莆田第二十四中学2019-2020学年高一数学下学期返校测试卷一､单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若cos 0θ<且tan 0θ<，则2θ终边在( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第一或第三象限D. 第三或第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】分别写出满足cos 0θ<与tan 0θ<的角θ的集合，进一步得到2θ的范围，取交集得答案． 【详解】解：cos 0θ<．∴32222k k πππθπ+<<+，k Z ∈ ∴3424k k πθπππ+<<+，k Z ∈ 即3|,424A x k k k Z πθπππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎩⎭， tan 0θ<．∴2k k ππθππ+<<+，k Z ∈∴24222k k ππθππ+<<+，k Z ∈ 即tan 0θ<的解集为|,24222k k B x k Z ππθππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎩⎭， 则3|,|,|,24222424422k k AB x k Z x k k k Z x k k k Z ππθπππθππθπππππ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=+<<+∈+<<+∈=+<<+∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭可得2θ终边在第一或第三象限． 故选：C ．【点睛】本题考查象限角与等分角，考查交集及其运算，属于基础题． 2.圆224x y +=被直线2y x =+截得的劣弧所对的圆心角的大小为（ ） A. 30 B. 45︒C. 90°D. 120︒【答案】C 【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，解三角形即得解.【详解】设直线和圆相交于A,B两点，圆心为O, 作OC AB⊥,垂足为C.由题得圆心到直线的距离为2221(1)d==+-，因为R=2,所以45AOC∠=，290AOB AOC∠=∠=.故选：C【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.已知向量(2,23)a =，若163a b⋅=-，则b在a上的投影是（）A.34B.34- C.43D.43-【答案】D【解析】【分析】由b在a上的投影为a ba⋅，代入求解即可得解.【详解】由题意b在a上的投影为()2216433223a ba-⋅==-+.故选：D【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.4.“剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过：“数学家的造型，同画家和诗人一样，也应当是美丽的”；古希腊数学家毕达哥拉斯创造的“黄金分割”给我们的生活处处带来美；我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图”.“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则sin2α等于（）A.35B.45C.725D.2425【答案】D【解析】【分析】设直角三角形的两条直角边中较短的边为a,较长的边为b.根据两个正方形的面积,结合勾股定理求得a与b的关系,进而求得sinα和cosα, 再由正弦的二倍角公式即可求得sin2α. 【详解】设直角三角形的两条直角边中较短的边为a,较长的边为b,即a b<因为大正方形的面积为25,小正方形的面积为1所以大正方形的边长为5由勾股定理可知2225a b+=每个直角三角形的面积为()125164⨯-=所以162ab=则2225162a bab⎧+=⎪⎨=⎪⎩解方程组可得34ab=⎧⎨=⎩所以34sin,cos55αα由正弦的二倍角公式可知3424sin22sin cos25525ααα==⨯⨯=故选:D【点睛】本题考查了三角形中三角函数值的求法,正弦的二倍角公式应用,属于基础题.5.如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，EBC 中点，则AE = （ ）A.1122AB AD + B.34AB AD + C.3142AB AD + D.3122AB AD + 【答案】C 【解析】 【分析】设F 为AB 的中点，连接DF ，则四边形BFCD 为平行四边形，则FD BC =，再根据平面向量的线性运算即可得出答案．【详解】解：设F 为AB 的中点，连接DF ，∵//AB CD ，2AB CD =， ∴//BF CD ，且=BF CD ， ∴四边形BFCD 为平行四边形， ∴FD BC =，∴AE AB BE =+12AB BC =+12AB FD =+()12AB FA AD =++1122AB AB AD ⎛⎫=+⋅-+ ⎪⎝⎭3142AB AD =+，故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．6.在△ABC 中，已知AB =3，AC =5，△ABC 的外接圆圆心为O ，则AO BC ⋅=（ ） A. 4 B. 8C. 10D. 16【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，并将O 和AC 中点D ，O 和AB 中点E 连接，从而得到OD AC ⊥，OE AB ⊥，根据数量积的计算公式以及条件即可得出252AO AC ⋅=，92AO AB ⋅=，从而()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-，从而可得到AO BC ⋅的值.【详解】如图，取AC 中点D ，AB 中点E ，并连接OD ，OE ， 则OD AC ⊥，OE AB ⊥，∴212522AO AC AC ⋅==， 21922AO AB AB ⋅==，()259822AO BC AO AC AB AO AC AO AB ∴⋅=⋅-=⋅-⋅=-=. 故选：B【点睛】本题主要考查了数量积的定义、向量的运算法则以及三角形的外心，属于基础题. 7.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，2π0,ϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的图象经过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()1f x =-在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个实数解，则ω的取值范围是（ ）A. 410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 4,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 10,203⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 4,203⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】由函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得6π=ϕ，可得()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()1f x =-，可得423,+=∈πk πx k Z ω，所以()1f x =-的所有正解从小到大为41016333,,⋅⋅⋅πππωωω，()1f x =-在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个实数解，可列出关于ω的不等式组，可得答案.【详解】解：因为()()sin f x x ωϕ=+的图象经过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()1sin 20==f φ， 又因为0,2πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以6π=ϕ， 所以由()sin 16⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭f πωx x ，得3262+=+ππωx k π，即423,+=∈πk πx k Z ω， 所以()1f x =-的所有正解从小到大为41016333,,⋅⋅⋅πππωωω，因为关于x 的方程()1f x =-在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个实数解， 所以5266>-=ππT π，即512>πT ，其中T 为()f x 的最小正周期， 所以2512>ππω，所以1524>ω，所以161651033249>⨯=>ππππω， 所以410336≤≤<ππππωω或101643336<≤≤<πππππωωω.所以843103ωωω⎧⎪≤⎪⎪≥⎨⎪⎪<⎪⎩或820103163ωωωω>⎧⎪≤⎪⎪⎨≥⎪⎪<⎪⎩，所以41033≤<ω，故选:A.【点睛】本题主要考查三角函数的图形与性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题. 8.定义a b c d=ad ﹣bc ，已知函数f （x ）22sin x m cosx=（x ∈[0，π]），若f （x ）的最大值与最小值的和为1，则实数m 的值是（ ）或﹣4﹣B. 4﹣或﹣C. 4﹣D. ﹣【答案】B 【解析】 【分析】先根据定义化简函数，再根据三角函数关系转化为二次函数，根据二次函数性质求最值,最后根据最值和为1求结果. 【详解】2222sin ()2sin cos 22cos cos ,()22,cos cos 2x mf x x m x x m xg t t mt t x x ==-=--=--+=因为[0,]x π∈，所以[1,1]t ∈- ①当14m-≤-时，max min ()(1),()(1),f x g f x g =-= 因为f （x ）的最大值与最小值的和为1，所以(1)(1)101g g -+=∴=，舍去②当14m-≥时，max min ()(1),()(1),f x g f x g ==- 因为f （x ）的最大值与最小值的和为1，所以(1)(1)101g g -+=∴=，舍去③当104m -<-≤时，max min ()(),()(1),4mf xg f x g =-=因为f （x ）的最大值与最小值的和为1，所以2()(1)121448m m g g m m -+=∴-+=∴=±，因为104m-<-≤，所以4m =-④当014m <-<时，max min ()(),()(1),4mf xg f x g =-=-因为f （x ）的最大值与最小值的和为1，所以2()(1)121448m m g g m m -+-=∴++=∴=-±因为014m<-<，所以4m =-+综上：4m =-+4m =-故选：B【点睛】本题考查函数新定义以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.9.函数()2sin cos2f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为（ ）A. ,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式将函数化为()22sin 2sin 1f x x x =-++，进而可得()2132sin 22f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，根据,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】()22132sin cos 22sin 2sin 12sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭，令sin t x = ，由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]0,1t ∈所以213222y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减又sin t x =在,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； sin t x =在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减； 故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的性质以及复合函数的单调性，需熟记正弦三角函数的性质以及复合函数的单调性“同增异减”的特征，此题属于中档题. 10.如果函数3sin(2)6y x πϕ=++的图象关于直线x π=对称,那么ϕ取最小值时ϕ的值为（ ） A.6πB. 3π-C.3π D. 6π-【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的对称性可得262k πππϕπ++=+,整理得162k πϕπ-=+,结合ϕ取最小值时,即可得出ϕ的值.【详解】解: 函数3sin(2)6y x πϕ=++的图象关于直线x π=对称,所以262k πππϕπ++=+,即162k πϕπ-=+, ϕ取最小值时6π=ϕ.故选:A【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的对称性是解决本题的关键. 11.如图所示为函数()()(0,)2f x Asin x πωϕωϕ=+>≤的部分图象，点M ､N 分别为图象的最高点和最低点，点P 为该图象一个对称中心，点(0,1)A 与点B 关于点P 对称，且向量NB 在x 轴上的投影恰为1，29AP =，则()f x 的解析式为（ ）A. ()2363f x sin x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B. ()236f x sin x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()266f x sin x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()2236f x sin x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出OP ，即可得到点P 的坐标，再根据点(0,1)A 与点B 关于点P 对称可得点B 的坐标， 由NB 在x 轴上的投影恰为1可求出函数的周期，由2T πω=求出ω；再将点P 代入解析式求出ϕ，将点(0,1)A 代入解析式求出A 即可. 【详解】在APO △中，1AO = 由勾股定理可得2252OP AP AO =-=，即5,02P ⎛⎫⎪⎝⎭，又点(0,1)A 与点B 关于点P 对称，所以()5,1B -，NB 在x 轴上的投影恰为1，则点N 的横坐标为4，点M 的横坐标为1，()2416T ∴=⨯-=，∴26T πω==，解得3πω=，当52x =时，55sin 0232f A πϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得()26k k Z πϕπ=+∈，由2πϕ≤，则6π=ϕ， 将点(0,1)A 代入解析式，()0sin 016f A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得2A =， 所以()f x 的解析式为()236f x sin x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质、投影的概念，考查考生的用图能力以及运算求解能力，属于中档题.12.已知正三角形ABC 的边长为ABC 内的动点P ，M 满足1AP =，PM MC =，则2BP BM BC ++的最大值是（ ）A.4414B.494D.【答案】A 【解析】 【分析】229||BP BM BC BM ++=，取AC 中点N ，12MN =，得到M 轨迹为圆，转化为求点M 到圆上点距离最大值即可.【详解】解法一：取AC 中点N ，12MN =， 从而M 轨迹为以N 为圆心，12为半径的圆， 229BP BM BC BM ++=B ，N ，M 三点共线时，BM 为最大值.所以BM 最大值为17322+=，2BP BM BC ++的最大值为4414.解法二：如图所示，建立直角坐标系.()0,0B ，()23,0C ，()3,3A，∵点P 满足1AP =，令3cos x θ=+，3sin y θ=+，[)0,2θ∈π.又PM MC =，则33131cos ,sin 2222M θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴229BP BM BC BM++=2233131373339[cos sin 9[cos sin ]222242]2θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭ 37499[3sin ]9434πθ⎛⎫=++≤⨯ ⎪⎝⎭. 2BP BM BC ++的最大值是4414.故选:A.【点睛】本题考查向量线性运算和模长的几何意义，用几何法求模长的最值，考查数形结合思想，属于中档题.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.函数()3tan(2)f x x =-的最小正周期为_________. 【答案】π2【解析】 【分析】首先化简()3tan(2)3tan 2f x x x =-=-.再根据公式T πω=即可求出最小正周期. 【详解】因为函数()3tan(2)3tan2f x x x =-=-.所以最小正周期为：π2T =. 故答案为：π2. 【点睛】本题主要考查了正切函数的最小正周期的求法，属于基础题.14.若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为________________.【答案】2π【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得ϕ的最小值.【详解】解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象.根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭， ∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.15.已知(1,2)a =，(1,1)b =-，则a 与a b +夹角的余弦值为________. 【答案】25【解析】 【分析】根据题意,利用向量坐标的线性运算求出a b +的坐标,分别求出,a a b +,()a b a +⋅,代入夹角公式求解即可.【详解】由题意知,()0,3a b +=,因为(1,2)a =， 所以()01326a b a +⋅=⨯+⨯=, 由向量模的定义知,2222125,033a a b =+=+=+=,由平面向量数量积的夹角公式可得,()625cos 35a b a a a bθ+⋅===⋅+. 故答案为:255【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算及平面向量数量积的坐标表示和夹角公式;考查运算求解能力;熟练掌握平面向量数量积的坐标表示和夹角公式是求解本题的关键;属于中档题.16.如图，已知AC 8=，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ，B ，C)，且BM BN ⊥，则AM CN ⋅的最大值为______．【答案】4 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M ，N 的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得α2β=，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．【详解】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得()A 0,0，()B 4,0，()C 8,0，以AB 为直径的半圆方程为22(x 2)y 4(x 0,y 0)-+=>>， 以AC 为直径的半圆方程为22(x 4)y 16(x 0,y 0)-+=>>， 设()M 22cos α,2sin α+，()N 44cos β,4sin β+，0α<，βπ<，BM BN ⊥，可得()()BM BN 22cos α,2sin α4cos β,4sin β0⋅=-+⋅=，即有()8cos β8cos αcos βsin αsin β0-++=， 即为cos βcos αcos βsin αsin β=+， 即有()cos βcos αβ=-，又0α<，βπ<，可得αββ-=，即α2β=， 则()()AM CN 22cos α,2sin α44cos β,4sin β⋅=+⋅-+()88cos α8cos β8cos αcos βsin αsin β=--+++288cos α16cos β16cos β16cos β=--+=-2116(cos β)42=--+，可得1cos β02-=，即πβ3=，2πα3=时，AM CN ⋅的最大值为4．故答案为4．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了圆的方程与应用问题，建立平面直角坐标系，用坐标表示向量是解题的关键．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭.(1)化简()fα；(2)若α是第三象限角，且()1sin 5απ-=，求()f α的值. 【答案】(1)()cos f αα=-;(2)5. 【解析】 【分析】(1)根据诱导公式直接化简即可; (2)由()1sin 5απ-=,可以利用诱导公式计算出sin α,再根据角所在象限确定cos α,进而得出结论.【详解】(1)根据诱导公式()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin cos sin sin sin ααααα⋅⋅-=⋅cos α=-,所以()cos f αα=-; (2)由诱导公式可知()sin sin απα-=-,即1sin 5α=-, 又α是第三象限角,所以cos α==,所以()=cos f αα-=【点睛】本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆.18.已知向量2,3,326a b a b ==-=. （1）求向量a ，b 的夹角θ； （2）求()()22a b a b +⋅-的值. 【答案】（1）60θ=；（2）1- 【解析】 【分析】（1）根据题意，将326a b -=平方，利用向量的数量积定义，代入2,3a b ==，计算求解即可.（2）由（1）向量夹角θ的值，可得3a b ⋅=，根据向量数量积运算定律，求解即可. 【详解】（1）因为326a b -=， 所以()22232912436a ba ab b -=-⋅+=，所以361223cos 3636θ-⨯⨯+=， 解得1cos 2θ=， 又因为[]0,θπ∈，所以60θ=.（2）由（1）可得 1cos 2332a b a b θ⋅==⨯⨯=， 所以()()2222232a b a b a a b b +⋅-=+⋅-222233231=⨯+⨯-⨯=-.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角、向量数量积的运算，属于基础题. 19.如图，函数2sin()y x πϕ=+，x ∈R 其中02πϕ≤≤的图象与y 轴交于点(0,1)．（1）求ϕ的值；（2）求函数2sin()y=x πϕ+的单调递增区间； （3）求使1y ≥的x 的集合．【答案】（1）6π,（2）2212233k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ,（3）2|22,3x k x k k ⎧⎫≤≤+≡⎨⎬⎩⎭Z 【解析】 【分析】（1）由函数图像过定点，代入运算即可得解； （2）由三角函数的单调增区间的求法求解即可； （3）由1y ≥，求解不等式1sin 62x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即可得解. 【详解】解：（1）因为函数图象过点(0,1)， 所以2sin 1=ϕ，即1sin 2ϕ=．因为02πϕ≤≤，所以6π=ϕ．（2）由（1）得2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当22262k x k ππππππ-+≤+≤+，k Z ∈，即212233k x k -+≤≤+，k Z ∈时， 2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是增函数，故2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为212,233k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（3）由1y ≥，得1sin 62x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 所以522666k x k ππππππ+≤+≤+，k Z ∈，即2223k x k ≤≤+，k Z ∈， 所以1y ≥时，x 的集合为2|22,3x k x k k Z ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查了利用函数图像的性质求解函数解析式，重点考查了三角函数单调区间的求法及解三角不等式，属基础题.20.已知O 为坐标原点，(2cos OA x =，(sin ,1)OB x x =-，()2f x OA OB =⋅+.（1）求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间；（2）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若方程()0f x m +=有根，求m 的取值范围.【答案】（1）单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）[2)m ∈- 【解析】 【分析】（1）通过向量的坐标运算求出()2f x OA OB =⋅+，通过三角公式整理化简，然后可求得其单调区间；（2）将方程()0f x m +=有根转化为()f x m =-在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，求出()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上的值域即可.【详解】（1）()2f x OA OB =⋅+22cos sin 2x x x =+-sin 222x x =++2sin 223x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则此函数单调增区间：222()232k x k k πππ-+π++π∈Z ≤≤，()1212k x k k 5ππ-+π+π∈Z ≤≤， 设5,()1212A k k k Z ππππ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦，[0,]B π=，则70,,1212A B πππ⎡⎤⎡⎤⋂=⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以函数()f x 在[0,]π上的单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若方程()0f x m +=有根， 所以()f x m =-在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得42,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 213x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，则2()4f x -<≤，所以[2)m ∈-.【点睛】本题考查三角函数恒等变形，三角函数的性质，是基础题.21.已知：①函数1()cos sin()(0)64f x x x πωωω=+->； ②向量(3sin ,cos 2)m x x ωω=，11(cos ,)24n x ω=，且0>ω，()f x m n =⋅；③函数1()sin(2)(0,)22f x x πωϕωϕ=+><的图象经过点1(,)62π请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知_________________，且函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）若02πθ<<，且1sin 2θ=，求()f θ的值； （2）求函数()f x 在[0,2]π上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案不唯一 【解析】【分析】（1）选择一个条件，转化条件得1()sin(2)26f x x π=+，由题意可得6πθ=，代入即可得解；（2）令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得x 的取值范围后给k 赋值即可得解. 【详解】方案一：选条件① 因为1()cos sin()64f x x x πωω=+-1cos (sin cos cos sin )664x x x ππωωω=+-211cos cos 24x x x ωωω=+-12cos 244x x ωω=+112cos 2)22x x ωω=+1sin(2)26x πω=+，又22T ππω== ，所以1ω=，所以1()sin(2)26f x x π=+.方案二：选条件②因为(3sin ,cos 2)m x x ωω=，11(cos ,)24n x ω=，所以311()sin cos cos 2sin(2)426f x m n x x x x πωωωω=⋅=+=+. 又22T ππω== ，所以1ω=，所以1()sin(2)26f x x π=+.方案三：选条件③由题意可知，22T ππω== ，所以1ω=，所以1()sin(2)2f x x ϕ=+.又因为函数()f x 图象经过点1(,)62π，所以11sin(2)226πϕ=⨯+.因为||2ϕπ<，所以 6π=ϕ，所以1()sin(2)26f x x π=+.（1）因为02πθ<<，1sin 2θ=，所以 6πθ=.所以11()()sin 6222f f ππθ===.（2）由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =，得263x ππ≤≤，令1k =，得7563x ππ≤≤，所以函数()f x 在[0,2]π上的单调递减区间为2[,]63ππ，75[,]63ππ. 【点睛】本题考查了三角函数图象的综合应用，考查了三角恒等变换的应用和向量数量积的坐标表示，属于中档题.22.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若1BC =，ABC θ∠=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，设ABC ∆的面积为1S ，正方形的面积为2.S(1)用θ表示1S 和2S ；(2)当θ变化时，求12S S 的最小值及此时角θ的大小.【答案】（1）2121sin cos sin cos 41sin cos S S θθθθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭，；（2）最小值944πθ=， 【解析】 【分析】（1）在Rt ABC ∆中，可用,R θ表示,AB AC ，从而可求其面积，利用三角形相似可得PS 的长度，从而可得2S .（2）令sin 2t θ=，从而可得(]21144,0,14t t S t S ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，利用(]4,0,1s t t t=+∈的单调性可求12S S 的最小值. 【详解】（1）在Rt ABC ∆中，cos ,sin AB AC θθ==，所以11sin cos 2S θθ=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. 而BC 边上的高为sin cos sin cos 1θθθθ=，设APS ∆斜边上的为1h ，ABC ∆斜边上的高为2h ， 因APSABC ∆∆，所以12sin cos sin cos h PS PSBC h θθθθ-==， 故sin cos 1sin cos PS θθθθ=+，故222sin cos 1sin cos S PS θθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. （2）()()212221sin cos 2sin 224sin 2sin cos 1si 1sin cos 2sin cos n cos S S θθθθθθθθθθθθ++===⎛⎫ ⎪+⎝⎭，令(]sin 2,0,1t t θ=∈，则()212214444t t S t t S+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭. 令(]4,0,1s t t t=+∈，设任意的1201t t <<≤， 则()()1212121240t t t t s s t t ---=>，故(]4,0,1s t t t=+∈为减函数， 所以min 5s =，故m 12in 94S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时1t =即4πθ=. 【点睛】直角三角形中的内接正方形的问题，可借助于解直角三角形和相似三角形得到各边与角的关系，三角函数式的最值问题，可利用三角变换化简再利用三角函数的性质、换元法等可求原三角函数式的最值.。
