2018复附高一数学期末考试卷(含解析)

2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式得到答案.详解】故答案选B【点睛】本题考查了诱导公式，属于简单题.2.在中，若，，，则角的大小为（）A. 30°B. 45°或135°C. 60°D. 135°【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】在中正弦定理：或故答案选B【点睛】本题考查了正弦定理，属于简单题.3.某中学举行高一广播体操比赛，共10个队参赛，为了确定出场顺序，学校制作了10个出场序号签供大家抽签，高一（l）班先抽，则他们抽到的出场序号小于4的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】古典概率公式得到答案.【详解】抽到的出场序号小于4的概率：故答案选D【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用齐次式，上下同时除以得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了三角函数值的计算，上下同时除以是解题的关键.5.某中学举行英语演讲比赛，如图是七位评委为某位学生打出分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的中位数和平均数分别为（）A. 84，85B. 85，84C. 84，85.2D. 86，85【答案】A【解析】【分析】剩余数据为：84.84,86,84,87，计算中位数和平均数.【详解】剩余数据为：84.84,86,84,87则中位数为：84平均数为：故答案为A【点睛】本题考查了中位数和平均数的计算，属于基础题型.6.已知向量，.且，则（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过得到，再利用和差公式得到答案.【详解】向量，.且故答案为B【点睛】本题考查了向量平行，正切值的计算，意在考查学生的计算能力.7.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成平局的概率为（）A. 50%B. 30%C. 10%D. 60%【答案】A【解析】【分析】甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加，计算得到答案.【详解】甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加甲、乙下成平局的概率为：故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件的概率，意在考查学生对于概率的理解.8.已知向量，，，的夹角为45°，若，则（）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】利用向量乘法公式得到答案.【详解】向量，，，的夹角为45°故答案选C【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.9.在中，若，则的形状是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】，两种情况对应求解.【详解】所以或故答案选D【点睛】本题考查了诱导公式，漏解是容易发生的错误.10.函数的图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】A【解析】【分析】函数过代入解得，再通过平移得到的图像.【详解】，函数过向右平移个单位得到的图象故答案选A【点睛】本题考查了三角函数图形，求函数表达式，函数平移，意在考查学生对于三角函数图形的理解.11.已知单位向量，，满足.若点在内，且，，则下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设，对比得到答案.【详解】设，则故答案为D【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.12.如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】计算函数的表达式，对比图像得到答案.【详解】根据题意知：到直线的距离为：对应图像为B故答案选B【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.二、填空题.13.已知三个事件，，两两互斥，且，，，则_______.【答案】0.9【解析】【分析】先计算，再计算【详解】故答案为：0.9【点睛】本题考查了互斥事件的概率，属于基础题型.14.己知函数，，则的值为______.【答案】1【解析】【分析】将代入函数计算得到答案.【详解】函数故答案为：1【点睛】本题考查了三角函数的计算，属于简单题.15.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表所示（单位：人）.若从该班随机选l名同学，则该同学至少参加上述一个社团的概率为__________.【答案】【解析】【分析】直接利用公式得到答案.【详解】至少参加上述一个社团的人数为15故答案为【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.16.己知函数，有以下结论：①的图象关于直线轴对称②在区间上单调递减③一个对称中心是④的最大值为则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.【答案】②④【解析】【分析】根据三角函数性质，逐一判断选项得到答案.【详解】，根据图像知：①的图象关于直线轴对称，错误②在区间上单调递减，正确③的一个对称中心是，错误④的最大值为，正确故答案为②④【点睛】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，满足，，且.（1）求;（2）在中，若，，求.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）将展开得到答案.（2），平方计算得到答案.【详解】解：（1）因为所以，，所以，，又夹角在上，∴；（2）因为，所以，，所以，边的长度为.【点睛】本题考查了向量夹角，向量的加减计算，意在考查学生的计算能力.18.如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于，两点，点.（1）若点，求的值：（2）若，求.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据计算，，代入公式得到答案.（2）根据,得到，根据计算得到答案.【详解】解：（1）因为是锐角，且，在单位圆上，所以，，，∴（2）因为，所以，且，所以，，可得：，且，所以，.【点睛】本题考查了三角函数的计算，意在考查学生对于三角函数定义的理解和应用.19.的内角，，的对边分别为，，，设.（1）求；（2）若，求.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由正弦定理得，再利用余弦定理的到.（2）将代入等式，化简得到答案.【详解】解：（1）由结合正弦定理得；∴又，∴.（2）由,∴∴,∴∴又∴解得：，【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，和差公式，意在考查学生的计算能力.20.某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：单价（元18）销量（册61）（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？附：，，，.【答案】(1) (2) 当单价应定为22.5元时，可获得最大利润【解析】【分析】（l）先计算的平均值，再代入公式计算得到（2）计算利润为：计算最大值.【详解】解：（1），，，所以对的回归直线方程为：．（2）设获得的利润为，，因为二次函数的开口向下，所以当时，取最大值，所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润．【点睛】本题考查了回归方程，函数的最值，意在考查学生的计算能力.21.手机支付也称为移动支付，是指允许移动用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.继卡类支付、网络支付后，手机支付俨然成为新宠.某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有100个人，把这100个人按照年龄分成5组，然后绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图.（1）求；（2）从第l，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第l，3，4组抽取的人数：（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.【答案】(1) ；(2) 第1组2人,第3组3人，第4组1人；(3)【解析】【分析】（1）直接计算.（2）根据分层抽样的规律按照比例抽取.（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，第4组抽取的1人为，排列出所有可能，再计算满足条件的个数，相除得到答案.【详解】解：（1）由题意可知，，（2）第1，3，4组共有60人，所以抽取的比例是则从第1组抽取的人数为,从第3组抽取的人数为，从第4组抽取的人数为；（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，第4组抽取的1人为，则从这6人中随机抽取2人有如下种情形：，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件.其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有，，，共4个基本事件，所以抽取2人来自同一个组的概率.【点睛】本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生解决问题的能力.22.已知函数.（1）求的最小正周期和上的单调增区间：（2）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) T=π，单调增区间为， (2)【解析】【分析】（1）化简函数得到，再计算周期和单调区间.（2）分情况的不同奇偶性讨论，根据函数的最值得到答案.【详解】解：（1）函数故的最小正周期．由题意可知：，解得：，因为，所以的单调增区间为，（2）由（1）得∵∴，∴，若对任意的和恒成立，则的最小值大于零．当为偶数时，，所以，当为奇数时，，所以，综上所述，的范围为.【点睛】本题考查了三角函数化简，周期，单调性，恒成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【分析】利用诱导公式得到答案.详解】故答案选B【点睛】本题考查了诱导公式，属于简单题.2.在中，若，，，则角的大小为（）A. 30°B. 45°或135°C. 60°D. 135°【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】在中正弦定理：或故答案选B【点睛】本题考查了正弦定理，属于简单题.3.某中学举行高一广播体操比赛，共10个队参赛，为了确定出场顺序，学校制作了10个出场序号签供大家抽签，高一（l）班先抽，则他们抽到的出场序号小于4的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】古典概率公式得到答案.【详解】抽到的出场序号小于4的概率：【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用齐次式，上下同时除以得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了三角函数值的计算，上下同时除以是解题的关键.5.某中学举行英语演讲比赛，如图是七位评委为某位学生打出分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的中位数和平均数分别为（）A. 84，85B. 85，84C. 84，85.2D. 86，85【答案】A【解析】【分析】剩余数据为：84.84,86,84,87，计算中位数和平均数.【详解】剩余数据为：84.84,86,84,87则中位数为：84平均数为：【点睛】本题考查了中位数和平均数的计算，属于基础题型.6.已知向量，.且，则（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过得到，再利用和差公式得到答案.【详解】向量，.且故答案为B【点睛】本题考查了向量平行，正切值的计算，意在考查学生的计算能力.7.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成平局的概率为（）A. 50%B. 30%C. 10%D. 60%【答案】A【解析】【分析】甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加，计算得到答案.【详解】甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加甲、乙下成平局的概率为：故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件的概率，意在考查学生对于概率的理解.8.已知向量，，，的夹角为45°，若，则（）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】利用向量乘法公式得到答案.【详解】向量，，，的夹角为45°故答案选C【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.9.在中，若，则的形状是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】，两种情况对应求解.【详解】所以或故答案选D【点睛】本题考查了诱导公式，漏解是容易发生的错误.10.函数的图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】A【解析】【分析】函数过代入解得，再通过平移得到的图像.【详解】，函数过向右平移个单位得到的图象故答案选A【点睛】本题考查了三角函数图形，求函数表达式，函数平移，意在考查学生对于三角函数图形的理解.11.已知单位向量，，满足.若点在内，且，，则下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设，对比得到答案.【详解】设，则故答案为D【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.12.如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】计算函数的表达式，对比图像得到答案.【详解】根据题意知：到直线的距离为：对应图像为B故答案选B【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.二、填空题.13.已知三个事件，，两两互斥，且，，，则_______.【答案】0.9【解析】【分析】先计算，再计算【详解】故答案为：0.9【点睛】本题考查了互斥事件的概率，属于基础题型.14.己知函数，，则的值为______.【答案】1【解析】【分析】将代入函数计算得到答案.【详解】函数故答案为：1【点睛】本题考查了三角函数的计算，属于简单题.15.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表所示（单位：人）.若从该班随机选l名同学，则该同学至少参加上述一个社团的概率为__________.【答案】【解析】【分析】直接利用公式得到答案.【详解】至少参加上述一个社团的人数为15故答案为【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.16.己知函数，有以下结论：①的图象关于直线轴对称②在区间上单调递减③一个对称中心是④的最大值为则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.【答案】②④【解析】【分析】根据三角函数性质，逐一判断选项得到答案.【详解】，根据图像知：①的图象关于直线轴对称，错误②在区间上单调递减，正确③的一个对称中心是，错误④的最大值为，正确故答案为②④【点睛】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，满足，，且.（1）求;（2）在中，若，，求.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）将展开得到答案.（2），平方计算得到答案.【详解】解：（1）因为所以，，所以，，又夹角在上，∴；（2）因为，所以，，所以，边的长度为.【点睛】本题考查了向量夹角，向量的加减计算，意在考查学生的计算能力.18.如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于，两点，点.（1）若点，求的值：（2）若，求.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据计算，，代入公式得到答案.（2）根据,得到，根据计算得到答案.【详解】解：（1）因为是锐角，且，在单位圆上，所以，，，∴（2）因为，所以，且，所以，，可得：，且，所以，.【点睛】本题考查了三角函数的计算，意在考查学生对于三角函数定义的理解和应用.19.的内角，，的对边分别为，，，设.（1）求；（2）若，求.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由正弦定理得，再利用余弦定理的到.（2）将代入等式，化简得到答案.【详解】解：（1）由结合正弦定理得；∴又，∴.（2）由,∴∴,∴∴又∴解得：，【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，和差公式，意在考查学生的计算能力.20.某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：单价18（元）销量61（册）（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？附：，，，.【答案】(1) (2) 当单价应定为22.5元时，可获得最大利润【解析】【分析】（l）先计算的平均值，再代入公式计算得到（2）计算利润为：计算最大值.【详解】解：（1），，，所以对的回归直线方程为：．（2）设获得的利润为，，因为二次函数的开口向下，所以当时，取最大值，所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润．【点睛】本题考查了回归方程，函数的最值，意在考查学生的计算能力.21.手机支付也称为移动支付，是指允许移动用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.继卡类支付、网络支付后，手机支付俨然成为新宠.某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有100个人，把这100个人按照年龄分成5组，然后绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图.（1）求；（2）从第l，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第l，3，4组抽取的人数：（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.【答案】(1) ；(2) 第1组2人,第3组3人，第4组1人；(3)【解析】【分析】（1）直接计算.（2）根据分层抽样的规律按照比例抽取.（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，第4组抽取的1人为，排列出所有可能，再计算满足条件的个数，相除得到答案.【详解】解：（1）由题意可知，，（2）第1，3，4组共有60人，所以抽取的比例是则从第1组抽取的人数为,从第3组抽取的人数为，从第4组抽取的人数为；（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，第4组抽取的1人为，则从这6人中随机抽取2人有如下种情形：，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件.其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有，，，共4个基本事件，所以抽取2人来自同一个组的概率.【点睛】本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生解决问题的能力.22.已知函数.（1）求的最小正周期和上的单调增区间：（2）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) T=π，单调增区间为， (2)【解析】【分析】（1）化简函数得到，再计算周期和单调区间.（2）分情况的不同奇偶性讨论，根据函数的最值得到答案.【详解】解：（1）函数故的最小正周期．由题意可知：，解得：，因为，所以的单调增区间为，（2）由（1）得∵∴，∴，若对任意的和恒成立，则的最小值大于零．当为偶数时，，所以，当为奇数时，，所以，综上所述，的范围为.【点睛】本题考查了三角函数化简，周期，单调性，恒成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。

2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.函数的最小正周期______.【答案】π【解析】函数y=3sin（2x+）的最小正周期是=π，故答案为：π．2.若扇形圆心角为，扇形面积为，则扇形半径为__________.【答案】2【解析】【分析】先将角度转化为弧度，然后利用扇形面积公式列方程，由此求得扇形的半径.【详解】依题意可知，圆心角的弧度数为，设扇形半径为，则.【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制的转化，考查扇形面积公式，属于基础题.3.在等差数列中，已知，，则________.【答案】-16【解析】【分析】设等差数列的公差为，利用通项公式求出即可.【详解】设等差数列的公差为，得，则.故答案为：【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题.4.若数列满足：，，则前8项的和_________.【答案】255【解析】【分析】根据已知判断数列为等比数列，由此求得其前项和.【详解】由于，故数列是首项为，公比为的等比数列，故.【点睛】本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列前项和公式，属于基础题.5.已知，则_________.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式求得的值，根据同角三角函数的基本关系式求得的值，根据二倍角公式求得的值.【详解】依题意，由于，所以，所以.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数基本关系式，二倍角公式，属于基础题.6.函数，为偶函数，则_______.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式以及的取值范围，求得的值.【详解】根据诱导公式可知，是的奇数倍，而，所以.【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查三角函数奇偶性，属于基础题.7.在中，,其面积，则长为________.【答案】49【解析】【分析】根据三角形面积公式求得，然后根据余弦定理求得.【详解】由三角形面积公式得,解得，由余弦定理得.【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.8.设表示等比数列的前项和，已知，则______.【答案】7【解析】【分析】根据等比数列的前项和公式化简已知条件，求得的值，由此求得所求表达式的值.【详解】由于数列为等比数列，故..【点睛】本小题主要考查数列的前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.9.数列中,则通项____________.【答案】【解析】因为数列的首项为1，递推关系式两边加1，得到等比数列，其公比为3，首项为2，因此可知。

福建师大附中 2018-2019 学年上学期期末考试高一数学试卷试卷说明：（1）本卷共三大题，23 小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。

（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。

第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一、选择题：每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 与 -2002º终边相同的最小正角是( ) A ．158ºB ．100ºC ．78ºD ． 22º2.已知角的终边上有一点 P的坐标是(1,-，则cos α的值为( )A ．-1B.2C ．33D ．13-3.已知[ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数，若 0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则[0x ]=（ ）A.1B ．2C ．3D ．44.一个钟表的分针长为 10，经过 35 分钟，分针扫过图形的面积是（ ）A.353π B ．1753π C ．3153π D ．1756π5..设 D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则（ ） A.1433AD AB AC=- B ．4133AD AB AC=+ C.1433AD AB AC =-+ D ．4133AD AB AC =- 6. 函数2lg(2cos 1)y x =-的定义域是（ ） A. |22Z 44x k x k k ππππ⎧⎫-++⎨⎬⎩⎭＜＜，∈ B. |Z 44x k x k k ππππ⎧⎫-++⎨⎬⎩⎭＜＜，∈ 时间： 120 分钟 满分： 150 分 命题：审核：C. 3|Z 44x k x k k ππππ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭＜＜，∈ D. 3|22Z 44x k x k k ππππ⎧⎫-++⎨⎬⎩⎭＜＜，∈ 7. 已知某函数的图象如右图，则该函数解析式可能是（ ）A.y 2xx =B.x22y =- C.y x e x =- D.22y x x =- 8.下列函数中，以2π未周期，2x π=为对称轴，且在(0,)2π上单调递增的函数是（ ）A.y sin(2)2x π=-B.y 2cos()2x π=+C.y 2sin sin x x =+D.y tan()24x π=+9.为了得到函数cos 2y x =-的图像，可将函数sin y x =图象上所有的点（ ）A 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移2π个单位长度B 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位长度C 横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移2π个单位长度D 横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位长度10.已知向量a ， b 不共线，若对任意x R ∈，恒有a xb a b -≥-成立，则有（ ）A. a b ⊥B. ()a a b ⊥-C. ()()a b a b +⊥-D.()b a b ⊥- 11.函数lg 0()sin ,0x x f x x x π⎧=⎨⎩,＞＜的图象上关于原点对称的点共有（ ）对A.7B.8C.9D.1012.若△ABC 外接圆圆心为O ，半径为4，且220,OA AB AC ++=则CA CB ∙的值为（ ） A.14B.D.2Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：每小题 5 分，共 30 分. 13.若5sin()=613πα-，则cos()3πα+= ____________ 14.若向量(,1)a m =与向量(2,)b m m =-的夹角是钝角，则实数m 的取值范围是________ 15.函数 ()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>=在一个周期内的图象如图所示， M 、N 分别是最高点、最低点，且满足OM ON ⊥(O 为坐标原点)，则()f x =__________16.定义：若a ，b 是不共线的向量，且OP xa yb =+，则称有序数对(,)x y 为点 P 相对应于基底a ，b 的坐标．已知单位向量12,e e 的夹角为 60，点 P 相对应于12,e e 的坐标为(-1，3)，则OP =________. 17.已知函数4,0()2,0xkx x f x x -+≥⎧=⎨⎩＜，若方程(())20f f x -=恰有三个实数根，则实数，k 的取值范围是_______________.18.如图所示，边长为 1的正方形P ABC 沿 x 轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处，点B 恰好能经过原点．设动点P 的纵坐标关于横坐标的函数解析式为()y f x =，则对函数 ()y f x = 有下列判断：① 函数()y f x = 是偶函数； ②()y f x =是周期为 4 的函数；③函数 ()y f x =在区间[10，12] 上单调递减；④函数 ()y f x = 在区间[1，1] 上的值域是[1] 其中判断正确的序号是．(写出所有正确结论的序号)三、解答题:5 小题，共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.已知锐角α的终边与单位圆的交点为)10P m ( I ) 求sin α的值；( II ) 求式子222sin 4cos sin cos cos ααααα--的值．20.已知向量(cos ,sin )a θθ= (其中02θπ≤≤)，1(,2b =-； ( I ) 当//a b 时，求θ的值；( II ) 当|||ka b a kb -=+时，（其中0k >），求a b ∙的取值范围； (Ⅲ) 在( II )中，当a b ∙取最小值时，求θ的值.21.某同学作函数 ()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><在[[0,]π这一个周期内的简图时，列表并填入了部分数据，如下表：( I ) 请将上表数据补充完整，并求出()f x 的解析式； ( II ) 作出 ()f x 在该周期内的图象；(Ⅲ) 若()f x 在区间[,]a b 上的值域是3[,3]2-，求b a -的最大值和最小值. 22. 已知某物体的温度θ（单位：摄氏度）关于时间t （单位：分钟）的变化规律是：122(0)t t m t θ-=⋅+≥( I ) 如果2m =，求经过多少时间，物体的温度为 5 摄氏度；( II ) 若物体的温度总不低于 2 摄氏度，求m 的取值范围. 23.已知函数sin cos sin cos ()2x x x xf x ++-=( I) 证明：π不是 ()f x 的周期；(II) 若()f x 关于x a =对称，写出所有 a 的值；设在 y 轴右侧的对称轴从左到右依次为12x ,,,,,n a x a x a === 求123()f a a a ++；(Ⅲ) 设22sin g()0)cos xx m x m=+＞，若存在实数,αβ，使()()f g αβ=成立，求m 的取值范围 福建师大附中 2018-2019 学年上学期期末考试高一数学参考答案一、选择题：二、填空题： 13.513 14.()122-∞-⋃⋃∞，（-2,0）（，+）15.5()sin(2)4f x x =+ππ17.122⎛⎤-- ⎥⎝⎦， 18.①②④ 三、解答题:19. （10 分）解：( I ) 由已知得，cos 10α=，且α为锐角，故sin α=（II ）由于2222sin 4cos tan 4sin cos cos tan 1ααααααα--=--且sin tan 7cos ααα==代入得，原式=15220. （12分）解：(I) 当//a b 时，有1cos sin 22θθ=-，从而tan θ=又02θπ≤＜ ，故2=3θπ或53π( II ) |ka b a kb -=+得，322ka ba kb -=+，展开得，222222362k a ka b b a ka b k b -⋅+=+⋅+，又221a a b b ====，代入化简得，2111(1)()44a b k k k k⋅=+=+（其中0k >）； 从而由基本不等式得，11242a b ⋅≥⨯=，当且仅当1k =时取等号.另一方面1,a b a b ⋅≤=故a b ⋅的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦（III ）当a b ⋅取最小值时，即12a b ⋅=时，设,a b 的夹角为β，则1c o s 2a b a b β⋅==，又[0,]βπ∈，从而3πβ= 而向量b 所在的终边对应的角可取为23π，故=3πθ或π.21.(12分)（1）由表可得，A =3，周期T =π，故22T πω==，再将最高点,33⎛⎫⎪⎝⎭π代入得，23sin()=33πϕ+，又由于2πϕ＜，故=6πϕ-；因此故()3sin(2)6f x x π=- (2)图略(3)由于()f x 是周期函数，不妨取上图中这个周期研究当0a =，3b π=时，b a -有最小值，是3π当0a =，3b π2=时，b a -有最小值，是23π22.（12分）解：（1）如果112,2222(2)2t t t tm θ-==⋅+=+ 当=5θ时， t 15222t+=令21t x =≥，则152x x +=，即22520x x -+=， 解得2x =或12x =（舍），此时1t =. 所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度.（2）物体的温度总不低于2摄氏度，即1=m 222t t θ-⋅+≥恒成立， 亦即2112()22t tm ≥-恒成立. 令(]10,12t x =∈，则22()m x x ≥-恒成立， 因为22112()2()22x x x -=--+，所以当12x =时，2max 1[2()]2x x -=，故12m ≥，即当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是1[,)2+∞法二：1222t t m θ-=∙+≥恒成立，即2(2)2220t tm ∙-∙+≥，令2[1,)tx =∈+∞，即2220m x x ∙-+≥在[1,)+∞上恒成立，则0m >，故对称轴10x m=>. 当101m <≤时，须满足220m -+≥，解得1m ≥； 当11m >时，须满足，解得112m ≤<； 综上，12m ≥.23.（14分）（1）假设π是()f x 的周期，则(0)()f f π=，但(0)1f =，()0f π=，(0)()f f π≠， 矛盾，所以假设不成立，故π不是()f x 的周期.（2）cos ,sin cos ()sin ,sin cos x x x f x x x x<⎧=⎨≥⎩，作出其函数图像，观察图像得知：,4a k k Z ππ=+∈，则14a π=，254a π=，394a π=，所以123154a a a π++=，则. 12315()()4f a a a f π++==（3）cos ,sin cos ()sin ,sin cos x x x f x x x x<⎧=⎨≥⎩，()f x 的值域为[. 2221cos 1()1cos cos x mg x x m x m-+==--++由2cos [0,1]x ∈，可知()g x 的值域为1[m.为了让()f x 的值域和()g x 的值域的交集不为空集，只要12m ≥-，即m ≤因此当0m <≤α，β，使()()f g αβ=.。

2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据直线方程求得直线的斜率，由此求得直线倾斜角.【详解】依题意可知直线的斜率为，故倾斜角为，故选B.【点睛】本小题主要考查直线斜率与倾斜角，属于基础题.2.某校有高一学生人，高二学生人，高三学生人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（）A. 高一学生被抽到的可能性最大B. 高二学生被抽到的可能性最大C. 高三学生被抽到的可能性最大D. 每位学生被抽到的可能性相等【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样是等可能的选出正确答案.【详解】由于分层抽样是等可能的，所以每位学生被抽到的可能性相等，故选D.【点睛】本小题主要考查随机抽样的公平性，考查分层抽样的知识，属于基础题.3.如图，正方体的棱长为，那么四棱锥的体积是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据锥体体积公式，求得四棱锥的体积.【详解】根据正方体的几何性质可知平面，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查四棱锥体积的计算，属于基础题.4.已知向量，，若与平行，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】先求得与，然后根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得的值.【详解】依题意与，由于与平行，所以，，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量坐标的线性运算，考查两个向量平行的条件，属于基础题.5.先后抛掷枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得全是正面的概率，用减去这个概率求得至少出现一次反面的概率.【详解】基本事件的总数为，全是正面的的事件数为，故全是正面的概率为，所以至少出现一次反面的概率为，故选D.【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查正难则反的思想，属于基础题.6.在△中，若，则△为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到，由此得到，进而判断出正确选项.【详解】由正弦定理得，所以，所以，故三角形为等腰三角形，故选A.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.7.若直线过圆的圆心，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得圆的圆心，代入直线方程，由此求得的值.【详解】依题意可知，圆的圆心为，代入直线方程得，解得，故选A.【点睛】本小题主要考查由圆的一般方程求圆心坐标，考查方程的思想，属于基础题.8.如图，向量，，，则向量可以表示为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量加法和减法的运算，求得的线性表示.【详解】依题意，即，故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，属于基础题.9.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据线线、线面和面面平行和垂直有关定理，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直另一个平面内的直线，故A选项错误.对于B选项，两个平面平行，一个平面内的直线和另一个平面内的直线不一定平行，故B选项错误.对于C选项，两条直线都跟同一个平面平行，它们可能相交、异面或者平行，故C选项错误.对于D 选项，根据平行的传递性以及面面垂直的判定定理可知，D选项命题正确.综上所述，本小题选D.【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面平行和垂直有关定理的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题.10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.在△中，，，，则_________．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求得的值，进而求得的大小.【详解】由余弦定理得，由于，故.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.12.某住宅小区有居民万户，从中随机抽取户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：则该小区已安装宽带的居民估计有______户．【答案】【解析】【分析】计算出抽样中已安装宽带的用户比例，乘以总人数，求得小区已安装宽带的居民数.【详解】抽样中已安装宽带的用户比例为，故小区已安装宽带的居民有户.【点睛】本小题主要考查用样本估计总体，考查频率的计算，属于基础题.13.已知点，，则向量______，与向量同向的单位向量为_______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】先求得，通过求得同方向的单位向量.【详解】依题意，故同方向的单位向量为.【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查向量同方向的单位向量的求法.14.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则_______.【答案】【解析】【分析】联立直线的方程和圆的方程，求得两点的坐标，根据点斜式求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得的长.【详解】由解得，直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以，令，得，所以.故答案为4【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查相互垂直的两条直线斜率的关系，考查直线的点斜式方程，属于中档题.15.下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，求能得出⊥面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)______【答案】①④⑤【解析】为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l位置固定，截面MNP变动，l与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN、NP、MP三条线中，若有一条不垂直l，则可断定l与面MNP不垂直；若有两条与l都垂直，则可断定l⊥面MNP；若有l的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．解法1 作正方体ABCD－A1B1C1D1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是对角线l (即 AC1)的垂面．对比图①，由MN∥BA l，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．对比图②，由MN与面CB1D1相交，而过交点且与l垂直的直线都应在面CBlDl内，所以MN不垂直于l，从而l不垂直于面MNP．对比图③，由MP与面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l 不垂直于面MNP．对比图④，由MN∥BD，MP∥BA．知面MNP∥面BA1 D，故l⊥面MNP．对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．综合得本题的答案为①④⑤．解法2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为．各图可讨论如下：在图①中，MN,NP在平面上的射影为同一直线，且与l垂直，故l⊥面MNP．事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是MP的垂线，故l⊥MP；l在左侧面的射影是MN的垂线，故l⊥MN，从而l⊥面 MNP．在图②中，由MP⊥面，可证明MN在平面上的射影不是l的垂线，故l不垂直于MN．从而l不垂直于面MNP．在图③中，点M在上的射影是l的中点，点P在上的射影是上底面的内点，知MP在上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面 MNP．在图④中，平面垂直平分线段MN，故l⊥MN．又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而l⊥MP，故l⊥面 MNP．在图⑤中，点N在平面上的射影是对角线l的中点，点M、P 在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直．从而l⊥面MNP．至此，得①④⑤为本题答案．三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知向量，满足：，，．（Ⅰ）求与的夹角；（Ⅱ）求．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）利用向量数量积的运算，化简，得到，由此求得的大小.（II）先利用向量的数量积运算，求得的值，由此求得的值.【详解】解：（Ⅰ）因为，所以．所以．因为，所以．（Ⅱ）因为，由已知，，所以．所以．【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查向量夹角计算，考查向量模的求法，属于基础题.17.在△中，若．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求△的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）利用正弦定理化简已知条件，由此求得的大小.（II）利用余弦定理求得的值，再根据三角形面积公式求得三角形面积.【详解】解：（Ⅰ）在△中，由正弦定理可知，，所以．所以．即．（Ⅱ）在△中，由余弦定理可知，．所以．所以．所以△的面积．【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18.年北京市进行人口抽样调查，随机抽取了某区居民人，记录他们的年龄，将数据分成组：，，，…，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于的概率；（Ⅱ）估计该区居民年龄的中位数（精确到）；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该区居民的平均年龄.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】（I）计算之间的频率和，由此估计出年龄不小于的概率.（II）从左往右，计算出频率之和为的位置，由此估计中中位数.（III）用各组中点值乘以频率人后相加，求得居民平均年龄的估计值.【详解】解：（Ⅰ）设从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60为事件,所以该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率为.（Ⅱ）年龄在的累计频率为,,所以估计中位数.（Ⅲ）平均年龄为【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的识别与应用，考查频率分布直方图估计中位数和平均数，考查运算求解能力，属于中档题.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，与交于点，，分别为，的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求证：平面.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（I）通过证明平面来证得平面平面.（II）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得，由此证得∥平面.（III）通过证明平面证得，通过计算证明证得，由此证得平面.【详解】证明：（Ⅰ）因为平面，所以.因为，，所以平面因为平面，所以平面平面.（Ⅱ）取中点，连结，因为为的中点所以，且.因为为的中点，底面为正方形，所以，且.所以，且.所以四边形为平行四边形.所以.因为平面且平面，所以平面.（Ⅲ）在正方形中，，因为平面，所以.因为，所以平面.所以在△中，设交于.因为，且分别为的中点，所以.所以.设，由已知，所以.所以.所以.所以，且为公共角，所以△∽△.所以.所以.因为，所以平面.【点睛】本小题主要考查线面垂直、面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心位于轴正半轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于13.（1）求圆的标准方程：（2）设过点的直线与圆交于不同的两点，，以，为邻边作平行四边形.是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程：如果不存在，请说明理由.【答案】(1) .(2) 不存在这样的直线.【解析】试题分析：（I）用待定系数法即可求得圆C的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2).l与圆C相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k与x1、x2之间关系式，进而求出k的值.若k的值满足Δ>0，则存在；若k的值不满足Δ>0，则不存在.试题解析：（I）设圆C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由题意知解得a=1或a=， 3分又∵S=πR2<13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：(x-1)2+y2=4． 6分（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又∵l与圆C相交于不同的两点，联立消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0， 9分∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0，解得或．x1+x2=，y1+ y2=k(x1+x2)+6=，，，假设∥，则，∴，解得，假设不成立．∴不存在这样的直线l． 13分考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系.2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据直线方程求得直线的斜率，由此求得直线倾斜角.【详解】依题意可知直线的斜率为，故倾斜角为，故选B.【点睛】本小题主要考查直线斜率与倾斜角，属于基础题.2.某校有高一学生人，高二学生人，高三学生人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（）A. 高一学生被抽到的可能性最大B. 高二学生被抽到的可能性最大C. 高三学生被抽到的可能性最大D. 每位学生被抽到的可能性相等【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样是等可能的选出正确答案.【详解】由于分层抽样是等可能的，所以每位学生被抽到的可能性相等，故选D.【点睛】本小题主要考查随机抽样的公平性，考查分层抽样的知识，属于基础题.3.如图，正方体的棱长为，那么四棱锥的体积是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据锥体体积公式，求得四棱锥的体积.【详解】根据正方体的几何性质可知平面，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查四棱锥体积的计算，属于基础题.4.已知向量，，若与平行，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】先求得与，然后根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得的值.【详解】依题意与，由于与平行，所以，，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量坐标的线性运算，考查两个向量平行的条件，属于基础题.5.先后抛掷枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得全是正面的概率，用减去这个概率求得至少出现一次反面的概率.【详解】基本事件的总数为，全是正面的的事件数为，故全是正面的概率为，所以至少出现一次反面的概率为，故选D.【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查正难则反的思想，属于基础题.6.在△中，若，则△为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到，由此得到，进而判断出正确选项.【详解】由正弦定理得，所以，所以，故三角形为等腰三角形，故选A.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.7.若直线过圆的圆心，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得圆的圆心，代入直线方程，由此求得的值.【详解】依题意可知，圆的圆心为，代入直线方程得，解得，故选A.【点睛】本小题主要考查由圆的一般方程求圆心坐标，考查方程的思想，属于基础题.8.如图，向量，，，则向量可以表示为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量加法和减法的运算，求得的线性表示.【详解】依题意，即，故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，属于基础题.9.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据线线、线面和面面平行和垂直有关定理，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直另一个平面内的直线，故A选项错误.对于B选项，两个平面平行，一个平面内的直线和另一个平面内的直线不一定平行，故B选项错误.对于C选项，两条直线都跟同一个平面平行，它们可能相交、异面或者平行，故C选项错误.对于D选项，根据平行的传递性以及面面垂直的判定定理可知，D选项命题正确.综上所述，本小题选D.【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面平行和垂直有关定理的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题.10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.在△中，，，，则_________．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求得的值，进而求得的大小.【详解】由余弦定理得，由于，故.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.12.某住宅小区有居民万户，从中随机抽取户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：则该小区已安装宽带的居民估计有______户．【答案】【解析】【分析】计算出抽样中已安装宽带的用户比例，乘以总人数，求得小区已安装宽带的居民数.【详解】抽样中已安装宽带的用户比例为，故小区已安装宽带的居民有户.【点睛】本小题主要考查用样本估计总体，考查频率的计算，属于基础题.13.已知点，，则向量______，与向量同向的单位向量为_______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】先求得，通过求得同方向的单位向量.【详解】依题意，故同方向的单位向量为.【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查向量同方向的单位向量的求法.14.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则_______.【答案】【解析】【分析】联立直线的方程和圆的方程，求得两点的坐标，根据点斜式求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得的长.【详解】由解得，直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以，令，得，所以.故答案为4【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查相互垂直的两条直线斜率的关系，考查直线的点斜式方程，属于中档题.15.下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，求能得出⊥面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)______【答案】①④⑤【解析】为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l位置固定，截面MNP变动，l与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN、NP、MP三条线中，若有一条不垂直l，则可断定l与面MNP不垂直；若有两条与l都垂直，则可断定l⊥面MNP；若有l的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．解法1 作正方体ABCD－A1B1C1D1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是对角线l (即 AC1)的垂面．对比图①，由MN∥BA l，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．对比图②，由MN与面CB1D1相交，而过交点且与l垂直的直线都应在面CBlDl内，所以MN不垂直于l，从而l不垂直于面MNP．对比图③，由MP与面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．对比图④，由MN∥BD，MP∥BA．知面MNP∥面BA1 D，故l⊥面MNP．对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．综合得本题的答案为①④⑤．解法2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为．各图可讨论如下：在图①中，MN,NP在平面上的射影为同一直线，且与l垂直，故l⊥面MNP．事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是MP的垂线，故l⊥MP；l在左侧面的射影是MN的垂线，故l⊥MN，从而l⊥面 MNP．在图②中，由MP⊥面，可证明MN在平面上的射影不是l的垂线，故l不垂直于MN．从而l不垂直于面MNP．在图③中，点M在上的射影是l的中点，点P在上的射影是上底面的内点，知MP在上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面 MNP．在图④中，平面垂直平分线段MN，故l⊥MN．又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而l⊥MP，故l⊥面 MNP．在图⑤中，点N在平面上的射影是对角线l的中点，点M、P在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直．从而l⊥面MNP．至此，得①④⑤为本题答案．三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知向量，满足：，，．（Ⅰ）求与的夹角；（Ⅱ）求．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）利用向量数量积的运算，化简，得到，由此求得的大小.（II）先利用向量的数量积运算，求得的值，由此求得的值.【详解】解：（Ⅰ）因为，所以．所以．因为，所以．（Ⅱ）因为，由已知，，所以．所以．【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查向量夹角计算，考查向量模的求法，属于基础题.17.在△中，若．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求△的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）利用正弦定理化简已知条件，由此求得的大小.（II）利用余弦定理求得的值，再根据三角形面积公式求得三角形面积.【详解】解：（Ⅰ）在△中，由正弦定理可知，，所以．所以．即．（Ⅱ）在△中，由余弦定理可知，．所以．所以．所以△的面积．【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18.年北京市进行人口抽样调查，随机抽取了某区居民人，记录他们的年龄，将数据分成组：，，，…，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于的概率；（Ⅱ）估计该区居民年龄的中位数（精确到）；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该区居民的平均年龄.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】（I）计算之间的频率和，由此估计出年龄不小于的概率.（II）从左往右，计算出频率之和为的位置，由此估计中中位数.（III）用各组中点值乘以频率人后相加，求得居民平均年龄的估计值.【详解】解：（Ⅰ）设从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60为事件,所以该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率为.（Ⅱ）年龄在的累计频率为,,所以估计中位数.（Ⅲ）平均年龄为【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的识别与应用，考查频率分布直方图估计中位数和平均数，考查运算求解能力，属于中档题.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，与交于点，，分别为，的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：∥平面；。

2018高一数学上学期期末考试试题及答案2018第一学期期末考试高一数学试题第Ⅰ卷（选择题共48分）参考公式：1．锥体的体积公式V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。

2．球的表面积公式S=4πR^2，球的体积公式V=4/3πR^3，其中R为球的半径。

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U={0,1,2,3}，A={1,3}，则集合C(U-A)的值为（）A。

{ }B。

{1,2}C。

{0,2}D。

{0,1,2}2．空间中，垂直于同一直线的两条直线（）A。

平行B。

相交C。

异面D。

以上均有可能3．已知幂函数f(x)=x的图象经过点(2,α)，则f(4)的值等于（）A。

16B。

11C。

2D。

1624.函数f(x)=1-x+lg(x+2)的定义域为（）A。

(-2,1)B。

[-2,1]C。

(-2,+∞)D。

(-2,1]5．动点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值为（）A。

10B。

22C。

6D。

266.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A。

若m∥n，m∥α，则n∥αB。

若α⊥β，XXXα，则m⊥βC。

若α⊥β，m⊥β，则XXXαD。

若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤1时，f(x)=2x-x^4，则f(1)等于（）A。

-3B。

-1C。

1D。

38．函数y=(1/2)x^2-x+1的值域是（）A。

RB。

(-∞。

+∞)C。

(2.+∞)D。

(0.+∞)9．已知圆A。

相交B。

内切C。

外切D。

相离10.当0<a<1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与y=loga(x)的图象是（）A。

B。

C。

D。

11.函数f(x)=e^(-1/2x)的零点所在的区间是（）A。

(-∞。

0)B。

(0.1)C。

(1.+∞)D。

(-∞。

2)12.已知函数f(x)=2x+4x，当x≥0时，g(x)=f(x)，当x<0时，g(x)=-f(-x)，则g(x)的解析式是（）A。

2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷2019.1一、填空题1.（19复旦附中高一期末1）()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________. 答案：（-1,1）2. （19复旦附中高一期末2）函数y ______. 答案： (],6-∞3.（19复旦附中高一期末3）研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x x y x -=⋅+≥.经过__________分钟，该物质温度为5摄氏度. 答案：13. （19复旦附中高一期末4）函数()()34,1log ,1aa x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________. 答案：（1.3）5.（19复旦附中高一期末5）函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是__________.答案：[)4,+∞6.（19复旦附中高一期末6）函数0.52log 1x y x =-的零点个数为_________个. 答案：27. （19复旦附中高一期末7）若函数()()()22lg 111f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________. 答案： 53a >或1a ≤8.（19复旦附中高一期末8）已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫⎪⎝⎭=________. 答案：19.（19复旦附中高一期末9）当lg lg ,a b a b =<时，则2a b +的取值范围是_________.答案： ()3,+∞10.（19复旦附中高一期末10）函数()142xf x =-的图像关于点__________成中心对称. 答案：（2,0）11.（19复旦附中高一期末11）设{}()()()21,1112,121M y y x N y y x m x x m -⎧⎫⎛⎫====--+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是________.答案：（-1,0）12.（19复旦附中高一期末12）已知函数()241f x ax x =++，若对任意()(),0x R f f x ∈≥恒成立，实数a 的取值范围是_________. 答案： [)3,+∞二、选择题13.（19复旦附中高一期末13）下列四组函数中，不是互为反函数的是（） A. 3y x -=和13y x -=B. 23y x =和()320y xx =≥C. ()20x y x =>和()2log 1y x x =>D. ()()lg 11y x x =->和101x y =+答案：B14.（19复旦附中高一期末14）“1a >”是“函数()()1x f x a a =-⋅是单调递增”的（）A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 充要条件D.既非充分也非必要条件答案：A15.（19复旦附中高一期末15）下列四个函数中，图像如图所示的只能是（） A. lg y x x =+ B. lg y x x =-+ C. lg y x x =-D. lg y x x =--答案：C16.（19复旦附中高一期末16）已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[-1,1]有下列结论：①当0n =时，(]0,2m ∈；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∉⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈ A. ①② B.①③ C.②③ D.③④答案：C 三、解答题17.（19复旦附中高一期末17）已知幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <. （1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2121log log 2,,22y f x f x x ⎡⎤=+∈⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦的值域.答案：（1）()30,m f x x == （2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.（19复旦附中高一期末18）已知函数()()2log ,f x x a a =+为常数，()g x 是定义在[-1,1]上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()f x 的反函数()1g x -.答案：（1）()32,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭（2）()[][]1210,1121,0x xx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩ 19.（19复旦附中高一期末19）如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中.钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率=-输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧拖，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算123,,L L L . 答案：（1）11 （2）1233125,2500,2000L L L ===20.（19复旦附中高一期末20）已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）（1）判断函数()2x y f =的奇偶数；（2）若不等式()2122++42x x f <在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围； （3）设()11x g x x -=+，是否存在整数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()(),,f g x f g n f f p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案：（1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数 （2）（-3,3）（3）5155,,3153⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.（19复旦附中高一期末21）函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数,x y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =； （2）比较()11,,122f ff ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小，并说明理由； （3）对任意的*,,x y Q x y ∈<，判断()(),f x f y 的大小关系，并说明理由. 答案：（1）略（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()()f x f y <。

2018-2019学年高一数学下学期期末检测试题（含解析）参考公式：棱锥的体积，其中为底面积，为高.圆锥的侧面积，其中是圆锥底面的周长，为母线长.方差.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据直线斜率可知，根据直线倾斜角的范围可求得结果.【详解】由直线方程可得直线斜率：设直线倾斜角为，则又本题正确选项：【点睛】本题考查直线倾斜角的求解，关键是明确直线倾斜角与斜率之间的关系.2.若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（）A. 平行B. 异面C. 相交D. 以上皆有可能【答案】D【解析】【分析】通过图形来判断直线的位置关系即可得到结果.【详解】若，，，位置关系如下图所示：若，，则，可知两条直线可以平行由图象知，与相交，可知两条直线可以相交由图象知，与异面，可知两条直线可以异面本题正确选项：【点睛】本题考查空间中直线的位置关系，属于基础题.3.经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（）A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条【答案】C【解析】【分析】若直线过原点，可知满足题意；直线不过原点时，利用直线截距式，代入点的坐标求得方程，从而得到结果.【详解】若直线过原点，则过的直线方程为：，满足题意若直线不过原点，设直线为：代入，解得：直线方程为：满足题意的直线有条本题正确选项：【点睛】本题考查在坐标轴截距相等的直线的求解，易错点是忽略直线过原点的情况.4.如图，正方体中，异面直线和所成角的大小为（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】连接，，根据平行关系可知所求角为，易知为等边三角形，从而可知，得到所求结果.【详解】连接，即为异面直线与所成角又即异面直线与所成角为：本题正确选项：【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是通过平移直线找到所成角，再放入三角形中进行求解.5.已知圆，直线，则直线与圆的位置关系（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上皆有可能【答案】C【解析】【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可用表示出圆心到直线的距离，分别在和两种情况下求解出，从而得到直线与圆相交.【详解】直线方程可整理为：由圆方程可知，圆心：；半径：圆心到直线的距离：若，则，此时直线与圆相交若，则又（当且仅当时取等号）则，此时直线与圆相交综上所述：直线与圆相交本题正确选项：【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判定，关键是明确直线与圆位置关系的判定是确定圆心到直线的距离与半径的大小关系，从而得到结果.6.在中，三条边分别为，若，则三角形的形状（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理可求得，可知为锐角；根据三角形大边对大角的特点可知为三角形最大的内角，从而得到三角形为锐角三角形.【详解】由余弦定理可得：且又，则均为锐角，即为锐角三角形本题正确选项：【点睛】本题考查解三角形中三角形形状的判断，关键是能够利用余弦定理首先确定最大角所处的范围，涉及到三角形大边对大角的性质的应用.7.表示直线，表示平面，下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若⊥，⊥，则⊥C. 若⊥，⊥，则D. 若⊥，⊥，则【答案】D【解析】【分析】根据空间中线线、线面之间的位置关系依次判断各个选项即可.详解】，，此时或，错误；，，此时或，错误；，，此时可能平行、异面或相交，错误；垂直于同一平面的两直线平行，正确.本题正确结果：【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的相关定理的应用，属于基础题.8.已知中，，将绕所在直线旋转一周，形成几何体,则几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定旋转体为两个圆锥构成的组合体，则所求表面积为两个圆锥的侧面积之和，求出侧面积即可得到结果.【详解】由题意可知，所得几何体为以边的高为底面圆半径，AB，AC为母线的两个圆锥构成的组合体，可得底面圆半径为：，母线长为：几何体表面积为：本题正确选项：【点睛】本题考查旋转体侧面积的相关求解问题，关键是能明确旋转后所得的几何体.9.在中，角的对边分别为，若，则（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理可求得，根据的范围可求得结果.【详解】由正弦定理可得：且或本题正确结果：【点睛】本题考查正弦定理解三角形问题，属于基础题.10.若点在圆上运动，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圆的方程求得圆心和半径；根据点坐标可得其轨迹为一条直线，则所求的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线距离公式求得距离后，代入可得结果.【详解】由圆的方程得：圆心坐标，半径点轨迹为：，即圆心到直线距离：本题正确选项：【点睛】本题考查圆上的点到直线上的点的距离的最小值的求解问题，关键是能够通过点的坐标得到轨迹方程.11.在中，已知的平分线,则的面积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据和可求得，利用同角三角函数和二倍角公式可求得，代入三角形面积公式求得结果.【详解】为角平分线，即则本题正确选项：【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，关键是能够通过面积桥的方式，借助角平分线可构造出关于三角函数值的方程，从而使得问题得以求解.12.在平面直角坐标系中，点在圆上运动，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据圆的方程、可知，从而得到，进而根据比例关系得到，将问题转化为求解的最小值的问题，可知当为线段与圆的交点时，取最小值，两点间距离公式求得即为所求最小值.【详解】为圆上任意一点，圆的圆心，半径，如下图所示，，，，即又（当且仅当为线段与圆的交点时取等号），即的最小值为本题正确选项：【点睛】本题考查圆的问题中的距离之和的最值问题的求解，关键是能够通过比例关系将转化为，进而变为两个线段的距离之和的最小值的求解，利用三角形三边关系可知三点共线时取最小值，属于较难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某学校有教师人，男学生人，女学生人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为人的样本进行某项调查，则应抽取的女学生人数为_________．【答案】【解析】【分析】首先计算出抽样比，再根据分层抽样的原则计算可得结果.【详解】由题意可得抽样比为：则抽取的女学生人数为：人本题正确结果：【点睛】本题考查分层抽样相关计算问题，属于基础题.14.如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物的高度（建筑物垂直于地面），设计测量方案为先在地面选定两点，其距离为米，然后在处测得，在处测得，，则此建筑物的高度为__________米.【答案】【解析】【分析】由三角形内角和求得，在中利用正弦定理求得；在中，利用正弦的定义可求得结果.【详解】由题意知：在中，由正弦定理可得：即：在中，本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的测量高度的问题，涉及到正弦定理的应用问题.15.已知圆和直线，是直线上一点，若圆上存在两点，满足，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由向量相等可知三点共线且为线段中点，则；利用勾股定理和弦长为分别表示出和，从而可建立等式，根据的范围构造不等式可求得结果.【详解】由得：三点共线且为线段中点则：设圆心到直线的距离为则，为圆的弦本题正确结果：【点睛】本题考查直线与圆的相关知识的应用，涉及到直线被圆截得的弦长、勾股定理、两点间距离公式、直线与圆位置关系的应用，关键是能够利用向量相等得到三点共线和线段长度关系，从而构造方程来建立等量关系.16.如图，棱长为（单位：）的正方体木块经过适当切割，得到几何体，已知几何体由两个地面相同的正四棱锥组成，底面平行于正方体的下底面，且各顶点均在正方体的面上，则几何体体积的取值范围是__________．（单位：）【答案】【解析】【分析】根据图形可知几何体体积由正方形面积来决定，根据截面正方形可知当为四边中点时，面积最小；为正方形四个顶点时，面积最大，从而得到面积的取值范围；利用棱锥的体积公式可求得几何体的体积的取值范围.【详解】由题意知，几何体中两个正四棱锥的高均为，则几何体体积取值范围由正方形的面积来决定底面平行于正方体底面，则可作所在截面的平面图如下：由正方形对称性可知，当为四边中点时，取最小值；当为正方形四个顶点时，取最大值；即；几何体体积：本题正确结果：【点睛】本题考查棱锥体积的有关计算，关键是将所求几何体变为两个正四棱锥体积之和，确定正四棱锥的高为定值，从而将问题转化为四边形面积的求解问题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，三棱柱中，，平面平面.证明：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据三棱柱特点可知，根据线面平行判定定理证得结论；（2）由四边形为菱形可得，根据面面垂直的性质可知平面，根据面面垂直的判定定理证得结论.【详解】（1）几何体为三棱柱四边形为平行四边形又平面，平面平面（2）且四边形为平行四边形四边形为菱形又平面平面，平面平面平面又平面平面平面【点睛】本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直关系的证明，涉及到空间几何体的结构、面面垂直性质定理的应用等知识，属于常考题型.18.在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和，所在直线的方程为.（1）求对角线所在直线的方程；（2）求所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据坐标求得和中点；根据菱形特点可知对角线互相垂直且平分，可得直线斜率和在直线上，利用点斜式写出直线方程；（2）由直线和的方程解得点坐标，从而求得；由平行关系可知，利用点斜式写出直线方程.【详解】（1）由和得：，中点四边形为菱形，且为中点，对角线所在直线方程为：，即：（2）由，解得：直线的方程为：，即：【点睛】本题考查直线方程的求解问题，关键是能够通过菱形的特点得到所求直线斜率与已知斜率之间的关系，从而运用直线点斜式方程求得结果.19.在中，角的对边分别为，已知（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和二倍角公式可构造方程求得；（2）由余弦定理构造方程可求得的两个解，其中时，验证出与已知条件矛盾，从而得到结果.【详解】（1）在中，由正弦定理得：（2）在中，由余弦定理得：由整理可得：解得：或当时，，又，此时，与已知矛盾，不合题意，舍去当时，符合要求综上所述：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，易错点是求得边长后忽略了已知中的长度和角度关系，造成增根出现.20.某单位开展“党员在线学习”活动，统计党员某周周一至周日（共天）学习得分情况，下表是党员甲和党员乙学习得分情况：党员甲学习得分情况党员乙学习得分情况（1）求本周党员乙周一至周日（共天）学习得分平均数和方差；（2）从本周周一至周日中任选一天，求这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于分的概率；（3）根据本周某一天的数据，将全单位名党员的学习得分按照，,，，进行分组、绘制成频率分布直方图（如图）已知这一天甲和乙学习得分在名党员中排名分别为第和第名，请确定这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图．（直接写结果，不需要过程）【答案】（1）平均数：；方差：；（2）；（3）周三符合要求.【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的公式直接求解即可；（2）等可能的基本事件共个，满足题意的共个，根据古典概型概率公式计算可得结果；（3）分别计算出每个得分区间的人数，根据甲乙的排名确定甲乙所在的区间，综合两人同一天的数据可得结果.【详解】（1）平均数：方差：（2）共有个等可能基本事件：“周一甲乙；周二甲乙；周三甲乙；周四甲乙；周五甲乙；周六甲乙；周日甲乙”记“从周一至周日中任选一天，这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于”为事件.则事件中包含的基本事件有个：“周二甲乙；周五甲乙；周日甲乙”（3）周三．由直方图知，学习得分落在，，，，区间内的人数依次为：人，人，人，人，人由甲学习得分排名第，可知当天甲学习得分在，只有周二、周三和周日；由乙学习得分排名第，可知当天乙学习得分在，只有周三和周六所以周三符合要求．【点睛】本题考查统计中的平均数和方差的计算、古典概型概率问题的求解、根据频率分布直方图计算频率和频数来解决实际问题，考查学生的运算求解能力.21.如图，已知圆与轴的左右交点分别为，与轴正半轴的交点为.（1）若直线过点并且与圆相切，求直线的方程；（2）若点是圆上第一象限内的点，直线分别与轴交于点，点是线段的中点，直线，求直线的斜率.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）首先验证当直线斜率不存在时，可知满足题意；当直线斜率不存在时，假设直线方程，利用构造方程可求得切线斜率，从而得到结果；（2）假设直线方程，与圆的方程联立可求得；求出直线斜率后，可得，利用可知，从而构造方程可求得直线的斜率.【详解】（1）当斜率不存在时，直线方程为：，与圆相切，满足题意当斜率存在时，设切线方程为：，即：由直线与圆相切得：，即：，解得：切线方程为：，即：综上所述，切线方程为：或（2）由题意易知直线的斜率存在故设直线的方程为：，由消去得：，代入得：在中，令得：点是线段的中点中，用代得：且即：，又，解得：【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及圆的切线方程的求解、直线斜率的求解等问题.易错点是在求解切线方程时，忽略了斜率不存在的情况，造成求解错误.22.如图，在平面凸四边形中（凸四边形指没有角度数大于的四边形），.（1）若，，求；（2）已知，记四边形的面积为.①求的最大值；②若对于常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.（直接写结果，不需要过程）【答案】（1）3；（2）①；②.【解析】分析】（1）在中，利用余弦定理求得；在中利用余弦定理构造关于的方程，解方程求得结果；（2）①在和中利用余弦定理构造等量关系可得，根据三角形面积公式可得，两式平方后作和可得，当时，可求得的最大值；②由可知，根据①可知，的范围由的范围决定，求解出且，且为钝角、为锐角；根据的单调性可求得最小值，从而求得得到结果.【详解】（1）在中，，，由余弦定理得：在中，，，由余弦定理得：即：，解得：（2）①在和中，由余弦定理得：整理可得：面积：，即：即：当时，即，时，四边形面积的最大值为：②由①知：，则需研究的范围.当增大时，增大，从而随之增大所以，当趋于共线时，趋于，其中钝角满足当减小时，减小，从而随之减小所以，当趋于共线时，趋于，其中锐角满足令，则在上递增，在上递减并且，，，即【点睛】本题考查解三角形相关知识，涉及到余弦定理解三角形、三角形面积公式、两角和差余弦公式的应用等知识，难点在于求解函数的最值时，角度的取值范围需要根据极限状态来求得，计算难度较大，属于难题.2018-2019学年高一数学下学期期末检测试题（含解析）参考公式：棱锥的体积，其中为底面积，为高.圆锥的侧面积，其中是圆锥底面的周长，为母线长.方差.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据直线斜率可知，根据直线倾斜角的范围可求得结果.【详解】由直线方程可得直线斜率：设直线倾斜角为，则又本题正确选项：【点睛】本题考查直线倾斜角的求解，关键是明确直线倾斜角与斜率之间的关系.2.若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（）A. 平行B. 异面C. 相交D. 以上皆有可能【答案】D【解析】【分析】通过图形来判断直线的位置关系即可得到结果.【详解】若，，，位置关系如下图所示：若，，则，可知两条直线可以平行由图象知，与相交，可知两条直线可以相交由图象知，与异面，可知两条直线可以异面本题正确选项：【点睛】本题考查空间中直线的位置关系，属于基础题.3.经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（）A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条【答案】C【解析】【分析】若直线过原点，可知满足题意；直线不过原点时，利用直线截距式，代入点的坐标求得方程，从而得到结果.【详解】若直线过原点，则过的直线方程为：，满足题意若直线不过原点，设直线为：代入，解得：直线方程为：满足题意的直线有条本题正确选项：【点睛】本题考查在坐标轴截距相等的直线的求解，易错点是忽略直线过原点的情况.4.如图，正方体中，异面直线和所成角的大小为（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】连接，，根据平行关系可知所求角为，易知为等边三角形，从而可知，得到所求结果.【详解】连接，即为异面直线与所成角又即异面直线与所成角为：本题正确选项：【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是通过平移直线找到所成角，再放入三角形中进行求解.5.已知圆，直线，则直线与圆的位置关系（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上皆有可能【答案】C【解析】【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可用表示出圆心到直线的距离，分别在和两种情况下求解出，从而得到直线与圆相交.【详解】直线方程可整理为：由圆方程可知，圆心：；半径：圆心到直线的距离：若，则，此时直线与圆相交若，则又（当且仅当时取等号）则，此时直线与圆相交综上所述：直线与圆相交本题正确选项：【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判定，关键是明确直线与圆位置关系的判定是确定圆心到直线的距离与半径的大小关系，从而得到结果.6.在中，三条边分别为，若，则三角形的形状（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理可求得，可知为锐角；根据三角形大边对大角的特点可知为三角形最大的内角，从而得到三角形为锐角三角形.【详解】由余弦定理可得：且又，则均为锐角，即为锐角三角形本题正确选项：【点睛】本题考查解三角形中三角形形状的判断，关键是能够利用余弦定理首先确定最大角所处的范围，涉及到三角形大边对大角的性质的应用.7.表示直线，表示平面，下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若⊥，⊥，则⊥C. 若⊥，⊥，则D. 若⊥，⊥，则【答案】D【解析】【分析】根据空间中线线、线面之间的位置关系依次判断各个选项即可.详解】，，此时或，错误；，，此时或，错误；，，此时可能平行、异面或相交，错误；垂直于同一平面的两直线平行，正确.本题正确结果：【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的相关定理的应用，属于基础题.8.已知中，，将绕所在直线旋转一周，形成几何体,则几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定旋转体为两个圆锥构成的组合体，则所求表面积为两个圆锥的侧面积之和，求出侧面积即可得到结果.【详解】由题意可知，所得几何体为以边的高为底面圆半径，AB，AC为母线的两个圆锥构成的组合体，可得底面圆半径为：，母线长为：几何体表面积为：本题正确选项：【点睛】本题考查旋转体侧面积的相关求解问题，关键是能明确旋转后所得的几何体.9.在中，角的对边分别为，若，则（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理可求得，根据的范围可求得结果.【详解】由正弦定理可得：且或本题正确结果：【点睛】本题考查正弦定理解三角形问题，属于基础题.10.若点在圆上运动，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圆的方程求得圆心和半径；根据点坐标可得其轨迹为一条直线，则所求的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线距离公式求得距离后，代入可得结果.【详解】由圆的方程得：圆心坐标，半径点轨迹为：，即圆心到直线距离：本题正确选项：【点睛】本题考查圆上的点到直线上的点的距离的最小值的求解问题，关键是能够通过点的坐标得到轨迹方程.11.在中，已知的平分线,则的面积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据和可求得，利用同角三角函数和二倍角公式可求得，代入三角形面积公式求得结果.【详解】为角平分线，即则本题正确选项：【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，关键是能够通过面积桥的方式，借助角平分线可构造出关于三角函数值的方程，从而使得问题得以求解.12.在平面直角坐标系中，点在圆上运动，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据圆的方程、可知，从而得到，进而根据比例关系得到，将问题转化为求解的最小值的问题，可知当为线段与圆的交点时，取最小值，两点间距离公式求得即为所求最小值.【详解】为圆上任意一点，圆的圆心，半径，如下图所示，，，，即又（当且仅当为线段与圆的交点时取等号），即的最小值为本题正确选项：【点睛】本题考查圆的问题中的距离之和的最值问题的求解，关键是能够通过比例关系将转化为，进而变为两个线段的距离之和的最小值的求解，利用三角形三边关系可知三点共线时取最小值，属于较难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某学校有教师人，男学生人，女学生人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为人的样本进行某项调查，则应抽取的女学生人数为_________．【答案】【解析】【分析】首先计算出抽样比，再根据分层抽样的原则计算可得结果.【详解】由题意可得抽样比为：则抽取的女学生人数为：人本题正确结果：【点睛】本题考查分层抽样相关计算问题，属于基础题.14.如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物的高度（建筑物垂直于地面），设计测量方案为先在地面选定两点，其距离为米，然后在处测得，在处测得，，则此建筑物的高度为__________米.。

2018-2019学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）计算limn→∞2n−33n+1=___ ．2.（填空题.4分）2与8的等比中项是___ ．3.（填空题.4分）函数y=arctanx.x∈（0.1）的反函数为___ ．4.（填空题.4分）在等差数列{a n}中.a1=2.a3+a5=10.则a7=___ ．5.（填空题.4分）用列举法表示集合{x|cos（x- π3）= 12，x∈[0，π] }=___ ．6.（填空题.4分）在△ABC中.角A.B.C所对的边分别为a.b.c.若面积S= a2+b2−c22.则角C=___ ．7.（填空题.5分）已知无穷等比数列{a n}的各项的和为1.则a2的取值范围为___ ．8.（填空题.5分）已知函数f（x）=2sin（x4+π6）.若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）（x1.x2∈R）成立.则|x1-x2|的最小值为___ ．9.（填空题.5分）若a.b是函数f（x）=x2-px+q（p＞0.q＞0）的两个不同的零点.且a.b.-2这三个数可适当排序后成等差数列.也可适当排序后成等比数列.则p+q的值等于___ ．10.（填空题.5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）.A＞0.ω＞0.若f（x）在区间[ π6 . π2]上具有单调性.且f（π2）=f（2π3）=-f（π6）.则f（x）的最小正周期为___ ．11.（填空题.5分）由正整数组成的数列{a n}、{b n}中分别为递增的等差数列、等比数列．a1=b1=1.记c n=a n+b n.若存在正整数k（k≥2）满足c k-1=100.c k+1=1000.则c k=___ ．12.（填空题.5分）已知无穷等比数列{a n}满足：对任意的n∈N*.sina n=1.则数列{a n}公比q的取值集合为___ ．13.（单选题.5分）对于函数f（x）=2sinxcosx.下列选项中正确的是（）A.f（x）在（π4 . π2）上是递增的B.f（x）的图象关于原点对称C.f（x）的最小正周期为2πD.f（x）的最大值为214.（单选题.5分）若等差数列{a n}的前10项之和大于其前21项之和.则a16的值（）A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定15.（单选题.5分）已知数列{a n}的通项公式a n= {(−1)n，1≤n≤2019(12)n−2019，n≥2020.前n项和为S n.则关于数列{a n}、{S n}的极限.下面判断正确的是（）A.数列{a n}的极限不存在、{S n}的极限存在B.数列{a n}的极限存在、{S n}的极限不存在C.数列{a n}、{S n}的极限均存在.但极限值不相等D.数列{a n}、{S n}的极限均存在.且极限值相等16.（单选题.5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列.函数f（x）是定义在R上的单调递增的奇函数.数列{f（a n）}的前n项和为S n.对于命题① 若数列{a n}为递增数列.则对一切n∈N*.S n＞0② 若对一切n∈N*.S n＞0.则数列{a n}为递增数列③ 若存在m∈N*.使得S m=0.则存在k∈N*.使得a k=0④ 若存在k∈N*.使得a k=0.则存在m∈N*.使得S m=0其中正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.317.（问答题.14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n.a1=2.a3=2a2+16.且S2020＜0．（1）求{a n}的通项公式（2）是否存在正整数n.使得S n＞2020成立？若存在.求出n的最小值；若不存在.请说明理由．18.（问答题.14分）已知函数f（x）=2cos2x+2 √3 sinxcosx-1．（1）求函数y=f（x）的单调递减区间；（2）在锐角△ABC中.若角C=2B.求f（A）的值域．19.（问答题.14分）已知数列{a n}满足：a1=2.na n+1=（n+1）a n+n（n+1）.n∈N*．（1）求证：数列{ a nn}为等差数列.并求出数列{a n}的通项公式；（2）记b n= 2(n+1)a n （n∈N*）.用数学归纳法证明：b1+b2+…+b n＜1- 1(n+1)2.n∈N*．20.（问答题.16分）设函数f（x）=5sin（ωx+φ）.其中ω＞0.φ∈（0. π2）．（1）设ω=2.若函数f（x）的图象的一条对称轴为直线x= 3π5.求φ的值；（2）若将f（x）的图象向左平移π2个单位.或者向右平移π个单位得到的图象都过坐标原点.求所有满足条件的ω和φ的值；（3）设ω=4.φ= π6.已知函数F（x）=f（x）-3在区间[0.6π]上的所有零点依次为x1.x2.x3.….x n.且x1＜x2＜x3＜…＜x n-1＜x n.n∈N*．求x1+2x2+2x3+…2x n-1+2x n-1+x n的值．21.（问答题.18分）已知无穷数列{a n}、{b n}是公差分别为d1、d2的等差数列.记c n=[a n]+[b n]（n∈N*）.其中[x]表示不超过x的最大整数.即x-1＜[x]≤x．（1）直接写出数列{a n}、{b n}的前4项.使得数列{c n}的前4项为：2.3.4.5；（2）若a n= n+13 .b n= n−13．求数列{c n}的前3n项的和S3n；（3）求证：数列{c n}为等差数列的必要非充分条件是d1+d2∈Z．2018-2019学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）计算limn→∞2n−33n+1=___ ．【正确答案】：[1] 23【解析】：直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】：解：limn→∞2n−33n+1= limn→∞2−3n3+1n= 2−03+0= 23．故答案为：23．【点评】：本题考查数列极限的运算法则的应用.是基本知识的考查．2.（填空题.4分）2与8的等比中项是___ ．【正确答案】：[1]±4【解析】：利用等比中项公式求解．【解答】：解：2与8的等比中项是：G= ±√2×8 =±4．故答案为：±4．【点评】：本题考查两个数的等比中项的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意等比中项公式的合理运用．3.（填空题.4分）函数y=arctanx.x∈（0.1）的反函数为___ ．【正确答案】：[1]y=tanx.x∈（0. π4）【解析】：由y=arctanx.得其反函数为y=tanx.求y=arctanx的值域即得其反函数的定义域．【解答】：解：由y=arctanx.得其反函数为y=tanx.∵y=arctanx.x∈（0.1）.∴y=acrtanx的值域为(0，π4) .∴函数y=arctanx.x∈（0.1）的反函数为y=tanx.x∈ (0，π4)．故答案为：y=tanx.x∈ (0，π4)．【点评】：本题考查了正切函数的反函数.属基础题．4.（填空题.4分）在等差数列{a n}中.a1=2.a3+a5=10.则a7=___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：利用等差数列的性质结合已知求得2a4=10.再由a1.a4.a7成等差数列求得a7．【解答】：解：在等差数列{a n}中.由a3+a5=10.得2a4=10.又a1=2.∴a7=2a4-a1=10-2=8．故答案为：8．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式.考查了等差数列的性质.是基础题．5.（填空题.4分）用列举法表示集合{x|cos（x- π3）= 12，x∈[0，π] }=___ ．【正确答案】：[1]{0. 23π }【解析】：根据集合所在的范围结合cos（x- π3）= 12，x∈[0，π] }.从而得到答案．【解答】：解：集合{x|cos（x- π3）= 12，x∈[0，π] }解：cos（x- π3）= 12，x∈[0，π]；x- π3 =± π3+2kπ.k∈Z；∴x=2 π3+2kπ.k∈Z；或x=2kπ.k∈Z；∴x=0或23π；故答案为：{0. 23π }．【点评】：本题考查了解集表示、集合的元素表示法.属于基础题．6.（填空题.4分）在△ABC中.角A.B.C所对的边分别为a.b.c.若面积S= a2+b2−c22.则角C=___ ．【正确答案】：[1]arctan2【解析】：由余弦定理.三角形的面积公式可得12 absinC= 12.2abcosC.解得tanC=2.即可得解C的值．【解答】：解：∵S= a 2+b2−c22.∴由三角形的面积公式.余弦定理可得：12 absinC= 12•2abcosC.即 tanC=2.∴C=arctan2．故答案为：arctan2．【点评】：本题主要考查了三角形的面积公式.余弦定理在解三角形中的应用.考查了转化思想.属于基础题．7.（填空题.5分）已知无穷等比数列{a n}的各项的和为1.则a2的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（-2.0）∪（0. 14]【解析】：由题意可得：a11−q =1.q∈（-1.1）.且q≠0．可得a2=q-q2=- (q−12)2+ 14.利用二次函数的单调性即可得出．【解答】：解：由题意可得：a11−q=1.q∈（-1.1）.且q≠0．∴ a2q =1-q.a2=q-q2=- (q−12)2+ 14∈（-2.0）∪（0. 14]．故答案为：（-2.0）∪（0. 14]．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质、方程与不等式的解法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．8.（填空题.5分）已知函数f（x）=2sin（x4+π6）.若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）（x1.x2∈R）成立.则|x1-x2|的最小值为___ ．【正确答案】：[1]4π【解析】：由已知可知f（x1）是f（x）中最小值.f（x2）是值域中的最大值.它们分别在最高和最低点取得.它们的横坐标最少相差半个周期.由三角函数式知周期的值.结果是周期的值的一半．【解答】：解：∵对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）.∴f（x1）是最小值.f（x2）是最大值；∴|x1-x2|的最小值为函数的半个周期.∵f（x）=2sin（x4+π6）的周期T=8π.∴|x1-x2|的最小值为4π．故答案为：4π．【点评】：本题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用.考查了数形结合思想.属基础题． 9.（填空题.5分）若a.b 是函数f （x ）=x 2-px+q （p ＞0.q ＞0）的两个不同的零点.且a.b.-2这三个数可适当排序后成等差数列.也可适当排序后成等比数列.则p+q 的值等于___ ． 【正确答案】：[1]9【解析】：由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p.ab=q.再由a.b.-2这三个数可适当排序后成等差数列.也可适当排序后成等比数列列关于a.b 的方程组.求得a.b 后得答案．【解答】：解：由题意可得：a+b=p.ab=q. ∵p ＞0.q ＞0. 可得a ＞0.b ＞0.又a.b.-2这三个数可适当排序后成等差数列.也可适当排序后成等比数列. 可得 {2b =a −2ab =4 ① 或 {2a =b −2ab =4② ．解 ① 得： {a =4b =1 ；解 ② 得： {a =1b =4 ．∴p=a+b=5.q=1×4=4. 则p+q=9． 故答案为：9．【点评】：本题考查了一元二次方程根与系数的关系.考查了等差数列和等比数列的性质.是基础题．10.（填空题.5分）设函数f （x ）=Asin （ωx+φ）.A ＞0.ω＞0.若f （x ）在区间[ π6 . π2 ]上具有单调性.且f （ π2 ）=f （ 2π3 ）=-f （ π6 ）.则f （x ）的最小正周期为___ ． 【正确答案】：[1]π 【解析】：依题意.可知x=π2+2π32 = 7π12为f （x ）=sin （ωx+φ）的一条对称轴.且（π6+π22.0）即（ π3 .0）为f （x ）=sin （ωx+φ）的一个对称中心.从而可得 14 T= 14 • 2πω = 7π12 - π3 .继而可求得f （x ）的最小正周期．【解答】：解：∵f （x ）=sin （ωx+φ）在区间[ π6 . π2 ]上具有单调性.ω＞0. ∴ π2 - π6 ≤ 12 T= 12 • 2πω = πω .即 π3 ≤ πω . ∴0＜ω≤3；又f （ π2 ）=f （ 2π3 ）=-f （ π6 ）. ∴x=π2+2π32 = 7π12为f （x ）=sin （ωx+φ）的一条对称轴.且（π6+π22.0）即（ π3 .0）为f （x ）=sin（ωx+φ）的一个对称中心.依题意知.x= 7π12 与（ π3 .0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心. ∴ 14 T= 14 • 2πω = 7π12 - π3 = π4 . 解得：ω=2∈（0.3]. ∴T= 2π2 =π. 故答案为：π．【点评】：本题考查三角函数的周期性及其求法.确定x= 7π12 与（ π3 .0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键.也是难点.属于难题．11.（填空题.5分）由正整数组成的数列{a n }、{b n }中分别为递增的等差数列、等比数列．a 1=b 1=1.记c n =a n +b n .若存在正整数k （k≥2）满足c k-1=100.c k+1=1000.则c k =___ ． 【正确答案】：[1]262【解析】：设等差数列{a n }的公差为d （d ＞0.d∈Z ）.等比数列{b n }的公比为q （q ＞1.q∈Z ）．c k-1.c k .c k+1为相邻三项.运用等差数列和等比数列的通项公式.讨论q=2.3.4.….9.根据条件.检验可得q=9.k=3.可得所求值．【解答】：解：设等差数列{a n }的公差为d （d ＞0.d∈Z ）.等比数列{b n }的公比为q （q ＞1.q∈Z ）．由a 1=b 1=1.c n =a n +b n .且c k-1=100.c k+1=1000. 可得c k-1.c k .c k+1为相邻三项. 则a n =1+（n-1）d.b n =q n-1.n∈N*. d=a k+1−a k−12. 若q=2.可得{b n }：1.2.4.8.16.32.64.128.256.512.1024.…. 考虑{b n }的前三项.d=996−992不为整数.显然不成立； 若{b n }的第2.3.4项.可得d=992−982.显然不满足{a n }的通项公式； 若{b n }的第3.4.5项；第4.5.6项；第5.6.7项；第6.7.8项；第7.8.9项；都不成立； 若q=3.可得{b n }：1.3.9.27.81.243.729.2187.…. 考虑{b n }的前三项.d=991−992.显然不满足{a n }的通项公式；若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若{b n}的第3.4.5项；第4.5.6项；第5.6.7项；检验都不成立；若q=4.可得{b n}：1.4.16.64.256.1024.….不为整数.显然不成立；考虑{b n}的前三项.d= 994−992若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若{b n}的第3.4.5项；检验都不成立；若q=5.可得{b n}：1.5.25.125.625.…..检验显然不满足{a n}的通项公式；考虑{b n}的前三项.d= 975−992若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若{b n}的第3.4.5项；检验都不成立；若q=6.可得{b n}：1.6.36.216.1296.….不为整数.显然不成立；考虑{b n}的前三项.d= 964−992若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若q=7.可得{b n}：1.7.49.343.….不为整数.显然不成立；考虑{b n}的前三项.d= 951−992若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若q=8.可得{b n}：1.8.64.512.….不为整数.显然不成立；考虑{b n}的前三项.d= 936−992若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若q=9.可得{b n}：1.9.81.729.….=410.检验不成立；考虑{b n}的前三项.d= 919−992=90.若{b n}的第2.3.4项.d= 271−912可得a2=91.a3=181.a4=271.可得k=3.c k=a3+b3=181+81=262．故答案为：262．【点评】：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和性质.考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力.属于难题．12.（填空题.5分）已知无穷等比数列{a n}满足：对任意的n∈N*.sina n=1.则数列{a n}公比q的取值集合为___ ．【正确答案】：[1]{q|q=4k+1.k∈Z}【解析】：对任意的n∈N*.sina n=1.可得a n=2kπ+ π2 = π2（4k+1）．由数列{a n}是无穷等比数列.即可得出．【解答】：解：对任意的n∈N*.sina n=1.∴a n=2kπ+ π2 = π2（4k+1）.∵数列{a n}是无穷等比数列.∴数列{a n}公比q的取值集合为{q|q=4k+1.k∈Z}．故答案为：{q|q=4k+1.k∈Z}．【点评】：本题考查了等比数列的定义通项公式及其性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．13.（单选题.5分）对于函数f（x）=2sinxcosx.下列选项中正确的是（）A.f（x）在（π4 . π2）上是递增的B.f（x）的图象关于原点对称C.f（x）的最小正周期为2πD.f（x）的最大值为2【正确答案】：B【解析】：本题考查三角函数的性质.利用二倍角公式整理.再对它的性质进行考查.本题包括单调性、奇偶性、周期性和最值.这是经常出现的一种问题.从多个方面考查三角函数的性质和恒等变换．【解答】：解：∵f（x）=2sinxcosx=sin2x.是周期为π的奇函数.对于A.f（x）在（π4 . π2）上是递减的.A错误；对于B.f（x）是周期为π的奇函数.B正确；对于C.f（x）是周期为π.错误；对于D.f（x）=sin2x的最大值为1.错误；故选：B．【点评】：在三角函数中除了诱导公式和八个基本恒等式之外.还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积公式.此外.还有万能公式.在一般的求值或证明三角函数的题中.只要熟练的掌握以上公式.用一般常用的方法都能解决我们的问题．14.（单选题.5分）若等差数列{a n}的前10项之和大于其前21项之和.则a16的值（）A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定 【正确答案】：C【解析】：利用等差数列的求和公式与通项公式即可得出．【解答】：解：等差数列{a n }的前10项之和大于其前21项之和. ∴10a 1+10×92 d ＞21a 1+ 21×202d. 化为：a 1+15d ＜0.即a 16＜0． 故选：C ．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式及求和公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．15.（单选题.5分）已知数列{a n }的通项公式a n = {(−1)n ，1≤n ≤2019(12)n−2019，n ≥2020 .前n 项和为S n .则关于数列{a n }、{S n }的极限.下面判断正确的是（ ） A.数列{a n }的极限不存在、{S n }的极限存在 B.数列{a n }的极限存在、{S n }的极限不存在 C.数列{a n }、{S n }的极限均存在.但极限值不相等 D.数列{a n }、{S n }的极限均存在.且极限值相等 【正确答案】：D【解析】：根据当n≥2020时. S n =−(12)n−2019 .当n→∞时.S n →0.当n→∞时.a n →0.即可得得到答案．【解答】：解：∵a n = {(−1)n ，1≤n ≤2019(12)n−2019，n ≥2020 .∴当n→∞时.a n →0.∵当n≥2020时. S n =−1+12(1−12n−2019)1−12= −(12)n−2019 .∴当n→∞时.S n →0．∴数列{a n }、{s n }的极限均存在.且极限值相等． 故选：D ．【点评】：本题考查了数列极限的求法和等比数列的求和公式的应用.属中档题．16.（单选题.5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列.函数f（x）是定义在R上的单调递增的奇函数.数列{f（a n）}的前n项和为S n.对于命题① 若数列{a n}为递增数列.则对一切n∈N*.S n＞0② 若对一切n∈N*.S n＞0.则数列{a n}为递增数列③ 若存在m∈N*.使得S m=0.则存在k∈N*.使得a k=0④ 若存在k∈N*.使得a k=0.则存在m∈N*.使得S m=0其中正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3【正确答案】：C【解析】：f（x）是单调递增的奇函数.所以f（0）=0.当x＞0时.f（x）＞0.当x＜0时.f（x）＜0．【解答】：对于① ：令a1=0.则S1=f（a1）=0.故错误；对于② ：假设数列{a n}为递减数列.则d＜0.所以存在正整数m.使得a2m+a1=2a1+d（2m-1）＜0.则∀1≤k≤m.a k+a2m-k=a1+a2m＜0⇒a k＜-a2m-k.所以f（a k）＜f（-a2m-k）=-f（a2m-k）⇒f（a k）+f（a2m-k）＜0.所以S2m= ∑m k=1（a k+a2m-k）＜0.矛盾．故正确；对于③ ：a1=-1.d=2.则a2=1.S2=f（-1）+f（1）=0.但是不存在正整数k.a k=0.故错误；对于④ ：a k=0.所以对任意1≤i≤k-1.a i+a2k-i=0⇒a i=-a2k-i.所以f（a i）+f（a2k-i）=f（-a2k-i）+f（a2k-i）=0.所以S2k-1= ∑k i=1（f（a i）+f（a2k-i））+f（k）=0.故正确．故选：C．【点评】：对于一道选择题.可以用f（x）=x代入来简化问题.可以较容易地判断出① ③ 的错误性．17.（问答题.14分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .a 1=2.a 3=2a 2+16.且S 2020＜0． （1）求{a n }的通项公式（2）是否存在正整数n.使得S n ＞2020成立？若存在.求出n 的最小值；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设等比数列{a n }的公比为q.由a 1=2.a 3=2a 2+16.可得2q 2=4q+16.解得q.根据S 2020＜0.即可得出q ．（2）假设存在正整数n.使得S n ＞2020成立.根据 2[1−(−2)n ]1−(−2)＞2020.可得：1-（-2）n ＞3030.于是n 必为奇数.即可得出．【解答】：解：（1）设等比数列{a n }的公比为q.∵a 1=2.a 3=2a 2+16. ∴2q 2=4q+16. 解得q=-2.4． ∵S 2020＜0.∴ 2(1−q 2020)1−q＜0.则q=-2． ∴a n =2×（-2）n-1．（2）假设存在正整数n.使得S n ＞2020成立.则 2[1−(−2)n ]1−(−2) ＞2020.可得：1-（-2）n ＞3030.则n 必为奇数.n 的最小值为13．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．18.（问答题.14分）已知函数f （x ）=2cos 2x+2 √3 sinxcosx-1． （1）求函数y=f （x ）的单调递减区间；（2）在锐角△ABC 中.若角C=2B.求f （A ）的值域．【正确答案】：【解析】：（1）利用倍角公式降幂.再由辅助角公式化积.结合复合函数的单调性求函数y=f （x）的单调递减区间；（2）由已知可得A的范围.进一步得到2A+ π6的范围.则f（A）的值域可求．【解答】：解：（1）∵f（x）=2cos2x+2 √3 sinxcosx-1=cos2x+ √3 sin2x=2sin（2x+ π6）.令2kπ +π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2.k∈Z.解得：kπ+ π6≤x≤kπ+ 2π3.k∈Z.∴可得函数y=f（x）的单调递减区间为：[kπ+ π6 .kπ+ 2π3].k∈Z；（2）∵△ABC为锐角三角形.且C=2B.∴C=2B ＜π2 .则B＜π4.可得B+C＜3π4.则A＞π4 .由A＜π2.∴A∈（π4 . π2）.2A+ π6∈（2π3. 7π6）．∴f（A）=2sin（2A+ π6）∈（-1. √3）.即f（A）的值域为（-1. √3）．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换应用.考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质.是中档题．19.（问答题.14分）已知数列{a n}满足：a1=2.na n+1=（n+1）a n+n（n+1）.n∈N*．（1）求证：数列{ a nn}为等差数列.并求出数列{a n}的通项公式；（2）记b n= 2(n+1)a n （n∈N*）.用数学归纳法证明：b1+b2+…+b n＜1- 1(n+1)2.n∈N*．【正确答案】：【解析】：（1）将等式两边同除以n（n+1）.结合等差数列的定义和通项公式可得所求；（2）求得b n= 2(n+1)a n = 2n(n+1)2.运用数学归纳法证明.注意由n=k推得n=k+1.结合分析法证明．【解答】：解：（1）证明：a1=2.na n+1=（n+1）a n+n（n+1）.可得a n+1n+1 = a nn+1.则数列{ a nn}为首项为2.公差为1的等差数列.则a nn=2+n-1=n+1.即a n=n（n+1）；（2）证明：b n= 2(n+1)a n = 2n(n+1)2.当n=1时.b1= 12 .1- 14= 34.即12＜34；假设n=k时.不等式b1+b2+…+b k＜1- 1(k+1)2.k∈N*．当n=k+1时.b1+b2+…+b k+b k+1＜1- 1(k+1)2 + 2(k+1)(k+2)2.要证1- 1(k+1)2 + 2(k+1)(k+2)2＜1- 1(k+2)2.即为2(k+1)(k+2)2＜1(k+1)2- 1(k+2)2.即为2（k+1）＜2k+3.显然成立.即n=k+1时.不等式成立．则b1+b2+…+b n＜1- 1(n+1)2.n∈N*．【点评】：本题考查等差数列的定义和通项公式.考查数学归纳法的运用.化简运算能力.属于中档题．20.（问答题.16分）设函数f（x）=5sin（ωx+φ）.其中ω＞0.φ∈（0. π2）．（1）设ω=2.若函数f（x）的图象的一条对称轴为直线x= 3π5.求φ的值；（2）若将f（x）的图象向左平移π2个单位.或者向右平移π个单位得到的图象都过坐标原点.求所有满足条件的ω和φ的值；（3）设ω=4.φ= π6.已知函数F（x）=f（x）-3在区间[0.6π]上的所有零点依次为x1.x2.x3.….x n.且x1＜x2＜x3＜…＜x n-1＜x n.n∈N*．求x1+2x2+2x3+…2x n-1+2x n-1+x n的值．【正确答案】：【解析】：（1）代入ω=2及对称轴x= 3π5.f（x）有最值.（2）利用f（x）的图象向左平移π2个单位得y=5sin[ω（x+ π2）+φ]过原点.再利用f（x）的图象向右平移π个单位得y=5sin[ω（x-π）+φ]过原点.根据题目约束条件构建方程.最后归纳总结．（3）利用F （x ）=5sin （4x+ π6 ）-3在区间[0.6π]上的所有零点依次为x 1.x 2.x 3.….x n . 等价于f （x ）=5sin （4x+ π6）与y=3在区间[0.6π]上的所有交点的横标依次为x 1.x 2.x 3.….x n . 相邻交点横标之和为f （x ）=5sin （4x+ π6）的对称轴2倍．【解答】：解：（1）若ω=2.则f （x ）=5sin （2x+φ）. ∵此时函数f （x ）的图象的一条对称轴为直线x= 3π5 . ∴ 2×3π5+φ=π2+kπ，k ∈Z .∴ φ=−7π10+kπ，k ∈Z .∵φ∈（0. π2 ）.∴当k=1时. φ=3π10 ． （2）将f （x ）的图象向左平移 π2 个单位得y=5sin[ω（x+ π2 ）+φ]过原点. ∴0=5sin （ω×0+ω× π2 +φ）.将f （x ）的图象向右平移π个单位得 y=5sin[ω（x-π）+φ]过原点．∴0=5sin （ω×0-ω×π+φ）.∴ {π2ω+φ=iπ−πω+φ=jπi ，j ∈Z ∵φ∈（0. π2 ）.∴φ= π3 .∴ {π2ω+π3=iπ−πω+π3=jπi ，j ∈Z .∴ {ω=2i −23ω=13−j i ，j ∈Z .∵ω＞0.∴ ω=6n+43，n ∈N （3）∵ω=4.φ= π6 .∴f （x ）=5sin （4x+ π6 ）.∵F （x ）=5sin （4x+ π6 ）-3在区间[0.6π]上的所有零点依次为x 1.x 2.x 3.….x n .如图.等价于f （x ）=5sin （4x+ π6 ）与y=3在区间[0.6π]上的所有交点的横标依次为x 1.x 2.x 3.….x n .∴x 1+2x 2+2x 3+…2x n-1+2x n-1+x n =（x 1+x 2）+（x 2+x 3）+…+（x n-1+x n-1）+（x n-1+x n ） ∵x n-1+x n 是f （x ）=5sin （4x+ π6 ）对应对称轴x 的2倍. 又∵f （x ）=5sin （4x+ π6）=±5.∴4x+ π6=kπ+ π2.k∈Z .∴ x =kπ4+π12. ∵x∈[0.6π].∴k∈[0.23].∵当k=23时.f （x ）=f （23π4+π12 ）=-5.此时不符题意.∴k∈[0.22].∴（x 1+x 2）+（x 2+x 3）+…+（x n-1+x n-1）+（x n-1+x n ）=2×[ π12 +（ π4×1+π12 ）+（ π2×2+π12 ）++…+（ π4×22+π12 ）] =2×23[π12+(π4×22+π12)]2=391π3∴x 1+2x 2+2x 3+…2x n-1+2x n-1+x n =391π3【点评】：本题考查三角函数的对称性.考查三角函数与数列的结合.属中档题．21.（问答题.18分）已知无穷数列{a n }、{b n }是公差分别为d 1、d 2的等差数列.记c n =[a n ]+[b n ]（n∈N*）.其中[x]表示不超过x 的最大整数.即x-1＜[x]≤x ．（1）直接写出数列{a n }、{b n }的前4项.使得数列{c n }的前4项为：2.3.4.5； （2）若a n =n+13 .b n = n−13．求数列{c n }的前3n 项的和S 3n ；（3）求证：数列{c n }为等差数列的必要非充分条件是d 1+d 2∈Z ．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意.列举出适合题意的等差数列{a n }、{b n }的前4项即可； （2）若a n =n+13 .b n = n−13.则[a 3k-2]=k-1.[a 3k-1]=k.[a 3k ]=k.[b 3k-2]=k-1.[b 3k-1]=k-1.[b 3k ]=k-1.其中k∈N*.将S 3n 转化为 ∑(c 3k−2+c 3k−1+c 3k )n k=1 = ∑(6k −4)nk=1 =进而转化为等差数列的前n 项和即可．（3）必要性：若数列{c n }为等差数列.设其公差为d.则d 为整数.设d 1+d 2=t.则d 2=t-d 1.根据c n -c 1=[a n ]+[b n ]-（[a 1]+[b 1]=nd.结合x-1＜[x]≤x .可得t- 2n ＜d ＜t+ 2n .由n→∞时可得t=d 1+d 2=d 为整数.必要性得证．充分性可以举反例来说明其不成立．【解答】：解：（1）{a n }的前4项为1.2.3.4.{b n }的前4项为1.1.1.1符合题意； （2）若a n =n+13 .b n = n−13. 则[a 3k-2]=k-1.[a 3k-1]=k.[a 3k ]=k.[b 3k-2]=k-1.[b 3k-1]=k-1.[b 3k ]=k-1.其中k∈N*. 所以c 3k-2=2k-2.c 3k-1=2k-1.c 3k =2k-1.k∈N*.所以数列{c n }的前3n 项的和S 3n = ∑(c 3k−2+c 3k−1+c 3k )n k=1 = ∑(6k −4)nk=1 =（6-4）+（12-4）+……+（6n-4）=2+8+……+（6n-4）=2+(6n−4)2×n =3n 2-3n ；（3）若数列{c n }为等差数列.设其公差为d.则d=[a n+1]+[b n+1]-（[a n ]+[b n ]）. 因为[a n+1].[b n+1].[a n ].[b n ].均为整数. 所以d∈Z .设d 1+d 2=t.则d 2=t-d 1.因为无穷数列{a n }、{b n }是公差分别为d 1、d 2的等差数列. 所以a n =d 1n+a 1.b n =d 2n+b 1=（t-d 1）n+b 1.所以[a n ]=[d 1n+a 1].所以d 1n+a 1-1＜[d 1n+a 1]≤d 1n+a 1. 又因为-a 1≤[a 1]＜1-a 1. 所以d 1n-1＜[a n ]-[a 1]＜d 1n+1.同理d 2-1＜[b n ]-[b 1]＜d 2+1.即（t-d 1）n-1＜[b n ]-[b 1]＜（t-d 1）+1. 所以（d 1n-1）+（t-d 1）n-1＜[a n ]+[b n ]-（[a 1]+[b 1]＜d 1n+1+（t-d 1）+1. 所以tn-2＜c n -c 1＜tn+2. 所以tn-2＜dn ＜tn+2. 所以t- 2n ＜d ＜t+ 2n . 当n→+∞时. 2n →0. 所以t=d 1+d 2=d. 故t 为整数.必要性得证．反之若d 1+d 2为整数.数列{c n }不一定为等差数列. 如a n = 13n +1 .b n = 23n −1 时.d 1+d 2=1为整数. 此时c 1=1-1=0.c 2=1+1=2.c 3=2+1=3.所以2c 2≠c 1+c 3.故数列{c n }不是等差数列.所以充分性不成立． 所以数列{c n }为等差数列的必要非充分条件是d 1+d 2∈Z ．【点评】：本题考查了新定义取整函数.考查了等差数列的性质.等差数列的前n项和公式.等差数列的通项公式.考查了简易逻辑．主要考查分析解决问题的能力和逻辑思维能力．属于难题．。

2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.l：的斜率为A. ﹣2B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】先化成直线的斜截式方程即得直线的斜率.【详解】由题得直线的方程为y=2x,所以直线斜率为2.故选：B【点睛】本题主要考查直线斜率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.△ABC中，若A＋C＝3B，则cosB的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出B，再求cosB.【详解】由题得,所以.故选：D【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.l：与两坐标轴所围成的三角形的面积为A. 6B. 1C.D. 3【答案】D【解析】【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再求三角形的面积得解.【详解】当x=0时，y=2,当y=0时，x=3,所以三角形的面积为.故选：D【点睛】本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.区间[0，5]上任意取一个实数x，则满足x[0，1]概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用几何概型求解即可.【详解】由几何概型的概率公式得满足x[0，1]的概率为.故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.组数据，，…，的平均值为3，则，，…，的平均值为A. 3B. 6C. 5D. 2【答案】B【解析】【分析】直接利用平均数的公式求解.【详解】由题得，所以，，…，的平均值为.故选：B【点睛】本题主要考查平均数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.三条线段的长分别为5，6，8，则用这三条线段A. 能组成直角三角形B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形【答案】C【解析】分析】先求最大角的余弦，再得到三角形是钝角三角形.【详解】设最大角为，所以，所以三角形是钝角三角形.故选：C【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】B【解析】【分析】先求侧面三角形的斜高，再求该正四棱锥的全面积.【详解】由题得侧面三角形的斜高为，所以该四棱锥的全面积为.故选：B【点睛】本题主要考查几何体的边长的计算和全面积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【详解】由题得，所以直线l过定点P.当CP⊥l时，弦AB最短.由题得,所以.所以直线l的方程为.故选：A【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1A. 1B.C.D. 0【答案】D【解析】【分析】先找到直线异面直线AB1与MN所成角为∠,再通过解三角形求出它的余弦值.【详解】由题得,所以∠就是异面直线AB1与MN所成角或补角.由题得,,因为,所以异面直线AB1与MN所成角的余弦值为0.故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.直角坐标系xOy中，已知点P(2﹣t，2t﹣2)，点Q(﹣2，1)，直线l：．若对任意的t R，点P到直线l的距离为定值，则点Q关于直线l对称点Q′的坐标为A. (0，2)B. (2，3)C. (，)D. (，3)【答案】C【解析】【分析】先求出点P的轨迹和直线l的方程，再求点Q关于直线l对称点Q′的坐标.【详解】设点P(x,y),所以所以点P的轨迹方程为2x+y-2=0.对任意的t R，点P到直线l的距离为定值，所以直线l的方程为2x+y=0.设点点Q关于直线l对称点Q′的坐标为，所以.故选：C【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查点线点对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共计36分．不11.，，若，则实数的值为_______．【答案】1【解析】【分析】由题得，解方程即得的值.【详解】由题得，解之得=1.当=1时两直线平行.故答案为：112.高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为_______．【答案】12【解析】【分析】由题得高一学生数为，计算即得解.【详解】由题得高一学生数为.故答案为：12【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知ABC中，A，，则= ．【答案】2【解析】试题分析：由正弦定理得==考点：本题考查了正弦定理的运用点评：熟练运用正弦定理及变形是解决此类问题的关键，属基础题14.一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为______.【答案】.【解析】【分析】利用三个面的面积构造出方程组，三式相乘即可求得三条棱的乘积，从而求得体积.【详解】设长方体中同顶点的三条棱的长分别为则可设：，三式相乘可知本题正确结果：【点睛】本题考查长方体体积的求解问题，属于基础题.15.圆上总存在两点到坐标原点的距离为1，则实数a的取值范围是_______.【答案】【解析】因为圆（x-a）2+（y-a）2=8和圆x2+y2=1相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和，可知结论为16.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＝5bcosA，asinA﹣bsinB＝2sinC，则边c的值为_______．【答案】3【解析】【分析】由acosB＝5bcosA得，由asinA﹣bsinB＝2sinC得，解方程得解.【详解】由acosB＝5bcosA得.由asinA﹣bsinB＝2sinC得，所以.故答案：3【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题（本大题共5小题，共计74分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知三点A(5，0)，B(﹣3，﹣2)，C(0，2)．（1）求直线AB的方程；（2）求BC的中点到直线AB的距离．【答案】(1)x-4y-5=0；（2）.【解析】【分析】(1)利用直线的点斜式方程求直线AB的方程；（2）利用点到直线的距离求BC的中点到直线AB的距离．【详解】（1）由题得,所以直线AB的方程为.(2)由题得BC的中点为，所以BC中点到直线AB的距离为.【点睛】本题主要考查直线方程的求法，考查点到直线的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，在△ABC中，B＝30°，D是BC边上一点，AD＝，CD＝7，AC＝5．（1）求∠ADC的大小；（2）求AB的长．【答案】（1）【解析】【分析】(1)利用余弦定理求∠ADC大小；（2）利用正弦定理求AB的长．【详解】（1）由余弦定理得.（2）由题得∠ADB=由正弦定理得.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.甲乙两名篮球运动员分别在各自不同的5场比赛所得篮板球数的茎叶图如图所示，已知两名运动员在各自5场比赛所得平均篮板球数均为10．（1）求x，y的值；（2）求甲乙所得篮板球数的方差和，并指出哪位运动员篮板球水平更稳定；（3）教练员要对甲乙两名运动员篮板球的整体水平进行评估．现在甲乙各自的5场比赛中各选一场进行评估，则两名运动员所得篮板球之和小于18的概率．【答案】（1）x=2,y=9;(2)，乙更稳定；（3）.【解析】【分析】(1)利用平均数求出x,y的值；（2）求出甲乙所得篮板球数的方差和，判断哪位运动员篮板球水平更稳定；（3）利用古典概型的概率求两名运动员所得篮板球之和小于18的概率．【详解】（1）由题得，.(2)由题得，.因为，所以乙运动员的水平更稳定.(3)由题得所有的基本事件有（8,8），（8,9），（8,10），（8,11），（8,12），（7,8），（7,9），（7,10），（7,11），（7,12），（10,8），（10,9），（10,10），（10,11），（10,12），（12，8），（12,9），（12,10），（12,11），（12,12），（13,8），（13,9），（13,10），（13,11），（13,12）.共25个.两名运动员所得篮板球之和小于18的基本事件有（8,8），（8,9），（7,8），（7,9），（7,10），共5个,由古典概型的概率公式得两名运动员所得篮板球之和小于18的概率为.【点睛】本题主要考查平均数的计算和方差的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在三棱锥P—ABC中，△PBC为等边三角形，点为BC的中点，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC．（1）求直线PB和平面ABC所成的角的大小；（2）求证：平面PAC⊥平面PBC；（3）已知E为的中点，F是AB上的点，AF＝AB．若EF∥平面PAC，求的值．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）先找到直线PB与平面ABC所成的角为,再求其大小；（2）先证明,再证明平面PAC⊥平面PBC；（3）取CO的中点G,连接EG,过点G作FG||AC,再求出的值.【详解】（1）因为平面PBC⊥平面ABC，PO⊥BC,平面PBC∩平面ABC=BC,,所以PO⊥平面ABC,所以直线PB与平面ABC所成的角为,因为，所以直线PB与平面ABC所成的角为. (2)因为PO⊥平面ABC,所以,因为AC⊥PB，,所以AC⊥平面PBC,因为平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC(3)取CO的中点G,连接EG,过点G作FG||AC,由题得EG||PC,所以EG||平面APC,因为FG||AC，所以FG||平面PAC,EG,FG平面EFO,EG∩FG=G,所以平面EFO||平面PAC,因为EF平面EFO,所以EF||平面PAC.此时AF=.【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查线面角的求法，考查空间几何中的探究性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴的正半轴相交于A，B两点（A在B的上方），且AB＝3．（1）求圆C的方程；（2）直线BT上是否存在点P满足PA2＋PB2＋PT2＝12，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果圆C上存在E，F两点，使得射线AB平分∠EAF，求证：直线EF的斜率为定值．【答案】（1）；（2）点P坐标为.（3）见解析.【解析】【分析】（1）求出圆C的半径为，即得圆C的方程；（2）先求出直线BT的方程为x+2y-2=0.设P(2-2y,y),根据PA2＋PB2＋PT2＝12 求出点P的坐标；（3）由题得,即EF⊥BC,再求EF的斜率.【详解】（1）由题得，所以圆C的半径为.所以圆C的方程为.(2)在中，令x=0,则y=1或y=4.所以A(0,4),B(0,1).所以直线BT的方程为x+2y-2=0.设P(2-2y,y),因为PA2＋PB2＋PT2＝12，所以,由题得因为,所以方程无解.所以不存在这样的点P.(3)由题得,所以，所以.所以直线EF的斜率为定值．【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.l：的斜率为A. ﹣2B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】先化成直线的斜截式方程即得直线的斜率.【详解】由题得直线的方程为y=2x,所以直线斜率为2.故选：B【点睛】本题主要考查直线斜率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.△ABC中，若A＋C＝3B，则cosB的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出B，再求cosB.【详解】由题得,所以.故选：D【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.l：与两坐标轴所围成的三角形的面积为A. 6B. 1C.D. 3【答案】D【解析】【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再求三角形的面积得解.【详解】当x=0时，y=2,当y=0时，x=3,所以三角形的面积为.故选：D【点睛】本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.区间[0，5]上任意取一个实数x，则满足x[0，1]概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用几何概型求解即可.【详解】由几何概型的概率公式得满足x[0，1]的概率为.故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.组数据，，…，的平均值为3，则，，…，的平均值为A. 3B. 6C. 5D. 2【答案】B【解析】【分析】直接利用平均数的公式求解.【详解】由题得，所以，，…，的平均值为.故选：B【点睛】本题主要考查平均数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.三条线段的长分别为5，6，8，则用这三条线段A. 能组成直角三角形B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形【答案】C【解析】分析】先求最大角的余弦，再得到三角形是钝角三角形.【详解】设最大角为，所以，所以三角形是钝角三角形.故选：C【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】B【解析】【分析】先求侧面三角形的斜高，再求该正四棱锥的全面积.【详解】由题得侧面三角形的斜高为，所以该四棱锥的全面积为.故选：B【点睛】本题主要考查几何体的边长的计算和全面积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【详解】由题得，所以直线l过定点P.当CP⊥l时，弦AB最短.由题得,所以.所以直线l的方程为.故选：A【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与MN所成角的余弦值为A. 1B.C.D. 0【答案】D【解析】【分析】先找到直线异面直线AB1与MN所成角为∠,再通过解三角形求出它的余弦值.【详解】由题得,所以∠就是异面直线AB1与MN所成角或补角.由题得,,因为,所以异面直线AB1与MN所成角的余弦值为0.故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.直角坐标系xOy中，已知点P(2﹣t，2t﹣2)，点Q(﹣2，1)，直线l：．若对任意的t R，点P到直线l的距离为定值，则点Q关于直线l对称点Q′的坐标为A. (0，2)B. (2，3)C. (，)D. (，3)【答案】C【解析】【分析】先求出点P的轨迹和直线l的方程，再求点Q关于直线l对称点Q′的坐标.【详解】设点P(x,y),所以所以点P的轨迹方程为2x+y-2=0.对任意的t R，点P到直线l的距离为定值，所以直线l的方程为2x+y=0.设点点Q关于直线l对称点Q′的坐标为，所以.故选：C【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查点线点对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共计36分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）11.，，若，则实数的值为_______．【答案】1【解析】【分析】由题得，解方程即得的值.【详解】由题得，解之得=1.当=1时两直线平行.故答案为：112.高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为_______．【答案】12【解析】【分析】由题得高一学生数为，计算即得解.【详解】由题得高一学生数为.故答案为：12【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知ABC中，A，，则= ．【答案】2【解析】试题分析：由正弦定理得==考点：本题考查了正弦定理的运用点评：熟练运用正弦定理及变形是解决此类问题的关键，属基础题14.一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为______.【答案】.【解析】【分析】利用三个面的面积构造出方程组，三式相乘即可求得三条棱的乘积，从而求得体积.【详解】设长方体中同顶点的三条棱的长分别为则可设：，三式相乘可知长方体的体积：本题正确结果：【点睛】本题考查长方体体积的求解问题，属于基础题.15.圆上总存在两点到坐标原点的距离为1，则实数a的取值范围是_______.【答案】【解析】因为圆（x-a）2+（y-a）2=8和圆x2+y2=1相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和，可知结论为16.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＝5bcosA，asinA﹣bsinB＝2sinC，则边c的值为_______．【答案】3【解析】【分析】由acosB＝5bcosA得，由asinA﹣bsinB＝2sinC得，解方程得解.【详解】由acosB＝5bcosA得.由asinA﹣bsinB＝2sinC得，所以.故答案：3【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题（本大题共5小题，共计74分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知三点A(5，0)，B(﹣3，﹣2)，C(0，2)．（1）求直线AB的方程；（2）求BC的中点到直线AB的距离．【答案】(1)x-4y-5=0；（2）.【解析】【分析】(1)利用直线的点斜式方程求直线AB的方程；（2）利用点到直线的距离求BC的中点到直线AB的距离．【详解】（1）由题得,所以直线AB的方程为.(2)由题得BC的中点为，所以BC中点到直线AB的距离为.【点睛】本题主要考查直线方程的求法，考查点到直线的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，在△ABC中，B＝30°，D是BC边上一点，AD＝，CD＝7，AC＝5．（1）求∠ADC的大小；（2）求AB的长．【答案】（1）【解析】【分析】(1)利用余弦定理求∠ADC大小；（2）利用正弦定理求AB的长．【详解】（1）由余弦定理得.（2）由题得∠ADB=由正弦定理得.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.甲乙两名篮球运动员分别在各自不同的5场比赛所得篮板球数的茎叶图如图所示，已知两名运动员在各自5场比赛所得平均篮板球数均为10．（1）求x，y的值；（2）求甲乙所得篮板球数的方差和，并指出哪位运动员篮板球水平更稳定；（3）教练员要对甲乙两名运动员篮板球的整体水平进行评估．现在甲乙各自的5场比赛中各选一场进行评估，则两名运动员所得篮板球之和小于18的概率．【答案】（1）x=2,y=9;(2)，乙更稳定；（3）.【解析】【分析】(1)利用平均数求出x,y的值；（2）求出甲乙所得篮板球数的方差和，判断哪位运动员篮板球水平更稳定；（3）利用古典概型的概率求两名运动员所得篮板球之和小于18的概率．【详解】（1）由题得，.(2)由题得，.因为，所以乙运动员的水平更稳定.(3)由题得所有的基本事件有（8,8），（8,9），（8,10），（8,11），（8,12），（7,8），（7,9），（7,10），（7,11），（7,12），（10,8），（10,9），（10,10），（10,11），（10,12），（12，8），（12,9），（12,10），（12,11），（12,12），（13,8），（13,9），（13,10），（13,11），（13,12）.共25个.两名运动员所得篮板球之和小于18的基本事件有（8,8），（8,9），（7,8），（7,9），（7,10），共5个,由古典概型的概率公式得两名运动员所得篮板球之和小于18的概率为.【点睛】本题主要考查平均数的计算和方差的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在三棱锥P—ABC中，△PBC为等边三角形，点为BC的中点，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC．（1）求直线PB和平面ABC所成的角的大小；（2）求证：平面PAC⊥平面PBC；（3）已知E为的中点，F是AB上的点，AF＝AB．若EF∥平面PAC，求的值．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）先找到直线PB与平面ABC所成的角为,再求其大小；（2）先证明,再证明平面PAC⊥平面PBC；（3）取CO的中点G,连接EG,过点G作FG||AC,再求出的值.【详解】（1）因为平面PBC⊥平面ABC，PO⊥BC,平面PBC∩平面ABC=BC,,所以PO⊥平面ABC,所以直线PB与平面ABC所成的角为,因为，所以直线PB与平面ABC所成的角为.(2)因为PO⊥平面ABC,所以,因为AC⊥PB，,所以AC⊥平面PBC,因为平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC(3)取CO的中点G,连接EG,过点G作FG||AC,由题得EG||PC,所以EG||平面APC,因为FG||AC，所以FG||平面PAC,EG,FG平面EFO,EG∩FG=G,所以平面EFO||平面PAC,因为EF平面EFO,所以EF||平面PAC.此时AF=.【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查线面角的求法，考查空间几何中的探究性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴的正半轴相交于A，B两点（A在B的上方），且AB＝3．（1）求圆C的方程；（2）直线BT上是否存在点P满足PA2＋PB2＋PT2＝12，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果圆C上存在E，F两点，使得射线AB平分∠EAF，求证：直线EF的斜率为定值．【答案】（1）；（2）点P坐标为.（3）见解析.【解析】【分析】（1）求出圆C的半径为，即得圆C的方程；（2）先求出直线BT的方程为x+2y-2=0.设P(2-2y,y),根据PA2＋PB2＋PT2＝12 求出点P的坐标；（3）由题得,即EF⊥BC,再求EF的斜率.【详解】（1）由题得，所以圆C的半径为.所以圆C的方程为.(2)在中，令x=0,则y=1或y=4.所以A(0,4),B(0,1).所以直线BT的方程为x+2y-2=0.设P(2-2y,y),因为PA2＋PB2＋PT2＝12，所以,由题得因为,所以方程无解.所以不存在这样的点P.(3)由题得,所以，所以.所以直线EF的斜率为定值．【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

北京师大附中2018-2019学年上学期高一年级期末考试数学试卷本试卷有三道大题。

考试时长120分钟，满分150分。

一、本大题共10小题，共40分。

1.已知集合，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由解得，所以，所以，故选C．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．2.已知向量，，若⊥，则t=（）A. 0B. -1C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】运用向量垂直的充要条件列方程求得t的值；【详解】∵⊥，∴•0t＝0，解得t；故选A.【点睛】本题考查了平面向量垂直的充要条件，关键是用坐标表示向量垂直的公式要熟悉，是基础题．3.下列函数的最小正周期为π且图象关于直线对称的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将x代入各个关系式，看看能否取到最值即可验证图象关于直线x对称，分别求出最小正周期验证即可．【详解】A，对于函数，令x，求得y，不是函数的最值，故函数y的图象不关于直线x对称，故排除A．B，对于函数y＝sin（2x），令x，求得y＝1，是函数的最值，故图象关于直线x对称；且有Tπ，故满足条件；C，由T4π可知，函数的最小正周期不为π，故排除C．D，由T4π可知，函数的最小正周期不为π，故排除D．故选：B．【点睛】本题考查正弦函数的对称性及周期，代入验证是解决此类问题的捷径，属于中档题．4.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【详解】解：将函数y＝sin2x，向左平移个单位长度，可得y＝sin2（x），即sin2（x）．故选：C．【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．5.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6.函数（其中）的图象的一部分如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用图象中的2和6，求得函数的周期，求得ω，最后根据x＝2时取最大值，求得，即可得解．【详解】如图根据函数的图象可得：函数的周期为（6﹣2）×4＝16，又∵ω＞0，∴ω，当x＝2时取最大值，即2sin（2）＝2，可得：2＝2kπ，k∈Z，∴＝2kπ，k∈Z，∵0＜＜π，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查．7.已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】时，与的夹角为锐角或零角.由此判断即可.【详解】时，与的夹角为锐角或零角，不一定是锐角，故充分性不成立．而与的夹角为锐角或零角时，有，必要性成立，故选：B．【点睛】本题考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，以及必要而不充分条件的判断，属基础题．8.计算：的结果是（）A. -4B. -2C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】由已知可得原式等于，利用二倍角正弦公式及两角差的正弦公式化简可得结果．【详解】∵4故选：A．【点睛】本题考查诱导公式和两角和与差的正弦函数的应用，属于基础题．9.已知，当时，为增函数。

2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷一、填空题1.()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.2.函数y =的定义域为______.3.研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x xy x -=⋅+≥.经过______分钟，该物质温度为5摄氏度.4.已知(3)4,1(){log ,1a a x a x f x x x --<=≥，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是．5.函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是______.6.函数0.5()2log 1x f x x =-的零点个数为__________.7.已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ，则实数a 的范围是8.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.9.当lg lg a b=，a b <时，则2+a b 的取值范围是______.10.函数()142x f x =-的图象关于点______成中心对称.11.设{}2|M y y x-==，()()()1|1112,121⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬⎪-⎝⎭⎩⎭N y y x m x x m ，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是______.12.已知函数()241f x ax x =++，若对任意x R ∈，()()0f f x ≥恒成立，实数a 的取值范围是______.二、选择题13.下列四组函数中，不是互为反函数的是A.3y x -=和13y x -= B.23y x =和()320y x x =≥C.()20xy x =>和()2log 1y x x => D.()()lg 11y x x =->和101xy =+14.“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.下列四个函数中，图象如图所示的只能是A.lg y x x =+B.lg y x x =-C.lg y x x=-+ D.lg y x x=--16.已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m Î；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈.A.①②B.①③C.②③D.③④三、解答题17.已知幂函数()()223mm f x xm Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.18.已知函数()()2log a f x x =+，a 为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1gx -.19.如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率-=输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度.（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算1L ，2L ，3L .20.已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）.（1）判断函数()2xy f =的奇偶性；（2）若不等式()12242<++xxx f 在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围；（3）设()11x g x x-=+，是否存在正数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数x ，y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =；（2）比较12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫⎪⎝⎭，()1f 大小，并说明理由.2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷一、填空题1.()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.【答案】()1,1【分析】令10x -=代入函数解析式，即可得出结果.【详解】令10x -=得1x =，所以()101-===x f x a a ，因此函数()1x f x a -=过点()1,1.故答案为()1,1【点睛】本题主要考查指数型函数所过定点问题，熟记指数函数性质即可，属于基础题型.2.函数y =的定义域为______.【答案】(],6-∞【分析】先由题意得到()ln 7070x x ⎧-≥⎨->⎩，求解，即可得出结果.【详解】根据题意得到()ln 7070x x ⎧-≥⎨->⎩，即7170x x -≥⎧⎨->⎩，解得6x ≤，即所求函数定义为(],6-∞.故答案为(],6-∞【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，只需求使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.3.研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220xxy x -=⋅+≥.经过______分钟，该物质温度为5摄氏度.【答案】1【分析】根据题意，得到12225-⋅+=x x ，解方程，即可得出结果.【详解】由题意可得：12225-⋅+=x x ，即22252⋅+=xx ，即()2225220⋅-⋅+=xx ，即()()222012-⋅=-x x，解得122x=或22x =，即=1x -或1x =；又0x ≥，所以1x =.故答案为1【点睛】本题主要考查解含指数的方程，熟记指数的运算法则，以及指数函数的性质即可，属于常考题型.4.已知(3)4,1(){log ,1a a x a x f x x x --<=≥，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是．【答案】1<a<3【详解】解：因为分段函数在R 上单调增函数，则说明每一段都是增函数，同时第一段的最大值不能大于第二段的最小值，即30(3)4,1(){{1log ,1340a a a x a x f x a x x a a ->--<=∴>≥--≤，故1<a<35.函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是______.【答案】[)4,+∞【分析】先求定义域，再利用复合函数的单调性求解即可.【详解】由题意可得：241740-+≥x x ，即(4)(41)0--≥x x ，解得4x ≥或14x ≤；令24174-=+t x x ，则其对称轴为178=x ；因此二次函数24174-=+t x x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在[)4,+∞上单调递增；又y =是增函数，所以当1,4⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦x 时，()()1224174f x x x =-+单调递减；在[)4,+∞上单调递增；即增区间为：[)4,+∞故答案为[)4,+∞【点睛】本题主要考查求复合函数单调区间，熟记基本初等函数单调性即可，属于常考题型.6.函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为__________.【答案】2【分析】求函数()0.52log 1xf x x =-的零点个数⇔求对应方程0.52log 10x x -=即0.51|log |2xx =的根的个数⇔求函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的交点个数.在同一直角坐标系下画出函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象，确定交点个数，即可.【详解】令()0.52log 10xf x x =-=，即0.51|log |2xx =画函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象，如下图所示由图象可知，函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭有2个交点所以函数()0.52log 1xf x x =-有2个零点.故答案为：2【点睛】关键点点睛：查函数的零点个数，利用数形结合思想以及转化与化归思想，将函数的零点转化对应方程的根，从而转化为两个函数的交点.属于中档题.7.已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ，则实数a 的范围是【答案】513a ≤≤【详解】试卷分析：因为函数值域为R ，讨论二次项系数为0时，不成立，系数不为0时，让系数大于0且根的判别式大于等于0求出a 的范围即可．试卷分析：依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立．当a 2－1≠0时，其充要条件是：()()2221>0Δ=+1410a a a ---≥⎧⎪⎨⎪⎩解得513a <≤又a=－1，f(x)=0不满足题意，a=1，合题意．所以a 的取值范围是：513a ≤≤考点：一元二次不等式的应用；对数函数的值域与最值；对数函数的图像与性质；对数函数图象与性质的综合应用．8.已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】-1【分析】由题意，令1()2f x =，根据分段函数解析式，直接求解，即可得出结果.【详解】令1()2f x =，因为()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩，当0x ≤时，()2xf x =，由1()2f x =，得122x=，解得=1x -；当01x <<时，()2log f x x =，由1()2f x =，得21log 2x =，解得x =；又函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，所以1112f -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为1-【点睛】本题主要考查由函数值求自变量的值，考查了反函数的性质，会用分类讨论的思想求解即可，属于常考题型.9.当lg lg a b =，a b <时，则2+a b 的取值范围是______.【答案】()3,+∞【分析】先lg lg a b =，a b <，得到01a <<，1b >，lg lg a b -=，推出1ab =，122+=+a b b b，令1()2=+f x x x，1x >，用定义法判断该函数单调性，即可得出结果.【详解】因为lg lg a b =，a b <，所以01a <<，1b >，lg lg a b -=，即lg lg lg 0a b ab +==，因此1ab =，所以122+=+a b b b，令1()2=+f x x x，1x >，任取121x x <<，则1212121212121211111()()222()()2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f x f x x x x x x x x x x x x x ，因为121x x <<，所以120x x -<，12120->x x ，因此1212121()()()20⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭f x f x x x x x ，即12()()f x f x <，所以函数1()2=+f x x x在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)3>=f x f ，即2+a b 的取值范围是()3,+∞.【点睛】本题主要考查由函数单调性求取值范围，熟记函数单调性的定义，以及对数的运算性质即可，属于常考题型.10.函数()142xf x =-的图象关于点______成中心对称.【答案】12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由题意求出函数定义域为{}2x x ≠，再计算()2(2)++-f x f x ，即可得出结果.【详解】因为240-≠x ，所以2x ≠，即函数()142xf x =-的定义域为{}2x x ≠；又()2112424(12)++==--x x f x ，()2112224424(21)4(12)42--====-----x xx x x xf x ，所以()1212(2)4(12)4(12)4++-=-=--x x x f x f x ，即()2(2)128++-=f x f x ，所以函数()142x f x =-的图象关于点12,8⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称.故答案为12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查求函数对称中心，熟记对称中心的概念即可，属于常考题型.11.设{}2|M y y x -==，()()()1|1112,121⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬⎪-⎝⎭⎩⎭N y y x m x x m ，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是______.【答案】()1,0-【分析】先化简集合M ，再由()()()1()11121⎛⎫=+-+-- ⎪-⎝⎭f x x m x m 是一次函数，根据N M ⊆，列出不等式组，求解，即可得出结果.【详解】因为{}{}2|0M y y x y y -===>，令()()()1()11121⎛⎫=+-+-- ⎪-⎝⎭f x x m x m ，则()f x 是一次函数，又N M ⊆，()()()1|1112,121⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬⎪-⎝⎭⎩⎭N y y x m x x m ，所以只需(1)0(2)0f f >⎧⎨>⎩，即()(1)1101(2)101f m m f m ⎧=--=->⎪⎨=+>⎪-⎩，解得10m -<<；故实数m 的取值范围是()1,0-.故答案为()1,0-【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数的问题，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型.12.已知函数()241f x ax x =++，若对任意x R ∈，()()0ff x ≥恒成立，实数a 的取值范围是______.【答案】[)3,+∞【分析】由题意，分别讨论0a =，0a >，a<0三种情况，根据二次函数单调性即可求出结果.【详解】（1）当0a =时，()41f x x =+，则()()165=+f f x x ，显然不满足对任意x R ∈，()()0f f x ≥恒成立；（2）当0a >时，()224411⎛⎫=++≥-=- ⎪⎝⎭f x ax x f a a ，若02a <≤，则242110⎛⎫---=-> ⎪⎝⎭a a a ，即241-≥-a a，所以()()241⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭f f x f a a ，因为对任意x R ∈，()()0ff x ≥恒成立，所以只需410-≥a，所以4a ≥（舍）；若2a >，则241-<-a a ，所以()()2444114113⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥-=-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f x f a a a a a ，因为对任意x R ∈，()()0ff x ≥恒成立，所以只需30-≥a ，所以3a ≥；（3）当a<0时，()241⎛⎫≤-=- ⎪⎝⎭f x f a a ，不满足对任意x R ∈，()()0f f x ≥恒成立；综上，实数a 的取值范围是[)3,+∞.【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记二次函数的图像与性质即可，属于常考题型.二、选择题13.下列四组函数中，不是互为反函数的是A.3y x -=和13y x-= B.23y x =和()320y xx =≥C.()20xy x =>和()2log 1y x x => D.()()lg 11y x x =->和101xy =+【答案】B【分析】根据反函数的概念与性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于选项A ，由3y x -=得13-=x y，即3y x -=和13y x-=互为反函数；对于选项B ，由23y x =得x R ∈，由()320y x x =≥得320=≥y x ，根据反函数的性质，可得，23y x =和()320y xx =≥不是互为反函数；对于选项C ，D ，由对数函数与指数函数的性质，可得()20xy x =>和()2log 1y x x =>互为反函数，()()lg 11y x x =->和101x y =+也互为反函数.故选B【点睛】本题主要考查判断两函数是否互为反函数，熟记反函数的概念与性质即可，属于常考题型.14.“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【分析】先由函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增，得到101a a ->⎧⎨>⎩或1001a a -<⎧⎨<<⎩，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增，所以101a a ->⎧⎨>⎩或1001a a -<⎧⎨<<⎩，即1a >或01a <<；因此，由“1a >”能推出“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”，反之不能推出.因此，“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判断，熟记充分条件与必要条件即可，属于常考题型.15.下列四个函数中，图象如图所示的只能是A.lg y x x=+ B.lg y x x =-C.lg y x x=-+ D.lg y x x=--【答案】B 【详解】试卷分析：A 中，110,ln10y x '=+>∴函数在(0,)+∞上单调递增,A 不成立；B 中，110ln10y x '=->,当0lg x e <<时,'0<y ,当lg x e >时'0>y ,故函数先减后增,B 成立；C 中,11ln10y x '=-+，当0lg x e <<时,'0>y ,当lg x e >时，'0<y ,故函数为先增后减,不符合题意；D 中，110ln10y x '=--<,故函数在(0,)+∞上单调递减,不符合题意.故选B.考点：函数的图象.16.已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m Î；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈.A.①②B.①③C.②③D.③④【答案】C 【分析】先根据指数函数与对数函数单调性，作出函数2123--=-x y 与()12log 1=-y x 的图像，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于函数2123--=-x y ，当1x >时，10x ->，2132323-+-=-=-x x y ，单调递减；当11x -<<时，2112323+-+=-=-x x y 单调递增；作出函数2123--=-x y 与()12log 1=-y x 的图像如下：对于①，当0n =时，()()1221log 1,1023,0x x x f x x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，因为()f x 的值域是[]1,1-，由图像可得：[]1,2m ∈，故①错；对于②，当12n =时，()()12211log 1,12123,2x x x f x x m --⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，因为()f x 的值域是[]1,1-，112x ≤≤-时，()()[]12log 11,1=-∈-f x x ，所以只需1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦即可，②正确；对于③④，当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()()1122log 1log 11=-<-<f x x n ，由图像可得，只需[]1,2m ∈，所以③正确，④错；故选C【点睛】本题主要考查由分段函数的值域求参数的问题，熟记指数函数与对数函数的图像与性质，利用数形结合的思想即可求解，属于常考题型.三、解答题17.已知幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.【答案】（1）0m =，()3f x x =；（2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先由题意，得到幂函数()f x 单调递增，推出2230-++>m m ，解得312m -<<，根据m Z ∈，得到0m =或1m =；分别将0m =和1m =代入函数解析式，判断函数奇偶性，即可得出结果；（2）先由（1）化简()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦为()2229log 13log =--y x x ，令2log t x =，将函数化为2215319649⎛⎫--=-- ⎪=⎝⎭y t t t ，根据二次函数单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈，()()12f f <所以()f x 单调递增，所以2230-++>m m ，即()23(1)0-+<m m ，解得312m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =，当0m =时，()3f x x =，满足()3()=--=-f x f x x ，因此()3f x x =是奇函数；当1m =时，()2213-++==f x x x ，显然是偶函数；所以0m =，()3f x x =；（2）因为()3f x x =，所以()()()2233212229log log 2log 13log =+--=y x x x x ，令2log t x =，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]1,1t ∈-，所以2215319649⎛⎫--=-- ⎪=⎝⎭y t t t ，所以2193-=-y t t 在11,6⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭t 上单调递减，在1,16⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因此min 54=-y ；又当1t =-时，11931-==+y ；当1t =时，3591=--=y ；因此max 11y =，所求函数值域为：5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的值域，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.18.已知函数()()2log a f x x =+，a 为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1g x -.【答案】（1）()32,0,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）()[][)1210,1121,0x x x g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩.【分析】（1）先由2a =，得到()2log 21+>x ，解不等式，即可得出结果；（2）先由()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数，得到()20log 0==g a ，求出1a =，分别求出01x ≤≤时，对应的反函数解析式，以及10x -≤<时，对应的反函数解析式，即可得出结果.【详解】（1）当2a =时，不等式()1f x >可化为：()2log 21+>x ，所以2log (2)1+>x 或2log (2)1+<-x ，即22x +>或1022<+<x ，所以0x >或322-<<-x ，因此满足()1f x >的x 取值范围为：()32,0,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为01x ≤≤时，()()2log ()==+g x f x x a ，因为()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()20log 0==g a ，解得1a =；所以，当01x ≤≤时，()2log (1)=+g x x ，所以()21=-g x x ，因此()121-=-x gx ；当10x -≤<时，01x <-≤，所以()2log (1)-=-+g x x ，因为()()-=-g x g x ，所以()2log (1)-=-+g x x ，因此()21--=-g x x ，所以()12-=-g x x ，因此1()12--=-x g x ，综上，()[][)1210,1121,0x x x g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩【点睛】本题主要考查解对数不等式，以及求函数的反函数解析式，熟记对数函数的性质，以及反函数的概念即可，属于常考题型.19.如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率-=输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度.（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算1L ，2L ，3L .【答案】（1）11；（2）13125L =，22500L =，32000L =.【分析】（1）设安装n 对轧辊，由题意列出不等式()20120%2-≤n，求解，即可得出结果；（2）根据题意，第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，可得到31600(120%)=⋅-L ，求出3L ，同理即可求出1L ，2L .【详解】（1）设安装n 对轧辊，因为输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，每对轧辊的减薄率不超过20%，则有()20120%2-≤n ，即41510⎛⎫≤ ⎪⎝⎭n ，两边同时取对数可得45111log 10.3110lg 4lg 5lg 52lg 2-≥==≈--n ，所以至少安装11对轧辊；（2）第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，31600(120%)=⋅-L ，所以32000()=L mm ；同理：32(120%)=⋅-L L ，21(120%)=⋅-L L ，所以22500()=L mm ，13125()=L mm .【点睛】本题主要考查指数函数模型的应用，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.20.已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）.（1）判断函数()2x y f =的奇偶性；（2）若不等式()12242<++x x x f 在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围；（3）设()11x g x x -=+，是否存在正数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1a =±，偶函数；1a ≠±，非奇非偶函数；（2）()3,3-；（3）1515,153⎛ ⎝⎭.【分析】（1）先由题意得到函数()2x y f =的定义域，再由函数奇偶性的定义，分别讨论21a =与21≠a ，即可判断出结果；（2）先由题意，将问题转化为2221+<+x a 在[]0,1x ∈上能成立；求出221+=+x y 的最大值，即可得出结果；（3）先假设存在正数a 满足题意；设()12111-===-+++x t g x x x ，求出1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，将对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形，转化为()max min 2()>f t f t ，任取12113≤<≤t t ，作差得到()()()21212121⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭a f t f t t t t t ，分别讨论2109<≤a ，21193<≤a ，2113<<a ，21a ≥四种情况，得出函数单调性，求出最值，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】（1）由题意可得：()2222222-=+=+⋅x xx x x a f a 的定义域为R ，又()2222222----=+=+⋅x xx x x a f a ，当21a =，即1a =±时，()()22-=x x f f ，所以()2xy f =是偶函数；当21≠a ，即1a ≠±时，()2x y f =是非奇非偶函数；（2）由不等式()12242<++x x x f 可得：2212422-<++⋅+x x x x a ，即2221+<+x a ，所以不等式()12242<++x x x f 在[]0,1x ∈时有解，等价于2221+<+x a 在[]0,1x ∈上能成立；又221+=+x y 在[]0,1x ∈上单调递增，所以59≤≤y 因此，只需29<a ，解得33a -<<；即实数a 的取值范围是()3,3-；（3）假设存在正数a 满足题意；设()12111-===-+++x t g x x x ，则211t x =-++在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2()==+a f g x f t t t；所以对于区间10,2⎡⎤⎢⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形，等价于()max min 2()>f t f t ，任取12113≤<≤t t ，所以120t t -<，12119<<t t 则()()()22212121212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a f t f t t t t t t t t t ，①当2109<≤a 时，()2121210⎛⎫--< ⎪⎝⎭a t t t t ，所以()()12<f t f t ，即()2=+a f t t t 在1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2max (1)1==+f t f a ，()2min 11333⎛⎫==+ ⎪⎝⎭f t f a ，由()max min 2()>f t f t 得222613+>+a a ，解得：2115>a ，所以211159<≤a ；②当21193<≤a 时，易得：()2=+a f t t t 在1,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭t a 上单调递减，在(,1⎤∈⎦t a 上单调递增，所以()()min 2==f t f a a ，()222max 11max ,(1)max 3,1133⎧⎫⎛⎫⎧⎫==++=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭f t f f a a a ，由()max min 2()>f t f t 得：241>+a a，解得：22-<<+a 所以21193<≤a ；③当2113<<a 时，易得：()2=+a f t t t 在在1,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭t a 上单调递减，在(,1⎤∈⎦t a 上单调递增，所以()()min 2==f t f a a ，()222max 111max ,(1)max 3,13333⎧⎫⎛⎫⎧⎫==++=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭f t f f a a a ，由()max min 2()>f t f t 得：21433>+a a ，解得：232333<<a ，所以2113<<a ；④当21a ≥时，()2121210⎛⎫--> ⎪⎝⎭a t t t t ，所以()()12>f t f t ，即()2=+a f t t t 在1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()2min (1)1==+f t f a ，()2max 11333⎛⎫==+ ⎪⎝⎭f t f a ，由()max min 2()>f t f t 得()2212133+>+a a ，解得253<a ，所以2513≤<a ；综上，215153<<a ，又a 为正数，所以1515,153a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.即存在1515,153a ⎛∈ ⎝⎭满足题意.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及由不等式能成立求参数的问题，熟记函数奇偶性与单调性，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.21.函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数x ，y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =；（2）比较12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1f 大小，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）根据题意，令1x =，0y =，得到()()()21210=f f f ，再由0x ≠时，()1f x >，即可得出(0)1f =；（2）令0x =，得到()()-=f y f y ，所以()f x 为偶函数；因此1122⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ，令12x y ==得()211212⎛⎫=- ⎪⎝⎭f f ，作出，根据二次函数的单调性，即可得出结果.【详解】（1）证明：因为对任意有理数x ，y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，令1x =，0y =，则()()()()11210+=f f f f ，即()()()21210=f f f ，又0x ≠时，()1f x >，所以()11>f 因此(0)1f =；（2）令0x =，由()()()()2f x y f x y f x f y ++-=可得：()()()()202()+-==f y f y f f y f y ，所以()()-=f y f y ，因此，函数()f x 为偶函数；所以1122⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ；令12x y ==得()()211022⎛⎫+= ⎪⎝⎭f f f ，所以()211212⎛⎫=- ⎪⎝⎭f f ，因此()221912122811112224⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎡⎤⎛⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎫-=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦f f f f f ，因为0x ≠时，()1f x >，所以112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，因此21192824⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎣⎦⎭-⎝f 在112⎛⎫> ⎪⎝⎭f 上单调递增，所以2291112492210848⎡⎤⎛⎫->--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭⎣⎦f .因此()1102⎛⎫ ⎪⎝>⎭-f f ，所以11(1)22⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f .【点睛】本题主要考查赋值法求函数值，以及比较函数值的大小，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.。

2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：人教A版必修1、必修2、必修3、必修4。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用交集运算得到答案.【详解】因为，所以.故答案选B【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2.已知，，则（）A. 2B.C. 4D.【答案】C【解析】【分析】先求出坐标，再利用向量的模的公式求解.【详解】由题得=（0,4）所以．故选：C【点睛】本题主要考查向量的坐标的求法和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为A. 5B. 10C. 4D. 20【答案】B【解析】【分析】直接利用分层抽样按照比例抽取得到答案.【详解】设应抽取的女生人数为，则，解得.故答案选B【点睛】本题考查了分层抽样，属于简单题.4.已知圆经过点，且圆心为，则圆的方程为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先计算圆半径，然后得到圆方程.【详解】因为圆经过，且圆心为所以圆的半径为，则圆的方程为.故答案选D【点睛】本题考查了圆方程，先计算半径是解题的关键.5.已知向量（2，0），||＝1，1，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用向量夹角公式得到答案.【详解】解：向量（2，0），||＝1，•1，可得cos，则与b的夹角为：．故选：A．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，是基本知识的考查．6.某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（）A. 2800B. 3000C. 3200D. 3400【答案】D【解析】【分析】先求出总的稿件的数量，再求出高三年级交稿数占总交稿数的比例，再求高三年级的交稿数.【详解】高一年级交稿2000份，在总交稿数中占比，所以总交稿数为，高二年级交稿数占总交稿数的，所以高三年级交稿数占总交稿数的，所以高三年级交稿数为．故选：D【点睛】本题主要考查扇形统计图的有关计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.7.直线：与圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】求出圆的圆心坐标和半径，然后运用点到直线距离求出的值和半径进行比较，判定出直线与圆的关系.【详解】因为圆，所以圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，则直线与圆相交.故选【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式求出和半径比较，得到直线与圆的位置关系.8.已知之间的一组数据如下：15则线性回归方程所表示的直线必经过点A. （8，10）B. （8，11）C. （7，10）D. （7，11）【答案】D【解析】【分析】先计算的平均值，得到数据中心点，得到答案【详解】，线性回归方程所表示直线经必经过点，即（7，11）.故答案选D【点睛】本题考查了回归方程，回归方程一定过数据中心点.9.已知圆柱的轴截面为正方形，且该圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设圆柱的底面半径，该圆柱的高为，利用侧面积得到半径，再计算体积.【详解】设圆柱的底面半径.因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为因为该圆柱的侧面积为，所以，解得，故该圆柱的体积为.故答案选C【点睛】本题考查了圆柱的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A. 图像的对称中心是B. 在定义域内是增函数C. 是奇函数D. 图像的对称轴是【答案】A【解析】【分析】根据正切函数的图象与性质逐一判断即可．【详解】．，由得，，的对称中心为，，故正确；．在定义域内不是增函数，故错误；．为非奇非偶函数，故错误；．的图象不是轴对称图形，故错误．故选：．【点睛】本题考查了正切函数的图象与性质，考查了整体思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．11.甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：甲：7，7，8，8，10；乙：8，9，9，9，10．若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用表示，方差分别用表示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别计算平均值和方差，比较得到答案.详解】由题意可得，，.故.故答案选D【点睛】本题考查了数据的平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力.12.已知函数，若在区间内没有零点，则取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题得，再由题分析得到，解不等式分析即得解.【详解】因为，，所以．因为在区间内没有零点，所以，，解得，．因为，所以．因为，所以或．当时，；当时，．故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的零点问题和三角函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.直线与的交点坐标为________.【答案】【解析】【分析】直接联立方程得到答案.【详解】联立方程解得即两直线的交点坐标为.故答案为【点睛】本题考查了两直线的交点，属于简单题.14.已知向量，若，则________.【答案】【解析】【分析】直接利用向量平行性质得到答案.【详解】，若故答案为【点睛】本题考查了向量平行的性质，属于简单题.15.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________.【答案】【解析】【分析】根据奇偶性，先计算，再计算【详解】因为是定义在上的奇函数，所以.因为当时，所以.故答案为【点睛】本题考查了奇函数的性质，属于常考题型.16.在矩形中，，现将矩形沿对角线折起，则所得三棱锥外接球的体积是________.【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，三棱锥外接球的半径再计算体积.【详解】如图，取的中点，连接.由题意可得，则所得三棱锥外接球的半径，其体积为.故答案为【点睛】本题考查了三棱锥的外切球体积，计算是解题的关键.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知．（1）化简；（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简即得；（2）利用同角的平方关系求出的值，即得解.【详解】解：（1）．（2）因为，且，所以，所以．【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.18.某销售公司拟招聘一名产品推销员，有如下两种工资方案：方案一：每月底薪2000元，每销售一件产品提成15元；方案二：每月底薪3500元，月销售量不超过300件，没有提成，超过300件的部分每件提成30元．（1）分别写出两种方案中推销员的月工资（单位：元）与月销售产品件数的函数关系式；（2）从该销售公司随机选取一名推销员，对他（或她）过去两年的销售情况进行统计，得到如下统计表：月销售产品件数30 0把频率视为概率，分别求两种方案推销员的月工资超过11090元的概率．【答案】（1）；（2）方案一概率为,方案二概率为.【解析】【分析】（1）利用一次函数和分段函数分别表示方案一、方案二的月工资与的关系式；（2）分别计算方案一、方案二的推销员的月工资超过11090元的概率值．【详解】解：（1）方案一：，；方案二：月工资为,所以.（2）方案一中推销员的月工资超过11090元，则，解得，所以方案一中推销员的月工资超过11090元的概率为；方案二中推销员的月工资超过11090元，则，解得，所以方案二中推销员的月工资超过11090元的概率为．【点睛】本题考查了分段函数与应用问题，也考查了利用频率估计概率的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题．19.已知函数，且．（1）求的值；（2）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）；（2）最小正周期为,单调递增区间为，.【解析】【分析】（1）因为，所以，化简解方程即得．（2）由（1）可得求出函数的最小正周期，再利用复合函数和三角函数的图像和性质求函数的单调递增区间得解.【详解】解：（1）因为，所以，所以，即，解得．（2）由（1）可得，则的最小正周期为．令，，解得，，故的单调递增区间为，．【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角求值，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.20.某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，.（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生数学成绩中，某些分数段的人数与英语成绩相应分数段的人数之比如下表所示，求英语成绩在的人数.1:2【答案】（1）（2）分（3）140人【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，由此可得；（2）频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数，即为估计平均数；（3）求出这200名学生的数学成绩在，，的人数，然后计算出各分数段的英语人数即可．【详解】（1）由，解得.（2）频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数，即估计平均数为.（3）由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在，，的分别有60人，40人，10人，按照表中给的比例，则英语成绩在，，的分别有50人，80人，10人，所以英语成绩在的有140人.【点睛】本题考查频率分布直方图，解题时注意频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，估值时常用小矩形底边中点横坐标作为此矩形的估值进行计算.21.如图，已知四棱锥的侧棱底面，且底面是直角梯形，，，，，，点在棱上，且.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见证明；（2）4【解析】【分析】（1）取的三等分点，使，证四边形为平行四边形，运用线面平行判定定理证明.（2）三棱锥的体积可以用求出结果.【详解】（1）证明：取的三等分点，使，连接，.因为，，所以，.因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）解：因为，，所以的面积为，因为底面，所以三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为.因为，所以三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为，故三棱锥的体积为.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、三棱锥体积的计算，在证明线面平行时需要构造平行四边形来证明，三棱锥的体积计算可以选用割、补等方法.22.已知向量，，函数．（1）若，求的取值集合；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）由题化简得．再解方程即得解；（2）由题得在上恒成立，再求不等式右边函数的最小值即得解.【详解】解：（1）因为，，所以．因为，所以．解得或．故的取值集合为．（2）由（1）可知，所以在上恒成立．因为，所以，所以在上恒成立.设，则．所以．因为，所以，所以．故的取值范围为．【点睛】本题主要考查三角恒等变换和解三角方程，考查三角函数最值的求法和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

【解析】【详解】解:,是周期为的奇函数,A,在上是递减的,错误;B,是奇函数, 图象关于原点对称,正确;C,是周期为,错误;D,的最大值为1,错误;B 选项是正确的.．已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在上的单调递增的奇函数，数列{}n a ()f x R 的前项和为，对于命题：)}n a n n S {}a 0S >，与题设矛盾，所以递增，故112121()()...()()...()0k k k f a f a f a f a f a ++=++++++≤{}n a 正确； ，则，，令，所以，但是23n a n =-11a =-21a =()f x x =12()()0f a f a +=23n a n =-错误；因为，所以，k a =121222 (20)k k k a a a a a --+=+===，12122211,,...,k k k k a a a a a a ---+=-=-=-，12122211()(),()(),...,()()k k k k a f a f a f a f a f a ---+=-=-=-，则存在，使得2112121()()...()()...()0k k k k f a f a f a f a f a -+-=++++++=*m N ∈0m S =正确.故选：C.【解析】所求的等比中项为： .284±⨯=±．函数，的反函数为__________．arctan y x =(0,1)x ∈【答案】tan ,(0,)4y x x π=∈【解析】将函数变形为的形式，然后得到反函数，注意定义域.()x f y =【详解】，所以，则反函数为：且.arctan y x =tan x y =tan y x =(0,)4x π∈【点睛】本题考查反三角函数的知识，难度较易.给定定义域的时候，要注意函数定义域.．在等差数列中，，，则 ．{}n a 12a =3510a a +=7a =本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.．在中，角的对边分别为，若面积，则角__________ABC ∆,,A B C ,,a b c 2222a b S c +-=C =【答案】arctan 2【解析】根据面积公式计算出的值，然后利用反三角函数求解出的值.tan C C 【详解】，所以，则，则有：2221sin 22a b c S ab C +-==222sin 2cos ab C a b c ab C =+-=tan 2C =.arctan 2【点睛】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，难度较易.利用面积公式的时候要选择合适的公式进行化简，可根据所求角进行选择.【答案】4π【解析】根据和的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定1()f x 2()f x 12x x -【详解】对任意成立，所以取最小值，取最大值；12()()()f x f x f x ≤≤x ∈R 1()f x 2()f x 取最小值时，与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的，则，且2x 1x 2x x 12min 2Tx x -=，故.28||πω=12min 4x x -=【点睛】任何一个函数，若有对任何定义域成立，此时必有：()f x 12()()()f x f x f x ≤≤x ∈1()min f x =.2)max=可得①或②得：；解得：．故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．．设函数（是常数，）.若在区间上具有单()sin()f x A x ωϕ=+,,A ωϕ0,0A ω>>()f x [,]62ππ调性，且，则的最小正周期为_________.2()()()236f f f πππ==-()f x 【答案】π由在区间上具有单调性，且知，函数的对称中心为，由知函数的对称轴为直线，设函数的最小正周期为，所以，，即，所以，解得，故答案为函数的对称性、周期性，属于中档题，若存在正整数（）满足，，则__________．n na b +k 2k ≥1100k c -=11000k c +=k c =【答案】262【解析】根据条件列出不等式进行分析，确定公比、、的范围后再综合判断.qk d 【详解】设等比数列公比为，等差数列公差为，因为，，所以qd 1100k c -=11000k c +=；又因为，分别为递增的等差数列、等比数列，所以2(2)100(*)1000k kk d q kd q --+=+={}n a {}n b q ≥；又时显然不成立，所以，则，即；12k =11100+=3k ≥31000q <9q ≤，，所以；因为，所以 ；2q ≥221002k k q -->>8k ≤(2)k d d -≥100d ≤可知：，则，；又(*)22900k k q q d --+=22900()200k k d q q -=--<22(1)700k q q -->，所以，即；取连续的有限项构成数sin 1n a =2,2n a k k Zππ=+∈(41),2n k a k Z π+=∈{}n a ，不妨令，则，且，则此时必为整数；}n 1(41),2k b k Z π+=∈2(41),2q k b k Z π+=∈2{}n b a ∈q 时，，不符合；4,k k Z =∈224(4)2(41){}2n k k b k k a π+=+=∉时，，符合，41,k k Z =+∈222(41)4(42)1{}22n k k k b a π+++==∈此时公比 ；41,q k k Z =+∈时， ，不符合；42,k k Z =+∈224(43)2(21)(41){}2n k k b k k a π++=++=∉2(43)(41)4(44)3k k k k π++++．已知数列的通项公式，前项和为，则关于数列、{}n a ()2019112n n a -⎧-⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩120192020n n ≤≤≥n n S {}n a 的极限，下面判断正确的是（）}．数列的极限不存在，的极限存在{}n a {}n S ．数列的极限存在，的极限不存在{}n a {}n S ．数列、的极限均存在，但极限值不相等{}n a {}n S ．数列、的极限均存在，且极限值相等{}n a {}n S 【答案】D 【解析】分别考虑与的极限，然后作比较.{}n a {}n S 【详解】【解析】（1）根据条件求解出公比，然后写出等比数列通项；（2）先表示出，然后考虑n S 的的最小值.2020n 【详解】）因为，所以或，又，则，所以；（1222416a q q =⎧⎨=+⎩4q =2-20200S <2q =-12(2)n n a -=⋅-，则，当为偶数时有不符合；2(1(2))2(1(2))20201(2)3n n n S --==-->--(2)3029n -<-n (2)0n->为奇数，且，，所以且为奇数，故.n 11(2)2048-=-13(2)4096-=-13n ≥n min 13n =【点睛】本题考查等比数列通项及其前项和的应用，难度一般.对于公比为负数的等比数列，分析前项和所n n 满足的不等式时，注意分类讨论，因此的奇偶会影响的正负.n n S）由锐角三角形可知： ，所以，则 ，A B C π⎪++=⎩42A <<(2)(,)636A +∈，所以，，则()2sin(2)6A A π=+min 7()2sin()16f A π>=-max ()2sin 22f A π==.)(1,2]∈-【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数值域问题，难度较易.根据三角形形状求解角范围的时候，要注意到隐含条件的使用.A B C π++=．已知数列满足：，，.{}n a 12a =1(1)(1)n n na n a n n +=+++*n N ∈）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；{}n a n {}n a ）记（），用数学归纳法证明：，2(1)n n b n a =+*n N ∈12211(1)n b b b n +++<-+ *n N∈(1)(1)(2)(2)(2)(1)(2)(1)k k k k k k k k ++++++++⎝⎭⎝⎭ ，2222221)2(1)(2)1(1)(2)(1)(2)k k k k k k +++-+-=<++++，22212111(1)(1)(2)(2)k k k k ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，故时不等式成立，21211(2)k k b b b k +++++<-+ 1n k =+综上可知：.12211(1)n b b b n +++<-+ 【点睛】数学归纳法的一般步骤：（1）命题成立；（2）假设命题成立；（3）证明命题1n =n k =1n k =+成立（一定要借助假设，否则不能称之为数学归纳法）.π），因为是一条对称轴，对应最值；又()5sin(2)f x x ϕ=+35x π=36()2sin()55f ππϕ=+()f x ，所以，所以，则；（2）由条件知：(0,)2πϕ∈6617()(,)5510πππϕ+∈63()52πϕπ+=310πϕ=，可得，则，又因为5sin((0))025sin((0))0πωϕωπϕ++=-+=1122,2,k k Zk k Z πωϕππωϕπ⎧+=∈⎪⎨⎪-+=∈⎩1212(2)(,)3k k k k Z πϕ+=∈，所以，则，(0,)2π3πϕ=1122,23,3k k Z k k Z ππωπππωπ⎧+=∈⎪⎪⎨⎪-+=∈⎪⎩1162,313k k Z k ω-⎧=∈⎪⎪⎨-⎪因为，故共有个；记对称轴为，据图有：242T ππ==[0,6]π12T ()f x (1,i x a i ==，，，，，1212x x a +=2322x x a +=3432x x a += (232423)x x a +=则，令，12321122322222(...)n n n x x x x x x a a a --+++++=+++ 4,62x k k Zπππ+=+∈，又因为，所以，由于与仅在前半个周期内,412k k Z ππ=+∈[0,6]x π∈[0,23]k ∈()f x 35y =有交点，所以，max 22k =.232101221139122222(...)223444123n n n x x x x x πππ--+++++=++++⋅⋅= 【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合运用，难度较难.对于三角函数零点个数问题，可将其转化为函数图象的交点个数问题，通过数形结合去解决问题会更方便.）将的前项列举出：；将的前项列举出：{}n a 3n (0,1,1,1,2,2,2,...,1,,)n n n -{}n b 3n ；(0,0,0,1,1,1,...,1,1,1)n n n ---；2(11)(1)(11)(1)323322n n n n n n n n ⎡+--⎤⎡+--⎤⎛⎫⎛⎫=++=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦）充分性：取，此时，将的前项列举出：，将1,33n n n na b +==-120d d +={}n a 30,1,1{n b 项列出：，此时的前项为：，显然不是等差数列，充分性不满足；必1,1,1---{}n c 31,0,0-{}n c 要性：设，，当为等差数列时，因为，所以11(1)n a a n d =+-12(1)n b b n d =+-{}n c [][]n n n c a b =+ ，又因为，所以有：Z1100[][](1)()n c a b n d d Z =++-∈，且，所以101112[](1)[(1)][(1)]b n d a n d b n d ++-=+-++-[]1x x x-<≤；10110110(1)2[][](1)(1)b n d a b n d a b n d +--<++-≤++-综上：数列为等差数列的必要非充分条件是{}n c 12d d Z+∈【点睛】本题考查数列的定义以及证明，难度困难.对于充分必要条件的证明，需要对充分性和必要性同时分析，不能取其一分析；新定义的数列问题，可通过定义先理解定义的含义，然后再分析问题.。

复旦大学附属中学2018学年第一学期高一年级数学期末考试试卷一、填空题1.函数()3x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过的一个定点，这个定点的坐标是____________．2.函数y =的定义域为____________．3.研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x x y x -=⋅+≥．经过____________分钟，该物质温度为5摄氏度．4.函数()()34,1log ,1aa x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是____________．5.函数()()1224174f x x x -=-+的单调递增区间是____________．6.函数()0.52log 1x f x x =-的零点个数为____________个7.若函数()()()22lg 111f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦的定义域为R ，则a 的取值范围是____________．8.已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭____________．9.当lg lg a b =，a b <时，则2a b +的取值范围是____________．10.函数()142xf x =-的图像关于点____________成中心对称．11.设{}()()()21,1112,121M y y xN y y x m x x m -⎧⎫⎛⎫====+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭．若N M ⊆，则实数m 的取值范围是____________．12.已知函数()241f x ax x =++，若对任意x ∈R ，()()0f f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是____________．二、选择题13.下列四组函数中，不是互为反函数的是（）A.3y x ==和13y x-= B.23y x =和()320y xx =≥C.()20x y x =>和()2log 1y x x => D.()()lg 11y x x =->和101xy =+14.“1a >”是“函数()()1x f x a a =-⋅是单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.下列四个函数中，图像如图所示的只能是（）A.lg y x x =+B.lg y x x =-+C.lg y x x =-D.lg y x x=--16.已知n m <，函数()()1221log 1123x x x n f x n x m -+--≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m ∈②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，(],2m n ∈其中正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.③④三、解答题17.已知幂函数()()223m m f x xm -++=∈Z 是奇函数，且()()12f f <．（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()22121log log 2,,22y f x f x x ⎡⎤=+∈⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦的值域．18.已知函数()()2log ,f x x a a =+为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数．（1）当2a =时，满足()1f x >的x 的取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1g x -．19.如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率=输入该对的钢带厚度—输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在钢带上压出一个疵点，在冷轧机输出的钢带上，疵点的间距为k L ，易知41600L =mm ，为了便于检修，请计算123,,L L L ．20.已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）．（1）判断函数()2xy f =的奇偶性；（2）若不等式()12242xxxf <++在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围；（3）设()11x g x x -=+，是否存在正数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()(),,f g m f g n f g p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21.函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数,x y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=．（1）证明：()01f =；（2）比较()11,,122f f f ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小，并说明理由；（3）对任意的,,x y Q x y +∈<，判断()(),f x f y 的大小关系，并说明理由．参考答案一、填空题1.()1,1- 2.(],6-∞ 3.14.()1,3 5.[)4,+∞ 6.27.53a >或1a ≤-8.1-9.()3,+∞10.()2,011.()1,0-12.[)3,+∞二、选择题13.B 14.A 15.C 16.C三、解答题17.（1）0m =，()3f x x =；（2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.（1）()32,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭ ；（2）()[][)1210,1121,0x xx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩19.（1）11；（2）1233125,2500,2000L L L ===20.（1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数；（2）()3,3-（3）515155,,315153⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.（1）略；（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()f x f y <。

复旦大学附属中学2018-2019学年下学期高一期末考数学试卷一、单选题1．对于函数f(x)=2sinxcosx ，下列选项中正确的是( ) A ．f(x)在（4π，2π）上是递增的 B ．f(x)的图象关于原点对称 C ．f(x)的最小正周期为2πD ．f(x)的最大值为22．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，函数()f x 是定义在R 上的单调递增的奇函数，数列{()}n f a 的前n 项和为n S ，对于命题：①若数列{}n a 为递增数列，则对一切*n N ∈，0n S > ②若对一切*n N ∈，0n S >，则数列{}n a 为递增数列 ③若存在*m N ∈，使得0m S =，则存在*k N ∈，使得0k a = ④若存在*k N ∈，使得0k a =，则存在*m N ∈，使得0m S = 其中正确命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2D ．3二、填空题 3．计算23lim31n n n →+∞-=+__________．4．实数2和8的等比中项是__________．5．函数arctan y x =，(0,1)x ∈的反函数为__________． 6．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ． 7．用列举法表示集合1cos(),[0,]32x x x ππ⎧⎫-=∈=⎨⎬⎩⎭__________． 8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若面积2222a b S c +-=，则角C =__________．9．已有无穷等比数列{}n a 的各项的和为1，则2a 的取值范围为__________． 10．已知函数()2sin()46x f x π=+，若对任意x ∈R 都有12()()()f x f x f x ≤≤（12,x x R ∈）成立，则12x x -的最小值为__________．11．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________． 12．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为_________. 13．由正整数组成的数列{}n a ，{}n b 分别为递增的等差数列、等比数列，111a b ==，记n n n c a b =+，若存在正整数k （2k ≥）满足1100k c -=，11000k c +=，则k c =__________．14．已知无穷等比数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈，sin 1n a =，则数列{}n a 公比q 的取值集合为__________．15．若等差数列{}n a 的前10项之和大于其前21项之和，则16a 的值（） A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定16．已知数列{}n a 的通项公式()2019112nn n a -⎧-⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩120192020n n ≤≤≥，前n 项和为n S ，则关于数列{}n a 、{}n S 的极限，下面判断正确的是（）A ．数列{}n a 的极限不存在，{}n S 的极限存在B ．数列{}n a 的极限存在，{}n S 的极限不存在C ．数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，但极限值不相等D ．数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，且极限值相等 三、解答题17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，32216a a =+，且20200S <. （1）求{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2020n S >成立？若存在，求出n 的最小值；若不存在，请说明理由.18．已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+- （1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）在锐角ABC ∆中，若角2C B =，求(A)f 的值域.19．已知数列{}n a 满足：12a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈. （1）求证：数列{}na n为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）记2(1)n nb n a =+（*n N ∈），用数学归纳法证明：12211(1)n b b b n +++<-+，*n N ∈20．设函数()5sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，(0,)2πϕ∈.（1）设2ω=，若函数()f x 的图象的一条对称轴为直线35x π=，求ϕ的值； （2）若将()f x 的图象向左平移2π个单位，或者向右平移π个单位得到的图象都过坐标原点，求所有满足条件的ω和ϕ的值；（3）设4ω=，6π=ϕ，已知函数()()3F x f x =-在区间[0,6]π上的所有零点依次为123,,,,n x x x x ，且1231n n x x x x x -<<<<<，*n N ∈，求123212222n n n x x x x x x --+++++的值.21．已知无穷数列{}n a ，{}n b 是公差分别为1d 、2d 的等差数列，记[][]n n n c a b =+（*n N ∈），其中[]x 表示不超过x 的最大整数，即[]1x x x -<≤.（1）直接写出数列{}n a ，{}n b 的前4项，使得数列{}n c 的前4项为：2，3，4，5； （2）若11,33n n n n a b +-==，求数列{}n c 的前3n 项的和3n S ； （3）求证：数列{}n c 为等差数列的必要非充分条件是12d d Z +∈.解析复旦大学附属中学2018-2019学年下学期高一期末考数学试卷一、单选题1．对于函数f(x)=2sinxcosx ，下列选项中正确的是( ) A ．f(x)在（4π，2π）上是递增的 B ．f(x)的图象关于原点对称 C ．f(x)的最小正周期为2π D ．f(x)的最大值为2【答案】B【解析】【详解】 解:,是周期为的奇函数,对于A,在上是递减的,错误;对于B,是奇函数, 图象关于原点对称,正确; 对于C,是周期为,错误;对于D,的最大值为1,错误;所以B 选项是正确的.2．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，函数()f x 是定义在R 上的单调递增的奇函数，数列{()}n f a 的前n 项和为n S ，对于命题：①若数列{}n a 为递增数列，则对一切*n N ∈，0n S > ②若对一切*n N ∈，0n S >，则数列{}n a 为递增数列 ③若存在*m N ∈，使得0m S =，则存在*k N ∈，使得0k a = ④若存在*k N ∈，使得0k a =，则存在*m N ∈，使得0m S = 其中正确命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】利用函数奇偶性和单调性，通过举例和证明逐项分析. 【详解】①取5n a n =-，()f x x =，则11()(4)40S f a f ==-=-<，故①错；②对一切*n N ∈，0n S >，则1()0f a >，又因为()f x 是R 上的单调递增函数，所以10a >，若{}n a 递减，设10,0k k a a +>≤，且2112121()()...()()...()k k k k S f a f a f a f a f a +++=++++++，且121221...20k k k a a a a a +++=+==≤，所以121222,,...,k k k k a a a a a a ++≤-≤-≤-，则121222()(),()(),...,()()k k k k f a f a f a f a f a f a ++≤-≤-≤-，则2112121()()...()()...()0k k k k S f a f a f a f a f a +++=++++++≤，与题设矛盾，所以{}n a 递增，故②正确；③取23n a n =- ，则11a =-，21a =，令()f x x =，所以12()()0f a f a +=，但是230n a n =-≠，故③错误；④因为0k a =，所以121222...20k k k a a a a a --+=+===， 所以12122211,,...,k k k k a a a a a a ---+=-=-=-，则12122211()(),()(),...,()()k k k k f a f a f a f a f a f a ---+=-=-=-，则2112121()()...()()...()0k k k k S f a f a f a f a f a -+-=++++++=，则存在*m N ∈，使得0m S =，故④正确. 故选：C. 【点睛】本题函数性质与数列的综合，难度较难.分析存在性问题时，如果比较难分析，也可以从反面去举例子说明命题不成立，这也是一种常规思路.二、填空题3．计算23lim31n n n →+∞-=+__________．【答案】23【解析】采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值. 【详解】211223211233lim lim lim []313133(31)3n n n n n n n n →+∞→+∞→+∞+--==-=+++. 【点睛】本题考查分离常数法求极限，难度较易.4．实数2和8的等比中项是__________． 【答案】4±【解析】所求的等比中项为： 4=± .5．函数arctan y x =，(0,1)x ∈的反函数为__________． 【答案】tan ,(0,)4y x x π=∈【解析】将函数变形为()x f y =的形式，然后得到反函数，注意定义域. 【详解】因为arctan y x =，所以tan x y =，则反函数为：tan y x =且(0,)4x π∈.【点睛】本题考查反三角函数的知识，难度较易.给定定义域的时候，要注意函数定义域. 6．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ． 【答案】8【解析】【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则351712610a a a a a d +=+=+=， 所以71101028a a =-=-=，故答案为8.7．用列举法表示集合1cos(),[0,]32x x x ππ⎧⎫-=∈=⎨⎬⎩⎭__________． 【答案】2{0,}3π【解析】先将x 的表示形式求解出来，然后根据范围求出x 的可取值.【详解】因为1cos()32x π-=，所以2,33x k k Z πππ-=±+∈，又因为[0,]x π∈，所以0k =，此时0x =或23π，则可得集合：2{0,}3π. 【点睛】本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若面积2222a b S c +-=，则角C =__________．【答案】arctan 2【解析】根据面积公式计算出tan C 的值，然后利用反三角函数求解出C 的值.【详解】因为2221sin 22a b c S ab C +-==，所以222sin 2cos ab C a b c ab C =+-=，则tan 2C =，则有：arctan 2C =.【点睛】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，难度较易.利用面积公式的时候要选择合适的公式进行化简，可根据所求角进行选择.9．已有无穷等比数列{}n a 的各项的和为1，则2a 的取值范围为__________． 【答案】()12,00,4⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦【解析】根据无穷等比数列的各项和表达式，将2a 用公比q 表示，根据q 的范围求解2a 的范围. 【详解】 因为111a S q ==-且||1q <，又22111(1)()24a a q q q q ==-=--+，且(1,0)(0,1)q ∈-⋃，则21(2,0)(0,]4a ∈-⋃.【点睛】本题考查无穷等比数列各项和的应用，难度一般.关键是将待求量与公比之间的关系找到，然后根据的取值范围解决问题. 10．已知函数()2sin()46x f x π=+，若对任意x ∈R 都有12()()()f x f x f x ≤≤（12,x x R ∈）成立，则12x x -的最小值为__________． 【答案】4π【解析】根据1()f x 和2()f x 的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定12x x -最小值.【详解】因为12()()()f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 成立，所以1()f x 取最小值，2()f x 取最大值；12x x -取最小值时，1x 与2x 必为同一周期内的最小值和最大值的对应的x ，则12min 2Tx x -=，且28||T πω==，故12min 4x x -=. 【点睛】任何一个函数()f x ，若有12()()()f x f x f x ≤≤对任何x ∈定义域成立，此时必有：1()min f x =，2()max f x =.11．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________． 【答案】9【解析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案． 【详解】由题意可得：a+b=p ，ab=q ， ∵p ＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列， 可得①或②． 解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题． 【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．12．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为_________. 【答案】π【解析】【详解】 由在区间上具有单调性，且知，函数的对称中心为，由知函数的对称轴为直线，设函数的最小正周期为，所以，，即，所以，解得，故答案为π.【考点】函数的对称性、周期性，属于中档题.13．由正整数组成的数列{}n a ，{}n b 分别为递增的等差数列、等比数列，111a b ==，记n n n c a b =+，若存在正整数k （2k ≥）满足1100k c -=，11000k c +=，则k c =__________． 【答案】262【解析】根据条件列出不等式进行分析，确定公比q 、k 、d 的范围后再综合判断. 【详解】设等比数列公比为q ，等差数列公差为d ，因为1100k c -=，11000k c +=，所以21(2)100(*)11000k kk d q kd q -⎧+-+=⎨++=⎩；又因为{}n a ，{}n b 分别为递增的等差数列、等比数列，所以2q ≥且1d ≥；又2k =时11100+=显然不成立，所以3k ≥，则31000q <，即9q ≤；因为2q ≥，221002k k q -->>，所以8k ≤；因为(2)k d d -≥，所以 100d ≤；由(*)可知：22900k k q q d --+=，则22900()200k k d q q -=--<，22(1)700k q q -->；又21221111550(1)022222k k k k k k k c c q q c kd qq q ----+=++=+--=-->， 所以22(1)1100k q q --<，则有()22221700(1)1100k k q q q q --⎧->⎪⎨-<⎪⎩ 根据3829k q ≤≤⎧⎨≤≤⎩可解得符合条件的解有：46k q =⎧⎨=⎩ 或39k q =⎧⎨=⎩；当46k q =⎧⎨=⎩时，41461000d ++=，解得0d <不符，当39k q =⎧⎨=⎩时，解得90d =，符合条件；则32215509(91)2622k c -=-⋅-=. 【点睛】本题考查等差等比数列以及数列中项的存在性问题，难度较难.根据存在性将变量的范围尽量缩小，通过不等式确定参变的取值范围，然后再去确定符合的解，一定要注意带回到原题中验证，看是否满足.14．已知无穷等比数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈，sin 1n a =，则数列{}n a 公比q 的取值集合为__________．【答案】{}41,q q k k Z =+∈【解析】根据条件先得到：n a 的表示，然后再根据{}n a 是等比数列讨论公比q 的情况. 【详解】因为sin 1n a =，所以2,2n a k k Z ππ=+∈，即(41),2n k a k Z π+=∈；取{}n a 连续的有限项构成数列{}n b ，不妨令1(41),2k b k Z π+=∈，则2(41),2q k b k Z π+=∈，且2{}n b a ∈，则此时q 必为整数；当4,q k k Z =∈时，224(4)2(41){}2n k k b k k a π+=+=∉，不符合；当41,q k k Z =+∈时，222(41)4(42)1{}22n k k k b a π+++==∈，符合，此时公比41,q k k Z =+∈ ；当42,q k k Z =+∈时， 224(43)2(21)(41){}2n k k b k k a π++=++=∉，不符合；当43,q k k Z =+∈时，22(43)(41)4(44)3{}22n k k k k b a π++++==∉，不符合；故：公比41,q k k Z =+∈.【点睛】本题考查无穷等比数列的公比，难度较难,分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要进行分类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析.15．若等差数列{}n a 的前10项之和大于其前21项之和，则16a 的值（） A ．大于0 B ．等于0C ．小于0D ．不能确定【答案】C【解析】根据条件得到不等式，化简后可判断16a 的情况. 【详解】据题意：1021S S >，则1104521210a d a d+>+，所以1111650a d +<，即11(15)0a d +<，则：160a <， 故选：C.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的应用，难度较易.等差数列前n 项和之间的关系可以转化为1a 与d 的关系.16．已知数列{}n a 的通项公式()2019112n n n a -⎧-⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩120192020n n ≤≤≥，前n 项和为n S ，则关于数列{}n a 、{}n S 的极限，下面判断正确的是（）A ．数列{}n a 的极限不存在，{}n S 的极限存在B ．数列{}n a 的极限存在，{}n S 的极限不存在C ．数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，但极限值不相等D ．数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，且极限值相等 【答案】D【解析】分别考虑{}n a 与{}n S 的极限，然后作比较. 【详解】因为20091lim lim()02n n x x a -→∞→∞==， 又2019201912201911(1())122lim lim(...)lim[()]01212n n n x x x S a a a --→∞→∞→∞-=++++=-=-，所以数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，且极限值相等， 故选：D. 【点睛】本题考查数列的极限的是否存在的判断以及计算，难度一般.注意求解{}n S 的极限时，若是分段数列求和的形式，一定要将多段数列均考虑到.三、解答题17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，32216a a =+，且20200S <. （1）求{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2020n S >成立？若存在，求出n 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12(2)n n a -=-；（2）存在，13n =【解析】（1）根据条件求解出公比，然后写出等比数列通项；（2）先表示出n S ，然后考虑2020n S >的n 的最小值. 【详解】（1）因为1222416a q q =⎧⎨=+⎩，所以4q =或2-，又20200S <，则2q =-，所以12(2)n n a -=⋅-；（2）因为2(1(2))2(1(2))20201(2)3n n n S --==-->--，则(2)3029n -<-，当n 为偶数时有(2)0n ->不符合；所以n 为奇数，且11(2)2048-=-，13(2)4096-=-，所以13n ≥且n 为奇数，故min 13n =. 【点睛】本题考查等比数列通项及其前n 项和的应用，难度一般.对于公比为负数的等比数列，分析前n 项和所满足的不等式时，注意分类讨论，因此n 的奇偶会影响n S 的正负. 18．已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+- （1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）在锐角ABC ∆中，若角2C B =，求(A)f 的值域. 【答案】（1）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）(1,2]- 【解析】（1）利用二倍角、辅助角公式化简()f x ，然后利用单调区间公式求解单调区间；（2）根据条件求解出A 的范围，然后再求解(A)f 的值域. 【详解】（1）2()2cos cos 1cos 21212sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+-=+，令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以单调减区间为：2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； （2）由锐角三角形可知：22C B A B C ππ⎧=<⎪⎨⎪++=⎩，所以42A ππ<<，则27(2)(,)636A πππ+∈ ，又()2sin(2)6f A A π=+，所以min 7()2sin()16f A π>=-，max ()2sin 22f A π==，则()(1,2]f A ∈-. 【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数值域问题，难度较易.根据三角形形状求解角范围的时候，要注意到隐含条件A B C π++=的使用.19．已知数列{}n a 满足：12a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈.（1）求证：数列{}na n为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）记2(1)n nb n a =+（*n N ∈），用数学归纳法证明：12211(1)n b b b n +++<-+，*n N ∈ 【答案】（1）证明见解析，(1)n a n n =+；（2）见解析 【解析】（1）定义法证明：11n na a d n n+-=+；（2）采用数学归纳法直接证明（注意步骤）. 【详解】由1(1)(1)n n na n a n n +=+++可知：1(1)(1)(1)(1)(1)n n na n a n n n n n n n n +++=++++，则有111n n a a n n +=++，即111n n a a n n +-=+，所以{}n a n为等差数列，且首相为121a=，公差1d =，所以1na n n=+，故(1)n a n n =+； （2）22(1)n b n n =+ ，当1n =时，111124b =<-成立； 假设当n k =时，不等式成立则：12211(1)k b b b k +++<-+； 当1n k =+时，12122121(1)(1)(2)k k b b b b k k k +++++<-++++，因为22222212112111(1)(1)(2)(2)(2)(1)(2)(1)k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭222222(1)2(1)(2)10(1)(2)(1)(2)k k k k k k k +++-+-==<++++ ， 所以22212111(1)(1)(2)(2)k k k k ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，则121211(2)k k b b b b k +++++<-+，故1n k =+时不等式成立，综上可知：12211(1)n b b b n +++<-+.【点睛】数学归纳法的一般步骤：（1）1n =命题成立；（2）假设n k =命题成立；（3）证明1n k =+命题成立（一定要借助假设，否则不能称之为数学归纳法）.20．设函数()5sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，(0,)2πϕ∈.（1）设2ω=，若函数()f x 的图象的一条对称轴为直线35x π=，求ϕ的值； （2）若将()f x 的图象向左平移2π个单位，或者向右平移π个单位得到的图象都过坐标原点，求所有满足条件的ω和ϕ的值；（3）设4ω=，6π=ϕ，已知函数()()3F x f x =-在区间[0,6]π上的所有零点依次为123,,,,n x x x x ，且1231n n x x x x x -<<<<<，*n N ∈，求123212222n n n x x x x x x --+++++的值.【答案】（1）310π；（2）643n ω+=，13ϕπ=；（3）3913π 【解析】（1）根据对称轴对应三角函数最值以及(0,)2πϕ∈计算ϕ的值；（2）根据条件列出等式求解ω和ϕ的值；（3）根据图象利用对称性分析待求式子的特点，然后求值.【详解】（1）()5sin(2)f x x ϕ=+，因为35x π=是一条对称轴，36()2sin()55f ππϕ=+对应()f x 最值；又因为(0,)2πϕ∈，所以6617()(,)5510πππϕ+∈，所以63()52πϕπ+=，则310πϕ=；（2）由条件知：5sin((0))025sin((0))0πωϕωπϕ⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩ ，可得1122,2,k k Zk k Zπωϕππωϕπ⎧+=∈⎪⎨⎪-+=∈⎩，则1212(2)(,)3k k k k Z πϕ+=∈，又因为(0,)2πϕ∈，所以3πϕ=，则1122,23,3k k Z k k Zππωπππωπ⎧+=∈⎪⎪⎨⎪-+=∈⎪⎩，故有：112262,313,3k k Z k k Z ωω-⎧=∈⎪⎪⎨-⎪=∈⎪⎩，当2k 为奇数时，令221()k m m Z =-∈，所以 13(21)46,33m mm Z ω---==∈，当2k 为偶数时，令22()k m m Z =∈，所以13(2)16,33m m m Z ω--==∈，当11k m +=-时，1116(1)26446(,)333k k m m k Z +-+-==∈，又因为0>ω，所以64()3n n N ω+=∈；（3）分别作出()f x （部分图像）与35y =图象如下：因为242T ππ==，故[0,6]π共有12个T ；记()f x 对称轴为(1,2,3...,23)i x a i ==，据图有：1212x x a +=，2322x x a +=，3432x x a +=，......，232423x x a +=，则12321122322222(...)n n n x x x x x x a a a --+++++=+++，令4,62x k k Z πππ+=+∈，则,412k x k Z ππ=+∈，又因为[0,6]x π∈，所以[0,23]k ∈，由于()f x 与35y =仅在前半个周期内有交点，所以max 22k =， 则1232101221139122222(...)223444123n n n x x x x x x πππ--+++++=++++⋅⋅=.【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合运用，难度较难.对于三角函数零点个数问题，可将其转化为函数图象的交点个数问题，通过数形结合去解决问题会更方便.21．已知无穷数列{}n a ，{}n b 是公差分别为1d 、2d 的等差数列，记[][]n n n c a b =+（*n N ∈），其中[]x 表示不超过x 的最大整数，即[]1x x x -<≤.（1）直接写出数列{}n a ，{}n b 的前4项，使得数列{}n c 的前4项为：2，3，4，5； （2）若11,33n n n n a b +-==，求数列{}n c 的前3n 项的和3n S ； （3）求证：数列{}n c 为等差数列的必要非充分条件是12d d Z +∈.【答案】（1）{}n a 的前4项为1，2，3，4，{}n b 的前4项为1，1，1，1；（2）23n n -；（3）证明见解析【解析】（1）根据定义，选择{}n a ，{}n b 的前4项，尽量选用整数计算方便；（2）分别考虑{}n a ，{}n b 的前3n 项的规律，然后根据计算[]x 的运算规律计算3n S ；（3）根据必要不充分条件的推出情况去证明即可.【详解】（1）由{}n c 的前4项为：2，3，4，5，选{}n a 、{}n b 的前4项为正整数：{}n a 的前4项为1，2，3，4，{}n b 的前4项为1，1，1，1；（2）将{}n a 的前3n 项列举出：(0,1,1,1,2,2,2,...,1,,)n n n -；将{}n b 的前3n 项列举出：(0,0,0,1,1,1,...,1,1,1)n n n ---；则23(11)(1)(11)(1)323322n n n n n S n n n ⎡+--⎤⎡+--⎤⎛⎫⎛⎫=++=-⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； （3）充分性：取1,33n n n na b +==-，此时120d d +=，将{}n a 的前3项列举出：0,1,1，将{}n b 前3项列出：1,1,1---，此时{}n c 的前3项为：1,0,0-，显然{}n c 不是等差数列，充分性不满足；必要性：设11(1)n a a n d =+-，12(1)n b b n d =+-，当{}n c 为等差数列时，因为[][]n n n c a b =+，所以n c Z ∈ ，又因为1100[][](1)()n c a b n d d Z =++-∈，所以有：1101112[][](1)[(1)][(1)]a b n d a n d b n d ++-=+-++-，且[]1x x x -<≤，所以110110110(1)2[][](1)(1)a b n d a b n d a b n d ++--<++-≤++-；111211121112(1)(1)2[(1)][(1)](1)(1)a n d b n d a n d b n d a n d b n d +-++--<+-++-≤+-++-，110110110111211121112(1)2[][](1)(1)(1)()2[(1)][(1)](1)()a b n d a b n d a b n d a b n d d a n d b n d a b n d d ++--<++-≤++-⎧⎨++-+-<+-++-≤++-+⎩， 不妨令1101112[][](1)[(1)][(1)]a b n d a n d b n d S ++-=+-++-=，则有如下不等式：11011011121112(1)2(1)(*)(1)()2(1)()a b n d S a b n d a b n d d S a b n d d ++--<≤++-⎧⎨++-+-<≤++-+⎩； 当120d d d +>时，令120(0)d d d m m +=+>，则当21n m->时， 1112110(1)()2(1)a b n d d a b n d ++-+->++-，此时(*)无解；当120d d d +<时，令120(0)d d d m m +=->，则当21n m-<时， 1112110(1)()(1)2a b n d d a b n d ++-+<++--，此时(*)无解；所以必有：120d d d Z +=∈，故：必要性满足；综上：数列{}n c 为等差数列的必要非充分条件是12d d Z +∈【点睛】本题考查数列的定义以及证明，难度困难.对于充分必要条件的证明，需要对充分性和必要性同时分析，不能取其一分析；新定义的数列问题，可通过定义先理解定义的含义，然后再分析问题.。