2015-2016年上海市复旦大学附中高一(上)数学期末试卷及答案

XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。

$\{1\}$ B。

$\{3,5\}$ C。

$\{1,3,4,5\}$ D。

$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。

$22$ B。

$10$ C。

$8$ D。

$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。

$-\frac{3}{4}$ B。

$-\frac{4}{3}$ C。

$\frac{3}{4}$ D。

$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{4}$ B。

$\frac{\pi}{3}$ C。

复旦大学附属中学2016学年第一学期高一年级数学期末考试试卷考试时间100 分钟，满分120 分一、填空题（每题4 分，共48 分）1．函数y log的定义域是．f x 5，x≥02．已知函数f x log 1 x，x 0，则f 2017等于．33．已知函数 f x x 3的定义域是非零实数集，且在，0上是增函数，在0，上是减函数，则最小的正整数a．4．设函数y f x与y g x的图像关于直线y x对称，且f x 1x x ≠1，则g x1x．5．函数y log 0.1 x x 22的递增区间是．6．函数ylg12x1的图像关于对称．7．已知lg2 a，lg3b，用a，b的代数式表示log 2512．8．函数 f x log a x 1 a 0，a≠1的定义域和值域都是0，2，则a．x 2 1，x 19．已知函数f x log1 x，x≥1．若关于x的方程f x k 有三个不同的实数根，则实数k的取值范2围是．a x ，x 110．若f x 4a 2x 2，x≤1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为．1a11．已知函数 y f x 是周期为 2 的周期函数，且当 x 1 1，时， f x2 1x ，则函数F x f x lg x 的零点有 个．12．若实数x 1满足2x 2x 5， x 2 满足2x2log 2x 15，则x 1 x 2 ．二、 选择题（每题 4 分，共 16 分） 13．下列函数中，既是偶函数，又在区间，0上是单调递增的是（ ）A ． y 1x y12 xC ． y ln xD ． y x 314．关于x 的方程 1 x m 有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1或mB ．mC ．D ．15．已知函数 f x x，且 y f1x 1的图象对称中心是0，3，则a的值为（ ）xa1A B ．2C D ．3bc16．设a b c ，，均为正数，且2a log a，12log b，12log 2 c ，则（ ）A ．c a bB ．c b aC ．a b cD ．b a c三、 解答题（本题共 5 大题，满分 56 分） 17．（10 分）已知函数 f x 2log 3 x1≤x ≤9，求函数 y f 2x f 3x 的最大值和最小值．a ex118．（10 分）设函数 f x1e xa R 是R 上的奇函数．k 21 322 ⑴ 求a 的值； ⑵ 求函数 f x的反函数 f1x 的解析式； ⑶ 若k R ，解不等式ln1x ln1x ．1x m m 19．（12 分）若偶函数 f xx 1mZ 在R 上是增函数．⑴ 确定函数 y f x 的解析式；⑵ 求函数 y f x x ，t 的最小值 d t 的解析式；⑶ 设 g xax a1，证明：函数 yg x在R 上是减函数．20．（12 分）对于在区间m ，n 上有意义的两个函数 f x与 g x，如果对任意x m ，n ，均有 f x g x ≤1成立，则称 f x 与g x 在m ，n上是亲近的，否则称 f x 与g x在m ，n 上1是非亲近的．现有两函数 f 1x log a x 3a与 f 2 x log a a 0，a ≠1，给定区间 xaa 2，a 3．⑴ 若 f 1x 与 f2x 在给定区间a 2，a 3上都有意义，求a 的取值范围；⑵ 试讨论 f 1x 与 f 2x 在给定区间a 2，a 3上是否是亲近的．21．（12 分）在R 上的递减函数 f x 满足：当且仅不发x MR ，函数值 f x的集合为0，2且f12 1；对M 中的任意x 1， x 2 都有 f x x12f x1f x2．⑴求证M ，而M ；⑵ 证明： f x 在M 上的反函数 f1x 满足 f1x 1 f1x 2 f1x 1x 2；⑶ 解不等式： f 1x 2 x f1x ，（ x 0，2）。

2015-2016学年上海大学附中高一（上）12月段考数学试卷一.填空题(本大题满分36分）本大题共有12题,只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分. 1．若f（x）=，则f（x)•g（x）= ．2．对于x，y∈R，xy=0是x2+y2=0的条件．3．集合A={y｜y=﹣x2﹣3｝，B={y|y=x2+2x﹣4}，则A∩B=．4．函数f(x）=x+(a＞0）在（0，3］上单调递减，则实数a的取值范围是．5．已知f（x)=｜x+1｜+｜x﹣a|为偶函数，则a= ．6．函数的值域是．7．若函数f（x）=ax+b（a≠0）有一个零点是1，则g （x）=bx2﹣ax的零点是．8．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x)=﹣x2+x，则当x∈（0，+∞)时，f(x）．9．已知函数f(x）=在区间［0,2]上单调递减，则a的取值范围是．10．若函数y=f（x）的值域是，则函数y=f（x）﹣2的最小值是．11．若不等式m2﹣2km≥0对所有k∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是．12．对于函数f(x），若存在x0∈R，使f(x0）=x0，则称x0是f（x)的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4在［1，3]恒有两个不同的不动点,则实数a的取值范围．二．选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的,选对得4分，否则一律得零分。

13．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是( ）A． B．C．a2＜b2D．|a｜＞|b| 14．下列函数中，与y=x﹣1为同一函数的是（）A．y=B．y=C．y=D．15．设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题:①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x)≤M，则M是函数f(x）的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；③若存在x0∈R,使得对任意x∈R，有f(x）≤f(x0），则f（x0）是函数f（x)的最大值．这些命题中，真命题的个数是（)A．0 B．1 C．2 D．316．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0）,x2∈（x0,+∞），则（)A．f（x1）＜0,f(x2）＜0 B．f(x1）＜0,f（x2）＞0 C．f （x1）＞0,f（x2）＜0 D．f（x1）＞0,f(x2）＞0三、解答题（本大题满分48分)本大题有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.(6+8+10+10+14）17．已知关于x的方程有非负根，求实数a 的取值范围．18．若集合A=，若B⊆A，求实数m的取值范围．19．已知幂函数（m∈Z)的图象关于y轴对称，且g（2）＜g(3）(1）求m的值和函数g（x）的解析式；(2)函数f（x)=ag（x)+a2x+3(a∈R）在区间［﹣2，﹣1]上是单调递增函数，求实数a的取值范围．20．设函数f（x)=2x﹣1﹣1．(1）分别作出y=f（|x｜)和y=｜f(x）|的图象，（2）求实数a的取值范围，使得方程f（｜x|）=a与|f(x）|=a都有且仅有两个实数解．21．对于函数f1(x）,f2（x）,h（x）,如果存在实数a，b 使得h（x）=a•f1(x)+b•f2（x），那么称h（x）为f1(x），f2（x)的生成函数．（1)函数f1（x）=x2﹣x，f2（x)=x2+x+1，h(x）=x2﹣x+1，h(x）是否为f1（x），f2(x)的生成函数？说明理由;（2）设f1(x)=1﹣x，f2（x)=，当a=b=1时生成函数h(x),求h(x）的对称中心（不必证明）;（3）设f1（x）=x，(x≥2）,取a=2,b＞0,生成函数h（x），若函数h（x）的最小值是5，求实数b的值．2015—2016学年上海大学附中高一（上）12月段考数学试卷参考答案与试题解析一。

复旦大学附属中学2015学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空题（每题4分，共48分）1.函数2y x=-的定义域为______．2.已知,a b ∈R ，写出命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题__________.3.已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.4.已知集合3|11A x x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭，≥，则集合A 的子集个数为______个．5.已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且0x >时，2()23f x x x =+-，则0x <时，()f x =________6.已知函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R （R 为实数集），则k 的取值范围为_________7.若a b ，为非零实数，则不等式①232a a +>，②4433a b a b ab ++≥，③a b a b +-≥，④2b aa b+≥中恒成立的序号是_______．8.已知定义在R 上的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()()210f x g x a x x a +=>++，若()113f =-，则a =__________．9.关于x 的方程()2290x a x a a R ++-=∈有唯一的实数根，则a =________．10.对于任意集合X 与Y ，定义：①{}|X Y x x X x Y -=∈∉且，②()()X Y X Y Y X =--△∪，（X Y △称为X 与Y 的对称差）．已知{}{}2|2|33A y y x x x R B y y ==-∈=-，，≤≤，则A B =△______．11.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是________．12.若a 、b R ∈，且2249a b +≤≤，则22a ab b -+的最大值与最小值之和是________．二、选择题（每题4分，共16分）13.已知函数(1)=-y f x 的定义域为[0,1],则(1)f x +的定义域为（）A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[2,3]14.给出三个条件：①22ac bc >；②a bc c>；③a b >；④1a b >-．其中能分别成为a b >的充分条件的个数为（）A.0B.1C.2D.315.已知{}()(){}||330A x x B x x x =>=-+>，，则A B = （）A.()21-， B.()3-∞-， C.()2-∞，D.()01，16.非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法；（2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法；（4）{}|G x x a a b Q ==+∈，，⊕：实数的乘法．A.1 B.2 C.3 D.4三、解答题（本题共5大题，满分56分）17.已知集合{}{}211|0A B x x ax b x R =-=++=∈，，，，若B ≠∅，且A B A ⋃=，求实数a b ，的值．18.已知二次函数()2f x ax bx =+对任意x ∈R 均有()()2f x f x =--成立，且函数的图像过点312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x t x -≤的解集为[]4m ，，求实数t 、m 的值．19.已知a R ∈，设集合(){}22|619320A x x a x a a =-+++-<，{}|10B x x a =-+≥．（1）当1a =时，求集合B ．（2）问：12a ≥是A B =∅ 的什么条件．（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．20.设函数()f x x a a=++．（a R ∈且0a ≠）（1）分别判断当1a =及2a =-时函数的奇偶性；（2）在a R ∈且0a ≠的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．21.已知关于x 不等式()()241292110kx k k x ---->，其中k ∈R ．（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A B =Z （其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少时k 的取值范围，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．复旦大学附属中学2015学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空题（每题4分，共48分）1.函数y =的定义域为______．【答案】[1,2)(2,)-+∞ 【分析】由解析式有意义求解．【详解】由题意1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且2x ≠．故答案为：[1,2)(2,)-+∞ ．【点睛】本题考查求函数定义域，属于基础题．2.已知,a b ∈R ，写出命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题__________.【答案】若0ab =，则220a b -≤【分析】根据否命题的形式写出即可.【详解】命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题是“若0ab =，则220a b -≤”故答案为若0ab =，则220a b -≤【点睛】本题主要考查了否命题的形式，属于基础题.3.已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.【答案】2【分析】由2xy =，解出2y x=，代入224x y +中，化简利用基本不等式即可求出x 的值.【详解】因为2xy =，所以2y x=222222216448x y x x x x ⎛⎫+= =++≥⎝⎭=⎪当且仅当2216x x=，即2x =时，224x y +取得最小值.故答案为2【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用，注意基本不等式使用的条件，考查学生利用知识分析和解决问题的能力，属于基础题.4.已知集合3|11A x x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭，≥，则集合A 的子集个数为______个．【答案】8【分析】求出集合A 中元素，由子集的定义求解．【详解】3|11A x x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭，≥{012}=，，，子集个数为328=．故答案为：8.【点睛】本题考查求子集个数，掌握子集概念是解题关键．，含有n 元素的集合的子集个数为2n ．5.已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且0x >时，2()23f x x x =+-，则0x <时，()f x =________【答案】223x x -++【分析】求0x <的解析式()f x ，可先求出()f x -的解析式，再利用奇函数()f x 与()f x -的关系求出()f x .【详解】设0x <，则0x ->，所以2()23f x x x -=--，又因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()2()23f x f x x x =--=-++.故答案为223x x -++.【点睛】本题主要考查利用奇偶性求解函数的解析式，主要利用转化法把所求转化到已知区间，结合奇偶性可得，侧重考查数学抽象的核心素养.6.已知函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R （R 为实数集），则k 的取值范围为_________【答案】3[0,4【分析】由函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R ，转化为2430kx kx ++≠在R 上恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【详解】由题意，函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R ，即2430kx kx ++≠在R 上恒成立，当0k =时，30≠恒成立，当0k ≠时，则满足2(4)430k k ∆=-⨯⨯<，即2430k k ∆=-<，解得304k <<，综上可得，实数k 的取值范围是3[0,4.故答案为：3[0,4.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的定义，以及一元二次式的恒成立问题，其中解答中合理转化，结合二次函数的性质，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若a b ，为非零实数，则不等式①232a a +>，②4433a b a b ab ++≥，③a b a b +-≥，④2b aa b+≥中恒成立的序号是_______．【答案】①②【分析】用作差法比较大小证明不等式，举反例说明不等式不成立．【详解】2232(1)20a a a +-=-+>，232a a +>恒成立，①正确；44333322222213()()()()()[()]024a b a b ab a b a b a b a ab b a b a b b +--=--=-++=-++≥，∴4433a b a b ab ++≥恒成立，②正确；2,1a b ==-时，③④均不成立，故答案为：①②．【点睛】本题考查不等式的性质，作差法是证明不等式的基本方法，必须掌握．对不恒成立的不等式可通过举反例说明，较方便．8.已知定义在R 上的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()()210f x g x a x x a +=>++，若()113f =-，则a =__________．【答案】1【分析】由奇偶性求出(),()f x g x ，再由(1)f 求得a ．【详解】∵()()21f xg x x x a +=++，①，∴21()()f x g x x x a-+-=-+，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴21()()f x g x x x a-+=-+，②，（①-②）除以2，得22111()(2f x x x a x x a=-++-+，∴1111(1)(223f a a =-=-+，∵0a >，∴1a =．故答案为：1.【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性定义是解题关键．9.关于x 的方程()2290x a x a a R ++-=∈有唯一的实数根，则a =________．【答案】3【分析】考虑绝对值的性质，方程的唯一实根只能是0，即0x =，由此分析可得结论．【详解】方程2290x a x a ++-=为2290x a x a ++-=，因此原方程有唯一实根，则0x =，290a -=，3a =±，3a =-时，方程为230x x -=，x =0或3，不合题意，3a =时，方程为230x x +=，0x =，3x =-舍去．故答案为：3.【点睛】本题考查方程根的分布，根据绝对值的性质易得结论．10.对于任意集合X 与Y ，定义：①{}|X Y x x X x Y -=∈∉且，②()()X Y X Y Y X =--△∪，（X Y △称为X 与Y 的对称差）．已知{}{}2|2|33A y y x x x R B y y ==-∈=-，，≤≤，则A B =△______．【答案】[3,1)(3,)--+∞ 【分析】先求出A B -和B A -，再计算A B∆【详解】由已知{|1}A y y =≥-，则{|3}(3,)A B y y -=>=+∞，{|31}[3,1)B A y y -=-≤<-=--，∴()()[3,1)(3,)A B A B B A ∆=--=--+∞ ，故答案为：[3,1)(3,)--+∞ 【点睛】本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义运算，把新运算转化为集合的运算．11.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是________．【答案】4a >-【分析】根据A B =∅ 可知，A =∅或方程2(2)10x a x +++=只有非正根，由此可解得a 的范围.【详解】分A ≠∅和A =∅两种情况讨论．①当A ≠∅时，A 中的元素为非正数，A B =∅ ，即方程2(2)10x a x +++=只有非正数解，所以2(2)40,(2)0,a a ⎧∆=+-≥⎨-+≤⎩解得0a ≥；②当A =∅时，2(2)40a ∆=+-<，解得40a -<<．综上所述，实数a 的取值范围是4a >-．故答案为：4a >-【点睛】当A B =∅ 时，包含A ≠∅和A =∅两种情况，A =∅容易被忽略.12.若a 、b R ∈，且2249a b +≤≤，则22a ab b -+的最大值与最小值之和是________．【答案】312【分析】用三角换元法，转化为求三角函数的最值．【详解】设cos ,sin a r b r θθ==，则23r ≤≤，2222222221cos sin cos sin sin 22a ab b r r r r r θθθθθ-+=-+=-21(1sin 2)2r θ=-，因为1131sin 2222θ≤-≤，249r ≤≤，∴21272(1sin 2)22r θ≤-≤．即22a ab b -+的最大值为272，最小值为2，和为312．故答案为：312．【点睛】本题考查由已知条件求最值，解题关键是三角换元，换元后可把两个变量分开，分别求得最值，再结合求得结论．二、选择题（每题4分，共16分）13.已知函数(1)=-y f x 的定义域为[0,1],则(1)f x +的定义域为（）A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[2,3]【答案】A 【分析】由题意首先求得函数()f x 的定义域，然后求解函数(1)f x +的定义域即可.【详解】由题意可得，函数()f x 的定义域为：[]1,0-，则函数()1f x +的定义域满足：110x -≤+≤，解得：21x -≤≤-，表示为区间形式即[]2,1--.故选A .【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域，属于中等题.14.给出三个条件：①22ac bc >；②a bc c>；③a b >；④1a b >-．其中能分别成为a b >的充分条件的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【分析】根据不等式的性质作答．【详解】由22ac bc >能得出a b >，由a bc c >不能得出a b >（0c <时不成立），a b >，显然有a b >（原因是b b ≥），1a b >-时可能有a b <，如12a b =-，因此有两个，①③满足题意．故选：C.【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题基础．15.已知{}()(){}||330A x x B x x x =>=-+>，，则A B = （）A.()21-， B.()3-∞-， C.()2-∞， D.()01，【答案】B 【分析】求出集合,A B 后可求其交集．【详解】由20x -≥得2x ≤，当0x ≤x >显然成立，当02x <≤时，由x >得22x x ->，解得01x <<，∴(,1)A =-∞，又()(){}|330B x x x =-+>(,3)(3,)=-∞-+∞ ，∴(,3)A B =-∞- ．故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是正确解无理不等式．16.非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法；（2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法；（4）{}|G x x a a b Q ==+∈，，⊕：实数的乘法．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B 【分析】根据新定义运算⊕判断．【详解】（1）任意两个非负整数的和仍然是非负整数，对任意a G ∈，0G ∈，00a a a +=+=，（1）正确；（2）任意两个偶数的积仍然是偶数，但不存在e G ∈，对任意a G ∈，使ae ea a ==，（2）错误；（3）21x x -+和21x x +-是两个二次三项式，它们的积2242(1)(1)21x x x x x x x -++-=-+-不是二次三项式，（3）错误；（4）设x a y c =+=+，,,,a b c d Q ∈，则2(xy ac bd ad bc G =+++，而且1G ∈，11x x x ⋅=⋅=，（4）正确．∴正确的有2个．故选：B.【点睛】本题考查新定义，解题关键是对新定义的理解与应用．三、解答题（本题共5大题，满分56分）17.已知集合{}{}211|0A B x x ax b x R =-=++=∈，，，，若B ≠∅，且A B A ⋃=，求实数a b ，的值．【答案】21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩．【分析】A B A ⋃=得B A ⊆，结合B ≠∅，可根据B 的各种情形分类讨论．【详解】由A B A ⋃=得B A ⊆，由于B ≠∅，∴{1}B =-或者{1}B =或者{1,1}B =-，若{1}B =-，则111(1)a b --=-⎧⎨-⨯-=⎩，即21a b =⎧⎨=⎩，若{1}B =，则1111a b +=-⎧⎨⨯=⎩，即21a b =-⎧⎨=⎩，若{11}B =-，，则1111a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩，即01a b =⎧⎨=-⎩，综上，21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查集合的并集，考查集合间的包含关系，解题关键是根据包含关系确定集合B 中各种可能．18.已知二次函数()2f x ax bx =+对任意x ∈R 均有()()2f x f x =--成立，且函数的图像过点312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x t x -≤的解集为[]4m ，，求实数t 、m 的值．【答案】（1）21()2f x x x =+；（2）812t m =⎧⎨=⎩．【分析】（1）由()()2f x f x =--得出对称轴，结合点A 坐标可求得,a b ；（2）变形()f x t x -≤得21()02x t t --≤，显然0t >，直接解此不等式，由其解集为[4,]m 可求得,t m ．【详解】∵()()2f x f x =--，∴1x =-是()f x 图象的对称轴，又函数图象过点3(1,)2A ，∴1232baa b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴21()2f x x x =+；（2）2211()()()22f x t x x t x t x x t t --=-+--=--，由题意21()02x t t --≤的解集是[4,]m ，所以0t >，且由21()02x t t --≤得t x t -≤≤+∴4t t m⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得812t m =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查求二次函数解析式，考查解一元二次不等式，掌握二次函数的性质是解题基础．19.已知a R ∈，设集合(){}22|619320A x x a x a a =-+++-<，{}|10B x x a =-+≥．（1）当1a =时，求集合B ．（2）问：12a ≥是A B =∅ 的什么条件．（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．【答案】（1）[2,0]B =-；（2）充分非必要条件．【分析】（1）根据绝对值的性质解不等式得集合B ；（2）解不等式得集合,A B ，由A B =∅ 求出a 的范围，再判断是什么条件．【详解】（1）由110x -+≥得11x +≤，111x -≤+≤，20x -≤≤，所以[2,0]B =-；（2）由题意(31,32)A a a =-+，[1,1]B a a =---+，若A B =∅ ，则321a a +≤--或311a a -≥-+，解得34a ≤-或12a ≥．∴12a ≥是A B =∅ 的充分非必要条件．【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查解一元二次不等式，考查充分必要条件的判断，掌握集合的包含关系与充分必要条件之间的联系是解题关键．20.设函数()f x =．（a R ∈且0a ≠）（1）分别判断当1a =及2a =-时函数的奇偶性；（2）在a R ∈且0a ≠的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．【答案】（1）1a =时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，2a =-时，()f x 是奇函数．；（2）0a >时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，()f x 是奇函数．证明见解析．【分析】（1）根据奇偶性定义判断；（2）0a >时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，()f x 是奇函数．根据奇偶性定义证明即可．【详解】（1）1a =时，1()11f x x =++，定义域为210110x x ⎧-≥⎪⎨++≠⎪⎩，11x -≤≤，此时()2x f x x =+，()2x f x x -=-+，()()f x f x -≠-且()()f x f x -≠，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，2a =-时，()22f x x =--，定义域为240220x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，22x -≤≤且0x ≠，此时()22f x x x ==---，()()f x f x x-==-，()f x 是奇函数．（2）0a >时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，()f x 是奇函数．与（1）类似，0a >时，由2200a x x a a ⎧-≥⎪⎨++≠⎪⎩，得函数定义域是[,]a a -，()2f x x a =+，()2f x x a -=-+与()f x 既不相等也不是相反数，因此()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，由2200a x x a a ⎧-≥⎪⎨++≠⎪⎩，得定义域是[,0)(0,]a a - ，()a x f x x =-，()()a x f x f x x -==-，()f x 是奇函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性定义是解题基础．判断奇偶性时应先确定函数定义域，在定义域内函数有时可化简，从而易于判断．21.已知关于x 不等式()()241292110kx k k x ---->，其中k ∈R ．（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A B =Z （其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少时k 的取值范围，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．【答案】（1）k 0<时，212911(,)42k k A k ++=，0k =时，11(,)2A =-∞，01k <<或9k >时，211129(,)(,)24k k A k ++=-∞+∞ ，19k ≤≤时，212911(,)()42k k A k ++=-∞+∞ ．（2）k 0<，B 能为有限集；44k -<<-B 中元素个数最少，{2,3,4,5}B =．【分析】（1）对k 分类讨论，利用解一元二次不等式的解法可得；（2）根据A B =Z （其中Z 为整数集）．集合B 为有限集，可得，求出21294k k k++最大值可得集合B 元素个数最少时的集合．【详解】（1）0k =时，不等式为9(211)0x -->．112x <，∴11(,2A =-∞，（2）k 0<时，()21294(21104k k k x x k++-->，又方程()21294()211=04k k k x x k ++--两根为211294k k x k++=，2112x =k 0<时，由对勾函数图象知2112919311()34422k k x k k k ++==++≤<，所以21291142k k x k ++<<，212911(,)42k k A k ++=，（3）0k >时，由21291142k k k ++>得01k <<或9k >，不等式的解为112x <或21294k k x k++>，211129(,)(,)24k k A k++=-∞+∞ ，当19k ≤≤时，21291142k k k ++<，不等式的解为112x >或21294k k x k++<，212911(,)(,)42k k A k ++=-∞+∞ ．综上，k 0<时，212911(,)42k k A k ++=，0k =时，11(,)2A =-∞，01k <<或9k >时，211129(,)(,)24k k A k++=-∞+∞ ，19k ≤≤时，212911(,)(,)42k k A k ++=-∞+∞ ．（2）∵A B =Z （其中Z 为整数集）．集合B 能为有限集，当0k =时，11(,2A =-∞，此时AB =Z 中有无限个整数，不合题意，舍去；当01k <<或9k >，211129(,(,)24k k A k++=-∞+∞ ，此时A B =Z 中有无限个整数，不合题意，舍去；当19k ≤≤时，212911(,)()42k k A k ++=-∞+∞ ，此时A B =Z 中有无限个整数，不合题意，舍去；当k 0<，212919()344k k k k k++=++,由对勾函数，知函数19(34y k k =++在(,3)-∞-上递增，在(3,0)-上递减，∴3k =-时，19()34y k k =++的最大值为193(3)3432y =-++=-，231112911(,)()2242k k k ++∴⊆，所以当21293142k k k ++<≤,即44k --<<-+B 中元素最少时，{2,3,4,5}B =．【点睛】本题考查解含参数的一元二次不等式，解题时需分类讨论，属于中档题．。

2015-2016学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（每题4分）1．（4.00分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“ｆ（x），g（x）均为偶函数”是“ｈ（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件2．（4.00分）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+8）函数为偶函数，则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）3．（4.00分）已知函数y=log2x的反函数是y=f﹣1（x），则函数y=f﹣1（1﹣x）的图象是（）A．B．C．D．4．（4.00分）方程3x+4x=6x解的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．（4.00分）设函数f（x）=﹣（x∈R），区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数多个6．（4.00分）对于定义在D上的函数f（x），点A（m，n）是f（x）图象的一个对称中心的充要条件是：对任意x∈D都有f（x）+f（2m﹣x）=2n，现给出下列三个函数：（1）f（x）=x3+2x2+3x+4（2）（3）这三个函数中，图象存在对称中心的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题（每题3分）7．（3.00分）若函数y=a x（a＞0，a≠1）在区间x∈[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为．8．（3.00分）设g（x）=，则g（g（））=．9．（3.00分）已知函数y=f（x+1）的定义域为[1，3]，则f（x2）的定义域为．10．（3.00分）函数y=的值域是．11．（3.00分）幂函数f（x）=（t3﹣t+1）x3t+1是偶函数，且在（0，1）上单调递增，则f（2）=．12．（3.00分）设f（x）=log3（x+6）的反函数为f﹣1（x），若〔f﹣1（m）+6〕〔f﹣1（n）+6〕=27，则f（m+n）=．13．（3.00分）函数y=|x|﹣的值域是．14．（3.00分）已知函数，若?x1，x2∈R，x1≠x2，使得f （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．15．（3.00分）函数的单调递增区间是．16．（3.00分）已知f（x）=在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．17．（3.00分）已知a，b∈R，函数f（x）=|x﹣a|+|a﹣|是偶函数，则2015﹣3ab2的取值范围是．18．（3.00分）若实数x0满足f（x0）=x0，称x0为函数f（x）的不动点．有下面三个命题：（1）若f（x）是二次函数，且没有不动点，则函数f（f（x））也没有不动点；（2）若f（x）是二次函数，则函数f（f（x））可能有4个不动点；（3）若f（x）的不动点的个数是2，则f（f（x））的不动点的个数不可能是3．它们中所有真命题的序号是．三、解答题（8+6+8+8+10）：。

2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，则使N⊊M成立的a的值是．2．不等式，当且仅当a=时，等号成立．3．已知函数g（x）=x﹣，那么函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式是f（x）=．4．求值：=．5．函数的定义域为．6．函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为．7．设函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），若f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，则a+b=．8．函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（﹣1）=f（3），则f（2）的值为．9．若函数y=的反函数的图象的对称中心是点（1，3），则实数a的值为．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是．11．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足的所有的x的和为．12．定义两种运算：a⊕b=，则函数f（x）=的奇偶性为．二、选择题（每题4分，共16分）13．“a=0”是“函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．若函数f（x）在（4，+∞）上为减函数，且对任意的x∈R，有f（4+x）=f（4﹣x），则（）A．f（2）＞f（3） B．f（2）＞f（5）C．f（3）＞f（5）D．f（3）＞f（6）15．已知函数f（x）=（）x﹣log2x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为负值B．等于0 C．恒为正值D．不大于016．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个三、解答题17．已知log a484=m，log a88=n，试用m、n表示log211．18．f（x）=（1）作出函数的大致图象；（2）求不等式f（x）＞f（1）的解集．19．如果函数y=x+的最小值为6，求b的值．20．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？21．已知函数f（x）=为奇函数，（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）解关于x的不等式：f﹣1（x）＞log2．22．已知函数，其中x＞0．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b），求ab的取值范围；（2）是否存在实数a、b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由；（3）若存在a、b（a＜b），使得y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0），求m的取值范围．2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，则使N⊊M成立的a的值是﹣1．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：由真子集的定义即知N的元素都是集合M的元素，从而分别让a取﹣1，0，1，看得到的集合N能否满足N⊊M，以及能否符合集合元素的性质，从而便得到a的值．解答：解：N⊊M，∴N的元素都是M的元素；若a=0，1时，显然不满足集合的互异性；若a=﹣1，则N={﹣1，1}，满足N⊊M；∴a的值是﹣1．故答案为：﹣1．点评：考查列举法表示集合，真子集的定义，以及集合元素的性质．2．不等式，当且仅当a=±1时，等号成立．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：不等式，当且仅当a2=1，即a=±1时，等号成立．故答案为：±1．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．3．已知函数g（x）=x﹣，那么函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式是f（x）=x+，（x≥﹣，且x≠0）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知，求出函数g（x），h（x）的定义域，进而可得函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式．解答：解：∵函数g（x）=x﹣，（x≥﹣），h（x）=，（x≥﹣，且x≠0）∴函数f（x）=g（x）+h（x）=x+，（x≥﹣，且x≠0）故答案为：x+，（x≥﹣，且x≠0）点评：本题考查的知识点是函数的解析式及求法，函数的定义域，解答时一定要注意两个基本函数定义域对复合函数定义域的影响．4．求值：=4．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用有理指数幂的运算性质及对数的运算性质计算．解答：解：===．故答案为：4．点评：本题考查对数的运算性质，关键是对对数运算法则的记忆与运用，是基础题．5．函数的定义域为（0，7）．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据使函数的解析式有意义的原则，我们可以构造出自变量x的不等式组，解不等式组，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域．解答：解：要使函数的解析式有意义，自变量必须满足：解得：0＜x＜7故函数的定义域为（0，7）故答案为：（0，7）点评：本题考查的知识点是对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，其中正确理解，求函数的定义域即求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围，是解答本题的关键．6．函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．解答：解：由y=x2+1（x≤﹣1），得x2=y﹣1，∴x=（y≥2），x，y互换得：（x≥2），∴函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2），故答案为：（x≥2）．点评：本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．7．设函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），若f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，则a+b=3．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（﹣1）=0，可得b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立，可得恒成立，可求出a，b的值；解答：解：∵函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0即b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立∴恒成立，即（a+1）2﹣4a≤0，可得（a﹣1）2≤0恒成立∴a=1，b=2；a+b=3．故答案为：3．点评：本题考查了函数的恒成立问题及二次函数的性质的应用，难度一般，关键是掌握二次函数的性质．8．函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（﹣1）=f（3），则f（2）的值为6．考点：函数的值；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：由题意应对a进行分类：a=0时和a≠0时，再由条件分别判断出函数为常函数和二次函数的对称轴，再由函数的性质求值．解答：解：①当a=0时，∵f（﹣1）=f（3），∴函数f（x）是常函数，即a=b=0，∴f（x）=6，则f（2）=6，②当a≠0时，则函数f（x）是二次函数，∵f（﹣1）=f（3），∴f（x）的对称轴是：x=1，∴f（2）=f（0）=6，综上得，f（0）=6故答案为：6．点评：本题考查了利用常函数和二次函数的性质求值，特别再求出对称轴后，不用a和b的值直接由f（2）=f（0）求解，易错点易忘对a进行讨论．9．若函数y=的反函数的图象的对称中心是点（1，3），则实数a的值为3．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数f（x）=的对称中心是（3，1），再由函数的解析式可得对称中心是（a，1 ），比较可得a的值解答：解：由题意可得函数f（x）=的对称中心是（3，1），又函数f（x）==1+的对称中心是（a，1 ），∴a=3，故答案为：3．点评：本题考查函数与反函数的图象间的关系，函数的对称中心，由函数y=得到对称中心为（a，1）是解题的关键，是基础题．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是．考点：反函数．专题：计算题．分析：由函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称，则y=g（x）的图象与y=e x 互为反函数，易得y=g（x）的解析式，再由函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，进而可以得到函数y=f（x）的解析式，由函数y=f（x）的解析式构造方程f（m）=﹣1，解方程即可求也m的值．解答：解：∵函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称∴函数y=g（x）与y=e x互为反函数则g（x）=lnx，又由y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称∴f（x）=ln（﹣x），又∵f（m）=﹣1∴ln（﹣m）=﹣1，故答案为﹣．点评：互为反函数的两个函数图象关于线y=x对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（b，a）点一定在其反函数的图象上；如果两个函数图象关于X轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于Y轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于原点对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上．11．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足的所有的x的和为﹣8．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：f（x）为偶函数⇒f（﹣x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数⇒f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=﹣b，再结合已知条件可得正确答案．解答：解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数∴若时，即或，得x2+3x﹣3=0或x2+5x+3=0，此时x1+x2=﹣3或x3+x4=﹣5．∴满足的所有x之和为﹣3+（﹣5）=﹣8，故答案为﹣8．点评：本题属于函数性质的综合应用，属于中档题．解决此类题型要注意变换自变量与函数值的关系，还要注意分类讨论和数形结合的思想方法的应用．12．定义两种运算：a⊕b=，则函数f（x）=的奇偶性为奇函数．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解答：解：由定义知f（x）==，由4﹣x2≥0且|x﹣2|﹣2≠0，得﹣2≤x＜0或0＜x≤2，即函数f（x）的定义域为{x|﹣2≤x＜0或0＜x≤2}，关于原点对称；此时f（x）===，则f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故f（x）是奇函数．故答案为：奇函数点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据新定义将函数进行化简是解决本题的关键．二、选择题（每题4分，共16分）13．“a=0”是“函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的单调性及单调区间．分析：函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数，结合二次函数的图象求出a的范围，再利用集合的包含关系判充要条件．解答：解：函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数，0，a≥0，“a=0”⇒“a≥0”，反之不成立．故选A点评：本题考查充要条件的判断，属基本题．14．若函数f（x）在（4，+∞）上为减函数，且对任意的x∈R，有f（4+x）=f（4﹣x），则（）A．f（2）＞f（3） B．f（2）＞f（5）C．f（3）＞f（5）D．f（3）＞f（6）考点：抽象函数及其应用．分析：因为所给选项为比较函数值的大小，所以要根据已知条件将所给函数值都转化到同一个单调区间上去，因此分析f（4+x）=f（4﹣x）的含义也就成了解答本题的关键．解答：解：∵f（4+x）=f（4﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=4对称，∴f（2）=f（6），f（3）=f（5），又∵f（x）在（4，+∞）上为减函数，∴f（5）＞f（6），∴f（5）=f（3）＞f（2）=f（6）．故选D．点评：（1）f（a+x）=f（a﹣x）⇔函数f（x）的图象关于直线x=a对称；（2）f（a+x）=﹣f（a﹣x）⇔函数f（x）的图象关于点（a，0）对称；（3）f（a+x）=f（b﹣x）⇔函数f（x）的图象关于直线x=对称；（4）f（a+x）=﹣f（b﹣x）⇔函数f（x）的图象关于点对称．特别地，当a=b=0时，有f（﹣x）=f（x）及f（﹣x）=﹣f（x），f（x）分别表示偶函数与奇函数．15．已知函数f（x）=（）x﹣log2x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为负值B．等于0 C．恒为正值D．不大于0考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由于y=（）x在x＞0上递减，log2x在x＞0上递增，则f（x）在x＞0上递减，再由条件即可得到答案．解答：解：由于实数x0是方程f（x）=0的解，则f（x0）=0，由于y=（）x在x＞0上递减，log2x在x＞0上递增，则f（x）在x＞0上递减，由于0＜x1＜x0，则f（x1）＞f（x0），即有f（x1）＞0，故选C．点评：本题考查函数的单调性及运用，考查运算能力，属于基础题．16．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个考点：函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据“孪生函数”的定义确定函数定义域的不同即可．解答：解：由y=2x2+1=3，得x2=1，即x=1或x=﹣1，由y=2x2+1=19，得x2=9，即x=3或x=﹣3，即定义域内﹣1和1至少有一个，有3种结果，﹣3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选：C．点评：本题主要考查函数定义域和值域的求法，利用“孪生函数”的定义是解决本题的关键．三、解答题17．已知log a484=m，log a88=n，试用m、n表示log211．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：把已知利用对数的运算性质变形求解log a2，log a11的值，然后利用对数的换底公式得到log211．解答：解：∵log a484=m，∴，即①，又log a88=n，∴log a8+log a11=n，即3log a2+log a11=n②，联立①②得：，．∴log211===．点评：本题考查对数的运算性质，考查了对数的换底公式，是基础的计算题．18．f（x）=（1）作出函数的大致图象；（2）求不等式f（x）＞f（1）的解集．考点：其他不等式的解法；函数的图象．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）分类讨论化简函数的解析式，从而画出函数的图象．（2）结合函数f（x）的图象可得f（﹣3）=f（1）=f（3）=0，数形结合可得不等式f（x）＞f（1）的解集．解答：解：（1）对于函数f（x）=，当x≥0时，f（x）=（x﹣3）（x﹣1）；当x＜0时，f（x）=﹣=﹣（）=﹣（+）=﹣﹣，故函数f（x）的图象如图所示．（2）结合函数f（x）的图象可得f（﹣3）=f（1）=f（3）=0，数形结合可得不等式f（x）＞f（1）的解集为{x|﹣3＜x＜1，或x＞3}．点评：本题主要考查分段函数的应用，分式不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．19．如果函数y=x+的最小值为6，求b的值．考点：基本不等式．专题：不等式．分析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，结合x的范围，从而求出函数取最小值时的b的值．解答：解：y′=1﹣=，令y′＞0，解得：x＞，令y′＜0，解得：x＜，∴函数在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴函数在x=时取得最小值，∴+=6，解得：2b=9，代入函数的不表达式得：x=3，∵x≥4，不合题意，∴x=4时，函数值最小，此时：4+=6，解得：b=3．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式取最小值时的条件，是一道中档题．20．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？考点：函数模型的选择与应用；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）通过分别求出当0＜x≤10、10＜x≤16、x＞16时各自f（x）的最大值即得结论；（2）通过计算f（5）与f（20）的大小即得结论；（3）通过令f（x）=55，计算出0＜x≤10、x＞16时各自的解并比较两个解的差的绝对值与13的大小关系即可．解答：解：（1）依题意，①当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1（x﹣13）2+59.9，故f（x）在0＜x≤10时递增，最大值为f（10）=﹣0.1（10﹣13）2+59.9=59，②当10＜x≤16时，f（x）≡59，③当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59，因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（2）∵f（5）=﹣0.1（5﹣13）2+59.9=53.5，f（20）=﹣3×20+107=47＜53.5，∴开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些．（3）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或20（舍），当x＞16时，令f（x）=55，解得x=17，因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为17﹣6=11＜13，∴老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．点评：本题考查函数模型的性质与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=为奇函数，（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）解关于x的不等式：f﹣1（x）＞log2．考点：反函数；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用函数的奇偶性，得到f（﹣x）=﹣f（x），解方程即可求a的值；（2）根据反函数的定义即可f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）根据对数函数的单调性，结合分式不等式的解法进行求解即可．解答：解：（1）∵函数的定义域为{x|x≠0}且f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，即+=0，则+=0，即﹣a﹣2x+a•2x+1=0，则（1﹣a）（1﹣2x）=0，∵x≠0，∴1﹣a=0．即a=1．此时f（x）=．（2）由y=得（2x﹣1）y=2x+1．即y•2x﹣y=1+2x，即（y﹣1）•2x=1+y，当y=1时，方程等价为0=1，不成立，∴y≠1，则2x=，由2x=＞0得y＞1或y＜﹣1，即函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由2x=，得x=log2，即f（x）的反函数f﹣1（x）=log2，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（3）∵f﹣1（x）＞log2．∴log2＞log2．①若k＞0，则x+1＞0，即x＞﹣1，∵x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴此时x＞1，此时不等式等价为＞，即，则0＜x﹣1＜k，即1＜x＜k+1，②若k＜0，则x+1＜0，即x＜﹣1，∵x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴此时x＜﹣1，此时不等式等价为＞，即＜，则x﹣1＞k，即﹣1＞x＞k+1，综上若k＞0，不等式的解集为（1，1+k），若k＜0，不等式的解集为（1+k，﹣1）．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数反函数的求解，对数不等式的求解，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．22．已知函数，其中x＞0．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b），求ab的取值范围；（2）是否存在实数a、b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由；（3）若存在a、b（a＜b），使得y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0），求m的取值范围．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）讨论a，b的范围，确定a∈（0，1），b∈，由此出发探究a，b的可能取值，可分三类：a，b∈（0，1）时，a，b∈（1，+∞）时，a∈（0，1），b∈（1，+∞），分别建立方程，寻求a，b的可能取值，若能求出这样的实数，则说明存在，否则说明不存在；（3）由题意，由函数y=f （x）的定义域为，值域为（m≠0）可判断出m＞0及a＞0，结合（1）的结论知只能a，b∈（1，+∞），由函数在此区间内是增函数，建立方程，即可得到实数m所满足的不等式，解出实数m的取值范围．解答：解：（1）f（x）=，若a，b∈（0，1），f（x）递减，f（a）＞f（b）不成立；若a，b∈，而y≥0，x≠0，所以应有a＞0，又f（x）=，①当a，b∈（0，1）时，f（x）在（0，1）上为减函数，故有，即，由此可得a=b，此时实数a，b的值不存在．②当a，b∈（1，+∞）时，f（x）在∈（1，+∞）上为增函数，故有，即，由此可得a，b是方程x2﹣x+1=0的根，但方程无实根，所以此时实数a，b也不存在．③当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，显然1∈，而f（1）=0∈不可能，此时a，b也不存在．综上可知，符合条件的实数a，b不存在；（3）若存在实数a，b使函数y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0）．由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0，由（，1）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，适合条件的实数a，b不存在，故只能是a，b∈（1，+∞），∵f（x）=1﹣在∈（1，+∞）上为增函数∴，即，∴a，b是方程mx2﹣x+1=0的两个不等实根，且二实根均大于1，∴，解之得0＜m＜，故实数m的取值范围是（0，）．点评：本题的考点是函数与方程的综合应用，考查了绝对值函数，函数的定义域、值域，构造方程的思想，二次方程根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，属于难题和易错题．。

2015—2016上海市高一数学期末试卷一、选择题：1. 集合{1，2，3}的真子集共有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 2. 已知角α的终边过点P (－4,3) ，则2sin cos αα+ 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．52-D ． 253. 已知扇形OAB 的圆心角为rad 4，其面积是2cm 2则该扇形的周长是( )cm.A ．8B ．6C ．4D ．2 4. 已知集合{}2,0x M y y x ==>，{})2lg(2x x y x N -==，则MN 为( )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．[)+∞,2D ．[)+∞,16. 函数 )252sin(π+=x y 是 （ ） A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 7. 右图是函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为( )A ．)32sin(2π+=x y B ．)322sin(2π+=x yC ．)32sin(2π-=x y ) D ．)32sin(2π-=x y8.已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间[2，+∞)上是增函数， 则a 的取值范围是( )A ．（]4,∞-B ．（]2,∞-C ．（]4,4-D ．（]2,4-9. 已知函数()f x 对任意x R ∈都有(6)()2(3),(1)f x f x f y f x ++==-的图象关于点(1,0)对称,则(2013)f =（ ）A ．10B ．5-C ．5D ．010. 已知函数21(0)(),()(1)(0)x x f x f x x a f x x -⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1)-∞C ．[0,1)D ．[0,)+∞二、填空题:11.sin 600︒= __________.12. 函数()lg 21y x =+的定义域是__________.13. 若2510a b ==，则=+ba 11__________.14. 函数12()3sin log f x x x π=-的零点的个数是__________.15. 函数()f x 的定义域为D ,若存在闭区间[,]a b D ⊆,使得函数()f x 满足:①()f x 在[,]a b 内是单调函 数;②()f x 在[,]a b 上的值域为[2,2]a b ,则称区间[,]a b 为()y f x =的“倍值区间”.下列函数中存在 “倍值区间”的有________①)0()(2≥=x x x f ;②()()xf x e x =∈R ; ③)0(14)(2≥+=x x xx f ; ④()sin 2()f x x x R =∈三、解答题16. 已知31tan =α， （1）求：ααααsin cos 5cos 2sin -+的值（2）求：1cos sin -αα的值3讨论关于x 的方程m x f =)(解的个数。

一、填空题（每题4分，共48分）1．函数f(x)＝2)1lg(-+x x 的定义域为____________． 2．设f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+)2(2)21()1(22x x x xx x ，若f （x ）＝3，则x ＝___________． 3．已知幂函数f （x ）＝x α是偶函数，在[0，＋∞）上递增的，且满足f(21)＞21．请写出一个满足条件的α的值，α＝___________．4．函数f(x)＝1+x x (x ＞0)的反函数为f 1-（x ）＝____________． 5．函数f （x ）＝log 21（x 2−2x −3）的单调递增区间为__________．6．函数y ＝(31)x 的图象与函数y ＝−log 3x 的图象关于直线___________对称． 7．已知log 53＝a ，5b ＝7，则用a ，b 的代数式表示log 63105＝____________．8．方程：log 2(212+x −6)＝x ＋log 2(2x ＋1)的解为____________-．9．若函数f(x)＝log 3(x 2＋ax −a)的值域是R ，则实数a 的取值范围是____________．10．若函数f(x)＝⎩⎨⎧≥+-<+-226232x x ax x x 的值域为[−2，＋∞），则实数a 的取值范围为___________-．11．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>≤+0|lg |0|1|x x x x ，若方程f （x ）＝a 有四个不同的实根x1，x2，x3，x4．则x1＋x2＋x3＋x4的取值范围为______________．12．已知函数（1）f （x ）＝3lnx ；（2）f （x ）＝3x 2＋1；（3）f （x ）＝3e x ；（4）f(x)＝x 3 ．其中满足对于任意x 1∈D （其中D 为函数的定义域），相应地存在唯一的x 2∈D ，使 )()(21x f x f ＝3的函数的序号为___________．二、选择题（每题4分，共16分）13．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，＋∞）上单调递减的是（ ）A 、y ＝x 1B 、y ＝2||xC 、y ＝ln ||1x D 、y ＝x 3 14．若0＜a ＜1，b ＜−1，则函数f （x ）＝a x ＋b 的图象不经过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限15．已知a ，b ，c 均大于1，且log a c •log b c ＝4，则下列各式中，一定正确的是（ ）A 、ac ≥bB 、ab ≥cC 、bc ≥aD 、ab ≤c16．定义在实数集R 上函数y ＝f （x ）的反函数为y ＝f 1-（x ）．若函数y ＝f （−x ）的反函数是y ＝f 1-（−x ），则y ＝f （−x ）是（ ）A 、是奇函数，不是偶函数B 、是偶函数，不是奇函数C 、既是奇函数数，又是偶函数D 、既不是奇函数，也不是偶函数三、解答题17．已知函数f （x ）＝lg （x ＋1），解关于x 的不等式0＜f （1−2x ）−f （x ）＜1．18．已知实数a ＞0，且函数f(x)＝aa x x +-22为奇函数．判断函数f （x ）的单调性，并用单调性的定义证明．19．已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧<≥+0202x x a x x ，其中a ∈R ． （1）若a ＝0，解不等式f （x ）≥41； （2）已知函数y ＝f （x ）存在反函数，其反函数记为y ＝f1-（x ）．若关于x 的不等式： f1-（4−a ）≤f （x ）在x ∈[0，＋∞）上恒成立，求实数a 的取值范围．20．若函数f （x ）满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量x 0，都有函数值f （x 0）∈D ，则称函数f （x ）在D 上封闭．（1）若下列函数的定义域为D ＝（0，1），试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由．f 1（x ）＝2x −1，f 2（x ）＝2x−1．（2）若函数g （x ）＝25+-x a x 的定义域为（1，2），是否存在实数a ，使得g （x ）在其定义域（1，2）上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数f （x ）在其定义域D 上封闭，且单调递增．若x 0∈D 且f （f （x 0））＝x 0，求证：f （x 0）＝x 0．21．设定义在R 上的函数f （x ）、f 1（x ）和f 2（x ），满足f （x ）＝f 1（x ）＋f 2（x ），且对任意实数x 1、x 2（x 1≠x 2），恒有|f 1（x 1）−f 1（x 2）|＞|f 2（x 1）−f 2（x 2）|成立．（1）试写 出一组满足条件的具体的f 1（x ）和f 2（x ），使f 1（x ）为增函数，f 2（x ）为减函数，但f （x ）为增函数．（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由．命题1）：若f 1（x ）为增函数，则f （x ）为增函数；命题2）：若f 2（x ）为增函数，则f （x ）为增函数．（3）已知f （x ）＝x 3＋x 2＋x ＋1，写出一组满足条件的具体的f 1（x ）和f 2（x ），且f 2（x ）为非常值函数，并说明理由．。

上师大附中2015学年第一学期期末考试高一年级 数学学科（考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 若函数()()2=-af x a x 是幂函数，则a =__________．【答案】3 【解析】 【分析】根据幂函数定义,即可求得a 的值.【详解】函数()()2=-af x a x 是幂函数由幂函数定义可知21a -= 所以3a = 故答案为:3【点睛】本题考查了幂函数定义,由幂函数定义求参数,属于基础题.2. 已知集合{}|3,=∈R ≤A x x x ，{}|10,=-∈N ≥B x x x ，则A B =∩__________． 【答案】{}1,2,3 【解析】 【分析】先表示出集合B,根据交集运算即可求得解.【详解】集合{}|3,=∈R ≤A x x x ,{}|10,=-∈N ≥B x x x 所以{}|1,B x x x =≤∈N所以由交集运算可得{}1,2,3A B =∩ 故答案为: {}1,2,3【点睛】本题考查了交集的简单运算,注意集合中对数集的特殊要求,属于基础题.3. 已知函数()2,1,1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，若()2f x =，则x =__________．【分析】根据分段函数,分类讨论即可解方程求得x 的值,注意舍去不符合要求的解.【详解】函数()2,1,1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩,若()2f x = 当1x ≤时,()2xf x =,即22x =,解得1x =,符合题意;当1x >时,()f x x =-,即2x -=,解得2x =-,不符合题意; 综上可知,1x = 故答案为:1【点睛】本题考查了分段函数的简单应用,根据函数值求自变量,属于基础题. 4. 已知函数()2log f x x =，若4a b =，则()()-=f a f b __________． 【答案】2 【解析】 【分析】将,a b 代入解析式作差,结合4a b =及对数运算,化简即可得解. 【详解】函数()2log f x x =,若4a b = 由对数的运算可得()()f a f b -2222log log log 4log a b b b =-=-24log bb= 2log 42==故答案:2【点睛】本题考查了对数的简单运算,属于基础题.5. 函数y =____________________． 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦求得函数定义域,再根据互为反函数时两个函数定义域与值域关系,即可得反函数的值域.【详解】函数y =的定义域满足120x -≥, 解得12x ≤,即定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦根据互为反函数的两个函数定义域与值域关系可知,函数y =y =的定义域所以函数y =1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故答案为: 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了反函数的性质及简单应用,属于基础题.6. 已知()y f x =是奇函数. 若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=_______. 【答案】3 【解析】 【分析】【详解】()y f x =是奇函数，则(1)(1)f f -=-，(1)(1)(1)(1)44g g f f +-=+-+=, 所以(1)4(1)3g g -=-=.7. 方程3log 30x x +-=的解所在区间是()(),1k k k +∈Z ，则k =__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据方程与函数关系,构造函数()3log 3f x x x =+-.结合零点存在定理及函数单调性,即可求得零点所在的相邻整数区间,进而求得k 的值. 【详解】方程3log 30x x +-=令函数()3log 3f x x x =+-则()332log 223log 210f =+-=-<()33log 33310f =+-=>而函数()3log 3f x x x =+-在()0,∞+内单调递增 根据零点存在定理可知,函数零点在()2,3内 所以由题意可得2k = 故答案为:2【点睛】本题考查了函数与方程的关系,函数零点存在定理的简单应用,注意需判断函数的单调性,才能确定零点的唯一性,属于基础题.8. 方程13313x x-+=+的解是______________________ 【答案】1x =- 【解析】 【分析】对等式左边分子分母上下乘以3x ，然后去分母，解方程求得x 的值.【详解】等式左边分子分母上下乘以3x得231333x x x+=+，即2313333x x x +=⋅+⋅，即2332310x x⋅+⋅-=，()()331310xx ⋅-+=，即113310,33,13x x x -⋅-====-. 【点睛】本小题主要考查指数运算，考查因式分解，考查指数方程的解法，属于基础题. 9. 下列命题中的真命题的序号为_________ ①函数1y x=的单调递减区间是(,0)(0,)-∞+∞；②当0n >时，幂函数ny x =是定义域上的增函数； ③函数21(1)y ax a =+>的值域是(0,)+∞；④222log 2log x x =；⑤若函数()y f x =满足(1)(1)f x f x +=-，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 【答案】⑤【解析】 【分析】根据函数的性质对各个选项进行逐一分析，找出其中正确的选项即可. 【详解】①函数1y x =的单调递减区间是(,0)(0,)-∞+∞，,在定义域内函数1y x=不是单调函数,所以①不正确.②当0n >时，幂函数n y x =是(0,)+∞上的增函数，例如2=3n 时函数n y x =在(,0)-∞上是减函数，所以②不正确.③ 函数21(1)y ax a =+>的值域是[1,)+∞,所以③不正确.④ 当0x <时，2222log =2log ()log x x x -≠，所以④不正确.⑤根据函数图象的对称性结论可得：()y f x =满足(1)(1)f x f x +=-，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以⑤正确. 故答案：⑤.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及函数的概念和性质，属于基础题.10. 稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为_________元． 【答案】2800 【解析】试题分析：由题可知，当纳税280元时，代入第一个计算公式中，可得出，此时每次收入额为2800元，因为2800<4000，故满足题意，而代入到第二个计算公式中，得到，此时每次收入额为2500元，因为2500<4000，故不满足题意，舍去； 考点：分段函数的取值范围11. 定义区间(),c d ，[),c d ，(],c d ，[],c d 的长度均为d c -，其中.d c >已知函数21xy =-的定义域为[],a b ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差______．【答案】1 【解析】 【分析】函数的图象，如图所示，y=|2x﹣1|=12，x=﹣1或322log ，求出区间[a ，b ]长度的最大值与最小值，即可得出结论．【详解】函数的图象，如图所示，y=|2x﹣1|=12，x=﹣1或322log ，故[a ，b ]的长度的最大值为322log ﹣（﹣1）=322log+1，最小值为322log﹣0=322log，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1，故答案为1．【点睛】考查学生理解掌握指数函数定义域和值域能力，运用指数函数图象增减性解决数学问题的能力．12. 函数()2xf x =和()3g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x <．若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且a ，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12b ∈，则a b +=__________．【答案】10 【解析】 【分析】根据解析式与图像,判断12,C C 分别对应的解析式.根据零点存在定理,可判断两个交点所在的整数区间,即可求得,a b 的值,进而求得+a b .【详解】根据函数()2xf x =过定点0,1,所以2C 对应函数()2xf x =;函数()3g x x =过()0,0,所以1C 对应函数()3g x x =因为()()()(),2211g f g f <> 所以由图像可知[]11,2x ∈,故1a = 因为()()()()9900,11g f g f >< 所以由图像可知[]29,10x ∈,故9b = 所以10a b += 故答案为:10【点睛】本题考查了指数函数与幂函数的图像与性质应用,数形结合思想的应用,函数零点存在定理的应用, 13. 已知函数()y f x =存在反函数()1y fx -=，若函数()1=+y f x x的图像经过点()1,2，则函数()11y f x x-=-的图像经过点__________．【答案】()1,0 【解析】【分析】根据函数图像过点()1,2,可求得函数()y f x =过的定点.结合反函数性质即可求得反函数过的定点.再令1x =,代入函数()11y f x x-=-,即可确定所过定点坐标.【详解】函数()1=+y f x x的图像经过点()1,2代入可得()211f =+,解得()11f =,即函数()y f x =过()1,1 根据互为反函数的图像与性质,可知()1y f x -=经过()1,1,即()111f -=所以当1x =时,代入()11y f x x-=-可得()1110y f -=-= 即()11y fx x-=-过点()1,0 故答案为: ()1,0【点睛】本题考查了反函数的性质与应用,函数所过定点的求法,属于基础题.14. 已知()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，其中a 是方程lg 4x x +=的解，b 是方程104x x +=的解，如果关于x 的方程()f x x =的所有解分别为1x ，2x ，…，n x ，记121==+++∑ni n i x x x x ，则1nii x==∑__________．【答案】1- 【解析】 【分析】根据互为反函数的两个图像与性质,可求得a ,b 的等量关系,代入解析式可得分段函数()f x .分别解方程()f x x =,求得方程的解,即可得解.【详解】a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,则a ,b 分别为函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像交点的横坐标因为lg y x =和10xy =互为反函数,所以函数lg y x =和10xy =图像关于y x =对称所以函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像的两个交点也关于y x =对称所以函数4y x =-+与y x =的交点满足4y x y x =-+⎧⎨=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩根据中点坐标公式可得4a b +=所以函数()242,02,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩当0x ≤时,()242f x x x =++,关于x 的方程()f x x =,即242x x x ++=解得2,1x x =-=-当0x >时,()2f x =,关于x 的方程()f x x =,即2x = 所以()()12121ni i x ==-+-+=-∑故答案为:1-【点睛】本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的人号超过一个，一律得零分．15. 4个孩子在黄老师的后院玩球，突然传来一阵打碎玻璃的响声，黄老师跑去察看，发现一扇窗户玻璃被打破了，老师问：“谁打破的？”宝宝说：“是可可打破的．”可可说：“是毛毛打破的．”毛毛说：“可可说谎．”多多说：“我没有打破窗子．”如果只有一个小孩说的是实话，那么打碎玻璃的是（ ） A. 宝宝 B. 可可C. 多多D. 毛毛【答案】C【解析】 【分析】根据题意,分别假设四个人打碎玻璃,结合他们的对话,得矛盾,即可得解.【详解】假设是宝宝打碎玻璃,则宝宝说谎话,可可说谎话,毛毛说实话,多多说实话,与题意只有一个小孩说实话矛盾,所以假设不成立,即宝宝没有打碎玻璃;假设是可可打碎玻璃,则宝宝说实话,可可说谎话,毛毛说实话,多多说实话,与题意只有一个小孩说实话矛盾,所以假设不成立,即可可没有打碎玻璃;假设是多多打碎玻璃,则宝宝说谎话,可可说谎话,毛毛说实话,多多说谎话,与题意只有一个小孩说实话相符,所以假设成立,即多多打碎玻璃;假设是毛毛打碎玻璃,则宝宝说谎话,可可说实话,毛毛说谎话,多多说实话,与题意只有一个小孩说实话矛盾,所以假设不成立,即毛毛没有打碎玻璃; 综上可知,是多多打碎玻璃 故选:C【点睛】本题考查了推理的简单应用,假设问题并推出矛盾,属于基础题.16. 幂函数1y x -=，y x =及直线1y =，1x =将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么幂函数32y x-=的图像在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A. Ⅳ和ⅦB. Ⅳ和ⅧC. Ⅲ和ⅧD. Ⅲ和Ⅶ【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的图像与性质,结合当指数变化时的规律,即可判断出32y x -=的图像在第一象限中经过的“卦限”【详解】在直线1x =左侧,幂函数的指数越大月接近y 轴.因为312-<-,所以32y x -=在1x =左侧部分位于1y x -=的右侧,即Ⅲ 内;在直线1x =右侧,幂函数的指数越小越接近x 轴,因为312-<-,所以32y x -=在1x =右侧部分位于1y x -=的下方侧,即Ⅶ 内; 综上可知, 函数32y x -=的图像在第一象限中经过的“卦限”是Ⅲ 和Ⅶ故选:D【点睛】本题考查了幂函数的图像与性质,幂函数的图像与指数的变化关系,属于中档题.17. 下列四类函数中，具有性质“对任意的0x >，0y >，函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=”的是（ ） A. 幂函数B. 对数函数C. 指数函数D. 正比例函数【答案】C【解析】【分析】根据四种函数的运算性质,设出解析式,代入即可判断是否满足等式()()()f x y f x f y +=.【详解】设幂函数()f x x α=,则()()f x y x y α+=+,()f y y α=.则()()()f x f y x y xy ααα=⋅=所以()()()f x y f x f y +≠,故A 错误;设对数函数()log a f x x =,(0a >且1a ≠)则()()log a f x y x y +=+,()log a f y y =,则()()log log a a f x f y x y =⋅,所以()()()f x y f x f y +≠,故B 错误;设指数函数()xf x a = (0a >且1a ≠),则()x y f x y a ++=,()y f y a =,则()()x y f x f y a +=,所以()()()f x y f x f y +=,所以C 正确;设正比例函数为()f x kx =(0k ≠),则()()f x y k x y +=+,()f y ky =,()()2f x f y kx ky k xy =⨯=,所以()()()f x y f x f y +≠,故D 错误.综上可知,正确的为C故选:C【点睛】本题考查了函数的性质与运算律的判断,注意区分各种函数的性质,属于基础题.18. 如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数(0,1)x y a a a =>≠且及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A. 1a b <<B. 1b a <<C. 1b a >>D. 1a b >>【答案】A【解析】【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解.【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数x y a =，即1313a =，解得127a =， 把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19. 已知关于x 的不等式230-+>ax bx 的解集为()3,1-（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）解关于x 的不等式：()1log 212-≤b ax ． 【答案】（Ⅰ）1,2a b =-= （Ⅱ）15,22⎛⎤⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（Ⅰ）根据不等式与方程关系,结合韦达定理,即可求得a ,b 的值;（Ⅱ）将a ,b 的值代入,结合对数函数的图像与性质解不等式即可.【详解】（Ⅰ）不等式230-+>ax bx 的解集为()3,1-即方程230ax bx -+=的两个根为3,1x x =-=由韦达定理可得233b a a-⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 解得12a b =-⎧⎨=⎩即1,2a b =-=（Ⅱ）将1,2a b =-=代入不等式可得()211log 212x --≤ 即()2log 212x -≤,变形为()22log 21log 4x -≤由对数的图像与性质可得210214x x ->⎧⎨-≤⎩ 解得1522x <≤ 即不等式的解集为15,22⎛⎤⎥⎝⎦ 【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系,对数不等式的解法,属于基础题.20. 已知函数()()()f x x x a a =⋅+∈R 的奇函数．（Ⅰ）求a 的值．（Ⅱ）设0b >，若函数()f x 在区间[],b b -上最大值与最小值的差为b ，求b 的值．【答案】（Ⅰ）0a =；（Ⅱ）12b =. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由奇函数的定义()() f x f x -=-求解得0a =； （Ⅱ）判断函数()f x 在R 上为单调增函数，进而有()()f b f b b --=，代入求解即可.试题解析：（Ⅰ）∵()f x 奇函数，∴()()()()f x x a x f x x x a -=-⋅-=-=-⋅+，∴a x x a -=--，∴0a =．（Ⅱ）∵()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，∴()f x 在R 上为单调增函数，又∵0b >，∴()()f b f b b --=，∴()2f b b =，即22b b =， ∴12b =． 21. 今有一长2米宽1米的矩形铁皮，如图，在四个角上分别截去一个边长为x 米的正方形后，沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱(接口连接问题不考虑)．(Ⅰ)求水箱容积的表达式()f x ，并指出函数()f x 的定义域；(Ⅱ)若要使水箱容积不大于34x 立方米的同时，又使得底面积最大，求x 的值．【答案】(1) {x |0＜x ＜12} (2)13 【解析】【分析】【详解】(Ⅰ)由已知该长方体形水箱高为x 米，底面矩形长为(2－2x )米，宽(1－2x )米．∴该水箱容积为f (x )＝(2－2x )(1－2x )x ＝4x 3－6x 2＋2x其中正数x 满足220{120x x ->->∴0＜x ＜12. ∴所求函数f (x )定义域为{x |0＜x ＜12}． (Ⅱ)由f (x )≤4x 3，得x ≤ 0或x ≥13， ∵定义域为{x |0＜x ＜12}，∴13≤x ＜12.此时的底面积为S (x )＝(2－2x )(1－2x )＝4x 2－6x ＋2(x ∈[13，12))．由S (x )＝4(x －34)2－14， 可知S (x )在[13，12)上是单调减函数， ∴x ＝13.即满足条件的x 是13. 22. 设函数2()log f x x =.(1) 解不等式(1)()1f x f x -+>；(2) 设函数()(21)x g x f kx =++，若函数()g x 为偶函数，求实数k 的值；(3) 当[2,3]x t t ∈++时，是否存在实数t （其中01t <<），使得不等式1()(3)1f f x t x t --≤-恒成立？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）(2,)+∞：（2）12k =-；（3）不存在t ． 【解析】试题分析:（1）根据对数运算法则以及单调性将不等式转化为二次不等式，注意对数真数大于零限制条件，解得不等式解集，（2）根据偶函数性质以及对数运算法则解得k ，（3）先化简不等式，根据对数单调性画出一元二次不等式恒成立问题，再根据二次函数最值转化为关于t 的不等式，解得t 的集合为空集，即不存在. 试题解析：（1）()22log log 12x x +->，()22log 1log 2x x ∴->，则()01012x x x x ⎧>⎪->⎨⎪->⎩，解得2x >，即()()11f x f x -+>的解集为()2,+∞；（2） ()()g x g x -=，即()()22log 21log 21x x kx kx -+-=++， 整理，得()210k x +=，12k =-； （3）()()()2221log log 3log 31x t x t x t x t--=--≤-， 等价于()()()1322h x x t x t ≤=--≤恒成立， 解()()()()max min 132,22h x h t h x h t =+≤=+≥，得77,86t t ≤≥， 综上，不存在t 符合题意.23. 如果存在非零常数C ，对于函数()y f x =定义域上的任意x ，都有()()+>f x C f x 成立，那么称函数为“Z 函数”．（Ⅰ）若()2x g x =，()2h x x =，试判断函数()g x 和()h x 是否是“Z 函数”？若是，请证明：若不是，主说明理由：（Ⅱ）求证：若()()y f x x =∈R 是单调函数，则它是“Z 函数”；（Ⅲ）若函数()3223=++f x ax x 是“Z 函数”，求实数a 满足的条件．【答案】（Ⅰ）()2x g x =是“Z 函数”, ()2h x x =不是“Z 函数”.理由见解析;（Ⅱ）证明见解析;（Ⅲ）0a ≠ 【解析】【分析】（Ⅰ）根据定义,代入解析式解不等式,分析是否存在C 使得不等式恒成立,即可判断是否是“Z 函数”.（Ⅱ）讨论函数()f x 单调递增与单调递减两种情况,结合函数单调的性质即可证明()f x 是 “Z 函数”； （Ⅲ）根据题意可知()f x 为单调函数.代入()()+>f x C f x 后变形,可得关于x 的一元二次不等式,结合二次函数恒成立的解法,即可求得a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）()2x g x =是“Z 函数”, ()2h x x =不是“Z 函数”.理由如下: 若()2xg x =是“Z 函数” 则满足()()g x C g x +>即22x C x +>,所以x C x +>解得0C >,即存在0C >使()2xg x =是“Z 函数” 若()2h x x =是“Z 函数” 则满足()()h x C h x +>即()22x C x +>,化简得220Cx C +>当0C >时,20x C +>不能恒成立当0C <时,20x C +<不能恒成立,综上可知,()2h x x =不是“Z 函数”（Ⅱ）证明:因为()()y f x x R =∈是单调函数,则为单调递增函数或单调递减函数.若()()y f x x R =∈是单调递增函数,则当0C >时,都有()()+>f x C f x 成立,函数()y f x =为“Z 函数” 若()()y f x x R =∈是单调递减函数,则当0C <时,都有()()+>f x C f x 成立,函数()y f x =为“Z 函数” 综上可知,当()()y f x x =∈R 为单调函数时,则它是“Z 函数”（Ⅲ）若函数()3223=++f x ax x 是“Z 函数”,由()()+>f x C f x ，则()()32322323a x C x C ax x ++++>++化简可得()()223233420aCx aC C x aC C ++++>恒成立 由二次函数性质可知满足()()223230341220aC aC C aC aC C >⎧⎪⎨∆=+-+<⎪⎩解得03aC aC >⎧⎪⎨>⎪⎩所以0a C >⎧⎪⎨>⎪⎩0a C <⎧⎪⎨<⎪⎩即0a ≠时,总存在C 满足函数()3223=++f x ax x 是“Z 函数”所以a 满足的条件为0a ≠【点睛】本题考查了函数单调性的证明与性质综合应用,新定义形式在函数中的考查,二次函数恒成立问题的应用,属于中档题.。

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = e^xD. f(x) = x^3 - x2. 若数列{an}满足an = an-1 + 2n，且a1 = 1，则数列{an}的通项公式是（）A. an = n(n+1)B. an = n^2C. an = n(n+2)D. an = n(n-1)3. 设矩阵A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，则矩阵A 的逆矩阵是（）A. \(\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\)B. \(\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\)C. \(\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}\)D. \(\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}\)4. 在极坐标系中，点P(3, π/6)对应的直角坐标是（）A. (3√3/2, 3/2)B. (3/2, 3√3/2)C. (3/2, -3/2)D. (-3/2, 3/2)5. 若函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d在x=1时取得极值，则（）A. a+b+c+d=0B. a+b+c=0C. a+b=0D. a=0二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an = _______。

7. 若复数z = a + bi（a，b∈R），则z的模|z| = _______。

8. 三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则余弦定理为a^2 =_______。

上师大附中高一期末数学试卷2016.06一. 填空题1. 在数列{}n a 中，若11a =，12n n a a +=+（*n N ∈），则2016a =2. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =3. 1lim 12n n n→∞+=+ 4. 设3n n a -=（*n N ∈）则数列{}n a 的各项和为5. 函数arccos(21)y x =-的定义域为6. 在等比数列{}n a 中，3764a a ⋅=，5a 的值为7. 1123lim 32n nn n n +-→∞+=- 8. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，414S =，10730S S -=，则9S =9. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则 1a d +=10. 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则q 的 值为11. 已知2cos 3x =-，[,]2x ππ∈，则x = 12. 已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和1()3n n S a =-，其中a 为常数，则lim n n S →∞= 13. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，它的前n 项积为n T ，且满足11a >，201520161a a ⋅>， 20152016(1)(1)0a a --<，给出以下四个命题：① 1q >；② 201520171a a ⋅<；③ 2015T 为n T 的最大值；④ 使1n T >成立的最大的正整数n 为4031；则其中正确命题的序号为14. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，都有1(1)32n n n n S a n =-++-，则数列 21{}n a -的前n 项和为二. 选择题15. cos 0x x +=的解集是（ ）A. {|,}x x k k Z π=∈B. {|2,}6x x k k Z ππ=-∈ C. {|,}6x x k k Z ππ=-∈ D. {|,}6x x k k Z ππ=+∈16. 设{}n a 是等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件17. 下列函数所具有的性质，一定成立的是（ ）A. ()arccos 0f x x π=->B. ()cos(arcsin )f x x =C. ()arcsin 02f x x π=-≥ D. ()sin(arcsin )f x x x == 18. 若a 、b 是函数2()f x x px q =-+（0p >，0q >）的两个不同零点，且a 、b 、2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +等于（ ）A. 1B. 4C. 5D. 9三. 解答题19.（1）解方程：sin 2cos x x =；（2）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数 的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数；20. 已知数列{}n a 满足1a a =，112n na a +=-（*n N ∈）； （1）求2a 、3a 、4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式；（3）用数学归纳法证明你的猜想；21. 设等差数列的前n 项和为n S ，已知312a =，120S >，130S <；（1）求公差d 的取值范围；（2）判断67a a ⋅与0的大小关系，并说明理由；（3）指出1S 、2S 、⋅⋅⋅、12S 中哪个最大，并说明理由；22. 已知数列{}n a 的前n 项和292n S n n =-++（*n N ∈）；（1）判断数列{}n a 是否为等差数列；（2）设123||||||||n n R a a a a =++++L ，求n R ；（3）设1(12)n n b n a =-（*n N ∈），123n n T b b b b =++++L ，是否存在最小的自然数0n ， 使得不等式032n n T <对一切正整数n 总成立？如果存在，求出0n ；如果不存在，说明理由；23. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，n S 是{}n a 的前n 项和；（1）若11a =，1q ≥，求lim n n na S →∞的值； （2）若11a =，||1q <，n S 有无最值？说明理由；（3）设1q t=，若首项1a 和t 都是正整数，t 满足不等式|63|62t -<，且对于任意正整数n 有912n S <<成立，问：这样的数列{}n a 有几个？参考答案一. 填空题1. 40312. 53.12 4. 12 5. [0,1] 6. 8± 7. 13 8. 54 9. 13- 10. 2- 11. 2arccos 3π- 12. 1 13. ②③ 14.11(1)34n n --二. 选择题15. C 16. B 17. B 18. D三. 解答题19.（1）cos 0x =或1sin 2x =，2x k ππ=+或26x k ππ=+或526x k ππ=+，k Z ∈； （2）0、4、8、16，或15、9、3、1；20.（1）212a a =-，3232a a a -=-，43243a a a -=-；（2）(1)(2)(1)n n n a a n n a ---=--；（3）略； 21.（1）24(,3)7--；（2）670a a ⋅<；（3）6S ； 22.（1）10,1210,2n n a n n =⎧=⎨-+≥⎩；（2）2292,5942,6n n n n R n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩； （3）112b =，当2n ≥，12(1)n b n n =+，03142232n n T n =-<+，024n ≥，∴024n =； 23.（1）11q-；（2）① 当10q -<<时，n S 的最小值为1q +，最大值为1； ② 当01q <<时，n S 的最小值为1，无最大值；（3）912n S <<，1125t <<，111n a a S q ≤<-，∴112912a t<≤-， 当110a =，6124t ≤≤，{}n a 有119个；当111a =，12124t ≤≤，{}n a 有113个； 综上，{}n a 共有232个；。

复旦大学附属中学2015-2016学所第一学期高一年级数学期末考试试卷（满分：120分考试时间：100分钟所有答案都写在答题纸相应位置上）一、填空题（每题4分，共48分）1.函数()()lg 12+=-x f x x 的定义域为__________.2.设函数()2211222x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =__________.3.已知幂函数()f x x α=是偶函数，在[)0,+∞上递增的，且满足1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f .请写出一个满足条件的α的值，α=__________.4.函数()()01=>+xf x x x 的反函数为()1f x -=__________5.设函数()()20.5log 23f x x x =--，则()f x 的单调递增区间为_________．6.函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与函数3log y x =-的图象关于直线__________对称.7.已知5log 3a =，57=b ，则用a ，b 的代数式表示63log 105=__________.8.方程：()()2122log 26log 21+-=++x x x 的解为__________.9.若函数()()23log =+-f x x ax a 的值域是R ，则实数a 的取值范围是__________10.若函数()232622xx ax x f x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围为__________.11.已知函数()10lg 0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围为__________.12.已知函数（1）()3ln f x x =；（2）()231f x x =+；（3）()3xf x e =；（4）()3=f x x.其中满足对于任意1x D ∈（其中D 为函数的定义域），相应地存在唯一的2x D ∈3=的函数的序号为____________________.二、选择题（每题4分，共16分）13.下列函数中，既是偶函数，又是在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.1y x=B.2xy = C.1lny x= D.3y x =14.若1,1a b ><-则函数xy a b =+的图象必不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限15.若a ，b ，c 均大于1，且log log 4a b c c ⋅=，则下列各式中，一定正确的是（）A.ac b≥ B.ab c≥ C.≥bc aD.ab c≤16.定义在实数集R 上函数()y f x =的反函数为()1y f x -=.若函数()y f x =-的反函数是()1y f x -=-，则()y f x =-是（）A.是奇函数，不是偶函数B.是偶函数，不是奇函数C.既是奇函数数，又是偶函数D.既不是奇函数，也不是偶函数三、解答题17.已知函数()lg(1)f x x =+，解不等式0(12)()1f x f x <--<.18.已知实数0a >，且函数()22x xaf x a -=+为奇函数.判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明.19.已知函数()2020xx a x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，其中a R ∈.(1)若0a =，解不等式()14f x ≥；(2)已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为()1y f x -=.若关于x 的不等式：()()14--≤f a f x 在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.20.若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值()0f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭.（1）若下列函数：()121f x x =-，()221xf x =-的定义域为()0,1D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由.（2）若函数()52x ag x x -=+的定义域为()1,2，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域()1,2上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增，若0x D ∈且()()0ff x x=，求证：()00f x x =.21.设定义在R 上的函数()f x 、()1f x 和()2f x ，满足()()()12f x f x f x =+，且对任意实数1x 、2x （12x x ≠），恒有()()()()11122122->-f x f x f x f x 成立.（1）试写出一组满足条件的具体的()1f x 和()2f x ，使()1f x 为增函数，()2f x 为减函数，但()f x 为增函数.（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由.命题1）：若()1f x 为增函数，则()f x 为增函数；命题2）：若()2f x 为增函数，则()f x 为增函数.（3）已知()321=+++f x x x x ，写出一组满足条件的具体的()1f x 和()2f x ，且()2f x 为非常值函数，并说明理由.复旦大学附属中学2015-2016学所第一学期高一年级数学期末考试试卷（满分：120分考试时间：100分钟所有答案都写在答题纸相应位置上）一、填空题（每题4分，共48分）1.函数()()lg 12+=-x f x x 的定义域为__________.【答案】(1,2)(2,)-+∞ 【分析】结合分式和对数式对变量的限制条件可求.【详解】由题意可得2010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得1x >-且2x ≠，故答案为：(1,2)(2,)-+∞ .【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，明确分式、根式、对数式等对自变量的限制条件是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.2.设函数()2211222x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =__________.【分析】分段讨论进行求解.【详解】当1x ≤-时，由()3f x =可得1x =（舍）；当12x -<<时，由()3f x =可得x =或x =；当2x ≥时，由()3f x =可得32x =（舍）；综上可得x =【点睛】本题主要考查分段函数，分段函数求值问题一般是分段讨论解决，侧重考查数学运算的核心素养.3.已知幂函数()f x x α=是偶函数，在[)0,+∞上递增的，且满足1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f .请写出一个满足条件的α的值，α=__________.【答案】23【分析】结合偶函数和单调性及1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f 可得，答案不是唯一的.【详解】因为1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，所以1α<；因为()f x 在[)0,+∞上递增的，所以0α>；因为幂函数()f x x α=是偶函数，所以α的值可以为23.故答案为：23.【点睛】本题主要考查幂函数的性质，幂函数的单调性和奇偶性取决于α，侧重考查数学抽象的核心素养.4.函数()()01=>+xf x x x 的反函数为()1f x -=__________【答案】,(0,1)1xx x∈-【分析】反解x ，然后可得反函数.【详解】因为()()01=>+xf x x x ，所以11(0,1)11x y x x ==-∈++.由1xy x =+得1y x y=-，所以()1,(0,1)1xf x x x-=∈-.故答案为：,(0,1)1xx x∈-.【点睛】本题主要考查反函数的求法，求解反函数的关键是反解x ，注意定义域的变化，侧重考查数学抽象的核心素养.5.设函数()()20.5log 23f x x x =--，则()f x 的单调递增区间为_________．【答案】(),1-∞-【分析】将函数视为复合函数，根据“同增异减”的判断原则，进行求解；注意定义域的取舍.【详解】记()223u x x x =--，因为0.5log y u =为减函数，所以当()y f x =单调递增时，()y u x =单调递减，由()2230u x x x =-->得3x >或–1x <，又当1x <-时，()y u x =单调递减.故–1x <．故答案为：()–,1∞-.6.函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与函数3log y x =-的图象关于直线__________对称.【答案】y x=【分析】利用反函数图象的性质可求.【详解】因为313log log y x x =-=，所以13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =-互为反函数，所以函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与函数3log y x =-的图象关于直线y x =对称.故答案为：y x =.【点睛】本题主要考查反函数的特征性质，互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称，侧重考查数学抽象的核心素养.7.已知5log 3a =，57=b ，则用a ，b 的代数式表示63log 105=__________.【答案】12a b b a+++【分析】先对63log 105进行转化，然后可求.【详解】因为57=b ，所以5log 7b =，55563555log 105log 5log 211log 105log 63log 7log 92a bb a +++===++.故答案为：12a bb a+++.【点睛】本题主要考查对数的运算，熟悉对数的运算公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.8.方程：()()2122log 26log 21+-=++x x x 的解为__________.【答案】2log 3【分析】移项化简，然后求解指数方程可得.【详解】原方程等价于()()2122log 26log 21x x x +--+=，()()212122226log 26log 21log 21x x xx x ++---+==+，即有2126221x x x +-=+，整理得()22260x x --=，解得23x =，即2log 3x =.故答案为：2log 3.【点睛】本题主要考查对数方程的求解，明确对数的运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.9.若函数()()23log =+-f x x ax a 的值域是R ，则实数a 的取值范围是__________【答案】(,4][0,)-∞-+∞ 【分析】根据函数()()23log =+-f x x ax a 的值域是R 可得2t x ax a =+-能取到所有正数，结合图象位置可求a 的取值范围.【详解】设2t x ax a =+-，因为函数()()23log =+-f x x ax a 的值域是R ，所以240a a ∆=+≥，解得0a ≥或4a ≤-.故答案为：(,4][0,)-∞-+∞ .【点睛】本题主要考查对数型函数的性质，复杂函数的值域问题一般利用换元法进行转化，侧重考查数学抽象的核心素养.10.若函数()232622xx ax x f x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围为__________.【答案】9[]2-【分析】先求2x ≥时的值域，结合函数的值域确定实数a 的取值范围.【详解】当2x ≥时，()262x f x =-≥-；因为()f x 的值域为[)2,-+∞，所以当2x <时，()2f x ≥-，当22a>时，4232a -+≥-，解得942a <≤；当22a ≤时，223242a a -+≥-，解得4a -≤≤；综上可得92a -≤≤；故答案为：9[2-.【点睛】本题主要考查分段函数的值域问题，分段函数的值域应该分段进行考虑，侧重考查数学运算的核心素养.11.已知函数()10lg 0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围为__________.【答案】81(0,10【分析】作出图象，结合图象的对称性可求.【详解】作出函数的图象，如图，不妨设1234x x x x <<<，由图可得122x x +=-，341x x =，4110x <≤；所以12344412x x x x x x +++=+-，易知函数1y x x =+在区间(1,10]上为增函数，所以101(2,10y ∈，则有123481(0,]10x x x x +++∈.故答案为：81(0,10.【点睛】本题主要考查函数的图象应用，发现函数图象中的对称关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.12.已知函数（1）()3ln f x x =；（2）()231f x x =+；（3）()3xf x e =；（4）()3=f x x.其中满足对于任意1x D ∈（其中D 为函数的定义域），相应地存在唯一的2x D ∈3=的函数的序号为____________________.【答案】（3）（4）【分析】根据条件进行逐个验证，求解每个函数的值域可得.【详解】（1）中函数的定义域为()0,∞+，当11x =时，1ln 0x =3=；（2）中函数的定义域为R ，任意1x R ∈，都有1()1f x ≥，此时19(0,9]()f x ∈，不满足存在唯一的2x R∈，使3=；（3）中函数的定义域为R ，任意1x R ∈，都有1()0>f x ，此时()190,()f x ∈+∞，因为()3x f x e =为增函数，所以存在唯一的2x R ∈3=；（4）中函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，任意1(,0)(0,)x ∈-∞+∞ ，都有()1(,0)(0,)f x ∈-∞+∞ ，当1(,0)x -∞∈时，()19,0()f x ∈-∞，因为()3=f x x 在(),0-∞为减函数，所以存在唯一的2(,0)x ∈-∞，使3=；同理，当1(0,)x ∈+∞时，也存在唯一的2(0,)x ∈+∞，使3=；故答案为：（3）（4）.【点睛】本题主要考查函数性质的应用，准确理解题目中的新定义是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.二、选择题（每题4分，共16分）13.下列函数中，既是偶函数，又是在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.1y x=B.2xy = C.1lny x= D.3y x =【答案】C【分析】结合选项和函数单调性奇偶性进行判断.【详解】选项A,D 均为奇函数，不合题意；当0x >时，22x xy ==为增函数，不合题意；当0x >时，11ln ln ln y x x x===-，易知为减函数.故选：C.【点睛】本题主要考查函数的性质，结合基本函数解析式的特征可求性质，侧重考查数学抽象的核心素养.14.若1,1a b ><-则函数xy a b =+的图象必不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【详解】试卷分析：令2,2a b ==-，则22x y =-的图像如图所示，不经过第二象限，故选B.考点：1、指数函数图像；2、特例法解题.15.若a ，b ，c 均大于1，且log log 4a b c c ⋅=，则下列各式中，一定正确的是（）A.ac b ≥B.ab c≥ C.≥bc aD.ab c≤【答案】B【分析】利用对数的运算公式及不等式求解.【详解】因为log log 4a b c c ⋅=，所以11log log 4a b c c =⋅，即1log log 4c c a b ⋅=；因为a ，b ，c 均大于1，所以log 0,log 0c c a b >>，所以()22log log log log log ()24c c c c c ab a b a b +⋅≤=，即log 1c ab ≥或log 1c ab ≤-（舍）.由log 1c ab ≥可得ab c ≥.故选：B.【点睛】本题主要考查对数的运算公式及基本不等式，条件的等价转化是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.16.定义在实数集R 上函数()y f x =的反函数为()1y fx -=.若函数()y f x =-的反函数是()1y f x -=-，则()y f x =-是（）A.是奇函数，不是偶函数B.是偶函数，不是奇函数C.既是奇函数数，又是偶函数D.既不是奇函数，也不是偶函数【答案】A【分析】利用反函数求解原函数，结合奇偶性定义进行判定.【详解】因为函数()y f x =-的反函数是()1y f x -=-，所以()x f y -=，即()y f x =-，所以()()f x f x -=-，即()y f x =-是奇函数.因为()y f x =-存在反函数，所以一定不是偶函数.故选：A.【点睛】本题主要考查反函数的求解及性质，明确反函数的求解方法是解题的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.三、解答题17.已知函数()lg(1)f x x =+，解不等式0(12)()1f x f x <--<.【答案】21,33⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】利用对数运算法则可得()()220lg 22lg 1lg 11xx x x -<--+=<+，结合对数函数的单调性可得结果.【详解】解：不等式()()0121f x f x <--<，即()()220lg 22lg 1lg11xx x x -<--+=<+．由22010x x ->⎧⎨+>⎩，解得11x -<<．由220lg11x x -<<+，得221101xx -<<+．因为10x +>，所以1221010x x x +<-<+，解得2133x -<<．由112133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩，得2133x -<<．故不等式的解集为21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了对数型不等式的解法，注意对数函数的单调性以及真数的范围是解题的关键.18.已知实数0a >，且函数()22x xaf x a-=+为奇函数.判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明.【答案】增函数；证明见解析.【分析】利用奇偶性先求解实数a ，然后判断单调性，证明单调性.【详解】因为实数0a >，所以()22x x af x a-=+的定义域为R .又函数()22x x af x a -=+为奇函数，所以()1001a f a -==+，即1a =，经检验知符合题意；()21212121x x xf x -==-++，函数()f x 为增函数；证明如下：任取12,x x R ∈，设12x x <，()()121222112121x x f x f x -=--+++()()()()()()()121221121222122122222212121212121x x x x x x x x x x +-+-=-==++++++，因为2x y =为增函数，所以1222x x <，即有()()12f x f x <，所以函数()f x 为增函数.【点睛】本题主要考查利用单调性的定义判定函数的单调性，注意定义法证明的步骤，侧重考查逻辑推理的核心素养.19.已知函数()2020xx a x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，其中a R ∈.(1)若0a =，解不等式()14f x ≥；(2)已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为()1y f x -=.若关于x 的不等式：()()14--≤f a f x 在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1[2,0)[,)2-+∞ ；(2)()1,23,4⎤⋃⎦.【分析】(1)把0a =代入，分段讨论求解即可；(2)根据函数存在反函数可得实数a 的范围，再结合()()14--≤f a f x 可求.【详解】(1)若0a =，当0x ≥时，由214x ≥可得12x ≥；当0x <时，由124x≥可得20x -≤<；综上可知不等式()14f x ≥的解集为1[2,0)[,)2-+∞ .(2)因为函数()y f x =存在反函数，则()y f x =必为单调函数，所以1a ≥；由解析式的特征可知，()y f x =为增函数，所以0x ≥时，()(0)f x f a ≥=；121()log ,01x f x x x -≥=<<⎪⎩在(0,)+∞也为增函数，()()14--≤f a f x 在[)0,x ∈+∞上恒成立，所以140(4)a f a a -->⎧⎨-≤⎩，当041a <-<时，即34a <<，2log (4)a a -≤恒成立；当41a -≥时，即13a ≤≤a ≤12a ≤≤综上可得实数a的取值范围是()1,23,4⎤⋃⎦.【点睛】本题主要考查分段函数的性质，分段函数问题主要是分段处理，侧重考查数学抽象的核心素养.20.若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值()0f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭.（1）若下列函数：()121f x x =-，()221xf x =-的定义域为()0,1D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由.（2）若函数()52x ag x x -=+的定义域为()1,2，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域()1,2上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增，若0x D ∈且()()0ff x x=，求证：()00f x x =.【答案】（1）()2f x 在D 上封闭，理由见解析；（2）存在，2a =，证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）根据定义域，求得函数的值域，利用新定义，即可得到结论；（2）根据函数封闭定义转化为不等式恒成立问题，再利用变量分离法求解，可求a 的值．（3）函数f （x ）在其定义域D 上封闭，且单调递增，假设()00f x x ≠，根据单调函数性质可证假设不成立，由此能证明f （x 0）=x 0．【详解】（1）当()0,1x ∈时，()()1211,1f x x =-∈-，∴()1f x 在D 上不封闭；()()2210,1x f x =-∈，∴()2f x 在D 上封闭.（2）设存在实数a ，使得()52x ag x x -=+在()1,2上封闭，即对一切()1,2x ∈，5122x ax -<<+恒成立，∵20x +>，∴2524x x a x +<-<+，即3442x a x -<<-恒成立，∵()341,2x -∈-∴2a ≥；∵()422,6x -∈∴2a ≤.综上，满足条件的2a =.（3）假设()00f x x ≠，①若()00f x x >，∵()00f x x D ∈，，()f x 在D 上单调递增，∴()()()0ff x f x >，即()00xf x >，矛盾；②若()00f x x <，∵()0f x ，0x D ∈，()f x 在D 上单调递增，∴()()()0ff x f x <，即()00xf x <，矛盾.∴假设不成立，()00f x x =.【点睛】本题考查函数的综合运用,根据函数封闭的定义与函数定义域、值域、单调性等知识点进行综合的考查，考查转化能力与函数基础知识的应用，属于中等题.21.设定义在R 上的函数()f x 、()1f x 和()2f x ，满足()()()12f x f x f x =+，且对任意实数1x 、2x （12x x ≠），恒有()()()()11122122->-f x f x f x f x 成立.（1）试写出一组满足条件的具体的()1f x 和()2f x ，使()1f x 为增函数，()2f x 为减函数，但()f x 为增函数.（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由.命题1）：若()1f x 为增函数，则()f x 为增函数；命题2）：若()2f x 为增函数，则()f x 为增函数.（3）已知()321=+++f x x x x ，写出一组满足条件的具体的()1f x 和()2f x ，且()2f x 为非常值函数，并说明理由.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）命题1）为真，命题2）为假，理由见解析；（3）答案不唯一，详见解析.【分析】（1）根据题意找出满足条件的一组()1f x 和()2f x 即可，答案不唯一；（2）命题1）为真命题，结合单调性定义进行说明；命题2）为假命题，列举反例即可；（3）由()321=+++f x x x x 写出一组符合题意的()1f x 和()2f x 即可.【小问1详解】()13=f x x 为R 上的增函数，()2f x x =-为R 上的减函数，()2f x x =为增函数；【小问2详解】命题1）：若()1f x 为增函数，则()f x 为增函数，是真命题；理由如下：设12x x <，由()1f x 为增函数可得()()1112f x f x <；若()2f x 为增函数或者常数函数，则()()()12f x f x f x =+一定为增函数；若()2f x 满足()()2221f x f x >，则由()()()()11122122->-f x f x f x f x 可得()()()()11122122f x f x f x f x -+>-，()()()()11211222f x f x f x f x +<+，即()()12f x f x <，所以()f x 为增函数；命题2）：若()2f x 为增函数，则()f x 为增函数，是假命题；如()3113x x f x =--为减函数，()2f x x =为增函数，()()()()3322111211222112121113333f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫-=-----=-+++ ⎪⎝⎭，()()212212f x f x x x -=-，若证()()()()11122122->-f x f x f x f x 恒成立，即证()()2221121212133x x x x x x x x -+++>-，12x x ≠，即证22121233x x x x +++>，22221212122133324x x x x x x x ⎛⎫+++=+++ ⎪⎝⎭ ，且1212x x +与2x 不同时为零，所以不等式22121233x x x x +++>恒成立，即()3113x x f x =--，()2f x x =满足()()()()11122122->-f x f x f x f x ，且()3113x x f x =--为减函数，()2f x x =为增函数，但是()313f x x =-不是增函数；所以命题2）是假命题；【小问3详解】答案不唯一；由()321=+++f x x x x ，令()31f x x x =+，为增函数，()221f x x =+非常数函数，()()()()()3322111211*********f x f x x x x x x x x x x x -=+-+=-+++，()()()()()22212212121211f x f x x x x x x x -=+-+=-+，若证()()()()11122122->-f x f x f x f x 恒成立，即证()()()()2212121212121x x x x x x x x x x -+++>-+，12x x ≠，即证221212121x x x x x x +++>+，又222212121221311024x x x x x x x ⎛⎫+++=+++> ⎪⎝⎭恒成立，所以当120x x +≥时，即证221212121x x x x x x +++>+，且()()()2222212121212121111110222x x x x x x x x x x +++--=++-+->恒成立，又12x x ≠，所以110x -=与210x -=不同时成立，即221212121x x x x x x +++>+恒成立，同理当120x x +<时，()221212121x x x x x x +++>-+，因为()()()222221212121212111111222x x x x x x x x x x +++++=+++++，又12x x ≠，所以110x +=与210x +=不同时成立，所以()()()2221212111110222x x x x +++++>恒成立，即原不等式恒成立，综上所述，221212121x x x x x x +++>+恒成立，即()()()()11122122->-f x f x f x f x 恒成立.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。

2016年10月2016～2017学年度上海市复旦大学附中高一上学期期中数学试卷一.填空题1.集合{1,2,3,…,2015,2016}的子集个数为.2.已知全集U＝R,集合A＝{x|x≤1},集合B＝{x|x≥2},则∁U(A∪B)＝.3.已知集合A＝{x|1≤x≤2},集合B＝{x|x≤a},若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是.4.己知集合U＝{a,b,c,d,e,f},集合A＝{a,b,c,d},A∩B＝{b},∁U(A∪B)＝{f},求集合B.5.已知a2＞a1＞0,b2＞b1＞0,且a1＋a2＝b1＋b2＝1,记A＝a1b1＋a2b2,B＝a1b2＋a2b1,C＝,则按A、B、C从小到大的顺序排列是.6.已知Rt△ABC的周长为定值2,则它的面积最大值为.7.我们将b﹣a称为集合M＝{x|a≤x≤b}的“长度”,若集合M＝{x|m≤x≤m＋},N＝{x|n﹣0.5≤x≤n},且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,则集合M∩N的“长度”的最小值是.8.已知A＝{x|＞x},B＝{x|x(x﹣3)(x＋3)＞0},则A∩B＝.9.对于任意集合X与Y,定义:①X﹣Y＝{x|x∈X且x∉Y},②X△Y＝(X﹣Y)∪(Y﹣X),已知A ＝{y|y＝x2,x∈R},B＝{y|﹣2≤y≤2},则A△B＝.10.已知常数a是正整数,集合A＝{x||x﹣a|＜a＋,x∈Z},B＝{x||x|＜2a,x∈Z},则集合A∪B中所有元素之和为.11.非空集合G关于运算⊕满足:(1)对任意a,b∈G,都有a＋b∈G;(2)存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e＝e⊕a＝a,则称G是关于运算⊕的融洽集,现有下列集合与运算:①G是非负整数集,⊕:实数的加法;②G是偶数集,⊕:实数的乘法;③G是所有二次三项式构成的集合,⊕:多项式的乘法;④G＝{x|x＝a＋b,a,b∈Q},⊕:实数的乘法;其中属于融洽集的是(请填写编号)12.集合A＝{(x,y)|y＝a|x|,x∈R},B＝{(x,y)|y＝x＋a,x∈R},已知集合A∩B中有且仅有一个元素,则常数a的取值范围是.二.选择题13.已知集合A＝{1,2,3,…,2105,2016},集合B＝{x|x＝3k＋1,k∈Z},则A∩B中的最大元素是()A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对14.已知全集U＝A∪B中有m个元素,(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为()A.mnB.m＋nC.n﹣mD.m﹣n15.命题“已知x,y∈R,如果x2＋y2＝0,那么x＝0且y＝0”的逆否命题是()A.已知x,y∈R,如果x2＋y2≠0,那么x≠0且y≠0B.已知x,y∈R,如果x2＋y2≠0,那么x≠0或y≠0C.已知x,y∈R,如果x≠0或y≠0,那么x2＋y2≠0D.已知x,y∈R,如果x≠0且y≠0,那么x2＋y2≠016.对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件;②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件;④“a＜4”是“a＜3”的必要条件;其中真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个三.解答题17.已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2﹣(a＋1)x＋a＝0,x∈R},若A∪B＝A,求实数a.18.已知a,b,c∈R＋,求证:2(a3＋b3＋c3)≥ab2＋a2b＋bc2＋b2c＋ac2＋a2c.19.设正有理数a1是的一个近似值,令a2＝1＋,求证:(1)介于a1与a2之间;(2)a2比a1更接近于.20.已知对任意实数x,不等式mx2﹣(3﹣m)x＋1＞0成立或不等式mx＞0成立,求实数m的取值范围.21.已知关于x的不等式(4kx﹣k2﹣12k﹣9)(2x﹣11)＞0,其中k∈R;(1)试求不等式的解集A;(2)对于不等式的解集A,记B＝A∩Z(其中Z为整数集),若集合B为有限集,求实数k的取值范围,使得集合B中元素个数最少,并用列举法表示集合B.2016年10月2016～2017学年度上海市复旦大学附中高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1.(2016秋•杨浦区校级期中)集合{1,2,3,…,2015,2016}的子集个数为22016.【知识考查点】子集与真子集.【专题】集合思想;集合.【试题分析】对于有限集合,我们有以下结论:若一个集合中有n个元素,则它有2n个子集. 【试题解答】解:∵集合{1,2,3,…,2015,2016}中有2016个元素,∴集合M{1,2,3,…,2015,2016}的子集的个数为22016;故答案为:22016.【点评】本题考查了集合的子集个数,若一个集合中有n个元素,则它有2n个子集,有(2n﹣1)个真子集,属于基础题.2.(2016秋•杨浦区校级期中)已知全集U＝R,集合A＝{x|x≤1},集合B＝{x|x≥2},则∁U(A∪B)＝{x|1＜x＜2} .【知识考查点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合思想;定义法;集合.【试题分析】根据并集与补集的定义,进行计算即可.【试题解答】解:全集U＝R,集合A＝{x|x≤1},集合B＝{x|x≥2},所以A∪B＝{x|x≤1或x≥2},所以∁U(A∪B)＝{x|1＜x＜2}.故答案为:{x|1＜x＜2}.【点评】本题考查了并集与补集的定义与应用问题,是基础题目.3.(2016秋•杨浦区校级期中)已知集合A＝{x|1≤x≤2},集合B＝{x|x≤a},若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是[1,＋∞).【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.【试题分析】题中条件:“A∩B≠∅,”表示两个集合的交集的结果不是空集,即可求解实数a的取值范围.【试题解答】解:集合A＝{x|1≤x≤2},集合B＝{x|x≤a},因为A∩B≠∅,所以a≥1故答案为:[1,＋∞)【点评】本题考查集合的关系、一元二次不等式的解法,考查运算能力,是基础题.4.(2016秋•杨浦区校级期中)己知集合U＝{a,b,c,d,e,f},集合A＝{a,b,c,d},A∩B＝{b},∁U(A∪B)＝{f},求集合B.【知识考查点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合思想;综合法;集合.【试题分析】根据全集U,以及A与B并集的补集确定出A与B的并集,再根据A与B的交集及A,确定出B即可.【试题解答】解:∵U＝{a,b,c,d,e,f},∁U(A∪B)＝{f},∴A∪B＝{a,b,c,d,e},∵A∩B＝{b};A＝{a,b,c,d},∴b∈B,e∈B,b∉B,c∉B,d∉B,∴B＝{b,e}.【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.5.(2016秋•杨浦区校级期中)已知a2＞a1＞0,b2＞b1＞0,且a1＋a2＝b1＋b2＝1,记A＝a1b1＋a2b2,B＝a1b2＋a2b1,C＝,则按A、B、C从小到大的顺序排列是B＜C＜A.【知识考查点】不等式比较大小.【专题】计算题;转化思想;转化法;不等式.【试题分析】不妨令a1＝,a2＝,b1＝,b2＝,分别求出A,B,比较即可【试题解答】解:∵a2＞a1＞0,b2＞b1＞0,且a1＋a2＝b1＋b2＝1,不妨令a1＝,a2＝,b1＝,b2＝,A＝a1b1＋a2b2＝＋＝,B＝a1b2＋a2b1＝＋＝,∵C＝＝∴B＜C＜A故答案为:B＜C＜A.【点评】本题主要考查不等式与不等关系,利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系,是一种简单有效的方法,属于基础题.6.(2016秋•杨浦区校级期中)已知Rt△ABC的周长为定值2,则它的面积最大值为3﹣2.【知识考查点】正弦定理.【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形;不等式的解法及应用.【试题分析】设直角边长为a,b,则斜边长为,利用直角三角形ABC的三边之和为2,可得a＋b＋＝2,利用基本不等式,即可求△ABC的面积的最大值.【试题解答】解:设直角边长为a,b,则斜边长为,∵直角三角形ABC的三边之和为2,∴a＋b＋＝2,∴2≥2＋,∴≤＝2﹣,∴ab≤6﹣4,∴S＝ba≤3﹣2,∴△ABC的面积的最大值为3﹣2.故答案为:3﹣2.【点评】本题考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,正确运用基本不等式是关键,属于中档题.7.(2016秋•杨浦区校级期中)我们将b﹣a称为集合M＝{x|a≤x≤b}的“长度”,若集合M＝{x|m≤x≤m＋},N＝{x|n﹣0.5≤x≤n},且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,则集合M∩N的“长度”的最小值是.【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;新定义;转化思想;转化法;集合.【试题分析】当集合M∩N的长度的最小值时,M与N应分别在区间[0,1]的左右两端,由此能求出M∩N的长度的最小值.【试题解答】解:根据题意,M的长度为,N的长度为,当集合M∩N的长度的最小值时,M与N应分别在区间[0,1]的左右两端,故M∩N的长度的最小值是＝.故答案为:.【点评】本题考查交集的“长度”的最小值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意新定义的合理运用.8.(2016秋•杨浦区校级期中)已知A＝{x|＞x},B＝{x|x(x﹣3)(x＋3)＞0},则A∩B＝{x|﹣3＜x＜0} .【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;方程思想;定义法;集合.【试题分析】先利用不等式的性质分别求出集合A和B,由此利用交集的性质能求出A∩B. 【试题解答】解:∵A＝{x|＞x}＝{x|﹣2≤x≤1,或x＜0},B＝{x|x(x﹣3)(x＋3)＞0}＝{x|﹣3＜x＜0或x＞3},∴A∩B＝{x|﹣3＜x＜0}.故答案为:{x|﹣3＜x＜0}.【点评】本题考查交集的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意无理不等式和高次不等式性质的合理运用.9.(2016秋•杨浦区校级期中)对于任意集合X与Y,定义:①X﹣Y＝{x|x∈X且x∉Y},②X△Y ＝(X﹣Y)∪(Y﹣X),已知A＝{y|y＝x2,x∈R},B＝{y|﹣2≤y≤2},则A△B＝[﹣3,0)∪(3,＋∞).【知识考查点】子集与交集、并集运算的转换.【专题】综合题;方程思想;演绎法;集合.【试题分析】由A＝{y|y＝x2,x∈R}＝{y|y≥0},B＝{y|﹣2≤y≤2},先求出A﹣B＝{y|y＞2},B﹣A＝{y|﹣2≤y＜0},再求A△B的值.【试题解答】解:∵A＝{y|y＝x2,x∈R}＝{y|y≥0},B＝{y|﹣2≤y≤2},∴A﹣B＝{y|y＞2},B﹣A＝{y|﹣2≤y＜0},∴A△B＝{y|y＞2}∪{y|﹣2≤y＜0},故答案为:[﹣3,0)∪(3,＋∞).【点评】本题考查集合的交、并、补集的运算,解题时要认真审题,仔细解答,注意正确理解X ﹣Y＝{x|x∈X且x∉Y}、X△Y＝(X﹣Y)∪(Y﹣X).10.(2016秋•杨浦区校级期中)已知常数a是正整数,集合A＝{x||x﹣a|＜a＋,x∈Z},B＝{x||x|＜2a,x∈Z},则集合A∪B中所有元素之和为2a.【知识考查点】并集及其运算.【专题】集合思想;转化法;集合.【试题分析】分别求出集合A、B中的元素,从而求出A、B的并集,求和即可.【试题解答】解:A＝{x||x﹣a|＜a＋,x∈Z}＝{0,a,2a},B＝{x||x|＜2a,x∈Z}＝{﹣a,0,a},则集合A∪B＝{﹣a,0,a,2a},故集合A∪B中所有元素之和是2a,故答案为:2a.【点评】本题考查了集合的运算,考查解绝对值不等式问题,是一道基础题.11.(2016秋•杨浦区校级期中)非空集合G关于运算⊕满足:(1)对任意a,b∈G,都有a＋b∈G;(2)存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e＝e⊕a＝a,则称G是关于运算⊕的融洽集,现有下列集合与运算:①G是非负整数集,⊕:实数的加法;②G是偶数集,⊕:实数的乘法;③G是所有二次三项式构成的集合,⊕:多项式的乘法;④G＝{x|x＝a＋b,a,b∈Q},⊕:实数的乘法;其中属于融洽集的是①④(请填写编号)【知识考查点】元素与集合关系的判断.【专题】新定义;集合思想;集合.【试题分析】逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件,若两个条件都满足,是“融洽集”,有一个不满足,则不是“融洽集”.【试题解答】解:①对于任意非负整数a,b知道:a＋b仍为非负整数,所以a⊕b∈G;取e＝0,及任意非负整数a,则a＋0＝0＋a＝a,因此G对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”;②对于任意偶数a,b知道:a＋b仍为偶数,故有a＋b∈G;但是不存在e∈G,使对一切a∈G都有a⊕e＝e⊕a＝a,故②的G不是“融洽集”.③对于G＝{二次三项式},若a、b∈G时,a,b的两个同类项系数,则其积不再为二次三项式,故G不是和谐集,故③不正确;④G＝{x|x＝a＋b,a,b∈Q},设x1＝a＋b,x2＝c＋d,则设x1＋x2＝(a＋c)＋(b＋d),属于集合G,取e＝1,a×1＝1×a＝a,因此G对于⊕实数的乘法运算来说是“融洽集”,故④中的G是“融洽集”.故答案为①④.【点评】本题考查了对新定义“融洽集”理解能力,及对有关知识的掌握情况.关键是看所给的数集是否满足“融洽集”的两个条件.12.(2016秋•杨浦区校级期中)集合A＝{(x,y)|y＝a|x|,x∈R},B＝{(x,y)|y＝x＋a,x∈R},已知集合A∩B中有且仅有一个元素,则常数a的取值范围是[﹣1,1] .【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;转化思想;转化法;集合.【试题分析】由已知得a|x|＝x＋a有1个解,由此能求出常数a的取值范围.【试题解答】解:∵集合A＝{(x,y)|y＝a|x|,x∈R},B＝{(x,y)|y＝x＋a,x∈R},集合A∩B中有且仅有一个元素,∴a|x|＝x＋a有1个解,若x≥0,ax＝x＋a,x＝,若x＜0,﹣ax＝x＋a,x＝﹣,由已知得或或或,解得﹣1≤a≤1.∴常数a的取值范围是[﹣1,1].故答案为:[﹣1,1].【点评】本题考查常数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,是基础题,解题时要认真审题,注意交集性质的合理运用.二.选择题13.(2016秋•杨浦区校级期中)已知集合A＝{1,2,3,…,2105,2016},集合B＝{x|x＝3k＋1,k∈Z},则A∩B中的最大元素是()A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对【知识考查点】交集及其运算.【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.【试题分析】由题意求出A与B的交集,即可作出判断.【试题解答】解:∵A＝{1,2,3,…,2105,2016},集合B＝{x|x＝3k＋1,k∈Z}∴则A∩B中的最大元素是2014.故选:A.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.14.(2009•江西)已知全集U＝A∪B中有m个元素,(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为()A.mnB.m＋nC.n﹣mD.m﹣n【知识考查点】Venn图表达集合的关系及运算.【专题】数形结合.【试题分析】要求A∩B的元素个数,可以根据已知绘制出满足条件的韦恩图,根据图来分析(如解法一),也可以利用德摩根定理解决(如解法二).【试题解答】解法一:∵(C U A)∪(C U B)中有n个元素,如图所示阴影部分,又∵U＝A∪B中有m个元素,故A∩B中有m﹣n个元素.解法二:∵(C U A)∪(C U B)＝C U(A∩B)有n个元素,又∵全集U＝A∪B中有m个元素,由card(A)＋card(C U A)＝card(U)得,card(A∩B)＋card(C U(A∩B))＝card(U)得,card(A∩B)＝m﹣n,故选D.【点评】解答此类型题目时,要求对集合的性质及运算非常熟悉,除教材上的定义,性质,运算律外,还应熟练掌握:①(C U A)∪(C U B)＝C U(A∩B)②(C U A)∩(C U B)＝C U(A∪B)③card(A∪B)＝card(A)＋card(B)﹣card(A∩B)等.15.(2016秋•杨浦区校级期中)命题“已知x,y∈R,如果x2＋y2＝0,那么x＝0且y＝0”的逆否命题是()A.已知x,y∈R,如果x2＋y2≠0,那么x≠0且y≠0B.已知x,y∈R,如果x2＋y2≠0,那么x≠0或y≠0C.已知x,y∈R,如果x≠0或y≠0,那么x2＋y2≠0D.已知x,y∈R,如果x≠0且y≠0,那么x2＋y2≠0【知识考查点】四种命题间的逆否关系.【专题】定义法;简易逻辑.【试题分析】根据已知中原命题,写出逆否命题,可得答案.【试题解答】解:命题“已知x,y∈R,如果x2＋y2＝0,那么x＝0且y＝0”的逆否命题是“已知x,y∈R,如果x≠0或y≠0,那么x2＋y2≠0”故选:C【点评】本题考查的知识点是四种命题,难度不大,属于基础题.16.(2016秋•杨浦区校级期中)对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件;②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件;④“a＜4”是“a＜3”的必要条件;其中真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【知识考查点】命题的真假判断与应用;必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】综合法;简易逻辑.【试题分析】逐项判断即可.①由ac＝bc不能推出a＝b;②由5是有理数易判断;③根据不等式的性质可得;④根据充分必要条件的定义易得.【试题解答】解:①由“a＝b“可得ac＝bc,但当ac＝bc时,不能得到a＝b,故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件,故①错误;②因为5是有理数,所以当a＋5是无理数时,a必为无理数,反之也成立,故②正确;③取a＝1,b＝﹣2,此时a2＜b2,故③错误;④当a＜4时,不能推出a＜3;当a＜3时,有a＜4成立,故“a＜4”是“a＜3”的必要不充分条件,故④正确.综上可得正确的命题有2个.故选:B.【点评】本题考查充分必要条件的判断,掌握充分必要条件的定义是关键.属于基础题.三.解答题17.(2016秋•杨浦区校级期中)已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2﹣(a＋1)x＋a＝0,x∈R},若A∪B ＝A,求实数a.【知识考查点】并集及其运算.【专题】计算题;分类讨论;集合.【试题分析】根据A∪B＝A,得到B⊆A,然后分B为空集和不是空集讨论,A为空集时,只要二次方程的判别式小于0即可,不是空集时,分别把1和2代入二次方程求解a的范围,注意求出a后需要验证.【试题解答】解:由A∪B＝A,得B⊆A.①若B＝∅,则△＝(a＋1)2﹣4a＜0,解得:a∈∅;②若1∈B,△＝(a＋1)2﹣4a＝0,此时a＝1,满足12﹣a﹣1＋a＝0,此时B＝{1},符合题意;③若2∈B,则22﹣2a﹣2＋a＝0,解得:a＝2,此时A＝{2,1},满足题意.④若3∈B,则32﹣3a﹣3＋a＝0,解得:a＝3,此时A＝{3,1},满足题意.综上所述,实数a的值为:1,2,3.【点评】本题考查了并集及其运算,考查了分类讨论的数学思想,求出a值后的验证是解答此题的关键,是基础题.18.(2016秋•杨浦区校级期中)已知a,b,c∈R＋,求证:2(a3＋b3＋c3)≥ab2＋a2b＋bc2＋b2c＋ac2＋a2c.【知识考查点】不等式的证明.【专题】证明题;转化思想;演绎法;不等式的解法及应用.【试题分析】作差,因式分解,即可得到结论.【试题解答】证明:(a3＋b3)﹣(a2b＋ab2)＝a2(a﹣b)＋b2(b﹣a)＝(a﹣b)(a2﹣b2)＝(a﹣b)2(a＋b)∵a＞0,b＞0,∴(a3＋b3)﹣(a2b＋ab2)≥0∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理b3＋c3≥bc2＋b2c,a3＋c3≥ac2＋a2c,三式相加,可得2(a3＋b3＋c3)≥ab2＋a2b＋bc2＋b2c＋ac2＋a2c.【点评】本题考查不等式的证明,考查作差法的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.19.(2016秋•杨浦区校级期中)设正有理数a1是的一个近似值,令a2＝1＋,求证:(1)介于a1与a2之间;(2)a2比a1更接近于.【知识考查点】二分法求方程的近似解.【专题】证明题;转化思想;作差法;不等式.【试题分析】(1)利用作差法,再因式分解,确定其符号,即可得到结论;(2)利用作差法,判断|a2﹣|﹣|a1﹣|＜0,即可得到结论【试题解答】证明:(1)a2﹣＝1＋﹣＝,∵若a1＞,∴a1﹣＞0,而1﹣＜0,∴a2＜∵若a1＜,∴a1﹣＜0,而1﹣＜0,∴a2＞,故介于a1与a2之间;(2)|a2﹣|﹣|a1﹣|＝﹣|a1﹣|＝|a1﹣|×,∵a1＞0,﹣2＜0,|a1﹣|＞0,∴|a2﹣|﹣|a1﹣|＜0∴|a2﹣|＜|a1﹣|∴a2比a1更接近于.【点评】本题考查不等式的证明,考查作差法的运用,确定差的符号是关键.20.(2016秋•杨浦区校级期中)已知对任意实数x,不等式mx2﹣(3﹣m)x＋1＞0成立或不等式mx＞0成立,求实数m的取值范围.【知识考查点】一元二次不等式的解法.【专题】分类讨论;转化思想;不等式的解法及应用.【试题分析】①对任意实数x,不等式mx2﹣(3﹣m)x＋1＞0成立,对m分类讨论,m＝0时,易判断出.m≠0时,,解出即可得出.②对任意实数x,不等式mx＞0成立,m∈∅.【试题解答】解:①对任意实数x,不等式mx2﹣(3﹣m)x＋1＞0成立,m＝0时化为:﹣3x＋1＞0,不成立,舍去.m≠0时,,解得.②对任意实数x,不等式mx＞0成立,m∈∅.综上可得:.∴实数m的取值范围是.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题.21.(2016秋•杨浦区校级期中)已知关于x的不等式(4kx﹣k2﹣12k﹣9)(2x﹣11)＞0,其中k∈R;(1)试求不等式的解集A;(2)对于不等式的解集A,记B＝A∩Z(其中Z为整数集),若集合B为有限集,求实数k的取值范围,使得集合B中元素个数最少,并用列举法表示集合B.【知识考查点】一元二次不等式的解法.【专题】分类讨论;不等式的解法及应用;不等式.【试题分析】(1)对k分类讨论,利用一元二次不等式的解法即可得出.(2)根据B＝A∩Z(其中Z为整数集),集合B为有限集,即可得出.【试题解答】解:(1)①当k＜0,A＝{x|};②当k＝0,A＝{x|x};③当0＜k＜1或k＞9,A＝{x|x,或x＞};④当1≤k≤9,A＝{x|x＜,或x＞};(2)B＝A∩Z(其中Z为整数集),集合B为有限集,只有k＜0,B＝{2,3,4,5}.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题.11。

2016-2017学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．（4分）函数y＝的定义域为．2．（4分）已知函数f（x）＝，则f（2017）等于．3．（4分）已知函数的定义域是非零实数，且在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数，则最小的自然数a等于．4．（4分）设函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，且f（x）＝，（x ≠﹣1），则g（x）＝．5．（4分）函数y＝log0.1（x2﹣x﹣2）的递增区间是．6．（4分）函数y＝lg（﹣1）的图象关于对称．7．（4分）已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b的代数式表示log1225＝．8．（4分）函数f（x）＝log a（x+1）（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，2]，则a＝．9．（4分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．10．（4分）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是．11．（4分）已知函数y＝f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝2|x|﹣1，则函数F（x）＝f（x）﹣|lgx|的零点有个．12．（4分）若x1满足2x+2x＝5，x2满足2x+2log2（x﹣1）＝5，则x1+x2＝．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上是单调递增的是（）A．y＝B．y＝（）|x|C．y＝ln|x|D．y＝x314．（4分）关于x的方程＝x+m有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A．m≥1或m＜B．m＞1或m≤C．＜m≤1D．≤m＜1 15．（4分）已知函数f（x）＝，且y＝f﹣1（x﹣1）的图象对称中心是（0，3），则a的值为（）A．B．2C．D．316．（4分）设a，b，c均为正数，且2a＝a，（）b＝b，（）c＝log2c，则（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c三、解答题（本题共5大题，满分56分)17．（10分）已知函数f（x）＝2+1og3x（1≤x≤9），求函数y＝f2（x）+f（3x）的最大值和最小值．18．（10分）设函数f（x）＝（a∈R）是R上的奇函数．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）的解析式；（3）若k∈R+，解不等式ln．19．（12分）若偶函数f（x）＝+1（m∈Z）在R+上是增函数．（1）确定函数y＝f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（x）（x∈（∞，t]）的最小值d（t）的解析式；（3）设g（x）＝﹣ax（a＞1），证明：函数y＝g（x）在R+上是减函数．20．（12分）对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则称f（x）与g （x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1（x）＝log a（x﹣3a），与f2（x）＝log a （a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．（1）若f1（x）与f1（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论f1（x）与f1（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的？21．（12分）在R上的递减函数f（x）满足：当且仅当x∈M⊆R+，函数值f（x）的集合为[0，2]且f（）＝1；对M中的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）．（1）求证：∈M，而M；（2）证明：f（x）在M上的反函数f﹣1（x）满足f﹣1（x1）•f﹣1（x2）＝f﹣1（x1+x2）；（3）解不等式：f﹣1（x2+x）•f﹣1（x+2）≤，（x∈[0，2]）2016-2017学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．【解答】解：根据函数y＝有意义可知解得：x≥1故答案为：[1，+∞）2．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（2017）＝f（2）＝f（﹣3）＝＝﹣1．故答案为：﹣1．3．【解答】解：对函数求导，得，又在（﹣∞，0）上是增函数，（1）当≥1，则必须为奇数（否则为减函数），则＞0，可得，得a≤﹣5，不符合题意，舍去．（2）当1＞＞0，则﹣2＞a＞﹣5，不符合舍去．（3）当时，必须符合﹣a﹣2为负奇数，则解得a＞1故答案为：3．4．【解答】解：函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，且f（x）＝，（x≠﹣1），令y＝，解得x＝，且y≠﹣1，交换x、y，得g（x）＝，（x≠﹣1）．故答案为：（x≠﹣1）．5．【解答】解：对于函数y＝log0.1（x2﹣x﹣2），由x2﹣x﹣2＞0，求得x＜﹣1，或x＞2，故函数的定义域为{x|x＜﹣1，或x＞2}，本题即求函数t＝x2﹣x﹣2在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t＝x2﹣x﹣2在定义域{x|x＜﹣1，或x＞2} 内的减区间为（﹣∞，﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣1）．6．【解答】解：∵函数y＝f（x）＝lg（﹣1）＝lg，∴函数y＝f（x）的定义域关于原点对称，又∵f（﹣x）＝lg＝lg（）﹣1＝﹣lg＝﹣f（x），故函数y＝f（x）为奇函数，故函数y＝lg（﹣1）的图象关于原点对称，故答案为：原点7．【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴log1225＝＝＝＝．故答案为：．8．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）＝a x﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上单调递增，则，解得：a＝，当a＜1时，函数f（x）＝a x﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上单调递减，则无解；故a＝．故答案为：9．【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），如图示：，令y＝k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，y＝k和f（x）有3个交点，即方程f（x）＝k有三个不同的实根，故答案为：（﹣1，0）．10．【解答】解：由题意，，解得4≤a＜8故答案为：4≤a＜811．【解答】解：函数F（x）＝f（x）﹣|lgx|的零点个数，即方程f（x）﹣|lgx|＝0的根的个数，也就是函数y＝f（x）与y＝|lgx|的交点个数，作出两函数的图象如图：由图可知，函数F（x）＝f（x）﹣|lgx|的零点有10个．故答案为：10．12．【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）＝5 ②所以由①得：⇒x1＝log2（5﹣2x1）即2x1＝2log2（5﹣2x1）令2x1＝7﹣2t，代入上式得7﹣2t＝2log2（2t﹣2）＝2+2log2（t﹣1）⇒5﹣2t＝2log2（t ﹣1）又∵由②式得：5﹣2x2＝2log2（x2﹣1），易知t＝x2于是2x1＝7﹣2x2即x1+x2＝故答案为：．二、选择题（每题4分，共16分）13．【解答】解：A.是奇函数，∴该选项错误；B.是偶函数；x＜0时，；∴该函数在（﹣∞，0）上是单调递增的；∴该选项正确；C．x＜0时，y＝ln|x|＝ln（﹣x）；∴该函数在（﹣∞，0）上单调递减；∴该选项错误；D．y＝x3是奇函数，∴该选项错误．故选：B．14．【解答】解：令y＝（x），则y2＝2x+1（x），其图象如图，联立，可得y2﹣2y+2m﹣1＝0．由△＝4﹣4（2m﹣1）＞0，得m＜1．又x+m≥0恒成立，得m≥﹣x恒成立，而x，∴﹣x，∴m．综上，＜1．故选：D．15．【解答】解：设，反解x＝，∴的反函数是f﹣1（x）＝，∴f﹣1（x﹣1）＝∴f﹣1（x﹣1）＝a+1+，其对称中心是（0，a+1）∵f﹣1（x﹣1）的图象的对称中心是（0，3），所以a+1＝3，所以a＝2．故选：B．16．【解答】解：在平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x，y＝（）x，y＝log2x图象，如图：可得a＜b＜c．故选：C．三、解答题（本题共5大题，满分56分)17．【解答】解：函数y＝f2（x）+f（3x），由，解得≤x≤3，可得g（x）的定义域为[，3]，又g（x）＝（2+log3x）2+（2+log33x）＝（log3x+）2+，可令t＝log3x，∵≤x≤3，∴﹣1≤t≤1，h（t）＝（t+）2+在﹣1≤t≤1递增，当t＝﹣1时，即x＝时，函数h（t）取得最小值3；当t＝1即x＝3时，h（t）取得最大值13，∴当x＝时，g（x）有最小值3；当x＝3时，g（x）有最大值13．18．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数；∴；∴a＝1；（2）设y＝f（x），则；∴；∴；∴函数f（x）的反函数，x∈（﹣1，1）；（3）解得，﹣1＜x＜1；∴由ln得，；∴，且k＞0；∴1﹣x＜k；∴x＞1﹣k；①若﹣1＜1﹣k＜1，即0＜k＜2，则原不等式的解集为（1﹣k，1）；②若1﹣k≤﹣1，即k≥2，则原不等式的解集为（﹣1，1）．19．【解答】解：（1）因为f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以﹣m2+m+＞0，解得：﹣1＜m＜3，又m∈Z，所以m＝0或m＝1或m＝2，当m＝0时，f（x）＝x+1不是偶函数，不合题意；当m＝1时，f（x）＝x2+1，符合题意；当m＝2时，f（x）＝x+1不是偶函数，不合题意．综上所述：f（x）＝x2+1（2）当t≤0时，f（x）在（﹣∞，t]上是减函数，所以x＝t时，d（t）＝t2+1；当t＞0时，d（t）＝1，综上所述：d（t）＝（3）g（x）＝﹣ax，（a＞1）g′（x）＝＝＝，因为，a＞1，所以g′（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上是减函数．20．【解答】解：（1）要使f1（x）与f2（x）有意义，则有，要使f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，等价于：，所以0＜a＜1．（2）f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的，⇔|f1（x）﹣f（x2）|≤1⇔|log a（x﹣3a）﹣|≤1⇔|log a[（x﹣3a）（x﹣a）]|≤1⇔a ≤（x﹣2a）2﹣a2对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．设h（x）＝（x﹣2a）2﹣a2，x∈[a+2，a+3]，且其对称轴x＝2a＜2在区间[a+2，a+3]的左边，⇔⇔⇔⇔，所以当，时，f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的．21．【解答】解：（1）证明：因为∈M，又＝×，f（）＝1，所以f（）＝f（×）＝f（）+f（）＝2∈[0，2]，所以∈M，又因为f（）＝f（×）＝f（）+f（）＝3∉[0，2]，所以∉M；（2）因为y＝f（x）在M上递减，所以y＝f（x）在M有反函数y＝f﹣1（x），x∈[0，2]任取x1、x2∈[0，2]，设y1＝f﹣1（x1），y2＝f﹣1（x2），所以x1＝f（y1），x2＝f（y2）（y1、y2∈M）因为x1+x2＝f（y1）+f（y2）＝f（y1y2），所以y1y2＝f﹣1（x1+x2），又y1y2＝f﹣1（x1）f﹣1（x2），所以：f﹣1（x1）•f﹣1（x2）＝f﹣1（x1+x2）；（3）因为y＝f（x）在M上递减，所以f﹣1（x）在[0，2]上也递减，f﹣1（x2﹣x）•f﹣1（x+2）≤等价于：f﹣1（x2﹣x+x+2）≤f﹣1（2）转化为，解得，即﹣1≤x≤0；∴不等式的解集为[﹣1，0]．。

2015-2016学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）函数定义域为{x|x＞﹣1且x≠2}．【解答】解：由，解得：x＞﹣1且x≠2．∴函数的定义域为{x|x＞﹣1且x≠2}．故答案为：{x|x＞﹣1且x≠2}．2．（4分）（2012•余杭区校级模拟）设f（x）=，若f（x）=3，则x= ．【解答】解：当x≤﹣1时，即x+2=3，解得x=1（舍去）当﹣1＜x＜2时，即x2=3，解得x=，或x=﹣（舍去）当x≥2时，即2x=3，解得x=（舍去）故当f（x）=3，则x=故答案为：3．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知幂函数f（x）=xα是偶函数，在[0，+∞）上递增的，且满足．请写出一个满足条件的α的值，α= ．【解答】解：根据幂函数f（x）=xα是偶函数，在[0，+∞）上递增的，知α＞0，且α为偶数；又满足．所以α＜1；写出一个满足条件的α值，则α=即可．故答案为：．4．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）函数的反函数为f﹣1（x）= ，（x∈（0，1））．【解答】解：由y=，解得x=＞0，解得0＜y＜1，因此f（x）的反函数为f﹣1（x）=，（x∈（0，1））．故答案为：，（x∈（0，1））．5．（4分）（2015春•龙岩期末）函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）．【解答】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}令t=x2﹣2x﹣3，则y=因为y=在（0，+∞）单调递减t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）故答案为：（﹣∞，﹣1）6．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）函数的图象与函数y=﹣log3x的图象关于直线y=x 对称．【解答】解：∵y=﹣log3x=log x，∴同底的指数函数和对数函数互为反函数，则图象关于y=x对称，故答案为：y=x7．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知log53=a，5b=7，则用a，b的代数式表示log63105=．【解答】解：∵log53=a，5b=7，∴=a，b=log57=，∴lg3=alg5，lg7=blg5，∴log63105===．故答案为：．8．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）方程：的解为{log23} ．【解答】解：由22x+1﹣6＞0，得2×4x＞6，即4x＞3，则方程等价为=log22x+log2（2x+1）=log22x（2x+1），即22x+1﹣6=2x（2x+1），即2（2x）2﹣6=（2x）2+2x，即（2x）2﹣2x﹣6=0，则（2x+2）（2x﹣3）=0，则2x﹣3=即2x=3，满足4x＞3，则x=log23，即方程的解为x=log23，故答案为：{log23}9．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）若函数的值域是R，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．【解答】解：∵函数的值域是R，∴其真数函数g（x）=x2+ax﹣a的函数值应该能够取遍所有正数，∴函数y=g（x）的图象应该与x轴相交即△=a2+4a≥0解得a≤﹣4或a≥0．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．10．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）若函数的值域为[﹣2，+∞），则实数a的取值范围为[﹣2，] ．【解答】解：∵函数的值域为[﹣2，+∞），当x≥2时，f（x）=﹣6+2x≥﹣2．当x＜2，f（x）=x2﹣ax+3=（x﹣）2+3﹣，当=2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥3﹣≥﹣2，解得﹣2≤a≤2，a=4∈[﹣2，2]，故a=4成立；当＜2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥3﹣≥﹣2，解得﹣2≤a＜4．当＞2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥（2﹣）2+3﹣≥﹣2，解得4＜a．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．11．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4．则x1+x2+x3+x4的取值范围为（，9）．【解答】解：作函数的图象如下，方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，结合图象，A，B，C，D的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，故x1+x2=﹣2，x3∈（，1），x4∈（1，10），故x3+x4∈（，11），∴x1+x2+x3+x4∈（，9），故答案为：（，9）．12．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知函数（1）f（x）=3lnx；（2）f（x）=3x2+1；（3）f（x）=3e x；（4）．其中满足对于任意x1∈D（其中D为函数的定义域），相应地存在唯一的x2∈D，使的函数的序号为（3）、（4）．【解答】解：根据题意可知：对于（1），函数f（x）=3lnx，x=1时，lnx没有倒数，不成立；对于（2），函数f（x）=3x2+1，当x1=0时，存在x2=±使得使，故不符合题意；对于（3），函数f（x）=3e x，对任意一个自变量x，函数f（x）都有倒数，且使成立；对于（4），函数f（x）=，对定义域内的任意一个自变量x，函数f（x）都有倒数，且使成立；所以成立的函数序号为（3）、（4）．故答案为：（3）、（4）．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=2|x|C．D．y=x3【解答】解：对于A，函数是奇函数，不满足；对于B，是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递增，不满足；对于C，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减，满足；对于D，函数是奇函数，不满足，故选C．14．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解答】解：函数f（x）=a x（0＜a＜1）的是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数f（x）=a x的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜﹣1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=a x+b的图象与y轴交于负半轴，如图，函数f（x）=a x+b的图象过二、三、四象限．故选A．15．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知a，b，c均大于1，且log a c•log b c=4，则下列各式中，一定正确的是（）A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c【解答】解：∵a、b、c均大于1，log a c•log b c=4，∴log c a•log c b=，∴log c a、log c b大于零，则log c a•log c b≤（log c a+log c b）2，即≤（log c a+log c b）2，∴（log c a+log c b）2≥1，∴（log c ab）2≥1，∴log c ab≥1或log c ab≤﹣1，当且仅当log c a=log c b，即a=b时取等号，∵a、b、c均大于1，∴log c ab＞1，解得ab≥c，故选：B16．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）定义在实数集R上函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x）．若函数y=f（﹣x）的反函数是y=f﹣1（﹣x），则y=f（﹣x）是（）A．是奇函数，不是偶函数B．是偶函数，不是奇函数C．既是奇函数数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数【解答】解：函数y=f（﹣x）的反函数是y=f﹣1（﹣x）=﹣f﹣1（x），关于原点对称，∴y=f（﹣x）是奇函数，故选A．三、解答题17．（8分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知函数f（x）=lg（x+1），解关于x的不等式0＜f （1﹣2x）﹣f（x）＜1．【解答】解：∵函数f（x）=lg（x+1），∴不等式0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1可化为0＜lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）＜1，即；化简得，即，解得即﹣＜x＜；∴原不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．18．（10分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知实数a＞0，且函数为奇函数．判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明．【解答】解：∵函数为奇函数，实数a＞0，∴有f（0）=0，即=0，解可得a=1，∴f（x）=；f（x）=1﹣理由：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=，∵x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）是增函数．19．（12分）（2015秋•杨浦区校级期末）函数f（x）=，其中a∈R．（1）若a=0，解不等式f（x）≥；（2）已知函数y=f（x）存在反函数，其反函数记为y=f﹣1（x）．若关于x的不等式：f﹣1（4﹣a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=0时，，∵，∴当x≥0时，f（x）=x2，解得x≥；当x＜0时，f（x）=，解得﹣2≤x＜0；综上，不等式的解集为{x|﹣2≤x＜0或x≥}；（2）若函数y=f（x）存在反函数，则函数f（x）在R为单调函数，则a≥1，此时函数f（x）在R为单调递增函数，x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）=a；此时f﹣1（x）=在（0，+∞）上也为增函数，若关于x的不等式：f﹣1（4﹣a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，则，当0＜4﹣a＜1，即3＜a＜4时，log2（4﹣a）≤a恒成立，当4﹣a≥1，即1≤a≤3时，解：得：﹣1+≤a≤2综上可得：a∈[﹣1+，2]∪（3，4）．20．（12分）（2015秋•杨浦区校级期末）若函数f（x）满足：对于其定义域D内的任何一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数f（x）在D上封闭．（1）若下列函数的定义域为D=（0，1），试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．f1（x）=2x﹣1，f2（x）=2x﹣1．（2）若函数g（x）=的定义域为（1，2），是否存在实数a，使得g（x）在其定义域（1，2）上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．若x0∈D且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．【解答】解：（1）在f1（x）=2x﹣1中，对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f1（x0）∈（﹣1，1）∉D1，故函数f1（x）=2x﹣1在D1上不封闭；在f2（x）=2x﹣1中，2x﹣1∈（0，1），在D1上封闭．（2）g（x）=的定义域为（1，2），对称中心为（﹣2，5），当a+10＞0时，函数g（x）=在D2上为增函数，只需，解得a=2当a+10＜0时，函数g（x）=在D2上为减函数，只需，解得a∈∅综上，所求a的值等于2．证明：（3）∵函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．x0∈D且f（f（x0））=x0，∴根据单调函数性质f（x0）∈D，则有唯一的x0∈D，∴f（x0）=x0．21．（14分）（2015秋•杨浦区校级期末）设定义在R上的函数f（x）、f1（x）和f2（x），满足f（x）=f1（x）+f2（x），且对任意实数x1、x2（x1≠x2），恒有|f1（x1）﹣f1（x2）|＞|f2（x1）﹣f2（x2）|成立．（1）试写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），使f1（x）为增函数，f2（x）为减函数，但f（x）为增函数．（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由．命题1）：若f1（x）为增函数，则f（x）为增函数；命题2）：若f2（x）为增函数，则f（x）为增函数．（3）已知f（x）=x3+x2+x+1，写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），且f2（x）为非常值函数，并说明理由．【解答】解：（1）根据题意，设函数f1（x）=3x为（0，+∞）上的增函数，f2（x）=﹣2x为（0，+∞）减函数，则f（x）=3x﹣2x是（0，+∞）上的单调增函数；（2）命题1）：若f1（x）为增函数，则f（x）为增函数，是真命题；理由是：设x1＜x2由y=f1（x）是区间D上的增函数可得f1（x1）＜f1（x2）①若f2（x）为单调递增或常函数，则y=F（x）是区间D上的增函数②若函数f2（x1）＞f2（x2），则由|f1（x1）﹣f1（x2）|＞|f2（x1）﹣f2（x2）|可得，﹣f1（x1）+f1（x2）＞f2（x1）﹣f2（x2）∴f1（x1）+f2（x1）＜f1（x2）+f2（x2），即f（x1）＜f（x2）；综上，函数f（x）为单调递增函数；命题2）：若f2（x）为增函数，则f（x）为增函数，是假命题；如函数f1（x）=﹣3x为减函数，f2（x）=2x为增函数，但f（x）=2x﹣3x不是单调递增函数；（3）由f（x）=x3+x2+x+1，令f1（x）=x3，为定义域R上的增函数，f2（x）=x2+x+1，且f2（x）为非常值函数，则f′（x）=3x2+2x+1=3+＞0，所以f（x）是定义域R上的增函数．。