：(1)对于曲线C 1消去参数t ，得当α≠π2时，C 1：y －2＝tan α(x －3)；当α＝π2时，C 1：x ＝3.对于曲线C 2：ρ2＝2ρcos θsin 2θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，则C 2：y 2＝2x .(2)当α＝π4时，曲线C 1的方程为x －y －1＝0，曲线C 1与直线l 的交点P 为(3,2)，所以可设曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)．代入C 2：y 2＝2x ，得12t 2＋2t －2＝0.所以t 1＋t 2＝－22，t 1·t 2＝－4. 又因为点P (3,2)在线段MN 之间，所以|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2| ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2 ＝2 6.22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫0，12，且倾斜角为150°.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＝0(θ为参数，ρ>0)．(1)写出直线l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．解：(1)由已知得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－32t ，y ＝12＋12t(t 为参数)，圆C 的直角坐标方程为x 2＋2x ＋y 2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－32t ，y ＝12＋12t(t 为参数代入x 2＋2x ＋y 2＝0，整理得4t 2＋(2－43)t ＋1＝0. 设方程两根分别为t 1，t 2，则t 1·t 2＝14.根据参数t 的几何意义，得点P 到A ，B 两点的距离之积为|t 1t 2|＝14.。

高考最新-2018年上学期高三同步测控优化训练数学A：概

高中同步测控优化训练(二)第一章概率与统计(B 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.设ξ是离散型随机变量,则下列不能够成为ξ的概率分布的1组数是 A.0,0,0,1,0B.0.1,0.2,0.3,0.4C.p ,1－p (其中p 是实数)D.n n n 1⋅-⋯⋅⋅,)1(1,,321,211 (其中n 是正整数) 分析:本题主要考查任一离散型随机变量的分布列所具有的两个性质： (1)P i ≥0,i =1,2,3...; (2)P 1+P 2+ (1)解:对于A,由于0+0+0+1+0=1,且每个数都大于或等于0,所以这组数可以作为ξ的1种概率分布；对于B,由于0.1+0.2+0.3+0.4=1,且每个数都大于0,所以这组数可以作为ξ的1种概率分布；对于C,虽然p +1－p =1,但是不能保证对任意实数p 和1－p 都是非负数(比如取p =－1),所以这组数不能够作为ξ的概率分布；对于D,由于nn n 1)1(1431321211+⋅-+⋯+⋅+⋅+⋅ =nn n 1)111()4131()3121()211(+--+⋯+-+-+-=1, 且每个数都是非负数,所以这组数也可作为ξ的1种概率分布. 答案:C2.某牧场的10头牛因误食疯牛病毒污染的饲料被感染,已知疯牛病发病的概率为0.18.若发病的牛数为ξ,则D ξ等于A.0.2B.0.196C.0.8D.0.812 分析:本题考查随机变量ξ服从二项分布的方差,即D ξ=npq (其中q =1－p ). 解:由题意可知,发病的牛数ξ服从二项分布, 即D ξ=npq =10×0.18×(1－0.18)=0.196. 答案:B3.抛掷2颗骰子,所得点数之和ξ是一个随机变量,则P (ξ≤4)为A.21 B.31 C.51 D.61 分析:本题考查离散型随机变量和的概率.解:ξ=2对应(1,1)；ξ=3对应(1,2),(2,1)；ξ=4对应(1,3),(2,2),(3,1).故ξ=2,3,4时分别对应1,2,3个基本事件.而整个事件包含36个基本事件,由等可能事件的概率公式,得P (ξ≤4)=P (ξ=2)+P (ξ=3)+P (ξ=4)=61363362361=++. 答案:D4.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点,公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况,记这项调查为②.则完成①、②这两项调查采用的抽样方法依次是A.分层抽样法,系统抽样法B.分层抽样法,简单随机抽样法C.系统抽样法,分层抽样法D.简单随机抽样法,分层抽样法分析:本题主要考查抽样方法等基础知识.无论采取哪种形式的抽样,抽样过程中每个个体被抽取的概率相等.解决此类问题的关键是分清题目的特点,紧扣三种抽样方法的定义去解决.解:完成①采用分层抽样法,完成②采用简单随机抽样法. 答案:B5.某处有供水龙头5个,调查表明每个水龙头被打开的可能性为101,随机变量ξ表示同时被打开的水龙头的个数,则P (ξ=3)为A.0.0181B.0.1829C.0.1825D.0.0182 分析:本题考查n 次独立重复试验中,恰好发生k 次的概率.解:对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有2种可能结果：打开或未打开,相应的概率为0.1或1－0.1=0.9.根据题意ξ~B (5,0.1),从而P (ξ=3)=35C (0.1)3(0.9)2=0.0181.答案:A6.某人从湖中打了一网鱼,共m 条,做上记号,再放入湖中,数日后又打了一网鱼,共n 条,其中k 条有记号,估计湖中有鱼__________条.A.kn B.m ·kn C.m ·nk D.无法估计分析:本题考查用样本的频率分布估计总体的分布. 解:设估计湖中有x 条鱼.由题意可知n kx m =,所以x =k n m ⋅, 即估计湖中有knm ⋅条鱼.答案:B7.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10穴的分蘖数后,计算出样本方差分别为s 甲2=1, s 乙2=3.4,由此可以估计A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较分析:本题考查随机变量的期望与方差.其中期望反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.解:由于测得的两种水稻的穴数相同,s 甲2>s 乙2,所以乙种水稻要比甲种水稻分蘖整齐. 答案:B8.袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数为ξ,则E ξ等于A.4B.5C.4.5D.4.75 分析:本题考查离散型随机变量ξ的数学期望.解题关键是找到ξi 与P i 的对应值. 解:由题意,知ξ取3,4,5.它取每一个值的概率都符合等可能事件的概率公式,即P (ξ=3)=101C 135=, P (ξ=4)=103C C 3523=,P (ξ=5)=106C C 3524=, ∴E ξ=3×101+4×103+5×106=4.5. 答案:C9.从2018名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2018人中剔除4人,剩下的2000人再按系统抽样方法进行,则每人入选的概率A.不全相等B.均不相等C.都相等,且为100225D.都相等,且为401 分析:本题考查抽样过程中每个个体被抽取的概率问题.解:从2018名学生总体中剔除4个个体,每名学生不被剔除的概率是20042000,对于留在总体中的2000个个体,按系统抽样时,每个个体被抽取的概率是200050,由概率乘法公式可知每个个体被抽取的概率p =20042000×100225200450200050==. 答案:C10.若随机变量ξ~N (μ,σ2),且D ξ=1,E ξ=3,则P (－1＜ξ≤1)等于 A.2Φ(1)－1 B.Φ(4)－Φ(2) C.Φ(－4)－Φ(－2) D.Φ(2)－Φ(4) 分析:本题考查正态总体N (μ,σ2)在给定区间内的概率. 解:由于μ、σ分别表示总体的平均数(期望)与标准差, ∴μ=3,σ=ξD =1.∵F (1)=Φ(131-)=Φ(－2)=1－Φ(2), F (－1)=Φ(131--)=Φ(－4)=1－Φ(4),∴F (1)－F (－1)=Φ(－2)－Φ(－4) =1－Φ(2)－1+Φ(4) =Φ(4)－Φ(2). 答案:B第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在横线上)11.已知盒中有3只螺口与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需用一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为__________.分析:本题考查无放回地抽取个体时,每个个体被抽取的概率问题.搞清使用的概率模型是解题的关键.解:设无放回地直到第3次取出卡口灯泡记为事件A ,则P (A )=12078792103=⨯⨯. 答案:120712.设一次试验成功的概率为p ,现进行16次独立重复试验.当p =__________时,成功次数的标准差最大,其最大值为__________.分析:本题考查服从二项分布的随机变量的标准差.解题的关键是构造目标函数. 解:由于成功的次数ξ服从二项分布,所以 D ξ=npq =16p (1－p ).∴σξ=214)1(4)1(16pp p p p p -+⨯≤-=-=2. 当且仅当p =1－p ,即p =21时取等号,此时(σξ)max =2. 另解:σξ=41)21(42+--p ,∵0≤p ≤1,∴当p =21时,(σξ)max =2. 答案:21 2 13.下图是一样本的频率分布直方图,其中(4,7)内的频数为4,数据在［1,4)∪［7,15)内的频率为__________,样本容量为__________.11315数据分析:.注意用相应的直方图面积来表示在各个区间内取值的频率时,解:在(4,7)内的频率为P 1,且31P所以P 1=112.所以数据在［1,4)∪［7,15)内的频率为.119设样本容量为n ,则1124 n ,解得n =22.答案:1192214.某街头小摊,在不下雨的日子可赚到100元,在下雨天则要损失10元.若该地区每年下雨的日子约为130天,则此小摊每天获利的期望值是__________(每年按365天计算).分析:本题考查离散型随机变量ξ的数学期望在实际生活中的应用. 解:由题意可知变量ξ的取值分别为－10,100.∵ξ=－10的概率P (ξ=－10)=365130, ξ=100的概率P (ξ=100)=365235, ∴E ξ=－10×365130+100×365235≈60.82.答案:60.82三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题10分)现要从甲、乙两个技工中选派一人参加技术比武赛,已知他们在同样的条件下每天的产量相等,而出次品的个数的分布列如下：分析:本题考查离散型随机变量的期望与方差在实际生活中的应用.选择比赛选手的依据是看他们技术的高低,而技术的高低取决于出次品的多少与稳定性,即取决于他的期望与方差.分别计算出甲、乙两个技工的数学期望E ξ1、E ξ2,并比较大小.期望越小,次品越少,产品质量平均程度越好；若期望相同,再求出他们的方差,方差越小,产品质量越稳定,技术水平越好.解:E ξ1=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3, 2分 E ξ2=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3. 4分由于E ξ1=E ξ2,所以甲技工与乙技工出现次品数的平均水平基本一致,因而还需考查稳定性. 5分D ξ1=(0－1.3)2×0.1+(1－1.3)2×0.5+(2－1.3)2×0.4=0.41; 7分 D ξ2=(0－1.3)2×0.3+(1－1.3)2×0.3+(2－1.3)2×0.2+(3－1.3)2×0.2=1.21. 9分因为D ξ1＜D ξ2,所以技工乙波动较大,稳定性较差. 综合以上情况,应选派技工甲去参加比赛. 10分16.(本小题10分)进行某种试验,设试验成功的概率为43,失败的概率为41,以ξ表示试验首次成功所需试验的次数,试写出ξ的分布列,并计算ξ取偶数的概率.分析:本题考查如何布列离散型随机变量的分布列,以及如何求它的和的概率.其中ξ=k 表示前(k －1)次试验失败而第k 次试验成功这一事件,ξ服从几何分布.它是相互独立事件同时发生的概率模型.设事件A 1,A 2,…,A n 相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P (A 1·A 2·…·A n )=P (A 1)·P (A 2)·…·P (A n ). 解:随机变量ξ的取值是1,2,3,…,k ,…. 2分∵P (ξ=1)=43, P (ξ=2)=43·(41), P (ξ=3)=43·(41)2,┆ P (ξ=k )=43·(41)k －1, ┆7分取偶数的概率为P =41(43)41(4341433⨯+⋯+⨯+⨯)2m －1+… =)414141(43123⋯++⋯++⨯-m 9分=5116114143=-⨯. 10分17.(本小题12分)人寿保险中的某一年龄段,在一年的保险期内,每个被保险人需交纳保险费a 元,被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元,出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率为p 1,非意外死亡的概率为p 2,则保险费a 需满足什么条件,保险公司才可能盈利？分析:本题考查离散型随机变量的期望在现实生活中的应用.要使保险公司盈利,需使它所收总保险费大于总赔付费,即它的期望大于零.解题的关键是列出分布列,求出数学期望.解:设ξ为保险公司对每一投保人的盈利数,则ξ的可能取值为a ,a －30000,a －10000. 2分且P (ξ=a )=1－p 1－p 2, 4分 P (ξ=a －30000)=p 1, 6分 P (ξ=a －10000)=p 2. 8分E ξ=a (1－p 1－p 2)+(a －30000)p 1+(a －10000)p 2 =a －30000p 1－10000p 2.保险公司要盈利,必须使E ξ＞0.于是a ＞30000p 1+10000p 2. 12分 18.(本小题10分)若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的,如果某地成年男子的身高ξ~N (175,62)(单位：cm),则该地公共汽车门的高度应设计为多高？分析:本题考查正态分布在现实生活中的应用.它是一道已知正态分布函数的值域,而求其自变量范围的题目.解题的关键是找出正确的函数表达式,运用标准正态分布表,求变量的范围.解:设该地公共汽车门的高度应设计为x cm, 则根据题意可知P (ξ≥x )＜1%. 3分 ∵ξ~N (175,62),∴P (ξ≥x )=1－P (ξ＜x )=1－Φ(6175-x )＜0.01. 6分化简,得Φ(6175-x )＞0.99,查表可知6175-x ＞2.33,解得x ＞188.98, 9分即该地公共汽车门至少应设计为189 cm 高. 10分 19.(本小题12分)设一汽车在前进途中要经过4个路口,汽车在每个路口遇到绿灯的概率为43,遇到红灯(禁止通行)的概率为41.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进,ξ表示停车时已经通过的路口数,求:(1)ξ的概率的分布列及期望E ξ;(2)停车时最多已通过3个路口的概率.分析:本题重点考查概率与分布的基础知识.正确确定随机变量的所有可能取值,以及取每一个值的概率是解决本题的关键.解:(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4. 2分用A k 表示“汽车通过第k 个路口时不停(遇绿灯)”,则P (A k )=43(k =1,2,3,4),且A 1,A 2,A 3,A 4独立. 故P (ξ=0)=P (A 1)=41,P (ξ=1)=P (A 1·A 2)=43×41=163,P (ξ=2)=P (A 1·A 2·A 3)=(43)2×41=649,P (ξ=3)=P (A 1·A 2·A 3·A 4)=(43)3×2562741=,P (ξ=4)=P (A 1·A 2·A 3·A 4)=(43)4=25681.7分从而ξ有分布列:8分E ξ=0×2565252568142562736492163141=⨯+⨯+⨯+⨯+. 10分(2)P (ξ≤3)=1－P (ξ=4)=1－25617525681=. 答:停车时最多已通过3个路口的概率为.25617512分。

人教A版18年高二数学选修4-4全册配套试卷-单元质量评估(一)

单元质量评估(一)第一讲(90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.以直角坐标系的O为极点,x轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的单位长度,平面内的点P的极坐标为(3,4),则P在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.平面内的点P的极坐标为(3,4),由于π<4<错误！未找到引用源。

,所以P在第三象限.2.直角坐标为(3-错误！未找到引用源。

,3+错误！未找到引用源。

)的点的极坐标可能是( )A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选B.因为ρ=错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

(ρ>0),点(3-错误！未找到引用源。

,3+错误！未找到引用源。

)在第一象限,tanθ=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=tan错误！未找到引用源。

,所以点(3-错误！未找到引用源。

,3+错误！未找到引用源。

)的极坐标为错误！未找到引用源。

.3.将点的柱坐标错误！未找到引用源。

化为直角坐标为( )A.(错误！未找到引用源。

,1,3)B.(1,错误！未找到引用源。

,3)C.(1,2,3)D.(2,1,3)【解析】选A.设点的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),因为(ρ,θ,z)=错误！未找到引用源。

,由错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。

所以点错误！未找到引用源。

的直角坐标为(错误！未找到引用源。

,1,3). 4.(2016·漳州高二检测)圆ρ=5cosθ-5错误！未找到引用源。

sinθ的圆心坐标是( )A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

【解析】选A.由圆的极坐标方程ρ=5cosθ-5错误！未找到引用源。

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高二数学同步检测四第六章单元测试(A 卷) 第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 1.a 、b∈R ,下列命题中的真命题是( ) A.若a ＞b,则|a|＞|b| B.若a ＞b,则a 1＜b1 C.若a ＞b,则a 3＞b 3D.若a ＞b,则ba＞1 答案:C解析:需对a 、b 的符号进行分析.作为选择题,也可用特殊值代入法求解.对C 选项,因函数y=x 3在(-∞,+∞)上为增函数,由a ＞b,所以a 3＞b 3.O2.不等式ax 2-x+c ＞0的解集为{x|-2＜x ＜1},则函数y=ax 2-x+c 的图象大致是( )答案:A解析:已知-2,1为方程的两根,由韦达定理得a=-1,c=2,从而y=-x 2-x+2.3.已知集合A={x||x-2|＜3,x∈R },集合B={x|x 2+(1-a)x-a ＜0,x∈R },如果B ⊆A,则实数a 的取值范围是( )A.-1≤a≤5B.-1＜a ＜5C.-1≤a＜5D.-1＜a≤5 答案:D解析:A={x|-1＜x ＜5}. x 2+(1-a)x-a=(x-a)(x+1).由B ⊆A 可知,集合A 、B 关系如图所示.∴-1＜a≤5.4.已知a ＞0,a-b+c ＜0,其中a 、b 、c 均是实数,则一定有( ) A.b 2-4ac ＞0 B.b2-4ac≤0 C.b 2-4ac ＜0 D.b 2-4ac≥0答案:A解析:观察题目条件特点,可用构造法解答.设函数y=ax 2+bx+c(a ＞0),则图象的开口向上.由f(-1)=a-b+c ＜0,如右图所示,函数的图象与x 轴有两个交点,即方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实根,所以Δ=b 2-4ac ＞0.5.已知a 、b∈R ,且ab≠0,则在①222b a +≥ab ②b a a b +≥2 ③ab≤(2b a +)2④(2b a +)2≤222b a +这四个不等式中,恒成立的个数是( )A.1B.2C.3D.4 答案:C解析:由a 2+b 2≥2ab(a、b∈R )恒成立,可知222b a +≥ab 成立;当a 、b 符号相反时,a b 、b a 都为负值,不满足baa b +≥2; 由(2b a +)2-ab=424422222b ab a ab b ab a +-=-++4)(2b a -=≥0可知③成立;由4)(4222)2(222222222b a ab b a b a b a b a -=---+=+-+≥0, 可知222b a +≥(2b a +)2成立.6.已知集合M={x|x 1＜2},N={x|(21)x ＞21},则M∩N 等于( ) A.(21,1) B.(-∞,0)∪(21,1)C.(1,+∞)D.(-∞,0)∪(0, 21)答案:B解析:x 1＜2⇔x 1-2＜0⇔x x 21-＜0⇔x ＜0或x ＞21.(21)x ＞21⇔x ＜1.M∩N={x|x＜0或21＜x ＜1}. 7.a ＞0且a≠1,P=log a (a 3+1),Q=log a (a 2+1),则P 、Q 的大小关系是( ) A.P ＜Q B.P ＞QC.a ＞1时P ＞Q,0＜a ＜1时P ＜QD.不能确定答案:B解析:(a 3+1)-(a 2+1)=a 3-a 2=a 2(a-1);当a ＞1时,a 3+1＞a 2+1,P ＞Q;当0＜a ＜1时,a 3+1＜a 2+1,P ＞Q. 8.不等式|x|≥x2的解集是( ) A.(-∞,0) B.［2，+∞］ C.(-∞,0)∪［2,+∞］ D.［-2,0］∪［2,+∞) 答案:C解析:作函数y=|x|与y=x2的图象.由x=x2,得x=2 (x=-2,舍). 所以,不等式的解集为(-∞,0)∪［2,+∞］.9.制作一个面积为1 m 2,形状为直角三角形的铁支架框,有下列四种长度的铁管供选择,较经济(够用,又耗材最少)的是( )A.4.6 mB.4.8 mC.5 mD.5.2 m 答案:C解析:如右图,设Rt△ACB 的两直角边长分别为a 、b,周长为l. 则l=a+b+22b a +.由题意可知,21ab=1,得ab=2. l=a+b+22b a +≥2222=+ab ab +2. 当且仅当a=b,即a=b=2时,取“＝”.所以较经济的是5 m.10.某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家ISP 公司可供选择.公司A 每小时收费1.5元;公司B 的收费原则如图所示,即在用户上网的第1小时内收费1.7元,第2小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时,按17小时计算). 一般来说,一次上网时间不会超过17个小时,所以不妨假设一次上网时间总小于17小时.那么,一次上网在_________以内能够保证选择公司A 比选择公司B 所需费用少.( )A.5小时B.6小时C.7小时D.12小时答案:A解析:假设一次上网x 小时,则公司A 收取的费用为1.5x 元,公司B 收取的费用为20)35(x x -元.如果能够保证选择公司A 比选择B 所需费用少,则20)35(x x -＞1.5x(0＜x ＜17). 整理,得x 2-5x ＜0,解得0＜x ＜5.所以,当一次上网的时间在5小时以内时,选择公司A 的费用少;超过5小时,选择公司B 的费用少.第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)11.若关于x 的不等式x 2-ax-a ＞0的解集为(－∞,+∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2-ax-a≤-3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________. 答案:(-4,0) (-∞,-6］∪［2,+∞)解析:①由x 2-ax-a ＞0恒成立,即y=x 2-ax-a 的图象都在x 轴上方,与x 轴无交点,则Δ=(-a)2-4×(-a)×1＜0,解得-4＜a ＜0.②由x 2-ax-a≤-3的解集不是空集,即x 2-ax-a+3≤0有解,∴y=x 2-ax-a+3的图象与x 轴有交点.∴Δ=(-a)2-4×1×(-a+3)≥0. 解得a≤-6或a≥2.12.若正数a 、b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是_________. 答案:［9,+∞)解析:∵a＞0,b ＞0,∴ab=a+b+3≥2ab +3，即ab-2ab -3≥0.解得ab ≥3或ab ≤-1(舍去). ∴ab≥9(当且仅当a=b=3时，取等号). 13.在下列各命题中: ①|a+b|-|a-b|≤2|b|; ②a＞0,b ＞0且x≠0,则|ax+xb|≥2ab ; ③若|x-y|＜ε,则|x|＜|y|+ε;④当且仅当ab ＜0或ab=0时,|a|-|b|≤|a+b|中的等号成立. 其中真命题的序号为_________. 答案:①②③解析:∵|a+b|-|a-b|≤|(a+b)-(a-b)|=|2b|=2|b|,∴①是真命题. ∵a＞0,b ＞0,x≠0,∴ax 与xb同号. ∴|ax+x b |=|ax|+|x b |≥2ab xbax 2||||=∙. ∴②是真命题.∵|x -y|＜ε,∴|x|-|y|≤|x -y|＜ε. ∴|x|-|y|＜ε.移项得|x|＜|y|+ε, ∴③是真命题.当a=-1,b=2时,有ab ＜0.|a|-|b|=1-2=-1,|a+b|=|-1+2|=1,则此时|a|-|b|≠|a+b|. ∴④是假命题.∴真命题的序号为①②③. 14.不等式ax 2-bx+c ＞0的解集是(-21,2),对于系数a 、b 、c 则有下列结论:①a＞0 ②b＞0 ③c＞0 ④a+b+c＞0 ⑤a -b+c ＞0.其中正确结论的序号是_________.(把你认为正确的结论的序号都填上) 答案:③⑤解析:依据题意,作出函数y=ax 2-bx+c 的简图.由不等式解集的形式可知,函数图象的开口向下,所以a ＜0. 又对称轴x=ab2＞0, ∴b＜0,f(0)=c ＞0.又f(1)=a-b+c ＞0,f(-1)=a+b+c ＜0.故③⑤正确.三、解答题(本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分)已知全集U=R ,A={x|-43x 2+x+1＞0},B={x|3x 2-4x+1＞0},求(A∩B).解:A={x|-43x 2+x+1＞0}={x|3x 2-4x-4＜0}={x|-32＜x ＜2}; B={x|3x 2-4x+1＞0}={x|x ＜31或x ＞1}.如下图.得A∩B={x|-32＜x ＜31或1＜x ＜2}. 所以(A∩B)={x|x≤-32或31≤x≤1或x≥2}.16.(本小题满分8分)解下列各不等式:(1)|x|+|x+1|＜2;(2)|x 2-3x-4|＞x+2. (1)解法一:原不等式等价于1,10,0,(1)21212,x x x x x x x x x <--≤<≥⎧⎧⎧⎨⎨⎨-+-<+-<++<⎩⎩⎩或或即-23＜x ＜-1或-1≤x＜0或0≤x＜21，亦即-23＜x ＜21.则原不等式的解集是(-23，21).解法二:|x+1|表示数轴上P(x)与A(-1)点的距离，|x|表示P(x)与原点的距离，先在数轴上找出|PA|+|PO|=2的点x=-23或x=21，从而确定出在数轴上|PA|+|PO|＜2的点的集合为(-23，21).(2)解法一:原不等式等价于⎩⎨⎧+-<--≥+⎩⎨⎧+>--≥+)2(43,02243,0222x x x x x x x x 或或x+2＜0.解得x ＞2+10或-2≤x＜2-10或1-3＜x ＜1+3或x ＜-2. 原不等式的解集为(-∞，2-10)∪(1-3，1+3)∪(2+10，+∞). 解法二:原不等式等价于x 2-3x-4＞x+2或x 2-3x-4＜-(x+2)，∴x 2-4x-6＞0或x 2-2x-2＜0.则原不等式的解集为(-∞，2-10)∪(2+10，+∞)∪(1-3，1+3).17.(本小题满分9分)已知c ＞0,设P:函数y=c x在R 上单调递减.Q:不等式x+|x-2c|＞1的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确,求c 的取值范围.解:函数y=c x在R 上单调递减⇔0＜c ＜1.不等式x+|x-2c|＞1的解集为R ⇔函数y=x+|x-2c|在R 上恒大于1. ∵x+|x -2c|=⎩⎨⎧<≥-,2,2,2,22c x c c x c x∴函数y=x+|x-2c|在R 上的最小值为2c. ∴不等式x+|x-2c|＞1的解集为R ⇔2c ＞1⇔c ＞21. 如果P 正确,且Q 不正确,则0＜c≤21; 如果P 不正确,且Q 正确,则c≥1.∴c 的取值范围为(0, 21)∪［1,+∞）. 18.(本小题满分9分)解关于x 的不等式3)1(--x x a ＞1(a ＞0).解:原不等式化为(Ⅰ)⎩⎨⎧->->3)1(,3x x a x 或(Ⅱ)⎩⎨⎧-<-<,3)1(,3x x a x即(Ⅰ)3,(1)3x a x a >⎧⎨->-⎩或(Ⅱ) 3,(1) 3.x a x a <⎧⎨-<-⎩(1)当0＜a ＜1时,对于(Ⅰ)有331x a x a >⎧⎪⇒-⎨<⎪-⎩3＜x ＜13--a a ；对于(Ⅱ)有331x a x a <⎧⎪⇒-⎨>⎪-⎩x∈.∴当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x|3＜x ＜13--a a }. (2)当a=1时，得解集为{x|x ＞3}. (3)当a ＞1时，解(Ⅰ)得x ＞3,解(Ⅱ)得x ＜13--a a . ∴不等式的解集为{x|x ＞3或x ＜13--a a }. 19.(本小题满分10分)某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)？ (2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪一种方案较为合算?请说明理由.解:(1)设捕捞n 年后开始盈利，盈利为y 元，则 y=50n-［12n+2)1(-n n ×4］-98 =-2n 2+40n-98.由y ＞0，得n 2-20n+49＜0.∴10-51＜n ＜10+51(n∈N ).∴3≤n≤17. ∴n=3,即捕捞3年后，开始盈利. (2)①平均盈利为n y =-2n-n 98 +40≤-2nn 982∙+40=12，当且仅当2n=n98,即n=7时，年平均利润最大. ∴经过7年捕捞后年平均利润最大，共盈利12×7+26=110万元.②∵y=-2n 2+40n-98=-2(n-10)2+118， ∴当n=10时，y 的最大值为118,即经过10年捕捞盈利额最大，共盈利118+8=110万元.故两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算. 考后评价_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________。

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