圆的综合练习题答案
1.如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B .
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.
（1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.
∴∠EAB +∠E =90°. ……………………1分 ∵∠E =∠C , ∠C =∠BAD ， ∴∠EAB +∠BAD =90°.
∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………2分
（2）解：由（1）可知∠ABE =90°.
∵AE =2AO =6, AB =4, ∴5222=-=
AB AE BE . …………………………………………………3分
∵∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB ,
∴.cos cos E BAD ∠=∠…………………………………………………4分 ∴.AE BE AD AB = .6
524=AD 即
∴5
5
12=
AD . …………………………………………………5分 2.已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC
于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交 AB 的延长线于点D.
（1）求证：FD 是⊙O 的切线；
（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O
半径的长；
证明：（1）连接OC （如图①）， ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠A.
∵OE ⊥AC ，∴∠A ＋∠AOE ＝90°. ∴∠1＋∠AOE ＝90°.
又∠FCA ＝∠AOE ， 图① ∴∠1＋∠FCA ＝90°. 即∠OCF ＝90°.
∴FD 是⊙O 的切线.……………………………………………………2分
（2）连接BC （如图②），
∵OE ⊥AC ，∴AE ＝EC. 又AO ＝OB ， ∴OE ∥BC 且BC OE 2
1
=
.……………3分 ∴△OEG ∽△CBG.图② ∴
2
1
==CB OE CG OG . ∵OG ＝2，∴CG ＝4.
∴OC ＝6.………………………………………………………………5分 即⊙O 半径是6.
3.如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作⊙O ，交底边BC 于 点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ． （I ）求证：DE 为⊙O 的切线；
（II ）若⊙O 的半径为5，60BAC ∠=，求DE 的长． 解：（I ）证明：连接AD ，连接OD
AB 是直径，∴BC AD ⊥，
又 ABC ∆是等腰三角形，∴D 是BC 的中点． OD AC ∴∥．
DE AC ⊥，DE OD ⊥∴． DE ∴为⊙O 的切线．
（II ）在等腰ABC ∆中，60BAC ∠=，知ABC △是等边三角形．
⊙O 的半径为5，10AB BC ∴==，1
52
CD BC =
=． 53
sin 60DE CD ∴==
4. 如图，△ABC 中，AB =AE ，以AB 为直径
作⊙O 交BE 于C ，过C 作CD ⊥AE 于D ，
DC 的延长线与AB 的延长线交于点P .
（1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若AE =5，BE =6，求DC 的长. （1）证明：连结OC …………………1分 ∵PD ⊥AE 于D ∴∠DCE ＋∠E =900
∵AB=AE , OB =OC
∴∠CBA =∠E =∠BCO 又∵∠DCE =∠PCB ∴∠BCO ＋∠PCB =900
∴PD 是⊙O 的切线 ……………2分 （2）解：连结AC ………………3分 ∵AB=AE =5 AB 是⊙O 的直径
BE =6
∴AC ⊥BE 且EC=BC =3 ∴AC =4
又 ∵∠CBA =∠E ∠EDC =∠ACB =90°
∴△EDC ∽△BCA ………………4分
∴
AC DC =AB
EC
即4DC =5
3∴DC =512
5分
5.在Rt △ABC 中，∠C=90
， BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线
BD 交AC 于点D ， DE ⊥DB 交AB 于点E ，⊙O 是△BDE 的外接
圆，交BC 于点F
（1）求证:AC 是⊙O 的切线;
（2）联结EF ，求
EF
AC
的值. （1） 证明：连结OD ，-------1分 ∵90C ∠=，∴90DBC BDC ∠+∠=． 又∵BD 为∠ABC 的平分线，∴ABD DBC ∠=∠． ∵OB OD =，∴ABD ODB ∠=∠
∴90ODB BDC ∠+∠=，即∴90ODC ∠=-----2分 又∵OD 是⊙O 的半径，
∴AC 是⊙O 的切线． ………………………………………………3分
（2） 解：∵ DE ⊥DB ，⊙O 是Rt △BDE 的外接圆， ∴BE 是⊙O 的直径，
A C
E
O
B
F
D
（第5题）
F
E C
A D o B
A
A 设⊙O 的半径为r ，
在Rt △ABC 中，22222912225AB BC CA =+=+=， ∴15AB =
∵A A ∠=∠，90ADO C ∠=∠=，∴△ADO ∽△ACB ．
∴
AO OD AB BC =．∴15159r r
-=．
∴458r =．∴454
BE = ·············· 4分
又∵BE 是⊙O 的直径．∴90BFE ∠=．∴△BEF ∽△BAC
∴4534154
EF BE AC BA ===．……………………………5分
7. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，E 是AB 延长线上的一点，D 是⊙O 上的一点，且AD 平分∠FAE ，ED ⊥AF 交AF 的延长线于点C ．
（1）判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若AF ∶FC =5∶3，AE =16，求⊙O 的直径AB 的长． 解：（1）直线CE 与⊙O 相切．
证明：如图，连结 OD ．
∵AD 平分∠FAE ， ∴∠CAD =∠DAE ．
∵OA =OD ， ∴∠ODA =∠DAE ． ∴∠CAD =∠ODA ． ∴OD ∥AC ． ∵EC ⊥AC ， ∴OD ⊥EC ．
∴CE 是⊙O 的切线．……………………………………………………………2分
（2）如图，连结BF ．
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AFB =90°． ∵∠C =90°， ∴∠AFB =∠C ． ∴BF ∥EC ．
∴AF ∶AC = AB ∶AE ．
